組合せゲーム理論入門 (1)
川辺 治之
2011 年 11 月 2 日
組合せゲーム
■
■
■
■
二人の対局者が交互に手を打つ．
ゲームは，ど ちらかの対局者が自分の手番に規則に
従った手を打つことができなくなるまで続く．
サイコロやルーレット，切り混ぜたトランプを配ると
いうような偶然に左右される要素はない．
それぞれの対局者は，常にゲームの局面 (状態) につい
てのすべての情報を知らされている．
2 / 90
組合せゲームの勝敗
■
■
正規形 (normal play):最後の手を打った対局者の勝ち
逆形 (misère play):最後の手を打った対局者の負け
3 / 90
組合せゲームではないゲーム
■
■
■
点と線 (dots & boxes) では，対局者は続けて 2 手を打
つことがある．
チェッカーの多くの局面には同形反復があり，限りな
く手を打ち続けることができる．
囲碁やチェスでは，最後の手を打った対局者の勝ちと
ならない場合がある．
4 / 90
(経済) ゲームとの違い
■
■
古典的な数学理論で扱う (経済) ゲームを分析すること
の難しさは，同時並行して行われる判断に起因する．
それぞれの参加者は，相手の選択した手を知らずに打
つ手を決めなければならない．
組合せゲームの難しさは，与えられた局面で取りうる
手の純然たる多さに起因する．
5 / 90
二人の対局者
左
右
ルイーズ リチャード
正
負
黒
白
青
赤
縦
横
女性
男性
緑
灰色
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選択肢
■
■
■
■
左選択肢：その局面から左がどれかの手を選らんで
打った結果として得られる局面
左選択肢：その局面から右がどれかの手を選らんで
打った結果として得られる局面
すべての局面において左選択肢と右選択肢が同じとな
るゲームを不偏 (impartial) ゲームという． 不偏ゲームでないゲームを非不偏 (partizan) ゲームと
いう．
7 / 90
ド ミナリング
左は，上下に隣り合う二つの空きマスにド ミノ牌を置く．
同様に，右は，左右に隣り合う二つの空きマスにド ミノ牌
を置く．
左
→
右
→
左
右
→ ··· →
左
→
8 / 90
ゲーム木
局面の左選択肢および右選択肢を，その局面のそれぞれ
左下および右下にくるように図示する．
9 / 90
ゲームの局面
ゲーム (の局面) G を，その局面における左および右選
択肢の集合 G L および G R によって
G=
n
L G G
R
o
と定義する．
通常，集合 G L および G R の要素を囲む「 { 」および「 } 」
は省略して表記する．
10 / 90
クロバー
左は，黒石を隣り合う上、下、左または右の白石のあるマ
スに移動させ，その白石を取り除く．
右は，白石を隣り合う上、下、左または右の黒石のあるマ
スに移動させ，その黒石を取り除く．
左
→
右
→
左
左
→ ··· →
右
→
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ゲームの局面の例
=
n
,
,
o
,
再帰的にこの表記を用いることもできる．
= {
= {{
=
|
|
|
}
}|
}
再帰的な表記では、内側の「 { 」および「 } 」は略記できる．
12 / 90
帰結類
帰結類
名称
定義
N
ファジー 先手番 (N ext:次) の対局者が
勝つ．
P
零
後手番 (Previous:直前) の対局 者が勝つ．
L
正
左 (Left) が勝つ．
R
負
右 (Right) が勝つ．
右が先手番
右の勝ち 左の勝ち
左が 左の勝ち
N
L
先手番 右の勝ち
R
P
13 / 90
選択肢と帰結類
n
G= G
L
G
R
o
∃GL ∈ G L GL ∈ L ∪ P
∀GL ∈ G L GL ∈ R ∪ N
∃GR ∈ G R
GR ∈ R ∪ P
G∈N
G∈R
∀GR ∈ G R
GR ∈ L ∪ N
G∈L
G∈P
ゲーム木の葉となる局面は，G R = G L = ∅ より、
∀GR ∈ G R GR ∈ L ∪ N および ∀GL ∈ G L GL ∈ R ∪ N が
成り立つので、P 局面となる．
14 / 90
ゲーム木から帰結類を求める
ド ミナリングのゲーム木：
15 / 90
ゲーム木から帰結類を求める
ゲーム木の葉となる局面は P 局面となる．
P P P
P P P P
P
P P P P P P P PP P P P
