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pdf, 4.8MB - 井上研究室

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博士論文
極低温異核フェッシュバッハ分子の研究
加藤 宏平
III
要旨
本論文は、極低温 41K-87Rb フェッシュバッハ分子に関する実験的研究をまとめたもの
である。
外場によって原子の散乱状態のエネルギーと分子の束縛状態のエネルギーを近づけた時
に原子状態と分子の束縛状態間に結合が生じ、共鳴的散乱を引き起こすことがある。この
現象の事をフェッシュバッハ共鳴と呼び、この時原子状態と結合する、ゆるく束縛された
分子状態の事をフェッシュバッハ分子という。フェッシュバッハ共鳴を用いることで、原
子間の相互作用の強さを示すパラメータである散乱長を自由に制御することができ、かつ
この現象を用いることで原子状態から分子状態を断熱的に生成することができる。
フェッシュバッハ共鳴近傍のような原子間の二体の相互作用が共鳴状態にあるところで
は、エフィモフ状態と呼ばれる束縛エネルギーが無限の等比級数をなす三体束縛状態が出
現することが知られている。エフィモフ状態の束縛エネルギーは原子間相互作用ポテン
シャルの短距離の詳細を表現する三体パラメータに依存すると思われてきた。しかし、近
年等核原子の実験において三体パラメータが実際は原子間の長距離での相互作用を特徴づ
けるファンデアワールス相互作用のみによって決定されているという事が見いだされた。
一方異核原子の系においてもエフィモフ状態が出現することが知られているが、その性質
は実験的にも理論的にも明らかにされていない。従って本研究で対象とする 41K-87Rb 混
合系は異核原子のエフィモフ状態に関して新たな知見を与えることが期待できる。
本研究での成果として主に次の二つが挙げられる。一つは、41K-87Rb 間の二つのフェッ
シュバッハ共鳴近傍における三体ロス係数の精密な測定である。共鳴近傍での三体ロスは
エフィモフ状態の性質によって決定される。しかし異核原子の系特にボーズ粒子の混合系
では三体ロス係数の精密な測定は難しい。なぜなら三体衝突のチャンネルが複数ある為に
粒子数の時間発展はそれぞれの粒子の初期原子数に強く依存するからである。本研究では
この問題を非破壊イメージングの導入により解決した。同一原子集団の時間発展を直接
観測することにより、初期原子数にほとんど依存しない三体ロス係数の測定が可能となっ
た。これにより共鳴近傍全体に渡って十分な精度で三体ロス係数が決定できた。また測定
結果から共鳴間/同位体間において測定範囲内では三体ロス係数が異ならないということ
が分かった。
もう一つの成果は、原子・フェッシュバッハ分子間(87Rb 原子と 41K-87Rb 分子)の二
体ロス係数における共鳴の観測である。原子と分子の混合状態のエネルギーとエフィモフ
状態の束縛状態のエネルギーが一致する時に、二体ロス係数が増大することが知られて
いるが、そのときの散乱長 a∗ は三体パラメータと等価なパラメータである。従って a∗ を
決定することが非常に重要であるが、その時問題となるのは、一般にフェッシュバッハ分
子の生成効率には限界があり、またその寿命も短いことである。本研究では、まず特殊な
波長の光トラップを用いることで 41K と 87Rb の同時縮退気体を空間的に完全に重ね合わ
せることで生成効率を向上し、さらに三次元光格子を用いることでフェッシュバッハ分子
と原子との衝突を抑制することに成功した。これにより a∗ の精密な測定が可能となった。
測定された a∗ の値を共鳴間/同位体間で比較した所、a∗ の値に有意な差が見られた。これ
は異核原子の系の三体パラメータがファンデアワールス相互作用のみでは決定できないこ
とを示す。従ってこれを説明するにはフェッシュバッハ共鳴の性質を取り入れた、より詳
細な理論が必要な事を示している。
謝辞
本論文は東京大学大学院工学系研究科物理工学専攻井上研究室において博士課程に在
籍中に行った研究をまとめたものです。本研究を進めるにあたり、多くの方々のご指導、
ご協力を頂きました。ここに深く御礼申し上げます。
本博士論文は井上慎准教授、上田正仁教授、香取秀俊教授、小芦雅斗教授、三尾典克
特任教授により審査されたものです。審査員の方々には有益な議論を頂いたことを感謝し
ます。
指導教員である井上慎准教授には修士から六年間の間、実験の詳細から研究の進め方、
研究発表の仕方等、研究全般にわたって非常に熱心に指導して頂きました。非常に充実し
た研究環境を与えて頂き、研究に打ち込む事ができたことを大変感謝しております。また
様々な機会に先生の物理に関する深い知識や、それに基づく的確な洞察に触れることがで
き非常に感銘を受けました。この六年間の経験は私にとって大きな財産となりました。心
よりお礼申し上げます。
当時井上研究室の助教であった小林淳特定准教授には、私が研究室に配属された当初か
ら実験に関して基礎的なことから非常に熱心に指導して頂きました。当時、小林先生に与
えてもらった 809nm 光トラップ光源の製作というテーマから、私の井上研での実験が始
まった様に思います。本研究の最後まで 809nm 光トラップは活躍することになりました。
また実験の基礎となる磁気トラップの製作時には多くの事を粘り強く指導して頂き、どう
にか完成に至ることができました。実験グループが分かれた後にも、実験の詳細について
の議論に毎日ように付き合って頂き非常に感謝しております。本研究を完成させる際の多
くの困難において、小林先生のアドバイスが鍵となりました。
電気通信大学准教授の岸本哲夫先生には、あらゆる実験技術について貴重なご指摘を頂
きました。特に磁気トラップの設計においては貴重なアドバイスを頂き、本研究を行う上
で多大な貢献をして頂きました。また、E1 グループの真空槽等の実験の基礎部分は岸本
先生のご尽力により構築されたものです。電気通信大学に移られた後にも、実験の基礎部
分について様々な事を教えて頂き非常に感謝しております。
現理化学研究所所属の福原武博士には、修士配属からの一年間同じ実験グループで実
験を行ってきました。着任当初から精力的に実験を行う姿に非常に感銘を受けました。ま
た、実験の進め方等に関しても、様々なご指導を頂きました。福原博士と最後に行った
RF 会合の実験は本研究においても重要な役割を果たしております。井上研を離れた後に
も、折に触れて様々なアドバイスを頂き、実験を進める上での大きな糧となりました。
当時井上研の修士の学生であった山陸芳之氏には、私の一年上の先輩として E1 グルー
プの実験装置の使い方等を教えて頂きました。配属当初、何も分からなかった私に工作の
仕方や回路の作り方等を丁寧に教えて頂き、非常に感謝しております。本研究で重要な役
割を果たしている、光トラップや光格子の設計は山陸氏の設計を元にしております。氏と
VI
一緒に夜遅くまで一緒に実験を行ったことも良い思い出です。
当時井上研の修士の学生であった齋藤裕介氏とは、磁気トラップ作成時からおよそ一年
半程 E1 グループにて実験を行いました。齋藤氏には実験を進める上で幾度となく助けて
もらいました。毎日精力的に実験を行い、かつ何度も議論に付き合って頂き非常に感謝し
います。本研究のメインテーマであるフェッシュバッハ分子の最初の信号を見ることがで
きたのも、齋藤氏の尽力のおかげです。本研究を完成させることができたのも、当時の実
験あっての事です。本当にありがとうございました。
当時井上研の修士の学生であった長田有登氏とは、途中から別のテーマでしたが同じ
E1 グループにておよそ二年間実験を行いました。氏の斬新な切り口で実験に臨む姿勢に
しばしば刺激を受けました。また氏が構築した位相コントラストイメージングは本研究で
重要な役割を果たしました。dual BEC のロスについての問題を解決することができたの
も、氏のおかげであり、大変感謝しています。
現 ENS 所属の遠藤晋平博士には三体問題の理論について詳しく教えて頂きました。実
験家の私にも非常に丁寧に教えて頂き、エフィモフ状態について理解を深めることがで
きました。また実験結果についても興味をもって頂き、大変うれしく思っております。本
研究の一つの成果である、三体ロス係数の共鳴間での比較も遠藤博士の指摘に刺激され
て行われたものです。忙しい中実験結果の議論に何度も参加して頂き、大変感謝しており
ます。
現理化学研究所所属の Pascal Naidon 博士には、Feshbach 分子の束縛エネルギーの計算
や、散乱長の計算等、理論面でサポートして頂きました。また原子・分子散乱の解釈につ
いての議論にも参加して頂き非常に感謝しています。
本研究は途中まで、ERATO 上田マクロ量子制御プロジェクトの支援を受けて行われて
きました。
プロジェクトリーダーである上田正仁教授には ERATO を通して、研究費の面で多大な
支援を頂いた事、多くの研究者の方々と触れ合う機会をくださった事を非常に感謝してお
ります。また ERATO ミーティングの際には、研究に関する様々な助言に加えて、発表の
仕方などを教えて頂き感謝しております。
ERATO グループリーダーであった上妻幹旺教授(東工大)、向山敬准教授(東工大)に
は ERATO ミーティングを通して様々な実験上の助言を頂きました。
現工学系研究科附属光量子科学研究センター助教の堀越宗一博士には、ERATO 終了後
もセミナー等を通じて様々な助言を頂きました。セミナーにおいて、三体ロスの研究を発
表したことが、実験の様々な問題点を浮き彫りにし、実験を進める上での大きな糧となり
ました。また広い分野に対して、貪欲に知識を吸収しようとする姿に感銘を受けました。
現京都大学所属の中島秀太博士には、実際に三体問題の実験を行っていたことから、実
験や理論について教えて頂きました。また氏の実験に対する熱意には驚きを覚えるばかり
です。
またその他にも ERATO を通して多くの方々にご支援・ご指導を頂きました。ここにま
とめてお礼を申し上げます。
井上研究室の修士課程に在籍していた、上原城児氏、早川悠介氏は E1 グループにて実
験作業を手伝って頂きました。特に光トラップの構築やイメージングの解析プログラムの
作成等において多大な貢献をして頂きました。ここにお礼を申し上げます。
VII
井上研究室の博士課程に在籍していた、相川清隆博士、藤掛陽輔氏にはミーティング等
を通じて、様々な助言を頂きました。相川博士の実験を手際良く進めていく様や、完璧を
目指す実験姿勢等を見ていて大きく刺激を受けました。また藤掛氏が残していった位相コ
ントラストイメージングや RF アンテナに関するドキュメント、DDS による蒸発冷却シス
テム等は本研究を進める上で多大な貢献を果たしました事を深く感謝します。
当時同期であった、大麻浩平氏とは実験グループは別でしたが、隣で着実に実験を進め
ていく姿に非常に刺激を受けました。氏とは、物理に関することから他愛のない事まで、
多岐に渡って話すことができ、非常に楽しい時間を過ごすことができました。修論提出後
に語り合った事は良い思い出です。
井上研究室の修士課程・学部の学生であった福岡健太氏、大久保拓哉氏、松田太一氏、
大久保弘樹氏、鈴木皓博氏、小野貴晃氏、赤羽健二氏とはミーティングや普段の研究生活
における議論等を通して様々な刺激を受けさせて頂きました。
現井上研修士課程の荻野敦氏、藤本晃吉氏には E2 の実験の詳細や分子ポテンシャルに
ついて教えて頂きました。
現井上研修士課程岡田彪利氏には、E1 の実験の条件出し等を手伝って頂きました。ま
た RF アンテナに対してより詳細に調べて頂きました。
現井上研学部学生の池田浩太氏、上東幹氏にはミーティング等で議論に参加して頂きま
した。特に上東氏には光格子の実験を一部手伝って頂きました。
物理工学専攻工作室の川端氏、佐藤氏には研究を進める上で必要な様々な部品の製作に
際し、多くの助言・助力を頂き非常に感謝しております。
博士課程において一年目は、東京大学 GCOE「未来を拓く物理科学結集教育研究拠点」
の RA として、二年目から三年目は、日本学術振興会特別研究員 DC2 として、四年目は
光量子科学研究センターの RA として、それぞれ生活費等をサポートして頂きました。こ
こに感謝を表明いたします。
その他、ミーティングや議論を通して様々な方々に研究活動支えて頂きました。改めて
お礼を申し上げます。
最後に研究生活を支えてくれた家族に心から感謝します。
i
目次
第1章
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
第2章
2.1
2.2
2.3
2.4
序論
極低温原子の系 . . . . . . . . .
Feshbach 共鳴 . . . . . . . . . .
極低温極性分子 . . . . . . . . .
1.3.1 Feshbach 分子の生成効率
小数多体系 . . . . . . . . . . . .
1.4.1 エフィモフ状態 . . . . .
1.4.2 三体パラメータの普遍性
本研究の目的 . . . . . . . . . .
本論文の構成 . . . . . . . . . .
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原子間相互作用
ファンデアワールス相互作用 . . . . . . . .
2.1.1 ファンデアワールス長 . . . . . . .
散乱理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 リップマン・シュウィンガー方程式
2.2.2 Born 近似 . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 部分波展開 . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 S 波散乱と散乱長 a . . . . . . . . .
2.2.5 同種粒子の散乱 . . . . . . . . . . .
2.2.6 モデルポテンシャルの散乱長 . . . .
フェッシュバッハ共鳴 . . . . . . . . . . . .
2.3.1 異なる内部状態間の散乱 . . . . . .
2.3.2 Feshbach 共鳴の原理 . . . . . . . .
2.3.3 Feshbach 共鳴の定式化 . . . . . . .
2.3.4 フェッシュバッハ共鳴の性質 . . . .
2.3.5 Feshbach 分子の生成効率 . . . . . .
2.3.6 Feshbach 分子の寿命 . . . . . . . .
2.3.7 41 K87 Rb の Feshbach 共鳴 . . . . . .
小数多体系 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 二体問題の普遍性 . . . . . . . . . .
2.4.2 The shallow dimer . . . . . . . . . .
2.4.3 エフィモフ効果 . . . . . . . . . . .
2.4.4 基礎方程式 . . . . . . . . . . . . .
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28
29
31
31
33
34
34
ii
2.4.5
2.4.6
2.4.7
2.4.8
第3章
3.1
3.2
3.3
3.4
第4章
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
hyper-angle equasion . .
hyper-radial equation . .
三体パラメータ . . . .
エフィモフ状態の観測
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極低温のボース粒子気体
単一原子気体の密度分布 . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 グロス・ピタエフスキー方程式 . . . . . .
3.1.2 トラップ中のボース粒子気体の基底状態 .
3.1.3 トーマス・フェルミ近似 . . . . . . . . . .
ボース凝縮体の混合系 . . . . . . . . . . . . . . .
二原子種グロス・ピタエフスキー方程式 . . . . . .
3.3.1 混合 BEC の安定性 . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 調和ポテンシャル中の混合 BEC の密度分布
光格子中のボース粒子の振る舞い . . . . . . . . .
3.4.1 光格子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 ボース・ハバードモデル . . . . . . . . . .
3.4.3 Mott 絶縁体状態での Shell 構造 . . . . . . .
3.4.4 混合系の場合 . . . . . . . . . . . . . . . .
実験装置
実験装置の概要 . . . . . . .
真空槽 . . . . . . . . . . . .
computer control . . . . . . .
レーザー冷却の為の光源 . .
4.4.1 Injection locking . . .
4.4.2 Tapered Amplifier . .
4.4.3 Lasers for K . . . . .
4.4.4 Lasers for Rb . . . . .
磁気光学トラップ . . . . . .
4.5.1 1st MOT . . . . . . .
4.5.2 2nd MOT . . . . . . .
4.5.3 Time dependent MOT
磁気トラップ . . . . . . . .
4.6.1 磁気トラップの設計
4.6.2 電流の制御回路 . . .
4.6.3 磁気トラップの性質
4.6.4 補助コイル . . . . .
RF Anntena . . . . . . . . .
蒸発冷却 . . . . . . . . . . .
4.8.1 optical pumping . . .
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67
68
68
73
77
78
79
84
85
87
89
91
92
iii
4.8.2 原子の捕獲 . . . . . . . . . . .
4.8.3 microwave induced evaporation .
4.8.4 二原子種蒸発冷却 . . . . . . . .
4.9 光学系の設計 . . . . . . . . . . . . . .
4.10 光トラップ・光格子 . . . . . . . . . . .
4.10.1 トラップ波長の選択 . . . . . .
4.10.2 1080 nm 光源 . . . . . . . . . .
4.10.3 809 nm 光源 . . . . . . . . . . .
4.10.4 光トラップ . . . . . . . . . . .
4.10.5 Dual BEC の生成 . . . . . . . .
4.10.6 809nm 光トラップ . . . . . . . .
4.10.7 光格子 . . . . . . . . . . . . . .
4.11 イメージング . . . . . . . . . . . . . .
4.11.1 吸収イメージング . . . . . . . .
4.11.2 位相コントラストイメージング
4.11.3 イメージングの光学系 . . . . .
4.11.4 解像度の評価 . . . . . . . . . .
第5章
5.1
5.2
5.3
第6章
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
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137
137
138
41 K-87 Rb 混合系における三体ロス係数の決定
三体ロス係数の測定の概略 . . . . . . . . . . .
5.1.1 初期の試み . . . . . . . . . . . . . . .
非破壊イメージングによる三体衝突係数の決定
5.2.1 解析手法 . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 測定条件 . . . . . . . . . . . . . . . . .
41 K-87 Rb 混合系における三体ロス係数の決定 .
フェッシュバッハ分子の生成
Feshbach 分子の生成の要点 . . . . . . . . .
Feshbach 分子の生成手法 . . . . . . . . . .
RF 会合による分子の観測 . . . . . . . . . .
6.3.1 ロスによる測定 . . . . . . . . . . .
6.3.2 束縛エネルギーの決定 . . . . . . .
6.3.3 分子の生成・観測速度の高速化 . .
6.3.4 分子の直接観測 . . . . . . . . . . .
6.3.5 会合係数の飽和 . . . . . . . . . . .
Dual BEC からの分子の生成 . . . . . . . .
6.4.1 緩い光トラップ中からの分子の生成
6.4.2 原子雲のオーバーラップの向上 . .
三次元光格子中での分子の生成 . . . . . .
6.5.1 三次元光格子へのロード . . . . . .
6.5.2 三次元光格子中での分子生成 . . . .
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iv
6.5.3
6.5.4
6.5.5
6.5.6
KRb 原子雲の重力方向の位置合わせ (with lattice)
原子の吹き飛ばし . . . . . . . . . . . . . . . . .
分子の寿命測定 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
分子の磁気モーメントの測定 . . . . . . . . . . .
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140
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第7章
7.1
Rb 原子-KRb 分子間の二体ロス係数の決定
144
二体ロス係数の測定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
第8章
8.1
8.2
まとめと今後の展望
149
本研究のまとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
今後の展望 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
付録A
41 K、87 Rb の光学特性
付 録 B 原子と光の相互作用
B.1 光トラップ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.1.1 誘起双極子と光電場の相互作用 . . . . . . . .
B.1.2 原子の分極率 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.1.3 双極子ポテンシャルと散乱レート . . . . . . .
B.1.4 ガウシアンビームによる光トラップ . . . . . .
B.1.5 重力ポテンシャルによるトラップ位置のシフト
B.2 光と原子の相互作用の半古典論 . . . . . . . . . . . .
参考文献
151
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152
152
153
153
154
155
155
157
v
図目次
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
STIRAP の概要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
極低温極性分子の生成方法 . . . . . . . . . . . . . .
空間的オーバーラップの確保 . . . . . . . . . . . . .
三次元光格子による原子と分子の衝突の抑制 . . . .
エフィモフ状態の束縛エネルギー . . . . . . . . . .
a− の実験値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
質量比の違いによるエフィモフ状態の形成しやすさ
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3
3
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9
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
アルカリ原子間の相互作用ポテンシャルの模式図 . . . .
s-wave 散乱の模式図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Feshbach 共鳴形成の様子 . . . . . . . . . . . . . . . . .
フェッシュバッハ共鳴近傍での散乱長と束縛エネルギー
41 K |1, 1⟩ と 87 Rb |1, 1⟩ の Feshbach 共鳴 . . . . . . . . . .
ヤコビ座標の例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
hyper-angle の例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
エフィモフ状態の模式図 . . . . . . . . . . . . . . . . .
三体衝突の模式図(散乱長負) . . . . . . . . . . . . .
三体ロス係数・二体ロス係数とエフィモフ状態の関係 .
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22
26
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35
36
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41
43
3.1
3.2
3.3
混合 BEC の分布の様子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
共存領域に存在する原子の割合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
二原子種のモット絶縁体状態 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
51
56
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
実験装置の概略図 . . . . . . . . . . . . .
制御用 LabVIEW プログラム . . . . . . .
アナログ出力切り替え回路 . . . . . . . .
AOM のセットアップ . . . . . . . . . . .
AOM driver の回路図 . . . . . . . . . . .
ソレノイドシャッター . . . . . . . . . . .
シャッタードライバー回路図 . . . . . . .
Slave Laser の電流値と出力パワーの関係
Fabry-Perot cavity . . . . . . . . . . . . .
cavity 信号 . . . . . . . . . . . . . . . . .
TA の電流値と出力パワーの関係 . . . . .
K の準位図と冷却に用いる光の離長 . . .
57
59
60
61
62
62
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4.13
4.14
4.15
4.16
4.17
4.18
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4.20
4.21
4.22
4.23
4.24
4.25
4.26
4.27
4.28
4.29
4.30
4.31
4.32
4.33
4.34
4.35
4.36
4.37
4.38
4.39
4.40
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4.42
4.43
4.44
4.45
4.46
4.47
4.48
4.49
4.50
4.51
4.52
Rb の準位図と冷却に用いる光の離長 . . . . .
1st MOT の為の光学系 . . . . . . . . . . . . .
1st MOT の光学系の外観 . . . . . . . . . . . .
蛍光観測の為の PD の回路図 . . . . . . . . . .
蛍光観測の様子(1st MOT,K) . . . . . . . . .
蛍光観測の様子(1st MOT,Rb) . . . . . . . .
K の原子数の push 光の周波数依存性 . . . . . .
2nd MOT の為の光学系 . . . . . . . . . . . . .
蛍光観測の様子(2nd MOT,K) . . . . . . . .
蛍光観測の様子(2nd MOT,Rb) . . . . . . . .
Light assisted collision(2nd MOT,K and Rb) .
2nd MOT の蛍光による trigger 回路 . . . . . . .
商用電源周波数との同期回路 . . . . . . . . . .
Time sequence of Time-dependent MOT . . . . .
磁気トラップコイルの配置の模式図(水平面)
磁気トラップコイルの配置の模式図(鉛直面)
作成した磁気トラップ . . . . . . . . . . . . .
Cloverleaf コイルの回路 . . . . . . . . . . . . .
Curvature 及び Anti-Bias コイルの回路 . . . . .
電流ノイズ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stern-Gerlach 用コイル . . . . . . . . . . . . .
Stern-Gerlach 用コイルの回路 . . . . . . . . . .
共鳴アンテナ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
共鳴アンテナの測定 . . . . . . . . . . . . . . .
アンテナの配置の模式図 . . . . . . . . . . . .
磁気トラップのトラップ寿命の測定 . . . . . .
Microwave induced evaporation . . . . . . . . .
蒸発冷却のタイムシークエンス . . . . . . . .
蒸発冷却中の原子数と位相空間密度の関係 . .
ガラスセル周辺の光学配置(上面図) . . . . .
ガラスセル周辺の光学配置(正面図) . . . . .
809nm と共鳴線の関係 . . . . . . . . . . . . .
809nm 光トラップの概要 . . . . . . . . . . . .
TA の ASE の波長分布 . . . . . . . . . . . . . .
1080 nm 光トラップ中の Dual BEC . . . . . . .
809 nm 光トラップ中の Dual BEC . . . . . . .
吸収イメージング . . . . . . . . . . . . . . . .
位相コントラストイメージング . . . . . . . .
TOP イメージングのセットアップの概要 . . .
Side イメージングのセットアップの概要 . . .
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68
69
71
71
71
72
72
74
75
75
76
76
77
78
82
83
84
85
85
87
88
89
90
91
91
93
94
94
95
97
98
100
102
102
105
106
108
108
111
112
vii
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
三体ロス係数の測定(吸収イメージング、a = 250 a0 ) . . . . . . . . . . .
原子数の時間発展の PCI による測定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
三体ロス係数の決定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
三体ロス係数の決定(相互散乱長 aKRb = −1981 a0 ) . . . . . . . . . . . .
三体ロス係数の決定(相互散乱長 aKRb = −818 a0 ) . . . . . . . . . . . . .
三体ロス係数の決定(相互散乱長 aKRb = −505 a0 ) . . . . . . . . . . . . .
三体ロス係数(KKRb)の散乱長依存性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
三体ロス係数(KRbRb)の散乱長依存性 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
"Broad"共鳴、散乱長負側の三体ロス係数(KRbRb、KKRb)の磁場依存性
散乱長負側の三体ロス係数(KRbRb)の散乱長依存性 . . . . . . . . . . .
114
116
117
118
118
119
120
121
122
123
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
6.11
6.12
6.13
6.14
6.15
6.16
6.17
6.18
6.19
6.20
6.21
光格子中の分子の模式図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
磁場スイープによる分子の生成 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
RF 会合による分子の生成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
RF 会合による分子の生成の観測方法 . . . . . . . . . . . . . . .
Feshbach 分子の束縛エネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . .
RF 会合による分子の直接観測 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
会合係数の RF 強度依存性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dual BEC からの分子の生成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
磁場スイープの様子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
分子のフィッティングの比較 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stern-Gerlach のタイミングに対する生成分子数の変化 . . . . . .
809 nm 光トラップの周波数に対する同時 BEC の相対位置の変化
光トラップの周波数に対する分子の生成数の変化 . . . . . . . . .
混合時の相互散乱長に対する分子の生成数の変化 . . . . . . . . .
二原子種同時バンドマッピング . . . . . . . . . . . . . . . . . .
光格子中での分子の生成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
光格子中での分子の生成 (wide 809nm trap) . . . . . . . . . . . .
光トラップの周波数に対する分子の生成数の変化 . . . . . . . . .
光格子中での分子の生成 (原子吹き飛ばし後) . . . . . . . . . . .
光格子中での分子の寿命測定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
分子の磁気モーメント δ µ の磁場依存性 . . . . . . . . . . . . . .
124
125
125
126
127
129
131
132
133
134
134
135
136
137
138
139
139
140
141
142
143
7.1
7.2
7.3
二体ロス係数の決定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
二体ロス係数の測定の手順 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Rb 原子-KRb 分子間の二体ロス係数の磁場依存性 . . . . . . . . . . . . . . 147
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viii
表目次
2.1
2.2
K-Rb 間の Feshbach 共鳴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41 K、87 Rb の散乱長 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
コイル間隔、コイルの巻き数、外径、内径。(設計値) . . .
磁気トラップのトラップ周波数、電流値、バイアス磁場 B0
補正コイルの設計値、実測値 . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stern-Gerlach 用コイルの設計 . . . . . . . . . . . . . . . . .
Imaging 系の設計 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1
RF 会合の分子数のフィッティング結果
7.1
二体ロス係数のフィッティング結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
A.1
A.2
41 K の D
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29
30
. 83
. 86
. 88
. 89
. 111
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
line の特性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
line の特性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
87 Rb の D
1
第1章
序論
1.1 極低温原子の系
19 世紀まで我々の自然観は"粒子"と"波動"という直観的な二つの概念を用いることに
よって形成され、古典力学と古典電磁気学という二つの理論の完成を導いた。これは多
くの自然現象の理解という点で多大な成功を収めた。しかし 20 世紀初頭には、これらの
概念では説明できない様々な実験事実が示された。即ちミクロの世界では"粒子"が"波動"
性を持ち、"波動"が"粒子"性を持つといった我々の直観に反する事が起きることが示され
た。そこでこれらの二面性を説明する理論として、波動関数という抽象的な概念を軸にす
えた量子力学が形成された。今日様々な物理現象が量子力学によって説明され、我々の新
たな自然観の形成に欠かせないものとなっている。
粒子の波動性は粒子を極低温まで冷却することによって顕著に表れてくる。量子力学で
は粒子の存在確率は波動関数によって表現される。波動関数の広がりは熱的ドブロイ長 λ dB
で表される。低温になると熱的ドブロイ長は広がっていき、粒子間隔よりも大きくなると
互いに干渉するようになる。その顕著な例が、ボースの着想 [1] を受けアインシュタイン
により予言された [2, 3] ボース・アインシュタイン凝縮(BEC:Bose-Einstein Condensation)
である。BEC 状態ではマクロな数の粒子が最低基底状態に落ち込み、一つの波動として
振る舞うようになる。
BEC の実現には冷却技術の進展が鍵となった。とりわけレーザー冷却 [4] の技術が多大
な貢献を果たした。レーザー冷却により室温の原子気体を一瞬で数 100 µK まで冷却する
ことが可能となった。そして続く磁気トラップの技術やそれに付随する蒸発冷却の技術の
進展により、更なる冷却がなされ、ついに 1995 年にアルカリ原子気体による BEC が実現
された [5, 6]。以来これらの極低温原子の系を用いた系の研究が盛んに行われてきた。
極低温原子の系の特徴はその制御性の高さにある。即ち磁場やレーザー光等の外場に
よって、原子の内部自由度(電子状態、微細構造、超微細構造等)及び外部自由度(原子
の運動状態等)を量子力学レベルで制御することができる。極低温原子の系の研究の中で
特に重要なものとして、Feshbach 共鳴の観測 [7]、BCS-BEC クロスオーバーの観測 [8]、
超流動-Mott 絶縁体転移 [9] の観測等が挙げられる。本研究も極低温原子の系を用いた研
究である。
1.2 Feshbach 共鳴
極低温原子の系の研究において重要な現象として Feshbach 共鳴という現象がある。Feshbach 共鳴は始め原子核物理の研究者である H. Feshbach によって理論的に提唱され [10]、
2
第 1 章 序論
極低温原子の系では、1998 年 23 Na の BEC において観測が報告されている [7]。低エネル
ギーの散乱は散乱長という二体の相互作用を示す物理量によって特徴づけられる。散乱長
は原子間ポテンシャルによって決定され、通常大きく変調されるものではない。しかし散
乱状態のエネルギーと別の束縛状態のエネルギーが近くなった時、散乱状態と束縛状態間
に結合が存在すると、共鳴的な散乱が起きる。結果として散乱長は大きく変調されること
になる。この現象の事を Feshbach 共鳴と呼ぶ。極低温原子の系で良く用いられる、アル
カリ原子は最外殻に電子を一つ持ち、電子のスピン状態によって異なる複数の散乱ポテ
ンシャルを持つ。スピン状態間のエネルギーは磁場によって、自在に調整できる。従って
Feshbach 共鳴の利用に非常に適した系であると言える。実際、外部磁場によって原子間
散乱長が正の無限大から負の無限大まで自在に制御できることが Na の BEC における実
験によって確かめられた [7]。
Feshbach 共鳴の利用は極低温原子の系における実験の可能性を大きく広げた。Feshbach
共鳴を用いることで二体の相互作用を系統的に変化させることができるようになった。二
体の相互作用は、純粋な二体問題だけでなく、小数多体系の問題や多体の問題にも深く
関わっている為、これを利用した様々な実験がこれまでに行われてきた。顕著な例として
は、分子 BEC の達成 [11]、エフィモフ状態の観測 [12]、混合 BEC の相分離の制御 [13] 等
が挙げられる。本研究では Feshbach 共鳴を用いて、極低温分子の生成、異核原子の小数
多体系の研究に対して研究を行った。以下にそれぞれの研究の背景を述べる。
1.3 極低温極性分子
冷却原子の系は、前節で述べたように誕生以来様々な成果をあげてきているが、次な
る研究対象として注目されているのが、極低温極性分子の系である。極性分子の大きな特
徴は電場をかけることによって、電気双極子が誘起され、新たに双極子・双極子相互作用
を持つことである。相互作用ポテンシャル Udd は、以下の様に記述できる。
(
)
1
d1 · d2 3(r · d1 )(r · d2 )
Udd (r) =
−
(1.1)
4πϵ 0
r3
r5
これは r −3 に比例する長距離の相互作用であり、かつ双極子の向きによって正か負か決ま
るといった異方性を持つ。原子系でも、磁気双極子を持つ Cr の BEC が報告されている
が [14]、電気双極子はかける電場によって相互作用の大きさが変えられるといった特徴を
もっており、また磁気双極子と比べて非常に大きな双極子モーメントを誘起することがで
きる。加えて、振動・回転といった原子系に比べて豊富な内部自由度を持っていることか
ら、幅広い範囲の物性を研究できる対象として非常に期待できる。
極性分子は、新しい量子多体系の対象として非常に有望であるが、その豊富な内部自
由度の為レーザー冷却の適用が困難であり、直接縮退領域まで冷却することは困難であっ
た。しかし、近年直接的な手法にかわり、極低温混合原子気体を用意し、それを上述の
Feshbach 共鳴を用いることによって弱く束縛された分子(Feshbach 分子)に断熱的に会
合させ、さらに誘導ラマン断熱遷移(STIRAP)(図 1.1)を用いて振動基底状態に落とす
ことで強く束縛された極性分子を高効率に生成するといった手法が開発された(図 1.2)。
振動基底状態に落とすことで、大きな双極子モーメントを誘起することができるようにな
1.3. 極低温極性分子
3
る。実際に JILA ではフェルミ縮退付近まで冷却された、87 Rb-40 K 極性分子(フェルミオ
ン)の生成に成功している [15]。
図 1.1: STIRAP の概要
d~100a0
d~10a0
d>1000a0
Degenerate mixture of atoms
Feshbach molecules
Feshbach association
Ground state molecules
STIRAP
図 1.2: 極低温極性分子の生成方法:中間状態である Feshbach 分子が重要な役割を果たす
1.3.1 Feshbach 分子の生成効率
現在、異核の系では分子の縮退状態は達成されていない。低温・高密度な分子集団を生
成する際に問題となることは、一般に Feshbach 分子の生成効率には限界があり、かつ原
子及び分子との非弾性衝突の係数が高い為に高密度ではトラップ寿命が非常に短いことで
ある。
Feshbach 分子の生成効率は原子集団の位相空間密度に依存することが等核原子の系の
実験から確かめられている [16] (より詳しくは節 2.3.5 を参照の事)。従って原子集団を
縮退状態にすることで生成効率の上昇が期待できる。これまでに縮退状態の 133 Cs[17]、
6 Li[18, 19]、23 Na[20]、87 Rb[21] からの分子生成が報告されている。異核の系ではさらに
原子雲同士の空間的オーバーラップが問題となる (図 1.3)。それぞれの原子の質量が異な
る為に、重力サグの効果によりトラップ位置にずれが生じる。これは生成効率の低下をも
たらす。またボソンとフェルミオンの混合系の場合、縮退領域では分布が大きく異なる為
に生成効率には限界がある [22]。またボソンとボソンの混合系の場合には、縮退状態では
それぞれの原子雲のサイズが小さいために空間的オーバーラップを確保するのは困難で
ある。
第 1 章 序論
4
Feshbach 分子の短いトラップ寿命は Feshbach 分子が緩く束縛された分子であることに
由来する。従って原子や分子との衝突で容易に振動緩和が起き、トラップロスにつながる。
特にボソンの系の場合にはパウリブロッキング等の衝突の抑制機構が無いため、トラップ
寿命が短くなる可能性がある。実際に BEC から生成された Na2 分子の寿命は高密度では
非常に短い事が報告されている [23]。この問題を解決する方法としては分子のトラップ寿
命よりも高速に分子を生成し観測する方法と、もしくは三次元光格子を用いて衝突自体を
抑制する方法(図 1.4)の二つの方法がある。
前者の方法として RF 会合による分子の生成がある [24]。これは原子対に RF を照射す
ることによって直接原子状態から分子状態へと遷移させる方法で、生成速度は RF 強度に
依存する。従って強い RF を用意することで、高速な分子の生成が期待できる。また RF の
周波数から分子の束縛エネルギーを測定することができ、Feshbach 共鳴点の決定に利用
できる。さらに光トラップ・光格子を切った状態で分子を生成できるという利点がある。
分子は原子と比べて振動・回転の多数の準位を持つため、共鳴を直接たたいてしまい、光
散乱レートが高くなる危険性がある。従って初めにこの方法を用いて分子を生成し、光散
乱レートが高くなっていないか確認することが重要であると考えられる。
後者の方法は実際に Rb の三次元光格子の系において、長寿命の分子を生成したという
報告がある [25]。非常に有望である。また生成効率を上げる上でもこの方法は有効である
ことが期待でき、最終的にはこちらの方法による分子の生成を目指すべきである。実際
に Cs の三次元光格子の系において、モット絶縁体状態を利用して充填率を上げることで、
50% 以上の生成効率を達成したという報告されている [26]。従って最終的にはこちらの方
法を採用したほうが、効率が上昇する可能性が高く、また衝突の制が可能になることでそ
の後の実験が容易になる(実験の時間スケールを長く取れる)ことが期待できる。異核の
系において同様の方法で生成効率を上げるには、両方の原子がボソンの系を用意し、かつ
同時縮退状態を実現することで充填率を高めることが有効であると考えられる。しかし、
異核の系では未だそのような実験は報告されていない。
以上の様に異核の系での分子生成は各原子雲同士の空間的オーバーラップの確保と三次
元光格子による衝突の抑制が重要である。本研究では特殊な波長の光トラップを用いるこ
とで、空間的オーバーラップを確保し、また実際に三次元光格子を用いて分子を長寿命化
することに成功した。
gravity
図 1.3: 空間的オーバーラップの確保:
異核の系では重力サグの効果によりトラップ位置にずれが生じ、重なりが減少する。Feshbach 分子の生成効率を上げるには、空間的オーバーラップを確保する必要がある。
1.4. 小数多体系
5
図 1.4: 三次元光格子による原子と分子の衝突の抑制
1.4 小数多体系
1.4.1 エフィモフ状態
Feshbach 共鳴の利用は小数多体系の物理にも重要な知見を与える。Feshbch 共鳴近傍
のような二体の相互作用が共鳴状態にあるところでは、エフィモフ状態と呼ばれる三体
束縛状態が出現することが知られている。エフィモフ状態は原子核物理の研究者である
V. Efimov によって 1970 年に予言された状態である [27]。共鳴点付近でのエフィモフ状態
の束縛エネルギーは図 1.5 の様になっている。共鳴点では散乱長が発散し、長さスケール
が消失する。結果エフィモフ状態が無限に表れ、そこでの束縛エネルギーはパラメータ
κ ∗(0) , κ ∗(1) , · · · で表される。κ ∗(0) , κ ∗(1) , · · · は等比級数になっており、その比は e π/s0 である。こ
こで s0 は原子種に寄らないスケーリングパラメータで、s0 ∼ 1.00624 すなわち e π/s0 ∼ 22.7
であることが知られている。また共鳴点以外でもエフィモフ状態は存在し、図 1.5 の様に
三原子状態との交点での散乱長を a−(0) , a−(1) , · · · 、分子 + 原子状態との交点での散乱長を
a∗(0) , a∗(1) , · · · で表す。すると a− 、a∗ も等比級数になっており、その比はやはり e π/s0 ∼ 22.7
で原子種に寄らない一定値をとる。
この無限の等比級数的構造を特徴とするエフィモフ状態は、極低温原子の系の実験に
おいて初めてその存在が確認された [12]。実験は冷却された 133 Cs を対象に行われた。エ
フィモフ状態と原子状態の交点すなわち散乱長 a− において三体の非弾性散乱が促進され
ることが知られている。すなわち三体ロス係数の散乱長依存性に現れる共鳴によって、エ
フィモフ状態は存在が確認された。さらに続く 39 K の実験においてエフィモフ状態の繰り
返し構造が確認され、そのスケーリングは理論値 22.7 にほぼ一致することが確かめられ
た [28]。
その後も様々な原子種で実験が行われ、エフィモフ状態が原子種に寄らずに普遍的に存
在することが確かめられてきた。一方エフィモフ状態の束縛エネルギーの大きさそのもの
は原子間相互作用の短距離の詳細に依存し、原子種や内部状態に寄って異なるものである
と考えられてきた。原子間相互作用の短距離の詳細を表現するパラメータの事を三体パラ
メータ Λ と呼び、三体パラメータを仮定することで、エフィモフ状態の構造は理論的に完
全に決定されることになる [29]。すなわち、基底状態のエフィモフ状態とエネルギー軸、
三原子状態、分子 + 原子状態との交点を示すパラメータである κ ∗(0) , a−(0) , a∗(0) (図 1.5)は
第 1 章 序論
6
全て三体パラメータ Λ と等価なパラメータである。三体パラメータを理論的に決定する
のは難しいが、a−(0) , a∗(0) は実験的に決定することが十分可能である。従って、各原子種、
内部状態毎に a−(0) , a∗(0) を測定する必要があると考えられていた [30]。
E
1/a
図 1.5: エフィモフ状態の束縛エネルギー
1.4.2 三体パラメータの普遍性
前記の様に三体パラメータは三体問題を解ける様にする為に、二体のパラメータとは独
立に導入された量であった。しかし近年等核原子の系において、様々な原子種・内部状態
に対して三体パラメータの測定が行われた結果、三体パラメータが実際は原子間の長距離
での相互作用を特徴づけるファンデアワールス相互作用のみによって、決定されていると
いう事が見いだされた。ファンデアワールス相互作用の長さスケールはファンデアワール
ス長 r vdW (式 2.3)によって特徴づけられる。図 1.6 にこれまでに行われてきた三体パラ
メータ(a− )の観測値を原子のファンデアワールス長 r vdW に対してプロットした。図で
示されるように概ね |a− |/r vdW = 8-10r vdW である。このように三体パラメータが原子間相
互作用の短距離の詳細に依存しないという事を三体パラメータの普遍性という。
1.4. 小数多体系
7
1400
1200
|a-| [a0]
1000
9.73rvdw
Cs
6Li
7Li
85Rb
39K
800
600
400
200
0
20
40
60
rvdw [a0]
80
100
120
図 1.6: a− の実験値:赤点線は 9.73r vdW を示す。データは次の参考文献から引用した。
6 Li[31]、7 Li[32, 33]、39 K[34]、85 Rb[35]、Cs[36]
最初に三体のパラメータの普遍性の存在を示唆した実験は、2010 年に 7 Li において行わ
れた [37]。彼らの実験では核スピンの異なる状態の三体ロス係数が散乱長 a に対して、広
い範囲で一致していることが示された。また 2011 年の Cs の実験 [36] によって、より明ら
かに普遍性の存在が分野に周知されることになった。彼らの実験では 4 つの異なるフェッ
シュバッハ共鳴に置いて三体パラメータ a− が測定され、それらがほぼ一致していることが
示された。これらの実験に触発され、J. Wang らは三体パラメータの普遍性が、三体の衝突
チャンネルの R ≃ r vdW において斥力ポテンシャルが普遍的に存在する("universal effective
barrier")ことに由来することを理論的に示した [38]。彼らの計算では、|a|− /r vdW = 9.73(4)
となり実験値に近い値を出している。また 2014 年には Naidon らは三体の universal effective
barrier が三体の配置の変形に由来することを明らかにした [39]。
以上の様に三体パラメータ a− には普遍性が存在することが、実験・理論の両面から確
かめられてきた。三体問題に対して現在も議論が続いている事として、以下の二つの問題
を挙げる。
Narrow フェッシュバッハ共鳴における三体パラメータ
現在までに多くの原子種で三体パラメータ a− が測定され、それらの値がほとんど例外
なく |a− |/r vdW = 8-10r vdW の領域に存在することは前述の通りである。しかし 2013 年の
39 K の実験では、ある特定のフェッシュバッハ共鳴において有意に三体パラメータ a が普
−
遍的な値から外れている可能性が示された [34]。フェッシュバッハ共鳴の結合の強さを示
第 1 章 序論
8
すパラメータとして sres という無次元量が式 2.85 で定義される。今までのほとんどの実験
は、 sres ≫ 1 の Broad フェッシュバッハ共鳴で行われていた。39 K の実験は、 sres ≃ 0.1 の
共鳴で三体パラメータ a− が普遍的な値よりも有意にずれている可能性を指摘した。実際
sres ≪ 1 の Narrow フェッシュバッハ共鳴では、フェッシュバッハ共鳴の結合エネルギーが
ファンデアワールスのエネルギーに比べて充分小さくなる為( sres の定義式 2.85)、新たな
長さスケールが現れることが理論的にも指摘されている [40]。しかし実験的には Narrow
フェッシュバッハ共鳴では精密に三体パラメータを測定するのは難しく、また sres ≃ 1 付
近ではファンデアワールスのエネルギーとフェッシュバッハ共鳴の結合エネルギーが同程
度になる為、理論的な解析は難しい。
近年 Cs の実験において、a− よりも a∗ の方がより sres の影響を受けやすいことが示唆さ
れている [41]。また、sres の影響を考慮した理論により、より広い範囲で三体パラメータ
の普遍性を説明できる可能性が、Yujun Wang らによって示された [42]。しかし三体パラ
メータの sres に対する依存性は、まだ完全には理解されていない。
異核原子の系
異核の原子の系即ち、三粒子の質量が異なる系でもエフィモフ状態が存在することが予
想されている。その際特徴的なことは、スケーリングパラメータが質量比と統計性によっ
て異なるという事である。またどの粒子の間に共鳴が存在するかによっても変わる。例
えば三粒子のうち、二つの粒子が同一のボソンで他の粒子が質量が異なる粒子の場合で
(m1 = m2 , m3 )、質量が異なる粒子間の散乱長が共鳴状態(a13 = a23 is resonant)の場合
スケーリングパラメータ s0 を決める超越方程式(同一粒子の場合、式 2.143)が次の様に
変わることが理論的に示されている [43]。
)]  
)] 
[ (
[ (

