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1. 位相空間
位相の定義. X を空でない集合とする．X の部分集合の族（すなわち X の部分集合全体
のなす集合の部分集合）O は，次の条件を満たすとき X の位相であるという：
(1) X ∈ O, ∅ ∈ O
(2) O1 , O2 , . . . , Ok ∈ O ならば O1 ∩ O2 ∩ . . . ∩ Ok ∈ O
(3) {Oλ | λ ∈ Λ} を O の元からなる集合系とすれば (Λ は添え字の集合)、
∪
Oλ ∈ O .
λ∈Λ
O の元を開集合という．開集合の補集合のことを閉集合という．また，x ∈ X に対し x
の近傍とは x ∈ O となる開集合のことを指す．
位相 O を与えられた集合 X を位相空間といい，(X, O) で表す．また位相 O を省略して
「位相空間 X 」のように書くことが多い．
Y が位相空間 X の部分集合のとき，Y の開集合を X の開集合と Y の共通部分として定
義することで Y に位相が定まる．これを相対位相という．特に断らない限り，位相空間
の部分集合は相対位相によって位相空間であるとみなす．
Rn の通常の位相. 特に断らない限り、Rn (n ≥ 1) には次のような位相を考えるものと
する:
O ⊂ Rn が開集合 ⇔ O の任意の点 x に対し，B(x, ϵ) ⊂ O となる ϵ > 0 が存在する．
ただし x ∈ Rn と正の実数 r に対し、B(x, r) = {y ∈ Rn | |y − x| < r} . Rn の通常の位相
と言えばこの位相のことを指す．
Cn については，自然な全単射 Cn → R2n , (z1 , . . . , zn ) 7→ (Re z1 , Im z1 , . . . , Re zn , Im zn )
によって Rn と同一視すると，Rn の通常の位相から Cn にも位相が定まる．特に断らない
限り Cn はこの位相によって位相空間とみなす．
連続写像の問題.
1.1. (1) 位相空間の間の連続写像と直積位相の定義を述べよ．
(2) 写像 Rn × Rn → Rn を f (x, y) = x + y(ベクトルの和) で定める．Rn × Rn の位相を直
積位相とするとき，f は連続写像であることを示せ．
1.2. (X, O) を位相空間，写像 ∆ : X → X × X を ∆(x) = (x, x) で定める．
X × X の位相を直積位相とする．
(1) ∆ は連続写像であることを示せ．
(2) 閉写像の定義を述べよ．また，∆ が閉写像であることと，(X, O) がハウスドルフ空間
であることは同値であることを示せ．
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1.3. (1) 2 つの位相空間が同相であることの定義を述べよ．
(2) r を正の整数とする．Rn の開球体 B(0, r) = {x ∈ Rn | |x| < r} は Rn と同相であるこ
とを示せ．
補足 1.1. n ̸= m ならば Rn と Rm は同相でない．これはホモロジー論を使って証明でき
る (問 3.20)．
連結性.
1.4. (1) 位相空間が連結であることの定義，位相空間の連結成分の定義を述べよ．
(2) 位相空間 X の連結成分を U, V , U ̸= V とする．このとき U と V の共通部分は空集合
であることを示せ．
(3) Rn は連結であること，また R の閉区間 I = [0, 1] は連結であることを示せ．
1.5. 位相空間の部分空間が連結であるとは，相対位相によって連結であることをいう．
(1) 連続写像による連結部分空間の像は連結であることを示せ．
(2) X = {(x, y) ∈ R2 | xy = 0} は R と同相でないことを示せ．
(ヒント：仮に X から R への同相写像があるとすると X \ {0} の連結成分の像はどうな
るか？)
1.6. (1) 位相空間が弧状連結であることの定義を述べよ．
(2) U, V を位相空間 X の連結成分で U ̸= V とする．U の点 a と V の点 b をつなぐ道は存
在しないことを示せ．
(3) 位相空間が弧状連結ならば連結であることを示せ．
1.7. 連結であるが弧状連結でない位相空間の例を挙げよ．
コンパクト性.
