相対論的PICコード(60分)

相対論的ＰＩＣコード
永田健太郎
東京大学（大阪大学）Ｄ１
もくじ
•
•
•
•
PICの全体像
１次元・静電コード
１次元・電磁コード
相対論的無衝突衝撃波のシミュレーション
ＰＩＣ(Particle in Cell)とは？
• 粒子のもつ物理量（座標・速度）は、個々の粒
子について運動方程式で解く。
• 電磁場は空間をメッシュで分割したグリッド上
で定義され、Ｍａｘｗｅｌｌ方程式で解く。
• 粒子の持つ物理量をグリッドに分配し、グリッ
ド上の物理量を粒子へ分配する。
PICの特徴
利点
• 非熱的な現象や波と粒子の相互作用を見れる。
• 粒子間の相互作用を直接解くよりも、計算量が
はるかに少ない。
欠点
• 粒子の運動についての固有なスケールを持つ
ため、長時間・広範囲の計算は無理。
基礎方程式
⎛
⎞
u
du
相対論的運動方程式 m0
= q⎜⎜ E + × B ⎟⎟
cγ
dt
⎝
⎠
Maxwell方程式 ∇ ⋅ E = 4πρ 1 ∂B
∇ × E = −
c ∂t
1 ∂E 4π
∇ × B =
J
+
c ∂t
c
∇ ⋅ B = 0
計算の流れ
運動方程式の積分
Ｆｋ → ｖｋ → ｘｋ
粒子に働く力の計算
（Ｅ，Ｂ）ｉ → Ｆｋ
電荷密度・電流密度の計算
（ｘ，ｖ）ｋ → （ρ，J）ｉ
Ｍａｘｗｅｌｌ方程式の積分
（ρ，J）ｉ → （Ｅ，Ｂ）ｉ
k: 粒子番号
i : グリッド番号
物理量の配置
時間
粒子の
物理量
E B
x
ρ
E B
n+1
ρ
J
n+1/2
E B
x
ρ 空間
E B
n
ρ
i
v
i+1/2
i+1
次元によって異なる電荷の形状
z
y
x
１次元
y-z方向に伸びた
板状電荷
x
２次元
z方向に伸びた
棒状電荷
y
x
３次元
球状電荷
１次元・静電コード
１次元・静電コード
• 空間１次元（ｘ）磁場なしの場合。
⇒ x=(x,0,0), v=(vx,0,0), E=(Ex,0,0), B=(0,0,0)
• 解くべき方程式
⎛
⎞
du
du
u
= q⎜⎜ E + × B ⎟⎟ ⇒ m0 x = qE x
相対論的運動方程式 m0
dt
cγ
dt
⎝
⎠
∂E x
= 4πρ
∂x
1 ∂E x 4π ⎤
Jx⎥
⇒ 0=
+
c ∂t
c
⎦
Maxwell方程式 ∇ ⋅ E = 4πρ ⇒
1 ∂E 4π
⎡
J
+
⎢∇ × B =
c ∂t
c
⎣
m0 静止質量, u ４元速度, γ ローレンツ因子, q 電荷,ρ 電荷密度
手順
1.
2.
3.
4.
5.