π
π
( π)
( π)



−
γ
−
γ
2sinh
s
2sinh
s
12
12
0
0
2
2
cosh s
 cosh s
 = 0
−
i
+
i
(1.2)
0
0

 
2
s0 sin(2γ12 )
2
s0 sin(2γ12 )




γ12 は質量比を示すパラメータで、
(
m k (m1 + m2 + m3 )
tan γi j =
mi m j
) 1/2
(1.3)
を満たす。式 1.2 によると重い原子二つ、軽い原子一つの場合スケーリングパラメータ
は小さくなり、エフィモフ状態の繰り返し構造が小さくなる、この状態のことを Efimov
favored と呼び、逆に軽い原子二つ、重い原子一つの場合スケーリングパラメータが大き
くなり、Efimov unfavored と呼ぶ。図 1.7 にその様子を模式的に示した。
1.5. 本研究の目的
9
m1=m2>m3
3
a13=a23 is resonant
m1=m2<m3
1
3
2
Efimov favored
1
2
Efimov unfavored
図 1.7: 質量比の違いによるエフィモフ状態の形成しやすさ
実験的には 41 K-87 Rb の系で三粒子のエフィモフ共鳴の観測が主張された [44]。しかし
続く 40 K-87 Rb の実験では三粒子のエフィモフ共鳴は測定範囲では観測できず、原子・分
子の二体散乱に共鳴を観測した [45]。二つの実験では、質量比がほんの少し異なるだけで
あるため、結果の違いについて議論されている。理論的にはスケーリングの周期 e π/s0 が
40 K-40 K-87 Rb の場合 123、41 K-41 K-87 Rb の場合 131、41 K-87 Rb-87 Rb の場合 348,000 と比較
的大きな値である為測定範囲に共鳴が存在する確率は低い [46]。また、三体パラメータの
普遍性が異核の系でも存在するという主張がある [47]。異核の場合には、関与するパラ
メータが増える為この問題は複雑である。我々は 41 K-87 Rb の系を持っており、この系は
実験的に可能な領域に二つのフェッシュバッハ共鳴を持つため、これを使って普遍性の検
証へとつなげるのが本研究の目的の一つである。
異核の系では他に近年 6 Li-Cs の系で質量比に依存したスケーリングの観測が行われて
おり [48, 49]、現在議論がなされているところである。
1.5 本研究の目的
以上の背景を元に、本研究では以下の二つを目的とする。
1. 異核原子の系における小数多体系の研究
2. 極低温極性分子の生成・研究
研究の具体的な対象としては 41 K 及び 87 Rb の二つの原子種からなる極低温原子の系を
用いる。上記の目的は互いに Feshbach 共鳴という現象を通じて密接に関わっている。な
ぜなら極低温極性分子の生成において、Feshbach 共鳴近傍での三体ロス等の非弾性のロ
スが大きな障害となるが、それに対処する為には小数多体系の物理に対する理解が必要不
可欠であるからである。
本論文では 41 K-87 Rb 混合系における Feshbach 分子に関する実験について報告する。
1.6 本論文の構成
本論文は全八章から構成される。構成は以下の通りである。
10
第 1 章 序論
第二章では原子間相互作用について説明する。まず極低温原子の系で重要となる低エネ
ルギー散乱について説明する。そして本研究の主な研究対象である Feshbach 共鳴につい
て説明する。最後に Feshbach 共鳴近傍での小数多体系の物理、特にエフィモフ状態につ
いて説明する。
第三章では極低温のボース粒子気体の振る舞いについて述べる。特に外部ポテンシャル
中で粒子の分布がどの様に決定されるかについて述べる。本研究で対象とする混合系に
おいては、粒子間相互作用によって粒子の分布が大きく変わるのでそれについて詳しく述
べる。
第四章では本研究で用いた実験装置について説明する。実験装置の詳細は本研究で行わ
れる、全ての実験の基礎となると共に、実験の精度や限界に深く関わってくる。
第五章では Feshbach 共鳴近傍での 41 K-87 Rb 間の三体ロス係数の決定について述べる。
これは続く Feshbach 分子の生成において、実験的に重要であると共に、エフィモフ状態
の性質を明らかにする上で必要な情報を与える。
第六章では Feshbach 分子の生成について説明する。ここでは、本研究の主要な研究対
象である Feshbach 分子を如何に生成するかについて述べる。特に Feshbach 分子の生成効
率を高め、また長寿命化する実験的な技術について詳しく述べる。
第七章では原子・分子間の二体散乱について述べる。二体散乱の測定方法について述
べ、そこに現れる共鳴について考察する。
第八章では本論文のまとめと今後の展望について述べる。
11
第2章
原子間相互作用
本章では冷却原子気体、特に冷却アルカリ原子気体中の原子間に働く相互作用について
述べる。通常アルカリ原子気体は充分希薄である。すなわち原子間の相互作用の強さを特
徴づける長さである散乱長 a に比べて平均原子間距離は充分大きい。従って相互作用は主
に二粒子間に働き、原子気体の性質は二体散乱によってほぼ決定される。原子散乱につい
て良く知っておくことが重要である。
アルカリ原子間の相互作用ポテンシャルは、図 2.1 のようになる。
Energy
triplet
Internuclear distance
singlet
図 2.1: アルカリ原子間の相互作用ポテンシャルの模式図
原子間の相互作用ポテンシャルは、ボルン・オッペンハイマー近似を用いることで計算
することができる。これは、原子核が電子に比べて十分重いということを利用した近似
で、まず核間距離を固定した上で、電子の波動方程式を解き、電子の波動関数と固有エネ
ルギーを求める。すると核間距離の関数として、固有エネルギーが求められるので、こ
れを核運動に対するポテンシャル(ボルン・オッペンハイマーポテンシャル)であるとし
て、核の運動を考えるというような近似である。ヘリウムの基底状態の様な不対電子を持
たないような原子の相互作用は、一つのボルン・オッペンハイマーポテンシャルで記述す
ることができる。一方アルカリ原子の基底状態の特徴は、不対電子のスピンの組み合わせ
により、相互作用が大きく変わるという事である。各不対電子のスピンを s1 、s2 とした
とき電子対のトータルのスピンは s = s1 + s2 となるが、アルカリ原子の相互作用は図 2.1
トータルのスピンの大きさが S = 0(singlet)、1(triplet)の場合の二つのボルン・オッペ
ンハイマーポテンシャルで記述される。
以上のように原子間の相互作用は原子の内部状態によって大きく変わる。散乱過程にお
いて、始状態と終状態の原子の内部状態はスピン、原子種、励起状態等の量子数で表され
第 2 章 原子間相互作用
12
る。これらの量子数の組のことを ”チャンネル(Channel)”という。アルカリ原子の散乱
は多チャンネル問題であり、これはフェッシュバッハ共鳴が存在するという観点から重要
である。
次節以降では、原子・原子散乱についての理論について記述する。2.1 節では、原子間
の主な相互作用であるファンデアワールス相互作用について述べ、次元解析からその長
さスケールを考える。続いて 2.2 節では、低エネルギー散乱について定式化し、二体の相
互作用を特徴づける散乱長 a を導入する。そして、散乱長 a がどの様に決定されるかを述
べる。2.1、2.2 節について、より詳しい議論は教科書 [50, 51] 参照されたい。2.3 節では、
多チャンネルでの散乱を考え、そこでの重要な帰結である、フェッシュバッハ共鳴につい
て述べる。フェッシュバッハ共鳴についての、より詳しい議論はレビュー [52, 53] にまと
められている。最後に 2.4 節では、多体問題を考える。特にフェッシュバッハ共鳴近傍で
出現する三体束縛状態であるエフィモフ状態について述べる。さらに詳しい議論は、レ
ビュー [43] や書籍 [54] にまとめられている。
2.1 ファンデアワールス相互作用
アルカリ原子間の相互作用は、図 2.1 の様に singlet ポテンシャルと triplet ポテンシャル
の二つのポテンシャルで表される。どちらのポテンシャルも短距離では電子雲の重なり
による強い斥力芯が支配的である。しかし、原子間隔が開いてくると singlet ポテンシャ
ルの方に強い引力が現れる。これはスピンの異なる二つの電子は、同じ軌道を占有する
ことができることに起因し、共有結合を生む効果に対応する。一方 triplet ポテンシャルは
斥力のままである。triplet ポテンシャルの極小値はより核間距離が開いたところに浅くで
きる。さらに核間距離が開くとファンデアワールス相互作用による弱い引力が存在する。
ファンデアワールス相互作用は共有結合に起因する引力に比べて非常に弱いが、低エネル
ギー散乱を特徴づける散乱長の決定に大きく影響を与える。ファンデアワールス相互作用
は原子間の電気的双極子-双極子相互作用に起因する。これは以下の形をしている。
Ued =
1
[d1 d2 − 3(d1 · r̂)(d2 · r̂)]
4πϵ 0r 3
(2.1)
原子の基底状態は対称性が良いため、エネルギー固有値の一次摂動は 0 となる。二次の摂
動から有限値が得られる。基底状態のエネルギー固有値に対する二次摂動は常に負の値を
とり、かつ摂動エネルギーの二乗に比例する。従ってエネルギー固有値に対する二次摂動
は以下の形でかける。
C6
UvdW = − 6
(2.2)
r
これをファンデアワールス相互作用と呼び、核間距離の-6 乗に比例する相互作用である。
2.1.1 ファンデアワールス長
ファンデアワールス相互作用の長さスケールを特徴づける量として、ファンデアワー
ルス長 r vdW を導入する。ゼロエネルギーのシュレーディンガー方程式における長さのス
2.2. 散乱理論
13
ケールを r 0 とする。次元解析の議論により、運動エネルギーは ℏ2 /2mr r 02 のオーダーとな
る。mr は原子対の換算質量である。これとファンデアワールス相互作用 C6 /r 6 が単純に
等しいとおくと、長さスケール r 0 が求まる。ファンデアワールス長は、r 0 /2 で定義され
る。すなわち、
(
)1
1 2mr C6 4
r vdW =
(2.3)
2
ℏ2
となる。またこの時のエネルギースケールをファンデアワールスエネルギー EvdW として
定義する。
ℏ2 1
EvdW =
(2.4)
2
2mr r vdW
低エネルギー散乱の長さスケールを特徴づける散乱長 a は、このファンデアワールス長
と、相互作用の短距離部分によって決まる。次節ではこれについて明らかにする。
2.2 散乱理論
本節では、低エネルギー散乱について定式化し、散乱長 a を導入する。
2.2.1 リップマン・シュウィンガー方程式
相互作用ポテンシャル V (r) による散乱を考える解くべきシュレーディンガー方程式は
以下のようになる。
[
]
H0 + V |ϕ⟩ = E |ϕ⟩
(2.5)
ここで、H0 = −ℏ2 ∆/2mr は自由粒子のハミルトニアンで、mr は粒子対の換算質量である。
自由粒子の場合の解を |ϕ (0) ⟩ とすると、
H0 |ϕ (0) ⟩ = E |ϕ (0) ⟩
(2.6)
を満たす。これを波数ベクトル k の入射平面を表すとすると、
⟨r|ϕ (0) ⟩ ≡ ϕ(r) (0) = eik·r
(2.7)
となる。解を(入射波)+(散乱波)という形で示すことを考える。ここで考えるべき解
は V → 0 のとき、 |ϕ⟩ → |ϕ (0) ⟩ とならなければならないので、形式解は、
|ϕ (±) ⟩ = |ϕ (0) ⟩ +
1
V |ϕ (±) ⟩
E − H0 ± iϵ
(2.8)
で与えられる。ϵ は無限小の数であり、後の積分計算を可能にするための処方である。|ϕ (+) ⟩
のみが意味のある解となる。式 2.8 をリップマン・シュウィンガー方程式と呼ぶ。
式 2.8 に左から ⟨r| をかけると、
∫
1
(+)
(0)
⟨r|ϕ ⟩ = ⟨r|ϕ ⟩ +
d 3r ′ ⟨r|
|r′⟩ ⟨r′ |V ϕ (+) ⟩
(2.9)
E − H0 + iϵ
第 2 章 原子間相互作用
14
ここで右辺の積分を計算する。まず積分内を以下の様に解く。
∫
∫
1
1
′
3 ′
⟨r|
|r ⟩ =
d p
d 3 p′′ ⟨r|p′⟩ ⟨p′ |
|p′′⟩ ⟨p′′ |r′⟩
p′2
E − H0 + iϵ
E − 2mr + iϵ
(
)
( ′′ ′ )
′
∫
∫
exp ipℏ r δ (3) (p′ − p′′ ) exp −ipℏ r
=
d 3 p′
d 3 p′′
3
3
p′2
(2πℏ) 2 E − 2m
(2πℏ) 2
+
iϵ
r
[ ip′ (r−r′ ) ]
∫
3
′
d p exp
ℏ
=
′2
2 k2
3
p
ℏ
(2πℏ)
2mr − 2mr + iϵ
∫
′
2mr 1
3 exp[iq · (r − r )]
d
q
= 2
ℏ (2π) 3
k 2 − q2 + iϵ
[
]
′
2mr
1 eik |r−r |
= 2 −
4π |r − r′ |
ℏ
(2.10)
ここで、
(∆ + k 2 )G+ (r) = δ(r)
(2.11)
を満たすグリーン関数 G+ を導入すると、解は
G+ (r) = −
となり、式 2.10 より
⟨r|
1 eikr
4π r
1
2mr
|r′⟩ = 2 G+ (r − r′ )
E − H0 + iϵ
ℏ
(2.12)
(2.13)
となる。これは外向きの球面波を表す。一方 V が r′ 表示で対角的、即ち
⟨r′ |V |r′′⟩ = V (r′ )δ (3) (r′ − r′′ )
(2.14)
であるとすると、
∫
′
⟨r |V |ϕ
(+)
⟩=
d 3r ′′ ⟨r′ |V |r′′⟩ ⟨r′′ |ϕ (+) ⟩
= V (r′ ) ⟨r′ |ϕ (+) ⟩
(2.15)
となる。式 2.13、2.15、2.12 より、
ϕ
(+)
(r) = e
ik·r
mr
−
2πℏ2
∫
ik |r−r ′ |
3 ′e
d r
V (r ′ )ϕ (+) (r′ )
|r − r′ |
(2.16)
を得る。今、式 2.16 の右辺の積分は V (r) が有意な値を持つ範囲内でだけ行えば良い。そ
の様な範囲からずっと離れた位置 r での波動関数を考える、即ち |r| >> |r′ | とする。この
時 |r − r′ | r − er · r′ という近似が成り立ち、式 2.16 より、
∫
mr eikr
(+)
ik·r
3 ′ −ik ′ ·r
ϕ (r) = e −
d
re
V (r′ )ϕ (+) (r′ )
(2.17)
2
2πℏ r
2.2. 散乱理論
15
ここで散乱振幅 f (k′ ) を以下の様に定義する。
∫
′
mr
′
f (k ) = −
d 3r ′ e−ik·r V (r′ )ϕ (+) (r′ )
2
2πℏ
(2.18)
すると、散乱波の波動関数は、以下の様に表される。
ϕ (+) (r) = eik·r +
eikr
f (k′ )
r
(2.19)
従って散乱問題は、散乱波を上式の様に(入射波)+(球面波)で表した時の球面波の散
乱振幅を求める問題に帰着する。微分断面積 dσ/dΩ は入射粒子数に対する微小立体角 dΩ
に散乱される粒子数の比で定義され、
dσ
= | f (k′ )| 2
dΩ
で表される。また全断面積は全方向に積分して、
∫
σ=
| f (k′ )| 2 dΩ
(2.20)
(2.21)
で求められる。
2.2.2 Born 近似
式 2.18 の右辺の積分には、未知関数 ϕ (+) (r′ ) が含まれており、このままでは計算するこ
とができない。そこで、入射波の振幅に対して、散乱波の振幅が十分小さいとして、積分
の中に含まれる ϕ (+) (r′ ) を入射波の波動関数で近似(Born 近似)をすると、
∫
′
′
mr
′
d 3r ′ e−i(k −k)·r V (r′ )
(2.22)
f (k ) = −
2
2πℏ
となる。式 2.22 より Born 近似の散乱振幅は、運動量の変化 ∆k ≡ k′ − k に関するフーリ
エ変換に比例することが分かる。散乱ポテンシャル V (r′ ) の広がりが、入射波の波長に比
′
′
べて無視できるほど小さい時、e−i(k −K)·r 1 と近似でき、
mr
V0
f (k′ ) −
2πℏ2
∫
V0 =
d 3r ′V (r′ )
(2.23)
(2.24)
となる。散乱振幅は散乱方向に依存しなくなり、ポテンシャルの空間積分のみに依存する
ようになる。この状況は節 2.2.4 で説明する S 波散乱の状態に対応する。
第 2 章 原子間相互作用
16
2.2.3 部分波展開
低エネルギーの散乱問題を考える上で、角運動量状態を分解して考えた方が便利であ
る。波数ベクトル k の入射平面波はルジャンドル多項式 Pl (cos(θ)) によって以下のように
書ける。
∞
∑
ik·r
ikrcosθ
(2l + 1)i l jl (kr)Pl (cosθ)
(2.25)
e =e
=
l=0
jl は l 次の球ベッセル関数である。ul (r) = r · jl (kr) は、動径方向の自由粒子のシュレー
ディンガー方程式
−
ℏ2 d 2ul (r) l (l + 1)ℏ2
ℏ2 k 2
+
u
(r)
=
ul (r)
l
2mr d 2r
2mr
2mr r 2
(2.26)
の解である。 jl (kr) は r が大きいとき
(
)
1
lπ
jl (kr) sin kr −
(r → 大)
kr
2
(2.27)
と表すことができる。散乱ポテンシャルが球対称のとき、 f (k′ ) は k と k′ のなす角 θ にの
み依存するので、ルジャンドル多項式によって、
f (k′ ) ≡ f (θ) =
∞
∑
(2l + 1) f l Pl (cosθ)
(2.28)
l=0
と書くことができる。 f l を部分波振幅という。
式 2.18、2.28 より ϕ (+) (r) もルジャンドル多項式によって級数展開できて、
ϕ
(+)
[
]
1
ei(kr−lπ/2) e−i(kr−lπ/2)
(2l + 1)i
(r) =
(1 + 2ik f l )
−
Pl (cosθ)
2ik
r
r
l=0
∞
∑
l
(2.29)
となる。式 2.29 よりそれぞれの l について外向き球面波と内向き球面波の和に分解できる
が、粒子の湧き出し、吸い込みはないのでこれらの振幅は等しくならなければならない。
よって
1 + 2ik f l = e2iδl
(2.30)
と表されなければならない。これを式 2.29 に代入すると、
ϕ
(+)
(r) =
∞
∑
l=0
(2l + 1)i l
eiδl
lπ
sin(kr −
+ δl )Pl (cosθ)
kr
2
(2.31)
となる。これは、式 2.27 の球ベッセル関数の位相を δl だけシフトさせたものである。つ
まり球対称のポテンシャルによって、動径方向の波動関数 ul (r) の位相が δl だけシフトし
たと考えることができる。この位相シフトを計算するには、動径方向のシュレーディン
ガー方程式
]
[ 2
l (l + 1) 2mr
d
2
−
− 2 V (r) + k ul (r) = 0
(2.32)
dr 2
r2
ℏ
2.2. 散乱理論
17
を解かなければならない。位相のずれを求めることができれば、部分波振幅は式 2.30 よ
り即座に、
e2iδl −1
2ik
1
=
k (cotδl − i)
eiδl sinδl
=
k
f l (k) =
(2.33)
(2.34)
(2.35)
と求めることができ、断面積は、
∞
4π ∑
(2l + 1)sin2 δl
σ= 2
k l=0
(2.36)
となる。
2.2.4 S 波散乱と散乱長 a
式 2.32 より、l 番目の動径波動関数 ul (r) に対する有効ポテンシャルは、
−
ℏ2 l (l + 1)
+ V (r)
2mr r 2
(2.37)
である。今、力の中心から入射運動量 p までの距離を b(衝突パラメータという)とする
と、b の最も確からしい値は、半古典的に考えると
√
ℏ l (l + 1) = ℏkbl
(2.38)
を満たす値の程度である。従ってポテンシャルの及ぶ領域 α のときは、bl < α でのみ反
応が起こるので、十分低いエネルギーの散乱では s-波の散乱のみを考えれば十分である。
散乱断面積は、
(
)2
sinδ0
σ = 4π
(2.39)
k
となる。
散乱断面積を簡単に計算できる例として、半径 R の剛体球での散乱を考える。即ち、

 ∞ (r < R)
(2.40)
V (r) = 
 0 (r > R)

による s-波散乱を考える。r = R で波動関数は必ず 0 になり、r > R で自由粒子の粒子の
シュレーディンガー方程式に従う。従って、波動関数は単に原点が R だけずれたものにな
り(図 2.2)、
δ0 = −k R
(2.41)
となる。 R が入射波の波長 λ に対して十分小さいとき、δ0 << 1 となり、式 2.39 より、
)2
(
sinδ0
= 4πR2
σ = 4π lim
(2.42)
δ0 →0
k
となる。これは剛体の幾何学的断面積 πR2 の 4 倍である。
第 2 章 原子間相互作用
18
散乱長
ここで剛体球とのアナロジーで s-波の位相のずれ δ0 が実行的に動径波動関数 u0 (r) の原
点をどれだけずらすかを考える。式 2.31 より、
u0 (r) eiδ0
sin(kr + δ0 )
k
よって k → 0(低エネルギー極限)では、
iδ0 sin(kr
lim e
k→0
k
+ δ0 )
(r → 大)
(
sin kr tan δ0
= e cosδ0 lim
+
cos kr
k→0
k
k
(2.43)
)
iδ0
= eiδ0 (cos δ0 )(r − a)
= C(r − a)
(2.44)
C は定数である。ここで、
tan δ0
(2.45)
k→0
k
とした。この a を散乱長とよぶ。式 2.44 より、u0 (r) は、r = a で軸を横切ることが分か
る(図 2.2)。s-波散乱の散乱振幅 f 0 は散乱半径 a の符号を変えたものになる。
( iδ0
)
e sin δ0
lim f 0 = lim
= −a
(2.46)
k→0
k→0
k
a ≡ − lim
よって散乱断面積は、
σ = 4πa2
(2.47)
となる。これは剛体球での散乱断面積と同じ形をしている。
a)
b)
図 2.2: s-wave 散乱の模式図:a) 剛体球での散乱、b)s-波散乱
ところで、Born 近似において k → 0 とすると式 2.23 のように散乱振幅は表されること
になる。式 2.23 と式 2.46 は仮定が同じなので一致するはずであり、それより、
V0 =
2πℏ2 a
mr
(2.48)
これより斥力ポテンシャルの時は a > 0、引力ポテンシャルの時は a < 0 となることが分
かる。
2.2. 散乱理論
19
2.2.5 同種粒子の散乱
2 つの同種粒子が散乱する場合、Pauli の原理によって 2 つの粒子の入れ替えに関して、
波動関数は対称 (Boson) か反対称 (Fermion) でなければならない。従って波動関数の漸近
形は式 2.19 に変わり、
[
] eikr
eik·r ± e−ik·r + f (k′ ) ± f (−k′ )
r
(r → ∞)
(2.49)
と書かれなければならない。特に s-波散乱の場合 f (k′ ) = f (−k′ ) = −a なので、二粒子合
わせた散乱断面積


4π(−a − a) 2 = 16πa2 (Boson)


(2.50)
σ12 = 
 4π(−a + a) 2 = 0
(Fermion)

となる。即ち Boson の一粒子当たりの散乱断面積は 8πa2 となり異種粒子の場合の二倍と
なり、Fermion では s-波散乱は起こらない。
2.2.6 モデルポテンシャルの散乱長
原子の散乱長がどの様に決定されるか、明らかにする為、以下のモデルポテンシャルで
の散乱を考える。


if r ≤ r c ∞
U (r) = 
(2.51)
C

 − 66 if r > r c
 r
すなわち遠距離はファンデアワールスポテンシャル、短距離は半径 r c の無限に硬い斥力
ポテンシャルでカットオフされているモデルである。動径方向のシュレーディンガー方程
式である式 2.32 より、低エネルギー散乱を考えると k, l = 0 として、r > r c に対して
[ 2
]
d
2mr C6
+ 2 6 u0 (r) = 0
(2.52)
dr 2
ℏr
となる。r0 = 2r vdW (定義式 2.3)を用いて x = r/r 0 として書き直すと、
[ 2
]
d
1
+
u0 (x) = 0
dx 2 x 6
(2.53)
となる。これを解くには u0 (x) = x β f (x γ ) と置いて、良く知られた微分方程式に直す必要
がある。天下り的ではあるが、 β = 1/2、γ = −2、z = x γ /2 とし、 f (x γ ) = g(z) とすると、
( 2
(
))
1 d
d
1
+
+ 1−
g(z) = 0
(2.54)
dz 2 z dz
16z 2
これはベッセル方程式である。これの一般解はベッセル関数 J1/4 (z) と J−1/4 (z) の線形結
合で書ける。即ち、
g(z) = AJ1/4 (z) + B J−1/4 (z)
z=
r 02
2r 2
(2.55)
(2.56)
第 2 章 原子間相互作用
20
である。u0 (r) は、r = r c で 0 であるので、係数は条件
J−1/4 (r 02 /2r c2 )
A
=−
B
J1/4 (r 02 /2r c2 )
(2.57)
を満たす。アルカリ原子の場合、r 0 ≫ r c であるので、z が大きい時のベッセル関数の漸
近展開
√
[
(
) ]
2
1 π
Jp (z) ≃
cos z − p +
(2.58)
πz
2 2
を用いて、
cos(r 02 /2r c2 − π/8)
A
=−
B
cos(r 02 /2r c2 − 3π/8)
(2.59)
となる。一方、変数を元に戻すと u0 (r) = r R(r) は、
u0 (r) = A(r/r 0 )