1.8. (1) 位相空間 X の部分集合 A がコンパクトであることの定義を述べよ．
(2) f を位相空間 (X, O) から (X ′ , O′ ) への連続写像とする．A が位相空間 (X, O) のコン
パクト集合ならば，像 f (A) は位相空間 (X ′ , O′ ) のコンパクト集合であることを示せ．
(3) Rn の閉球体 B(0, r) = {x ∈ Rn | |x| ≤ r} は Rn と同相でないことを示せ．次の定理を
使ってよい．
定理 1.2. Rn の部分集合 A がコンパクトである必要十分条件は A が有界閉集合であるこ
とである．
可算公理の問題.
1.9. X = R2 とし，B = {[a, b) × [c, d) | a < b, c < d} を開基とする位相を O とする．
(1) 第１可算公理を述べよ．(X, O) は第１可算公理を満たすか？
(2) 分離位相の定義を述べよ．部分集合 A = {(x, y) ∈ X | x + y = 1} の相対位相は分離
位相であることを示せ． (3) 第２可算公理を述べよ．(X, O) は第２可算公理を満たすか？
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商空間の問題.
1.10. (X, O) を位相空間，Y を集合，f : X → Y を全射とする．
O(f ) = {O ⊂ Y | f −1 (O) ∈ O}
とおく．
(1) (Y, O(f )) は位相空間であることを示せ．
(O(f ) を f により定まる Y の商位相，(Y, O(f )) を f により定まる (X, O) の商空間とい
う．)
(2) f は (X, O) から (Y, O(f )) への連続写像であることを示せ．
1.11. R に関係 ∼ を x ∼ y ⇔ x − y ∈ Z で定める．
(1) ∼ は同値関係であることを確かめよ．
(2) 同値関係 ∼ による商集合を R/Z と書く．f : R → R/Z を商写像，O(f ) を f によって
定まる R/Z の商位相とする．(R/Z, O(f )) は (S 1 , O1 ) と同相であることを示せ．ただし
S 1 = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = 1} で O1 は相対位相とする．
1.12. X = Cn+1 \ {0} = {(z1 , . . . , zn+1 ) ∈ Cn+1 | (z1 , . . . , zn+1 ) ̸= (0, . . . , 0)} とする．
(z1 , . . . , zn+1 ) = (αw1 , . . . , αwn+1 ) を満たす 0 でない複素数 α が存在するとき，(z1 , . . . , zn+1 ) ∼
(w1 , . . . , wn+1 ) と定めるとこれは X 上の同値関係である．この同値関係による X の商空
間を n 次元複素射影空間といい，CPn と書く．(z1 , . . . , zn+1 ) の同値類を [z1 : . . . : zn+1 ]
と書く．
n+1
X から 2n + 1 次元球面 S 2n+1
| |z1 |2 + · · · + |zn+1 |2 = 1} への連
( = {(z1 , . . .), zn+1 ) ∈ C
√
z1
続写像 f を f (z1 , . . . , zn+1 ) = |z|
, . . . , zn+1
で定める．ただし
|z|
=
|z1 |2 + · · · + |zn+1 |2 ．
|z|
(1) 合成写像 π|S 2n+1 ◦ f は π と一致することを示せ．ただし π : X → CPn は商写像で，
π|S 2n+1 : S 2n+1 → CPn は S 2n+1 ⊂ X とみたときの π の制限である．
(2) CPn はコンパクトであることを示せ．(ヒント：問 1.8 と定理 1.2 を使う.)