粒子の座標xと速度vxが既知であるとする。
xからグリッド上の電荷密度ρを求める。
ρからグリッド上の電場Ex を求める。
粒子が受けるExを求める。
運動方程式を解き、vxを更新し、さらにxを更新す
る。
運動方程式の積分
Ｆｋ → ｖｋ → ｘｋ
粒子に働く力の計算
Ｅｉ → Ｆｋ
k: 粒子番号
i : グリッド番号
divEの積分
ρｉ → Ｅｉ
電荷密度の計算
ｘｋ → ρｉ
粒子からグリッドへの物理量の受け渡し
グリッド位置
粒子位置
m
電荷密度 ρ (i, n ) = ∑ qk S (i − xk (t )) ∆x
k =1
Maxwell方程式 (divE)
E x ,i +1/ 2 − E x ,i −1/ 2
∂E x
= 4πρ ⇒
= 4πρi
∂x
∆x
E x ,i +1/ 2 = E x ,i −1/ 2 + 4πρi ∆x
・・・・・・・・・・（１）
セルフフォース（自分自身の電場によって受ける力）
を回避するため、補完によって電場を電荷密度ρ
が定義されたグリッドに定義しなおす。
E x ,i =
E x ,i +1/ 2 + E x ,i −1/ 2
2
・・・・・・・・・・（２）
セルフフォース
a
i-1/2
1-a
i+1/2
i
ρ i = q (1 − a )
Ei −1/ 2 = −2πq
i+1
i+3/2
ρ i +1 = qa
Ei +3 / 2 = 2πq
Ei +1/ 2 = 2πq(1 − 2a )
Ei = −2πqa
Ei = 2πq(1 − a )
E
i-1/2
理論値
i
i+1/2
⎞
⎛1
E = 0 E = 4πqa⎜ − a ⎟ ≠ 0
⎠
⎝2
i+1
i+3/2
グリッドから粒子への物理量の受け渡し
グリッド位置
粒子位置
m
電場 Ek = ∑ Ei S (i − xk )
i =1
運動方程式
u xn +1/ 2 − u xn −1/ 2
q n
=
Ex
m0
∆t
du x
= qE x
m0
dt
⇒
u xn +1/ 2 = u xn −1/ 2 +
q n
E x ∆t
m0
・・・・・・・・・・（２）
⎡
⎤
n +1 / 2
n +1 / 2
u
u
x
⎢v xn +1/ 2 = x
⎥
=
n +1 / 2
2 ⎥（４元速度から３元速度へ変換）
n +1 / 2
⎢
γ
c ⎦
1 + ux
⎣
x n +1 = x n + v xn +1/ 2 ∆t
・・・・・・・・・・（１）
(
)
１次元・静電コードのまとめ
• 物理変数 x=(x,0,0), v=(vx,0,0), E=(Ex,0,0)
Maxwell方程式 ∇ ⋅ E = 4πρ ⇒
E x ,i +1/ 2 = E x ,i −1/ 2 + 4πρi ∆x
E x ,i =
∂E x
= 4πρ
∂x
E x ,i +1/ 2 + E x ,i −1/ 2
2
⎛
⎞
du x
du
u
= q⎜⎜ E + × B ⎟⎟ ⇒ m0
相対論的運動方程式 m0
= qE x
dt
cγ
dt
⎝
⎠
⎡
⎤
n +1 / 2
n +1 / 2
u
u
q
x
⎥
u xn +1/ 2 = u xn −1/ 2 +
E xn ∆t , ⎢v xn +1/ 2 = xn +1/ 2 =
2 ⎥
n +1 / 2
⎢
m0
γ
1
+
u
c
x
⎣
⎦
x n +1 = x n + v xn +1/ 2 ∆t
(
)
１次元・静電コードのまとめ
時間
n+1
Ex
(Ex)
ρ
ρ
粒子の
物理量
Ex
x
v
n+1/2
n
Ex
(Ex)
ρ
i
Ex
ρ
i+1/2
i+1
x
空間
グリッド及び時間ステップ幅の拘束条件
• Δx∼デバイ長(λD=vth/ ωp)
Δx> λDとなると粒子は数値的な熱化を起こす
（運動エネルギーが増加し、エネルギーが保存し
ない）
• 特徴的な現象を十分に分解できる大きさにとる
例）プラズマ振動 ωp Δt<<1
ジャイロ運動Δt << ジャイロ周期
(Δx << ジャイロ半径)
計算例：プラズマ振動
• 計算空間に熱速度が小さい同数の電子-陽電子を一様