J (r 2 /2r 2 )
 J1/4 (r 2 /2r 2 ) − 1/4 0 c J−1/4 (r 2 /2r 2 ) 
0
0


J−1/4 (r 02 /2r c2 )
1/2
(2.60)
と表される。
散乱長を決定するには、遠方(r ≫ r 0 )での波動関数を調べる必要がある。即ち z が十
分小さい時、
zp
Jp (z) ≃ p
(2.61)
2 Γ(1 + p)
となる為、u0 (r) は、
u0 (r) ≃ A √
1
2Γ(5/4)
√
+B
2 r
Γ(3/4) r 0
(2.62)
となる。式 2.43、2.44、2.45 と比較して、
a=−
r 0 Γ(3/4) A
2 Γ(5/4) B
(2.63)
式 2.59 及び、r 0 /2 = r vdW より、
Γ(3/4)
a = r vdW √
[1 − tan(Φ − 3π/8)]
2Γ(5/4)
≃ 0.956r vdW [1 − tan(Φ − 3π/8)]
Φ=
2
2r vdW
r c2
(2.64)
(2.65)
となる。式 2.64 が示すことは、散乱長 a はスケールはファンデアワールス長によって決
まり、それに位相因子 1 − tan(Φ − 3π/8) を掛けることによって決定される。Φ は短距離ポ
2 /r 2 )為、これを計算によって決定する
テンシャルの詳細に依存する(今回は Φ = 2r vdW
c
のは難しい。従って散乱長 a は実際の測定によって決定する必要がある。尚この議論は、
式 2.51 の様な単純化されたポテンシャルではなく、一般的なポテンシャルでも同様の議
論が成り立つ [55]。
2.3. フェッシュバッハ共鳴
21
また、この時の係数が1になるように、
1 Γ(3/4)
ā = √
r vdW ≃ 0.956r vdW
2 Γ(1/4)
(2.66)
と定義したとき、この ā のことを mean scattering length という。これを用いるとより式を
単純に表すことができる。
2.3 フェッシュバッハ共鳴
前節までの議論により、散乱長 a はファンデアワールス長と短距離の斥力ポテンシャル
の詳細によって決定される。従ってこれを大きく変えようとすると、短距離ポテンシャル
の形を変形させる必要があるが、これはエネルギースケールからして、現実的ではない。
前節までの様に一つのチャンネルの散乱を考えている限り、低エネルギー散乱では散乱長
は原子種によって決まっており、変化させることはできない。しかし、アルカリ原子は図
2.1 の様に複数の散乱チャンネルを持つため、これを利用して散乱長を大きく変化させる
ことができる。本節では、多チャンネルの散乱を考える。そしてチャンネル間の結合によ
りフェッシュバッハ共鳴が現れ、それによって散乱長が大きく変化するということを見て
いく。
2.3.1 異なる内部状態間の散乱
図 2.1 に示す様に、アルカリ原子は電子スピンの組み合わせによって散乱ポテンシャル
が変化する。さらに、アルカリ原子は核スピンも持っている。本研究で対象とする、41 K
及び 87 Rb の核スピンは 3/2 であり、合計 8 個の基底状態が存在する。散乱チャンネルは、
二原子のスピン状態の組によって表現される。
異なる内部状態への遷移を起こすような散乱について考える。始めチャンネル |α β⟩(α, β
は二原子のスピン状態を示す。)にある二つの原子が相互作用によりチャンネル |α′ β′⟩ へ
散乱するとする。これは多チャンネル問題となるが、この時の相対運動のハミルトニアン
は単一チャンネルの散乱を拡張して以下のように書ける。
Hrel = H0 + V
H0 = −
(2.67)
ℏ2
∆ + Hspin (1) + Hspin (2)
2mr
(2.68)
ここで Hspin (1) および、Hspin (2) は原子 1 および 2 のスピン状態を指定するハミルトニア
ンでアルカリ原子の基底状態ではゼーマン相互作用と超微細相互作用からなる。V は原子
間相互作用を示す。H0 の固有状態を |α β, k⟩(ℏk は相対運動量)と表す。スピンハミルト
ニアンの固有値が
Hspin |α⟩ = ϵ |α⟩
(2.69)
で与えられるとすると。 H0 の固有状態のエネルギーは
Eα β (k α β ) =
ℏ2 k α2 β
2mr
+ ϵα + ϵ β
(2.70)
第 2 章 原子間相互作用
22
となる。
散乱振幅は式 2.18 を一般化することで得られる。
|ϕ⟩ = i
ikα β ·r
|α β⟩ +
∑
α′ β′
ik α′ ′ β ′ r
α′ β′
′ ′ ′ e
f α β (kα β , k α β )
r
|α′ β′⟩
(2.71)
ℏkα β は入射状態の相対運動量である。これを入射チャンネルとよぶ。散乱は別の内部状
態 α′, β′ の成分をもつ。これを出射チャンネルとよぶ。
エネルギー保存より、
ℏ2 k α′2′ β ′
2mr
=
ℏ2 k α2 β
2mr
+ ϵ α + ϵ β − ϵ α ′ − ϵ β′
(2.72)
である。もし k α′2′ β ′ < 0 ならば、そのような散乱状態は存在できず、そのチャンネルは閉
じているという(closed channel)。一方 k α′2′ β ′ > 0 ならば、そのチャンネルは開いている
という(open channel)。
open channel 間の結合は、非弾性衝突につながり、トラップ損失になる。
2.3.2 Feshbach 共鳴の原理
チャンネル間の結合は Feshbach 共鳴も与える。あるチャンネルの弾性散乱はそのそば
に分子の束縛状態を持った閉じたチャンネルがあると劇的に変わる。
Energy
Closed
Eres(B)
Eth
Internuclear distance
Open
図 2.3: Feshbach 共鳴形成の様子
図 2.3 に示すように、開チャンネルの全エネルギー Eth が、閉チャンネルの束縛状態の
エネルギーと一致した時、Feshbach 共鳴が現れる。閉チャンネルは散乱の終状態になり
えないので、開と閉チャンネル間の結合について一次までのオーダーで散乱は変わらな
2.3. フェッシュバッハ共鳴
23
い。しかし二次の過程、すなわち開チャンネル → 閉チャンネル → 開チャンネルといった
閉チャンネルを中間状態にとった散乱は起きうる。従って摂動論から
a∼
C
Eth − Eres
(2.73)
のタイプの項の和を持つ散乱長への寄与が期待できる。入射チャンネルのエネルギーが束
縛状態のエネルギーに近いほど効果は大きくなる。エネルギー変化に対する二次摂動論か
ら予測されるように、チャンネル間結合は散乱粒子のエネルギーが束縛エネルギーより大
きければ斥力相互作用であり、散乱粒子のエネルギーが束縛エネルギーより小さければ引
力相互作用である。状態のエネルギーは磁場の様な外部パラメータによって決定されるか
ら、状態間のエネルギーは外部パラメータによって調整可能である。従って上述の様な共
鳴を用いることによって、粒子間の相互作用を外部パラメータによって調整することがで
きる。
2.3.3 Feshbach 共鳴の定式化
Feshbach 共鳴を一般的に定式化する為には、開チャンネルと閉チャンネルの結合を考
えなけらばならない。状態空間を開チャンネルを含む P と閉チャンネルを含む Q に分割
して考える。状態ベクトル |ϕ⟩ は二つの部分空間の射影の和
|ϕ⟩ = |ϕ P ⟩ + |ϕQ ⟩
(2.74)
で書くことができる。ここで |ϕ P ⟩ = P |ϕ⟩、|ϕQ ⟩ = Q |ϕ⟩ であり、P 、Q は二つの部分空間
の射影演算子であり、P + Q = 1, PQ = 0 を満たす。シュレーディンガー方程式は次のよ
うな連立方程式になる。
(E − HPP ) |ϕ P ⟩ = HPQ |ϕQ ⟩
(2.75)
(E − HQQ ) |ϕQ ⟩ = HQP |ϕ P ⟩
(2.76)
ここで、HPP = PH P 、HQQ = QH Q 、HPQ = PH Q 、HQP = QH P 、であり上式を解く
ことに帰着する。
ここでは結果のみを示す [50, 52]。散乱長は共鳴項のエネルギー依存性を考慮して、
| ⟨ϕres |HQP |ϕ0 ⟩
2πℏ2
2πℏ2
a=
abg +
mr
mr
Eth − Eres
(2.77)
と書ける。ここで |ϕres ⟩、 |ϕ0 ⟩ はそれぞれ、共鳴している分子的束縛状態と相対速度 0 の
散乱状態を示す。abg は非共鳴時の散乱長である。上式のエネルギー依存性は Feshbach 共
鳴特有のエネルギー依存性である。
原子間相互作用は状態のエネルギーが外部パラメータに依っているという事実を用いて
調節可能である。ここでは、外部磁場を考える。式 2.77 のエネルギー分母が B = B0 でゼ
ロになるとする。この点の周りで展開すると、
Eth − Eres ∼ δ µ(B − B0 )
δ µ = µ F − µα − µ β
(2.78)
(2.79)
第 2 章 原子間相互作用
24
を得る。ここで µα = −∂ϵ α /∂B, µ β = −∂ϵ β /∂B, µ F = −∂Eres /∂B はそれぞれ開チャンネル
二つの原子の磁気モーメントと分子的束縛状態の磁気モーメントであり、δ µ は束縛状態
と原子対の磁気モーメントの差を示す。従って散乱長は
(
)
∆
a = abg 1 +
(2.80)
B − B0
で与えられる。幅パラメータ ∆ は
∆=
mr | ⟨ϕres |HQP |ϕ0 ⟩ | 2
δµ
2πℏ2 abg
(2.81)
である。
また分子の束縛エネルギーは、
ℏ2
2mr [−abg ∆/(B − B0 )]2
ℏ2
=−
2mr [abg − a(B)]2
Eb = −
(2.82)
(2.83)
のように書ける。
2.3.4 フェッシュバッハ共鳴の性質
前小節では、フェッシュバッハ共鳴について定式化したが、フェッシュバッハ共鳴の性
質を特徴づけるパラメータとして、以下の二つの無次元量を定義する。まず一つは、open
channel におけるバックグラウンドの散乱長 abg を無次元化したもので、mean scattering
length ā(式 2.66)を用いて、
r bg = abg /ā
(2.84)
で定義する。これを dimensionless background scattering length という。尚文献によっては、
r bg = abg /r vdW で定義される場合もあるので注意すること。フェッシュバッハ共鳴のエネ
ルギースケールは、束縛状態と原子対の磁気モーメントの差 δ µ とフェッシュバッハ共鳴
の幅 ∆ を用いて、Γ0 = δ µ∆ で表される。従って共鳴の強さを表す無次元量として、ファ
ンデアワールスエネルギー EvdW (式 2.4)を用いて次のパラメータを定義する。
sres = r bg
abg δ µ∆
Γ0
=
EvdW
ā EvdW
(2.85)
フェッシュバッハ共鳴は sres ≫ 1 であるか、sres ≪ 1 であるかによって大きく二つに分類さ
れる。sres ≫ 1 の共鳴のことを、entrance channel dominated resonance とよび、sres ≪ 1 の
共鳴のことを closed channel dominated resonance と呼ぶ。ここで問題となるのは、フェッ
シュバッハ共鳴近傍で、open channel と closed channel の割合がどの様に変化するかであ
bg
る。フェッシュバッハ共鳴状態 |ϕres ⟩ は、open channel の波動関数 |ϕb ⟩ と closed channel の
2.3. フェッシュバッハ共鳴
25
bg
bg
cl cl
波動関数 |ϕcl
b ⟩ の和で表され、規格化条件は、⟨ϕres |ϕres ⟩ = ⟨ϕb |ϕb ⟩ + ⟨ϕb |ϕb ⟩ = 1 である。
規格化定数として以下の量を導入する。
∫ ∞
cl cl
−2
⟨ϕb |ϕb ⟩ = Nb 4π
r 2 dr |ϕres (r)| 2 = Nb−2
(2.86)
0
Nb−2 は、フェッシュバッハ共鳴近傍での closed channel の割合を示す規格化定数で、closed
√
√
bg
channel fraction といい、Z (B) で表される。共鳴状態は |ϕres ⟩ = Z |ϕb ⟩ + Z − 1 |ϕcl
b⟩と
表される。 Z (B) はある磁場でのフェッシュバッハ分子状態と原子対状態の磁気モーメン
トの差(∂Eb /∂B )によって表すことができる。
Z (B) =
1 ∂Eb δ µ(B)
=
δ µ ∂B
δµ
(2.87)
δ µ(B) = ∂Eb /∂B とおいた。共鳴点近傍では Z (B) は、式 2.4、2.85、2.82、2.87 より、
2
|B − B0 |
sres |r bg |
∆
1 |B − B0 |
=
ζ
∆
1
ζ = sres |r bg |
2
Z (B) =
(2.88)
(2.89)
となる。ζ はフェッシュバッハ分子状態のエネルギー準位がどのくらいの領域で非線形に
変化しているかを示すパラメータで、おおよそ磁場が共鳴点から ζ δ 程度離れると、フェッ
シュバッハ分子状態のエネルギーの変化は直線となる。すなわち Closed channel fraction
がほぼ 1 となり、ほぼ束縛状態 |ϕcl
b ⟩ で表される状態となる。
以上の議論を元にフェッシュバッハ共鳴を特徴づける二つの量である、r bg 及び sres につ
いて再び考える。r bg は非共鳴時の散乱長 abg を ā で規格化したものである。散乱長は式
2.64、2.66 をみれば分かるように、ā 及び位相因子 Φ で書けるから、r bg は open channel
の位相項を示したものであると分かる。一方 sres はフェッシュバッハ共鳴の強さを表すパ
ラメータであるが、式 2.88 を見れば分かるように、ζ を通して Closed channel fraction の
変化に強く影響を与える。
sres ≫ 1 の時(entrance channel dominated resonance)、フェッシュバッハ分子状態は図
2.4 左図の様に、幅 ∆ を超える広い範囲で Z ≪ 1 であり、ほぼ Open channel で記述できる
ことが分かる。 sres は、幅 ∆ に強く依存する為この時の共鳴を broad resonance とも呼ぶ。
一方 sres ≪ 1 の時(closed channel dominated resonance)、フェッシュバッハ分子状態は
図 2.4 右図の様に、幅 ∆ よりも狭い範囲で、すぐに Z ∼ 1 となる。従ってフェッシュバッハ
分子状態はほぼ closed channel で記述できる。こちらは Broad resonance に対して、narrow
resonance とも呼ぶ。
第 2 章 原子間相互作用
26
a
a
Broad
Eb
Eb
abg
B0
Narrow
abg
∆
B0
B
∆
B
ζ∆
ζ∆
傾き δµ
傾き δµ
図 2.4: フェッシュバッハ共鳴近傍での散乱長と束縛エネルギー:
左図が Broad フェッシュバッハ共鳴、右図が Narrow フェッシュバッハ共鳴を示す。
共鳴点から離れることで、 Z が 0 から 1 まで連続的に変化するということは、原子対
から断熱的に分子状態へと変換できるということを示す(フェッシュバッハ会合)。これ
は極低温の分子を作る上で、非常に有用な手段である。フェッシュバッハ会合を行う際に
sres の値は重要となる。すなわち、 sres ≫ 1 であれば、原子対と分子状態の結合が強いた
め断熱条件が満たしやすい。ただし、幅 ∆ を超える広い範囲で Z ≪ 1 である為、完全な
分子状態に変換するのは難しい。これは例えば誘導ラマン遷移等の分子-分子遷移を適用
する際に効率が上がらないといった問題がある。一方 sres ≪ 1 では逆の利点と不利点があ
る。我々が用いてる 41 K-87 Rb は、 sres = 25.8 と sres = 0.81 の共鳴を持っている(後述)。
sres = 0.81 の共鳴は sres ∼ 1 で Broad resonance と Narrow resonance の中間で、分子生成
の実験的には利点、不利点がちょうど良いバランスである。従って本研究でのフェッシュ
バッハ会合の研究は sres = 0.81 の共鳴を用いている。
2.3.5 Feshbach 分子の生成効率
Feshbach 共鳴を用いることによって分子を生成することができるが、分子の寿命が無
視できる状況では、分子の生成効率は以下の要素で決定される。
1. 位相空間密度
2. 断熱条件
3. 空間的重なり(異種原子)
Feshbach 分子の生成効率は磁場スイープによる生成方法において詳しく調べられている
[16]。磁場のスイープが速い条件、すなわち非断熱過程では分子の生成確率は Landau-Zener
の現象論的遷移確率 [56, 57] に従うことが知られている。Landau-Zener の公式から原子状
態 |ϕ0 ⟩ から分子状態 |ϕres ⟩ への遷移確率は以下の様に書ける [52]。
p0,res = 1 − e−2πδ L Z
(2.90)
2.3. フェッシュバッハ共鳴
27
ここで δ L Z は Landau-Zener パラメータと呼ばれ、結合の強さと共鳴を通過する速さを用
いて以下の様に書ける。
| ⟨ϕres |W |ϕ0 ⟩ | 2
δL Z =
(2.91)
ℏ| Ėres |
従ってトラップ中の原子集団から磁場スイープにより分子を生成する場合、生成した分子
の個数を Nmol とすると以下の様に書ける [16]。
Nmol = Nmax (1 − e− β/ Ḃ )
(2.92)
ここで Nmax は十分ゆっくり磁場をスイープした時の分子数の収束値であり、 Ḃ は磁場の
スイープ速さである。Landau-Zener パラメータ 2πδ L Z,trap = β/ Ḃ は、原子集団の平均密度
n、Feshbach 共鳴の幅 ∆、バックグラウンドの散乱長 abg 、 Ḃ 及び定数 α を用いて直感的
に以下の様に書ける。
2πδ L Z,trap = αn∆abg / Ḃ
(2.93)
Landau-Zener の公式に当てはまる振る舞いをする為には値 n/ Ḃ1/e (1/e スイープ速度) は密
度に依存せず一定値になるはずである( Ḃ = Ḃ1/e の時、2πδ L Z,trap = 1 となり、Nmol /Nmax =
63% となる [16])。この値は原子種やフェッシュバッハ共鳴の性質によって決まっており、
85 Rb の 155 G の Feshbach 共鳴において α は実験的に決定され、α = 4.5(4) × 10−7 m2 s−1
と報告されている [16]。
さらに以上の条件は 40 K-87 Rb の実験にてより詳細に調べられている [22]。そこでは、
フェッシュバッハ分子の生成効率 f は、
f = f 0 (1 − e−Γ/ f 0 | Ḃ|
(2.94)
と表されている。f 0 は最大変換効率である。速いスイープでは、f = Γ/| Ḃ| となる。LandauZener パラメータはフェッシュバッハ共鳴のパラメータに依存し、 f は結局 [58]、
f = ⟨n> ⟩ 2π
と表される。ここで
2πℏ ab g∆ mr Ḃ (2.95)
∫
1
⟨n> ⟩ =
n1 (r)n2 (r)d 3r
(2.96)
N<
であり、 N< は 1 原子と 2 原子の内少ない方を示す。式 2.95 は実験結果と良く一致してい
る [22]。
また、三次元光格子の各サイトの基底状態に原子が二つずつ入っていると仮定すると
Landau-Zener パラメータは、理論的に求めることができ、
√
6ℏ abg ∆ (2.97)
δ L Z,Lattice =
πma3ho Ḃ √
となる [59]。ここで a ho = ℏ/mω ho であり、m は換算質量 ω ho は光格子の各サイトのト
ラップ周波数である。これは既に実験的に確かめられている [25]。
磁場スイープによる断熱条件は以上の式から見積もることができる。十分ゆっくりな
磁場スイープでは、変換レート Nmol /N は Nmax /N に収束する。それでは収束値は、何に
28
第 2 章 原子間相互作用
よって決まるのであろうか。これは、密度が非常に高い状況等 [60, 61, 62] を除いて位相
空間密度のみで決まると考えて良いということが分かっている [16]。これは断熱過程で
は、原子対の波動関数は滑らかに変化していくが、位相空間における位置は変化しない
為、断熱過程が開始された時に位相空間上で十分近いところにある原子対のみが分子にな
ると考えることで理解できる。Monte Calro シミュレーションによるとその距離はボゾン
では 0.44h、フェルミオンでは 0.38h 程度である [16]。この観点から考えると縮退状態で
は、断熱条件を満たしている限りは分子の変換効率は 100% となる。また光格子の各サイ
トの基底状態に原子を二つずついれることで理論的には 100% の変換効率が得られると考
えられる。実際に 87 Rb2 の系三次元光格子を用いることで 100% に近い変換効率が達成さ
れている [25]。
磁場スイープによる Feshbach 分子の生成方法の他に近年 RF 会合による Feshbach 分子
の生成が行われている [24, 63]。RF 会合は、高速に分子を観測でき、かつ束縛エネルギー
を正確に測定する手法として有用である。RF 会合による分子の生成効率は、照射する RF
の周波数をスイープすることにより断熱過程となり、磁場スイープによる時と同様の手
法で生成効率を評価できることが確かめられている [63]。この場合の Landau-Zener パラ
メータの分子はラビ周波数となる為、照射する RF の強度及び原子状態と分子状態の波動
関数の重ね合わせの程度に依存すると考えられる。実際に RF 会合時の磁場での原子状態
と分子状態の波動関数の関数の重ね合わせを計算し、生成効率を評価した実験が行われて
いる [24, 64]。
また、RF 会合による方法に似た方法として Feshbach 磁場自体に変調をかけることによ
り、分子を生成するといった手法があり [65, 66]、理論的にも研究されている [67]。分子
の生成効率は、原子ペアの相対運動エネルギーに依存する。
以上の要素の他に異種原子の場合には、重力サグによって原子雲の重なりが減少する
為、それも生成効率に関わってくることが知られている [68, 63]。
2.3.6 Feshbach 分子の寿命
Feshbach 分子は浅く束縛された分子であるので、低エネルギー側に多数の振動状態を
持っている。従って衝突の際に振動緩和により、下の振動状態に移ると同時に、束縛エ
ネルギーの差分の分だけ運動エネルギーを得て、トラップから外れていってしまう。従っ
て、Feshbach 分子の寿命は非常に短くなる。40 K と 87 Rb の分子の場合、寿命は 100 ms 程
度であるが [69]、我々の使用する原子はボソンの為更に短くなる可能性がある。Na2 の
Feshbach 分子の場合、特定の状況下において寿命が 106 µs になるという報告がある [23]。
単純には比較できないが、寿命が非常に短くなる可能性がある。
三次元光格子による長寿命化
フェッシュバッハ分子を長寿命化する方法に三次元光格子を用いる方法がある。これは
三次元光格子の各サイトに分子を一つずつ入れることによって分子を衝突から保護する方
法である。実際に 87 Rb2 の系で三次元光格子を用いることにより、分子の長寿命化が成功
している [25]。この時の分子の寿命は原子もしくは分子のトンネリングレートによって決
2.3. フェッシュバッハ共鳴
29
まる。光格子を十分高くし、さらに原子を吹き飛ばすことによって 700 ms 以上の寿命を
得ている。ボゾンの場合モット絶縁体状態にすることで強くトンネリングを抑制すること
ができると期待される。
2.3.7
41 K87 Rb の Feshbach 共鳴
ここでは、本研究で用いる 87 Rb と 41 K の Feshbach 共鳴の特性について説明する。本研
究では 87 Rb、41 K 共に |F = 1, m F = 1⟩ 状態を用いることにした。この共鳴の利点は以下
のとおりである。
1. 原子の基底状態であり、混合系において 2 体の非弾性散乱がなく安定である。
87 Rb |1, 1⟩
+41 K |1, 1⟩ から他の状態への散乱チャンネルは存在しない。
2. Feshbach 共鳴点が実験的に比較的アクセスしやすい位置にある。
87 Rb |1, 1⟩ −41
K |1, 1⟩ の Feshbach 共鳴は、G. Thalhammer らの先行研究によって観測され
ている [70, 52, 71]。図 2.5 に 87 Rb |1, 1⟩ と 41 K |1, 1⟩ の間の散乱長の理論計算を示す [72]。
これらの先行研究の結果から、100 G 以下の領域では、35 G 付近に幅 37 G 程度の幅の広
い共鳴があり、79 G 付近に幅 1.2 G 程度の幅の狭い共鳴がある。表 2.1 にフェッシュバッ
ハ共鳴の性質をまとめる。参考の為、同位体である 40 K|F = 9/2, m F = −9/2⟩-87 Rb |1, 1⟩ 間
のフェッシュバッハ共鳴についても、載せておく。 B̄ は、散乱長が 0 となる磁場であり、
その時の散乱長の変化率 da/dB を示した。尚多くの原子種のフェッシュバッハ共鳴の性質
については文献 [73] にまとめられており便利である。
また、表 2.2 に 87 Rb と 41 K の散乱長をまとめる。87 Rb と 41 K の BEC を混合させる為に
は、相互の散乱長を 0 付近に調整する必要がある。これについては、次章で詳しく述べる。
表 2.1: K-Rb 間の Feshbach 共鳴:
72] を 40 K-87 Rb の共鳴は文献 [74, 72] を参照した。
41 K-87 Rb の共鳴は文献 [66,
Species
41 K87 Rb
40 K87 Rb
B0 (G)
∆ (G)
abg (a0 )
B̄ (G)
38.4
78.67
546.9
37
1.2
-3.10
284
284
-189
72.18
87.19
da
dB
(a0 /G)
16.8
8.9
δ µ (µB )
sres
r bg
ζ
1.65
1.59
2.30
25.8
0.81
1.96
4.11
4.11
-2.75
53.0
1.66
2.70
第 2 章 原子間相互作用
30
0
10
20
30
40
50
60
B (G)
70
80
90
100
(a) 0~100 G
2000
Scattering lentgth (a 0)
1500
1000
500
0
-500
-1000
-1500
-2000
60
64
68
72
76
B (G)
80
84
88
(a) 60~90 G
図 2.5:
41 K |1, 1⟩ と 87 Rb |1, 1⟩ の Feshbach 共鳴:(a)0
表 2.2:
41 K、87 Rb の散乱長
State
87 Rb |2, 2⟩
∼ 100 G(b)60 ∼ 90 G
+87 Rb |2, 2⟩
41 K |2, 2⟩ +41 K |2, 2⟩
87 Rb |2, 2⟩ +41 K |2, 2⟩
87 Rb |1, 1⟩ +87 Rb |1, 1⟩
41 K |1, 1⟩ +41 K |1, 1⟩
87 Rb |1, 1⟩ +41 K |1, 1⟩
Scattering length (a0 )
Ref.
109 ± 10
25 < a < 60
163+57
−12
100.4
60 ± 2
abg = 284a0
[75]
[76]
[77]
[78, 79]
[80]
[72, 70]
2.4. 小数多体系
31
2.4 小数多体系
本節では、小数多体系の問題特に三体問題について記述する。前節までは二体の問題に
ついて議論し、二体の低エネルギー散乱は散乱長 a によって特徴づけられるということを
みた。さらに散乱チャンネル間の結合がフェッシュバッハ共鳴を出現させ、それによって
散乱長 a が外場によって +∞ から −∞ まで変化され得ることをみた。冷却原子気体の振る
舞いのほとんどは、平均原子間距離が散乱長 a より十分大きいため二体の相互作用によっ
て記述できる。しかし原子の冷却・トラップ技術の向上により、より高密度な原子気体が
得られる様になってきた。さらにフェッシュバッハ共鳴によって散乱長の絶対値が大きく
なると、三体以上の非弾性の衝突の影響がより顕著に表れてくる。三体以上の非弾性の衝
突は原子のトラップからのロスにつながる為冷却原子の実験を行う上で、その振る舞いを
調べることは重要である。さらに、1970 年のエフィモフ(V. Efimov)の予言 [27] により
三体問題自体がより注目されるようになった。すなわち、フェッシュバッハ共鳴近傍のよ
うな粒子間の相互作用が共鳴状態にあるとき、三体の束縛状態が普遍的に表れるといった
予言である。この三体の束縛状態のことをエフィモフ状態と呼び、エフィモフ状態は実際
に冷却原子の系において観測され [12]、実在が証明された。エフィモフ状態の性質は原子
の三体ロスを調べることで明らかにすることができる。
以下では、エフィモフ状態の理論的背景と冷却原子の系における実験の進展状況につい
てまとめる。
2.4.1 二体問題の普遍性
有効レンジ展開
第 2.2.3、2.2.4 節の議論により、低エネルギー極限 (k → 0) での散乱振幅は散乱長 a の
みで表されることが示された。しかし、これはフェッシュバッハ共鳴近傍の様に、散乱長
a の絶対値が無限大に発散するようなところでは修正を受ける。なぜなら ka の値が有限
値になり、これの影響も無視できなくなるからである。従って、共鳴付近での散乱を記述
できるように理論を以下の様に修正する。
s 波の散乱振幅は位相のずれ δ0 を用いて式 2.34 より以下の様に書ける。
f 0 (k) =
1
k (cotδ0 − i)
(2.98)
k が有限値の時、位相のずれ δ0 (k) は k 2 のべきで展開できる [81]。よって
1
1 1
≡ −kcotδ0 (k) = − r s k 2 + O(k 4 )
a(k)
a 2
(2.99)
と展開できる [43]。ここで、r s は s-wave での有効レンジ(effective range)と呼び、この
展開を有効レンジ展開(effective range expansion)と呼ぶ [43]。従って散乱振幅 f 0 (k) は
第 2 章 原子間相互作用
32
以下の様に書ける。
f 0 (k) = −
1
a(k) −1
+ ik
1
= − −1
a − r s k 2 /2 + ik
k の高次の項は無視した。この時散乱断面積 σ(k) は式 2.21 の定義より、
∫
σ(k) =
| f 0 (k)| 2 dΩ
∫ 2
1
dΩ
− −1
=
2
a [− r s k /2 + ik ( ( ) 2 )]
4πa2
r s a2 k 2
rs
=
1
+
+
O
a 1 + a2 k 2
a
1 + k 2 a2
(2.100)
(2.101)
(2.102)
(2.103)
(2.104)
となる。ここで k ≪ 1/|r s | を仮定した。式で見るように、散乱振幅及び散乱断面積は有効
レンジ r s に依存する。有効レンジは相互作用の詳細によって決まっており、その意味で
k が有限値の時、散乱断面積は普遍的に書けない。しかし次の二つの極限では有効レンジ
の影響を無視できる。[43]。
1. resonant limit: |a| → ∞ with r s fixed.
2. scaling limit: r s → 0 with a fixed.
どちらの極限でも、r s /|a| のべきで表される項は 0 に近づき、散乱断面積 σ(k) は相互作
用の詳細に寄らない普遍的な形で表されるようになる。式 2.100 より、散乱振幅は
f 0 (k) = −
a−1
1
+ ik
(2.105)
式 2.104 より散乱断面積は、
4πa2
(2.106)
1 + k 2 a2
となる。1 の状況を resonant limit もしくは unitary limit と呼ぶ。この極限では、散乱長 a
は長さスケールとして機能しなくなり、散乱断面積は 4π/k 2 に飽和する。これは s 波の散
乱断面積の最大値であり、散乱振幅の保存則に由来する(式 2.30)。
一方 2 の状況を scaling limit もしくは zero-range limit と呼ぶ。この極限では a が有限値で
あるので、節 2.2 で議論したような低エネルギー極限が良く成り立つ。散乱断面積は 4πa2
となり a のみに依存する(式 2.47)。この極限では二体の観測量に関して、次の continuous
scaling symmetry が成り立つことが知られている。すなわち、散乱長 a、座標 r、時間 t に
関して正の実数 λ を用いて、
σ(k) =
a → λa, r → λr, t → λ 2t
の変換に対して、二体の観測量は λ のべきで変換される。
(2.107)
2.4. 小数多体系
33
理論的解析手法
上記の様な極限的状況では系の振る舞いは相互作用の詳細に寄らない。scaling limit で
は、散乱長 a に相互作用の影響が全て集約されている。即ち、散乱長 a を与えるどのよう
な相互作用を考えても結果は同じということである。このような問題を考える上でいくつ
かの理論的手法がある。
一つ目は束縛条件による方法(boundary condition method)である。これは相互作用の
及ぶ範囲より十分遠方では自由粒子のシュレーディンガー方程式を考え、一方短距離の波
動関数と接続できるように束縛条件を定める方法である。すなわち短距離では波動関数が
ある長さ r 0 において、
rΦ(r)|r→r0 = C(r 0 − a)
(2.108)
となるような条件である。これは、
d
1
log[rΦ(r)]
=
(2.109)
dr
r→r0 r 0 − a
の条件と等価である。r 0 → 0 とすることで scaling limit(zero range limit)での束縛条件は、
d
1
log[rΦ(r)]
=−
(2.110)
dr
a
r→0
となる。式 2.110 のことを Bethe-Peierls の条件と呼ぶ [82]。
二つ目の方法は、擬ポテンシャルによる方法(Pseudopotential method)である。すなわ
ち散乱長 a が同じになる様なモデルポテンシャルを考える方法である。擬ポテンシャルと
して、次の Huang- Yang の擬ポテンシャル [83] がある。
2πℏ2 a 3
∂
δ (r)
mr
∂r
式 2.111 のポテンシャルで、シュレーディンガー方程式を書くと、
VHY (r) =
∂
ℏ2
2πℏ2 a 3
∂
Φ(r) = H Φ(r), H = −
∆+
δ (r)
∂t
2mr
mr
∂r
となり、これは式 2.107 の変換に対して不変である。
iℏ
(2.111)
(2.112)
2.4.2 The shallow dimer
scaling limit では、shallow dimer 状態が普遍的に現れる。"shallow"の意味は短距離相互
作用のエネルギースケールよりも十分小さい束縛エネルギー E D を持つという事である。
束縛状態は、a > 0 の時一つ持ち、a < 0 の時存在しない。束縛状態の解は、正の波数 κ
を用いて
e−κr
Φ(r) = C
(2.113)
r
と書ける。 κ が十分小さい時、波動関数は式 2.108 の形に漸近するはずなので、束縛状態
の波動関数、および束縛エネルギーは、
1
ℏ2
Φ(r) = e−r/a , ED = −
r
2mr a2
となる。
(2.114)
第 2 章 原子間相互作用
34
2.4.3 エフィモフ効果
前小節の様な、2 粒子の相互作用が共鳴状態にある時、エフィモフ状態と呼ばれる三体
束縛状態が普遍的に現れる [27] ことは、節の冒頭で述べたとおりである。この現象の事
をエフィモフ効果(Efimov effect)と呼ぶ。
エフィモフ効果に密接に関連する現象として、トーマス効果(Thomas Effect)があり、
これは 1935 年にトーマス(Thomas)によって理論的に導かれた [84]。トーマスは一つの
束縛状態を持ち(束縛エネルギー E2 )、深さ V0 で有効レンジ r 0 の二体の相互作用をもつ
粒子について考えた。この時 r 0 → 0、V0 → ∞、E2 : fixed の条件で定義される zero-range
limit を考えた。彼はこの条件の元で、三体問題を解き、最も深い三体束縛状態の束縛エ
ネルギー ET が負の無限大に発散するという異常な結果を導いた。これは、たった一つの
束縛状態をもつ二体の相互作用が、無限に大きい三体の束縛状態を作り出すという意味で
直観に反する結果である。この効果をトーマス効果という。
トーマス効果の異常な結果は、zero-range limit を多体の問題に安易に適用してはいけな
いということを示している。何故なら相互作用のレンジが r 0 で表される時、そのエネル
ギーは ℏ2 /2mr 02 の様にスケールする。従って zero-range limit を適用するということは無
限に大きいエネルギーを考えるということになるからである。すなわち相互作用の詳細が
三体の束縛エネルギーに影響を与えているという事である。
3 体問題を考える上で以上のような状況を回避する為には、散乱長 a 以外の新たな三体の
束縛条件を導入する必要がある。これは、式 2.110 の Bethe-Peiels の束縛条件と似た形で、
d
log[R f (R)]
=Λ
(2.115)
dR
R=R0
2 2
2
2
(r 12 + r 23
+ r 31
)
(2.116)
3
と表される [29]。ここで R は hyper-radius といい、三粒子の全体のサイズを示す。 f (R) は、
hyper-radius に関する波動関数である。Λ を三体パラメータと呼び、これが三体の散乱を
支配する新たなパラメータである。
エフィモフは式 2.115 の元、様々な三体問題に関する普遍的な現象を示した [27, 29, 85]。
散乱長 a が大きい極限では、三体束縛状態の繰り返し構造が現れ、resonant limit ではその
数は無限大に発散する。resonant limit での周期構造は、
R2 =
ET(n+1) /ETn = e−2π/s0
(2.117)
で表され、ボソンの同種原子の場合 s ∼ 1.00624 と原子種によらない定数となる。他にも
様々な三体の観測量が e π/s0 のべきで表される、離散的スケーリング則が成り立つことが
示された。より詳細な議論を文献 [43] に沿って、次小節以降に示す。
2.4.4 基礎方程式
三体問題を解くには、次の定常状態のシュレーディンガー方程式を解けば良い。
2 ∑
*− ℏ
∆i + V (r1 , r2 , r3 ) + Ψ(r1 , r2 , r3 ) = EΨ(r1 , r2 , r3 )
2m
,
i=1
3
(2.118)
2.4. 小数多体系
35
ここで相互作用 V (r1 , r2 , r3 ) は、二体の相互作用の和で置き換える、
V (r1 , r2 , r3 ) = V (r 12 ) + V (r 12 ) + V (r 12 )
(2.119)
ここで ri j = ri − r j は相対座標を示す。V (ri j ) としては、Huang-yang の擬ポテンシャル(式
2.111)を使っても良い。なぜなら相互作用の詳細は、散乱長 a と三体パラメータ Λ に束
縛条件を通して、集約されるからである。
三体問題を解く上で次のヤコビ座標(Jacobi coordinate)、Hyper-radius、Hyper-angle を
導入すると便利である。ヤコビ座標は、
ri j = ri − r j
1
ρ k,i j = r k − (ri + r j )
2
(2.120)
(2.121)
で表される(図 2.6)。また次の hyper-radius、hyper-angle を導入する。
2 2
4
2
2
R2 ≡ [r 12
+ r 23
+ r 31
] = ri2j + ρ2k,i j
3
3
√
3ri j +
α k = arctan *
, 2r k,i j -
(2.122)
(2.123)
本論文では hyper-radius の定義にエフィモフと同じ定義を用いた [27]。逆にヤコビ座標は
hyper-radius、hyper-angle を用いて
ri j = Rsin α k
√
3
ρ k,i j =
Rcos α k
2
(2.124)
(2.125)
と表される。hyper-radius は三体の全体の大きさを特徴づける。一方 hyper-angle は粒子の
相対的な位置関係を示す。図 2.7 に hyper-angle の様子を示した。
3
ρ3,12
r12
1
図 2.6: ヤコビ座標の例
2
第 2 章 原子間相互作用
36
3
3
2
1
1
2
α3∼0
α3∼π/2
図 2.7: hyper-angle の例
hyper-radius、hyper-angle を用いるとシュレーディンガー方程式 2.118 は以下の様に書
き換えられる。
Λ2
*TR + Tα + k,i j + V (R, Ω) + Ψ(R, Ω) = EΨ(R, Ω)
(2.126)
k
2
mR
,
[
]
ℏ2
1 ∂2
15
TR = −
+
R5/2
m R5/2 ∂R2 4R2
[ 2
]
1
∂
ℏ2
− 4 sin(2α)
Tα = −
mR2 sin(2α) ∂α 2
L2k,i j
Li2j
2
Λk,i j =
+
sin2 α k cos2 α k
(2.127)
(2.128)
(2.129)
Ω は、(α k , ri j , ρ k,i j ) の組を示す。ここで、TR は hyper-radius に関する運動エネルギー演算
子、Tα は hyper-angle に関する運動エネルギー演算子、Λ2k,i j は一般化された角運動量演算
子であり、Li j 、L k,i j はそれぞれ ri j 、 ρ k,i j に関する運動量演算子である。
式 2.126 の三体の運動方程式を解く上で、二体問題の時に動径方向の運動と回転運動を
分離して解くのと同様にと同様に hyper-radius に関する運動方程式と他の自由度に対する
運動方程式を分離するのが便利である。三体問題の場合には一般的にはそのような分離は
できないが、もし仮に以下の様に波動関数を展開した時、
Ψ(R, Ω) =
1 ∑
f n (R)Φn (R, Ω)
R5/2 n
(2.130)
式 2.126 は、hyper-angle に関するシュレーディンガー方程式


Λ2
Tα + k,i j + V (R, Ω)  Φ(R, Ω) = Vn (R)Ψ(R, Ω)
 k mR2

(2.131)
及び、hyper-radius に関するシュレーディンガー方程式
]
[ 2(
)
]
∑[
∂2
15
ℏ
∂
− 2 + 2 + Vn (R) f n (R) +
+ Wnm (R) f m (R) = E f n (R)
2Unm (R)
m
∂R
∂R
4R
m
(2.132)
2.4. 小数多体系
37
で書き換えられる。ここで Unm (R) 、Wnm (R) は結合ポテンシャルで
∫
ℏ2
∂
Unm (R) = −
dΩΦn (R, Ω) ∗ Φm (R, Ω)
m
∂R
∫
2
ℏ
∂2
Wnm (R) = −
dΩΦn (R, Ω) ∗ 2 Φm (R, Ω)
m
∂R
となる。 Hyper-angle 関数 Φ(R, Ω) は、
∫
dΩΦn (R, Ω) ∗ Φm (R, Ω) = δ nm
(2.133)
(2.134)
(2.135)
を満たす。積分は、
∫
∫
dΩ =
∫
∫
π/2
2
dα k sin (2α k )
dΩi,j
dΩk,i j
(2.136)
0
で実行される。
式 2.131、2.132 は分離が完全でない為解くのは難しいが、adiabatic hyperspherical approximation を適用すると、それぞれの方程式に分離することができる [86]。これは、Φ(R, Ω)
が R に対して十分ゆっくり変化しているという近似で、これを用いると Unm (R) 、Wnm (R)
は 0 に近似でき、式 2.131 と式 2.132 を独立に解くことができるようになる。以下この近
似の元で、それぞれの式について見ていく。
2.4.5 hyper-angle equasion
Faddeev equation
式 2.131 を解くために次の Fadeev decomposition を行う [87]。
Φn (R, Ω) = χ n (R, α 1 , r23 , ρ 1,23 ) + χ n (R, α2 , r31 , ρ 2,31 ) + χ n (R, α3 , r31 , ρ 3,12 )
(2.137)
下位構造の角運動量が 0 の項だけを考える、即ち χ n = χ n (R, α) と書ける場合のみを考え
る。実際そのような状態が支配的である。結局式 2.131 は以下の様に書き換えられる。
Tα1 χ n (R, α1 ) + V (r 23 )[ χ n (R, α 1 ) + χ n (R, α2 ) + χ n (R, α3 )] = Vn (R) χ n (R, α1 )
(2.138)
ここで V (r 23 ) = V (Rsin α3 ) は Huang-yang の擬ポテンシャルである(式 2.119)。従って、
これは α3 = 0 で有限値をとる。従って相互作用なしの方程式と束縛条件に置き換えられ
る。従って式 2.138 は、
−
∂2
sin 2α χ n (R, α) = λ n (R)sin 2α χ n (R, α)
∂α 2
(2.139)
と、α = 0 での束縛条件と等価である。ここで
Vn (R) =
ℏ2
(λ n (R) − 4)
mR2
(2.140)
第 2 章 原子間相互作用
38
とした。 λ n (R) = −s2n (R) と置くと、式 2.139 の解は、
1
[c1 sinh(s n (R)α) + c2 cosh(s n (R)α)]
(2.141)
sin 2α
となる。適用すべき束縛条件は二つある。まず一つは、α = π/2 で解が発散しないように
することである。これにより、c1 , c2 の比率が決まり、解は
[
(π
)]
C
χ n (R, α) =
sinh s n (R)
−α
(2.142)
sin 2α
2
となる。もう一つの束縛条件は、式 2.138 の相互作用ポテンシャルが α = 0 で有限値をと
ることによるものである。式 2.142 を式 2.138 に代入し、α3 = −0、α 1 = α 2 = π/3 とする
ことで、以下の超越方程式を得る [29, 43]
[
[
[
8
π]
π]
R
π]
sinh
s
(R)
−
s
(R)cosh
s
(R)
=
−
sinh
s
(R)
(2.143)
√
n
n
n
n
6
2
a
2
3
χ n (R, α) =
R/a → 0 としたとき、一つの実数解を持ち s0 ∼ 1.00624 となる。また無限の数の純虚数
の解を持ち、 s1 = ±4.5i, s2 = ±6.8i, .... となる。実数解は引力ポテンシャルを示し、純虚
数解は斥力ポテンシャルを示す(式 2.140)。これによって動径方向のシュレーディンガー
方程式が決定され、エフィモフ状態が出現することになる。以下ではそれについて見る。
2.4.6 hyper-radial equation
Vn (R) の具体的な形が分かったので、式 2.132 は adiabatic hyperspherical approximation[86]
の元で |a|/R → 0 の時以下の様に書ける。

s20 + 1/4 
ℏ2  ∂ 2
 f 0 (R) = E f 0 (R)
−
(2.144)
2
m  ∂R2

R

これの解は、変形ベッセル関数 Kn を用いて、
√
f (R) = (x)Kis0 (x)
(2.145)
√
となる。ここで x = κR = m|E|/ℏ2 R エネルギースケールの hyper-radius である。これは
小さい x に対して、次の漸近形をもつ。
(
)
]
[
(x)
1
Γ(is0 ) + 1)
Kis0 (x) x→0 = sin s0 ln
− ∆ , ∆ = arg
(2.146)
2
2
Γ(−is0 + 1)
この関数は、スケール変換 x → xenπ/s0 , (n : integer) に関して不変である。これはエフィ
モフ状態の離散的スケーリング則を導いている。束縛条件、式 2.115(三体パラメータ Λ
の定義)を適用すると、無限の数の三体の束縛状態が現れ、
√
(
)
( [
(
)
])
2
nπ
1
ΛR0 − 3/2
m|En |
=
exp −
exp
arccot
+∆
(2.147)
|κ n | =
R0
s0
s0
s0
ℏ2
となる。n は任意の整数である。束縛エネルギーは、離散的スケーリング則を満たし、
|En |
2π
= exp( )
(2.148)
|En+1 |
s0
となる。以上の議論は resonant limit のみで成り立つが、エフィモフ状態の重要な特徴を
表している。
2.4. 小数多体系
39
2.4.7 三体パラメータ
前小節の議論により resonant limit での三体の束縛エネルギーは
En = −(e−2π/s0 ) n−n∗
ℏ2 κ 2∗
, n∈Z
m
(2.149)
と書ける。 κ ∗ はある整数 n∗ での波数を示す。離散的スケーリング則により、 κ ∗ が一つ決
まれば、無限の数の全ての束縛エネルギーが決定される。従ってその意味で κ ∗ は三体パ
ラメータ Λ と等価であり、 κ ∗ も三体パラメータと呼ぶ。
式 2.149 を見ると、n → −∞ とすると束縛エネルギーが負の無限大に発散するという
異常な振る舞いを示してしまう。これは 2.4.3 で紹介したトーマス効果に由来するもので
ある。この状況は R0 → 0 とすると起きる現象である。二体の有効レンジ r 0 に対して、
R0 ≳ r 0 となるはずである。従って基底状態の束縛エネルギーは ∼ ℏ2 /mr 02 となり、その時
R = R0 、 κ 0 = κ ∗ とすれば、
ℏ2 κ 2∗
En = −e−2πn/s0
, n ∈ Z, n ≥ 0
( m[
(
)
])
1
ΛR0 − 3/2
2
|κ ∗ | =
exp
arccot
+∆
R0
s0
s0
(2.150)
(2.151)
となり、 κ ∗ は基底状態のエネルギーを表し、通常はこの定義を用いる。
AAA
AAA
E
1/a-
AD
1/a*
1/a
T
AD
図 2.8: エフィモフ状態の模式図:AAA は三原子状態、AD は原子+分子状態、T は三体束
縛状態を示す
resonant limit では無限の三体束縛状態が存在する。これは式 2.143 が R の値に関わらず
常に、実数解 s0 を持ち、1/R2 に比例する引力相互作用が存在することに由来する。a が
第 2 章 原子間相互作用
40
有限値の時 s n (R) は R に依存し、 R ≳ |a| の時引力相互作用がなくなり、斥力相互作用と
なる。従って三体束縛状態の数は有限値となり、その数はおおよそ
N∼
s0
log(κ ∗ |a|)
π
(2.152)
となる [27] ことが知られている。これは、resonant limit から離れていくと三体束縛状態が、
a < 0 ならば三粒子の自由粒子の状態へと解離していき、a > 0 ならば原子と分子(shallow
dimer:節 2.4.2)状態に解離していき、束縛状態の数が減っていくことを示す。resonant limit
の周りでのエフィモフ状態の振る舞いを図 2.8 に示す。離散的スケーリング則は、resonant
limit から離れても成り立つ。三体の観測量は、以下の変換に関して λ 0 = e π/s0 のべきで変
換される。
κ ∗ → κ ∗ , a → λ 0n a, r → λ 0n r, t → λ 2n
(2.153)
0 t,
図 2.8 で示す様に、resonant limit 近傍では等比級数の構造が現れる。この構造は三体パラ
メータ κ ∗ が決まることによって、一意に決まることになる。従って、 κ ∗ 以外の構造を決
定づけるパラメータは三体パラメータとして等価である。図 2.8 で示す様に、基底状態の
エフィモフ状態と三粒子状態及び原子・分子状態の交点での散乱長をそれぞれ a− 、a∗ と
よび、これらも三体パラメータと呼ぶ。三体パラメータの間には次の関係がある [43]。。
−1
a− ≃ −1.56κ −1
∗ , a∗ ≃ 0.0708κ ∗
(2.154)
2.4.8 エフィモフ状態の観測
エフィモフ状態は冷却原子の系において初めて観測された。観測方法として原子の三体
衝突によるロスの観測と、原子・分子の二体衝突によるロスの観測が主にある。以下では
それについて説明する。
原子の三体衝突によるロス
三体衝突では、三原子が衝突し二原子分子と原子を形成する。その際束縛エネルギーの
分だけ運動エネルギーを獲得する為、トラップから外れて原子のロスにつながる。散乱長
が負(a < 0)の領域では終状態の分子としては ℏ2 /mr 02 程度かそれ以上の束縛エネルギー
を持った強く束縛された分子(deep dimer)のみが存在し、一方散乱長が正(a > 0)の場
合は束縛エネルギー E D = ℏ2 /ma2 の浅く束縛された分子(shallow dimer)も終状態とし
て存在する。従ってそれらのロスチャンネルへの遷移確率を求めれば、三体衝突がどの程
度起きるかが分かる。
三体衝突の頻度は同一原子の場合、一般に以下の式に現れる三体ロス係数 L 3 で表さ
れる。
)
(
d
(2.155)
nA
= −3L 3 n3A
dt
Three−body
n A は原子の密度である。式で表されるように三体衝突による原子のロスは密度の3乗に
比例し、同時に 3 個の原子がロスすることになる。その比例係数のことを三体ロス係数
2.4. 小数多体系
41
L 3 と呼ぶ。本論文では原子の統計性は三体ロス係数に含まれているものとする。従って
ボソンの同一原子の場合、縮退状態の原子集団と熱的原子集団では、因子6だけ三体ロス
係数が異なることになる。以下三体衝突係数が共鳴近傍で即ちエフィモフ状態が存在する
領域でどのように振る舞うか考える。
a<0
E
R
+ +
+
図 2.9: 三体衝突の模式図(散乱長負)
a < 0 の時の三体衝突の様子を図 2.9 に示す。a < 0 では終状態は deep dimer のみであ
る。まず充分遠方にある原子は R ∼ |a| 程度のところで、斥力ポテンシャル
ℏ2 λ(λ + 4) + 15/4
m
R2
(2.156)
にぶつかる。λ は角運動量の固有値である。ボソンの同一原子の場合 λ = 0 の最低角運動
量状態 λ = 0 は、ほとんどトンネルする [88]。その後、r 0 < R < a の領域では普遍的な引
力ポテンシャル、
2
ℏ2 s0 + 1/4
(2.157)
−
m R2
に接続する。ポテンシャルが 1/R2 に比例する領域では、hyper-radius の波動関数はベッセ
ル関数で表される。その後 R ≃ r 0 の領域は非普遍的なポテンシャルが存在する。ここで強
い斥力ポテンシャルがあり、原子は跳ね返されることになるが、その時一部は deep dimer
へと緩和する。R ∼ r 0 付近での波動関数の振幅が始状態と終状態にどれだけあるかが緩和
の頻度を決めることになるが、実際大きな振幅が R ∼ r 0 の短距離の領域に存在すること
が知られている [89]。この緩和の頻度は短距離ポテンシャルの詳細を含んでいる為、厳密
第 2 章 原子間相互作用
42
に解くのは難しいが、これをパラメータ η ∗ で表すことで、三体衝突係数を計算すること
ができる [43]。η ∗ は三体衝突の短距離ポテンシャルの詳細を集約しているという意味で、
三体パラメータに類するものである。しかしこれはその他の三体パラメータ( κ ast , a∗ , a− )
とは別に決定されるものであるため、他とは区別し η ∗ を非弾性パラメータと呼ぶ。非弾
性パラメータを用いて、そのまま三原子状態に跳ね返ってくる割合を e−4η ∗ で表す。即ち
緩和の割合は 1 − eη ∗ となる。
ボソンの同一原子の a < 0 での三体ロス係数は結局
L3 =
ℏa4
sin2 [s0 ln(a/a− )] + sinh2 η ∗ m
4590sinh(2η ∗ )
(a < 0)
(2.158)
となる [43]。三体ロス係数の散乱長依存性を図 2.10 に示した(後述)。式 2.158 を見れば
分かる様に三体ロス係数は大きな傾向としては、散乱長 a の4乗に比例する。そして、分
母に、sin2 [s0 ln(a/a− )] の項があることにより、a = a− において共鳴的にロス係数が増大
することが分かる。対数の依存性により a−(n) = enπ/s0 a− ≃ 22.7n a− の散乱長において共鳴
を観測できる。即ちエフィモフ状態と三原子状態の交点での共鳴を観測することで、エ
フィモフ状態の存在を直接的に確認することができる。η ∗ は共鳴の鋭さを決定する。実
験により a− 、η ∗ を決定することが重要となる。
同様に a > 0 での三体ロス係数の振る舞いについても知られている。a > 0 では、緩和
先が shallow dimer と deep dimer の二つがあるが、それぞれの三体ロス係数は、
√
128π 2 (4π − 3 3)(cos2 [s0 ln(aκ ∗ ) + γ] + sinh2 η ∗ ) ℏa4
shallow
L3
=
(2.159)
m
sinh2 (πs0 + η ∗ ) + sin2 [s0 ln(aκ ∗ ) + γ]
√
128π 2 (4π − 3 3)cosh(πs0 )coshη ∗ sinhη ∗
ℏa4
deep
(2.160)
L3 =
sinh(πs0 )(sinh2 (πs0 + η ∗ ) + sin2 [s0 ln(aκ ∗ ) + γ]) m
となり、γ は定数である [43]。通常三体パラメータとして a+ を定義して、
s0 ln(aκ ∗ ) + γ = s0 ln(a/a+ )
(2.161)
deep
を満たすようにする。すると L 3 (a > 0) = L shallow
+ L 3 より、
3
(
sinh2 (πs0 )(cos2 [s0 ln(a/a+ )] + sinh2 η ∗ )
L 3 = Cmax
sinh2 (πs0 + η ∗ ) + sin2 [s0 ln(a/a+ )]
)
cosh(πs0 )sinh(πs0 )coshη ∗ sinhη ∗ ℏa4
+
sinh2 (πs0 + η ∗ ) + sin2 [s0 ln(a/a+ )] m
√
128π 2 (4π − 3 3)
Cmax =
, a>0
sinh2 (πs0 )
(2.162)
(2.163)
となる [43](図 2.10)。これは大まかな傾向としては a4 に比例し、a < 0 と等しい振る
舞いを示すが a < 0 と違い、a+ において極小値をとる関数になる。a+ ≃ 0.32κ −1
∗ となり
n
n+1
n
[43]、a∗ と a∗ の間に a+ が存在する。関係式 2.154 より、
a−(n) ≃ −4.9a+(n) ,
a−(n) ≃ −22a∗(n)
の関係が成り立つ。η ∗ は a < 0 と同様に共鳴の鋭さを示す。
(2.164)
2.4. 小数多体系
43
原子・分子の二体衝突によるロス
フェッシュバッハ共鳴を用いることにより、原子から浅く束縛された分子である、shallow
dimer 状態を作ることができる。shallow dimer と原子が衝突して、deep dimer と原子にな
ると、束縛エネルギーの差の分だけ運動エネルギーを獲得し、これもトラップからのロス
として検出できる。二体衝突によるロスの頻度は二体ロス係数 βAD を用いて、
d
d
n A = n D = − βAD n A n D
dt
dt
と書ける。二体ロス係数もエフィモフ状態と関係があり、
20.3sinh(2η ∗ )
ℏa
βAD =
sin2 [s0 ln(a/a∗ )] + sinh2 η ∗ m
(2.165)
(2.166)
と三体パラメータを用いて書ける [43](図 2.10)。大まかな傾向としては a に比例し、散
乱長が a∗(n) = enπ/s0 a∗ において共鳴的に係数が増大する。二体係数の測定は実験的には a∗
を直接観測する手段として有用である。なぜなら a > 0 において三体ロス係数の a+(n) での
極小値を実験で検出するのは、極小値付近の三体ロス係数の変化があまり鋭くないため検
出が困難であるからある。また a+ はエフィモフ状態と原子・分子状態の交点そのもので
はないため、より直接的な検出として二体ロス係数の測定は有用である。
エフィモフ状態と三体・二体ロス係数の関係
エフィモフ状態と三体・二体ロス系数の関係を図 2.10 に示した。図 2.8 と違って横軸が
log|a| になっていることと、散乱長が負の領域を右側、正の領域を左側に示して(即ち共
鳴点に対して図 2.8 と比べて左右反転している)ことに注意する。図に示す様に三体ロス
係数・二体ロス係数にエフィモフ状態の構造即ち三体パラメータの値が反映される為、実
験によってこれを検出することが可能である。
図 2.10: 三体ロス係数・二体ロス係数とエフィモフ状態の関係
44
第3章
極低温のボース粒子気体
本章では、極低温のボーズ粒子気体の振る舞いについて述べる。特にボース粒子気体が
調和トラップ中や光格子ポテンシャル中でどのように分布するか述べる。本研究で対象と
している異核原子の混合気体の場合、粒子の分布は単一粒子の場合と比べてより複雑にな
る為、それについて議論する。なおここでの議論は文献 [50, 90] を参考にしている。
3.1 単一原子気体の密度分布
3.1.1 グロス・ピタエフスキー方程式
外部ポテンシャル Vtrap (r) に閉じ込められた N 個のボース粒子の系を考える。粒子間の
相互作用は密度が十分低い時、二体衝突が支配的であり、その相互作用ポテンシャルは散
乱長 a を用いて U (r′ − r) = 2πℏ2 a/mr δ(r′ − r) と書けることは前章において示された通り
√
である( |r′ − r| ≫ r 0 )。系の温度 T が十分小さく、熱的ドブロイ長 λ dB = h/ 2πmk BT が
平均原子間距離を超えるようになるとボース粒子はボース凝縮(BEC)を起こすようにな
る。完全な BEC では、全ての粒子は同一の一粒子状態 ϕ(r) にある。従って N 粒子系の波
動関数は
N
∏
Ψ(r1 , r2 , r3 , · · · ) =
ϕ(ri )
(3.1)
i=1
ϕ(ri ) は規格化条件
∫
dr|ϕ(r)| 2 = 1
を満たす。状態 3.1 のエネルギーは、
[ 2
]
∫
ℏ
(N − 1)
2
2
4
E=N
dr
|∇ϕ(r)| + Vtrap (r)|ϕ(r)| +
U0 |ϕ(r)|
mr
2
(3.2)
(3.3)
で与えられる。尚 U0 = 2πℏ2 a/mr と置いた。ここで凝縮状態の波動関数を導入する。
√
ψ(r) = N ϕ(r)
(3.4)
とする。粒子の密度は、
n(r) = |ψ(r)| 2
で得られる。1/N のオーダーを無視して式 3.3 は、
]
[ 2
∫
1
ℏ
2
2
4
|∇ψ(r)| + Vtrap (r)|ψ(r)| + U0 |ψ(r)|
E(ψ) =
dr
mr
2
(3.5)
(3.6)
3.1. 単一原子気体の密度分布
45
と書き換えられる。これを粒子数一定の条件の元、変分法によりエネルギーを最小化す
る。即ち E − µ( µ は化学ポテンシャル)を変分してゼロとおくと。
[ 2
]
ℏ
2
− ∆ + Vtrap (r) + U0 |ψ(r)| ψ(r) = µψ(r)
(3.7)
mr
を得る。これが時間に依存しないグロス・ピタエフスキー方程式(GP 方程式)である。
これは運動エネルギー項、トラップポテンシャル項、相互作用項の三つの項からなる。
3.1.2 トラップ中のボース粒子気体の基底状態
式 3.7 の解を定性的に考える。トラップは等方的な調和トラップ Vtrap = mω02r 2 /2 を考
える。まず相互作用がない場合を考える。気体の空間的広がりを ∼ R とする。するとト
ラップのエネルギーは大体 mω02 R2 /2 程度である。運動エネルギーは不確定性関係から大体
ℏ2 /mR2 程度になる。両者が一致するときがエネルギーが最小になるのでその時の半径は、
√
ℏ
aosc =
(3.8)
mω0
となる。これを調和振動子長と呼び、調和振動子の特徴的な長さである。
次に相互作用がある場合を考える。粒子密度がおおよそ N ∼ N/R3 である為相互作用エ
ネルギーは U0 N/R3 程度になる。斥力相互作用の場合は R−3 の依存性により、半径 R を
増大させる効果を持つ。 N a が大きくなると、運動エネルギーの寄与はほとんど効かなく
なっていき、トラップポテンシャルと相互作用のみで決まる様になる。この時の半径 R は
(
) 1/5
Na
R ∼ aosc
(3.9)
aosc
程度になる。即ち (N a/aosc ) 1/5 程度相互作用により広がることになる。
引力相互作用を考える。引力の場合は短距離で相互作用が負に発散する為、基本的には
不安定である。原子数が少量であれば aosc より小さいところに準安定状態を持つが、粒子
数が多くなると崩壊する。準安定に存在できる原子数は
Nc = k
aosc
|a|
(3.10)
で表されることが知られている [91, 92, 93]。k は安定定数と呼ばれ、JILA のグループの
実験では 0.46 である [92]。これはトラップ形状に強く依存することが知られている [94]。
3.1.3 トーマス・フェルミ近似
斥力相互作用を持つ充分大きな気体に対しては、GP 方程式の運動エネルギー項を無視
することができる。この近似の事をトーマス・フェルミ近似と呼ぶ。トマス・フェルミ近
似の元で式 3.7 を書き換えると、
[Vtrap (r) + U0 |ψ(r)| 2 ]ψ(r) = µψ(r)
(3.11)
第3章
46
極低温のボース粒子気体
となる。従って右辺が正の領域で、解は
n(r) = |ψ(r)| 2 = [µ − Vtrap (r)]/U0
(3.12)
µ = Vtrap (r)
(3.13)
となる。気体の境界は、
で与えられ、領域外では ψ = 0 である。気体の密度分布は式 3.12 を規格化条件、
∫
n(r) = N
(3.14)
を満たす様に解くことで得られる。
調和ポテンシャル中の BEC の密度分布
トラップポテンシャルが
1
Vtrap (r) = m(ω2x x 2 + ω2y y 2 + ω2z z 2 )
2
(3.15)
で表される非等方調和ポテンシャルの時の BEC の密度分布を考える。m は粒子の質量で
ある。mr = m/2 となる。各軸上の気体の境界は半径 Ri で表され、
√
2µ
Ri =
(3.16)
mωi2
となる。これをトーマス・フェルミ半径と呼ぶ。 µ の具体的な表式は、規格化条件を解く
ことにより得られる。従って密度積分を実行する。
∫
∫
µ − Vtrap (r)
n(r)dr =
dr
U0
∫ 