16 / 90
ゲーム木から帰結類を求める
葉から根に向かって順次すべての節点の帰結類を決定
できる．
N
P
N
N
L
N P P PN
P P P P
L
N PN
P
N N
N
P P P P P P P PP P P P
17 / 90
局面の分解
=
18 / 90
直和による分解
(正規形ゲームに対する）コンウェイの洞察：
■
■
■
■
ゲームの手とは，ある局面から別の局面に移ること．
最後の手を打った対局者の勝ち．
ゲームの直和では，対局者はその直和成分のいずれに
対しても手を打つことができる．
ゲームの (符号の) 反転とは，そのゲームでのそれぞれ
の対局者の役割を入れ替えること．
直和成分 A を含む任意の直和において A を B で置き換
えることで左が不利にならないならば，(左にとっ
て )A は B よりも悪くはない．
19 / 90
後手必勝のゲーム
G を任意のゲームとし，Z を後手必勝の任意のゲーム
とすると，G の帰結類は G + Z の帰結類と一致する．
逆に、Z が 、つねに G + Z は G と同じ帰結類に属する
という性質をもつならば 、とくに G = 0 とすると Z は 0 と
同じ帰結類に属する、すなわち Z は後手必勝となる．
任意の後手必勝ゲーム，そしてそれらだけが
直和演算における単位元となる．
20 / 90
直和の帰結類
L
P
R
N
L
L
L
?
L または N
P
L
P
R
N
R
N
?
L または N
R
N
R
R または N
R または N
?
21 / 90
ゲームの定義
n
o
G L G R と定義する．
R
ゲーム G を、
ここで、G L および G はゲームの集合とする． n o
ゲームの定義より、G L = G R = ∅ となる G = G L G R
はゲームとなる．
このゲームを零ゲームという．
0={|}
22 / 90
ゲームの直和
def n L
G+H =
G + H, G +
ここで
■
L H R
G + H, G + H
R
o
ゲーム G とゲームの集合 S の和は，
G + S = {G + X}X∈S
■
と定義する．
‘,’ は集合の和を表す．
23 / 90
ゲームの直和の例
=
G =
n
=
H =
n
に対して
G+H =
z
L
G +H
}|
+
{ z
,
G+H
}|
+
L
{ z
o
o
,
R
G +H
}|
+
{ z
,
+
G+H
}|
,
R
+
{
24 / 90
直和の性質
■
■
G + H = H + G (交換法則)
(G + H) + J = G + (H + J) (結合法則)
証明は帰納法を用いる．
25 / 90
ゲームの（ 符号の）反転
ゲームの (符号の) 反転の定義
def n
−G =
R −G −G
L
o
は，対局者の役割の交換に対応する．
ここで、集合に対する符号の反転は，その集合のすべて
の要素それぞれに対して符号を反転した集合、たとえば
−G R = {−GR }GR ∈G R とする．
反転によって，右選択肢と左選択肢が入れ替わり，そし
てそれぞれの選択肢に対して再帰的に対局者の役割が入
れ替わる．
26 / 90
ゲームの差
符号の反転を用いて，ゲームの差を
G − H = G + (−H)
と定義する．
27 / 90
ゲームの等価性
二つのゲームの等価性を次のように定義する．
def
G = H ⇔ (∀X) G + X は H + X と同じ帰結類に属する．
本質的には，ゲームの直和に関して G が H と同じ振舞
いをするならば，G = H となる．
= は同値関係となる、つまり，反射法則，対称法則お
よび推移法則が成り立つ．
28 / 90
帰結類とゲームの値
定理 G が P 局面となる (すなわち，後手番の対局者が勝
つ) とき，そしてそのときに限り，G = 0 が成り立つ．
証明 (⇐:) G = 0 ならば，すべてのゲーム X に対して
G + X は 0 + X = X と同じ帰結類に属する．とくに
X = 0 とすると，G は 0 と同じ帰結類に属する．これは G
が P 局面ということ．
29 / 90
帰結類とゲームの値
証明 (⇒:) G を P 局面とするとき，どのような局面 X に
ついても，G + X が X と同じ帰結類に属することを示す．
X において左が後手番で勝つならば，その戦略を使っ
て G + X においても左は後手番で勝つ．
（ 相手が手を打っ
た構成要素に応手すればよい．
）
