脳を鍛える（？）数学パズル ∼ 問題編 ver. 平成 20 年 9 月 2 日 1 小手調べ問題 1.1 1 と 0.99999 · · · はどちらが大きいでしょうか。問題 1.2 表裏両方とも青いカードが１枚と表が青で、裏が赤のカードが１枚あります。目を閉じでそのうちの１枚を選び、机の上に置いたら、青でした。もう１枚のカードは見えないものとして、この青いカードの裏が赤である確率を求めて下さい。 2 大学入試レベル問題 2.1 同じ湯飲み二つを使って，急須に入った熱いお茶を冷ますには，一方に全部入れてから他方に移すのと，半分ずつ両方に入れてから一つの湯飲みにまとめるのと，どちらがいいでしょうか？ただし, お茶と湯飲みはすぐに同じ温度になるとし, 湯飲み以外への熱の流出は無視できるものとします. （平成１９年度センター試験の物理Ｉ問題Ｃ問７）問題 2.2 豊臣秀吉から欲しいものをやると言われて、曾呂利新左衛門は将棋版を指して「今日は一粒、明日二粒、三日目は四粒と、前日の倍にして盤の目の数、81 日分の米粒をいただきたい」と答えたと。おやすい御用と受けた秀吉。さて、米千粒で 20 グラムになるとすると1 、全部でどのくらいの重さになるでしょうか。トンで表したときの桁数を求めなさい。ただし log10 2 ≈ 0.30103 とします。将棋盤の代わりに、碁盤を使ったらどうなるでしょうか。碁盤には 19 路盤（マス目の数は 324）、 15 路盤（マス目の数は 196）、13 路盤（マス目の数は 144）があります。地球の重さは約 6 × 1021 トンとのことですが、これと比較してみてください。問題 2.3 平面上の相異なる二つの定点からの距離の和が一定となる点の軌跡は、（その二定点を焦点とする）楕円となることが知られています。このことを用いて、次の問題に答えなさい。微分を使わなくても解くことができるはずです。周の長さ（三辺の長さの和）が 1 となる三角形の集合を S とします。△ABC を S の中で面積が最大となる三角形とする。このとき △ABC は正三角形となることを示せ。問題 2.4 フェデラーが m 枚、ナダルが n 枚メダルを持っているとする。一回のコイン投げで、負けた方が、勝った方にメダルを一枚わたし、最後にメダルがなくなった方が負け、というゲームを考える。但し、各々のコイン投げで勝つ確率はフェデラー、ナダル各々 1/2 とする。 (1) 最終的にフェデラーの勝つ確率はいくらか。 (2) 決着が付くまでに必要なコイン投げの回数の期待値は何か。 1 玄米千粒の重さはだいたい 22.0∼23.0 グラムだそうです。 1 問題 2.5 ジョゼッペ爺さんが 87 歳で亡くなりました。爺さんは羊を 11 頭持っていましたが、遺言状には「長男のルチアーノに半分、同い年生まれの長女のミレッラに４分の１、二男（養子）のホセに６分の１相続させる」、とありました。11 頭をどのように分ければいいでしょうか。 1 + 14 + 16 = 11 12 で、残りの 12 をどうするのか書いていないので、元々ジョゼッペ爺さんの遺 1 言状には不備があります。しょうがないので、残りの 12 にもう１度遺言状を適用して、その 12 を 1 1 の 12 ルチアーノに、 14 をミレッラに、 16 をホセにやることにしましょう。それでも更に、 12 1 2 が残ってしまいますので、それにまた遺言状を適用することにしましょう。この手順を無限回くりかえすと、結局三人の取り分はそれぞれいくらになるでしょうか。また、上の結果を、無限級数の計算抜きに求めるには、どうしたらいいでしょうか。 3 マッチ棒パズル問題 3.1 マッチ棒３，４，５本で直角三角形をつくりました（図 1）。図 1: マッチ棒の直角三角形 (1) マッチ棒２本足して、同じ面積を持つ二つの部分に分けて下さい。 (2) ３本、４本、５本にしたら、どうなるでしょうか。問題 3.2 上の図 1 の直角三角形で、１２本のマッチの内の５本動かして、面積を元々の三角形の３分の１にしてください。動かしたマッチの位置は、定規とコンパスで作図できるようなものに限ります。解答は何通りか（少なくとも５通り）あります。なるべく沢山の解法を考えて下さい。 4 幾何・トポロジー（位相幾何学）問題 4.1 ブラッドはアンジーとの愛を示すために、粘土で絡み合った handcuﬀ を作りました（図 2）。ところが、誰かがいじって、粘土を切ったりしないで、連続的に変形しただけで、二つの輪っかを外してしまいました（図 3）。どのようにしたのでしょうか。 2 図 3: はずれたハンドカフ図 2: 絡まったハンドカフ問題 4.2 （トポロジーの問題）1 メートルおきに、縦、横、上下にパイプを渡してできたジャングルジムを考えます。