x2
y2
z 2 +
µ
*
=
(3.17)
1 − 2 + 2 + 2  dxdydz
U0
, R x R y R z -

変数変換 X = x/Rx ,Y = y/Ry , Z = z/Rz を行い。次いで X 2 + Y 2 + Z 2 = R2 を満たす様に極
座標変換を行うと、簡便に積分が実行できる。
∫
∫
µ
n(r)dr =
Rx Ry Rz [1 − (X 2 + Y 2 + Z 2 )]dX dY dZ
U0
∫
µ
=
R x R y Rz
[1 − R2 ]R2 sinθ dr dθdϕ
2
U0
R ≤1
8π µ
=
R x R y Rz
(3.18)
15 U0
これが全原子数 N に一致するので、
(
) 2/5
152/5 N a
ℏω̄
µ=
2
āosc
(3.19)
3.2. ボース凝縮体の混合系
47
となる。ここで ω̄ は平均トラップ周波数、āosc は平均調和振動子長で、
ω̄ = (ω x ω y ω z ) 1/3
√
ℏ
āosc =
mω̄
(3.20)
(3.21)
で定義される。化学ポテンシャル µ が分かったので、原子の密度分布は、


x2
y2
z2 
n(r) = npeak 1 − * 2 + 2 + 2 +

, Rx Ry Rz -
µ
npeak =
U0
(3.22)
(3.23)
と調和型の分布になることが分かる。npeak は気体のピーク密度である。
熱的原子集団
原子気体の温度が転移温度より高い時は、粒子はマクスウェル・ボルツマン分布に従
う。従って調和振動子中の密度分布は、
(
n(r)Thermal =
=
σi =
npeak =
m
2πkBT
) 3/2
[
1
Nω x ω y ω z
exp − β m(ω2x x 2 + ω2y y 2 + ω2z z 2 )
2


2
x
y2
z 2 +
1
N

*
+
+
exp −
 , 2σ 2x 2σ 2y 2σ 2z -
(2π) 3/2 σ x σ y σ z
√
k BT
mωi2
(
) 3/2
m
N
1
Nω x ω y ω z
=
2πkBT
(2π) 3/2 σ x σ y σ z
]
(3.24)
(3.25)
(3.26)
(3.27)
となる。幅 σi を測ることでトラップ周波数を知っていれば、温度を測定できる。
3.2 ボース凝縮体の混合系
粒子が熱的原子集団であれば、混合原子気体であっても粒子間の相互作用の影響は殆ど
無視できる為、単一の場合と同じ分布をとると考えても特に問題はない。また分布は広く
広がっている為、空間的に原子気体を重ねるのは容易である。しかし BEC の混合系の場
合粒子間の相互作用の影響を受けて劇的に分布が変わる為、混合系の問題を解かなければ
ならない。以下では二種の原子からなる BEC の混合系について述べる。
第3章
48
極低温のボース粒子気体
3.3 二原子種グロス・ピタエフスキー方程式
二原子種の BEC の密度分布を調べるには以下の二原子種の GP 方程式を考える必要が
ある。尚トーマス・フェルミ近似を適用し、運動エネルギーは無視する。
[
]
V1 (r) + U11 |ψ1 (r)| 2 + U12 |ψ2 (r)| 2 ψ1 (r) = µ1 ψ1 (r)
(3.28)
[
]
V2 (r) + U22 |ψ2 (r)| 2 + U12 |ψ1 (r)| 2 ψ2 (r) = µ1 ψ2 (r)
(3.29)
これが時間に依存しない二原子種の GP 方程式になる。 µi は粒子 i の化学ポテンシャル、
Vi は粒子 i が感じるトラップポテンシャルである。また、相互作用項 Ui j は、
2πℏ2
Ui j =
ai j
mi j
(3.30)
であり、mi j は粒子 i と j の換算質量、ai j は粒子 i と j の間の散乱長である。
式 3.28 より、二成分の密度は ni (r) = |ψ(r)| 2 であり、
µ1 = V1 + U11 n1 + U12 n2
(3.31)
µ2 = V2 + U22 n2 + U12 n1
(3.32)
となる。
3.3.1 混合 BEC の安定性
まず一様気体を考える(V1 = V2 = 0)。系の安定条件は密度の変化によるエネルギーの
変化を考えれば良い。その条件は、
∂ µ1
∂ µ2
> 0,
>0
∂n1
∂n2
∂ µ1 ∂ µ2 ∂ µ1 ∂ µ2
−
>0
∂n1 ∂n2 ∂n2 ∂n1
(3.33)
(3.34)
となる。これは結局
U11 > 0, U22 > 0
(3.35)
2
U11U22 > U12
(3.36)
となる。我々が用いる 41 K|F = 1|m F = 1⟩-87 Rb|F = 1|m F = 1⟩ の混合系の場合、同一原子
間の散乱長は正でそれぞれ aKK = 60 a0 、aRbRb = 100 a0 (表 2.2)であるので式 3.35 を満
たしており、単体で安定である。従って混合状態が安定かどうかは相互の散乱長 aKRb に
よって決まる。これはフェッシュバッハ共鳴を用いることにより調整可能である。質量比
41 : 87 及び散乱長の比から、安定条件は決まり、相互の散乱長により次の様に場合分け
できる。
75 a0 < aKRb
(immiscible)
(3.37)
−75 a0 < aKRb ≤ 75 a0
(miscible)
(3.38)
aKRb ≤ 75 a0
(collapse)
(3.39)
3.3. 二原子種グロス・ピタエフスキー方程式
49
境界条件は |aKRb | = 75 a0 であり、miscible は混合状態、immiscible は分離状態、collapse
は引力相互作用による崩壊を示す。
3.3.2 調和ポテンシャル中の混合 BEC の密度分布
次に調和ポテンシャル中での混合 BEC の密度分布を考える。興味があるのは、式 3.38
の混合状態である。K を原子種 1、Rb を原子種 2 と考えて議論を続ける。トラップは等方
の調和トラップを考える。即ち Vi (r) = mi ωi2r 2 とする。式 3.31 より、密度分布は共存領
域では、
µ1
1
n1 =
2
U11 1 − U12 /U11U22
n2 =
µ2
1
2 /U U
U22 1 − U12
11 22

1 − U12
U22


1 − U12
U11

(
µ1 r 2
−
1−
µ2 R12
(
µ1 r 2
−
1−
µ2 R22
)