に分配し、静電場による振動を見る。
• 運動方程式・連続の式・divE
⎧ ∂v±
⎫
mn± ⎨
+ (v± ⋅ ∇ )v± ⎬ = ±en± E
⎩ ∂t
⎭
∂n±
m
+ ∇ ⋅ (n± v± )v± = 0
∂t
∇ ⋅ E = 4πρ
を速度v・電場Eは１次の量、密度nは０次+１次の量と
して線形化し分散関係式を得る。
ω = ωp
計算条件
• グリッド数１０２４
• 時間ステップ１０２４
• 粒子数５１，２００×２個
（５０×２個/グリッド）
• グリッド幅５０×デバイ長
（数値的な熱化が起こる）
• 時間ステップ幅プラズマ振動周期/１３
• 境界条件周期境界
プラズマ振動（静電場のk-ω図）
ω = ωp
１次元・電磁コード（垂直磁場）
１次元・電磁コード（垂直磁場）
• 空間１次元（ｘ）垂直磁場（Bz)の場合。
⇒ x=(x,0,0), v=(vx,vy,0), E=(Ex,Ey,0), B=(0,0,Bz)
• 解くべき方程式
⎞
⎛
du
u
相対論的運動方程式 m0
= q⎜⎜ E + × B ⎟⎟
dt
cγ
⎠
⎝
u = (u x , u y ,0 ), E = (E x , E y ,0 ), B = (0,0, Bz )
∂E x
= 4πρ
∇ ⋅ E = 4πρ ⇒
∂x
∂E y
1 ∂B
1 ∂Bz
=−
⇒
Maxwell方程式 ∇ × E = −
∂x
c ∂t
c ∂t
∂Bz 1 ∂E y 4π
1 ∂E 4π
∇ × B =
J ⇒ −
+
Jy
=
+
c ∂t
c
c
∂x c ∂t
手順
1. 粒子の座標x，速度(vx , vy)，電磁場(Ey,Bz)が既知であ
るとする。
2. xからグリッド上の電荷密度ρを、 x ,vyからグリッド上
の電流密度Jyを求める。
3. ρからグリッド上の電場Exを求める。Jyを使ってグリッド
上の電磁場(Ey,Bz)を時間更新する。
4. 粒子が受ける(Ex,,Ey,Bz)を求める。
5. 運動方程式を解き、(vx , vy)を更新し、さらにxを更新す
運動方程式の積分
る。
Ｆｋ → ｖｋ → ｘｋ
粒子に働く力の計算
（Ｅ，Ｂ）ｉ → Ｆｋ
k: 粒子番号
i : グリッド番号
電荷密度・電流密度の計算
（ｘ，ｖ）ｋ → （ρ，J）ｉ
Ｍａｘｗｅｌｌ方程式の積分
（ρ，J）ｉ → （Ｅ，Ｂ）ｉ
粒子からグリッドへの物理量の受け渡し
グリッド位置
粒子位置
m
電荷密度 ρ (i, n ) = ∑ qk S (i − xk (t )) ∆x
k =1
m
電流密度 J (i, n + 1 2 ) = ∑ qk vk (t + ∆t 2 )S (i − xk (t + ∆t 2 )) ∆x
k =1
電磁場の解法
1 ∂Bz
∂Bz 1 ∂E y 4π
=
Jy
, −
+
=−
c ∂t
∂x c ∂t
c
∂x
∂E y
と定義して２式の和と差をとると
⇒ (F )
+ n +1
i
(F )
( )
− F
∆t
− n +1
i
+ n
i
( )
− F
∆t
− n
i
+c
−c
(F ) − (F )
+ n
i
(F )
+ n
i −1
∆x
− n
i +1
( )
− F
∆x
− n
i
= −4π (J y )i −1/ 2
n +1 / 2
= −4π (J y )i +1/ 2 ,
n +1 / 2
(J )
n +1 / 2
y i +1 / 2
(J )
n +1 / 2
=
y i +1
+ (J y )i
n +1 / 2
2
電磁場の解法
Δx=cΔtとして
(F )
(F )
+ n +1
i
− n +1
i
( )
= (F )
= F
+ n
i −1
− n
i +1
− 4π (J y )i −1/ 2 ∆t : +x方向へ伝播
n +1 / 2
n +1 / 2
− 4π (J y )i +1/ 2 ∆t : -x方向へ伝播
グリッドから粒子への物理量の受け渡し
グリッド位置
粒子位置
m
電場 Ek = ∑ Ei S (i − xk )
i =1
m
磁場 Bk = ∑ Bi S (i − xk )
