論理と数理パズル ―クイズを通して数学を見る― 町 頭 義 朗 数理科学講座 Logic and Mathematical puzzles -Seei ng Mat he mati cs t hroug h qui zze sYoshiroh M achig ashira Di vision of Math emati cal S cien ce s １ はじめに 本論文では，筆者が２０１１年８月２５日に大阪府立岸和田高校で行 った講演を元に，数学を通して，論理を高校生に教える方法を探る。 題材に選んだのは，入試問題やテレビのクイズ番組，あるいはネット で出題されていた論理の問題である。情報をわかりやすく伝える１つの 方法として，伝えるべきことを数字に直して考えるということがあり， 特にコンピュータの世界では非常に有益な方法となっている。その場合 に注意するべきなのは，数字に直した時に漏れがないかどうか，また， 無駄なことをしていないかどうかを検証することである。 説得力のある人の話は，簡単なことを上手に積み重ねていて，必要な ことだけを回りくどくなく説明しているという話から始め，それを数学 的に考えると，どういうことになるかを考えてみようという方向で話を 進めた。 典型的な例としては，子どもの数と飴の数が等しいかどうかを確かめ ることであろう。子ども１人１人の前に飴を１つずつ置いていって，ど の子の前にも飴が１つだけあり，さらに飴が余ってないとすれば，子ど もの数と飴の数は等しい。ここには数字という概念がないが，人間は数 1 字という概念を持っており，飴を１つずつ置いていかなくても，子ども の数と飴の数を数えることにより，２つの数が一致するかどうかを確か めることが出来る。数字というものが，あるいは数学というものが，物 事をわかりやすく説明するのに重要な役割を果たしているということを 伝えるつもりで講演を行った。 ２ 内容 主として３つの問題を出題し，解答もさることながら，それを人に上 手に伝えるということは，どういうことなのかを生徒と一緒に考えてみ ることを行った。 （１）問題１ 問 題 １ ： 白 石 180 個 と 黒 石 181 個 の ,合 わ せ て 361 個 の 碁 石 が 横 に 一 列 に並んでいる。碁石がどのように並んでいても，次の条件を満たす黒の 碁石が少なくとも一つあることを示せ。 条件：その黒の碁石とそれより右にある碁石をすべて除くと，残りは白 石と黒石が同数となる。ただし，碁石が一つも残らない場合も同数とみ な す 。（ 東 京 大 学 入 試 問 題 ） このままでは石の数が多過ぎるので，黒石が白石よりも１つ多いこと が本質であると言い，白石４個と黒石５個の計９個で例を出した。 例１：○●○○●○●●● 例２：●●○○●○●○● 例３：○○●●○●●●○ 例１では一番右の黒石を，例２では一番左の黒石とそれより右の石 （つまり全部）か，一番右の黒石を，例３では左から７番目の黒石とそ れより右の石を，それぞれ取り除けば良い。何人かに例題について聞い てみると，全て解けたので，問題の趣旨は理解していることが分かり， 次 に 進 む 。「 す ぐ に 分 か る こ と は 何 で し ょ う か ？ 」 何 人 か が 何 か 言 い た 2 そうな顔をしていたので当ててみると， 「 一 番 右 の 石 が 黒 の 時 は ，そ の 石 を取り除けば良い。また一番左の石が黒の時は，すべての石を取り除け ば 良 い 。」 と 言 う 。 正 論 で あ る 。 “ 一 番 左 の 石 と 一 番 右 の 石 は 白 と 仮 定 し て 良 い ” と 板 書 し ，こ こ か ら ど う 進 め る か 聞 い て み る と １ 人 の 手 が 挙 が っ た 。「 左 端 か ら 考 え て い く と ， 最終的には黒石が１個多いのだから，どこかで黒石の数と白石の数が同 じ に な る 。だ か ら ，そ れ よ り 右 の 石 を 取 り 除 け ば 良 い 。」 感覚的にはそ れ で 良 い の で あ る が ，そ れ だ け だ と 足 ら な い 。 