)
U12 
ξU11 

ξU12
U22
(3.40)
(3.41)
となり、非共存領域では
µ1 *
1−
U11 ,
µ2 *
n2 =
1−
U22 ,
n1 =
r2 +
R12 -
(3.42)
r2 +
R22 -
(3.43)
となる。これを規格化条件
∫
N1 =
∫
N2 =
n1 dr
(3.44)
n2 dr
(3.45)
を満たす様に解くと µ1 、 µ2 の値が分かり、密度分布が分かる。ここで ξ は、
ξ=
m2 ω22
m1 ω12
=
2
mRb ωRb
2
mK ωK
{
=
1.96
for λ = 809 nm
(3.46a)
1.08
for λ = 1080 nm
(3.46b)
の様に粒子1と粒子2が感じるポテンシャルの広がりを示す。我々の用いている光トラッ
プは波長 809 nm 及び波長 1080 nm であり(次章にて説明)、K(粒子1)と Rb(粒子
2)の共鳴線の波長と質量から式 3.46a、3.46b の様に決まる。二つの粒子気体は条件に
よって、共存領域と非共存領域に分かれることになるが、ξ はどちらの粒子が外側に分布
するかに関わってくる。節 3.1.2 の議論の様に、単一の原子からなる BEC に対して気体の
半径を R 程度と考えるとトラップポテンシャルは mω 2 R2 /2 程度、相互作用エネルギーは
第3章
50
極低温のボース粒子気体
4πℏ2 N/mR3 程度になる。従って、異なる粒子間の相互作用を無視すると、
(
RRb
RK
)5
∼
NRb aRb
1
mRb mRb ω2
Rb
NK aK 1
mK mK ω 2
K
∼ 0.79
=η
{
η=
1 NRb
ξ NK
NRb
NK
(3.47)
0.40
for λ = 809 nm
(3.48a)
0.73
for λ = 1080 nm
(3.48b)
となる。即ち我々の K-Rb の組み合わせでは原子数が等しい時は、K が外側に分布しやす
く、Rb が内側に分布しやすい。特に波長が 809 nm の光トラップでそれは顕著である。た
だし、Rb の原子数の方が多かったり、また非等方なトラップを使用している場合 Rb が外
側に分布することがあり、実際に当研究室の修士論文でそれは観測されている [95]。
しかしほとんどの場合 K が外側に現れる為、図 3.1 の I,II の様な解の形を考えれば良い。
n
I
n
r
n
n2
r
n
I
n1
II
II’
r
r
図 3.1: 混合 BEC の分布の様子
実際にどの程度の原子が共存領域に存在するか計算してみる。 NRb = NK = 4 × 104 、
(ωK ,ωRb ) = (427, 383) (1/s) の時の共存領域に存在する原子の割合を相互散乱長 aKRb の
値毎に計算すると図 3.2 の様になる。
3.4. 光格子中のボース粒子の振る舞い
51
coexistance fraction
1.0
0.8
0.6
0.4
F(NRb)
F(NK)
0.2
II
I
0.0
-60 -40 -20
0
20 40
mutual scattering length [a0]
60
図 3.2: 共存領域に存在する原子の割合
図 3.2 の様に散乱長が正の値から、負の値に変化していくにつれて共存領域の原子が増
えていくことが分かる。散乱長 aKRb = 0 a0 付近で 90 %以上の原子が共存領域に存在し、
十分二つの BEC は重なっていると言える。
3.4 光格子中のボース粒子の振る舞い
光を打ち返して、定在波を立てることによって周期ポテンシャルが形成される。これを
光格子と呼ぶ。光格子を用いて各サイトに原子や分子を一つずつ導入することで、原子や
分子の衝突の制御ができ有用である。本節では、まず光格子について簡単に説明した後、
光格子中のボース粒子の振る舞いについて述べる。
3.4.1 光格子
一次元光格子
もっとも簡単な周期ポテンシャルの作り方は、ガウシアンビームを打ち返す事によって
干渉させ、定在波をたてることである。この時のポテンシャルは以下のようになる。
V (r, z) = −Vlat e−2r
2 /w 2
0
r2
· sin2 (k z) ≃ −Vlat · *1 − 2 2 · sin2 (k z) +
w0
,
-
(3.49)
中心付近では調和ポテンシャル近似が成り立つ。ここで k = 2π/λ である。Vlat は光格子
のポテンシャル深さである。これは、光トラップの時の 4 倍になる。光格子の深さは、リ
コイルエネルギー Er = ℏ2 k 2 /2m を単位に表わすと便利である。
第3章
52
極低温のボース粒子気体
三次元光格子
三次元光格子は三つの定在波を直交させることで形成できる。この際互いに偏光を直交
させ、波長をずらすことで干渉させないようにする。トラップポテンシャルは以下の様に
なる。
V (x, y, z) = −Vx · e
−2 y
2 +z 2
w 2x
· sin (k x) − Vy · e
2
−2 z
2 +x 2
w2
y
· sin (k y) − Vz · e
2
−2 z
2 +x 2
w z2
· sin2 (k z) (3.50)
ここで Vx ,Vy ,Vz は一次元光格子の時のポテンシャル深さである。中心付近(ビーム半径よ
りも十分小さい範囲)では、ポテンシャルは一様な周期ポテンシャルと調和型の外部コン
ファイメントで近似できる。
)
m( 2 2
V (x, y, z) ≃ Vx · sin2 (k x) + Vy · sin2 (k y) + Vz · sin2 (k z) +
ω x x + ω2y y 2 + ω2z z 2 (3.51)
2
ここで、外部コンファインメントのトラップ周波数 ωi (i = x, y, z) は以下の式で与えら
れる。
ω2x
4 * Vy
Vz + 2ℏ2 k 2 * Vy /Er Vz /Er +
=
+
=
+
m , ω2y ω2z m2 , ω2y
ω2z -
: ω2y,z = (cycl.perm.).
全ての軸のビームウェスト及びポテンシャル深さが等しい時は、
√
√
4Vlat
2ℏ2 k 2 Vlat
ωext = 2 ·
=
2
·
mw02
m2 w02 Er
(3.52)
(3.53)
となる。
光格子の深さが十分深い時は、光格子の各サイトは調和ポテンシャルで近似できる。そ
の時の各サイトのトラップ周波数は、
2
ωlat
= Vlat
2k 2 Vlat ℏ2 k 2
=
m
Er m2
(3.54)
となる。
トラップ中心から遠くなるとこれらのトラップ周波数は修正を受ける [96]。
3.4.2 ボース・ハバードモデル
光格子中の原子の振る舞いはボーズ・ハバードモデルで記述することができる [97]。
光格子ポテンシャルの空間不均一性まで含めたモデルで考えると、ハミルトニアンは以
下の様に書ける [98]。
∑
∑
1 ∑
âi† â j +
[V (ri ) − µ]n̂i + U
n̂i ( n̂i − 1)
(3.55)
H = −J
2
i
i
⟨i,j⟩
ここで、âi† ( âi ) は i サイトへの生成(消滅)演算子、n̂i = âi† âi は i サイトでの個数演算子、
V (ri ) は光格子の外部コンファインメントによるサイト i でのエネルギーオフセット、µ は
化学ポテンシャルである。
3.4. 光格子中のボース粒子の振る舞い
53
ここでハミルトニアンの第1項はサイト間のトンネリングを表わす項であり、トンネ
リングの強さを表わす行列要素 J はサイト i に極在した一粒子ワニエ関数 w(x − xi ) を用
いて、
[ 2
]
∫
ℏ
3
∗
J=
d xw (x − xi ) − ∆ + V0 (x) w(x − xj )
(3.56)
2m
と書ける。一方第3項は、同一サイトにある粒子間のオンサイト相互作用を表わし、その
強さ U は
∫
2πa s ℏ2
d 3 x|w(x)| 4
(3.57)
U=
mr
と書ける。a s は散乱長である。以上の様に J 及び U はワニエ関数をバンド計算により求
めることによって得られるが、通常は以下の近似式 [99] で十分である。
√
(
) 0.98
J
Vlat +
Vlat
≃ 1.43
(3.58)
exp *−2.07
Er
Er
Er ,
(
)(
) 0.88
U
as
Vlat
≃ 5.97
(3.59)
Er
λ lat
Er
上式は、Vlat /Er = 8 ∼ 30 の間で誤差が 1% 以下となる近似式である。
相転移点
ボーズ・ハバードモデルにおいてトンネリングの項が支配的な場合 (J >> U) 、原子は
サイト間に渡って非局在化した超流動状態になり、オンサイト相互作用が支配的な場合
(J << U) 、原子は各サイトに局在化した Mott 絶縁体状態となる。これが、超流動-Mott 絶
縁体転移と呼ばれるもので光格子の系で実現できることが予測され [97]、実際に観測され
た [9]。超流動-Mott 絶縁体転移の転移点は J と U の比が以下を満たす点である [99, 100]。
√
U
= 2n0 + 1 + 2 n0 (n0 + 1)
zJ
(3.60)
ここで、z は最近接サイト数で、n0 は Mott 絶縁体状態における各サイトの粒子数である。
式 3.58、3.59、3.60 から光格子のビームの波長が 1080 nm の時の相転移点での光格子のポ
テンシャル深さは Vlat /Er = 14(87 Rb), 16(41 K) となる [101]。
3.4.3 Mott 絶縁体状態での Shell 構造
光格子のポテンシャルが外部コンファインメントによる不均一性を持つ為に、光格子中
での原子の分布は、光格子の深さに応じて n 個/サイトの Mott 絶縁体状態が共存した Shell
構造をとることが知られている [98, 102, 103, 104]。
実際の粒子数の分布を求めるには、節 3.1.3 の議論と同様に、式 3.55 から運動エネル
ギーを無視して、
U
En = − µ̃n + n(n − 1)
(3.61)
2
第3章
54
極低温のボース粒子気体
ここで µ̃ ≡ µ − V (ri ) は局所的な化学ポテンシャルである。エネルギー最小化条件は一時
的に n が連続数であると思うと、∂En /∂n = 0 より、
− µ̃ +
U
(2n − 1) = 0
2
(3.62)
となる。これより n は整数であるので、最小化条件は
n−1 <
µ̃
≤n
U
(3.63)
となる。µ̃/U が整数値を超えるたびに粒子数が1ずつ増えることが分かる。外部コンファ
インメントが V (r) = mω2r 2 /2 の調和振動子の場合、粒子数が n 個のサイトの半径は、
Rn = R0 [1 − n/(µ/U)]1/2
(
) 1/2
2µ
R0 =
mω2
(3.64)
(3.65)
となる。ここから規格化条件、
∫
1
N= 3
n(r)d 3r
d
4π
= 3 (R03 + R13 + R23 + · · · )
3d
) 3/2
m−1 (
4π ∑ 2(µ − nU)
= 3
3d n=0
mω2
(3.66)
が得られる [98]。d = λ/2 はサイト間隔である。から化学ポテンシャル µ を求めれば実際
の分布が分かる。
上記の方法は、モット絶縁体状態を仮定して基底状態の分布を求める方法である。一方
トーマス・フェルミ近似から、即ち超流動状態を仮定して密度分布を求めると、
(
)
1
1
2 2
nT F (r) =
µ − mω r
(3.67)
U
2
となるので、規格化条件は
√
µT5/2
16π 2
F
N=
3
15 d U (mω2 ) 3/2
(3.68)
となる [9]。
光格子を立ち上げていくと徐々に式 3.68 から式 3.66 の条件に移り変わっていくと思わ
れる。Mott 絶縁体になった以降は粒子数の分布はトンネリングが抑制される為、ほとん
ど変わらないと思われる。従って転移点での式 3.66 の条件をモット絶縁体の粒子数分布
を決める式であると考える。本研究では、粒子数が一つのサイトを最大化することが重要
である。粒子数が一つのサイトの最大個数 N2 は、 µ/U = 1 の時の原子数から得られる。
3.4. 光格子中のボース粒子の振る舞い
55
光格子の外部コンファインメントが非等方な時も同様の議論が成り立つので、平均トラッ
プ周波数 ω̄ext = (ωext,x · ωext,y · ωext,z ) 1/3 を用いて
(
) 3/2
4π
2U
N2 = 3
(3.69)
2
3d mω̄ext
となる [98]。この数よりも大きい原子数を導入しても、2 個以上のサイトが増えてしまい
実験に使用できる原子数は逆に減少する。 N2 を最大化すると同時に、適切な数に原子数
を制御することが重要である。
3.4.4 混合系の場合
混合系の場合は、節 3.3.2 の議論の様に次の二原子種のボース・ハバードモデルを考え
る必要がある。ホッピングは無視して、
∑
∑
U11 ∑
H1 =
[V1 (ri ) − µ1 ]n1,i +
n1,i (n1,i − 1) + U12
n1,i n2,i
(3.70)
2 i
i
i
∑
∑
U22 ∑
[V2 (ri ) − µ2 ]n2,i +
n2,i (n2,i − 1) + U12
n1,i n2,i
H2 =
(3.71)
2 i
i
i
となる。二原子が混合する条件は、節 3.3.1 と同様に、
2
U11U22 − U12
>0
となる。なおオンサイト相互作用は二粒子の場合に拡張して
∫
2πℏ2
Ui j =
ai j
wi (x) 2 w j (x) 2 dx
mi j
(3.72)
(3.73)
と書ける。ワニエ関数を調和振動子で近似すると、
2πℏ2
1
Ui j =
ai j 2
2
3/2
mi j
(aosc,i + aosc,
j)
(3.74)
となる。aosc,i はそれぞれの原子の調和振動子長である。
n 個サイトのエネルギーは、
U11
n1 (n1 − 1) + U12 n1 n2
2
U22
n2 (n2 − 1) + U12 n1 n2
E2,n = [V2 − µ2 ]n2 +
2
であるから、エネルギー最小化条件は結局
[
(
)]
1
U12
n1 − 1 <
U22 (µ1 − V1 ) − U12 µ2 − V2 −
(U12 − U22 < n1
∆
2
[
(
)]
U12
1
U11 (µ2 − V2 ) − U12 µ1 − V1 −
(U12 − U11 < n1
n2 − 1 <
∆
2
E1,n = [V1 − µ1 ]n1 +
(3.75)
(3.76)
(3.77)
(3.78)
となる。この条件から規格化条件を満たす様に µ1 、 µ2 を決定することで実際の分布を求
めることができる。
第3章
56
極低温のボース粒子気体
K 1個-Rb 1個サイトの最適化
RRb
RK *
RK
図 3.3: 二原子種のモット絶縁体状態:青は K 原子、赤は Rb 原子を表す。
実用上は K 原子1個・Rb 原子1個のサイトを最大化することが、分子の生成・衝突の
抑制において重要である。式 3.77、3.78 を一般的に解くのは難しいので図 3.3 の様な状況
を考える。即ち中心部のサイトに K 原子、Rb 原子が一つずつ存在し、Rb 単体のみのサイ
トが周辺部に存在し、更に外側に K 原子が存在するといった状況である。実際この状況
が出現しやすいのは、調和ポテンシャルの時(節 3.3.2)と同様である。
例えば原子数 NK = NRb = 1 × 104 、相互散乱長 aRbK = 44 a0 、平均トラップ周波数
(ωRb /2π,ωK /2π) = (54, 80) Hz の時、1個サイトの割合は 73 %で充分である。
57
第4章
実験装置
本章では、原子・分子集団の冷却・トラップ・内部状態の制御に必要な実験装置につい
て述べる。
4.1 実験装置の概要
本研究は極低温の原子を用いた研究である。レーザー冷却によって原子を冷却し、磁気
トラップや光トラップの技術を用いれば、原子集団を長時間トラップ中に留めておくこと
ができる。しかし、大気中では多くの原子・分子が常温で飛び回っている為、衝突を介し
て冷却された原子は加熱され、トラップから外れて行ってしまう。従って、実験は真空槽
内で行われる。本研究では 41 K 及び 87 Rb の二原子種を冷却・トラップし、実験に用いた。
1st MOT
ion pump
2nd MOT & Magnetic Trap
Push beam
glass cell
gate valve
glass cell
Rb K
ampule
図 4.1: 実験装置の概略図
本節では冷却原子集団を得る為の大まかな流れを示す。図 4.1 に実験装置の概略図を示
す。図 4.1 で示す様に本研究では二重磁気光学トラップ(double-MOT)のシステムを用
いてる。図左側の領域は低真空(∼10−8 torr)となっており、Rb 及び K の蒸気が充満し
ている。従って十分な数の原子を集めることが可能である。そこで1段階目の磁気光学ト
ラップ(1st MOT)を行い原子を冷却・捕獲する。その後共鳴から離長をとったレーザー
で原子集団を押し出し(push beam)、高真空側(∼10−11 torr)へと輸送する。そして右
側の高真空側で再び磁気光学トラップ(2nd MOT)で捕獲・冷却する。高真空側ではその
他の原子はほとんどいないので長いトラップ寿命(数 10∼100 s)を確保することができ
58
第 4 章 実験装置
る。このように二つの磁気光学トラップを用いて原子数を十分に確保しつつ、長寿命な冷
却原子集団を用意する手法を二重磁気光学トラップといい、冷却原子の系では標準的な手
法である。続いて 2nd MOT に十分原子数が溜まったところで、磁場勾配やレーザー光の
離長を時間的に変化させ(Time-dependent MOT)冷却・圧縮を行った後に、磁気トラッ
プ(Magnetic trap)に移行し、蒸発冷却により更なる冷却・高密度化を行う。蒸発冷却に
は原子集団の熱化が必要であるので、長い時間(数 10 s)が必要である。ゆえに高真空が
必要となる。このような手法により、縮退もしくは縮退近くまで冷却された原子集団を用
意することができる。磁気トラップ中のままでは、原子集団の内部状態の選択や磁場の利
用に制約がある為、その後光トラップに移行する。光トラップ中では前記の制約がほとん
ど無いため、自由に内部状態を選択し、また磁場により状態を制御し、フェッシュバッハ
共鳴を利用することができるようになる。本研究で対象とする 41 K 及び 87 Rb の場合、そ
れぞれの内部状態が |F = 1, m F = 1⟩ である時に磁場 38.4 G 及び 78.67 G にフェッシュバッ
ハ共鳴を持つ。内部状態の遷移にはラジオ波(RF:Radio frequency)を用いる。本研究の
ほとんどの実験は K-Rb 間のフェッシュバッハ共鳴を用いた実験であるので、それぞれの
原子を |F = 1, m F = 1⟩ 状態に用意することが実験の開始地点である。次節以降ではこれ
らの過程についてより詳しく述べる。
4.2 真空槽
実験に用いた真空槽は岸本博士が設計した。図 4.1 に示す様に、二つのガラスセル間
をステンレスのチャンバーで接続した形になっている。ガラスセル間を二段階の細い管
(differential pumping tube)で接続することにより、領域間のコンダクタンスを低くし、真
空度の差をつけている。詳細な設計は過去の学位論文を参照の事 [105]。
原子源
原子源はアンプル中に封じられた固体の K 及び Rb をそれぞれ真空槽内に入れ、真空槽
内でアンプルを割ることによって蒸気を発生させるようにしている。どちらも自然存在
比の K 及び Rb を使用している。自然存在比は 41 K が 6.7% 、87 Rb が 27.8% でどちらも十
分な割合がそれぞれの固体に含まれている。同じ温度で蒸気圧は K の方がやや低く、概
ね 25°C程度 K の温度を上げると Rb の蒸気圧曲線と一致する [106]。蒸気圧は真空槽の外
部をヒーターで温めることで調整している。途中の管やバルブで固体の K や Rb がつまら
ない様に温度差をつけて外部を温めており、それぞれの原子が溜まっている先端部が局小
値をとる様に常に温度を調整している。実験を行う時にはそれぞれの原子の領域を常温
(∼25°C)から K の領域は 55°C程度、Rb の領域を 30°C程度になる様に全体を暖める。温
度の上昇を初めてから 1-2 時間程度で十分な量の蒸気が発生し、実験に使用できるように
なる。
4.3. computer control
59
ガラスセル
1st MOT 及び 2nd MOT の領域はガラスセルを用いている。金属チャンバーに比べてガ
ラスセルの場合、光学アクセスが容易である。材質はパイレックスで寸法は外寸 30 × 30 ×
150 mm で厚みは 2.5 mm である。2nd MOT の領域のガラスセルは、外面に AR-coating が
なされており、波長 700-1100 nm の光の反射が低減されている。
4.3 computer control
実験の各段階においては、デジタル及びアナログの数多くの操作を、決まった時間間隔
で順番に行っていく必要がある。これらの制御を手動で行うのは無理なので、パーソナル
コンピューター(PC)により実験を制御している。実験全体のタイムシークエンスの制
御は一つの PC で行っており、これを main PC と呼んでいる。各時刻において main PC か
らデジタル及びアナログの制御信号を発生させ、各制御機器や他の PC を動かしている。
制御プログラムには向山博士が作成した LabVIEW プログラムを修正して用いている(図
4.2)。
図 4.2: 制御用 LabVIEW プログラム
制御信号は 32ch のデジタルボード 2 枚(National Instruments,PCI-6534)及び 16ch のア
ナログボード 2 枚(National Instruments, PCI-6733)から発生されている。この構成では
アナログ信号が 5ch 程足りないが、ボードの数が 5 枚以上は現在の LabVIEW のバージョ
ンでは(LabVIEW8.2)では動かせない為、アナログ信号の出力先を時間的に変更するこ
とで、出力チャンネル数を確保している。切り替え回路は図 4.3 のようになっており、ちょ
第 4 章 実験装置
60
うど磁気光学トラップが終わる段階で、デジタル信号によりチャンネルを切り替えてい
る。入力はコモンモードノイズを防ぐため、差動入力を採用した。
タイムシークエンスの時間解像度は現在 100 µs に設定してある。これは PC の処理能力
に依存している。プログラム上でタイムシークエンスを全て行列要素に変換している為、
時間解像度を小さくすると行列のサイズが大きくなることになり、処理が間に合わなくな
る。100 µs であれば十分速く動作する。より細かい時間スケールで実験を行う時は適時
パルサー等を使用する。またボード間にはわずかな時間のずれが生じている。各ボード
の開始は一致しているが、各ボードの内部クロックのずれにより徐々にボード間のタイミ
ングにずれが生じてくる。現在デジタルのボード 2 枚はクロックの同期を行っており、そ
のずれは 10 ns 程度でジッターは、ns 以下である。しかしアナログのボード 2 枚はクロッ
クの同期は行われておらず、実験中に徐々にタイミングがずれてくる。おおよそ 10 s で数
10 µs 程度のずれが生じ、実験時間は 30-40 s 程度であるので、最大で数 100 µs 程度のず
れが生じる。しかしずれのジッターは数µs 程度にとどまる為、本研究では特に問題は生
じない為、この状態のまま実験は行った。特に同期が重要な実験は各信号をモニターする
ことで対処することができる。
1
7.5k
3
15V
20k
20k
20k
47
2
4
50k
47
Ref. A
20k
50k
TL081
20k
Analog in
20k
47
1
20k
8
Ref. A
-15V
out A
2
47nF
3
20k
4
V-
7
6
GND
V+
VL
5
Max319
5V
15V
Ref. B
1
out B
8
2
3
4
V-
-15V
7
6
GND
V+
VL
Ref. B
20k
0.1u
TL081
LM399
20k
5
Max319
5V
15V
図 4.3: アナログ出力切り替え回路
TTL trigger
0.1u
4.4. レーザー冷却の為の光源
61
4.4 レーザー冷却の為の光源
レーザー冷却の為の光源の周波数の基準には K、Rb 共にそれぞれの原子が封入された蒸
気セルを用いている。蒸気セルに対して飽和吸収分光を行うことで D2 線への共鳴周波数
を得ることができる。共鳴周波数に対しての安定化は、FM サイドバンド法を用いること
で、共鳴周波数からのずれを信号として取り出し、それを外部共振器レーザー(ECDL)の
ピエゾ素子にフィードバックすることで行っている。外部共振器レーザーの設計やフィー
ドバック回路等については過去の学位論文に詳しく書いてある [107]。以上の様に周波数
安定化された ECDL の線幅は数 100 kHz 程度で十分細い線幅をもつ。出力は 20-30 mW 程
度である。
原子の冷却や輸送には原子の超微細構造に対して適切に離長をとった周波数のレーザー
がいくつも必要となる。従って周波数安定化された ECDL(master laser)を分岐し、それ
ぞれ周波数を制御する必要がある。周波数の制御には AOM を用いている。我々の標準的
なセットアップは図 4.4 の様になっている。AOM は周波数の制御に加えて光強度の制御に
も用いている。図で示す様に、周波数の制御には VCO(Voltage controled oscillator)を、
強度の制御には Mixer を用いている。これらの制御電圧・電流は自作のドライバーから出
力している。図 4.5 にドライバーの回路図を示す。周波数及び強度共に基準電圧による手
動制御と PC からの信号による外部制御を切り替えることができるようになっている。外
部入力はコモンモードノイズを避ける為、差動入力を採用した。コモンモード除去能力を
最大限に発揮するには、四つの抵抗値をできるだけ揃えることが重要である。
Mixer によって光の強度の制御ができるが、漏れ RF により強度を完全に0にはできな
い。従って多くの場合ソレノイドシャッターを併用し、光路を完全に塞ぐことにより出力
を0にする(図 4.6)。ソレノイドシャッターには、KGS 株式会社製の BQ-1 を使用し、自作
の回路によって駆動する。回路図を図 4.7 に示す。応答速度は数 ms で十分な速度を持つ。
各分岐のレーザーのパワーは数 mW 程度となり、磁気光学トラップ等に使用するには
パワーが不足することになる。よって我々の研究室では以下の 2 段階の増幅を行い、必要
なレーザーパワーを得ている。
Frequency
Intensity
control
control
I
VCO
L
9dBm
Mixer
R
RF amplifier
AOM
30dBm
図 4.4: AOM のセットアップ
第 4 章 実験装置
62
10k
20k
20k
+1 5V
to VCO
47
V1
20k
100
7.5k
TL 084
20k
1
3
TL 084
Freq. ext.
20k
20k
20k
2
4
LM399
V1
V2
50k
50k
10k
10k
20k
V2
20k
100
TTL ext.
TL 084
20k
TL 084
In t. ext.
20k
to Mixer
47
1
8
2
3
4
V-
6
GND
V+
+1 5V
図 4.5: AOM driver の回路図
図 4.6: ソレノイドシャッター
-15V
7
VL
5
MAX319
+5 V
4.4. レーザー冷却の為の光源
63
12V, 2.1A Switching power supply
8.2k
47 Ohm, 4W
cement resistor
4.8k
LM324N
1k
N channel MOS FET
2SK2231
Diode 1N4148
Solenoid shutter
BQ-1
TTL trig.
32 Ohm
BNC cable
図 4.7: シャッタードライバー回路図
4.4.1 Injection locking
injection locking とは周波数の安定化されたレーザー(master laser)からの光を他の半
導体レーザー(slave laser)に導入(injection)することによって誘導放出を引き起こし、
周波数を保ったまま増幅する方法である。slave laser には master laser と同じ種類の LD が
使用される。ゲインは slave laser に流す電流によって調整される。ここで、seed 光と増幅
光の光路を一致させると同時に seed 光と増幅光の進行方向を反対にしなければならない。
これは光アイソレータを用いて実現する。
Injection locking を行うことで、1 mW 前後のパワーを 20-30 mW 程度まで増幅すること
ができる。injection する光のパワーは、K の LD に対して 1 mW 前後、Rb の LD に対して
2-3 mW 程度である。これは入手可能な LD の中心発振波長が Rb の D2 線 (780 nm) に対し
てややずれている(760-770 nm)為であり、injection する光のパワーが少ないと自己発振
成分(ASE:Amplified spontaneous emission)が増大する。slave laser の LD はペルチェ素
子によって温調されているが、Rb の場合は温度を高めに設定し(∼45°C)中心波長をや
や寄せると自己発振しにくくなる。
安定に発振させるには電流値に対しても気をつける必要がある。図 4.8 に標準的な Slave
Laser の電流値と出力パワーの関係を示す。図 4.8 に示す様にある特定の電流値で出力が
増大するが、電流値はその辺りに調整する必要がある。他の電流値では、ASE が増大し
出力パワー・周波数共に安定しない。また電流値が高くなる程、自己発振しやすくなるた
め、なるべく低い電流値で必要なパワーが得られるように injection する光のパスを調整
する必要がある。
slave laser の安定性は磁気光学トラップに捕獲できる原子の数に強く影響を与える為、
常に監視をする必要がある。従って最終出力(後段に TA がある場合は、TA による増幅
後)が単一モードで発振しているかを Fabry-Perot cavity とフォトダイオードを用いて常に
監視している 4.9。ピエゾ素子を用いて cavity 長を振ることで周波数モードをスキャンす
ることができる。cavity の製作方法については過去の学位論文 [108] を参照の事。図 4.10
に cavity 信号の例を示す。
第 4 章 実験装置
64
40
Injection= 3m W
Temparature= 23.3 ºC
Power (mW)
30
20
10
0
0
20
40
60
Current (A)
80
100
図 4.8: Slave Laser の電流値と出力パワーの関係
図 4.9: Fabry-Perot cavity
4.4. レーザー冷却の為の光源
65
図 4.10: cavity 信号:
二つのレーザーの cavity 信号が示されている。左図の右側の信号はマルチモード発振状態
であり、余計なモードが発生している。右図ではどちらも単一モード発振している。
4.4.2 Tapered Amplifier
TA(Tapered Amplifier)は半導体レーザーの一種であり、レーザーの増幅に主に使われ
る。通常の LD との違いは素子の形にテーパーがついているということである。半導体
レーザーの出力の限界の多くは素子内のエネルギー密度が高くなり過ぎて素子が焼けて
しまうことによって決まっていることが多い。TA は入射面から出射面に向かって段々面
積を広げていくことによって(すなわちテーパーをつけることによって)その問題を克服
している。TA によって 500mW 以上の出力を得ることができる。
TA を使う際に注意すべきことは、通常の LD よりも出射光の空間モードが汚いという
ことである。従って実際に使用できる、きれいなガウシアンモードの成分のパワーは実際
の出力よりも大幅に減少するという問題がある。また、自然発光も多く発生する為、場合
によっては余分な波長成分を除去する必要がある。図 4.11 に TA の電流値とパワーの関係
の例を示す。
第 4 章 実験装置
66
500
Injection = 35 mW
Temparature = 20.0 ºC
Power (mW)
400
300
200
100
0
0.0
0.5
1.0
1.5
Current (A)
2.0
2.5
図 4.11: TA の電流値と出力パワーの関係
4.4.3 Lasers for K
K の master laser は 39 K の D2 線にロックしている。これは自然存在比が 39 K の方が大
きく(93.3% )強い共鳴信号を得ることができるからである。具体的には 39 K の基底状態
F = 1 と F = 2 の cross over から励起状態への遷移に AOM により 80 MHz のオフセットを
つけてロックしている。励起状態は超微細構造間隔が狭い為 F ′ を分離できていない。ロッ
クの詳細は当研究室の学位論文に詳しい [107]。
図 4.12 に K の準位図及び冷却の為に用いた光の離長を示す。41 K は超微細構造の間隔
が比較的狭い為(約 254 MHz)[109]、cooling 光、repump 光共に励起状態全体から赤方離
長をとる必要がある [107]。従って、cooling 光、repump 光どちらも強い光強度が必要に
なる為、TA によって増幅している。cooling 光には、100 mW(1st)及び 170 mW(2nd) 程
度、repump 光には 70 mW 程度(1st& 2nd)を直径 15 mm 程度に拡大して使用している。
cooling 光、repump 光の他に原子の吸収イメージを行う為のイメージング光、1st MOT
から 2nd MOT への輸送の為の push 光、磁気トラップにトラップ可能な状態へと光ポンピ
ングする為の、pumping 光(F-pumping、mF-pumping)がある。これらについては次節以
降で再度説明する。
4.4. レーザー冷却の為の光源
67
13.4
3.4
0
probe 2nd cooling
-25
1st cooling
-25.2
2nd repump
+227.1
mF-pumping
-36.2
1st repump push
+219.8
265.8
254
F-pumping
242.6
図 4.12: K の準位図 [109] と冷却に用いる光の離長: 離長の単位は全て MHz。 F = 2 から
F ′ = 3 への遷移を基準にしている。cooling の遷移を赤、repump の遷移を緑で示した。
4.4.4 Lasers for Rb
Rb は超微細構造間隔が広い為 (約 6.8 GHz)[110]、cooling 及び repump それぞれに master
laser を用意してある。どちらも D2 線を用いている。cooling 光の master laser は、基底状
態の F = 2 から励起状態の F ′ = 2 と F ′ = 3 状態の Cross over への遷移にロックし、repump
光は基底状態の F = 1 から励起状態の F ′ = 1 と F ′ = 2 状態の Cross over への遷移にロッ
クしてある。図 4.13 に Rb の準位図及び冷却の為に用いた光の離長を示す。K の場合と異
なり、Rb の場合は超微細構造の間隔が大きいため、cooling 光の遷移と repump 光の遷移
はそれぞれ別の二準位系と十分みなせる。従って repump 光は共鳴に直接合わせることが
でき、光強度はそれ程必要ない。従って、repump 光に対しては TA による増幅はほとん
ど必要ない。1st MOT に対しては、偏光を用いて cooling 光を増幅している TA に同時に
injection してゲインを一部 repump 光に分配している。TA で増幅する光の強度の割合は
TA への入射偏光によって調整できる。光強度の割合は Fabry-Perot 共振器で観測した所、
(cooling):(repump)= 25 : 1 程度である。2nd MOT では repump 光に対して、repump 光によ
る増幅は行っていない。1st MOT では合計 160 mW 程度 ((cooling),(repump)=154 mW,6 mW)
の光出力を、2nd MOT では cooling 光は 150 mW 程度、repump 光は 3 mW 程度を K と同
様に直径 15mm 程度に拡大して用いている。
K と同様に、イメージング光、push 光、pumping 光も必要となる。
第 4 章 実験装置
68
266.7
156.9
72.2
probe 2nd cooling
-12.8
1st cooling
push
-16.2
-15.8
2nd & 1st repump
mF-pumping
-249.9
6834
F-pumping
+1.5
図 4.13: Rb の準位図 [110] と冷却に用いる光の離長: 離長の単位は全て MHz。cooling の
遷移を赤、repump の遷移を緑で示した。cooling 光は F = 2 から F ′ = 3 への遷移を基準
に、repump 光は F = 1 から F ′ = 2 への遷移を基準に離長を示した。
4.5 磁気光学トラップ
我々は二重磁気光学トラップの方式を用いて原子を冷却している。それぞれの磁気光学
トラップ(1st MOT & 2nd MOT)について以下に述べる。
4.5.1 1st MOT
1st MOT は 2nd MOT への高流量の原子源として用いられる。従って最終的には、2nd
MOT への loading rate が高くなるように調整する。以下にその概略を示す。
1st MOT は、通常の磁場勾配を作るコイルと 6 方向のビームからなる 3 次元の MOT に
原子を輸送する push beam を加えたものである。これによって原子ビームを生成する。1st
MOT 側は比較的低真空(∼10−8 torr)になっており、原子蒸気が充満している。MOT の
領域にはガラスセルを採用している為、光学アクセスは比較的容易である。ガラスセルへ
の原子の付着を防ぐ為、ガラスセルは常に 60 °C程度に暖められている。
コイルはガラスセルの外側に二つ設置してあり、Anti-Helmholtz 型に電気を流すことで
磁場勾配を発生させる。対称軸は重力の向きに平行である。現在の配置では電流 1A 辺り、
(Br , Bz ) = (15, 7) G/cm の磁場勾配を発生させる。最適化の結果、1.72 A の電流を流して使
用している。
4.5. 磁気光学トラップ
69
二原子種 MOT
本研究では 41 K と 87 Rb の二つの原子種を磁気光学トラップに捉える必要がある。二つ
の原子種はどちらも同じガラスセル内にトラップしている。K 用の laser と Rb 用のレー
ザーは図 4.14 に示す様に PBS と二波長板(two wave plate)を用いて光路を一致させてい
る。すなわち二波長板は K の D2 線である 767 nm に対しては 1/2 波長板として働き、Rb の
D2 線である 780 nm の偏光は全く変えないように作られている。これを用いて直交する偏
光で PBS を用いて混合した二つの光の偏光を合わせることができる。また Rb は cooling
光、repump 光共に同じ TA で増幅しているが (節 4.4.4)、K は二つの TA を用いている為、
この二つの光も光路を一致させる必要がある。特に K の場合は repump 光も冷却に大きく
関与する為、repump 光と cooling 光の光路を一致させることが重要である。これは図 4.14
に示す様に、直交する偏光をもちいて PBS で光路を一致させたのち、偏光を傾け PBS を
用いることで、repump 光と cooling 光をそれぞれの光路に分岐する。この時 K と Rb を独
立に偏光を回せるように、通常の 1/2 波長板 (K& Rb) と二波長板 (K only) を組み合わせ
て使用する。以下同様に、光を 6 つに分けて MOT に使用する。MOT を最適化するに当
たって、6 つのビームのパワーバランスの調整が重要となる。それぞれ独立に偏光を回せ
るようにすることで、K と Rb それぞれに対して最適化することが可能となる。特に K の
場合は質量が軽いため、Rb よりパワーバランスに敏感である。最終的には波長板の角度
を 0.5°単位程度で調整する必要がある。
Rb cooling & repump
K cooling
half wave plate
two wave plate
two wave plate
K repump
PBS
4 beam
2 beam &
to Fabry-Perot cavity
図 4.14: 1st MOT の為の光学系:
PBS と波長板、二波長板を用いてビームの合成・分岐を行う。
蛍光測定
1st MOT の最適化は最終的には 2nd MOT の loading rate が最大になるように調整するべ
きであるが、装置の状況を確認する上で、1st MOT の原子数及び loading rate を蛍光によ
り観測することは非常に有用である。またそのような蛍光の定量的な観測とは別に、赤外
線カメラにより MOT の様子を定性的に観測しておくのも有効である。K 及び Rb 共に共
鳴線が赤外線の為、肉眼で MOT を観測することは難しい。赤外線カメラによって常に定
第 4 章 実験装置
70
点で観測しておけば、MOT の状況(位置や大きさ等)を瞬時に判断することが容易にな
る。以下では、蛍光の定量的な観測について詳しく述べる。
蛍光はガラスセルの外側にレンズを置いて集め、フォトダイオードにより観測する。図
4.15 の様に迷光を防ぐため、遮光をしっかり行うことが重要である。二つの原子種を用い
ている為、それぞれ独立に蛍光を観測できるように干渉フィルターを用いている。これに
より、対象としていない原子の光は観測限界以下に抑えられる。
フォトダイオードの電流は自作の回路を用いて測定している。図 4.16 に回路図を示す。
オペアンプには OP297 を使用した。これは FET 型のオペアンプで、入力バイアス電流が
非常に小さいため、微小な電流の測定に適している。電流測定回路に比較的大きな抵抗
(20 MHz for K,5 MHz for Rb)を用いている為、作成の際は図 4.16 の点線領域をできるだ
け短く配線する必要がある。これにより漏れ電流を小さくできる。またノイズを小さくす
る為、ローパスフィルタを追加した。時定数は 20 ms 程度で蛍光観測には十分である。
図 4.17(K)、4.18(Rb) に蛍光観測の様子を示す。これを指数関数でフィッティングし、
ローディングの時定数 τ 及び蛍光の絶対量 A を得る。ローディングの時定数は 1s 程度でこ
れは真空度によって決まる。真空ゲージの値は∼10−8 torr で概ね測定結果と矛盾しない。
また蛍光の絶対量から原子数が見積もれる。原子の光散乱レート γ p は式 B.30 で示され
る。レンズによる集光の立体角を Ω とし、原子数を N とすると、フォトダイオードに単
位時間当たりに入射する光子数は、NΩγ p となる。また一方、フォトダイオードの感度を
S [W/A]、測定された電圧を V とすると、単位時間当たりの光子数は V/RShν となる。 R
は測定に用いた抵抗、 hν は一光子のエネルギーである。干渉フィルターによる測定光子
数の減少割合を B で表すと、結局原子数は、
2V
1 + s0 + (2∆/Γ) 2
N=
BΩRShνΓ
s0
(4.1)
と見積もることができる。
蛍光量は K では 40 mV 程度、Rb では 140 mV 程度の信号が得られ。概ね K 原子が 7.1×106
個程度、Rb 原子が 8.9 × 107 個程度 1st MOT に捉えられている。K の方が数が少ないの
は、蒸気圧が K の方が低く、また 41 K は自然存在比が少ないためと考えられる。
ローディングの速さはローディングレート L = N/τ によって見積もられる。それぞれ、
L 1st, K = 5.9 × 106 s−1 、 L 1st, Rb = 7.4 × 107 s−1 となる。
4.5. 磁気光学トラップ
71
図 4.15: 1st MOT の光学系の外観:
手前に斜めに設置してあるものが、蛍光観測用のフォトダイオードのセットアップである。
+15V
0.1 uF
100
1 nF
20M for K
1M for Rb
S6967
10k
10k
OP297
4.7k
OP297
4.7k
1 uF
2uF
図 4.16: 蛍光観測の為の PD の回路図
図 4.17: 蛍光観測の様子(1st MOT,K)
第 4 章 実験装置
72
図 4.18: 蛍光観測の様子(1st MOT,Rb)
push beam
push 光は 2nd MOT への loading が速くなる様に調整する。Rb の場合は cooling 遷移を
用い、K の場合は repump 遷移を用いるのが効率が良い。また push 光は赤方離長、青方離
長どちらによっても実現できるが、41 K の場合、青方離長の方が効率が良くなる時がある
[107]。離長の最適値は push 光の強度にも依存する。従って、実際に loading の速さを測っ
て最適値を決めるのが良い。図 4.19 は、ローディング時間一定で、蒸発冷却を行った後
の K の原子数を、push 光の周波数(AOM への入力周波数で示している)に対してプロッ