群. 空でない集合 G 上に２項演算が与えられていて次の条件を満たすとき，G を群とい
う．(２項演算を · と書くことにすると)
(i) 結合法則：g1 · (g2 · g3 ) = (g1 · g2 ) · g3
(ii) 任意の g ∈ G に対し e · g = g · e = g が成り立つ e ∈ G(単位元) が存在する．
。
(iii) 各 g ∈ G に対し，g · g −1 = g −1 · g = e を満たす g −1 ∈ G(g の逆元) が存在する．
単位元のみからなる群を自明な群という．任意の２元 g, h について g · h = h · g が成り立
つ群を可換群という．
整数全体の集合 Z は和によって可換群となる．同値関係 x ∼ y ⇔ “x − y が n で割りきれる”
による商集合 Z/nZ も和によって可換群となる．ゼロでない複素数全体の集合 C× = C\{0}
やゼロでない実数全体の集合 R× = R \ {0} は積によって可換群となる．また 1 の n 乗根
全体の集合 µn は C× の部分群である．Z/nZ と µn は同型で，n 次巡回群と呼ばれる．
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群作用と G 空間. G を群，X を位相空間とする．G の任意の元 g に対し X から X への同
相写像が定まっていて (この同相写像による x ∈ X の像を g(x) と書こう)，
(gh)(x) = g(h(x))
かつ
e(x) = x
を満たすとき，G は X に作用するという．位相空間 X と G による群作用の対を G 空間
という．
位相空間 X に群 G が作用するとき，点 x ∈ X に対し x を固定する G の元全体 {g ∈ G |
g(x) = x} を点 x のイソトロピー群といい，Gx と書く．任意の点 x ∈ X で Gx = {e} のと
き G の X への作用は自由であるという．
1.13. (X, G) を G 空間とする．群 G に離散位相を与えたとき，α(g, x) = g(x) で定める写
像 α : G × X → X は連続写像であることを示せ．(離散位相を持つ群を離散群という.)
1.14. (X, G) を G 空間とする．関係 ∼ を x ∼ y ⇔ ∃ g ∈ G, y = g(x) と定める．
(1) ∼ は同値関係であることを確かめよ．(この同値関係による商空間を X/G と書く.)
(2) 問 1.11 で出てきた R/Z は Z 作用による R の商空間であることを説明せよ．
(3) 問 1.12 で出てきた複素射影空間 CPn も群作用による X の商空間であることを説明せ
よ．また CPn は群作用による S 2n+1 の商空間でもあることを説明せよ．
(4) 問 1.12 での複素射影空間の構成において複素数 C を実数 R に置き換えてやれば，全
く同様にして実射影空間 RPn が構成できる．実射影空間は群作用による Rn+1 \ {0} の商
空間であることを説明せよ．また，RPn は S n への群作用による商空間でもあることを説
明せよ．
距離空間の問題.
1.15. (1) 集合上の距離 (または距離関数) と，距離空間の定義を述べよ．また距離によっ
て位相が定まることについて説明せよ．
(2) 閉区間 [a, b] 上の有界な実数値関数全体の集合を B[a, b] とする．(つまり [a, b] 上の関
数 f が f ∈ B[a, b] となるのは，|f (x)| ≤ K (∀ x ∈ [a, b]) となる正の実数 K が存在すると
きである.) f, g ∈ B[a, b] に対して
d(f, g) = sup {|f (x) − g(x)| | a ≤ x ≤ b}
と定義する．d は集合 B[a, b] 上の距離であることを示せ．
補足 1.3. Rn の通常の位相はユークリッド距離 d(x, y) = |x − y| によって定まる距離空間
としての位相に他ならない．
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1.16. (X, d) を距離空間とし，d′ : X × X → R を
d(x, y)
1 + d(x, y)
d′ (x, y) =
で定める．
(1) d′ も X の距離であることを確かめよ．
(2) (X, d′ ) の開集合系は (X, d) の開集合系と一致することを示せ．
距離空間の完備化の例として p 進数体 Qp を構成しよう.
1.17. p を素数，c0 を 0 < c0 < 1 を満たす実数とする．有理数 α に対し，その p 進付値
|α|p を次のように定義する．
0
|α|p =
c
0
(α = 0)
a
(α ̸= 0)
ただし α ̸= 0 のときの右辺の a は
α = pa
c
b
(a, b, c ∈ Z, b, c は p で割りきれない)
によって決まる整数とする．
(0) p = 3 の場合に有理数を 5 個以上挙げてその p 進付値を計算せよ．
(1) p 進付値は次の性質を持つことを示せ．
(i) |αβ|p = |α|p |β|p ,
(ii) |α + β|p ≤ max(|α|p , |β|p ) .
