第一章利息計算と利息計算とディスカウントファクター１．単利計算の仕方普通、利息計算といえば単利計算のことをいう。期間Ｔ年、その期間の金利を年率Ｒとすると、元金Ａ円を期間Ｔ年間運用したときの利息は次のようになる。利息＝Ａ×Ｒ×Ｔよって、元金と利息の合計金額、すなわち元利合計金額は次のように表せる。元利合計金額＝元金＋利息＝Ａ＋ＡＲＴ＝Ａ（１＋ＲＴ）練習問題元金 10,000 円を３ヶ月間（ 1 年間）、年率 10％の金利で運用すると元利合計金額はいく 4 らになるか。（解） 10 1   10,000 × 1 + ×  = 10,250円 100 4  ２．複利計算の仕方複利計算とは、ある金利で運用して得た利息を再び元金に組み入れて同じ金利で運用して最終的に元利合計金額がいくらになるか計算することである。例題１元金 10,000 円を半年複利（年２回複利）の 10％（年率）で１年間運用した場合、最終的な元利合計金額はいくらになるか。（解）最初の半年間運用したときの元利合計金額は 10 1   10,000 × 1 + ×  100 2  これを、まるごと元金として更に半年間 10％で運用するので、最終的な元利合計金額は 10 1   10 1  10 1    10,000 × 1 + ×  × 1 + ×  = 10,000 × 1 + ×   100 2   100 2   100 2  2 例題 2 元金 10,000 円を３ヶ月毎複利（年４回複利）の 7％（年率）で２年間運用した場合、最終的な元利合計金額はいくらになるか。（解） 7 1  10,000 × 1 + ×   100 4  8 一般に、元金Ａ円を年 k 回複利の金利ｒ（年率）でＴ年間運用した場合、最終的な元利合計金額は次の式で表される。 1  A1 + r ×  k  kT ３．連続複利年 k 回複利をもっと限りなく細かく複利で運用するというのが連続複利の考え方である。すなわち、元金Ａ円を年 k 回複利の金利ｒ（年率）でＴ年間運用した元利合計金額の式 1  A1 + r ×  k  kT において、ｋを無限大にしたものが連続複利ｒで運用した元利合計金額となる。 k  aa lim 1 +  = e であることを利用して k → ∞ k  r lim A1 +  k →∞  k kT k   r  r = lim A1 +  k →∞  k   元金Ａ円を連続複利の金利ｒ（年率）でＴ年間運用した元利合計金額は      rT = Ae rT Ae rT で表される。４．金利表示の変換金利には、これまで述べてきた単利や複利があるが、これらは表示の仕方が違うだけで、同じ期間だけ運用するのに単利の場合と複利の場合とで、どちらかが得になることはないように金利を決めるのが普通である。単利から複利への変換元金Ａ円を期間Ｔ年間運用するのに、次の２つの場合を考える case1 単利Ｒで運用する年ｋ回複利ｒで運用する case2 case1 と case2 の元利合計金額が等しくなることから、次の等式が成り立つ。  r A(1 + RT ) = A1 +   k kT これをｒについて解くと、 1   r = k (1 + RT ) kT − 1   単利から連続複利への変換元金Ａ円を期間Ｔ年間運用するのに、単利Ｒと連続複利ｒを考えると元利合計金額が等しくなることから A(1 + RT ) = Ae rT これをｒについて解くと、 r= 練習問題 6 ヶ月間（（解） log(1 + RT ) T （log は自然対数） 1 年間）の金利、年率 5％を連続複利金利に直せ 2 5 1  log1 + ×   100 2  r= = 0.049385 1 2 4.9385% ５．ディスカウントファクター（discount factor）将来の価値と現在の価値はディスカウントファクター（以下ＤＦ）によって次のように関係づけられる。（現在の価値）＝（将来の価値）×DF 例えば、１年後に支払うべき１万円を今日支払う場合の適当な金額、すなわち現在価値は（１万円の現在価値）＝１万円×（１年間の DF）を計算することにより求めることができる。では、ＤＦはどのように定義されるのであろうか。単利のディスカウントファクター期間Ｔ年間の金利をＲ（年率）、Ｔ年後に支払う金額をＦ円とし、Ｆ円の現在価値を x 円とする。「x 円をＴ年間、金利Ｒ（年率）で運用したときの元利合計金額がＦ円になる」と考えると x(1 + RT ) = F これを x について解くと x= F× 1 1 + RT となるので、期間Ｔのディスカウントファクター DF (T ) は次のように定義される。 DF (T ) = 1 1 + RT 複利のディスカウントファクター期間Ｔ年間の連続複利金利をｒ（年率）、Ｔ年後に支払う金額をＦ円とし、Ｆ円の現在価値を x 円とすると xe rT = F とできるので、これを x について解くと x = Fe − rT となるので、期間Ｔのディスカウントファクター DF (T ) は次のように定義される。 DF (T ) = e − rT 《参考》 r = log(1 + RT ) とすることにより単利のＤＦが導かれる。 T e − rT = e − log (1+ RT ) ×T T ( = e − log (1+ RT ) = e log (1+ RT ) ) −1 = 1 1 + RT