電気抵抗の組み合わせと誤差について

物質エネルギー科学実験 A 補足：抵抗の誤差について
理科教育講座神田
2
- 問題いま抵抗値 R の抵抗を作るのに、手元には
R
2
と 2R
直列抵抗
２つの抵抗を図 1 のように直列接続した場合、全体
の抵抗素子しかないとします。さて、 R
2 を直列にする
の抵抗値 R は
のと、2R で並列にするのと、どちらが精度がよい (=
R = R1 + R2
誤差が小さい) でしょう？
具体的には実験の時間とおなじく、5 %の精度の抵
R1
抗素子 (金色の帯) を用いるとします。60 kΩ の抵抗を
(3)
R2
実現するのに 120 ± 6kΩ と 30 ± 1.5kΩ のいづれを用
いるか考えることにしましょう。単純な足し算ではま
図 1: 直列接続
ずいことはすぐ判るとして、さて、直列並列どちらが
よい結果でしょうか？それとも同じ？
となります。これを式 1 に適応します。２つの抵抗
素子は別々のものですから、その抵抗値 R1 と R2 は
1
完全独立と考えて差し支えないでしょう。それぞれの
変分原理と誤差伝搬
抵抗の誤差分散 δR1,2 は、
まずは２つの抵抗 R1 , R2 を組み合わせたとして答え
δR1,2 = R1,2 × 5%
を求めておきましょう。そのためには誤差伝搬の式から
出発しなければなりません。ある函数が x1 , x2 , x3 , ...xn
と表せます。あるいは
の n 個の変数からなるとき、この函数の変分は、
2
(δf ) =
n n
i= 1 j= 1
Cij
∂f
∂f
δxi
δxj
∂xi
∂xj
δR1,2
= 5%
R1,2
3 から R1 および R2 についての編微分を求め、相関行
列は式 2 にしてよいので、
数 xi についての誤差分散、δf がそれらの変数によっ
(δR)2
て記述される函数 f に伝搬した誤差分散だと考えれば
xj の関係の程度を示しています。xi と xj が完全独立
∂R 2
∂R 2
) (δR1 )2 + (
) (δR2 )2
∂R1
∂R2
(δR1 )2 + (δR2 )2
(6)
(
となります（直列は簡単ですね！）
。だから、
な変数ならば、
0 (for i = j)
=
=
よいでしょう。ここで Cij は相関行列とよばれ、xi と
Cij = δij = {
(5)
とすれば誤差の相対的な大きさが表現できますね。式
(1)
となります。これが誤差伝搬の法則です。δxi は変
1 (for i = j)
(4)
δR =
(2)
(δR1 )2 + (δR2 )2
(7)
これが直列の場合の一般式です。
さて、２つの抵抗 R1 と R2 が等しいならば、式 7 は
1
となります。
δR =
これを用いて誤差を計算してましょう。
1 この
√
√
2(δR1 ) = 2R1 × 5%
(8)
とできます。つまり合成したことで全体の抵抗は２倍
√
になりますが、誤差分散は 2 倍にしかなりません。
δij をクロネッカーのデルタ記号と呼びます。
1
だから式 4,5 のように誤差を R に対する比で表すと、
R2 についての偏微分は添え字の 1 と 2 を入れ替える
R は R1 の２倍ですから、
だけです2 。
δR
=
=
δR
R
=
√ R
× 5%
2
2
1
√ R × 5% ,
2
1
√ × 5%
2
それでは式 1 に適応させましょう。やはり２つの抵
抗は独立です。
(9)
(δR)2
(10)
=
√
ということで、直列の合成抵抗の誤差は 5%/ 2 にな
ですから、
ります。
具体的な値は式 8 に、R1 = 30kΩ を用いれば、
δR =
√
2 × 30[kΩ] × 5% = 2.12[kΩ]
=
δR =
(11)
∂R 2
∂R 2
) (δR1 )2 + (
) (δR2 )2
∂R1
∂R2
R24 (δR1 )2 + R14 (δR2 )2
(14)
(R1 + R2 )4
(
R24 (δR1 )2 + R14 (δR2 )2
(R1 + R2 )2