「黒石と白石が同数になっ た時，その次の石が黒ならそれで良いが，白だと，もう１歩踏み込まな け れ ば な ら な い 。」 そ の 生 徒 が 少 し 考 え ， 「 そ の 場 合 は ，そ こ か ら ま た 数 え 直 せ ば 良 い 。」 と 言 っ た 。 そ の 通 り で あ る 。 「 ま と め て み ま し ょ う 。」 問 題 １ の ま と め：左 か ら i 番 目 ま で の 石 の ， （ 黒 石 の 数 ）－（ 白 石 の 数 ） と い う 量 を 考 え る 。i が １ の 時 は － １ で ，i が 3 6 1 の 時 は + 1 で あ る 。 ま た ，最 後 が 白 石 と 仮 定 し て よ い こ と か ら ，i が 3 6 0 の 時 は + 2 で あ る 。 この量は，1 ずつしか変化できないから，どこかで 0 から 1 に変わる 時がある。1 に変わった時の石は黒石で，その石とそれより右の石を取 り除くと，残った石は黒と白が同数になっている。 講演前は、次のような説明をすることも考えた。簡単のため，黒が６ 個，白が５個とする。組み合わせの単元でよく出てくる，次のような図 を考える。 3 ＳからＧまで格子状の線の上を通って，遠回りすることなく行くのであ るが，黒石を上に１マス進むこと，白石を右に１マス進むことに対応さ せると，碁石の並べ方とＳからＧへの行き方は１対１に対応することが わ か る 。 こ こ で ， 次 の 図 の よ う に 斜 め に 直 線 ℓを 引 く 。 ℓ よ り も 上 の 部 分 を B ，下 の 部 分 を W と す る 。ス タ ー ト 地 点 S は ℓ 上 に あり，ゴール地点 G は B 上にある。初めて B 上に達する点を P とする と ，P の １ つ 前 の 点 は ℓ上 に あ る こ と に な る 。な ぜ な ら ，１ つ 前 の 点 が P の 左 の 点 だ と す る と ，そ の 点 は ，す で に B 上 に あ る か ら で あ る 。つ ま り ， 黒 石 に よ っ て P に 至 る こ と に な り ，そ の 前 の 黒 石 の 数 と 白 石 の 数 は 等 し いことになるので，P に至らせた黒石および，それより右側にある碁石 を取り除くと，残った黒石と白石の数は等しいことになる。 この考え方は，カタラン数やランダム・ウォークを論じる時に非常に 有益であるが，そこまで踏み込むと，それだけで１つの講演を行うこと になるので，今回は触れないことにした。 入試の解答としては，どの解答でも正解になるであろうが，厳密に言 えば，数学的帰納法で証明するべきだろう。数学的帰納法を習っていな い生徒が多かったので，講演では言わなかったが，以下に一般の場合の 数学的帰納法による証明を書いておく。 問 題 １ の 一 般 化 ：「 n を 自 然 数 と す る 。 白 石 n 個 と 黒 石 ( n + 1 ) 個 の , 合 わ せ て ( 2 n + 1 ) 個 の 碁 石 が 横 に 一 列 に 並 ん で い る 。碁 石 が ど の よ う に 並 ん で 4 いても，元々の問題の条件を満たす黒の碁石が少なくとも一つあること を 示 せ 。」 数 学 的 帰 納 法 に よ る 証 明 ： n = 1 の 時 は ，並 べ 方 は ３ 通 り し か な く ，い ず れ の 並 べ 方 で も ，条 件 を 満 た す 黒 石 が あ る こ と は ，す ぐ に わ か る 。 n = k の時に題意が成立すると仮定し，n = k + 1 の時を考える。一番左の 石が黒なら，すべての石を取り除けば良いので，一番左の石は白だと仮 定して良い。この一番左の白石と，黒石の中で一番左にある石をないも のとして考えてみる。そうすれば帰納法の仮定により，ないものとして 考えている黒石よりも右側の黒石が存在して，その石とそれより右側の 石を取り除けば，残った石は黒と白が同数となる。