i =1
運動方程式
⎞
⎛
du
u
m0
= q⎜⎜ E + × B ⎟⎟ ⇒
dt
cγ
⎠
⎝
u n +1/ 2 − u n −1/ 2
q ⎛ n u n +1/ 2 + u n −1/ 2
n⎞
⎜⎜ E +
=
× B ⎟⎟
n
∆t
m0 ⎝
2γ c
⎠
• Buneman-Boris法
電場による加速と磁場による回転を別に扱うことによ
り、磁場が仕事をしないことを保障する。
Buneman-Boris法
u n +1/ 2 − u n −1/ 2
q ⎛ n u n +1/ 2 + u n −1/ 2
n⎞
⎜⎜ E +
=
× B ⎟⎟
n
2γ c
m0 ⎝
∆t
⎠
• 電場による加速
u − ≡ u n −1/ 2 +
u
• 磁場による回転
(|u+|=|u-|)
n +1 / 2
q n ∆t
≡u +
E
m0
2
+
(
)
q
−
−
u
u
+
×T ×T
2
1+ T
qB n
−
−
−
2⎤
,
γ
1
t
u
c
≡u +
∆
=
+
⎥
2m0 cγ −
⎦
u+ = u− +
⎡
⎢T
⎣
q n ∆t
E
m0
2
(
)
u n −1/ 2 − ( E加速) → u − − ( B回転) → u + − ( E加速) → u n +1/ 2
１次元・電磁コード（垂直磁場）のまとめ
• 物理変数x=(x,0,0),v=(vx,vy,0),E=(Ex,Ey,0),B=(0,0,Bz)
相対論的運動方程式
⎞
⎛
du
u
m0
= q⎜⎜ E + × B ⎟⎟
dt
cγ
⎠
⎝
Maxwell方程式
∂E x
= 4πρ
∂x
∂E y
1 ∂Bz
=−
∂x
c ∂t
∂Bz 1 ∂E y 4π
−
=
Jy
+
∂x c ∂t
c
時間
Ex Ey (Ex)
n+1 B ρ
z
(Jy)
Jy
n+1/2
Ex Ey
n
Bz ρ
i
(Ex)
i+1/2
Ex Ey
Bz ρ
(Jy)
粒子の
物理量
x
v, (x)
Ex Ey
Bz ρ
空間 x
i+1
１次元・電磁コード（斜め磁場）
• Bxがある場合は、垂直磁場の場合の(Ey,Bz,Jy,(vy))
に対して分離された(Ez,By,Jz,(vz))を加えて計算すれ
ばよい。
相対論的運動方程式
⎞
⎛
du
u
m0
= q⎜⎜ E + × B ⎟⎟
dt
cγ
⎠
⎝
Maxwell方程式
∂E x
= 4πρ
∂x
∂E y
∂E z
1 ∂Bz
1 ∂B y
=−
=−
, −
∂x
∂x
c ∂t
c ∂t
∂B y 1 ∂E z 4π
∂B
1 ∂E y 4π
− z =
J y , =
+
Jz
+
∂x c ∂t
c
c
∂x c ∂t
計算例：電磁波のカットオフ
• 電子-陽電子プラズマ中に電磁波を入射する。
• 電磁場が１次の量であるとして、Maxwell方程式
∂E y
1 ∂B
1 ∂Bz
∇× E = −
⇒
=−
c ∂t
c ∂t
∂x
1 ∂E 4π
∂Bz 1 ∂E y 4π
J ⇒ −
=
Jy
∇× B =
+
+
c ∂t
c
∂x c ∂t
c
を解くことで分散関係式を得る。
2
2
2 2
ω = ωp + c k
ω<ωpではkが虚数になり、伝播方向に対して振幅は
指数関数的に減衰する。
計算条件
• グリッド数１０００
• 時間ステップ８００
• 粒子数２５，０００×２個
（５０×２個/グリッド）
• グリッド幅０．０１×ジャイロ半径
（２０×デバイ長)
• 時間ステップ幅０．０１６×プラズマ振動周期
• 境界条件右端で反射境界
カットオフ
(ω = 2ω )
ω > ωp
p
ω = ωp
⎛
⎝
1
2
⎞
⎠
ω < ωp ⎜ω = ωp ⎟
電磁波入射
真空
プラズマ
空間/ジャイロ半径
エネルギー/Nmc2
エネルギー保存
時間・ジャイロ振動数
電磁波到達
相対論的無衝突衝撃波
研究の動機
かに星雲のスペクトル(Aharonian et al 1998)
可視光
かに星雲のⅩ線画像
(chandra)
Ｘ線
電波
γ=106
パルサー風のバルクな運動
γ=109
