101 慣性モーメント等公式集質量、重心位置、慣性モーメント等 1．円柱 z 𝑀 = 𝜌𝜋 𝑟 2 ℎ 𝑟2 x h 𝑟2 𝐽𝑧 = 𝑀 2 r 2. 円筒 𝑀 = 𝜌𝜋ℎ(𝑟 2 − (𝑟 − 𝑡 )2 ) t z ℎ2 𝐽𝑥 = 𝑀 ( 4 + 12) h 𝑟 2 + (𝑟 − 𝑡 )2 ℎ2 𝐽𝑋 = 𝑀 ( + ) 4 12 x 𝑟 2 + (𝑟 − 𝑡 )2 𝐽𝑍 = 𝑀 2 r 3. 球欠 𝜋ℎ2 (3𝑟 − ℎ) 𝑀=𝜌 3 z 3 (2𝑟 − ℎ)2 𝑍𝐺 = 4 3𝑟 − ℎ h ZG r x 60𝑟 3 − 80𝑟 2 ℎ + 45𝑟ℎ2 − 9ℎ3 𝐽𝑋 = 𝑀 20(3𝑟 − ℎ) ℎ 20𝑟 2 − 15𝑟ℎ + 3𝑟 2 𝐽𝑍 = 𝑀 10 3𝑟 − ℎ 4. 円形輪状体 z 𝑀 = 2𝜌𝜋𝑅𝑟 2 r x R 𝑅2 5 2 𝐽𝑋 = 𝑀 ( + 𝑟 ) 2 8 3 𝐽𝑍 = 𝑀 (𝑅 2 + 𝑟 2 ) 4 -1- 備考質量、重心位置、慣性モーメント等 5. 1/4 円弧輪状体 z 𝜋𝑅 1 M = 2ρπ ( (𝑟 2 − (𝑟 − 𝑡 )2 ) + (𝑟 3 − (𝑟 − 𝑡 )3 )) 4 3 r x t R 備考 𝑍𝐺 = 2𝜌𝜋 𝑅 3 1 ( (𝑟 − (𝑟 − 𝑡 )3 ) + (𝑟 4 − (𝑟 − 𝑡 )4 )) 𝑀 3 8 𝜋𝑅 3 2 (𝑟 − (𝑟 − 𝑡 )2 ) + 𝑅 2 (𝑟 3 − (𝑟 − 𝑡 )3 ) 𝐽𝑋 = 𝜌𝜋 ( 4 + 5𝜋𝑅 4 4 (𝑟 − (𝑟 − 𝑡 )4 ) + (𝑟 5 − (𝑟 − 𝑡 )5 )) 16 15 𝜋𝑅 3 2 (𝑟 − (𝑟 − 𝑡 )2 ) + 𝑅 2 (𝑟 3 − (𝑟 − 𝑡 )3 ) 𝐽𝑍 = 2𝜌𝜋 ( 4 + 6-1. 板厚ある球帶 2 𝑀 = 𝜌𝜋(𝑟 3 − (𝑟 − 𝑡 )3 )(𝑐𝑜𝑠 𝛼 − 𝑐𝑜𝑠 𝛽) 3 z r ZG 3𝜋𝑅 4 2 5 (𝑟 − (𝑟 − 𝑡 )4 ) + (𝑟 − (𝑟 − 𝑡 )5 )) 16 15 3 𝑟 4 − (𝑟 − 𝑡 )4 (𝑐𝑜𝑠 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 𝛽) 𝑍𝐺 = 8 𝑟 3 − (𝑟 − 𝑡 )3 α x β 𝑟 5 − (𝑟 − 𝑡 )5 𝐽𝑋 = 𝑀 10(𝑟 3 − (𝑟 − 𝑡 )3 ) × (3 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 + cos 𝛼 cos 𝛽 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛽) t 𝑟 5 − (𝑟 − 𝑡 )5 𝐽𝑍 = 𝑀 5(𝑟 3 − (𝑟 − 𝑡 )3 ) × (3 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 − cos 𝛼 cos 𝛽 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝛽) 「球帯」は「球台の曲面部分」と定義される。また「球台」は「球が互いに平行な 2 平面で切られた場合、この平面の間にある球の部分」である。本来板厚はない。この式では板厚の端部は Z 軸と 90°ではなく、α（またはβ）となっている。計算の便のため β＝180°の場合を 6.2 に、α＝0°の場合を 6.3 に示した。 -2- 質量、重心位置、慣性モーメント等 6-2.上記でβ＝180°の場合 z 3 𝑟 4 − (𝑟 − 𝑡 )4 (𝑐𝑜𝑠 𝛼 − 1) 𝑍𝐺 = 8 𝑟 3 − (𝑟 − 𝑡 )3 α r x ZG 2 𝑀 = 𝜌𝜋(𝑟 3 − (𝑟 − 𝑡 )3 )(1 − 𝑐𝑜𝑠 𝛼) 3 𝑟 5 − (𝑟 − 𝑡 )5 (4 + 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛽) 𝐽𝑋 = 𝑀 3 3 10(𝑟 − (𝑟 − 𝑡 ) ) 𝑟 5 − (𝑟 − 𝑡 )5 (2 + 𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 ) 𝐽𝑍 = 𝑀 3 3 5(𝑟 − (𝑟 − 𝑡 ) ) t 6-3.上記でα＝0°の場合 z t r 3 𝑟 4 − (𝑟 − 𝑡 )4 (1 + 𝑐𝑜𝑠 𝛽) 𝑍𝐺 = 8 𝑟 3 − (𝑟 − 𝑡 )3 β ZG 2 𝑀 = 𝜌𝜋(𝑟 3 − (𝑟 − 𝑡 )3 )(1 − 𝑐𝑜𝑠 𝛽) 3 x 𝑟 5 − (𝑟 − 𝑡 )5 (4 + cos 𝛽 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛽) 𝐽𝑋 = 𝑀 10(𝑟 3 − (𝑟 − 𝑡 )3 ) 𝑟 5 − (𝑟 − 𝑡 )5 (2 − 𝑐𝑜𝑠𝛽 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝛽) 𝐽𝑍 = 𝑀 5(𝑟 3 − (𝑟 − 𝑡 )3 ) 7.加法・減法の定理複数個の物体の回転軸が一致している場合には、慣性モーメントを加えたり差し引いたりして全体の慣性モーメントを求めることが出来る。 8.平行軸の定理重心軸に平行な軸に関する慣性モーメント I は、重心軸に関するモーメントを IGX、軸間距離をη、質量を m とすると I＝IGX＋mη2 となる。この表のような要素の X 軸に平行な重心軸回りの慣性モーメント下記となる。 𝐽𝐺𝑋 = 𝐽𝑋 − 𝑀 (𝑍𝐺 )2 各要素全体を含めた重心位置を e とすると合計慣性モーメント A は要素ごとの 𝐽𝑒𝑋 = 𝐽𝐺𝑋 + 𝑀(𝑒 − 𝑍𝑒𝐺 )2 の合計値となる。(ZeG は系全体の共通 X 軸からの距離) -3-