［ 三角関数 ］ ラジアンで表した円の角度 ｃｏｓ と ｓｉｎ ｒ ｂ 度 ０° ９０° １８０° ラジアン ０ １ π ２ π θ ａ ｃｏｓθ＝ ａ ｒ ｓｉｎθ＝ ｒ θ＝ θ＝π θ＝－π ・ 斜辺 ｒ ＝ １ なら、ｃｏｓ と ｓｉｎ は、ａ，ｂ の 長さに等しくなる。 ｃｏｓθ＝ａ ｓｉｎθ＝ｂ ｙ １ Ｐ＝（ａ, ｂ） ｂ －１ 0 ２π ａ １ ｘ ３ π ２ １ π ２ θ＝０ θ 0 θ＝ θ ３ π ２ ３６０° ｙ ｂ ・ ｃｏｓ は、直角三角形の斜辺 ｒ と 角θをはさむ辺 ａ との比 ｓｉｎ は、角θの対辺 ｂ との比 単位円 と 三角関数 ２７０° θ＝－ ｘ １ π ２ θ＝π と θ＝－π は同じ θ＝（３／２）π と θ＝（－１／２）π は同じ つまり、２πを足したり引いたりしても、 一周するだけなので、円の角度としては同じとなる。 だから、 ｃｏｓ（－π）＝ｃｏｓπ ｓｉｎ（－１／２）π＝ｓｉｎ（３／２）π などが成立する。 時間を変数とした 三角関数 ｙ －１ １ ｘ－ｙ 平面に、半径が１の円（単位円と言う）を描く。 円周上の点Ｐと、Ｐから ｘ 軸に垂線を下ろした点 と、 原点０とは、直角三角形になる。 そして、この直角三角形は、斜辺の長さが１である。 Ｐ ｓｉｎ ｔ －１ ｔ ｃｏｓ ｔ １ 0 関数 ｃｏｓ ｔ は、 単位円上を 等速円周運動をする 点Ｐ の ｘ座標 Ｐの座標を（ａ，ｂ）とする。 また、ｘ軸と半径Ｐ－０とが作る角度をθとする。 すると、 ｃｏｓθ＝ａ ｓｉｎθ＝ｂ となる。 －１ 0 つまり、単位円の上の点Ｐの座標、（ａ，ｂ）は、 （ｃｏｓθ，ｓｉｎθ） となる。 cos ｔ ｔ ｘ ［ 複素正弦波 1/3 ］ 複素指数関数 ｅ ｚ において、ｚ＝ｊ ωｔ とおいたもの、ｅｊωｔ を複素正弦波と呼んでいる。 I （虚） 複素正弦波の定義 ｅｊωｔ ＝ｃｏｓωｔ＋ｊ ｓｉｎωｔ １ ω：角周波数、 t ：時間 （ オイラーの公式 ） ｅｊωｔ ｓｉｎωｔ ωｔ －１ 0 R（実） １ ｃｏｓωｔ －１ ・ ｅｊωｔ は、実数部が ｃｏｓωｔ、虚数部が ｓｉｎωｔ を持つ複素数として定義される。 ・ ｅｊωｔ は、複素数の値をとる時間 ｔ の関数である。。 性質： 複素数 ｅｊωｔ は、絶対値が１で、偏角が ωｔ の複素数である。 （証明） ・ 性質 1-1： 複素数 ｅｊωｔ の絶対値 （＝原点からの長さ）は、ωt の値によらず常に１である。 （証明）： 複素数 ｅｊωｔ の絶対値 ＝ | ｅｊωｔ | ＝ √（（実数部）2＋（虚数部）2 ） ＝ ＝ √（（ｃｏｓωｔ）2＋（ｓｉｎωｔ）2 ）＝1 ・ 性質 1-2：複素数 ｅｊωｔ の偏角はωｔ である。 （証明）： 一般に、複素数 ｚ の絶対値を | ｚ |、偏角をθとすると、 実数部は | ｚ |･ｃｏｓθ、 虚数部は | ｚ |･ｓｉｎθ と表される。 ｅｊωｔ の絶対値は １ なので、その実数部は ｃｏｓθ、虚数部はｓｉｎθと表される。 一方定義より、 ｅｊωｔ の実数部は ｃｏｓωｔ、虚数部はｓｉｎωｔ であるので、 偏角 θ＝ωｔ であることが示される。 ［ 複素正弦波 2/3 ］ I （虚） 複素正弦波の定義 ｅｊωｔ ＝ｃｏｓωｔ＋ｊ ｓｉｎωｔ １ ω：角周波数、 t ：時間 ｅｊωｔ ｓｉｎωｔ ωｔ －１ 0 R（実） １ ｃｏｓωｔ －１ ・ 性質より、時間が経過して ｔ が大きくなるにつれて、偏角が増加するので、ｅｊωｔ は半径が１の円 （単位円 ）の上を回転する。 ・ ωｔ ＝ 2πｆ ｔ より、ｔ ＝ 1/ ｆ となると、ωｔ＝2π となって、１回転する。つまり、ｅｊωｔ の回転周期は、 周波数の逆数である。 1秒間に ｆ 回回転する。 正弦波として、ｓｉｎ や ｃｏｓ ではなく、 ｅｊωｔ を使うことの利点 ・ 指数関数の形をしているので、微分・積分が簡単。 d (微分） e jω t = jω ⋅ e jω t dt 1 jω t jω t （積分） ∫ e dt = jω e (1) (2) 式からわかるように、微分は ｊωをかける、積分は ｊωで割る操作と同じになる。 ・ また、２つの正弦波の掛け算や割り算も、複素正弦波の場合は簡単になる。 (乗算） e jω1 t e jω 2 t = e j (ω1 +ω 2 ) t （除算） e jω1 t /e jω 2 t = e j (ω1 - ω 2 ) t 式からわかるように、乗算は加算、除算は減算操作で表される。 ［ 複素正弦波 3/3 ］ ・ 通常の正弦波 ｓｉｎ， ｃｏｓ と、複素正弦波の関係。 複素正弦波 e jω t の定義より、 e jω t = cos ωt + j sin ωt また、e − jω t (1) は、式(1) の j を - j として、 e − jω t = cos ωt − j sin ωt (2) となる。式(1)から式 (2) を引き算すると、 e jω t − e − jω t = 2 j sin ωt よって、 sin ω t = ( 1 e jω t − e − jω t 2j ) が得られる。また、式 (1)と式 (2) を加算して、 e jω t + e − jω t = 2 cos ωt よって、 cos ω t = ( 1 jω t e + e − jω t 2 ) が得られる。 これらの式は、ｓｉｎ （または ｃｏｓ ）が、 ｅ ｊωt とｅ －ｊωt からできていることを表している。
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