X において左が先手番で勝つならば，左はまず G + X
の 2 番目の直和成分にそれと同じ手を打ち，その後は前述
の後手番のときと同じ戦略を使って勝つ．
右についても同様．
30 / 90
等価性の判定
定理 G − H = 0 、つまり G − H が P 局面となるとき，そ
してそのときに限り，G = H となる．
証明 G − H = 0 より (G − H) + H = 0 + H が成り立つ．
（ 証明略）
これに結合法則および交換法則を使うと、
G = G + 0 = G + (H − H) = (G − H) + H = 0 + H = H
となる．
この定理は、G = H かど うかを判定するための構成的
な方法を示している．
31 / 90
ゲームの比較
def
G≥H ⇔
def
G≤H ⇔
(∀X) H + X において左が勝つときは
G + X においてもつねに左が勝つ．
(∀X) H + X において右が勝つときは
G + X においてもつねに右が勝つ．
32 / 90
ゲームの符号と帰結類
定理 次の各項は同値となる．
1. G ≥ 0
2. G において左は後手番で勝つ．つまり，G ∈ P または
G ∈ L が成り立つ．
3. 任意のゲーム X に対して，X において左が後手番で
勝つならば，G + X においても左は後手番で勝つ．
4. 任意のゲーム X に対して，X において左が先手番で
勝つならば，G + X においても左は先手番で勝つ．
33 / 90
証明の概略
■
■
■
■
1 ⇔ 3, 4： ≥ の定義より．
2 ⇒ 3： G + X のそれぞれの構成要素に後手番の必勝
戦略を使う．
3 ⇒ 2： X = 0 とすると明らか．
4 ⇒ 2： 4 の対偶「 G + X において左が先手番で勝て
ないならば，X においても左は先手番で勝てない．
」で
X = −G とする．
34 / 90
ゲームの大小関係の求め方
定理 G − H において左は後手番で勝つとき，そしてその
ときに限り，G ≥ H が成り立つ．
証明 G − H ≥ H − H = 0(つまり G − H ≥ 0) が成り立つ
とき，そしてそのときに限り，G ≥ H が成り立つ．
この定理が 、G と H の比較の仕方を具体的に与える．
35 / 90
ゲームの比較のまとめ
G>0
G=0
G<0
G 0
G>H
G=H
G<H
G H
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
Gは
左
の勝ち
G は後手番の対局者の勝ち
Gは
右
の勝ち
G は先手番の対局者の勝ち
G−Hは
左
の勝ち
G − H は後手番の対局者の勝ち
G−Hは
右
の勝ち
G − H は先手番の対局者の勝ち
36 / 90
ゲームの半順序構造
定理 関係 ≥ はゲーム全体の上の半順序となる．
つまり、任意のゲーム G,H および J に対して
■
■
■
G ≥ H かつ H ≥ J ならば G ≥ J （ 推移法則）
G ≥ G （ 反射法則）
G ≥ H かつ H ≥ G ならば G = H （ 反対称法則）
が成り立つ．
37 / 90
ゲームの群構造
定理 ゲーム全体の集合は可換群となる．
任意のゲーム G,H および J に対して
■
■
■
■
■
G および H を群の要素とするとき，G + H もまた群の
要素となる． （ 演算について閉じていること ）
(G + H) + J = G + (H + J) （ 結合法則）
G + 0 = G （ 単位元の存在）
G + (−G) = 0 （ 逆元の存在）
G + H = H + G （ 可換）
38 / 90
ゲームの標準形
すべてのゲーム G に対して，それと等しい「最小」の
ゲームがただ一つ存在する．この最小のゲームを G の標
準形という．
G および H のそれぞれの標準形が一致するかど うかを
調べることによって，それらが等しいかど うかを判定する
ことができる．
39 / 90
劣位な選択肢
定理 ゲーム
G = {A, B, C, . . . | H, I, J, . . .}
において B ≥ A ならば，
G′ = {B, C, . . . | H, I, J, . . .}
に対して G = G′ となる．
左にとって，B は A より優位な選択肢，A は B より劣位
な選択肢という．
（ 右にとっても同様．
）
40 / 90
劣位な選択肢：証明
G − G′ において後手番の対局者が勝つことを示す．
A,
B,
C,
.
