スピンホール効果栗原研究室　１G01K055-6 成瀬　徳和１．はじめに２次元の半導体内（GaAs等)では電子はスピン軌道相互作用が働く SIAによる寄与（Structure Inversion Asymmetry)　→Rashba項 BIAによる寄与（Bulk　Inversion Asymmetry）　→Dresselhaus項電流のと同じくSO相互作用があるときは、電場によってスピンが流れる。 =1 s J ( r ) = {σ Z (r − ra ), v(r − ra )} スピンカレント密度は電流と同じように ∑ 22 a と定義されるそしてスピンカレントコンダクティビティは Σ ij = J is / E j Clean Limitにおいて　Rashbaモデルでのコンダクティビティはe/8πの大きさである。 (Ｊ．Ｓｉｎｏｖａ　ｅｔ　ａｌ　ＰＲＬ．９２，１２６６０３（２００４））２．目的ＲａｓｈｂａとＤｒｅｓｓｅｌｈａｕｓ項が両方存在するときのコンダクティビティを線形応答の公式で求める。また不純物などの緩和時間などを考慮する。 e/8πとどのように関わるか考えたい３．モデル H = H 0 + H R + H D + H ' (t ) H 0 = = k / 2m − µ 2 2 H R = λ (σ k y − σ k x ) （Ｒａｓｈｂａ項）・・・ＳＩＡによる項 H D = β (σ k x − σ k y ) （Ｄｒｅｓｓｅｌｈａｕｓ項）・・・ＢＩＡによる項 x x y y H ' (t ) = −1 / cj⋅ Α(t ) （外場） ic iqr − iΩ t A = Ee Ω ・外場はｘｙ面内に電場がかかっているとき・ＲａｓｈｂａとＤｒｅｓｓｅｌｈａｕｓ項はオーダーが等しい j = −ev ここで 1 ∂H =k v= = + xˆ ( βσ x − λσ y ) + yˆ (λσ x − βσ y ) = ∂k m カレント密度のフーリエ成分電流 so j = jkin + jso + j x y =k + これはSO 項のないときの電流と同じ j ( q ) = −e∑ (ak −↑ ak +↑ + ak+−↓ ak +↓ ) スピンカレントには寄与しないことがわかる m k −e + + ˆ ( ) (( ) ( ) jso x λ β λ β q = i + a a + − i + a a ) ∑ x k −↑ k +↓ k −↓ k +↑ = k k± ≡ k ± q / 2 −e + + so ((λ + i β )ak −↑ ak +↓ + (λ − i β )ak −↓ ak +↑ ) j y (q ) = yˆ ∑ = k kin スピンカレント密度 = =k z + J (q ) = ∑ σ αα a p −α a p +α 2 k m s 線形応答の式を使ってspin conductivityは R ij s ij i j Σ (q, Ω) = J / E = i ∞ χ (q, Ω) Ω [ ] i R iΩ(t −t ') s j χij (q, Ω) = − dte θ ( t − t ' ) J ( q , t ), j (q, t ' ) i ∫ A= −∞ ハミルトニアンを電子の演算子で表すと H = H 0 + V so =2k 2 H0 = ∑ − µ = ∑ ε k (ak+↑ ak ↑ + ak+↓ ak ↓ ) 2m V so = ∑ (λ k y + β k x )σ γδx ak+γ akδ − (λ k x + β k y )σ γδy ak+γ akδ ) = ∑ (λ k y + β k x )(ak+↑ ak ↓ + ak+↓ ak ↑ ) + i (λ k x + β k y )(ak+↑ ak ↓ − ak+↓ ak ↑ ) 電子の運動方程式は ∂akγ 1 1 = − ⎡⎣ a k γ , H ⎤⎦ = − H γδ ( p ) a k δ ∂τ = = ε ε εF ＋－ｋ k これを対角化すると 0 ⎞⎛ cp+ ⎞ ∂ ⎛ cp+ ⎞ −1⎛ε p + V ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜⎜ ε p − V ⎟⎠⎝ cp− ⎠ ∂τ ⎝ cp− ⎠ = ⎝ 0 添え字の±はバンドの添え字で表せる＋、－２つのエネルギーバンド ε pα = ε p ± V V = p λ2 + β 2 + 2λβ sin 2φ ≡ pf (φ ) δ pp 'δ αβ グリーン関数は