これらと，ないもの として考えた２つの石が実際に残っているわけであるが，ないものとし て考えた石は白が１つ，黒が１つなので，n = k + 1 の時も証明できた ことになる。証明終 「 で は ， 次 の 問 題 に い き ま し ょ う 。」 （２）問題２ 問題２：１０人が縦に並んでいて，それぞれの人は，赤か白の帽子をラ ンダムにかぶらされている。それぞれは，自分より前の人たちの帽子の 色はわかるが，自分や，自分より後ろの人の帽子の色はわからないもの とする。一番後ろの人から順に全員に聴こえる声で自分の帽子の色を当 てていくのであるが，１０人は帽子をかぶる前に全員で作戦を練ること ができる。どのような作戦を取れば，自分の帽子の色を正解する人の人 数 を 増 や す こ と が 出 来 る だ ろ う か ？ ま た ，確 実 に 当 て る こ と が で き る の は 何 人 だ ろ う か ？ た だ し ，ど の 人 も ｢ 赤 ｣ か ｢ 白 ｣ の い ず れ か し か 言 う こ と ができず，声の大きさや態度などで何かを示すことは出来ないものとす る。また，帽子の色が，赤，白，青の３色の場合はどうだろうか？ （テレビのクイズ番組で出題された問題を筆者がアレンジしてものであ る 。） 5 ２色の場合は，講演要旨に問題を書いていたこともあり，かなりの生 徒 が 考 え て き て い た 。 一 応 ， ｢一 番 後 ろ の 人 は 犠 牲 に な り ま す 。 ｣と 言 う と，友達同士で，偶数とか奇数とか言っている声が聞こえてくる。それ 以上のヒントの必要もなさそうなので，説明することにした。 ｢ 一 番 後 ろ の 人 は ，前 の ９ 人 の 帽 子 の 色 を 見 ま す 。９ 人 な の だ か ら ，赤 の 人数と白の人数の一方は奇数で，もう一方は偶数ですね。赤の人数が奇 数 だ っ た ら ， “赤 ”と 言 う こ と に し ， 白 の 人 数 が 奇 数 だ っ た ら ， “白 ”と 言 うことにしましょう。そうすると９番目の人は，自分より前の人の帽子 を見て，自分の帽子の色がわかることになりますね。｣ 「前から８番目の人は，一番後ろの人の言葉と，９番目の人の言葉を受 けて，自分の色を判定することができます。このようにして次々にやっ て い く と ，一 番 後 ろ の 人 以 外 の ９ 人 は 自 分 の 色 が わ か る こ と に な り ま す 。 次の例はどうでしょうか？」 何 人 か に 聞 い て み る と ， み ん な “白 ”と 答 え た 。 ” 「そうですね。一番後ろの人の言葉から，１番から９番までの中に，白 の 人 が 奇 数 人 い る こ と が わ か り ま す 。 自 分 よ り 後 ろ の ７ 番 目 ，８ 番 目 ， 6 ９ 番 目 の 中 に 白 が 偶 数 人 ，自 分 よ り 前 の 人 の 帽 子 の 色 を 見 る と ，白 は 偶 数 人 な の で ，合 わ せ て 白 は 偶 数 人 ，し た が っ て 自 分 の 色 は ” 白 ” と わ か りますね。一番後ろの人は，当たっているかどうかわかりませんから， 正 解 は ９ 人 と い う こ と に な り ま す 。」 「 帽 子 が ，赤 ，白 ，青 の ３ 色 の 場 合 は ど う な る か ，わ か る 人 は 居 ま す か ？ 」 さすがに誰も手を挙げない。次のように誘導する。 「ちょっと問題を変えてみましょう。それぞれの人は，背中に数字を書 い た 紙 を 張 ら れ て い ま す 。自 分 よ り 前 に 居 る 人 の 数 字 は 全 部 見 え る と し ， さきほどの問題と同様に，一番後ろの人から，自分の背中の数字を当て ていくことにします。この場合は何人が自分の数字を当てることができ ますか？」これは，ほとんどの人がわかったような顔をしている。 「これは簡単ですよね。一番後ろの人は，前の９人の数字の和を答えま す。前から９番目の人は，その数字から，前の８人の数字の和を引けば いいですね。