加速されている
インナーリング
これが衝撃波で、粒子の
加速が起こっている
γ:電子・陽電子のローレンツ因子
•粒子の運動エネルギーは約１０００倍まで増加
衝撃波によってどのように粒子の加速が起こっているのか
無衝突衝撃波の形成
衝撃波付近の模式図
パルサー風
e+ & eγ∼１０６
パルサー
磁場
Ｂ∼ １０-4[G]
reverse shock
0.1pc程度
超新星残骸
forward shock
•磁場に凍結されたe＋& e- はγ
∼１０６に達する。
•パルサー風と超新星残骸との
相互作用により、衝撃波が発
生。ただし、数密度は非常に低
く、無衝突系である。
•パルサーは高速回転していて、
磁場はスパイラル状に巻かれ
ている。よって粒子の流れに対
して磁場は垂直（垂直衝撃波）
である。
•流れが相対論的で、垂直衝撃
波に近い場合はFermi加速が
有効に働かない可能性がある。
•そのほかの加速メカニズムを
考える必要がある。
計算条件
•一様でcold な電子-陽電子を左側(-x方向)から入射
•電磁場(Ey,Bz)は、粒子のバルクな速度に対して働く
ローレンツ力が相殺するように与える E y = v x B z
•右側境界で粒子と電磁場は
反射させる。
•初期の磁場のエネルギー密度と
ｚ Bｚ
Eｙ
ｙ
粒子の運動エネルギー密度の比
σ=
Bz 0 / 4π
2 N 0 meγ 0 c 2
2
e+,eｘ
injection
reflection
を変化させて現象を見る。
（かに星雲の衝撃波面付近ではσ∼10-3）
計算結果
衝撃波面
入射
-1
(σ=10 )
壁
0.6 上流
log(N)
下流
0
静電場 Ex/Ey0
相対論的Maxwell分布
3
1
γ/γ0
磁場 Bz/Bz0
3 電子の運動エネルギー γ/γ0
1
0
x/(上流のジャイロ半径)
50
• 衝撃波面が生成
（電磁場の平均値はジャンプ
コンディションを満たす。)
• スペクトルは相対論的
Maxwell分布に近くなってい
る。⇒熱化
計算結果
衝撃波面
入射
壁
上流
相対論的Maxwell分布
下流
log(N)
30
-4
(σ=10 )
0
静電場 Ex/Ey0
加速された粒子
80
0
γ/γ0
磁場 Bz/Bz0
• 電磁場の振幅が（初期の値
に対して）非常に大きい。
• 衝撃波面で高エネルギー粒
子が生成されている。
20 電子の運動エネルギー γ/γ0
1
0
x/(上流のジャイロ半径)
20
Particle trajectory and time variation of energy
(electrostatic field Ex)
time ⇒
downstream
sh
oc
kf
ro
nt
~
A
B
c/2
upstream
A
B
1
energy (γ/γ0)→ 14
space ⇒
•particle A：not trapped by the shock front and not accelerated
•particle B：trapped by the shock front and accelerated
The particles are accelerated at the shock front
The average of accelerating electric field〈Ey/Ey0〉~1.7 > 0
Past studies for the shock surfing
acceleration in electron-positron plasma
M.Hoshino (2001) showed that
• this phenomenon is characterized by σ,
• when σ<<1 particle energy spectrum is nonthermal,
• accelerated particles are trapped at the shock
surface, where a magnetic neutral sheet (MNS)
exists.