.
.
|
{z
√
√
√
G
√
√
√
√
√
√
√
H, I, J, . . . − B, C, . . . H, I, J, . . .
}
|
{z
′
G
}
A − G′
A−B
B ≥ A なので右
が勝つ．
41 / 90
打消し 可能な選択肢
打消し可能な左選択肢とは，右の応手による結果が左が
手を打つ前よりも少なくとも悪くならないように，右がす
ぐ さま応手するであろう手のこと．
ゲーム G の左選択肢 A は，右にとって G より悪くなら
ない，つまり AR ≤ G となる右選択肢 AR があるとき，打
消し可能という．
「左がまず A とし，右が AR と応手すると，その左選択
肢の一つを選ぶ」という手の応酬を経ずに，G から AR の
左選択肢を直接選択すると考えることができる．
42 / 90
打消し 可能な選択肢
定理 ゲーム
G = {A, B, C, . . . | H, I, J, . . .}
に対して，A のある右選択肢 AR が G ≥ AR を満たすと
き、AR = {W, X, Y, . . . | . . .} とすると，
G′ = {W, X, Y, . . . , B, C, . . . | H, I, J, . . .}
に対して G = G′ が成り立つ．
43 / 90
打消し 可能な選択肢:証明
√ √ √
√ √
H, I , J, . . . − W, X, Y, . . . , B, C, . . .
A,
B,
C,
.
.
.
{z
} |
{z
|
√
√
G′
G
A − G′
G−W
√
√
√
H, I , J, . . .
}
G ≥ AR なので
左が勝つ．
AR − G′
AR − H X − G′
AR ≤ G なので
右が勝つ．
X −X
44 / 90
標準形への簡約化
ゲーム G および G の全局面が劣位な選択肢および打消
し可能な選択肢をもたないとき，G を標準形という．
定理 G および H がど ちらも標準形で G = H が成り立つ
ならば，G ∼
= H が成り立つ、つまり、同一のゲーム木を
もつ．
45 / 90
証明の概略
G = H より，G − H において左は後手番で勝つ．とく
に，左は，GR − H に対する勝つための応手がある．この
応手は，GR に対して打つ手ではありえない．なぜなら，
もしそうだとすると，GRL − H ≥ 0 となる GRL があるこ
とになるが，これは GRL ≥ H = G ということで，G に打
消し可能な選択肢があることになる．つまり，GR − H に
対して左が勝つための応手は，H に対する手であって，
その手を打つと GR − H R となる．これは，GR ≥ H R が成
り立つ H R があるということ．
R
R
R′
対称的な議論により G ≥ H ≥ G となるが，GR と
R′
G は同一の選択肢でなければならない．
（ もし同一でない
なら，GR は劣位な選択肢となる．
）つまり，G のすべての
右選択肢は，H の右選択肢のどれかに等しい．
46 / 90
ゲームの値
左が自由に n 手を打つことができるゲームの値を n と定
義する．同様に，右が自由に n 手を打つことができるゲー
ムの値は −n となる．
形式的には，正整数 n に対して、次のように定義する．
0
def
=
{|}
n
def
=
{n−1 | }
−n
def
{ | −(n−1)}
=
例：
2 = {1 | } = {{0 | } | } = {{{ | } | } | }
47 / 90
ゲームの値についての考察
n を整数とし，N は n を値とするゲームとする．
■
n = 0 ならば，N にはど ちらの対局者も打つ手はない．
■
n > 0 ならば，N において，左には n − 1 を値とする
ゲームにする手があるが，右には打つ手はない．
n < 0 ならば，N において，右には n + 1 を値とする
ゲームにする手はあるが，左には打つ手はない．
■
48 / 90
ゲームの和に関する不等式
ゲーム A，B および C は，それぞれ整数の値 a，b および c
をもつとする．
補題 ゲームとして A + B + C ≥ 0 が成り立つとき，そし
てそのときに限り，整数として a + b + c ≥ 0 が成り立つ．