(15)
これが並列の場合の一般式です。
（ちょっと美しくな
いですね。ひとつ前の式 14 を眺めた方が見通しがい
となります。
いですね。）
どうですか！？単純に 60k Ω の金帯抵抗を用いるよ
やはり２つの抵抗 R1 と R2 が等しいならば、式 15 は
√ 2
2R1 (δR1 )
δR =
(2R1 )2
√
2
δR1
=
4
1
√ R1 × 5%
=
(16)
2 2
り精度が良いことが判るでしょう。
3
並列接続
つぎに並列接続の場合について考えましょう。一見
すると並列の方が良くなるような気がしますが、果た
とできます。つまり合成したことで全体の抵抗は半分
√
√
になりますが、誤差分散はさらにその 1/ 2 の 1/2 2
してそうでしょうか？
接続は図 2 のようになり、今度は R1,2 は得たい合成
倍にしかなりません。ここで直列の 1/4 と勘違いしそ
抵抗のより大きい抵抗を組み合わせることになります。
うですが、よくみると R は R1 の
R1
δR
=
=
R2
1
2
倍ですから、結局
1
√ 2R × 5%
2 2
1
√ R × 5%
2
(17)
あれあれ？つまり、直列の時の結果の式 10 に対応する
形で R の誤差分散を表すと、
1
δR
= √ × 5%
R
2
図 2: 並列接続
ということで、直列の合成抵抗の誤差も並列と同じく
√
5%/ 2 になります。
全体の抵抗値 R はよくしられているとおり、
R1 R2
R=
R1 + R2
(18)
具体的な値は式 8 に、R1 = 120kΩ を用いれば、
√
2
× 120[kΩ] × 5% = 2.12[kΩ]
(19)
δR =
4
(12)
となります。後の式を見やすくするため、ここで式 12
となります。
を R1 , R2 について編微分しておきましょう。
どちらでも同じとは、ちょっと以外でしたね。式 8
と 16 が直感的に予想できたのですが、かえってそれ
∂R
∂R1
R2
R1 R2
+
R1 + R2
(R1 + R2 )2
R2
= (
)2
R1 + R2
で引っかかってしまうようです。
=
2 こういうときに２回計算するようなことをしては人生の時間が
足りません。よくみると R1 , R2 について全く対称になっています。
またついでに、抵抗を抵抗で偏微分したので、その答えが無次元に
なっていることにも注意してください
(13)
2
4
こめんと
結局のところ、直列も並列も２つの要素のランダム
さが平均化されて、小さくなるわけです。しかしラン
ダムさは正負いづれに顕れるか判らないのですから、
単純な和を取ってはなりません。この考え方のヒント
は式 1 と式 7 です。3
これらの式をよく見ると、係数はさておき、基本的
に分散の２乗和を取っていると解釈できるでしょう。
これが本質的です。
5
さらに統計的な考察
さて、２つでなくて、３つ、４つ、n 個の抵抗の直
列、並列接続ではどうなるでしょうか？当然数を増や
すに従って、誤差は小さくなっていくのではないでしょ
うか？まってください、確かに小さくなりそうですが、
それっていったいどういうことでしょう。ひょっとし
て一本一本の抵抗の平均値を正確に求める、というの
と非常に似通っていませんんか？
さらにこの話を、n 人の人の平均身長、と置き換え
てみましょう。こうなると初歩の統計の教科書に出て
いる標本抽出の問題と対応して考えることが出来ます。
各人の身長 Li に対して平均は
< L >=
L1 + L2 + L3 + ... + Ln
n
(20)
ですが、 n1 がなければ抵抗の直列と同じですね。これ
で n を増やしていくと、たしか中心極限定理とか大数
の原理とかがありましたね...
このさきはみなさんに考えていただきたいと思い
ます。
3 式 15 でも同様なのですが偏微分の項で少し見通しが悪いです。
式の単純な直列の方をまず眺めてみましょう。
3

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