トしたものである。すなわち原子数が大きい程ローディングレートが大きいことを示す。
図で示す様に、F = 1 から F ′ = 2 の遷移の共鳴によるディップ(AOM 周波数 ∼215 MHz)
を挟んで二つのピークがあることが分かる。右の細いピークが青方離長によるものを示
す。青方離長の方がローディングレートが高いことが分かる。
2nd MOT へのローディングレートは push 光とパワーバランスが互いに関係しているの
で、交互に調整し、最適値になる様に調整する。
5
Number of K Atoms
5x10
4
3
2
1
0
180
200
220
AOM Frequency (MHz)
240
図 4.19: K の原子数の push 光の周波数依存性
4.5. 磁気光学トラップ
73
4.5.2 2nd MOT
2nd MOT では 1st MOT から push 光によって輸送されてきた原子を再捕獲し、実験上必
要な原子数を用意する。2nd MOT の領域は高真空の為(∼10−11 torr)長時間の原子の溜
め込みが可能である。MOT は 6 つのビームを用いる標準的な MOT である。
MOT の為のコイルには磁気トラップ(詳細は後述)の一部を用いる。Curvature coil と
Anti-Bias coil を各一つずつ用いることで磁場勾配を発生させる。この時電流 15 A を流す
と磁場勾配は (Br , Bz ) = (2.7, 5.9) G/cm となり十分な磁場勾配を発生させることができる。
二原子種 MOT
1st MOT と同様に 2nd MOT も二原子種を同時にトラップする必要がある。K と Rb、
cooling 光と repump 光は図 4.20 の様に合成している。1st MOT と同様に通常の 1/2 波長板
(K & Rb)と二波長板(K only)を用いて、それぞれの偏光を独立に調整できるようにし
ている。PBS によって 6 つのビームに分岐し、波長板を用いてそれぞれの各軸のパワー
バランスを調整してある。最適な条件を達成する為には、0.2°単位程度まで微調する必要
がある。2nd MOT では、続く蒸発冷却の為に多くの原子、特に多くの Rb 原子が必要とな
る。向かい合うビームのパスを多少非対称に調整すると、より多くの Rb 原子が捉えられ
るのでその様に調整してある。ただしその場合 K 原子の数が減ってしまうことがあるの
で、どちらもある程度の数が確保できるように調整する。また 2nd MOT の場合、続く磁
場トラップと位置を合わせる必要があるので、バイアス磁場をかけることで、MOT の位
置を微調できるようにしてある。パワーバランスと磁場により、2nd MOT 中の原子数を
最大化かつ場所を最適な位置にすることができる。
第 4 章 実験装置
74
half wave plate
photo diode
PBS
two wave plate
Fabry-Perot cavity
repump mixing
2nd MOT setup
Rb cooling
K repump
Rb repump
K & Rb cooling
4 beam
2 beam &
power monitor
to 2nd MOT
K & Rb
K cooling
repump
to Fabry-perot cavity
図 4.20: 2nd MOT の為の光学系
蛍光観測
1st MOT と同様に 2nd MOT もフォトダイオードにより蛍光を観測している。回路は図
4.16 とほぼ同じ回路を使っており、K に対して抵抗 20 MΩ、Rb に対して 1 MΩ の抵抗で
測定を行っている。干渉フィルターを用いて K の PD に対しては K の光のみに感度を持
つようにしている。Rb に対しては K の蛍光量が小さいことから、ほとんど影響を与えな
いため干渉フィルターを用いずとも十分な精度で蛍光を観測できる。ただし、バックグラ
ウンドとして K の MOT 光の散乱光が多少入ってくるため、オフセットとしてこれが乗っ
てきてしまう。これは K のレーザーが安定であればほとんど問題にならないが、干渉フィ
ルターを用いればより独立な測定が可能となる。観測できる蛍光の絶対量は下がってしま
うが、Rb の蛍光量は充分多いため、干渉フィルターを用いるべきである。ただし、本研
究では Rb の蛍光量の PD による観測と赤外線カメラによる MOT の定性的な観測を同じ
光学系に組み込んでいる(同じレンズで集光し、ビームスプリッタで PD へのパスと赤外
線カメラへのパスを分岐している)。赤外線カメラによる観測は K の MOT に対しても用
いている為、干渉フィルターを組み込む場合は、それぞれの配置を工夫する必要がある。
MOT の位置や大きさの定性的な観測は赤外線カメラを用いて行っている。
蛍光観測の様子を図 4.21(K)、図 4.22(Rb)に示す。2nd MOT の場合、単純に原子数
だけでなく、MOT の位置や温度等も重要となる。位置を最適化する際に蛍光観測の立体
4.5. 磁気光学トラップ
75
角が大きく変わってしまい(特に K)蛍光の絶対量を評価するのが難しい。従って原子
数は吸収イメージングによって測定する(後述)。図 4.21(K)、図 4.22(Rb)の時の原
子数は、K に対して 3 × 107 個、Rb に対して 1 × 109 個程度である。従ってローディング
レートは L 2nd, K = 6 × 105 s−1 、 L 2nd, Rb = 3 × 107 s−1 程度となる。Double MOT の効率は
P = L 2nd /L 1st で見積もられる。K、Rb 効率はそれぞれ、 PK = 0.10、 PRb = 0.43 となる。
K に対して効率がやや悪い [107] が、Rb を優先にアライメント等をした影響であると考
えられる。本研究では、K の数はそれ程必要ないので十分である。
尚 MOT の状況によっては図 4.23 の様な、Light assisted collision(LAC)(文献 [111] 等を
参照の事) による K 原子の減少が見られる。数のバランスから Rb にはほとんど影響を与
えない。LAC の程度は、K のリポンプ光の離長や K と Rb の MOT のオーバーラップが強
く影響する。図 4.23 では K の蛍光は半分程度まで減少している。従って最終的には K と
Rb の MOT を同時に作成した時に最適になる様に、離長やパワーバランスを調整する。蛍
光量のピークと最適値が異なることがあるので、吸収イメージを用いて原子数等を確認し
ながら最適化を行う。
PD Voltage (V )
0.42
0.41
0.40
K 2nd MOT fluorescence
A = 37.44 ± 0.08 mV
= 49.1 ± 0.3 s
0.39
0
50
100
time (s)
150
200
図 4.21: 蛍光観測の様子(2nd MOT,K)
2.0
PD voltage (V)
1.8
1.6
1.4
1.2
1.0
Rb 2nd MOT Fluorescence
A = 1.552 ± 0.002 V
= 29.4 ± 0.1 s
0.8
0.6
0
20
40
Time (s)
60
80
図 4.22: 蛍光観測の様子(2nd MOT,Rb)
第 4 章 実験装置
1.8
0.46
1.6
0.44
1.4
0.42
1.2
0.40
1.0
Rb
K
0.8
0.6
0.38
PD voltage (K)
PD voltage (Rb) (V )
76
0.36
0
20
40
60
Time (s)
80
図 4.23: Light assisted collision(2nd MOT,K and Rb)
蛍光トリガー
実験開始時の原子数の安定化を狙い、Rb の蛍光が一定値に達した時に実験を開始する
ようにしている。図 4.24 にトリガー発生回路の回路図を示す。蛍光の読み取り誤差は 1%
以下である。原子数の安定度はレーザーの安定度等も強く影響する為、実際には原子数は
蛍光以上に揺らぐことになるが、安定化の為に必要な事の一つである。また蛍光レベルに
よって原子数を調整できるので、有用である。
またこれに加えて、商用電源の交流周波数によるノイズを低減する為、商用電源との同
期回路を用いている。本研究が行われた場所(東京、日本)では商用電源の周波数は 50 Hz
である。回路図は図 4.25 の通りである。ただしこれは商用電源の周波数自体の揺らぎに
よって、トリガー5∼6秒程度で位相の誤差が π に達してしまうことが分かった。従って
本研究では、実験は開始から 10 秒以上かかる為、ほとんど意味がない。実験に用いるに
は、例えば測定の直前に同様の回路を組みこみタイミングを合わせる等が必要である。
20k
Ref. in
1 uF
Zener diode
RD 5.6E
20k
20k
1 uF
20k
TTL out
OP 297
OP 297
comparator
0.1 uF
PD in
20k
47
20k
20k
0.1 uF
20k
OP 297
monitor out
OP 297
図 4.24: 2nd MOT の蛍光による trigger 回路
4.5. 磁気光学トラップ
77
+5V
10k, 7W Cement resistor
Commercial
power supply
50 Hz, 100V
@ Tokyo
1N4148
10k
10k
1
4
2
3
47
10k
10k
TL082
9V
Sharp
PC123XNNSZOF
14.7k
20k
Clock in
CLK
Q
Data in
D
Q
D flipflop
SN74F74
50 Hz out
TL081
1k
10k
TL082
10k
Logic out
47
10k
10k
TL082
comparator out
TL082
図 4.25: 商用電源周波数との同期回路
4.5.3 Time dependent MOT
定常状態の MOT では、温度が高くかつ密度が低いため磁気トラップで効率よく捕獲す
ることができない。従って我々は Time dependent MOT の手法を用いた [112, 107]。即ち、
時間的に磁場勾配及び MOT 光の強度・離長を変化させることで、より低温かつ高密度の
原子雲を得る方法である。
タイムシークエンスは図 4.26 の様になっている。K に関しては、圧縮を主に行う前半
部分と冷却を主に行う後半部分に分かれている。Rb に対しては偏光勾配冷却を聞かせる
為、repump 光の強度を下げ、Trap 光の離長を大きくする。当研究室の他の実験では前半
部分で磁場勾配を大きく上げる方法をとっているが [105, 107, 113]、本研究では磁場勾配
を単純に下げていく方法を用いている。磁場勾配を上げる方法は K の冷却に有効に働く
が、Rb の冷却にはやや非効率である。本研究では蒸発冷却の冷媒として Rb を用いる為、
Rb の温度を下げ、密度を高めることが重要である。従って、単純に磁場勾配を下げる方
法をとった。結果 K に関しては 200 µK 程度、Rb に関しては 80 µK 程度まで冷却された。
密度は nK = 2 × 108 cm−3 、nRb = 5 × 1010 cm−3 程度となる。磁気トラップで捕獲するのに
十分低温な状況を達成できた。
第 4 章 実験装置
78
5.9
B-field gradient
1.2
(G/cm)
-23.1
K repump detuning -26.9
0
-24.3
-31.9
(MHz)
3.5
K repump intensity
1.2
(a. u.)
0
-15.8
K trap detunig
(MHz)
K trap intensity
-25
1.8
1
(a. u.)
Rb trap detuning
-19.4
-20.6
0
-12.8
-64
(MHz)
-96.8
0.4
Rb repump intensity
(a. u.)
0
0
4.2
10.5
14.7
21
Time (ms)
図 4.26: Time sequence of Time-dependent MOT
4.6 磁気トラップ
蒸発冷却を行い、より低温の原子気体を作成する為に本研究では磁気トラップを使用し
た。本研究で使用した磁気トラップは筆者が修士の時に作成した [114]。より詳細な情報
はそちらを参照の事。
磁気トラップは原子の磁気モーメントと外場である磁場の相互作用を利用する。磁気
モーメントを µ 、磁場を B とすると相互作用ポテンシャルは、以下の様に書ける。
V = −µ · B
(4.2)
ここで、全スピンの大きさを F、磁場の方向を量子化軸とした磁気量子数を m F 、ボーア
磁子を µ B g 因子を gF とすると、以下の様に書きかえることができる。
V = −gF m F µ B |B|
(4.3)
4.6. 磁気トラップ
79
ここでは、原子が運動して磁場の向きが変わっても、スピンが磁場の向きに断熱的に追従
するということを仮定している。この仮定は、磁場の方向の変化率 dθ/dt が、原子の歳差
運動の周波数(ラーモア周波数)ω Larmor より十分小さい時に成り立つ。ラーモア周波数
は、以下の様に書ける。
gF µ B B
ω Larmor =
(4.4)
ℏ
以上の条件が満たされない時、運動する原子の磁気量子数 m の値は変化する (マヨラナ遷
移) ので注意が必要である。
式 4.3 より、gF m F > 0 を満たすスピン状態(”weak field seeking state”)は磁場の極小
点に集まり、gF m F < 0 を満たすスピン状態(”strong field seeking state”)は磁場の極大点
に集まることが分かる。静磁場では磁場の極大点を作ることはできないので、weak field
seeking state のみがトラップ可能である。我々の用いる 41 K および、87 Rb では |F, m F ⟩ =
|1, −1⟩ , |2, 2⟩ , |2, 1⟩ がトラップ可能である。ただし磁場が大きくなると、ポテンシャルが
式 4.3 のように線形でなくなり(パッシェンバック効果)、トラップできなくなることが
ある。41 K で特にその問題は顕著であり、|1, −1⟩ 状態では十分に深いトラップを作ること
ができず、トラップすることができない。また |2, 1⟩ 状態も原理的にはトラップ可能であ
るが、 |2, 2⟩ と比べて磁気モーメントが半分になり、トラップ力が半減するので不利であ
る。また |2, 1⟩ 状態はスピンを変化させる衝突が起こるので問題となる。
4.6.1 磁気トラップの設計
Cloverleaf trap
磁気トラップの最も簡単な作り方は、二つのコイルをアンチヘルムホルツ配置にする
ことであるが。ただしこのようにして作成した磁気トラップは磁場の極小点で磁場の大
きさが 0 となり、マヨラナ遷移が容易に起こる。これはトラップからのロスにつながる
ので極小点で磁場の大きさが 0 にならないトラップが必要である。磁場の 0 点が無いも
ので、冷却原子の系で最も一般的に用いられているトラップは、ヨッフェ・プリチャード
(IP:Ioffe-Pritchard)型トラップ [115] と呼ばれるものである。もともとの IP トラップは、
四つの平行な棒(Ioffe bar)により軸方向に成分のない四重極磁場を発生させる。それに
加えて二組のコイルがあり、一組は Curvature コイルと呼ばれ、純粋なヘルムホルツ配置
よりも十分に径が小さいコイルの組であり、バイアス磁場に加えて軸方向に曲率を発生さ
せる。もう一組は、Anti-Bias コイルと呼ばれ、ヘルムホルツ配置(もしくはそれに近い)
のコイルの組であり、Curvature コイルが作った大きすぎるバイアス磁場を調整するコイ
ルである。これらにより発生させられた磁場は、磁場の極小値をとる点(トラップ中心)
を原点とすると、原点付近で以下の様に書くことができる。
BI P
x
0
−xz
+/ B′′ *.
+/
*. +/
′*
.
= B0 .0/ + B .−y / +
−yz
/
.
2
2 − 1 (x 2 + y 2 )
0
1
z
, , ,
2
(4.5)
ここでトラップ形状を特徴づける値として、磁場の極小値のバイアス磁場 B0 、動径方向
√
の磁場勾配 B′、軸方向の磁場曲率 B′′ が現れる。 B0 >> B′r (r ≡ x 2 + y 2 ) の時(原子が
第 4 章 実験装置
80
低温で k BT << | µ|B0 の時に対応)、 |B I P | は次の様に近似できる。
1 ˜′′ 2
[ B r + B′′ z 2 ] + B0
2
B′2 B′′
B˜′′ =
−
B0
2
|BI P | (4.6)
(4.7)
これは、z 軸を回転軸とする非等方な三次元調和型となる。
B0 、 B′、 B′′ はそれぞれコイルの巻き数や形状及び流す電流の大きさによって独立に制
御することができる。 B0 の値によって、トラップ形状は大きく分けて以下の三つに分類
できる。
• B0 = (2B′2 )/(3B′′ ):トラップ形状は等方で共通の曲率 B′′ をもった調和型になる。こ
の形状は主に MOT 等のレーザー冷却された原子を磁気トラップに移行させる際に、
モードマッチをとるために使用される。トラップ周波数は以下のようになる。
√
gF m F µ B ′′
ωcom =
B
(4.8)
M
• B0 > 0 で小さい値(数 G 程度):トラップ形状は動径方向に強く圧縮されたシガー
シェイプ型のトラップになる。動径方向は中心から離れるたところでは線形で、中
心付近では調和型となる。主に蒸発冷却の時に使用され、動径方向の勾配を強くす
ることによって衝突レートを上げ、蒸発冷却の効率を高める。中心付近の軸方向、
動径方向のトラップ周波数はそれぞれ以下のようになる。
√
gF m F µ B ′′
ω ax =
B
(4.9)
M
√
gF m F µ B ′′
ω ax =
B̃
(4.10)
M
• B0 < 0:軸方向に 0 点が二つでき、トラップ中心は磁場の極大値になる。high field
seeking state のトラップ等に使用されることがある。
以上が IP 型トラップの概要であるが、その派生の一つとして今日多く使用されている
ものが、Cloverleaf trap[116] とよばれるもので、Ioffe bar の代わりに四組のアンチヘルム
ホルツ配置のコイルを組み合わせた、cloverleaf coil を用いるものである。これは、動径
方向に 2π のオプティカルアクセスを確保できることに加え、強力な動径方向の磁場勾配
を発生させることができる非常に優れたトラップである。我々もこのトラップを元にして
磁気トラップを設計した。
磁気トラップの設計
磁気トラップは極低温極性分子の生成・研究に適するように設計した。即ち以下の三点
に留意して設計した。
4.6. 磁気トラップ
1.
41 K と 87 Rb の十分な数 (5
81
× 104 個程度) の混合 BEC の作成に適している。
2. 分子生成の為の三次元光格子、光トラップに対するオプティカルアクセスの確保
3. 極性分子の研究の為の高電場(11kV/cm 以上)をかけられる電極の設置スペースの
確保
以上を達成する為の設計の模式図が図 4.27 及び図 4.28 である。標準的な Cloverleaf trap
の様に 12 個のコイルを用いており、それを強度、熱膨張率に優れるガラスエポキシの板
に固定した形をとっている。光格子のパスを確保する為に Clover coil の上下間隔を少し
開けているのが特徴的である。コイルの設計寸法は表 4.1。実際に作成した磁気トラップ
の外観は図 4.29 の様になっている。コイルは中空銅管を用いており、水冷できるように
なっている。
第 4 章 実験装置
82
Glass epoxy holder
64
g
x
y
Lattice beam
z
Anti-Bias Coil
60.4
slit for lattice beam
Curvature Coil
39
86.2
30
Glass Cell
Clover Coil
図 4.27: 磁気トラップコイルの配置の模式図(水平面)
:コイルの配置を上から見たもの。
距離は単位 mm で一部のみ記載してある。光格子用の光が通るようにガラスエポキシホ
ルダーに穴を空けてある。
4.6. 磁気トラップ
y
z
83
Glass epoxy holder
x
Anti-Bias Coil
g
Clover Coil
Glass Cell
slit for lattice beam
Curvature Coil
図 4.28: 磁気トラップコイルの配置の模式図(鉛直面)
:コイルの配置を横から見たもの。
光格子用の光が通るように Clover コイルを上下に離し、ガラスエポキシホルダーに穴を
空けてある。
表 4.1: コイル間隔、コイルの巻き数、外径、内径。(設計値)
コイル間隔 巻き数(動径方向×軸方向)
外径
内径
Clover
Curvature
Anti-Bias
39.0 mm
86.2 mm
60.4 mm
6 × 6 = 36
6 × 6 = 36
4 × 3 = 12
64 mm
72 mm
190 mm
22 mm
30 mm
162 mm
第 4 章 実験装置
84
図 4.29: 作成した磁気トラップ
4.6.2 電流の制御回路
磁気トラップに流す電流は図 4.30 及び図 4.31 の回路によって制御されている。より詳し
くは当研究室の学位論文に記載されている [117, 105]。Cloverleaf coil には 200A、Curvature
及び Anti-Bias coil には 150A の電流を流して磁気トラップを形成する。電流のオンオフは
IGBT によって行っている。電流の立ち上がりを素早く行う為に容量の大きい(15mF)コ
ンデンサを付属してある。これにより電流の立ち上がりの時定数を 5 ms 程度から 300 µs
程度まで高速化してある。Curvature coil 及び Anti-Bias coil の回路にはそれぞれ単独で電
流を流せる回路が付属してある。これを用いることにより磁気トラップの極小での磁場を
増減することができる。また、Anti-Bias coil の回路は単独で光トラップ移行時のバイアス
磁場を生成することにも用いられる。これによりフェッシュバッハ共鳴の利用が可能とな
る。使用している電源は高砂製作所の EX-1125-2 であり、これの電流制度が磁場の精度を
決定している。また 2nd MOT 用の磁場勾配を発生させる回路も付属している。他の多く
の電源は菊水電気工業社製のものを使用している。型番名等の詳細は回路図を参照の事。
コイルの回路は感電を防ぐために接地はしない。各電源は外部端子により電流を外部コ
ントロールできるようになっているが、この制御は絶縁アンプ(INA117)を通して行っ
ている。
各コイルに流れる電流はホールプローブを用いて測定している。プローブ素子には、
ULTRASTAB 867-200I(DANFYSIK)もしくは CLN-300(FW Bell)を用いている。
4.6. 磁気トラップ
85
2
Agilent
6691A
Kikusui
PAN 16-30A
15mF
Cloverleaf
A
IGBT BOX(B)
for Cloverleaf
B
IGBT for rising
図 4.30: Cloverleaf コイルの回路
IGBT BO X(D)
for Curvature, Anti-bias
Kikusui
PAN 16-30A
0.72
IGBT BO X(C)
for capture
25
Curvature
B
A
IGBT BO X (A)
for Anti-bias
15 mF
Kikusui
Kikusui
PAN 16-30A
PMC250-0.25A
Air-cooled
IGBT
25
Agilent
6691A
IGBT BOX (E)
for Anti-bias
B
Anti-Bias
Takasago
EX-1125L2
A
IGBT
for rising
図 4.31: Curvature 及び Anti-Bias コイルの回路
4.6.3 磁気トラップの性質
トラップ周波数
設計された磁気トラップは主に次の二つの動作モードで実験が行われる。
1. 原子雲捕獲の為の緩く等方的なトラップ("Catch" Trap)
2. 密度を高めて蒸発冷却を行う為のシガーシェイプのトラップ("Compress" Trap)
1 の条件は次のモードマッチの条件から算出する。
1
1
kBTMOT = mω2 σ 2
2
2
(4.11)
第 4 章 実験装置
86
偏光勾配冷却後の Rb の温度を 50 µK、大きさを 1 mm 程度と考えると、トラップ周波数
は 11 Hz 程度となる。
2 の条件は蒸発冷却を効率良く行う為、トラップ周波数はできるだけ高い方が良い。ト
ラップ周波数は磁場トラップの底でのバイアス磁場 B0 を下げることで大きくなるが、あ
まり小さくしすぎると、RF ノイズ等に弱くなる為実際に蒸発冷却の様子を見て決定する。
それぞれの場合の Rb に対するトラップ周波数を表 4.2 に示す。トラップ周波数は原子
雲の Sloshing mode の観測による実測値である。K に対しては、質量の差の分だけトラッ
√
プ周波数が大きくなる。即ち 87/41 倍になる。
表 4.2: 磁気トラップのトラップ周波数、電流値、バイアス磁場 B0
トラップ周波数
電流値
バイアス磁場
トラップ形状 (ωax /2π,ωrad /2π) (Hz) (Iclover , Icurv , IAnti−Bias ) (A)
B0 (G)
Catch
Compress
(9.7,13.4)
(9.2,148)
(74.5,180,150)
(200,150,150)
48
3.6
バイアス磁場
Feshbach 共鳴等に使用するバイアス磁場は、Anti-Bias コイルを用いて発生させる。発
生する磁場は 1.37 G/A である。完全なヘルムホルツ配置でない為、磁場の不均一性が問
題になる可能性があるが、実際に磁場を測定したところ、動径方向に中心で極小値とな
り、単位電流辺りの磁場曲率は B′′AB,rad /I = 6.2 ± 0.1 × 10−3 G/cm2 ·A、軸方向に中心で極
大値となり、単位電流辺りの磁場曲率は、 B′′AB,ax /I = 1.48 ± 0.04 × 10−2 G/cm2 ·A であっ
た。Feshbach 共鳴を利用する際に最大 100 G 程度のバイアス磁場をかけると考えると磁
場曲率は最大で 1.48G/cm2 となるがこれは十分無視できる範囲である。
尚 Anti-Bias coil の配線により、予期せぬ磁場勾配が発生していることが分かった。図
4.28 の座標において ∂Bz /∂x の成分に相当する。これは Anti-Bias coil の配線の電流の入り
口側と出口側が y 方向の上下に分かれていることが原因で、実際には打ち消すように配線
するべきである。磁場勾配の大きさはバイアス磁場が 75 G の時に ∂Bz /∂x =10 mG/cm 程
度でほとんどの場合問題にならないが、光トラップのトラップ周波数が小さい実験の時に
問題になる時がある [95]。
磁場の較正は Rb の超微細構造間の遷移を用いて行う。基底状態間のエネルギーは BreitRabi の公式より求めることができる [118]。0 G から 100 G の間で 10G 単位程度ずつとる
ことで較正する。較正による誤差は ±10 mG 以下と考えられる。ただし数年で最大 100 mG
程度の磁場のずれが観測されているので、定期的に較正を行うべきである。
電流揺らぎによる磁場揺らぎが、精度をリミットする。電流源には図 4.32 の様に商用
電源の交流周波数に由来するノイズが乗っている。揺らぎの大きさは 78 G、すなわち電
流 57 A の時、磁場揺らぎにして ±50 mG 程度、電流で示すと ±30 mA 程度である。揺らぎ
の程度は電流の絶対値に比例し、∆I/I = 5 × 10−4 となる。ただし環境による磁場揺らぎ
がある為、電流値が小さくても ±10 mG 程度の揺らぎは残ると考えられる。
4.6. 磁気トラップ
87
バイアス磁場をどれだけ素早く変化させることができるかも、実験を行う上で重要で
ある。電流の立ち上がり時間を測定すると、τAB = 1.7 ms である。抵抗が R = RAB +
RIGBT = 43 + 48 = 92 mΩ であるので(IGBT との合成抵抗を考えた)、インダクタンスは
L AB = 160µH となる。これは作成時に別々に測定した自己インダクタンス 55µH の 2 倍よ
り大きく、4 倍よりは小さいので、二つのコイルの相互インダクタンスが多少影響してい
ると考えられる。概ね 10 ms 程度の時間スケールでは問題にならないが、数 ms 程度で磁
場を変化させるときは、オーバーシュートやアンダーシュートが発生する為、Hall probe
で実際の電流の様子を観測し、適時 Control voltage を修正して対応する。
difference of hall probe voltage (V)
2
1
0
-1
-3
-2x10
-3
-40x10
-20
0
Time (s)
20
40
図 4.32: 電流ノイズ(@ 78 G)
4.6.4 補助コイル
磁気トラップ本体とは別に、実験の補助として次のコイルが設置されている。
バイアス用補正コイル
バイアス用補正コイルは光ポンピングの時の量子化磁場の発生や MOT と磁気トラップ
の位置調整等に使用する。任意の方向に数 G 程度の磁場が発生できる様に作成してある。
ポリアミドイミド皮膜銅線 ϕ = 1 mm を用いて製作した。これは、絶縁性、耐熱性、耐摩
耗性等に優れている。これを長方形に巻いたものを二つずつ組み合わせることで、均一
なバイアス磁場を作り出す。コイルの設計位は表 4.3 の通りである。電源は PAN16-10A
(Kikusui)を使用し、電源のオンオフはソリッドステートリレー D1D40(Crydom)を使
用した。電源とソリッドステートリレーを二つ用いて、逆方向にも電流を流せるようにし
てある。
第 4 章 実験装置
88
表 4.3: 補正コイルの設計値、実測値:a (mm)×b (mm) の長方形電流を仮定、コイル間隔を
d (mm) とする。
d (mm) 巻き数 a (mm) b (mm) B(計算)(G/A) B(実測)(G/A)
x
y
z
115
35
105
45
20
20
65
115
110
52.5
52.5
90
1.03
2.34
1.66
1.19
2.37
1.45
Stern-Gerlach 用コイル
磁場中の原子・分子は磁気モーメントに応じて、式 4.2 の様なポテンシャルを感じる。
従って量子化磁場を z 方向とすると、磁場勾配に対して以下の力を受ける。
Fz = −µ
dB
dz
(4.12)
これを利用して、トラップから解放して自由落下しているときに、磁場勾配をかけること
によって、原子のスピン状態や分子状態を磁気モーメントや質量に応じて分離することが
できる。もとの位置からのずれ ∆z は一定の磁場勾配をかけてから t 秒後に、
∆z =
1 µ dB
2 m dz
(4.13)
となる。分子の分離測定は、高速に行う必要がある。従って大きな磁場勾配を素早くかけ
る必要がある。これを達成するには径の小さいコイルを近くに設置するのが良い。従って
磁場勾配専用のコイルを作成した。
実際に作成したコイルは図 4.33 に示す。バイアスコイルと同様に、ポリアミドイミド皮
膜銅線 ϕ = 1 mm を用いて製作した。エポキシの接着材を用いて形を固定している。コイ
ルの設計は表 4.4 にまとめてある。また回路は図 4.34 の様になっており、最大 30 A の電
流を流すことができる。この時の磁場勾配は 33.6 G/cm であり、立ち上がり時間は 242 µs
である。従って充分大きな磁場勾配を素早く発生できている。
図 4.33: Stern-Gerlach 用コイル
4.7. RF Anntena
89
表 4.4: Stern-Gerlach 用コイルの設計
巻き数
NL
28(一層目)+ 27(二層目)= 55
外形寸法 内径 22 mm、外径 27 mm、長さ 34 mm
コイル間隔
d
39 mm
コイル抵抗
RL
0.32 Ω
ダイオード抵抗
Rd
0.14 Ω
立ち上がり時間
τ
242 µs
自己インダクタンス
L
18 µH
磁場勾配(@ 30 A) dB/dz
33.6 G/cm
PH40016
PAN 16-30A
Kikusui
cement resistor
22 ohm, 7W
STPS74D
Stern-Gerlach
coil
+
D1D40
crydom
図 4.34: Stern-Gerlach 用コイルの回路
4.7 RF Anntena
内部状態の遷移には RF もしくはマイクロ波を用いる。これらを照射する為のアンテナ
として、本研究では 3 つのアンテナを用いている。アンテナは全てポリアミドイミド皮膜
銅線 ϕ = 1 mm を用いて作成した。
一つは Rb の超微細構造間の遷移に用いるマイクロ波用のアンテナである。これには λ/2
ダイポールアンテナを用いた。これは長さ λ/4 の二つの棒からなるアンテナで棒に直行す
る向きに磁場を発生させる。Rb の微細構造間隔約 6.83 GHz でマイクロ波強度が強くなる
様に波長 λ = 4.39 cm に合わせて作成してある。ピックアップコイルとスペクトラムアナ
ライザにより非共振の長方形(縦 30 mm × 横 130 mm)アンテナと比較した所、+4 dB 程
の出力の増加が見られた。
二つ目のアンテナは主に K の超微細構造間の遷移に用いる RF 用のアンテナである。こ
れには 1λ ループアンテナを用いた。これは一周の長さが λ である円形のアンテナで、λ/2
ダイポールアンテナを二つスタックしたものであると考えると分かりやすい。円の平面
に直行した向きに磁場を発生させる。K の超微細構造間隔 254 MHz に 72 G での Zeeman
shift(後述)を加えた 440 MHz に共鳴が取れるように λ = 68 cm に合わせてある。実際に
は設置場所の都合から長方形の形をしてあり、縦 30 mm× 横 310 mm で作成した。ピック
第 4 章 実験装置
90
アップコイルとスペクトラムアナライザにより非共振のアンテナと比較した所 440 MHz
で、+13 dB 程の出力の増加が見られた。
三つ目のアンテナは RF 会合用の共鳴アンテナである。RF 会合に用いる為に 37.5 MHz
に共鳴を持つように作成されている。この周波数では波長が長すぎる為(2 m 超)コンデ
ンサーを用いて共鳴を合わせてある。回路図は図 4.35 の様になっている。アンテナは L
√
として表される。この回路は周波数 ω0 = 1/ L(C1 + C2 ) で共鳴となり、回路全体のイン
ピーダンスは実抵抗 R = 50 Ω のみとなる。抵抗を流れる電流を i 0 とすると、アンテナを
流れる電流は、i L = i 0 (1 + C2 /C1 ) となりコンデンサーによって増幅される。アンテナは
長方形の形をしており、縦 30 mm × 横 130 mm である。自己インダクタンスは実際にピッ
クアップコイルとスペクトラムアナライザにより共鳴を観測することにより、L = 234 nH
と測定された。共鳴の測定の様子を図 4.36 に示す。同寸法の非共鳴アンテナと比較する
と、出力の増加は 10 dB 程度である。
実際にはアンテナをどの様に配置するかも RF・マイクロ波の強度を高める上で重要で
ある。即ち原子雲の近くに配置すればするほど、照射される RF の強度は強くなる。アン
テナは図 4.37 の様にガラスセルの上下に K の超微細構造間隔用のコイルと RF 会合用の
共鳴アンテナを配置し、マイクロ波用アンテナを上側の横に配置した。それぞれのアンテ
ナは形が大きく異なるので、相互インダクタンスはそれ程大きくないと思われる。必要な
周波数に応じてこれらを使い分けることで、それぞれの周波数で強度の高い RF・マイク
ロ波を使うことができる。
R=50
C1=4 pF
C2=74 pF
図 4.35: 共鳴アンテナ
L=
234 nH
4.8. 蒸発冷却
91
-25
nonresonance
resonance
Intensity (dB)
-30
-35
-40
-45
-50
34
35
36
37
38
Frequency (MHz)
39
40
図 4.36: 共鳴アンテナの測定
Microwave Anntena
Bias Magnetic Field
K Hyperfine
Anntena
37 MHz
resonance
anntena
図 4.37: アンテナの配置の模式図
4.8 蒸発冷却
磁気トラップ中で蒸発冷却を行うことにより、原子を縮退領域まで冷却する。尚、磁気
トラップ中で実際に縮退(BEC)が達成可能であるが、本研究ではその後光トラップへの
移行や内部状態遷移を行う。その際縮退状態であると、密度が高くそれらの操作が非効率
であるので、本研究では磁気トラップ中での蒸発冷却は縮退手前で止め、光トラップに移
行する。縮退気体が必要な時は光トラップ中で更なる蒸発冷却を行う。
92
第 4 章 実験装置
4.8.1 optical pumping
磁気トラップには 41 K、87 Rb 共に |F = 2, m F = 2⟩ 状態で導入する。従って Time-dependent
MOT の後、optical pumping を行う。どちらの原子に対しても、 F = 2 から F ′ = 2 の遷移
(m F -pumping)及び、 F = 1 から F ′ = 2 の遷移( F-pumping)を用いる。m F -pumping で
F ′ = 2 への遷移を使う理由は、pumping 後に余計に光を吸収しないようにする為である。
光は 1st MOT 側から push 光と同じパスを通して導入する。偏光が一致するように量子化
磁場を補正コイルを用いて発生させる。pumping 時間は 200 µs で原子が拡散する前に素早
く行われる。光の周波数は観測される原子の数が最大になる様に調整する。最終的な離長
は図 4.12、4.13 の通りである。
4.8.2 原子の捕獲
原子の捕獲は節 4.6.3 で示した様にモードマッチの条件を満たす様に、磁気トラップの
形を調整する。節 4.6.2 で示したように、電流の立ち上がりは高速化されているので、十
分原子を捕獲できる。捕獲を効率良く(加熱無しに)行うには、磁気トラップの形に加え
て、MOT と磁気トラップの位置を合わせるのが重要である。これには補正コイルによっ
て、MOT 側と磁気トラップ側両面から位置合わせするのが良い。位置合わせはトラップ
後の振動の様子を見て、振幅が小さくなるように調整すれば良い。位置と形を最適化する
とほとんど加熱なく磁気トラップに移行することができる。ただし、二原子種の場合に同
時に最適にするのは条件が難しいので、最終的には原子数のバランスを見ながら条件を合
わせる。基本的には Rb に合わせると、後の蒸発冷却の効率が良くなるので実験がしやす
くなる。
またこの時点で原子のトラップ寿命を測定すると、図 4.38 のようになる。寿命は 90 秒
前後であり、蒸発冷却に十分な時間が確保されている。また 10−11 torr 台の超高真空が保
たれていることが分かる(真空ゲージの測定限界以下)。
原子捕獲後に電流値を変化させて、シガーシェイプのトラップへと移行し、断熱圧縮を
行う。捕獲 3 s と圧縮 2 s の合計 5s の時間をこの過程に使う。これにより密度が高くなり
(5 × 1011 (1/cm3 )程度) 蒸発冷却が効率良くなる。
4.8. 蒸発冷却
93
1.6x10
8
Number of Atoms
1.4
1.2
τ= 90 ± 20 s
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
20
40
60
80
100
Time (s)
図 4.38: 磁気トラップのトラップ寿命の測定
4.8.3 microwave induced evaporation
磁気トラップ中での蒸発冷却は、87 Rb の超微細構造間の遷移を用いて行う。即ち 87 Rb の
|F = 2, mF = 2⟩ から |F = 1, mF = 1⟩ の遷移を用いて行う。マイクロ波の周波数を Sweep
していくことによって、熱い原子から順にトラップから除去していくことができる。
DDS control
周波数源には当時井上研究室の学生であった、藤掛氏が作成した DDS(Direct Digital
Synthesizer) のシステムを用いた [119]。DDS は 0-400 MHz の周波数を時間的に変化させ
ながら、発生させることができる。各時間の周波数の設定には LabVIEW のプログラムを用
いており、メインのプログラムからのトリガーにより動作するようになっている。Rb の超
微細構造間隔は約 6.8 GHz であるので、シグナルジェネレーター SMR20(Rohde Schwartz)
で約 6.8 GHz を発生させ、Mixer を用いて合成し、そのサイドバンドで蒸発冷却を行う。
マイクロ波は合成後にマイクロ波アンプ VG35M(VEGA technology) で増幅している。
標準的な蒸発冷却のタイムシークエンスを図 4.40 に示す。キャリア周波数は 6.8404 GHz
である。始めの 3 秒間はクリーニングのシークエンスと呼んでおり、原子捕獲のシークエ
ンスの時に行う。周波数を上下させることで、|F = 2, m F = 1⟩ 成分を |F = 1, m F = 0⟩ への
遷移を用いて除去することができる。|F = 2, m F = 1⟩ は非弾性衝突を引き起こし、蒸発冷
却の効率を悪化させる。蒸発冷却中もキャリア周波数を |2, 1⟩ が除去されるように調整す
ると、蒸発冷却の効率が良くなる。その後、圧縮の 2 s の間に周波数を変化させ、その後
から通常の蒸発冷却のシークエンスが開始される。周波数の変化は原子数と、位相空間密
度の変化を見て、位相空間密度が原子数の減少に対して効率良く上がる様に調整する。ほ
とんどは Rb 単体で蒸発冷却を最適化すれば十分である。
第 4 章 実験装置
94
sweep |2,2>
U
|2,1>
career
|2,0>
sideband
|1,0>
|1,1>
r
F requency (MHz)
図 4.39: Microwave induced evaporation
150
100
50
0
0
10
20
Time (s )
30
40
図 4.40: 蒸発冷却のタイムシークエンス:Career frequency 6.8404 GHz
4.8.4 二原子種蒸発冷却
蒸発冷却中の位相空間密度と原子数の変化の一例を図 4.41 に示す。蒸発冷却の効率は、
位相空間密度が原子数の減少に対してどれだけ上昇するかで評価できる。即ち、
logPSD = alogN + b
(4.14)
としたときの a の絶対値が大きい程、効率が良いという事になる。Rb 単体ではこの値は
2.5 程度になる。K と同時に蒸発冷却を行うとこの値は、悪化し、1.7 程度になる。ただ
し、この値は K の原子数に大きく依存する為、実際には蒸発冷却の最後を見て K を増減
させ、同時 BEC を目指すことになる。Rb の蒸発冷却の効率は、温度が 2 µK 程度から K
4.9. 光学系の設計
95
の影響を受け効率が悪くなる。この時、Rb の原子数は K の原子数の 10 倍程度である。条
件を最適化したときの BEC の最大数は Rb 単体で NRb = 1 × 106 個程度、K、Rb 同時に蒸
発冷却を行ったとき NK = NRb = 1 × 105 個程度である。通常は 1 µK まで冷却した段階で
光トラップに移行する。
図 4.41: 蒸発冷却中の原子数と位相空間密度の関係
4.9 光学系の設計
本節では実験で用いる光学系の全体の設計について述べる。各要素の説明については次
節以降を参照の事。また、筆者の修士論文 [114] において同様の設計について詳しくのべ
てあるので、必要に応じてそちらを参照の事。本研究で用いる、光学系の要素として以下
のものが挙げられる。
1. MOT(3 軸: 6 ビーム)
2. Imaging(2 軸: Top, Side)
3. 光トラップ (2 軸+1 軸: Main(P 軸), Cross(A 軸), 光格子と共用 (B 軸))
4. 三次元光格子 (水平 2 軸、垂直 1 軸)
その他に吹き飛ばし光等が存在する。また将来的には STIRAP 用の光を導入することも考
慮にいれて設計されている。図 4.42、図 4.43 にガラスセル周辺の光学系の配置を示す。各
光軸は便利の為、それぞれにアルファベットによりラベル付けされている。パスが重なっ
ている所は波長(dichroic mirror:short wave pass(SWP) 及び long wave pass(LWP) の二種類
が存在する。LWP:1080 nm 反射、809 nm & 780 nm & 767 nm 透過、SWP:LWP と反射と
透過が逆)及び偏光(PBS)によってによって分離及び重ね合わせを行っている。dichloic
96
第 4 章 実験装置
mirror に円偏光を斜めに透過させると、偏光が崩れてしまうので、1/4 波長板と 1/2 波長
板を用いて楕円偏光を適切な角度で入射させることで、透過後の偏光がきれいな円偏光
になるように調整してある。V 軸は Imaging(TOP)及び光格子(垂直)、A 軸は Imaging
(Side)、光トラップ(Cross)、MOT が重なっている。また光格子の水平 2 軸(B 軸、C 軸)
には、アライメントの為の簡易的な Imaging を重ねている。将来的には C 軸の imaging の
パスから STIRAP 用の光を導入する予定である(641 nm 及び 875 nm[120])。B 軸の打ち