(同様に，A + B + C ≤ 0 が成り立つとき，そしてそのと
きに限り，a + b + c ≤ 0 が成り立つ．)
証明は、|a| + |b| + |c| および A, B, C のゲーム木の大きさ
に関する帰納法．
49 / 90
ゲームの和に関する等式
定理 a + b = c が成り立つとき，そしてそのときに限り，
A + B = C が成り立つ．
証明 補題より，a + b + (−c) = 0 が成り立つとき，そして
そのときに限り，A + B + (−C) = 0 が成り立つ．これら
の等式の両辺にそれぞれ c および C を加えると，定理の主
張が得られる．
50 / 90
ゲームの順序構造
定理 a ≥ b が成り立つとき，そしてそのときに限り，
A ≥ B が成り立つ．
証明 補題より，a + (−b) + 0 ≥ 0 が成り立つとき，そして
そのときに限り，A + (−B) + 0 ≥ 0 が成り立つ．
これで、整数とそれを値にもつゲームを同一視することが
できる．
51 / 90
整数でない値をもつゲーム
=
に対して
0<
< 1 および
= {0 | 1}
+
=1
が成り立つ．
52 / 90
2 進有理数
19
のような 2 のベ
2 進有理数は，たとえば 12 ， 83 および 32
キを分母とする分数．
j > 0 および奇数 m に対して，数を次のように定義
する．
m
=
j
2
たとえば
(
(
m−1 m+1
2j
2j
)
(
)
19
18 20
9 5
=
=
32
32 32
16 8
)
53 / 90
1
2
1
2
+ =1
証明 差分ゲーム 12 + 21 − 1 において，後手番の対局者が勝
つことを示す．
ど ちらの対局者が 21 に対して手を打っても，もう一方の
対局者がもう一方の 21 に応手すれば，1 − 1 = 0 となって
先手番の対局者の負けとなる．
一方，右が −1 を 0 とする手を打ったときは 21 + 12 が残
り，左が 12 に手を打つと右のもう一方の 12 への応手で 1 と
し，左がその 1 を 0 として勝つ．
54 / 90
三つのゲームの和
ゲーム A，B および C は，それぞれ値 a，b および c を
もつとする．
補題
a + b + c = 0 ⇐⇒ A + B + C = 0
a + b + c > 0 ⇐⇒ A + B + C > 0
a + b + c < 0 ⇐⇒ A + B + C < 0
55 / 90
証明の概略
■
互いに排他的な条件なので、=⇒ 向きだけを証明する．
■
a + b + c ≥ 0 を仮定して、A + B + C において左が後
手番で勝つことを示す．
（ 帰納法）
a + b + c > 0 ならば，A + B + C において左が先手番
でも勝つことを示す．
（ 帰納法）
■
a，b および c はすべて整数で，その中のどれかは 0
よりも大きい場合
◆ A + B + C = 2ij (i が奇数かまたは j = 0) とすると
き、a，b または c のどれかは， j ′ ≥ j および i′ > 0
i′
について 2j ′ の形で，a + b + c − 21j ′ ≥ 0 が成り立つ
場合
◆
56 / 90
ゲームの和と比較
定理
■
■
a + b = c が成り立つとき，そしてそのときに限り，
A + B = C が成り立つ．
a ≥ b が成り立つとき，そしてそのときに限り，
A ≥ B が成り立つ．
証明 補題より，a + b − c = 0 が成り立つとき，そしてそ
のときに限り，A + B − C = 0 が成り立つ．
同様に，a − b + 0 ≥ 0 が成り立つとき，そしてそのとき
に限り，A − B + 0 ≥ 0 が成り立つ．
57 / 90
弱数避定理
定理 x は数で，G は数でないとき，G + x において左が先
手番で勝つならば，G に対する手で勝つことができる．
証明 x は標準形としてよい．
ある xL について G + xL ≥ 0 とすると，G は数でない
(G 6= −xL ) ので，G + xL > 0 、つまり，G + xL において
左が先手番で勝ち，帰納法により，ある GL について
GL + xL ≥ 0 が成り立つ．すると，x > xL より，
