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三角形の二等辺三角形の面積

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幾何の起源
比嘉 秀光
2011 年 9 月 26 日
古代エジプトの四辺形の面積の求め方
a
b
d
c
図 1.1 四辺の長さがそれぞれ a,b,c,d であるような四辺形の面積は
a+b b+d
×
2
2
で求めることが出来る
古代バビロニアのxの求め方
a
b
d
x
c
図 1.2
四辺の名をそれぞれ a,b,c,d とする四辺形で辺 b 上の任意の点と辺 d の任意の点を結ぶ線の長さ x は
√
x=
で求めることが出来る
パピルスや粘土板の記録の特徴
1
a2 + b2
2
• 図形性質は具体的な数値を用いた例示による説明だけしかない
• なぜそのように考えるのか, またそれが本当に正しいのかということに関する記述は見当たらない
問題 1,1
図 1.2 の四辺形が台形で x が上底や下底と平行な横断線で面積を 2 等分するとき、x の値は正しい面
積の求め方でも正しい値であることを示せ
台形の面積=(上底+下底)×高さ× 12
(a + x)h ×
1
1
= (x + c)k +
2
2
(1)
1
1
1
= (a + x)h × + (x + c)k ×
2
2
2
(2)
(a + c)(h + k) ×
(1) を h について解くと
(x + c)k
a+x
h=
これを (2) に代入
(a + c)(
(x + c)k
1
(x + c)k 1
1
+ k) × = (a + x)
× + (x + c)k ×
a+x
2
a+x
2
2
さらに整理すると
a+c
a+c
+
=2
a+x x+c
分母を払い、展開してもう一度整理し x について解くと
c2 + a2
2
x2 =
両辺の平方をとる
√
x=±
x は長さなので
√
x=
a2 + c2
2
a2 + c2
2
古代ギリシャの数学
タレス・・・古代ギリシャの哲学者
タレスが注目した図形の基本性質
• 2 つの三角形は対応する 2 角と狭辺が等しければ合同である
• 二等辺三角形の両辺, 角は等しい
• 2 直線の作る対頂角は等しい
• 円は直径により 2 等分される
• 半円に内接する三角形は直角三角形になる
2
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