前から８番目の人は，一番後ろの人が言った数字から，前 から９番目の人が言った数字と，自分より前の７人の数字の和を引けば いいですね。以下同様にして，一番後ろの人以外は自分の数字を当てる こ と が で き ま す 。」 「では，もう少し難しくしましょう。それぞれの人は，０～９までの整 数のどれかを書いた紙を張られているとします。それぞれの人は，０～ ９までの整数のどれかを答えることにします。また，それ以外の数字を 言うことはできません。ですから，さっきと同じように，一番後ろの人 は前の９人の数字の和を言うことはできませんね。９を超えている場合 が あ り ま す か ら 。」全 体 を 見 回 し な が ら 時 間 を 取 る と ，し ば ら く し て か ら ， 「下１ケタだけ」という声が聞こえてきた。 「そうですね。一番後ろの人は，前の９人の数字の和を言う必要はあり ません。下１ケタだけ，つまり和を１０で割った余りだけを言えばいい ですね。次の例はどうでしょうか？」 7 口だけでの説明だったので，少し不安であったが，理解してくれたみ た い で ， “６ ”と 答 え て く れ た 。 こ の 場 合 は ， ５ か ら （ ８ ＋ ３ ＋ ０ ＋ ４ ） と（ ４ ＋ ０ ＋ ９ ＋ １ ）を 引 い て ，１ ０ で 割 っ た 余 り を 答 え れ ば 良 い 。 （例 えば，１から４を引くと７になることを注意しなければならない。それ を 言 う の を 忘 れ た が ， ほ と ん ど の 生 徒 は 理 解 し て く れ た よ う だ 。） ここからが本題である。 「では，数字が０～９ではなく，０，１，２のどれかの場合はどうで しょうか？ 数字の個数が減った分，簡単そうに見えるのに，難しくな っていますね。さっきは１０で割った余りを考えましたが，今度は３で 割った余りを考えます。０か１か２ですよね。この考え方を，数学では モジュロ３で考えると言います。整数論などの代数の分野になるのです が，こういう考え方は非常に重要で，暗号理論などに使います。演算表 を書いておきましょう。 0 + 0 = 0， 0 + 1 = 1， 0 + 2 = 2 0－ 0 = 0， 0－ 1 = 2， 0－ 2 = 1 1 + 0 = 1， 1 + 1 = 2， 1 + 2 = 0 1－ 0 = 1， 1－ 1 = 0， 1－ 2 = 2 2 + 0 = 2， 2 + 1 = 0， 2 + 2 = 1 2－ 0 = 2， 2－ 1 = 1， 2－ 2 = 0 となります。少し不思議な気がするかもしれませんが，実際に普通に自 然数や整数で計算して，３で割った余りを考えると，この演算表で良い こ と が わ か り ま す 。 で は 例 題 で す 。」 こ こ で も ， ほ と ん ど の 生 徒 が ”２ ”と 答 え た 。 「そうですね。２－１－０－１－２を演算表にしたがって計算すると １ に な り ま す 。自 分 よ り 前 の 人 の 数 字 の 和 １ ＋ ２ ＋ ０ ＋ ２ は ２ で す か ら ， 自 分 の 数 字 は １ － ２ で ２ で す ね 。」 講義の後で，生徒から次のような質問があった。 生徒からの質問： １番目から４番目の人の数字を足すと２，６番目か 8 ら９番目までの人の数字を足すと１だから，合わせて０，それを一番後 ろの人が言った ２から引いた方が早いのではないでしょうか？ もちろん正論である。ただ，実際に並んでやる時は，２から次々に引 いて行く方が，間違いが少ないのではないかと答えた。実際にはメモを 取りながらやることになるだろうから，生徒からの質問のやり方の方が いいのかもしれないが。 当初は，ここでモジュロ２での演算表 0 + 0 = 0， 0 + 1 = 1 0－ 0 = 0， 0－ 1 = 1 1 + 0 = 1， 1 + 1 = 0 1－ 0 = 1， 1－ 1 = 0 を板書し，赤と白だけの場合に赤を０，白を１とし，数字に置き換えて 考えることをやろうと思っていたのだが，時間の都合で割愛した。