M.Hoshino, 2001, Prog. Phys. Sup. 143, 149
Trapping by a magnetic neutral sheet
• Particles are trapped because their magnetic neutral sheet
(MNS)
gyro motions change its direction
Bz
through the MNS.
• All that time, motional electric field
Ey accelerates the particles along
the MNS.
x
• In the shock transition region, Ey
has a finite value. On the other
y
hand, in the down stream Ey is
electron
almost zero. This is the reason why
the particle acceleration occurs only
at the shock front.
Bz
Bz
x
Relation between σ and MNS
•The reflected particles begin to
gyrate and induce an additional
magnetic field.
2
2
σ
=
B
/
8
π
N
m
γ
c
•By definition of
,
0 e 0
z0
when σ is small, the initial magnetic
field is small and the particle kinetic
energy is large. Then
initial magnetic field
＜
generated magnetic field,
and a MNS is generated.
•We focus on the shock transition
region in case σ = 10-4 << 1.
generated magnetic
field (B)
Bz
∼Bz0
MNS
x
y
current
electron
∼Bz0
x
Enlargement of the shock transition region
injection
shock transition region
velocity ux/ux0
upstream
shock front
downstream
wall
Shock transition region
injection
shock front
thermalize
ux/ux0
accelerated particles
Ey/Ey0 Bz/Bz0
MNS
• The injected particles go through the shock front
and some of them return to the front.
• Trapping and acceleration occur at the shock
front, not the whole shock transition region.
Electromagnetic fields
around the trapped particle
time⇒
downstream
upstream
space⇒
ーEy ーBz +The position of
accelerated particle
Enlargement of the shock front
Ey/Ey0
Bz/Bz0
particle energy
γ/γ0
inertia length (c/ωp)×２
The structure of the shock front
(in downstream frame)
•The acceleration by Ey is unclear, because Ey has a
large positive and negative amplitude around the MNS.
•The MNS propagate upstream with velocity ~ c/2, so
we should discuss in the MNS frame (= shock frame).
steady state
Maxwell eqs
60
4π
∂Bz
=−
Jy,
∂x
c
∂E y
∂x
=0
⇒evaluate Ey
inertia length (c/ωp)×２
Ey/Ey0
Bz/Bz0
20
accelerated particles
particle
energy
γ/γ0
0
9.86
x/（gyro radius）
9.96
0
The structure of shock front
(in shock frame)
the Lorentz transformation of the shock frame
E ′y = γ s ( E y − β s Bz ), Bz′ = γ s ( Bz − β s E y )
shock velocity β s = −1 / 2, γ s = (1 − β s ) −1/ 2 ≈ 1.15
2
50
inertia length (c/ωp)×２
Ey’/Ey0
Bz’/Bz0
20
accelerated particles
0
9.86
x/（gyro radius）
9.96
particle
energy
γ/γ0
0
•Averaged Ey’ is constantly positive in the acceleration
region, 〈Ey’/Ey0〉∼ 0−7.
•The averaged Ey’ which accelerate particles in this frame
〈Ey’/Ey0〉∼2 ⇒ consistent with the above estimate.
Summary
• The acceleration phenomenon is characterized by σ
which is defined as the ratio of the magnetic field
energy density and the particle kinetic energy
density.
• The additional magnetic field induced by gyrating
particles overcome the initial magnetic field when σ
is small, and then a magnetic neutral sheet is
generated. Therefore this acceleration process
works effectively in the Crab nebula, σ ~ 10-3.
• Some particles are accelerated by motional electric
field Ey while the magnetic neutral sheet traps them.
• The magnetic neutral sheet is kept stationary at the
shock front. We confirmed that the averaged Ey is
positive in the shock frame and that the particle
acceleration occurs at the shock frame.
To go further
• The condition of trapping and detrapping for
accelerated particles
⇒ Spectrum form (maximum energy, power-low or
thermal)
• 2-D simulation
⇒ Weibel instability
• Magnetic field consisting of opposing two regions
(sector structure)
⇒ coupling with reconnection, etc.

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