GL + x ≥ 0 が成り立つ．
58 / 90
もっとも簡単な数
■
■
n
G L o
ゲーム G =
G R の誕生日を，G L ∪ G R に含まれ
るゲームの誕生日の最大値に 1 を加えたものと定義す
る．G L = G R = ∅ のときは，G の誕生日は 0 とする．
数 xL < xR に対して，xL と xR の間のもっとも簡単な
数 x とは，xL と xR の間 (両端は含まない) にある数の
中で最もさい誕生日をもつ数と定義する．
定理 ゲーム G のすべての選択肢 GL および GR が数であっ
て GL < GR が成り立つならば，G は G L < x < G R を満た
すもっとも簡単な数 x に等しい．
59 / 90
定理の証明
証明 x − G において後手番の対局者が勝つことを示す．
右は先手番で，x − GL とする手または xR − G とする手
を打つことができる．G L < x < G R となる x を選んだの
で，x − GL > 0 となる．また，xR < G R となることはな
い．なぜなら，もし xR < G R ならば，G L < x < xR < G R
となり，xR は x よりも簡単な数なので，x が G L と G R の
間のもっとも簡単な数という仮定に反する．これより，
xR ≥ GR を満たす GR が存在し，左は xR − GR とする手を
打って勝つことができる．
左についても同様．
60 / 90
最も簡単な数の例
■
■
■
(
)
1
2 =1
(2
)
1 5
1
=
2 )
(8 8 27 3
9
−1 −1
= −1
64
32
8
61 / 90
プッシュ
対局者は、自分の色の駒を一つ 1 マス左に移動させる．そ
れぞれのマスには一つより多くの駒を置くことはできな
いので，その駒の左側の連続するマスにある駒はすべて 1
マス左に移動される．駒は盤の左端から盤外に押し出さ
れる．
左
→
右
→
左
→
右
→
62 / 90
プッシュの局面の値 (1)
局面
は明らかに左にとって 1 手の価値がある．
= {0 | } = 1
これより
= {1 | } = 2 および
= {2 | } = 3
となる．
63 / 90
プッシュの局面の値 (2)
白駒があるときは，
={
3
} = {1 | 2} =
2
|
となるので，これより
={
={
となる．
|
|
(
)
3
3 =2
}=
2
(
)
3
7
}=
2 =
2
4
64 / 90
プッシュの局面の値 (3)
= {
|
,
}
( )
( )
37
3 7
13
,2 =
=
=
2 4
2 4
8
となるので，これらの局面の直和は
+
+
+
13
1
3 7
=−
= − + +(−2)+
2 4
8
8
となり，右が勝つ．
65 / 90
無限小ゲーム
定義 ゲーム G は，任意の正の数 x に対して −x < G < x
が成り立つとき，無限小 (infinitesimal) という．
例 ∗ = {0 | 0} は無限小ゲームであることを示す．
66 / 90
∗ が無限小であること
∗ は 0 と比較不能 (∗ において先手番の対局者が勝つ) な
ので，∗ は数ではない．
また，∗ = −∗ に注意すると，対称性より任意の正の数
x に対して ∗ < x が成り立つ、すなわち x − ∗ = x + ∗ にお
いて左は先手番でも後手番でも勝つことを示せば十分．
左が先手番であれば，∗ を 0 とする手を打って，その結
果 x とすることで勝つ．
一方、弱数避定理を用いると、x + ∗ において勝つこと
のできる第 1 手が右にあるならば，それは ∗ に対する手と
してよい．しかし，その手を打った結果は x > 0 となり，
ここから左が先手番で勝つ．
67 / 90
↑と ↓
↑
def
=
{0 | ∗}
↓
def
{∗ | 0}
=
たとえば，クロバーでは，
= ↑
= ↓
となる．
68 / 90
↑ が無限小となること
任意の x > 0 に対して，0 < ↑ < x が成り立つことを
示す．
↑ において左は先手番でも後手番でも勝つので，↑ > 0
が成り立つ．
x > 0 が標準形で与えられたとき，x − ↑ を x にする右
の手はすぐに負けとなり，xR − ↑ にする手があれば，