しか し生徒は０，１，２でやった時点で気づいたようである。 「もう、わかりましたよね？ 数字ではなくて色の場合でも，赤，白， 青 の ３ 色 を そ れ ぞ れ ， ０ ，１ ， ２ に 置 き 換 え て 考 え れ ば い い で す ね 。 次 の問題はどうでしょうか？」 色を数字に置き換えて考えるため，少し長めに時間を取ったが，ほとん どの生徒が赤と答えた。 「今やった２問は，どちらも数字に置き換えて考えるということを念 頭に置いて説明しました。このように，数字に置き換えると演算が出来 るため，情報を伝えやすくなります。この考え方は暗号理論などで大活 躍します。今まで，あまりなじみがなかったかもしれませんが，何かの 折 に ふ れ ， 考 え て み て 下 さ い 。 で は ， も う １ 問 出 し て お き ま す 。」 （３）問題３ 9 問題３： 先生１人と生徒３人で次のようなゲームをする。 “ Ａ , Ｂ , Ｃ の ３ 人 に ， 赤 ， 白 ， 青 の い ず れ か の 帽 子 を か ぶ せ る 。（ た だ し、色が重複する可能性もある。）それぞれは，他の２人の帽子を見る ことは出来るが，自分の帽子を見ることは出来ない。３人同時に，自分 がかぶっていると思われる帽子の色を言い，３人のうち１人でも正解す れ ば 生 徒 の 勝 ち ，誰 も 当 た ら な け れ ば 先 生 の 勝 ち で あ る 。” 生 徒 ３ 人 は ， 帽子をかぶる前に作戦を立てることができる。さて，どんな作戦を立て ればよいだろうか？（大手ＳＮＳの数学コミュニティで出題されていた 問題である。） 例えば，次の図のようになっているということである。 A は，B の赤色と C の白色は見えるが，自分の色は見えない。 B は，A の赤色と C の白色は見えるが，自分の色は見えない。 C は，A の赤色と B の赤色は見えるが，自分の色は見えない。 この問題も時間をかけて説明するつもりだったが，時間がなくなり， 問題の紹介だけにして，解答は自分で考えて貰うことにした。数字に置 き換えて考えるという趣旨で前の２問を説明したので，かなりの生徒は わかったのではないかと思う。 以下に解答例をあげておく。 問題３の解答例： 赤，白，青にそれぞれ，０，１，２を割り当ててお き，足し算をモジュロ３で考えることにする。A は，他の２人の色（数 字）を見て，自分の色（数字）を足すと０になるように答える。 10 同様に，B は，自分の色（数字）を足すと１になるように，C は，自分 の色（数字）を足すと２になるように答える。 そうすると，次のように答えることになる。 11 実 際 に か ぶ っ て い る 数 字 (色 )を た す と ， ０ (赤 ) + ０ (赤 ) + １ (白 ) = １ な の で ，足 し て １ に な る よ う に 答 え る B が 正 解 と な る 。こ の よ う に ，ど ん な場合でも誰か１人は正解となる。ただし，逆に言うと，１人しか正解 できない。 ３ まとめ 受講者は，１年生７７人，２年生３３人の計１１０人であった。少な くとも高校１年生では，自力で全部を解くことは出来ないだろうが，少 しずつヒントを出していくうちに，かなりの生徒が“閃く瞬間”という ものを経験してくれたと思う。物事を色々な角度から眺めると，今まで 見えなかったものが見えるようになること，また，それは物事をわかり やすく説明するのにも役立つことを，少しでも理解してくれていたら幸 いである。 講演に出られなかった友達や，また弟や妹が居る人は，その人たちに 今日の問題を出し，わかりやすく説明してみるように伝え，講演を締め くくった。 ４ 謝辞 この講演を行うにあたって，ご尽力下さった大阪府立岸和田高校の堂 之本篤弘校長先生，寺戸真先生，田坂太一先生はじめ諸先生方および積 極的に参加してくれた生徒のみなさんに深く感謝致します。 12
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