返し側には、ソレノイドシャッターが設置してあり、打ち返しをシャッターで切ることに
より、光トラップとしても使用できるようにしてある。また P 軸には二つの波長の光ト
ラップが存在する。フリッパーミラーを用いることによって、ビーム径の異なる二つの
809 nm の光を切り替えることができる。光トラップ等の各要素の詳細については次節以
降に説明する。
4.9. 光学系の設計
97
z
y
To CCD camera
x
Probe beam (side imaging)
g
probe beam
B axis
A Axis
Lattice beam (B)
B axis
Lattice beam (C)
probe beam
MOT beam
ODT (P’ ) 809 nm
flipper
P Axis
ODT (P) 1080 nm & 809 nm
Glass Cell
ODT (A) 1064 nm
MOT beam
dichloic mirror (short wave pass,
dichloic mirror (long wave pass,
R 1080 nm T 809,780,767 nm)
T 1080 nm R 809,780,767 nm)
lens
PBS
solenoid shutter
CCD camera
quarter waveplate
damper
mirror
half waveplate
図 4.42: ガラスセル周辺の光学配置(上面図)
第 4 章 実験装置
98
Probe beam (TOP Imaging)
y
g z
x
V axis
MOT beam
Lattice beam (V)
MOT beam
ODT (P) 1080 nm & 809 nm
ODT (P’ ) 809 nm
P axis
lens
mirror
quarter waveplate
dichloic mirror
half waveplate
right angle mirror
図 4.43: ガラスセル周辺の光学配置(正面図)
4.10 光トラップ・光格子
本節では、光トラップ・光格子について述べる。光トラップの原理については付録 B で
述べている。また、光トラップ・光格子中の原子の振る舞いについては、第 3 章で述べて
いる。本節では、光トラップ・光格子の実装について詳しく述べる。本研究は原子雲の密
度に依存する現象が強く関わってくる。従ってこれらの外部ポテンシャルの制御は非常に
重要である。
4.10. 光トラップ・光格子
99
4.10.1 トラップ波長の選択
光トラップ・光格子に用いる光の波長は、ポテンシャル深さと光散乱レートを考慮して
選択する必要がある。光の離長に対して、ポテンシャル深さと光散乱レートは式 B.13 の
関係が有る為、離長を大きくすればするほど、ポテンシャル深さに対する、光散乱レート
は低くなる。ただし、あまり離長を大きくし過ぎると、より大きな光強度が必要となる
為、入手可能なレーザーを考え、適切な波長を決定する。波長 1064 nm 付近には高出力
で安定な光源が入手可能であり、K 原子及び Rb 原子からの離長を考えると、十分なポテ
ンシャル深さが達成でき、光散乱レートも十分低い。従って波長 1064 nm 付近は選択肢と
して理想的である。本研究では、以上に加えて分子からの光散乱も考慮する必要がある。
分子の場合は多数の振動・回転基底状態が存在する。これらの準位間の遷移の線幅はそれ
程大きくないが、多数ある為、直接共鳴を打つ危険性がある。KRb の場合、理論計算に
よると [121]、1064 nm 付近にはいくつかの遷移が存在する。波長 1064 nm は直接遷移を
打っていないが、振動準位と振動準位の間に存在する為、光散乱レートが高くなる危険性
がある。波長 1080 nm であれば、周りにほとんど振動準位が存在せずより安全であると考
えられる。波長 1080 nm は Yb-doped ファイバーレーザーのゲインのほぼ中心であり、高
出力なレーザーが容易に手に入る。従って、我々は一つ目の波長として、1080 nm を選択
した。光トラップ 2 軸と三次元光格子はこの波長を用いる。光源については節 4.10.2 で詳
しく述べる。
本研究ではさらにもう一つの波長の光を光トラップ 1 軸用に用いている。Feshbach 分
子を高効率に生成する為には、41 K 原子雲と 87 Rb 原子雲の空間的重なりを十分にとる必
要があるが、41 K と 87 Rb の質量が異なる為、通常良く使われる波長 1 µm 付近の光トラッ
プでは、トラップ周波数に差が生じ、B.1.5 節で述べた重力サグの効果により式 B.24 のよ
うにトラップ位置がずれてしまう。このずれ(相対重力サグ)は BEC の Thomas-Fermi 半
径と同程度である為、41 K と 87 Rb は空間的にほぼ完全に分離してしまうことになる。そ
こでこの相対重力サグを無くす光トラップとして、以下の二つが考えられる。
1. 重力方向に強く偏平した光トラップ(パンケーキ型トラップ)
2. 重力サグが等しくなるような波長の光トラップ
まず 1 の方法であるが、これは重力方向のビームウエストを小さくし、トラップ周波数を
共に大きくすることで相対重力サグを小さくする方法である。しかし、この方法では密度
が高くなりすぎてしまい、非弾性衝突によって原子数が大きく減少してしまうという問題
がある [122]。
一方 2 の方法であるが、これは既に 40 K と 87 Rb の混合原子気体の実験で実践されてい
る [123]。式 B.21 より、
√
√
m87 Rb
ω41 K
U41 K
=
(4.15)
ω87 Rb
U87 Rb
m41 K
であるから、ω41 K /ω87 Rb = 1 となる為には、
m41 K
U41 K
87
=
=
2.1
U87 Rb m87 Rb 41
(4.16)
第 4 章 実験装置
100
となるような波長があれば良い。41 K の D1 、 D2 線はそれぞれ 770 nm、767 nm であり、
87 Rb の D 、D 線はそれぞれ 795 nm 、780 nm である。ポテンシャル深さは離調に反比例
1
2
し、質量の大きい 87 Rb の共鳴線の方が長波長側にあるので、式 4.16 を満たす波長は赤方
離調側に存在する(図 4.44)。
41
K D2 767 nm
K D1 770 nm
87
Rb D2 780 nm
41
e
87
Rb D1 795 nm
1:2
809 nm
g
図 4.44: 809nm と共鳴線の関係
式 B.14 より、波長を求めると λ = 808.8 nm となる。ここで、808, 8 nm は共鳴線、特に
の D1 線 795 nm に近い為に、光散乱が起きやすいことに注意しなければならない。
半導体レーザーの自然発光等により、共鳴をたたいてしまうと光散乱によって原子が加熱
されてしまう。よって光源には十分注意する必要がある。光源については節 4.10.3 で詳し
く説明する。
87 Rb
4.10.2 1080 nm 光源
1080 nm の光源はファイバーレーザーを用いている。まず種光として、NP photonics 社
製のシングルモードファイバーレーザーを用いている。これの出力は 10 mW 程度で線幅
は 1 kHz 程度である。これを Nufern 社製のファイバーアンプ二台によって増幅している。
出力は 10 W ずつであり、合計 20 W が使用できる。これらを分岐し光トラップの各軸に
導く。出力は AOM で制御し、各軸の干渉を防ぐため 10 MHz 以上の周波数差をつけてあ
る。出力が高い為、AOM の 0 次光等は適切に処理する必要がある。0 次光は damper を用
いて光を吸収させ処理している。また PBS は接合部に接着材を用いないオプティカルコ
ンタクトで製作されたものを用いている。
4.10. 光トラップ・光格子
101
4.10.3 809 nm 光源
809 nm の光源は半導体レーザーである。この光源については、筆者の修士論文に詳し
く書いてある [114]。この波長の周辺は高出力な半導体レーザーが容易に手に入る。最終
的に必要な光のパワーは 100-200 mW 程度である。ECDL を種光として用い、レーザー冷
却光源と同様に injection locking と TA の 2 段階の増幅により、最終的な出力を得る。初期
の最終出力は 100 mW 前後であったが、最近高出力の TA を用いることにより、500 mW
以上の出力を得ることができ、十分な出力が得られている。図 4.45 に光源の概要を示す。
自然発光成分を除去する為に、TA の前後に VPH grating(edmund:VPH1200GR)を用い
ている。回折効率は 90% 程度である。
光スペクトラムアナライザによって、ASE の波長分布を観測すると図 4.46 赤線に示す
ように自然発光成分が 87 Rb の D1 線 795 nm まで広がっていることが分かる。ここで、自
然発光成分による光散乱レートを大ざっぱに見積もってみる。共鳴での光散乱レートは、
式 B.30 から求めることができる。ASE 成分のパワーは 20 mW 程度である。これが図 4.46
赤線から幅 6.7 × 1012 Hz 程度の間に分布している。よって波長 795 nm の付近における
87 Rb の自然幅 6 MHz 程度に含まれるパワーは図よりピークの 40dB 下がっている程度な
ので、
6 × 106 Hz
P795nm ≃ 20 mW ×
× 10−4 ≃ 1.8 × 10−9 mW
(4.17)
12
6.7 × 10 Hz
となる。ここで飽和強度 Is = 1.6 mW/cm2 であり、ビームウェスト w z = 400 µm、w y =
40 µm 程度に絞ると考えると光散乱レートは、
I795nm
Γ
Is
1.8 × 10−9 mW
1
×
× 2π × 6 × 106 Hz
≃
1.6 mW/cm2 π × 400 × 10−4 cm × 40 × 10−4 cm
≃ 80 [1/s]
Γs ≃
(4.18)
となる。809 nm の光トラップに数 100 ms 程度トラップすると考えると光散乱レートは、
1 [1/s] 以下になることが望ましい。よって ASE の成分を 20 dB 程度下げる必要がある。
Grating 追加後の図 4.46 青線を見てみると、自然発光成分は測定限界以下まで下がってお
り、十分自然発光成分を除去できていると考えられる。
第 4 章 実験装置
102
809nm
ECDL
master
PBS
Fabry-Perot
cavity
Slave
Laser
Injection locking system
Tapered
Amplifier
AOM
Taperd Amplifier system
To P Axis
isolator
fiber Coupler
half waveplate
optical fiber
mechanical
shutter
VPH grating
図 4.45: 809nm 光トラップの概要:全てのオプティクスは記載されていない。Master laser
がシングルモード発振しているかどうかは、Fabri-Perot cavity にて確認している。パワー
調整は AOM で行い、光を完全に切る為に mechanical shutter を使用している。
0
No Grating
Grating
87
Power (dB)
Rb D1 Line
795 nm
-20
-40
809 nm
-60
-80
780
790
800
810 820 830 840
Wavelength (nm )
850
860
870
図 4.46: TA の ASE の波長分布:ASE が 87 Rb の D1 線にかかっていることが分かる(赤
線)。グレーティングによる除去後(青線)は検出限界以下まで下がっている。
4.10.4 光トラップ
光トラップは、全部で 4+1 本のビームが使用する。一本は光格子と共通でうち返しを
ソレノイドシャッターで切ることにより、光トラップとして使用できる。実際の配置は図
4.42、4.43 を参照の事。また仕様するレンズ等の詳しい情報は過去の学位論文に載ってい
る [114, 95]。
4.10. 光トラップ・光格子
103
最初の二本は P 軸に通っている。波長は 1080 nm 及び 809 nm の二本である。これを ODT
(P)1080 nm、809 nm と呼ぶ。パスは重ねてあり、1080 nm から 809 nm に移行できるように
なっている。ビームは楕円型になっており、水平方向のビーム径はシリンドリカルレンズ及
び手動ステージにより 1080 nm 及び 809 nm が連動して調整できるようになっている [114]。
ビーム径は sloshing mode と強度の測定により測っており、 (w z , w y ) = (100 − 700, 82) µm
(for 1080 nm) 及び (w z , w y ) = (70 − 700, 76) µm(for 809 nm) となる。水平方向のビーム径は
用途に応じて変更し、その都度トラップ周波数を測定し、ビーム径を較正する。
また P 軸にはもう一本 809 nm が通っている。これはフリッパーミラーによって上記
の 809 nm と入れ替えることができる。これを ODT(P’) 809 nm と呼ぶ。ビーム径は w z =
w y =50 µm でより tight なトラップを実現したいときに用いる [95]。ODT(P) 及び ODT(P’)
は 1080 nm を最大 3.5 W 程度、809 nm を最大 200 mW 程度利用することができ、重力方
向のビーム径も小さく、主に重力方向を支えるのに用いる。809 nm を用いれば K と Rb の
相対サグの解消することができる。
次の一本は A 軸に通っている。波長は 1080 nm である。これを ODT(A) と呼ぶ。鉛直
方向のビーム径は調整可能であるが、本研究では固定で用いる。ビーム径は (w x , w y ) =
(72, 91) µm である。磁気トラップから光トラップへの移行時に ODT(P) の補助として用い
られる。またコンファインメントを強くしたい時に用いられる。最大 1 W の出力が利用
可能である。
最後の光トラップは光格子のビームを用いる。軸は B 軸である。これを ODT(B) と呼
ぶ。光格子のうち返し側にソレノイドシャッターがあり、ODT として用いることができ
る。ビーム径は w = 300 µm で他のトラップの補助として、トラップ周波数を低くしたい
時に用いる [95]。
4.10.5 Dual BEC の生成
Dual BEC は光トラップ中で生成する。フェッシュバッハ共鳴を利用する為に、K 及び
Rb が |1, 1⟩ 状態の Dual BEC を生成する必要がある。磁気トラップから光トラップへの移
行の際はマヨラナ遷移を防ぐために、磁場の 0 点が出現しないように磁気トラップを立ち
下げる必要がある。磁気トラップ中では磁場は、Curvature coil が作る磁場の向きを向い
ている。Feshbach 共鳴を利用する為の磁場は Anti-Bias coil で発生させる為、磁場の向き
を反転させる必要がある。従って 0 点が存在しないように、これらの垂直方向に補正コイ
ルにより磁場を発生させておき、磁気トラップを立ち下げる。
磁気トラップ立ち下げ時に磁場の極小点が動くので、先に光トラップを立ち上げてお
き、ある程度原子が光トラップに集まった時点で、素早く磁気トラップを立ち下げること
でほとんどの原子を移行可能である。ただし、素早く蒸発冷却が生じ温度・原子数共に減
少する。
光トラップのアライメントはイメージングと共通のパスの場合は、光トラップと原子の
位置を直接みることで精度良く合わせることができる。P 軸についてはイメージングが存
在しないが、pumping 光と共通のパスであるので、まずそれとトラップ光をあわせて粗調
する。さらに共鳴光を光ファイバーを用いて同じパスに入れ、原子を吹き飛ばすように調
整することでさらに精度良く合わせることができる。最終的には実際にトラップを行い、
第 4 章 実験装置
104
トラップ後に振動が起こらないように微調することで、精度の良いアライメントが可能で
ある。
光トラップ移行時に温度 TK = TRb = 1 µK 程度、原子数 NK = 4 × 105 個程度、 NRb =
4 × 106 個程度が典型的な温度と原子数である。始めは ODT(P) と ODT(A) の波長 1080 nm
の交差型光トラップに導入する。1080 nm の光トラップ中でのトラップ寿命は 10 s 以上で
あり十分光散乱は抑制されている。
Adiabatic rapid passage
磁気トラップ中では K、Rb 共に |2, 2⟩ 状態であるので、 |1, 1⟩ 状態へと ARP(Adiabatic
rapid passage) を用いて、遷移を行う。具体的には RF もしくはマイクロ波をある磁場での
|2, 2⟩ − |1, 1⟩ 遷移の共鳴周波数に合わせておき、その磁場を超える様に磁場をスイープす
ることで |1, 1⟩ へと断熱的に遷移させる。これは内部状態の遷移には一般的な方法である。
磁場を固定し、RF 周波数をスイープすることでも同様の遷移が可能であるが、我々の実
験装置では磁場をスイープしたほうが効率が出やすいことが分かっている。これは磁場揺
らぎによるデコヒーレンスの影響が、磁場スイープの方が少なくなる為であると考えら
れる。
ARP は K|1, 1⟩-Rb|1, 1⟩ 間の相互散乱長が 0 a0 近くになる 72G 付近で行われる。我々の
場合、K と Rb をそれぞれ遷移させる必要がある。この時、順番にもしくは同時に遷移さ
せる必要があるが、この順番が効率に大きく影響を与える。同時もしくは、K の ARP を
先に行った場合、以下のスピン交換衝突が起きる。
Rb |2, 2⟩ + K |1, 1⟩ → Rb |2, 2⟩ + K |1, 1⟩
(4.19)
この際、超微細構造間のエネルギーの差 (Rb:約 6.8 GHz、K:約 254 MHz) の分だけ加熱が起
き、トラップからのロスにつながる [101]。従って Rb の ARP を先に行う。尚 Rb|1, 1⟩ −K|2, 2⟩
間の散乱長は 72 G 付近で-2200a0 程度である [101] ので、こちらの過程も三体衝突による
ロスが起きるが、密度が低ければほとんど問題にならない。
Rb の ARP は 10 ms、K の ARP は 5 ms で行われる。スイープ時間と RF の強度を最適化
した結果、遷移効率はどちらも 90% 程度である。この際 Rb の方が数が多く、10% 程度
の残った Rb|2, 2⟩ 状態も K との非弾性衝突を引き起こし、後の蒸発冷却の効率を悪化させ
る。従って Rb の ARP と K の ARP の間に Rb の |F = 2, m F = 2⟩ ⇐⇒ |F ′ = 3, m′F = 3⟩ の
遷移に対応する共鳴光により、残った Rb|2, 2⟩ 状態を吹き飛ばしている。
光トラップ中での蒸発冷却
光トラップ中でトラップ深さを下げていくことで蒸発冷却を行う。重力ポテンシャルの
傾きは Rb の方が大きいので、Rb が優先的に除去されていく。従って Rb の原子数を多め
に用意する必要がある。K-Rb 間で熱緩和が起きやすいように、フェッシュバッハ共鳴に
より相互の散乱長を 250 a0 程度に調整し、蒸発冷却を行い Dual BEC を生成する。実際に
生成した Dual BEC のイメージ画像を図 4.47 に示す。最大で NK = NRb = 1 × 105 程度の
Dual BEC が生成できる。尚 1080 nm の光トラップ中では、Dual BEC は重力サグの影響
4.10. 光トラップ・光格子
105
で空間的に離れているが、TOF 中に原子雲が広がると衝突が起きることを水平方向のイ
メージングにより確認している。相互散乱長の値によってこれは原子数の減少につながる
[95]。従って磁場勾配をかけ、空間的に分離すると TOF 中のロスを抑えることができる。
図 4.47: 1080 nm 光トラップ中の Dual BEC:
上(下)の画像が K(Rb) のイメージである。TOF 時間は 35.7 ms(36.3 ms) である。原子数
は NK = 9.5 × 104 個、NRb = 9.1 × 104 個である。磁場勾配は 33.6 G/cm を 0.5 ms 印可した。
4.10.6 809nm 光トラップ
809 nm 光トラップ中にも同様に Dual BEC を生成できる。相互散乱長 0a0 付近(72 G、
87 G)で 1080 nm の光トラップから移行する。大体移行時間 100-300 ms 程度でほとんど加
熱なく移行できる。トラップ寿命は光散乱で制限されており、数 s 程度である。図 4.48 に
Dual BEC のイメージを示す。809 nm の場合は Dual BEC が重なっており、これはトラッ
プ周波数の一致で確認してある [114]。従って TOF 中のロスをできるだけ避ける為、磁場
勾配によって分離してイメージングを行っている [95]。
106
第 4 章 実験装置
図 4.48: 809 nm 光トラップ中の Dual BEC:
上(下)の画像が K(Rb) のイメージである。TOF 時間は 30.7 ms(31.3 ms) である。原子数
は NK = 8.8 × 104 個、NRb = 9.2 × 104 個である。磁場勾配は 33.6 G/cm を 0.5 ms 印可した。
4.10.7 光格子
光格子の設計については筆者の修士論文に詳しく書いてある [114]。光格子は 3 軸あり、
各軸 V、B、C 軸と名付けられている。水平方向の 2 軸である、B、C 軸にはアライメント
の為の簡易のイメージングがあり、V 軸はメインに用いている TOP イメージングと軸が
一緒であるので、行きのアライメントは容易に行える。うち返しのアライメントは pulsed
lattice の方法により [124]、光格子の深さが深くなるように、調整する。光格子のビーム
径は全て w = 300µm であり、外部コンファインメントの影響を極力排除してある。光格
子深さは、各軸 25ER (for K) 以上になるように光パワーが分配されており、この時 K のト
ンネリングの時定数 ℏ/2J ∼ 18 ms 以上となり、十分トンネリングが抑えられている。
4.11. イメージング
107
4.11 イメージング
イメージングについては過去の学位論文にも詳しく書いてある [119, 114, 95] のでそ
ちらも参照の事。本研究では原子気体の密度分布の測定に吸収イメージング(absorption
imaging)と位相コントラストイメージング (PCI: phase contrast imaging) の二種類のイメー
ジングを用いている。
原子気体に probe 光を当てて、原子気体の密度を測定することを考える。原子気体を透
過する前の probe 光の電場を E0 (r,t) 、原子気体を透過した後の光の電場を Et (r,t) 、原子
気体によって散乱された光の電場を ∆E(r,t) とすると、以下の関係式が成り立つ。(今電
場の偏光は無視している。)
Et = E0 + ∆E = tE0 eiϕ
(4.20)
ここで、t = t(x, y) は透過率、ϕ = ϕ(x, y) は位相シフトを示す。透過率及び位相シフトは
原子気体の密度等から決定される。Kramers-Kronig の定理から透過率及び位相シフトは
原子気体に関して全く同じ情報を持っており互いに関係しあっている。従って透過率もし
くは位相シフトのどちらかを測定すれば原子気体の密度を決定することができる。透過率
を測定する方法が吸収イメージングで位相シフトを測定する方法が PCI である。以下透
過率及び位相シフトの導出方法の詳細は過去の学位論文 [119] を参照の事。ここでは概要
を述べる。
透過率及び位相シフトはそれぞれ屈折率の虚部と実部に対応する。物質の複素屈折率を
nref (ω) = nR (ω) + inI (ω) とすると、Maxwell 方程式より物質中の電場は、
E(r,t) = E0 ei(nref ωx/c−ωt)
= E0 e−nI ωx/c ei(nR ωx/c−ωt)
(4.21)
と表される。物質の厚さを d とすると、透過率 t 及び位相シフト ϕ は、
t = e−nI ωd/c
ω
ϕ = − (nR − 1)d
c
(4.22)
(4.23)
となる。
一方二準位原子気体の複素屈折率は原子気体が十分希薄なとき、
nref = 1 +
σ0 nλ
−δ̃ + i
4π 1 + I/Is + δ̃2
(4.24)
と書ける。ここで n は原子気体の密度を示す。また、δ̃ = 2δ/Γ、σ0 = 6πo 2 (o = λ/2π) で
∫
ある。今 probe 光の進行方向を z 軸にとり、縦密度 ñ(x, y) = n(x, y, z)dz を定義すると、
結局
)
(
)
(
D
σ0 ñ
1
= exp −
(4.25)
t = exp −
2 1 + I/Is + δ̃2
2
D
σ0 ñ
ñ
= δ̃
ϕ=
(4.26)
2
2 1 + I/Is + δ̃
2
となる。ここで D = σ0 ñ/(1 + I/Is + δ̃2 を光学的厚さ (OD:optical density) という。式 4.25、
4.26 より原子気体の透過率もしくは位相シフトを測定することで、原子気体の縦密度を求
めることができる。
第 4 章 実験装置
108
4.11.1 吸収イメージング
図 4.49: 吸収イメージング
吸収イメージングは図 4.49 の様な光学系を用いる。プローブ光としては、原子の光学
遷移に共鳴もしくは共鳴に近い光を用いて、原子気体による光の強度 I = ϵ 0 c|E| 2 /2 の変
化を測定すれば良い。スクリーンとして、CCD カメラ等を用いることで強度変化を測定
できる。プローブ光の強度を I0 吸収イメージングによって得られる光の強度を IABS とす
ると、
IABS (x, y)
|Et (x, y)| 2
=
= t(x, y) 2
(4.27)
I0 (x, y)
|E0 (x, y)| 2
となる。プローブ光の強度が十分弱く (I/Is ∼ 0)、共鳴 (δ̃ = 0) の場合は、式 4.25 より、
(
)
IABS
1
ñ(x, y) = − ln
(4.28)
σ0
I0
と求まる。
尚 CCD カメラで IABS /I0 を測定するときは、通常3枚のイメージを取る。すなわち「プ
ローブ光による原子の影のイメージ (Shadow)」、「プローブ光のイメージ (Light)」、「原子
も光もない時のイメージ (Dark)」の三枚である。これにより暗電流の影響等を除くことが
できる。各 CCD の画素 (i, j) の座標を (x i , y j ) とし、各画素のそれぞれの輝度を Si,j 、Li,j 、
Di,j とすると、
IABS (x i , y j )
Si,j − Di,j
=
(4.29)
I0 (x i , y j )
Li,j − Di,j
となる。
4.11.2 位相コントラストイメージング
phase plate
図 4.50: 位相コントラストイメージング
PCI のセットアップは図 4.50 の様な光学系を用いる。吸収イメージングとほぼ同様の光
学系であるが、位相シフトを強度の情報に変換して測定する為、図 4.50 で示すような位
4.11. イメージング
109
相プレート (phase plate) を用いている。位相プレートは石英ガラスでできており、図 4.50
の様に中心部にくぼみが存在している。これを図 4.50 の様にプローブ光の焦点に合わせ
ることにより、プローブ光の位相のみをくぼみの深さと位相プレートの屈折率によって決
まる位相 ϕpp だけ進ませる。従ってスクリーン上の電場 EPCI は、
EPCI = ∆E + E0 eiϕpp = tE0 eiϕ − E0 + E0 eiϕpp
(4.30)
となる。ϕpp を適当に選ぶことで、位相シフトを強度変化によって感度良く測定できるよ
うになる。本研究では、石英ガラス(屈折率 1.453)でできた、外径 15 mm、くぼみの直径
140 µm、くぼみの深さ 423 nm の位相プレートを用いた [119]。これは、K の D2 線 767 nm
に対して π/2 の位相シフトを発生させる。また、Rb の D2 線 780 nm に対してもほぼ同様
の位相シフトを発生させる。従って、ϕpp = π/2 とすると、
IPCI
= |tE0 eiϕ − E0 + E0 eiπ/2 | 2
I0
(
√
π)
= t 2 + 2 − 2 2tcos ϕ +
4
となる。ここで透過率を t ∼ 1 とすると、
(
)
3 − IPCI /I0
π
ϕ = arccos
−
√
4
2 2
(4.31)
(4.32)
となり、位相シフト ϕ はプローブ光の強度変化 IPCI /I0 から求めることができる。
式 4.25、4.26 より、 D = −2ln t 及び ϕ は、概ねそれぞれ δ̃−2 及び δ̃−1 に比例する。従っ
て離長 δ をある程度大きくすると、ϕ をある程度の大きさに保ったまま、t ∼ 1 にするこ
とができる。従って PCI を用いることで、ほぼ非破壊に原子気体の縦密度を測定するこ
とができる。本研究では、δ̃ = −70-100 程度、即ち離長 −200-300 MHz 程度で実験を行っ
た。この時縦密度は、
2δ̃
ñ(x, y) =
ϕ(x, y)
(4.33)
σ0
と求めることができる。
尚本研究の様に離長を負にとった場合、ϕpp = 3π/2 とした方が縦密度のダイナミック
レンジは大きくなるが、学位論文 [119] の時に用いた位相プレートをそのまま用いた為、
ϕpp = π/2 とした。従って密度によって離長を調整することによってこれに対処した。プ
ローブ光の詳細については、過去の学位論文を参照の事 [119, 95]。ϕpp = 3π/2 の位相プ
レートを用意することで、より実験は容易でかつ精度が良くなると考えられる。
4.11.3 イメージングの光学系
本研究では CCD カメラとして Acton 社製の PhotonMAX 512B を用いた。画素数は
512 × 512 で1画素の大きさは 16 µm × 16 µm である。
イメージングの光学系は以下に示す Top(V 軸)
(図 4.51)と Side(A 軸)
(図 4.52)の
二軸が存在し、これらは、着脱式のミラーによって切り替えることができる。これによっ
第 4 章 実験装置
110
て原子気体を水平方向、鉛直方向から観測することができる。本研究では特に K 原子気
体と Rb 原子気体の重力方向のずれが問題になるので、水平方向のイメージングは重要で
ある。また TOP イメージングは着脱式のレンズにより拡大率を変更(拡大イメージング、
縮小イメージング)することができ、MOT と縮退近くまで冷却された原子気体どちらも
観測することができる。またプローブ光及び位相プレートのありなしはフリッパーマウン
トによって切り替えることができる為、吸収イメージングと PCI を即座に入れ替えること
ができる [95]。切り替えの際、位相プレートの厚みの分だけ焦点がややずれる為、レンズ
を調整して対処する。ただし、拡大率への影響はほとんどないと考えられる。本研究では
主に Side イメージングの PCI を利用した。
表 4.5 にイメージングの拡大率、解像度等を示す。拡大率は TOP の縮小イメージングを除
いて光格子による原子波の干渉を観測し、干渉縞の間隔から較正している。TOP の縮小イ
メージングの拡大率は計算値である。また解像度 dr は Layleigh’s cryterion (dr ∼ 0.61λ/NA)
を用いた。NA(Numerical Aperture) は設計から計算で求めた。 λ = 780 nm を計算に用い
た。現在 phase plate の径は小さく(直径 15 mm)NA を制限する為、PCI では解像度は下
がることになる。尚、side イメージングの拡大率が設計と比べて大きくなっているが、こ
れは 50 mm の PBS の影響であると考えられる。
4.11.4 解像度の評価
side イメージングの PCI の解像度は後の章 (第 5 章) において重要となるので、実際にど
の程度の解像度がでているか確認を行った。これは、解像度より小さいと思われる BEC
のサイズの実測値と理論値を比較することによって行う。実測値は実際に BEC を PCI で
観測した値を使い、理論値は原子数とトラップ周波数から算出した、Thomas-Fermi 半径
(式 3.16) を用いる。解像度よりも BEC のサイズが小さい時、見た目のサイズは大きくな
るが、その積分値(即ち原子数の見積もり)は正確に測定できると考えられる。
BEC のイメージング画像をガウシアン関数でフィッティングし、その幅を実測すること
を考える。元の x 方向の幅が σ0 であったとする。即ち x 方向の縦密度が、
2x 2 +
*
f (x) = Aexp − 2
, σ0 -
(4.34)
で表される時を考える。これを解像度 σr で観測することを考える。即ち、次のぼやけ関
数 g(x) を考える。
√
(
)
2x 2
2
exp −
g(x) =
(4.35)
σr
πσr2
∫
g(x) は規格化条件 g(x)dx = 1 を満たしている。この時実際に観測される関数 F (x) は
f (x) と g(x) の畳み込み積分であると考えられる。即ち、
∫
F (x) =
f (x ′ )g(x − x ′ )dx ′
(4.36)
=
2x 2 +
σtot
Aexp *− 2
σr
, σimage -
(4.37)
4.11. イメージング
111
=
1/σr2
+ 1/σ02 、σimage
=
√
σ02 + σr2 である。従ってイメージの幅
∫
∫
は σ0 から σimage に拡大して見えることが分かる。また、 f (x)dx = F (x)dx を満たす。
σ0 が Thomas-Fermi 半径 Ri に相当すると考えられる。実際に Thomas-Fermi 半径が Rx =
79 µm、 Ry = 2.2µm と計算される BEC の見た目の幅をフィッティングにより測定すると、
測定された幅は σimage, x = 79 µm、σimage, y = 7.9 µm となった。x 方向に関しては一致して
おり、解像度の影響は誤差の範囲内と思われる。一方 y 方向は計算値と実測値に大きなず
れが観測された。解像度 σr を求めると、σr, y = 7.6µm となる。これは計算により求めた
解像度 7.9 µm に近い値である。測定の誤差が数% 程度存在する為、誤差の範囲内で計算
通りの解像度がでていると考えられる。
2
となる。ここで、1/σtot
表 4.5: Imaging 系の設計
拡大率 pixel syze (µm) 解像度 (µm)
TOP(縮小)
0.35
46
not calculated
TOP(拡大)
4.32
3.70
3.66
TOP(拡大,PCI) 4.32
3.70
10.3
Side
6.19
2.58
4.3
Side (PCI)
6.19
2.58
7.93
Dichloic mirror
2 inch
F=500
F=200
1 inch
2 inch
Atom
NA
not calculated
0.13
0.046
0.11
0.06
F=150
F=60
2 inch Removal 2 inch
CCD camera
phase plate
62
100
75
137
129 61
190
Achlomat lens
355
300
845
Plano convex lens
図 4.51: TOP イメージングのセットアップの概要:着脱式のレンズを用いることによって
二つの倍率を使い分けることができる。位相プレートのありなしはフリッパーマウント
によって切り替えることができる。ミラーが間に入っているが図では省略している。この
軸はさらに光格子の垂直軸が重なっている。光線は拡大イメージングの時の Probe beam
(青)と原子の影(赤)の focus の様子を表わしたものである。距離の単位は mm である。
第 4 章 実験装置
112
quarter waveplate
Atom
F=250×2
PBS 2 inch
50 mm Achlomat
F=80
2 inch
Achlomat
CCD camera
phase plate
143
60
47
30 125
225
350
400
図 4.52: Side イメージングのセットアップの概要:ミラーが間に入っているが図では省略
している。位相プレートのありなしはフリッパーマウントによって切り替えることができ
る。光線は Probe beam(青)と原子の影(赤)の focus の様子を表わしたものである。距
離の単位は mm である。
113
第5章
41K-87Rb 混合系における三体ロス
係数の決定
本章では、41 K-87 Rb 混合系における二つのフェッシュバッハ共鳴近傍での三体ロス係数
の決定の実験について述べる。三体ロス係数がフェッシュバッハ共鳴近傍でどのように振
る舞うかは、フェッシュバッハ分子の生成効率を上げる為に重要である。何故なら、特に
異核原子からなるフェッシュバッハ分子の場合、原子雲同士の空間的重なりが重要となる
が、その際に三体ロスが問題となる。従って原子雲の密度を十分に制御し、三体ロスを抑
えることが必要となるが、その為には三体ロス係数を正確に知っておく必要がある。また、
フェッシュバッハ共鳴近傍での三体ロス係数の振る舞いは、三体束縛状態の性質によって
決まっている為、これを調べる上でも重要である。
5.1 三体ロス係数の測定の概略
三体ロス係数を測定するには、三体ロスによる原子雲の密度の時間発展を観測すれば
良い。本研究で対象とする、41 K-87 Rb 混合系のレート方程式は以下の連立方程式の様に
なる。
dnK
2
2
= −2L KKRb nK
nRb − L KRbRb nK nRb
−
dt
dnRb
2
2
−
= −L KKRb nK
nRb − 2L KRbRb nK nRb
dt
nK
τK
nRb
τRb
(5.1)
(5.2)
nK 、nRb はそれぞれの原子の密度で時間と位置の関数である。L KKRb 、L KRbRb はそれぞれ
K-K-Rb 及び K-Rb-Rb の組み合わせの三体ロスの係数を示す。今回使っている原子の内
部状態は両方とも |F = 1, m F = 1⟩ 状態であるので二体の散乱は弾性散乱のみとなる。τK 、
τRb はバックグラウンドの一体ロスを示し、本研究では 809 nm 光トラップの光散乱によっ
てほぼ決まっている。局所的に成り立つ式であるので、in-trap で直接密度分布を観測する
か、TOF で測定した原子の数、温度及びトラップ周波数から密度分布を算出する必要が
ある。尚、本研究では三体ロス係数の測定に熱的原子集団を用いるが、粒子間の位置の相
関関数は三体ロス係数に含まれるものとする。従って、凝縮体を使った場合三体ロス係数
は位置の相関関数の分だけ変化するということに注意が必要である。
第5章
114
41 K-87 Rb 混合系における三体ロス係数の決定
5.1.1 初期の試み
まず、三体ロス係数の測定限界を見積もり、また測定の問題を明らかにする為、次の実
験を行った。この実験については過去の学位論文にも記述がある [95]。
1 µm の交差型光トラップ(P 軸、A 軸)中に K、Rb の混合系を用意し一定時間保持す
る。その後トラップから解放し一定時間立ったのちに(TOF:Time of flight) 、吸収イメージ
ングを用いることによって、原子雲の数と温度を見積もる。これを繰り返すことによって
各原子雲の密度の時間発展を測定し、三体ロス係数を計算する。温度は 300 nK 程度、平
均トラップ周波数は、(ω̄K /2π, ω̄Rb /2π) = (110, 85) (Hz) で初期平均密度は、5×1012 (cm−3 )
程度となる。"narrow"(78.68 G) フェッシュバッハ共鳴近傍の散乱長 a = 250 a0 (B=77.4 G)
での平均密度の時間発展の測定結果が、図 5.1 となる。
13
10
8
6
nRb
nK
3
density (1/cm )
4
2
12
10
8
6
4
2
11
10
0
10
20
Time (s)
30
40
図 5.1: 三体ロス係数の測定(吸収イメージング、a = 250 a0 ):青三角が K の密度、赤
丸が Rb の密度を示す。青、赤の実線は τK =24 s、τRb =130 s、 L KKRb = 7×10−27 cm6 /s、
L KKRb = 0 cm6 /s での K、Rb 原子の密度の時間発展をシミュレーションしたものである。
青三角が K の密度、赤丸が Rb の密度を示す。図よりロスカーブでの初期では、三体ロ
スに起因する非線形な時間発展が見られ、最終的に密度が低くなってくると一体のロス
カーブに漸近していくといった振る舞いが見られる。また実線は、τK =24 s、τRb =130 s、
L KKRb = 7×10−27 cm6 /s、 L KRbRb = 0 cm6 /s としたときの各原子雲の密度の時間発展を式
5.1、5.2 から離散的な逐次発展によりシミュレーションしたものである。シミュレーショ
ン結果は実際に時間発展に良く一致している。シミュレーションによるロスカーブは各原
子雲の初期密度、 L KKRb 、 L KRbRb 、τK 、τRb の値の大きさによって大きくかわるが、長時
間の保持によって原子密度が低くなり、密度が時間に対して線形に変化する様子を正確に
測定することでまず一体のロス係数が決定される [125]。また、初期原子密度を揃えるこ
とで、 L KKRb と L KRbRb の大きさの比率を正確に知ることができる。従って図 5.1 から K
原子の密度が素早く減少する様子が見て取れる為、この散乱長では K-K-Rb の三体ロスが
支配的であることが明らかになった。K-Rb-Rb の三体ロス係数は測定限界以下であると
考えられる。測定結果の各点のばらつきとシミュレーションによりこの測定での三体ロス
係数の測定下限値は、10−27 cm6 /s 程度となる。また散乱長 a = 0 a0 の磁場(72 G、87 G)
でも同様の測定を行ったところ、K-K-Rb、K-Rb-Rb どちらの三体ロスも測定限界以下で
5.2. 非破壊イメージングによる三体衝突係数の決定
115
あった。以上をまとめると、以下の様になる。
1. a = 250 a0 で L KKRb = 7×10−27 cm6 /s、 L KRbRb < 1×10−27 cm6 /s
2. a = 0 a0 で L KKRb 、 L KRbRb <10−27 cm6 /s
3. 測定限界は 5×10−27 cm6 /s 程度
また測定において以下の様な問題があることが分かった。
1. 初期原子数の揺らぎにより、十分な精度の測定をするには長時間・多数回の測定が
必要。
2. 二つの三体ロス係数の比を正確に知るには、できるだけ原子数の比を一致させる必
要がある。
3. 空間的に原子運がどの程度重なっているか見積もりが困難。
4. 密度が低いため測定下限値が高い。
上記 1、2 の問題により原子数を安定させる為に長時間の準備・測定が必要である。本研
究の装置は磁気トラップが熱平衡に達するまで数時間を要し、フェッシュバッハ共鳴近傍
全体で同様の測定を行うことは現実的ではない。また 4 の問題にも 1、2 の問題が測定精
度の関係で関わっている。3 の問題を解決すればより精度よい測定が期待できる。
以上の問題を解決する為、本研究では非破壊イメージングを用いた三体衝突係数の決定
を行うことにした。次節以降ではこれについて説明する。
5.2 非破壊イメージングによる三体衝突係数の決定
前節で説明したように、吸収イメージングを繰り返しとる方法は測定時間・回数の面で
困難である。これは主に初期原子数の揺らぎが原因である。特にボソンの混合系の場合こ
の問題は顕著になる。式 5.1、5.2 に見られるように、ボソンの混合系の場合、時間発展は
多数のロスチャンネルが関与した非常に複雑のものになっている。よって初期原子数が少
しでも揺らぐと、時間発展の様子が大きく変わることになる。これを解決するには、同
一原子集団の時間発展をそのまま見ればよい。すなわち非破壊イメージングの導入が必
要である。これには第 4.11.2 節で説明した、位相コントラストイメージング(PCI:Phase
Contrast Imaging)を用いる。図 5.2 に PCI で測定した原子数の時間発展の一例を示す。こ
れによって初期条件に依存しない測定が行え、実験効率は劇的に改善した。また in-trap
で直接原子分布を測定できる為、原子雲同士の重なりを評価するのも容易である。
41 K-87 Rb 混合系における三体ロス係数の決定
第5章
116
5
1.2x10
Number of atoms
1.0
0.8
0.6
0.4
NK
N Rb
0.2
0.0
0
10
20
Time (ms)
30
40
図 5.2: 原子数の時間発展の PCI による測定
5.2.1 解析手法
節 5.1.1 では、原子の密度の時間発展からシミュレーションを行い、三体ロス係数の大
きさを見積もった。しかし式 5.1、5.2 は複雑な連立微分方程式となっており、直接解析す
るのは難しい。また厳密には密度は各点で異なる為、平均密度による議論は不適である。
よって C. Ospelkaus らと同様の手法 [126] を用いて、解析しやすいように式を変形する。
まず式 5.1、5.2 で空間積分を実行することで以下の様に変形する。
dNK
= −2L KKRb IKKRb − L KRbRb IKRbRb −
dt
dNRb
= −L KKRb IKKRb − 2L KRbRb IKRbRb −
dt