xR > x もまた数となるので帰納法より右の負けとなる．
これより x ≥ ↑ が成り立つ．
一方，∗ は無限小なので x − ∗ は正となり，左は x − ↑ を
x − ∗ にする手で勝つ．つまり，x > ↑ が成り立つ．
69 / 90
全微小ゲーム
定義 ゲーム G は，G の全局面 H が条件「右に打つ手が
あるとき，そしてそのときに限り，左にも打つ手がある」
を満たすとき，全微小 (all-small) ゲームという．
ゲーム ∗ および ↑ は，ど ちらも全微小ゲームとなる．
一方，全微小な数は 0 のみ．
70 / 90
↑ および ∗ の和
↓<0<↑
↓ ∗ ↑
⇓=↓+↓<∗<↑+↑=⇑
4
3
2
1
0
−1 −2 −3 −4
∗
⇑
↑
0
↓
⇓
71 / 90
+ を省略した表記法
帯分数と同様の省略記法を採用して，ゲームの名前を並
べて表記することでそれらの和を表す．その際には，かな
らず数，↑/↓，そして ∗ の順に並べるものとする．
たとえば，
2⇑∗ = 2 + ⇑ + ∗
となるが，∗↑ と表記することはない．
後ほど ，∗2 というゲームを定義するが，これは
2∗ = 2 + ∗ とは異なる．
72 / 90
n·↑ および n·↑ ∗ の標準形
↑∗ は ⇑ の選択肢なので，↑∗ を先に計算する．
↑∗ のゲーム木は次のとおり．
↑∗
∗
↑
×
∗+∗ = 0
↑
右の ↑ とする手は 0 とする手より劣位となり，このほか
に劣位な選択肢はない．
73 / 90
↑∗ のゲーム木（ 続き）
↑∗
∗
↑
0
∗
0
打消し可能な選択肢を調べると，↑∗ は 0 と比較不能だ
が，↑ > 0 なので ∗ < ↑∗ となることに注意すると、↑∗ を ↑
とする手は，∗ で打ち消されて 0 となる．
74 / 90
↑∗ のゲーム木（ 続き）
このほかに劣位な選択肢および打消し可能な選択肢は
ないので，↑∗ の標準形は {0, ∗ | 0} となる．
↑∗
∗
0
0
75 / 90
⇑ の標準形
左には一方の ↑ を 0 とする手，右には一方の ↑ を ∗ とす
る手がある．つまり，⇑ = {↑ | ↑∗} となる．それぞれの対
局者の選択肢は一つだけなので，劣位となる選択肢は
ない．
右の ↑∗ = {0, ∗ | 0} とする手は打ち消せない．なぜなら
⇑ > 0 および ⇑ > ∗ となるから．一方、⇑ > ∗ なので，左
の ↑ とする手は ∗ で打ち消されて 0 となる．
⇑
↑
↑∗
∗
0
76 / 90
⇑ の標準形（ 続き）
結果として，⇑ の標準形は {0 | ↑∗} となる．
⇑
0
↑∗
同様にして
↑ = {0 | ∗}
⇑ = {0 | ↑∗}
= {0 | ⇑∗}
= {0 | ∗}
↑∗
⇑∗
∗
∗
=
=
=
=
{0, ∗ | 0}
{0 | ↑}
{0 | ⇑}
{0 | }
77 / 90
−n
n·↑ および 2
1
32
0
のゲーム木
5·↑
1
16
0
∗
0
1
8
0
0
1
4
0
0
⇑∗
0
1
2
↑
0
1
0
∗
よく似たゲーム木をもつゲームの間でも代数的な振舞い
が驚くほど 異なることがある．
78 / 90
無限小ゲームの例
5·↑ =
0 ∗ =
=
0
0
⇑∗ =
0
↑=
0
∗=
79 / 90
転換ゲーム
y > z となる二つの数 y および z に対して，{y | z} を転換
(switch) ゲームという．
転換ゲームは
{y | z} = a + {x | −x} = a ± x
と書き換えて正規化できる．ただし，a = y+z
2 および
x = y−z
2 とし，±G は {G | −G} の省略表記とする．
80 / 90
タイニーとマイニー
G
G
def
def
=
=
0 0 | −G
G|0 0
G をすべての負の数より大きいゲームとすると、G は，
正の無限小ゲームとなる．
81 / 90
タイニー G は正の無限小とな
ること
証明 x を正の数として x − G = x + G > 0 を示す．
左が先手番で x + {G | 0} とする手を打つと，x > 0 とす
る右の応手はすぐに右の負けとなる．また，xR + {G | 0}
とする右の応手は，左が xR + G と打つと，xR > x もまた