このジャングルジムが柔らかいゴムでできているとすると、ぐにゃぐにゃと変形すると、穴がいくつかあいたドーナッツのようなものにできます。例えば、縦、横、上下が全て 1 メートルだと、下の正方形を少し大きく広げて、上の部分を押しつぶして、ぺじゃんこにすると、穴の数は 5 つになります（図 4）。図 4: (1) 縦と横がそれぞれ 1 メートル、上下が 2 メートルだとすると、穴の数はいくつになるでしょうか。 (2) 一般に、縦、横、上下がそれぞれ k, l, m メートルだとすると、穴の数はいくつになるでしょうか。 5 難問（答えはありません。せっかちな人は見ないでください）問題 5.1 問題 2.1 をアレンジして，次のような問題を考えましょう. ただし, いずれの場合も, お茶は最初一つの急須に入っていて, 最後に一つの湯飲みにまとめることにします. (1) 問題 2.1 と同じ条件で，できるだけお茶を冷ますにはどうするのがいいでしょうか． 3 (2) 一定量の粘土（と釉薬）で湯飲みを幾つか作り，お茶をできるだけ冷ますには，どのように湯飲みを作り，どのような方法をとればいいでしょうか．問題 2.1 と同様, 熱のロスはないとする，などのお約束の条件は仮定します．また，お茶や湯飲みの最初の温度や熱容量などの条件は，解答が分かりやすくなるように, 適当につけて下さい．問題 5.2 A、B 二つのビーカーに 0 度の水と 100 度の水（湯）が同量ずつ入っているとする。 (1) 元々 A 内に入っていた水の一部を別の幾つかのビーカー Ai に分割すること、もしくはその逆の混合。 (2) 元々 B 内に入っていた水の一部を別の幾つかのビーカー Bj に分割すること、もしくはその逆の混合。 (3) Ai と Bj の接触。（同じ温度になるとする。）上の三つの操作のみを有限回用いることが許されているとする。最後に、元々 A（または B ）に入っていた水を再び A （または B ）のビーカーにまとめるとする。最後に A に入っている水の温度を出来るだけ上げたいが、何度まで上げることが出来るか？但し、熱の損失はないものとする。問題 5.3 (1) 直線 L とその上にない点 A, B が与えられたとします。この直線 L に接し、点 A, B を通る円を、定規とコンパスで作図しなさい。 (2) 直線 L1 , L2 とその上にない点 A が与えられたとします。この直線 L1 , L2 に接し、点 A を通る円を、定規とコンパスで作図しなさい。 (3) 円 C とその上にない点 A, B が与えられたとします。この円 C に接し、点 A, B を通る円を、定規とコンパスで作図しなさい。 (4) 円 C1 , C2 とその上にない点 A が与えられたとします。この円 C1 , C2 に接し、点 A を通る円を、定規とコンパスで作図しなさい。 (5) 円 C1 , C2 , C3 が与えられたとします。この円 C1 , C2 , C3 に接する円を、定規とコンパスで作図しなさい。註：それぞれの問題において、最初に与えられた直線、あるいは円、および点の位置関係によっては、求める円が存在しなかったり、複数存在することがあります。問題 5.4 （日本語の解答はありません）P1 , P2 , P3 , P4 を、3 次元空間内の、同一円周（直線）上にない、相異なる 4 点とする。するとこれら 4 点のうち 3 点を通る円が４つできる。Γijk (i ̸= j ̸= k ̸= i) で Pi , Pj , Pk を通る円をあらわす。ただし Pi , Pj , Pk の順に通る向きがついているものとする。以下添え字は mod. 4 で考える。{i, j, k, l} = {1, 2, 3, 4} とする。Pi と Pj を通り、２つの円 Γijk と Γijl と同じ角度で交わる円のうち、その角度が最も小さくなるものを Γij とする。 (1) {i, j, k, l} = {1, 2, 3, 4} とすると、Pi を通る３つの円 Γij , Γik , Γil は Pi 以外のある１点で交わることを示せ。 (2) 上の点を Pi′ とかくと、4 点の集合 {P1 , P2 , P3 , P4 } から {P1′ , P2′ , P3′ , P4′ } を得る。この {P1′ , P2′ , P3′ , P4′ } から上と同じ手順で {P1′′ , P2′′ , P3′′ , P4′′ } を得たとする。{P1′′ , P2′′ , P3′′ , P4′′ } は {P1 , P2 , P3 , P4 } と一致することを示せ。 4