I

 KKRb

 IKRbRb

=
=
∫
∫
2 n dr
nK
Rb
2 dr nK nRb
NK
τK
NRb
τRb
(5.3)
(5.4)
(5.5)
NK 、 NRb は各原子雲の粒子数である。密度積分 IKKRb 、 IKRbRb の定義は式 5.5 の通りで、
密度分布はガウシアンを仮定することで、容易に計算できる。この実験ではサイドイメー
ジングを用いているが、奥行方向のずれは考慮しない。トップイメージングによって奥行
方向のずれが十分小さいことは確認ずみである。また、奥行方向の幅についてはトラップ
周波数の比から計算する。重力方向の幅についても、イメージング系の解像度以下である
ため、トラップ周波数から計算する (節 4.11.4 の議論を参照の事)。
さらに、 L KKRb と L KRbRb を独立に計算する為、式 5.3、5.4 を足し引きすることによっ
5.2. 非破壊イメージングによる三体衝突係数の決定
117
て以下の様に変形する。
dNK
dNRb
NK
NRb
−2
= 3L KRbRb IKRbRb −
+2
dt
dt
τK
τRb
dNRb
dNK
NRb
NK
−2
= 3L KKRb IKKRb −
+2
dt
dt
τRb
τK
(5.6)
(5.7)
(5.8)
これによって連立微分方程式ではなく、それぞれの微分方程式を別々に解くことで L KKRb
と L KRbRb を独立に計算することができる。
式 5.6、5.7 は等価なので、式 5.6 について以降説明する。式 5.6 の微分方程式は解析的
に解けないので、時間積分をさらに実行すると以下の様になる。
)
∫ t
∫ t(
NK
NRb
NK (t)−NK (0)−2 (NRb (t) − NRb (0)) = 3L KRbRb
IKRbRb dt+
−
+2
dt (5.9)
τK
τRb
0
0
時間積分は実際には、台形積分で近似する。式の構造を理解しやすいように整理すると、
∆NKRbRb (t) − MKRbRb (t) = 3L KRbRb IKRbRb (t)
(5.10)
の様に書ける。ここで各文字の定義は、
∆NKRbRb (t) = NK (t) − NK (0) − 2 (NRb (t) − NRb (0))
)
∫ t(
NK
NRb
−
MKRbRb (t) =
+2
dt
τK
τRb
0
∫ t
IKRbRb (t) =
IKRbRb dt
(5.11)
(5.12)
(5.13)
0
となる。それぞれ、∆NKRbRb (t) は原子数の変化、MKRbRb (t) は一体のロス、IKRbRb (t) は三
体のロスを示す。K-Rb-Rb 及び K-K-Rb それぞれに対して ∆N (t) − M (t) を縦軸に、I(t)
を横軸にグラフをプロットすると図 5.3 の様になる。この時の、傾きが三体ロス係数なの
でこれを回帰分析により求めれば良い。以上の解析により、K-Rb-Rb 及び K-K-Rb の二つ
の三体ロス係数を一組の非破壊イメージングから求めることが可能である。
1.0x10
5
KKRb
KRbRb
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
1
2
3
4
図 5.3: 三体ロス係数の決定
5
40
6x10
118
第5章
41 K-87 Rb 混合系における三体ロス係数の決定
測定の統計誤差を減らす為、一つの散乱長に対して 5 組程度の非破壊イメージングを行
う。すなわち 5 つ程度の原子集団に対して、一連の非破壊イメージングを行う。原子集団
によって初期原子数や初期密度は異なるが、各非破壊イメージングから上記の解析によっ
て得られた原子数変化や密度積分は全て式 5.10 (及び K-K-Rb に関する同様の式)に従う
はずである。5 つの原子集団に対して図 5.3 と同様のプロットを行うと、図 5.4、5.5、5.6
のようになる。
図 5.4: 三体ロス係数の決定(相互散乱長 aKRb = −1981 a0 ):
KKRb 及び KRbRb の同一番号は同じ非破壊イメージングから得られたデータであること
を示す。エラーバーは一体項の 20% を示す。fitting は一体の項で重みをつけて行った。
図 5.5: 三体ロス係数の決定(相互散乱長 aKRb = −818 a0 ):
KKRb 及び KRbRb の同一番号は同じ非破壊イメージングから得られたデータであること
を示す。エラーバーは一体項の 20% を示す。fitting は一体の項で重みをつけて行った。
5.2. 非破壊イメージングによる三体衝突係数の決定
119
図 5.6: 三体ロス係数の決定(相互散乱長 aKRb = −505 a0 ):
KKRb 及び KRbRb の同一番号は同じ非破壊イメージングから得られたデータであること
を示す。エラーバーは一体項の 20% を示す。fitting は一体の項で重みをつけて行った。
図 5.4、5.5、5.6 はそれぞれ相互散乱長 aKRb が-1980 a0 、-818 a0 、-504 a0 での測定から
得られたデータである。次節以降で示す通り、相互散乱長の絶対値が小さくなる程三体ロ
ス係数は小さくなる。従って一体の項の寄与が大きくなる。また密度が小さくなる程三体
ロス係数は小さくなる為、非破壊イメージングの後半のデータは一体の項の寄与が大きく
なる。図 5.4、5.5、5.6 には一体の項の 20% をエラーバーとして示した。実際に相互散乱
長が小さく、測定の後半になるほど、一体の項の寄与が大きくなっていることが分かる。
従って一体の項を重みとして回帰分析を行い三体ロス係数を求めた。測定限界は一体の項
によって決まり、3 × 10−27 cm5 /s 程度である。一体の項は光トラップ(809 nm)の光散乱
によって決まっている。より離長の大きいトラップを用いれば測定限界は小さくなると考
えられる。
5.2.2 測定条件
測定は K、Rb 原子それぞれを ODT(A) 及び ODT(P’)(809 nm) からなる交差型光トラッ
プ中に導入し、密度分布の時間発展を測定する。トラップ周波数は (ω x /2π,ω y /2π,ω z /2π) =
(120, 330, 310)(for K)、 (ω x /2π,ω y /2π,ω z /2π) = (91, 320, 310)(for Rb) 程度になる。光強度
を PD により測定してトラップ周波数を較正する。原子数は NK = NRb = 1-2 × 105 個程度
で、温度は TK = TRb = 400-600 nK 程度で測定を行い、密度は nK = nRb = 1-2 × 1013 cm−3
程度になる。温度と密度は測定の上限を決定する。上記の条件より λ dB = 5000-7000 a0
√
程度、平均原子間距離 k −1 = 2500-3000 a0 (k = 6πn) 程度となる。即ち、密度( k −1 )に
よって測定限界が決まることになる。概ね |aKRb | < 2000 a0 程度で散乱長依存性が測定で
きると考えられる。散乱長がこれを超えると、三体ロス係数が飽和してくると考えられ
る。PCI による測定間隔は 10-40 ms で 1 回の測定で 5 回イメージングを行う。このロス
第5章
120
41 K-87 Rb 混合系における三体ロス係数の決定
カーブから前節で説明した解析方法により三体ロス係数を得る。これを各散乱長で 5 回程
度繰り返し平均することで、各散乱長の三体ロス係数を決定する。
5.3
41
K-87Rb 混合系における三体ロス係数の決定
三体ロス係数の散乱長依存性の測定結果は、図 5.7(KKRb)、5.8(KRbRb) のようになる。
エラーバーは統計誤差を示す。原子数の見積もりに 20 % 程度の系統誤差があると考えら
れるため値の絶対値は図で示すよりも大きな誤差があると考えられるが、系統誤差の影響
はグラフ全体が上下にシフトするだけであるので、グラフの定性的な振る舞いには影響を
与えないと考えられる。
図 5.7: 三体ロス係数(KKRb)の散乱長依存性
5.3.
41 K-87 Rb 混合系における三体ロス係数の決定
121
図 5.8: 三体ロス係数(KRbRb)の散乱長依存性
39 G の共鳴を"Broad"共鳴、78.68 G の共鳴を"narrow"共鳴と呼ぶ。それぞれの共鳴に対
して K-K-Rb の三体ロス係数及び K-Rb-Rb の三体ロス係数の計四つの三体ロス係数が存在
する。どれも aKRb は 200-2000 a0 の間は概ね a4 に比例しており、散乱長依存が測定でき
ていると考えられる。また三体ロス係数の測定下限は前節で述べた通り、3 × 10−27 cm6 /s
程度である。また、図 5.7、5.7 を比較すると、全領域に渡って K-K-Rb の三体ロス係数の
方が、K-Rb-Rb の三体ロス係数より大きいということが分かる。これは、次章以降で説明
する分子生成の時に重要となってくる。また図 5.7、5.7 の結果で重要なことは、"Broad"
と"Narrow"の三体ロス係数は全領域に渡って誤差の範囲で一致するということである。こ
れは、共鳴間で三体パラメータがほとんど異なっていないという事を示唆する。また同位
体間に関しても 40 K-87 Rb の実験結果 [45] とも比較した結果、KRbRb の三体ロス係数に関
してほとんど異ならないことが分かった。従って本研究の測定によって、KRbRb の三体
ロス係数は同位体・共鳴によって異ならないということが分かった。これは理論予測 [47]
の結果と矛盾しない。
d 波 Feshbach 共鳴
図 5.7、5.7 の散乱長負側には、"Broad"共鳴において非常に細いピークが見られるが、こ
れは高次の Feshbach 共鳴であるということが判明している。図 5.9 に磁場に対して"Broad"
共鳴、散乱長負側の三体ロス係数(KRbRb、KKRb)をプロットしたものを示す。LENS
のグループにより、磁場 44.58(5) G 及び 47.96(2) G において d 波 Feshbach 共鳴の存在が
報告されている [71]。図 5.9 の緑点線が、報告されている d 波 Feshbach 共鳴の位置であ
る。我々の測定でも 48 G の L KKRb 、 L KRbRb 両方に非常に細いピークが見られ、これは d
122
第5章
41 K-87 Rb 混合系における三体ロス係数の決定
波 Feshbach 共鳴によるロスであると考えられる。44.5 G の方は共鳴が検出されなかった
が、これは線幅に対して測定間隔が広かった為と考えられる。
図 5.9: "Broad"共鳴、散乱長負側の三体ロス係数(KRbRb、KKRb)の磁場依存性:
緑点線は報告されている、d 波 Feshbach 共鳴の位置を示す [71]。
三体ロス係数におけるエフィモフ共鳴の存在の検証
図 5.7、5.7 を見ると、どのグラフにもエフィモフ共鳴は見えないということが分かる。
しかし、同じ原子種における LENS の測定では、"Broad"共鳴においてエフィモフ共鳴
の存在が報告されており [44]、本研究の結果と矛盾する。エフィモフ共鳴は散乱長負側
に、ロスのピーク(a− )として、 L KRbRb に対して、a− = −246(14) a0 、 L KKRb に対して、
+4
a− = −22 * + × 103 a0 の二つの共鳴が報告されており、散乱長正側にやはりロスのピー
,−6ク (a∗ ) として、 L KRbRb に対して a∗ = 667(1) a0 の一つの共鳴が報告されている。a− 、a∗
+4
は三体パラメータである。a− = −22 * + × 103 a0 の共鳴は、密度による飽和領域にあり
,−6強いピークが見えない可能性がある。また、a∗ = 667(1) a0 はアバランシェメカニズム
[28] による共鳴であるが、そのメカニズムはまだ完全に理解されていない [127]。従って、
a− = −246(14) a0 の共鳴が最も強く観測されており、かつ本研究の観測領域内に存在する
為、これについて検証するのが良いと考えられる。
異核原子の系の三体ロス係数の散乱長依存性として、Effective Field Theory による理論
式が存在する [46]。これは散乱長負側で、
L KRbRb (a < 0) =
CL
coth(πs0 )sinh(2η ∗ )
ℏa4
2 sin2 [s0 ln(a/a− )] + sinh2 (η ∗ ) mK
(5.14)
5.3.
41 K-87 Rb 混合系における三体ロス係数の決定
123
と書ける [45]。これは等核原子の式 2.158 に、質量比による補正を加えたものである。こ
の時、理論では s0 = 0.6444、CL = 344.5 と計算される [46]。ロスのピークを示す a− と
しては、報告された値 a− = −246 a0 を採用する。非弾性パラメータ η ∗ は共鳴の鋭さを示
すが、典型的な値として η ∗ = 0.1, 0.01, 0.001 を採用した。散乱長負側において、 L KRbRb
に対する実験結果と理論式を図 5.10 に示した。比較の為、LENS のグループにおける三
体ロス係数の実測値 [44] も同様に示した。図 5.10 によると、もし共鳴が存在するとした
ら、η ∗ = 0.1, 0.01, 0.001 のどの値でも共鳴付近に大きな構造が観測できると考えられる。
しかし、本研究ではそのような構造は見えなかった。エフィモフ共鳴は温度による影響を
受けることから、報告された温度 T ∼ 300 nK で実験を行ったが、明確な共鳴は観測でき
なかった。従って本研究では 41 K-87 Rb の三体ロス係数にエフィモフ共鳴は観測できない
という結論を得た。本研究では、PCI によりロスの係数を測定している為、原子数による
測定よりは、実験による誤差(原子数揺らぎ等)は少ないと考えられる。またこの結果は
同位体における実験 [45] 及び理論予測 [47] と矛盾しない。
以上をまとめると、本研究では 41 K-87 Rb 混合系における二つの Feshbach 共鳴近傍での
三体ロス係数の決定を行った。その結果 KRbRb 及び KKRb の三体ロス係数は同位体・共鳴
によって異ならない、かつ観測範囲にエフィモフ共鳴は存在しないということが分かった。
図 5.10: 散乱長負側の三体ロス係数(KRbRb)の散乱長依存性:
LENS のグループの値は論文 [44] における値を引用した。緑破線、水色点線、紫一点短鎖
線はそれぞれ Effective field theory(式 5.14) における理論式 (η ∗ = 0.001, 0.01, 0.1) を示す。
124
第6章
フェッシュバッハ分子の生成
本章では、本研究の主要な研究対象である。フェッシュバッハ分子の生成について述
べる。
6.1 Feshbach 分子の生成の要点
Feshbach 分子を作る上で問題となることは、まず第 2.3.6 節で述べたように、原子との
衝突に弱く寿命が短いという事である。実験上可能な時間スケール(磁場の変化速度等)
に比べて寿命の時間スケールが比較的短いため、実験を行うことが困難となる。従って、
これを解決する為に次の二つの戦略が考えられる。
1. 高速に分子を生成・観測する。
2. 原子と分子の衝突を抑制して、寿命を延ばす。
1 を達成する方法として、RF 会合 [24] の方法がある。我々はまずこの方法により、分子
の観測に成功した。この方法については節 6.2 及び節 6.3 で詳しく述べる。
2 を達成するには、三次元光格子に原子を一つずつ導入し、そこで分子を生成するのが
良い(図 6.1)。これは、節 6.5 で詳しく述べる。最終的にこの手法を用いることで、十分
な数の Feshbach 分子を長寿命に作ることに成功した。
以上の問題の他に異核原子の混合系から Feshbach 分子を作る場合、原子雲同士の空間
的オーバーラップが重要となる。これに対処することが Feshbach 分子の効率生成に重要
であり、これについても次節以降で詳しく述べる。
尚、41 K-87 Rb の系は共鳴点が 38.4 G と 78.68 G の二つの Feshbach 共鳴を持つが、本研
究では 78.68 G の Feshbach 共鳴において分子の生成を行った。
図 6.1: 光格子中の分子の模式図
6.2. Feshbach 分子の生成手法
125
6.2 Feshbach 分子の生成手法
フェッシュバッハ分子の生成する主な手法として磁場スイープによるものと、RF 会合
[24] によるものがある。磁場スイープによる方法はその名の通り、磁場をスイープするこ
とによって原子状態から分子状態へと断熱的に遷移させる方法である(図 6.2)。一方 RF
会合とは片方の原子をスピン状態が異なる状態(我々の実験では 41 K の |F = 1, m F = 0⟩ 状
態)にしておき、そこに RF を照射することによってスピンを反転させると同時に直接分
子状態へと遷移させる方法である(図 6.3)。
Energy
Rb |1,1>,K |1,1>
Rb |1,1>,K |1,0>
Energy
RF Field
Rb |1,1>,K |1,1>
molecule
molecule
Magenetic Field
図 6.2: 磁場スイープによる分子の生成
Magenetic Field
図 6.3: RF 会合による分子の生成
どちらの方法も磁場もしくは RF 周波数を充分ゆっくりスイープすることで断熱的に分
子を生成することができる。断熱条件は原子状態と分子状態の結合の強さに依存する。原
子状態と分子状態の結合の強さは磁場スイープの方法では Background の散乱長によって
決定され [22]、RF 会合の方法では RF の強度に依存する [128]。従って、RF 会合では高強
度の RF を用意することで高速に分子を生成できることが期待できる。また、前節で述べ
たように最終的には三次元光格子による分子の長寿命化を計画しているが、その時に分子
の寿命を短くする原因として、光格子の光源の ASE による光散乱や振動、強度ノイズに
よる加熱等が考えられる。従ってそれらの原因を探るためにも、分子を高速で観測する手
法を確立することが重要である。RF 会合では数 100 µs での分子の生成が期待できる。
また RF 会合のメリットとして、分子の束縛エネルギーを知ることができるといったメ
リットが存在する。生成に用いた RF の周波数から分子の束縛エネルギーを直接知ること
ができる。束縛エネルギーは分子の性質を知る上で重要な情報であり、束縛エネルギーの
磁場依存性を測定することにより、Feshbahc 共鳴の正確な位置を知ることができる。
以上の理由から我々はまず RF 会合による分子の生成を試みた。次節で RF 会合の実験
の詳細について述べる。尚本研究では分子の束縛エネルギーを精度良く測定すること及
びできるだけ高速に分子を生成することを狙い、RF 周波数のスイープは行わなかった。
従って RF 会合による分子の生成は非断熱過程となる。
第 6 章 フェッシュバッハ分子の生成
126
6.3 RF 会合による分子の観測
分子は RF 会合により生成されるが、分子の生成の観測方法として、次の二つの方法が
ある。
1. 原子のロスによる測定
2. 分子の直接観測
これら二つの観測方法を図 6.4 に模式的に示した。図 6.4 に示す様に、分子は生成後すぐ
に原子との衝突等により、振動緩和しトラップから外れていく。従って、会合前後での原
子数を比較すれば分子の生成を確認できる。これが 1 の方法である。一方生成された分子
を直接緩和前に観測する方法もある。これが 2 の方法である。
1 の方法は分子を直接観測している訳ではなく、分子の寿命等を知ることはできないが、
生成・観測速度が遅くても測定が行えるという利点がある。従ってまずこの方法により、
RF 会合により分子が生成されることを確認し、束縛エネルギーを確定する。そして、そ
の後分子の生成を高速化し、分子の直接観測(2 の方法)を試みる。
,QGLUHFWGHWHFWLRQ
5E_) P) !._) P) !
(QHUJ\
5E_) P) !._) P) !
∆ΕΒ
PROHFXOH
'LUHFWGHWHFWLRQ
Other levels
0DJHQHWLF)LHOG
図 6.4: RF 会合による分子の生成の観測方法:
原子のロスから観測する方法(Indirect detection)と分子を直接観測する手法(Direct detection)がある。
6.3. RF 会合による分子の観測
127
6.3.1 ロスによる測定
ロスによる測定は筆者の修士論文に詳しく書いてある [114]。ここでは測定の概要を述
べる。
1080 nm 光トラップ中に RF 遷移を用いて、41 K の |F = 1, m F = 0⟩ 状態及び、87 Rb の
|F = 1, m F = 1⟩ 状態を用意する。Feshbach 共鳴は、41 K の |F = 1, m F = 1⟩ 状態と 87 Rb の
|F = 1, m F = 1⟩ 状態の Feshbach 共鳴なので、41 K のスピンを操作することで RF 会合を行
うことができる。会合次の平均トラップ周波数は 2π×95 Hz(87 Rb)、2π×133 Hz(41 K)と
なり、温度はともに 300 nK。原子数は 87 Rb 、41 K ともに 4×104 個程度で、この時の密度
は 3.6×1012 [1/cm3 ](87 Rb)、3.1×1012 [1/cm3 ](41 K)となり位相空間密度は 0.14(87 Rb)、
0.38(41 K)となる。またこの時の RF の強度の指標として、原子の共鳴でのラビ周波数を
測定した。これは高磁場で 41 K の |F = 1, m F = 0⟩ 状態のみをイメージングし、RF 照射時間
を変えながら、原子数を観測することで測定した。測定されたラビ周波数は、2π × 14 kHz
である。
RF 照射時間は 50-200 ms 程度で、十分な原子数の減少、即ち分子の生成が確認できた。
原子のロスのスペクトラムは温度によるシフトとブロードニングが存在する為、これをボ
ルツマン分布でフィッティングして束縛エネルギーを決定した。
6.3.2 束縛エネルギーの決定
各磁場での束縛エネルギーをプロットすると、図 6.5 のようになる。Feshbach 共鳴点
近傍では、束縛エネルギーは二次関数で表すことができるので、フィッティングにより
Feshbach 共鳴点を決定すると、78.68 ± 0.03 G となる。先行研究では、Feshbach 磁場自
体に変調をかけることによって束縛エネルギーを測定している [66] が、測定結果は良く
一致しており、精度良く束縛エネルギーを測定することができたといえる。
Binding Energy (MHz)
0.00
Binding Energy
fit
-0.05
-0.10
-0.15
-0.20
-0.25
-0.30
-0.35
77.8
78.0
78.2
78.4
78.6
78.8
Magnetic Field (Gauss)
図 6.5: Feshbach 分子の束縛エネルギー
79.0
第 6 章 フェッシュバッハ分子の生成
128
6.3.3 分子の生成・観測速度の高速化
ロスによる分子の観測により、束縛エネルギーが決定されたので。次に分子の生成・観
測を高速化し、分子の直接観測を試みる。尚、これらの分子の直接観測の実験は井上研究
室の学位論文にも詳しく記載されている [129]。
生成速度の高速化
RF 会合による分子の生成 (K-Rb) は以下のレート方程式で示される。
dnmol
= KRF nK nRb − KLoss,K nKRb nK − KLoss,Rb nKRb nRb
dt
(6.1)
生成、ロス共に二体の過程を考えている。ロス係数 KLoss,K 、KLoss,Rb に対して、会合係数
KRF をどれだけ大きくすることができるかが鍵となる。
分子の生成速度は Klempt らによって計算されている [128]。RF パルスを τ [s] 間照射し
たときの生成分子数 Nmol は
[
]
∫
π 2 2 ∞
(Erf − Eb − E0 − εr ) 2 τ 2
Nmol = Ω τ
h(εr )exp −
F f (εr )dεr
(6.2)
2
ℏ2
0
ここで Ω は対応する原子遷移のラビ周波数、 Erf = hν は RF 光子のエネルギー、 Eb は分
子の束縛エネルギー、 E0 は原子の遷移のエネルギー、εr は原子対の相対運動エネルギー
を示す。また、h(εr ) は状態密度、F f (εr ) は単位エネルギー辺りの Frank-Condon factor を
示す。式 6.2 より、分子の生成速度 Nmol /τ を上げる為には、概ね以下の条件を満たせば良
いことが分かる。
1. 高い原子遷移のラビ周波数
2. 高い(相対)位相空間密度
3. 高い Frank-Condon factor すなわち高強度の RF を用意し (1)、より密度が高く温度の低い原子集団を用意し (2)、か
つ共鳴点のすぐ傍 (3) で RF 会合を行えば良い。ただし 2、3 の条件はロスの速度も高めて
しまう可能性がある為、1 の条件を追及することにした。
従って筆者は高強度の RF を用意する為に共鳴アンテナを作成し(節 4.7)、高出力
(100W)の RF アンプ(Minicircuit、ZHL-100W-GAN+)を用意した。この RF を用いて
後述の Stern-Gerlach の方法により、41 K|1, 1⟩ − |1, 0⟩ 間のラビ振動を観測した。測定され
たラビ周波数は 105 kHz であり、従来の 10 倍程度の強度の RF を用意できたことになる。
Stern-Gerlach separation
分子の観測手段として、分子を直接イメージングする方法(厳密には分子を光で解離
し、原子をイメージング)があるが [24]、この方法ではパワーブロードニングにより生成
6.3. RF 会合による分子の観測
129
された 41 K|1, 1⟩ 原子も一緒に観測してしまうという問題がある。最初に観測される分子
数は少ないと考えられる為、この方法では原子と分子を区別することが難しい。
一方より簡便な方法として Stern-Gerlach の方法によるものがある。これは、原子と分子
の磁気モーメント及び質量が異なることを利用して、磁場勾配により原子と分子を空間的
に分離する手法で、Na2 分子の観測等にも用いられている [23]。高速に原子と分子を分離
するには、大きな磁場勾配を素早く立ち上げる必要があり、その為に筆者は Stern-Gerlach
用のコイルを導入した(節 4.6.4)。これにより、原子と分子を数 ms で完全に分離できる
[129]。
6.3.4 分子の直接観測
分子の高速な生成・観測により、分子の直接観測が可能となった [129]。ロス測定の時
と同様に 1080 nm 光トラップ中に 41 K の |F = 1, m F = 0⟩ 状態、87 Rb の |F = 1, m F = 1⟩ 状
態を用意する。この時の典型的な実験条件は、原子数 NK = NRb ∼ 1 × 105 個、密度 nK =
nRb ∼ 4 × 1012 cm−3 、温度 TK = TRb ∼ 350 nK である。RF 照射時間は 1 ms である。RF 会
合により束縛エネルギー 100 kHz 程度の分子の生成を目指す。Stern-Gerlach の方法により
空間的に分離した後、磁場を Feshbach 共鳴を超えるように、sweep することで分子を原
子に解離し、原子をイメージングする。
図 6.6: RF 会合による分子の直接観測:
上(下)の画像が K(Rb)原子に対する共鳴光による吸収イメージングである。それぞ
れの画像の中心の影が分子のシグナルに相当する。
表 6.1: RF 会合の分子数のフィッティング結果
原子数
分子数
4
上(K)の画像
NK = 4.4 × 10
NKRb = 9 × 102
下(Rb)の画像 NRb = 6.3 × 104 NKRb = 7 × 102
図 6.6 に吸収イメージングの画像を示す。上(下)の画像が K(Rb)原子に対する共鳴
光による吸収イメージングである。それぞれの画像の中心の同じ場所にわずかな影が存在
第 6 章 フェッシュバッハ分子の生成
130
するが、これが分子に由来するシグナルである。画像より原子数及び分子数をフィッティ
ングにより求めると、表 6.1 の様になる。上の画像と下の画像の分子数の違いは、フィッ
ティングエラーに起因するものと考えられる。Feshbach 分子の生成効率は 1 % 程度であ
ると考えられ、非常に小さい。分子数は我々の検出限界程度しか存在せず、これを用いた
実験は困難である。
RF の照射時間 0.8-1.5 ms で分子の観測が可能であった。従って分子の生成は 1 ms 程度
でピークに達し、その後はロスにより分子数が減少するといったことが分かった。従って
ロスの時定数は生成レートよりも速く 1 ms 以下であり、この状態で十分な分子を観測す
ることは難しい。ここでの相互散乱長は aRbK ∼ 500a0 でありロスが速い可能性がある(第
7 章も参照)。
より生成効率を上げるには、位相空間密度を上げることが重要であるが、K|1, 0⟩ 状態と
Rb|1, 1⟩ 状態は散乱長が負であり、非弾性衝突が大きく実験が難しいことが分かった。ま
た RF 強度を上げて生成レートを上げる方法も後述(節 6.3.5)の理由により難しく、RF
会合により分子を十分な数生成することは難しいということが分かった。
トラップ中での磁場スイープによる分子の生成
RF 会合による分子の生成の直接観測を受けて、磁場スイープによる分子の生成も試み
た。Stern-Gerlach の方法を用いれば、磁場スイープによる分子の生成でも高速に分子を
観測できる。また RF 会合による分子のシグナルも 1 ms 程度の照射で可能であったので、
磁場スイープによる方法も 1 ms 程度であれば可能である(磁場を 1 ms 程度で滑らかに変
化させるのは難しいが高速に振るだけなら可能である。節 4.6.3 を参照の事)。磁場のス
イープ速度は 6.2 G/cm 程度で、これは Landau-Zener の条件式 2.93 により遷移確率を求め
ると遷移確率は 99.5% の計算となり、十分断熱条件を満たしている。原子数や温度、密
度は RF 会合の実験とほぼ同様の原子集団を用意して実験を試みた。
磁場スイープによる方法でも同様のシグナルが安定的に観測された。磁場スイープによ
る方法では散乱長の大きな領域を高速に通り抜けることができるので、ロスの観点からは
有利である可能性がある。
またこの時光トラップ中で分子の生成が確認された。すなわち光散乱による影響は 1 ms
程度の時間スケールでは無視できるという事である。これは 1080 nm、809 nm どちらの光
トラップでも問題がなかった。従って次なる目標は Feshbach 分子の生成の効率を上げ、測
定に十分な数の分子の生成を行うこと、及び三次元光格子による分子の長寿命化である。
6.3.5 会合係数の飽和
式 6.2 を見ると、原子の会合係数はラビ周波数の二乗に比例する為、RF 強度を上げて
いけば無限に会合係数を上げられる様に思われる。しかし実際はそのような事は無く、会
合係数は有限値で飽和することになる。会合係数の最大値は系の特徴的な長さスケール L
を用いて以下の式で与えられることが知られている [130, 131]。
Ksat =
ℏ
L
m
(6.3)
6.4. Dual BEC からの分子の生成
131
√
RF 会合においては、長さスケール L は熱的ドブロイ長 λ dB ≡ h/ 2πmkBT で与えられ
ることが知られている [130, 131]。一方磁場スイープの方法による場合は長さスケールは
バックグラウンドの散乱長 abg で与えられる。低温では熱的ドブロイ長は散乱長よりも充
分長くなる為(数 100 nK で数 1000 a0 )、高速に会合できることが期待できる。
実際に我々は会合係数を RF の照射時間に対する原子のロスの程度から見積もった。実
験の詳細は井上研究室の学位論文に詳しく載っている。ここでは結果のみを示す。図 6.7
に対応する原子のラビ周波数(即ち RF 強度に対応)に対する RF の会合係数を示した。
概ねラビ周波数 15 kHz 程度から会合係数が飽和していることが分かる。従って RF 会合の
レートの高速化には限界があり、別の方法で分子数を確保する必要があることが分かった。
図 6.7: 会合係数の RF 強度依存性:
RF 強度は対応する原子遷移 K|1, 1⟩ − |1, 0⟩ 間のラビ周波数で示されている。
6.4 Dual BEC からの分子の生成
前節までの実験により、RF 会合による分子の高速生成には限界があることが分かった。
むしろ磁場スイープにより相互の散乱長が大きい領域を素早く通り抜けることで、分子の
生成が安定化できる可能性があることが示された。
磁場スイープによる分子の生成効率を上げるには、原子の位相空間密度を上げることが
重要である。従って縮退状態の原子を用いることが、最も効率が良いと考えられる。ただ
し縮退状態では密度に関しては大きくなりすぎてしまう危険性がある。これはロスレート
を増大させ、観測できる分子数を減少させる。従って、できるだけ密度の低い縮退状態を
使う必要がある。
密度の低い縮退状態を作る際には必然的にトラップ周波数の小さい、トラップを用いる
必要がある。すると異核原子の混合系の場合、相対重力サグが大きくなりこれは原子雲の
オーバーラップの減少につながる。従って密度の低い同時縮退状態を如何に重ねるかとい
う事が異核原子の分子を効率的に生成する上で重要になる。
132
第 6 章 フェッシュバッハ分子の生成
6.4.1 緩い光トラップ中からの分子の生成
Dual BEC から分子を生成する場合、まず原子の三体ロスに気をつける必要がある。三
体ロス係数は第 5 章で決定された。それによると三体ロスレートの絶対値は K-K-Rb と
K-Rb-Rb を比較すると、全領域に渡って K-K-Rb の方が大きい従って三体ロス係数 L KKRb
に気をつければ良い。混合 BEC を重ね合わせるには混合条件を満たす必要がある。これ
は式 3.38 を満たす必要がある。散乱長 aKRb ∼ 0 a0 でロス係数は L KKRb < 5 × 10−27 cm6 /s
である。従ってこの上限値を目安に BEC の密度を調整する。
密度を下げる為にできるだけ緩い光トラップ中に BEC を用意する。また相対重力サグ
を解消する為、重力方向は 809 nm 光トラップで支えることにする。光トラップの詳細に
ついては、節 4.10.4 を参照の事。この時の実験では ODT(P)(809 nm、ビーム径 (w y , w z ) =
(80, 135) µm) と ODT(B)(1080 nm、ビーム径 w = 300µm) の交差型光トラップ中で実験を
行った。重力方向を支えるトラップとして 809 nm の光トラップを使用した点と交差型トラッ
プとして ODT(A) ではなくよりビーム径の大きい ODT(B) を使用した点が、RF 会合の実験
と異なる点である。ここに NK = NRb = 4 × 104 個程度の Dual BEC を用意した。最終的な
トラップ周波数は (ω x /2π,ω y /2π,ω z /2π) = (10, 92, 54) Hz(for Rb) 程度となる。x 方向だけ
1080 nm で抑えられている為、K と Rb で異なるトラップ周波数を持ち、ω x /2π = 13 Hz(for
K) である。この時のピーク密度は nK = nRb = 3 × 1013 cm−3 となり散乱長 aKRb ∼ 0 a0 で
十分長い時間(∼s 程度)重ね合わせることができるということが分かった。
以上の条件で分子の生成を試みる。散乱長 0 a0 (87G) 付近で Dual BEC を重ね合わせ、素
早く磁場スイープを行い(τ ∼ 1 ms)共鳴点 (78.68 G) を超えて分子を生成、反対側の散
乱長 0 a0 付近(72 G)まで磁場を振った後、Stern-Gerlach の方法により原子と分子を分離
し、十分原子と分子が空間的に分離した後に逆方向に磁場を振り、分子を原子に解離し、
それぞれの共鳴光で観測する。尚、分子の磁気モーメントは小さく、質量が大きいため
Stern-Gerlach の方法により、分子をトラップ中に残したまま、原子のみを分離することが
可能である。この実験では分子を解離するまで、光トラップを切らずに実験を行った。
以上の様な方法で作成した分子のイメージが図 6.8 となる。
図 6.8: Dual BEC からの分子の生成:
上(下)の画像が K(Rb)原子に対する共鳴光による吸収イメージングである。それぞ
れの画像の左の影が分子のシグナルに相当する。
6.4. Dual BEC からの分子の生成
133
2.0
Stern-Gerlach coil
Bias Magnetic Field
1.8
1.5
1.7
1.0
1.6
0.5
1.5
0.0
-5
0
5
10
Time (s)
-3
15x10
図 6.9: 磁場スイープの様子:
赤線が Stern-Gerlach coil、青線が Bias Magnetic Field を示す。
Hall probe voltage (Bias MF) (V)
Hall probe voltage (Stern-Gerlach) (V)
図 6.8 の分子の数をフィッティングにより求めると、上の画像から Nmol = 1.8 × 103 、下
の画像から Nmol = 2.0 × 103 を得る。生成効率は 5% 程度となっており、大幅な改善が見
られる。
分子の生成数は分子と原子の衝突によるロスによってリミットされていると思われる。
Stern-Gerlach によって分離するまでの時間を調整することにより、原子と分子の衝突の
時間を調整することができる。実際の磁場の変化の様子を Hall probe により測定した。図
6.9 にその様子を示す。図で示す様に、バイアス磁場は激しく振動してしまっており、こ
の時間スケールでは振動を抑えるのが難しい。Stern-Gerlach coil は素早く立ち上がってお
り、これの立ち上がる時刻を調整することによって、分離のタイミングを制御できる。
図 6.10 に Stern-Gerlach のタイミングを変えて、分子を生成し、K のイメージ光による
画像からのフィッティングと Rb のイメージ光による画像からのフィッティングを比較し
た。やや Rb の方が分子数が多く見えているものの、概ね同数の分子数が得られている。
分子数の見積もりに 20% 程度の誤差があると思われる。これ以降分子数はそれぞれのイ
メージの平均を採用することにする。Stern-Gerlach のタイミングによる分子数の変化を
図 6.11 に示す。始め 1 ms 程度で生成分子数がピークに達する。これは、時刻 1 ms 程度で
フェッシュバッハ共鳴を完全に乗り越え、生成分子数が最大になる為と思われる。その後
の減少は分子の寿命を示している。寿命は 4 ms 程度である。生成時間と寿命が同程度で
有ることから、より効率を上げるには、衝突の抑制が有効であると考えられる。また磁場
を滑らかに変化させることができない為、系統的な実験が難しい。従って次の目標は三次
元光格子による分子の長寿命化となる。
第 6 章 フェッシュバッハ分子の生成
134
Number of Molecules from Rb Image
2500
2000
1500
1000
500
0
0
500
1000
1500
2000
Number of Molecules from K Image
2500
図 6.10: 分子のフィッティングの比較:
同サンプルに対するフィッティングの結果を K のイメージ光からのフィッティングを横軸
に、Rb のイメージ光からのフィッティングを縦軸にプロットし、比較した。
Number of molecules
2500
Nmol
fit
T= 4 ± 1ms
2000
1500
1000
500
0
0
2
4
6
8
10
12
Stern-Gerlach timing (ms)
14
図 6.11: Stern-Gerlach のタイミングに対する生成分子数の変化
6.4. Dual BEC からの分子の生成
135
6.4.2 原子雲のオーバーラップの向上
三次元光格子中での分子の生成を試みる前に原子雲同士のオーバーラップについてより
詳細に調べる。
KRb 原子雲の重力方向の位置合わせ
809 nm 光トラップ中で相対サグが解消されていることはトラップ周波数の比較により
なされているが、BEC はサイズが小さい為、より詳細に位置合わせをすることで、オー
バーラップの大幅な改善が期待できる。また多くの場合交差型光トラップ中で実験が行わ
れ、cross 側の光トラップは 1080 nm を用いている為これも重力サグに多少の影響を及ぼ
す。従って実際に分子の生成に用いるトラップを用いてオーバーラップを評価するのが、
良いと考えられる。
まず Phase contrast imaging を用いて、side imaging により同時 BEC の相対位置のずれ
を直接 in − trap のイメージングにより測定した。809 nm 光トラップの周波数を変化させ
ることで相対位置を調整することができる。図 6.12 にその結果を示す。
difference of position (um)
4
3
2
1
0
-1
369
370
371
ODT frequency (THz)
372
図 6.12: 809 nm 光トラップの周波数に対する同時 BEC の相対位置の変化
これまで周波数は 370.5 THz 付近を用いていたため、2.5 µm 程度の相対位置のずれが
あったと考えられる。従って周波数を 369 THz 付近に変更すれば、オーバーラップの改善
が期待できる。
実際に周波数を変化させながら分子の生成数を比較した所、図 6.13 の様になった。実
験条件のバラつきによる誤差が大きいが、概ね 369.5 THz 付近で生成数が最大になる様に
思われる。実際この後、これまでよりも分子生成数は安定するようになった。尚より細か
く見ると、いくつかの周波数で分子数の大幅な減少を確認した。恐らく特定の周波数で分
第 6 章 フェッシュバッハ分子の生成
136
子の遷移をたたいてしまっていると考えられる。これについては後にさらに詳細に調べて
あるので、そちらを参照の事。
尚 369.5 THz では波長 812 nm 程度となるが、本研究では光トラップの呼び方は 809 nm
トラップで統一する。
!""
1*/'0*/-(,.-,+*)('&
#""
$""
"""
%""
2!%4"
2!%45
2!64"
2!645
23"4"
789,:+*;'*<0=,>[email protected]
23"45
23 4"
図 6.13: 光トラップの周波数に対する分子の生成数の変化
混合時の散乱長依存性
同時 BEC のオーバーラップは相互散乱長によっても変化する。節 3.3.2 の議論により、
散乱長を負に持っていけば、原子雲のオーバーラップが最大になることが期待できる。た
だし、その際三体ロス係数も上昇する為、ロスやヒーティングが起こる可能性がある。実
際に混合時の相対散乱長を変化させ分子の生成数を比較した。結果は図 6.14 の様になる。
6.5. 三次元光格子中での分子の生成
137
Number of molecules
4000
3000
2000
1000
0
-60
-40
-20
0
20
40
mutual scattering length (a0)
60
図 6.14: 混合時の相互散乱長に対する分子の生成数の変化
概ね −20a0 付近で分子生成数が最大になる為、この値を採用した。尚混合領域外も確
認したが、生成分子数はさらに減少し、効率は良くならないということが分かった。
これらのオーバーラップの改善により、概ね 3 × 103 個程度の分子を安定的に生成でき
るようになった。生成効率は 8% 程度となる。尚、K と Rb の原子数も調整してみたが、
強い依存性は確認できず、また生成分子数が増えることはなかったので、原子数に関して
は概ね最適値で実験できていたと考えられる。
6.5 三次元光格子中での分子の生成
三次元光格子中で分子を高効率に生成するには、原子を光格子の振動基底状態に導入
し、かつ空間的にもそれぞれの原子が重なるようにする必要がある。
6.5.1 三次元光格子へのロード
まず原子が光格子の振動基底状態に導入できているかどうかを確認する為に、BandMapping の実験を行った。図 6.15 にその様子を示す。Dual BEC を 50 ms 程度の時間をか
けて三次元光格子に導入する。三次元光格子の深さは、モット絶縁体ができるのに十分
な深さまで上昇させる。その後 5 ms 程度の時間をかけて調和トラップに開放し、quasimomentum を momentum に転写する。K、Rb どちらも 1st Brilloin zone 内に分布しており、
ほとんど全ての原子を振動基底状態に導入できている。概ね 50-100 ms 程度のローディン
グ時間で十分断熱的に導入できていることが分かった。ローディング時間を 50 ms より小
さくしていくと、2nd Brilloin zone に分布する原子が増えてくる。
138
第 6 章 フェッシュバッハ分子の生成
図 6.15: 二原子種同時バンドマッピング:
左(右)の画像が K(Rb)のイメージング画像であり、TOF15.7 ms(16.3 ms)後の画像
である。
6.5.2 三次元光格子中での分子生成
光格子ちゅうで分子を生成するには、まず ODT(B) と 809 nm の交差型光トラップ中で
原子を重ね合わせる。この時の相互散乱長は aKRb ∼ −20 a0 (85 G) に調整してある。この
際、三次元光格子を用いる為に ODT(B) は途中でソレノイドシャッターを開き、うち返し
を入れることによって光格子に移行する。この時の光格子は浅く、十分超流動状態であり
K、Rb を混合するのに支障はない。この過程に 300 ms 程度を用いて、OL(B) と 809 nm の
交差型トラップ中に K、Rb の BEC を導入する。その後 90 ms 程度で三次元光格子を立ち
上げる。この時原子のトンネリングは充分抑えられている。磁場を滑らかに変化させる為
に、79.5 G 程度 (∼ −440 a0 ) まで磁場を近づけたのちに 1-4 ms 程度の磁場スイープにより、
分子を生成する。その後光格子を瞬時に立ち下げ、Stern-Gelrach の方法により原子と分子
を分離する。この時分子の拡散を少なくする為、809 nm 光トラップは入れたままにして
ある。その後磁場を逆方向にスイープして分子を原子に解離させる。この時光トラップは
同時に切る。その後それぞれの共鳴光により、原子、分子をイメージングした結果が、図
6.16 である。分子数は 4 × 103 個程度となり、概ね 10% 程度の変換効率である。スイー
プ時間は 1-4 ms 程度までほとんど生成分子数は変わらず、トンネリングの抑制効果が現
れている。
さらに生成分子数を上げる為、809 nm 光トラップの水平方向のビーム径 w z = 135µm を
w z = 310µm まで広げた。この時のイメージ画像が図 6.17 となり生成分子数が 8 × 103 個
程度となる。生成効率は 20 % 程度となり、かなりの高効率で分子の生成が行われている。
6.5. 三次元光格子中での分子の生成
図 6.16: 光格子中での分子の生成
図 6.17: 光格子中での分子の生成 (wide 809nm trap)
139
第 6 章 フェッシュバッハ分子の生成
140
6.5.3 KRb 原子雲の重力方向の位置合わせ (with lattice)
光トラップ中でも 809 nm 光トラップの周波数の調整により、KRb 原子雲の位置合わせ
を行ったが、同様に光格子中でも位置の微調整を行った。光トラップの周波数に対して、
生成分子数をプロットすると、図 6.18 の様になる。
水平方向のビーム径を変更前(normal trap、緑三角)、変更後(wide trap、赤丸)の二回
実験を行った。今回周波数依存性を詳細に調べた結果、光トラップ中の生成と比べて緩や
かな変化が見られた。いずれも、生成効率のピークは光トラップ中と同様、369 THz 付近
となった。ガウシアンによるフィッティングによると、ピークの周波数は、369.2(2) THz
(normal trap)、368.9(0.1) THz (wide trap) となった。
また、今回いくつかの周波数で分子の生成が全く見られなかった(青四角)。エラー
バーは原子数の測定限界が 500 個程度であると考えてつけてある。これらの点の周波数間
隔は、おおよそ 400 GHz で一定であり、分子の振動準位を直接たたいていると思われる。
従って、これらの点を避ける様に周波数を設定する。
Number of molecules
4000
wide trap
normal trap
no molecule
3000
2000
1000
0
367
368
369
370
Frequency of ODT (THz)
371
図 6.18: 光トラップの周波数に対する分子の生成数の変化
6.5.4 原子の吹き飛ばし
三次元光格子に分子をいれても、残った原子のトンネリングにより寿命が制限されること
になる。K のトンネリングレートにより分子の寿命は制限されており、寿命は 10 ms 程度で
ある。残った原子を吹き飛ばすことにより、寿命を延ばすことができる。吹き飛ばしは RF
遷移と共鳴光の組み合わせにより行う。まず線幅の小さい RF により、原子のみを別の準位
に移す。その後、共鳴により原子のみを吹き飛ばす。K は RF 遷移により |1, 1⟩ → |1, 0⟩ →
|1, −1⟩ → |2, −2⟩ と遷移させ、光学遷移は |F = 2, m F = −2⟩ ⇐⇒ |F ′ = 3, m F ′ = −3⟩ の
closed transition により吹き飛ばす。Rb は RF 遷移により |1, 1⟩ → |2, 2⟩ と遷移させ、光学
遷移は |F = 2, m F = 2⟩ ⇐⇒ |F ′ = 3, m F ′ = 3⟩ の closed transition により吹き飛ばす。K に
対して、 |F = 2, m F = 2⟩ ⇐⇒ |F ′ = 3, m F ′ = 3⟩ の遷移を使わないのは、上状態と下状態
6.5. 三次元光格子中での分子の生成
141
の超微細構造分裂が 70 G 付近でほぼ一致する為、分子も一緒に吹き飛ばしてしまう為で
ある。吹き飛ばしにより、K 原子のほとんどと Rb 原子の 90% 程度を吹き飛ばすことが
できる。Rb 原子の吹き飛ばしは RF 遷移の効率により制限されている。また吹き飛ばし
の際の非弾性衝突により分子数がの 10-20% 程度減少する。吹き飛ばし後のイメージング
は図 6.19 の様になる。光格子を断熱的に立ち下げた後、TOF を行う。この時のロスはほ
とんど無視できる。これにより分子の温度を評価することが可能となる。分子の温度は
60-80 nK 程度になり。低温の分子集団が生成できている。
図 6.19: 光格子中での分子の生成 (原子吹き飛ばし後)
6.5.5 分子の寿命測定
原子の吹き飛ばしに加えて、光格子の光源の ASE の除去及び強度の安定化を行ったこ
とにより、分子の長寿命化に成功した。図 6.20 に分子の寿命測定の結果を示す。分子の
寿命は 210(15) ms で十分長寿命な分子を生成できている。
第 6 章 フェッシュバッハ分子の生成
142
Number of molecules
5000
τ = 210 ± 15ms
4000
3000
2000
1000
0
100
200
Hold time (ms)
300
400
図 6.20: 光格子中での分子の寿命測定
6.5.6 分子の磁気モーメントの測定
分子の性質を示すものとして、分子の磁気モーメントの磁場依存性がある。三次元光
格子中で 100 ms かけて磁場を変化させ、その後光格子から分子を開放し、Stern-Gerlach
の方法により、原子と分子を分離させる。磁場勾配による加速時間を一定で、解放後の
速度を測定することで、分子の磁気モーメントを測定する。磁場勾配の値は Rb 原子の速
度から較正する。測定結果を図 6.21 に示す。共鳴から離れると一定値に収束し、Closed
channel fraction が 1 に近づいたことを示す。収束値は δ µ = 1.69 µB となる。これは、先行
研究の計算値 δ µ = 1.59 µB にほぼ一致する。またこの測定が可能であることは、磁場の
全領域で光格子による長寿命化が有効であることを示す。
6.5. 三次元光格子中での分子の生成
143
magnetic moment δµ (µΒ)
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0
20
40
60
Magnetic Field (G)
図 6.21: 分子の磁気モーメント δ µ の磁場依存性
80
144
第 7 章 Rb 原子-KRb 分子間の二体ロス係
数の決定
原子・分子間散乱にも、エフィモフ共鳴が観測されることが知られている。実際 40 K-87 Rb
分子・87 Rb 原子間の二体散乱係数に共鳴の観測が報告されている [45]。比較の為、本研
究では 41 K-87 Rb 分子・87 Rb 原子間の二体散乱係数を決定する。
41 K-87 Rb 分子・87 Rb 原子間の二体ロスは次のレート方程式で示される。
dnRb
= − βnRb nKRb −
dt
dnKRb
= − βnRb nKRb −
dt
nRb
τRb
nKRb
τKRb
(7.1)
(7.2)
β は 41 K-87 Rb 分子・87 Rb 原子間の二体ロス係数を示す。上式より、原子・分子の密度分
布の変化を測定すれば良いことが分かる。解析の為、式 7.1、7.2 を空間積分すると、
dNRb
= − βIKRb−Rb −
dt
dNKRb
= − βIKRb−Rb −
dt
NRb
τRb
NKRb
τKRb
となる。ここで、 IKRb−Rb は空間積分を示し、
∫
IKRb−Rb ≡
nKRb nRb dr
で定義される。さらに式 7.3、7.4 を時間 t 1 から t 2 で積分すると、
∫ t2
∫ t2
NRb
dt
NRb (t 2 ) − NRb (t 1 ) = − β
IKRb−Rb dt −
t1
t 1 τRb
∫ t2
∫ t2
NKRb
dt
NKRb (t 2 ) − NKRb (t 1 ) = − β
IKRb−Rb dt −
t1
t 1 τKRb
(7.3)
(7.4)
(7.5)
(7.6)
(7.7)
となる。今回一体レートは二体レートに比べて十分小さいと考えられる。従って式 7.7 よ
り一体の項を無視する。
分子・原子間の二体ロス係数を決定するに辺り、原子の三体ロス係数で用いた、PCI に
よる非破壊測定を用いることはできない。従ってロスカーブを測定する際の、初期原子
(分子)数の揺らぎが精度を制限する。長期揺らぎの影響をできるだけ、排除する為、測
定時間はランダムに選び、また直近二回の測定から時間積分(差分)を得る。すなわち式
7.7 より、
∆NKRb = − βIKRb−K ∆t
(7.8)
145
を得る。ここで ∆NKRb は直近二回の測定の分子数差、 IKRb ∆t は空間積分の時間積分を台
形積分で近似した値である。ここで、式 7.6 ではなく、式 7.7 を元にした理由は、初期の
KRb 分子数の揺らぎの方が Rb 原子数の揺らぎより小さく、正確な値が期待できるからで
ある。
密度分布は in − trap の測定はできないので、TOF イメージから温度を測定し、トラッ
プ周波数を用いてボルツマン分布から算出する。ここで、Feshbach 分子のトラップ周波数
は、分子が感じるポテンシャル及び分子の質量がそれぞれの原子の和であると考えると、
√
2UKRb
ωKRb =
(7.9)
mKRb w 2
√
2(UK + URb )
=
(7.10)
(mK + mRb )w 2
√
mK
2UK
mRb
2URb
=
+
(7.11)
mK + mRb mK w 2 mK + mRb mRb w 2
√
√
mK
mRb
=
ωK +
ωRb
(7.12)
mK + mRb
mK + mRb
と計算できる。
式 7.8 より IKRb−K ∆t を横軸に、∆NKRb を縦軸にプロットすると、その傾きとして − β が
得られる。図 7.1 にその様子を示す。線形回帰により − β を求める。縦軸のずれは、初期
分子数の揺らぎに由来する。各磁場でこの測定を繰り返し、 β の散乱長依存性を求める。
Number variation
N
2000
1000
0
-1000
-2000
18
-2x10
-1
0
1
2
3
Density integration I KRb-K t (s/m )
図 7.1: 二体ロス係数の決定
第7章
146
Rb 原子-KRb 分子間の二体ロス係数の決定
7.1 二体ロス係数の測定
MF gradient
Molecule production in 3D lattice
Blast K atoms & MF tuning
2-body loss in harmonic trap
Stern-Gerlach separation
図 7.2: 二体ロス係数の測定の手順
二体ロス係数の測定の手順の模式図を図 7.2 に示す。図に示す様に、まず三次元光格子中
で分子を生成する。その後、K 原子、Rb 原子を RF 遷移と共鳴光により吹き飛ばす。Rb 原
子は RF 遷移の効率が悪いため、ある程度の数の原子が残る。三次元光格子中で、磁場を滑
らかに変化させ(10 ms)その後三次元光格子から調和トラップ中に開放する。これは 5 ms
で行われる。この時点で用意された原子と分子は NRb = 7 × 103 個程度、NKRb = 4 × 103 個
程度である。温度は共に TRb = TKRb = 60-80 nK 程度である。密度は nRb = 2 × 1011 cm−3 、
nKRb = 1 × 1011 cm−3 程度となる。トラップ中での捕獲時間は 0.1 − 20 ms 程度である。そ
の後光トラップから解放し、相互散乱長 aKRb ∼ 0 a0 付近(磁場変化 1 ms)で磁場勾配を
かけて分子と原子を分離する(4 ms)。その後 3 ms の磁場変化で分子を原子に解離し K、
Rb それぞれの共鳴光により原子・分子をイメージングする。TOF 時間は K の共鳴光の時
点で TTOF, K = 10.2 ms、Rb の共鳴光の時点で TTOF, Rb = 10.8 ms となる。
各磁場で測定を行い、前節で説明した解析方法により二体ロス係数 β を得る。散乱長
と磁場の対応は、coupled-channel calculation によるものを使用する。測定結果は図 7.3 の
様になる。
7.1. 二体ロス係数の測定
147
-8
10
6
5
4
(cm /s)
3
3
2
-9
10
6
5
4
3
2
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
Scattering length (a0)
図 7.3: Rb 原子-KRb 分子間の二体ロス係数の磁場依存性:
40 K-87 Rb 分子・87 Rb 原子間の二体ロス係数のフィッティングカーブは文献 [45] のデータ
を用いた。
図 7.3 で示す様に、二体ロス係数に共鳴が観測される。共鳴の性質を調べる為、Effective
field theory によるフィッティングを行う。Effective field theory による理論式は、
β(a) = C β
sinh(2η ∗ )
ℏa
sin2 [s0 ln(a/a∗ )] + sinh2 (η ∗ ) m1
(7.13)
で与えられる [46]。m1 はここでは K の質量となる。式 7.13 は、等核原子の系での式 2.166
を異核原子の系に拡張したものである。これは aKRb ≫ r vdW で有効な近似であると考えら
れる。本研究では、aKRb > 2r vdW = 144 a0 でフィッティングを行った。参考の為、40 K-87 Rb
分子・87 Rb 原子間の二体ロス係数のフィッティングカーブ [45] も一緒にプロットした。
表 7.1 に結果をまとめる。41 K-87 Rb 系の結果 [45] と 40 K-87 Rb 系の結果(本研究)を比
較した。
まずロス係数の絶対値を表す C β の値が、大きく異なっている。フィッティングエラー
は ±2 程度である。ただし、どちらの系でも原子・分子数の系統誤差の可能性がある。本
研究では原子数の見積もりに 20% 程度の系統誤差があると考えられる。即ち、二体ロス
係数に 44% 程度の系統誤差が考えられる。よって CC β の系統誤差は ±8.8 と見積もられ
る。また温度の違い(本研究:60-80 nK、JILA の実験:300 nK 程度 [45])によって、絶対値
に差がでる可能性がある [132]。
148
第7章
Rb 原子-KRb 分子間の二体ロス係数の決定
次に η ∗ はフィッティング誤差の範囲で一致している。今の所非弾性パラメータである η ∗
については普遍性を示す理論が存在しない。従って η ∗ については結果を述べるに留める。
重要なのは三体パラメータ a∗ の結果である。これには有意な差が見られる。フィッティ
ングエラーは ±10 a0 程度でこれは統計誤差を含む。系統誤差を考える。まず磁場揺らぎ
に由来する、系統誤差が考えられる。共鳴の中心 360 a0 で磁場に対する散乱長の感度は、
360 a0 /G である。節 4.6.3 の議論により、この付近の磁場揺らぎは、±50 mG 程度である。
また、同様に磁場較正、散乱長と磁場の変換に ±100 mG の系統誤差が考えられる。従っ
て磁場の系統誤差はこれらの二乗和の平方根をとって、±150 mG となる。よって散乱長に
対して、±54 a0 の系統誤差が考えられる。また、フィッティングの範囲の最小値を変える
と、a∗ の値が ±30 a0 程度変化する。二つの系統誤差の二乗和の平方根をとると、±62 a0
が系統誤差となる。a∗ の値は系統誤差を含めても、41 K-87 Rb 系と、40 K-87 Rb 系で異なる
ことになる。
a∗ が異なる理由はまず 40 K と 41 K のわずかな質量差が考えられる。しかし、これの差
は数% 程度であり、スケーリングパラメータ s0 の違いはほとんどない。次に考えられる
のは、フェッシュバッハ共鳴の強さを示す sres の違いである。これは大きく異なっており、
a∗ の有意な差を引き起こす可能性がある。最近の研究結果により、等核原子の場合でも
a∗ は sres の違いにより大きく変わりうるといった実験 [41]、理論 [42] があり K-Rb の系で
も同様のことが起きている可能性がある。現在理論 [133] との比較を行っているところで
ある。三体パラメータの理論と実験の比較はこれまでなされていない。本研究の結果は異
核の系の三体現象に重要な知見を与えると考えられる。
表 7.1: 二体ロス係数のフィッティング結果:
40 K-87 Rb 分子・87 Rb 原子間の二体散乱係数のフィッティング結果は文献 [45] のデータを
用いた。誤差の添え字は fit はフィッティングエラーを、sys は系統誤差を示す。
a∗
η∗
Cβ
sres s0 (K-Rb-Rb)
41 K87 Rb 360(19) (62)
0.6444
fit
sys 0.24(3)fit 20(2)fit (8.8)sys 0.81
40 K87 Rb 230(10) (30)
3.2(2)fit
1.96
0.6536
fit
sys 0.26(3)fit
149
第8章
まとめと今後の展望
8.1 本研究のまとめ
本論文は、極低温 41 K-87 Rb フェッシュバッハ分子に関する実験的研究をまとめたもので
ある。本研究での主な成果として、以下の二つが挙げられる。
一つは、41 K-87 Rb 間の二つのフェッシュバッハ共鳴近傍における三体ロス係数の決定で
ある。共鳴近傍での三体ロスはエフィモフ状態の性質によって決定される。また共鳴近傍
での三体ロス係数は、フェッシュバッハ分子の生成効率を上げるという観点からも重要で
ある。しかしこれは実験的には異核原子の系、特にボーズ粒子の混合系の場合困難であ
る。なぜなら三体衝突のチャンネルが複数ある為に粒子数の時間発展はそれぞれの粒子の
初期原子数に強く依存するからである。本研究ではこの問題を非破壊イメージングの導入
により解決した。同一原子集団の時間発展を直接観測することにより、初期原子数にほと
んど依存しない三体ロス係数の測定が可能となった。これにより共鳴近傍全体に渡って十
分な精度で三体ロス係数が決定できた。また測定結果から共鳴間/同位体間において測定
範囲内では三体ロス係数が異ならないということが分かった。
もう一つの成果は、原子・分子間(87 Rb 原子と 41 K-87 Rb 分子)の二体ロス係数におけ
る共鳴の観測である。原子と分子の混合状態とエフィモフ状態が交わるところで、二体
ロス係数が増大することが知られており、そこでの散乱長 a∗ は三体パラメータの内の一
つである。よって共鳴を観測することで三体パラメータを決定できる。問題となるのは、
フェッシュバッハ分子の生成効率と短い寿命である。本研究では、まず特殊な波長の光ト
ラップを用いることで 41 K と 87 Rb の同時縮退気体を空間的に完全に重ね合わせ、さらに
三次元光格子を用いることでフェッシュバッハ分子と原子との衝突を抑制した。これらの
組み合わせにより、フェッシュバッハ分子を長寿命かつ高効率に生成することに成功した。
得られた原子と分子の混合体から二体係数の散乱長依存性を測定した所、そこに共鳴を
観測し、共鳴の位置から三体パラメータ a∗ を決定した。決定された a∗ の値をこれまでの
報告例と比較した所、共鳴間/同位体間で異なっており、これは従来の理論では説明でき
ない。すなわち三体パラメータはファンデアワールス長のみで決まっているのではなく、
フェッシュバッハ共鳴の性質を取り入れた、より詳細な理論が必要な事を示している。
8.2 今後の展望
今後の展望を以下に述べる。まず異核原子の小数多体系の研究としては、broad 共鳴での
原子・分子散乱の観測、KRb 分子-K 原子間の散乱の観測が挙げられる。本研究での成果に
より、異核原子のエフィモフ状態の三体パラメータ a∗ はフェッシュバッハ共鳴の共鳴の強さ
150
第8章
まとめと今後の展望
を示すパラメータ sres に強く依存する可能性があるということが分かった。41 K-87 Rb 間に
は、本研究で原子・分子間共鳴を見た sres = 0.81 のフェッシュバッハ共鳴の他に sres = 25.8
の broad 共鳴に分類されるフェッシュバッハ共鳴が存在する。従ってこのフェッシュバッハ
共鳴についても同様の実験を行い、三体パラメータを測定すればより有益な情報を与える
ことが期待できる。また 41 K-87 Rb の場合、K-K-Rb の三体衝突についても禁制ではない。
従って原子・分子間散乱に同様の共鳴が現れる可能性があり、これは質量比に対する実験
的情報を与え非常に重要な知見を与える。
また極低温極性分子の生成に関する実験についても述べる。今後の課題として異核フェッ
シュバッハ分子の縮退の達成や振動基底状態分子の生成が挙げられる。本研究では長寿命
なフェッシュバッハ分子の生成に成功したが、未だ縮退には達していない。これは変換効
率が現在 20% 程度にとどまっていることが原因であり、より変換効率を高めることで縮
退が達成できると考えられる。それには三次元光格子への充填方法や原子雲同士の空間的
重なりの確保の仕方等を見直す必要があると考えられる。また振動基底状態への遷移を実
際に行うことも重要である。これには本研究で生成したフェッシュバッハ分子に STIRAP
を適用することで達成できる。既に STIRAP に用いる遷移の選定は行われており、光源も
用意してあるので [113, 95]、後は実際に適用するだけである。本研究でフェッシュバッハ
分子を安定的に生成できるようになったので、十分可能であると考えられる。
151
付 録A
41K、87Rb の光学特性
41 K[109] 及び 87 Rb[110] の光学特性を以下に示す。
表 A.1: 41 K の D line の特性
D2 line
Frequency
ω/2π 391.016 406 21(12) THz
Wavelength
λ
766.700 458 70(2) nm
Natural linewidth
Γ/2π
6.035(11) MHz
Saturation intensity
Is
1.75 mW/cm2
42 S1/2 magnetic dipole
ah f
h· 127.006 935 2(6) MHz
2
4 P3/2 magnetic dipole
ah f
h· 3.363(25) MHz
2
4 P3/2 electric quadrupole bh f
h· 3.351(71) MHz
D1 line
Frequency
ω/2π 389.286 294 205(62) THz
Wavelength
λ
770.107 919 92 nm
表 A.2:
87 Rb の D
D2 line
Frequency
ω/2π
Wavelength
λ
Natural linewidth
Γ/2π
Saturation intensity
Is
2
5 S1/2 magnetic dipole
ah f
2
5 P3/2 magnetic dipole
ah f
2
5 P3/2 electric quadrupole bh f
D1 line
Frequency
ω/2π
Wavelength
λ
line の特性
384.230 484 468 5(62) THz
780.241 209 686(13) nm
6.0666(18) MHz
1.669 33(35) mW/cm2
h· 3.417 341 305 452 145(45) GHz
h· 84.7185(20) MHz
h· 12.4965(37) MHz
377.107 463 380(11) THz
794.978 851 156(23),nm
152
付 録B
B.1
原子と光の相互作用
光トラップ
原子の共鳴周波数に対して離調をつけた周波数のレーザーを原子に当てると原子には
電気双極子が誘起される、これと光電場との相互作用により作られたポテンシャルを原
子は感じるようになる。このポテンシャルを利用したトラップのことを光双極子トラップ
(ODT:Optical Dipole Trap)という。光トラップを作る際には、レーザーの離調、強度を
適切に調節することによってポテンシャル深さ、光散乱レート等を制御する必要がある。
光トラップに関しては Rudolf Grimm らによって詳しく議論されており [134]、以降はそれ
を参考にしている。
B.1.1 誘起双極子と光電場の相互作用
周波数 ω の電場 E によって、双極子 p が誘起されるとする。このとき、通常 E(r,t) =
ê Ẽ(r)exp(−iωt) + c.c.、p(r,t) = ê p̃exp(−iωt) + c.c. と複素表示で書ける。ここで ê は単位
分極ベクトルである。双極子の大きさ p̂ と電場の大きさ Ẽ は、
p̂ = α Ẽ
(B.1)
と書ける。α は複素分極率であり、ω に依存する。
このとき、相互作用ポテンシャルは以下の様に書ける。
1
1
Udip = − ⟨pE⟩ = −
Re(α)I
2
2ϵ 0 c
(B.2)
ここで ⟨· · ·⟩ は時間平均を示す。電場強度は I = 2ϵ 0 c| Ẽ 2 | であり、 12 は、誘起された双極子
であることを反映している。これより、ポテンシャルは光強度と感受率の実部に依存する
ことが分かる。
一方光散乱について考えると、振動子が電場から吸収するパワーは、
ω
Pabs = ⟨ṗE⟩ = 2ωIm( p̃ Ẽ ∗ ) =
Im(α)I
(B.3)
ϵ 0c
光をエネルギー ℏω を持った光子の流れであると考えると、光子の散乱レートは以下のよ
うに書ける。
1
Pabs
=
Im(α)I (r)
(B.4)
Γsc (r) =
ℏω
ℏϵ 0 c
これは光強度と分極率の虚部に依存する量である。
以上により、ポテンシャルと散乱レートは、位置に依存する光強度 I (r) と分極率 α(ω)
によって書けることが分かった。
B.1. 光トラップ
153
B.1.2 原子の分極率
原子の分極率は振動子モデルでは、運動方程式 ẍ + Γω ẋ + ω02 = −eE(t)/me から直接求め
ることができて、
e2
1
α=
(B.5)
2
me ω0 − ω2 − iωΓω
であるここで ω0 は原子の共鳴周波数であり、
e2 ω 2
6πϵ 0 me c3
Γω =
(B.6)
は古典振動子モデルでの減衰率であるが、ここで共鳴周波数における減衰率 Γ ≡ Γω0 =
(ω0 /ω) 2 Γω を導入すると、分極率は以下のように書ける。
α = 6πϵ 0 c
Γ/ω02
3
(B.7)
ω02 − ω2 − i(ω3 /ω02 )Γ
光トラップに使うような十分離調をとっている場合では、振動子モデルでの減衰率は励起
状態からの自然放出レートと置き換えることができて、
Γ=
ω03
3πϵ 0
ℏc3
| ⟨e| µ |g⟩ | 2
(B.8)
となる。
B.1.3 双極子ポテンシャルと散乱レート
式 B.7 を式 B.2、B.4 を代入することで、
(
)
Γ
3πc2
Γ
Udip (r) = − 3
+
I (r)
2ω0 ω0 − ω ω0 + ω
( )3 (
)2
3πc2 ω
Γ
Γ
Γsc (r) =
+
I (r)
ω0 − ω ω0 + ω
2ℏω03 ω0
(B.9)
(B.10)
を得る。ここで ∆ ≡ ω − ω0 とすると |∆| << ω0 を通常満たすので、ω0 + ω の項は無視す
ることができて(回転波近似)、
3πc2 Γ
I (r)
2ω03 ∆
( )2
3πc2 Γ
Γsc (r) =
I (r)
2ℏω03 ∆
Udip (r) =
(B.11)
(B.12)
となる。光トラップの基本的な物理は以上の二つの方程式で記述できる。ここで、
ℏΓsc =
であるが。これから次のことが分かる。
Γ
Udip
∆
(B.13)
付録B
154
原子と光の相互作用
• ∆ < 0(赤方離調)では、Udip < 0 となり引力ポテンシャルが作られ、∆ > 0(青方
離調)では斥力ポテンシャルが作られる。
• Udip は ∆I に比例し、Γsc は ∆I2 に比例する。即ち光散乱を抑えて深いポテンシャルを
作るには、離調を大きくとって(far-detuned)強度を強くする必要がある。
以上の議論は理想的な二準位系の場合であるが、通常電子の遷移には多数の準位が関与
しており、それらの寄与を考える必要がある。特にアルカリ原子の場合スピン軌道相互作
用による、D 線二重項(D-line doublet)がある。D1 線、D2 線両方の寄与を考慮したポテ
ンシャル及び散乱レートを以下に示す。
(
)
πc2 Γ 2 + PgF m F 1 − PgF m F
Udip =
+
I (r)
(B.14)
∆2,F
∆1,F
2ω03
πc2 Γ2 * 2
1
Γsc (r) =
+ 2 + I (r)
2
3
2ℏω0 , ∆2,F ∆1,F -
(B.15)
ここで gF は Landéの g 因子、ω0 は D 線二重項の中心周波数、P はレーザーの偏光(P =
0, ±1 はそれぞれ直線偏光、σ ± 偏光を示す。)、m F は磁気量子数であり、∆1,F 、∆2, F は、
D1 線及び D2 線(基底状態 2 S1/2 , F 状態から 2 P3/2 ,2 P1/2 の超微細構造分裂の中心までのエ
ネルギー差に対応)からの離調を示している。
B.1.4 ガウシアンビームによる光トラップ
光トラップには通常集光されたガウシアンビームを使う。z 方向に伝搬する TEM00 モー
ドのガウシアンビームの強度分布 I (r, z) は、パワーを P、1/e2 半径を w(z) 、動径方向を
r として、以下のように書ける。
(
)
2P
r2
I (r, z) =
exp −2 2
(B.16)
πw 2 (z)
w (z)
ここで、
√
)2
z
w(z) = w0 1 +
zR
(
( z ) 2)
R
R(z) = z 1 +
z
πw02
zR =
λ
(
(B.17)
(B.18)
(B.19)
である。 z R はレイリー長、w0 は焦点でのビーム半径、 R(z) は波面の曲率半径を示す。
光強度は、 (r, z) = (0, 0) で最大となり赤方離調をとった光を入射させるとこの点をト
ラップ中心としたトラップポテンシャルをつくることができる。ポテンシャル深さ U0 =
B.2. 光と原子の相互作用の半古典論
155
Udip (r = 0, z = 0) は、式 B.14 に I0 = 2P/πw02 を代入したものとなる。トラップ中心近傍
ではポテンシャルは調和型に近似できて、
( ) 2 ( ) 2

r
z 

Udip (r, z) −U0 1 − 2
−
(B.20)
w0
z R 


となる。トラップ周波数及びアスペクト比は
√
ωr =
√
ωz =
ωr
ωz
=
4U0
mw02
(B.21)
2U0
mz 2R
√ πω0
2
λ
(B.22)
(B.23)
となる。
B.1.5 重力ポテンシャルによるトラップ位置のシフト
実際の実験の場合、原子には光トラップによる調和ポテンシャルに加えて、重力による
リニアポテンシャルが加わる為、重力方向のポテンシャルは以下のように書ける。
2
mg 2
1
1
g
U (y) = mω2y y 2 + mgy = mω2y * y + 2 + −
2
2
ωy 2ω2y
,
(B.24)
ω y は光トラップによるポテンシャルを Udip = mω2y y 2 /2 で近似した時のトラップ周波数で
ある。これよりトラップ中心は重力ポテンシャルの影響によりシフトすることが分かる。
これを重力サグ(gravitational sag)という。重力サグの大きさ d は、
d=−
g
ω2y
(B.25)
となり、重力方向のトラップ周波数で決まることが分かる。質量の異なる二粒子を用いた
場合、通常重力サグの大きさに違いが出る為、トラップ中心がずれることになる。その大
きさ ∆d は、
g
g (B.26)
∆d = 2 − 2 ω y,1 ω y,2 となる。ω y,1 ,ω y,2 はそれぞれの粒子の重力方向のトラップ周波数である。
B.2
光と原子の相互作用の半古典論
節 B.1 において、古典論により光双極子ポテンシャル及び光散乱レートを求めることが
できたが、式 B.11 や式 B.12 において、共鳴点 ω = ω0 でのポテンシャルや散乱レートを
付録B
156
原子と光の相互作用
求めようとすると発散してしまい、これは実際にはありえない。古典論と半古典論の大き
な違いは飽和が起きるかどうかである。二準位系での厳密なポテンシャルや散乱レート
を求めるには、光ブロッホ方程式を定常状態で解く必要がある。ここでは結果のみを述べ
る。詳細は教科書 [135] を参照のこと。
ポテンシャルや散乱レートを表すには飽和パラメーター s を用いると簡単に表現できる。
s≡
|Ω| 2
|Ω| 2 /2
s0
≡
=
2
2
2
2|γ/2 − iδ|
δ + γ /4 1 + (2δ/γ) 2
(B.27)
ここで、Ω ≡ −eE0 /ℏ ⟨e|r |g⟩ はラビ周波数、γ は自然放出レート、δ は共鳴周波数からの離
調であり、また s0 は共鳴点での飽和パラメータで、
s0 ≡ |Ω| 2 /γ 2 = I/Is
(B.28)
Is ≡ πℏc/3λ 3 τ
(B.29)
である。 Is は飽和強度で
である(τ ≡ 1/γ )。光散乱レートは、
γp =
となる。
s0 γ/2
1 + s0 + (2δ/γ) 2
(B.30)
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