(2) 写像 d : Q × Q → R を
d(α, β) = |α − β|p
で定める. d は Q 上の距離であることを示せ．d のことを p 進距離という．
1.18. 前問により，(Q, d) は距離空間である．距離空間の完備化の理論をあてはめて (Q, d)
の完備化を構成しよう．
有理数列 (α0 , α1 , . . .) が，任意の正数 ϵ に対して次の条件 ∗ 満たすとき n0 が存在すると
き (n0 は ϵ に依存してよい)，p 進基本有理数列であるという.
∗ |αm − αn |p < ϵ (∀m, n ≥ n0 )
F を p 進基本有理数列全体のなす集合とし，F 上の関係 ∼ を次で定める．p 進基本有
理数列 (αn ) = (α0 , α1 , . . .), (βn ) = (β0 , β1 , . . .) に対し，
(αn ) ∼ (βn ) ⇔ lim |αn − βn |p = 0 .
n→∞
(0) 有理数 α に対し，数列 (α, α, . . .) は p 進基本有理数列である．(α, α, . . .) に同値な p 進
基本有理数列（でそれ自身でないもの）を挙げよ．
(1) ∼ が同値関係であることを確かめよ．
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Qp をこの同値関係 ∼ による F の商集合とする．(αn ) ∈ F の同値類を [(αn )] で表す．
(2) 写像 dp : Qp × Qp → R を
dp ([(αn )], [(βn )]) = lim |αn − βn |p
n→∞
で定めたい．dp は well-defined であることを示せ．
(3) dp は Qp 上の距離であることを示せ．
補足 1.4. (1) α → [(α, α, . . . )] という対応により，Q は自然に Qp の部分集合とみなすこ
とができる．
(2) F の和、積を (αn )n + (βn )n := (αn + βn )n , (αn )n · (βn )n := (αn βn )n で定めると，これ
らは Qp 上の和、積を誘導し，それらの演算によって Qp は体になる．Qp を p 進体という．
(3) p 進距離を Q の普通の距離に置き換えて問 1.18 と同じ構成をすると得られるのが実数
体 R である．
ザリスキ位相. 代数幾何ではザリスキ位相という位相が用いられる．
，これは Rn の通常の
位相とは趣きの違うものである．この節では Cn のザリスキ位相 (問 1.19–1.20) と (それを
一般化した) 環のスペクトラムのザリスキ位相 (問 1.21–1.23) について考えよう．
1.19. X = Cn (n ≥ 1) とし，C[x1 , . . . , xn ] を Cn の座標 x1 , . . . , xn の n 変数多項式環とす
る．部分集合 V ⊂ X が有限個の多項式 F1 , . . . , Fk ∈ C[x1 , . . . , xn ] の共通零点集合のとき，
V は閉集合であるということにし，V = V (F1 , . . . , Vk ) と書く．
(1) n = 1 の場合の閉集合を決定せよ．
(2) F, G ∈ C[x1 , . . . , xn ] に対し，V (F ) ∩ V (G) = V (F, G), V (F ) ∪ V (G) = V (F G) が成
り立つことを示せ。 (3) F1 , . . . , Fk ∈ C[x1 , . . . , xn ] に対しこれらの生成するイデアルを I とすると，a ∈ Cn に
対して a ∈ V (F1 , . . . , Fk ) ⇔ G(a) = 0(∀ G ∈ I) が成り立つことを示せ．(イデアルの定義
は下の「環とイデアル」に書いてあります.)
(4) 部分集合 O ⊂ X が閉集合の補集合であるとき O は開集合であるということにし，X
の開集合全体のなす集合を O とする．O は X の位相を与えることを確かめよ．これを Cn
のザリスキ位相という．(ヒント：ヒルベルト基底定理を使う.)
1.20. Cn 上に問 1.19 のザリスキ位相を考える．
(1) n = 1 のとき C の開集合を決定し，空集合でない任意の２つの開集合は共通部分を持
つことを示せ．(問 1.19 (1) の結果を使ってよい.)