g αβ ( p , p ' , iω ) = （不純物散乱を考慮してΣを入れた） i ω − ε α − Σ (i ω ) (α = ± ) 0 ↑↓の表示から±表示へと演算子を書き直すと対角化した後の応答関数 (q → 0) χ R xx (Ω ) = − χ R yy (Ω ) = i / A ∑ k x k y e k χ R yx λ − β 2 π k yk ye 2m Vk (Ω ) = i / A ∑ p χ R xy (Ω ) = − i / A ∑ k x k xe p 2 λ2 − β 2m Vk 2 R π λ2 − β 2m Vk 2 π (k , Ω ) R (k , Ω , ) R (k , Ω ) この式からλ＝βのときコンダクティビティは０スピンは流れない π ( p, iΩ) = 1/ β ∑ {g +0 ( p, iω + iΩ) g −0 ( p, iω ) − g −0 ( p, iω + iΩ) g +0 ( p, iω )} ω Σ xx = −Σ yy Σ xy = −Σ yx がわかる以下では不純物の効果は小さいとする（Ｂｏｒｎ近似） τは電子の緩和時間で、 SOエネルギー = フェルミエネルギー d≡ = / 2τ εF 直流 Ω → 0 << 1 π ( k , Ω) Ω pF f (φ ) εF を仮定する →∫ ≡ η << 1 （この条件は実験では成立している） dε 1dε 2 nF (ε 1 ) − nF (ε 2 ) 2 A↑ (ε 1 ) A↓ (ε 2 ) 2 2 (2π ) (ε 1 − ε 2 ) A↑ (ε ) ≡ − 2(= / 2τ ) (ε − ε ↑ ) 2 + (= / 2τ ) 2 不純物の効果が十分小さく、デルタ関数のように扱い、積分がフェルミエネルギー付近でのみ効くと考えるスペクトラル関数 τが大きくなるとδ関数に近づくｄ η ４．結果 ⎛η λ = λ p F / ε F ⎞ ⎟ ⎜ ⎜η = β p / ε ⎟ F F ⎠ ⎝ β ｄ≪η≪１についてＳＯの最低次までとると Σ xx = − Σ yy e = 8π Σ xy = − Σ yx = Clean limit e 8π ( ( ) ) ⎧ β /λ" λ2 > β 2 ⎪ + O (η 4 d ) (1 − d ) × ⎨ 2 2 ⎪⎩ − λ / β " β > λ ⎛ λ2 − β 2 η λ2 − η β2 2 ⎞ 3 ⎜ 2 ⎟ − + + (1 ) ( d d O d) η 2 ⎜ λ −β ⎟ 6π ⎝ ⎠ （N.A.Sinitsyn et al,Phys. Rev.B70,081312による） Σ xx = −Σ yy e = 8π Σ xy = −Σ yx e = 8π ( ( ) ) ⎧ β /λ" λ2 > β 2 ⎪ ×⎨ 2 2 ⎪⎩ − λ / β " β > λ λ2 − β 2 λ2 − β 2 まとめ・スピンホールコンダクティビティはＲａｓｈｂａ、Ｄｒｅｓｓｅｌｈａｕｓ項の大きさが等しくなるところでe/8πから- e/8πへ階段関数のように変化する。（[2]N.A.Sinitsyn et al Phys. Lev. B.70,081312 (2004)）・不純物などの効果は階段関数の高さを低くする役割を果たしている。不純物効果が大きくなるにつれてカレントは０になると思われる。また階段を滑らかに崩すだろうと予想される。・縦成分のコンダクティビティはλ＝０、またはβ＝０になるに従って消失していく。（[2]N.A.Sinitsyn et al Phys. Lev. B.70,081312 (2004)）課題・今回の結果は既に文献に出ているので、もっと別の問題を調べたい。・スピンの密度の空間的変化を扱いたい。・η～ｄでの正確な振る舞いはどうか。５．参考文献 [1]Jairo Sinova et al.Phys. Rev. Lett.92,126603 (2004) [2]N.A.Sinitsyn et al Phys. Rev. B.70,081312 (2004) スピンの向きが反転する理由は定性的に考えると（＋Y方向の運動量のスピンについて注目する） Y X ：スピンの向き(磁場の向きとみなせる）電場のないときフェルミ面上でのスピンの向き（片方のバンドを取り出したもの） Rashbaが大きい Dresselhauseが大きいＸ軸方向へフェルミ面をシフトさせたときスピンの増加する方向はRashba、Dresselhausの大小関係で逆になる