正の数となることから，xR + G も正となる．
一方，右が先手番で x > 0 とする手は右の負けとなる．
または右が xR + G とする手は，xR > x は x より簡単な
正の数となるので，帰納法により xR + G は正となる．
82 / 90
相対的な無限小
ゲーム g > 0 は，すべての整数 n に対して n·g < h となる
とき，h > 0 に対して無限小という．正のゲームは，1 に
対して無限小となるとき，そしてそのときに限り，無限小
となる．
定理 任意の正の数 x について，x は ↑ に対して無限小と
なる．
83 / 90
定理の証明
任意の整数 n に対して，↑ + n· x ≥ 0 を示せば十分．
右の第 1 手がなんであろうと，左は残っている x のひ
とつを {x | 0} とする手を打つ．その {x | 0} に右が応手す
れば，左はまた同じように残っている x のひとつを
{x | 0} とする．ここで、右が {x | 0} に応手しなければ，
左はそれを x とする．この手はそのほかの選択肢より優位
となる．(x が唯一残っている局面となる前に，左がそれ
を無視してほかの手を打っても、その間に右が x に手を
打っても x が xR に増えるだけだから．)
こうして，すべての x がなくなったら，左は ↑ または
(右が第 1 手を ↑ に打ったときは )∗ を 0 にする．
84 / 90
x > y > 0 を数とすると，x は y に対して無限小となる．
証明 任意の整数 k に対して y − k · x = y + k · x ≥ 0 を
示す．
左は，常に x のひとつを {x | 0} とする手を打つ．右が
この局面に応手しなければ，左はこれを x とする．この手
はそのほかの選択肢より優位となる．
（ 直前の定理の証明
と同様に，x が唯一残っている局面となる前に，左がそれ
を無視してほかの手を打てば 、その間に右が x に手を打っ
ても x が xR に増えるだけだから．
）
結局，すべての x 直和成分に手が打たれて，最後に左
は y または {0 | −y} に手を打つ．このど ちらの場合も左
の勝ちとなる．
85 / 90
無限小の間の大小関係
4
3
2
1
0
−1 −2 −3 −4
∗
⇑
4· 3 3· 3 2· 3 34
0
34 2· 3 3· 3 4· 3
4
4
4
4· 1 3· 1 2· 1 1
0
1 2· 1 3· 1 4· 1
4
4
⇓
0
4
↓
↑
86 / 90
ド ミノ倒し
左は，黒または灰色のド ミノ牌を一つ選んで，それを左
側 (または右側) に倒し，そのド ミノ牌およびその左側 (ま
たは右側) にあるすべてのド ミノ牌を取り除く．
同様に，右は，白または灰色のド ミノ牌を一つ選んで，
それを倒す．
左
→
右
→
左
→
87 / 90
ド ミノ倒しの局面の値
= 8
= ±3
= ∗
= ↑
= 4
1
=
16
= ∗4
88 / 90
ド ミノ倒しの局面の値
■
■
■
■
■
■
n 個の連続する黒ド ミノ牌からなる局面 (n ≥ 0) の
値は n
m + 1 個の黒ド ミノ牌に続く n + 1 個の白ド ミノ牌から
なる局面 (m, n ≥ 0) の値は転換ゲーム {m | −n}
2 個の黒ド ミノ牌で n + 2 個の白ド ミノ牌をはさんだ局
面 (n ≥ 0) の値は n
n + 1 個の黒ド ミノ牌と n 個の白ド ミノ牌を交互に並
べた局面の値は 21n
n 個の黒ド ミノ牌および白ド ミノ牌を交互に並べた局
面は ∗n(∗n については後述)
↑∗ および ⇑ を直和以外で構成する方法は知られてい
ない．
89 / 90
ド ミノ倒しの局面の値
（ 2 進）有理数 x ≥ 0 が整数ならば，n 個の連続する黒
ド ミノ牌からなる局面が x を値にもつ．そうでなければ，
x = gL
gR
L
R
が成り立つ．ここで，
g
および
g
は，x の標準形を
n
o
xL xR としたときにそれぞれ xL および xR を値とする
ド ミノ倒しの局面とする．
n
o
3 7
2 4
=
3
2
7
4
=
13
8
=
=
90 / 90
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