(2) ザリスキ位相に関して Cn はハウスドルフでないことを示せ．
環とイデアル. R を空でない集合とし，R に２つの２項演算：和 + と積 · (· は省略して
a · b = ab と書くことが多い) が与えられていて次の５条件を満たすとき，R を 1 を持つ可
換環という:
(i) 和 + に関して可換群である．
(ii) 積 · に関して結合法則をみたす：a · (b · c) = (a · b) · c.
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(iii) 和と積が分配法則をみたす：a · (b + c) = a · b + a · c, (a + b) · c = a · c + b · c.
(vi) 積が交換法則をみたす：a · b = b · a
(v) 任意の a ∈ R に対して a · 1 = 1 · a = a を満たす 1 ∈ R が存在する．
整数全体の集合 Z は普通の和と積によって 1 を持つ可換環になる．これを有理整数環という．
また正の整数 n に対して複素数係数上の n 変数 x1 , . . . , xn の多項式全体の集合 C[x1 , . . . , xn ]
は多項式の和と積によって 1 を持つ可換環となる．これを C 上の n 変数多項式環という．
1 を持つ可換環 R の部分集合 I が和に関して部分群になっていて (x, y ∈ I ⇒ −x + y ∈ I
をみたしていて) かつ x ∈ I, a ∈ R ⇒ x · a ∈ I を満たすとき I を R のイデアルという．
a1 , . . . , an ∈ R に対し，{x1 a1 + · · · + xn an | x1 , . . . , xn ∈ R} はイデアルである．これを
a1 , . . . , an で生成されたイデアルといい，(a1 , . . . , an ) と書く．
1 を持つ可換環 R 上に，イデアル I によって同値関係 ∼ を a ∼ b ⇔ a − b ∈ I で定め
ると，R の和と積から商集合 R/ ∼ に和と積が引き起こされ，R/I も 1 を持つ可換環とな
る．これを剰余環といい R/I と書く．
1.21. R を 1 を持つ可換環とする．R の素イデアル全体のなす集合とする．これを Spec R
と書き，環 R のスペクトラムという．(ただし環 R 自体は素イデアルとはみなさない.)
(1) 素イデアルの定義を述べよ．
(2) 環 R が次の場合に Spec R を決定せよ．
(i) R = Z(有理整数環)，
(ii) R = C[x](１変数多項式環)，
(iii) R = C[x]/(x2 )(イデアル (x2 ) による C[x] の剰余環).
(ヒント：(i)(ii) は Z, C[x] ともに単項イデアル整域であることを使う.)
1.22. R を 1 を持つ可換環とする．
(1) R の部分集合 B に対し
V (B) = {p ∈ Spec R | p ⊃ B}
とおく．I を B によって生成されるイデアルとすると，素イデアル p に対し p ∈ V (B) ⇔
p ⊃ I であることを示せ．また R の部分集合の族 Bλ (λ ∈ Λ) と B, B ′ ⊂ R に対し，
(i)
∩
λ
V (Bλ ) = V
(∪
)
Bλ ,
(ii) V (B) ∪ V (B ′ ) = V (I ∩ I ′ )
λ
が成り立つことを示せ．ただし I, I ′ はそれぞれ B, B ′ によって生成されるイデアルで，I ∩I ′
はその共通部分（これもイデアル）である．
(2) Spec R の部分集合 V が V = V (B), B ⊂ R と書けるとき V は閉集合であるという．
Spec R の部分集合 O が閉集合の補集合であるとき，O は開集合であるといい，開集合全
体のなす集合を O とする．O は X に位相を定めることを確かめよ．これを Spec R のザ
リスキ位相という．
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1.23. ザリスキ位相に関して
(1) Spec Z の閉集合を決定せよ．
(2) Spec Z はハウスドルフか？
(3) Spec Z はコンパクトか？
参考文献
[1] 内田伏一，数学シリーズ「集合と位相」，裳華房
[2] 桂利行，大学数学への入門１「代数学Ｉ群と環」，東京大学出版会 (群，環，イデアルの定義等)
[3] Shafarevich, “Basic Algebraic Geometry 1,2”,Springer (スペクトラムについて)
[4] 河田敬義，岩波講座基礎数学「代数学 vi 数論 III」，岩波書店 (p 進体の構成について)
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