第 7 章：逐次合理性（Sequential Rationality）

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2016 年 5 月 9 日（5 月 11 日）
第 7 章：逐次合理性（Sequential Rationality）
「逐次合理性」をみたすナッシュ均衡
ナッシュ均衡の精緻化概念
部分ゲーム完全ナッシュ均衡
完全ベイジアン均衡
逐次均衡（Sequential Equilibrium）
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7.1. 部分ゲーム完全（ナッシュ）均衡
Subgame Perfect (Nash) Equilibrium
逐次合理性のもっとも基礎的な概念
部分ゲームとは
特定の Node から先をひとつの「独立した展開形ゲーム」とみなす
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部分ゲーム
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・
1
・
・
・
・
・
・
・
2
3
「部分ゲーム」とみなされるための条件
部分ゲームの外にある Node と区別できないとだめ
部分ゲームにならない例
部分ゲーム
ではない
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4
行動戦略プロファイル   ( i )iN      i は、以下の条件をみたす時
i N
部分ゲーム完全均衡であるという：

は（全体のゲームにおける）ナッシュ均衡である
任意の部分ゲームにおいて をプレイすることが、その部分ゲームのナッシュ均
衡である
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部分ゲーム完全均衡をつかって
完備情報の動学ゲームを分析しよう
部分ゲーム完全均衡に適した動学ゲームの類型：
完全情報の動学ゲーム
「後方帰納法（Backward Induction）」の適用
多段階ゲーム
各段階（Stage）において静学ゲームをプレイ
過去の行動観察可能 Perfect Monitoring, Observed Actions）
繰り返しゲーム
同じゲームが繰り返しプレイ
有限回繰り返しゲーム、無限回繰り返しゲーム
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7.2. 完全情報の動学ゲーム
後方帰納法（Backward Induction）によって逐次合理性を導く
完全情報：
全ての情報集合は一つの手番（Single-Valued）からなる
∴ 全ての手番から先の Game Tree は必ず「部分ゲーム」になっている
後方帰納法：
後ろから順番に解く方法
定理（Zermelo?）:
・展開形ゲームが有限の場合、最後の手番から順に最大化を解いていけば、つまり後方帰納
法に従えば、全ての部分ゲーム完全均衡を導くことができる。
・任意のプレーヤーに対して、異なる Terminal Node がことなる利得をもたらすならば、部
分ゲーム完全均衡は一意に定まる。
＊Zermelo の定理（1913 年）
：
「チェスや将棋では、先手か後手のどちらかに「決して負けない」戦略があ
る。だから先手と後手を決めた時点でもはや勝負は決まった。」Do you believe in it?
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7.2.1. ムカデゲーム（Centipede Game）
１
２
１
（1,4）
H
（1, 1）
１
（1, 1）
２
（0, 3）
（0, 3）
１
（2, 2）
（2, 2）
２
１
（1, 4）（m, m）
2
（m+1,m-1）
(m-1,m+2)
みんな、いつでも、たかだか１ポイントの差で、exit しちゃう……
あまり長い（m が大きい、後に行くと大きな利得）と、逐次合理性の妥当性に疑いあり
（「相手が逐次合理的でない（限定合理的）かもしれない」と予想するかも……）
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7.2.2. シュタッケルベルク複占
クールノー複占：
２企業が同質財の供給量を選択
si  [0,  )
生産費用ゼロ
p  1  s1  s2 で売却
各企業 i の利得（利潤）は ui ( s )  (1  s1  s2 ) si
需給均衡価格
シュタッケルベルク複占：
企業１が先手、企業 2 が後手
部分ゲーム完全均衡は？
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企業１（先手）の戦略
s1  [0,  )
企業２（後手）の戦略
企業 2 の手番は無数！
企業１の選択 s1  [0,  ) ごとに企業 2 の手番がある
∴
s2 :[0,  )  [0,  )
「企業１の供給が s1  [0,  ) の場合、
企業２の供給量は s2 ( s1 )  [0,  ) 」
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後方帰納法：
企業２から解け！
∴
∴
企業２は企業１の供給 s1 に対する最適反応を選択する
s2 ( s1 )  BR2 ( s1 )  0
if
s1  1
s2 ( s1 )  BR2 ( s1 ) 
1  s1
2
if
s1  [0,1]
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こちらは企業１の等利潤曲線群（よくよく理解せよ）
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こちらが企業２の等利潤曲線群および最適反応曲線つまり
後方帰納法から導かれる、後手企業２の最適戦略！
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相手の反応を読め！
企業１（先手）は「企業２（後手）が s2 ( s1 )  BR1 ( s1 ) を選択する」ことを読み込む
「供給量を変えると相手の供給量も変わる」ことを利用して最大化
max{1  s1  BR2 ( s1 )}s1
s1 [0,1]
First-Order Condition:

1  s1
{1  s1 
}s1  0
s1
2
∴
s1  1 （  1 ）
2
3
s2  BR2 ( 1 )  1 （  1 ）
2
4
3
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なぜこうなるか、考えよ！
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企業１は
「私がクールノーより多めに供給すれば
相手企業２にとってクールノーより少なめに供給するのが逐次合理的になる」
ことを読み込んで
クールノーより「多めに」供給することを選択する
（ s1  1 （  1 ））
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価格はクールノーと比べて
1 から 1 にダウンするも
3
4
企業１の利潤は 1 から 1 にアップ
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一方、企業２は 1 から 1 にダウン
9
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宿題７
問１（展開形ゲームの表現）
：ある日レポートの採点をしていると、学生 A と学生 B が瓜二つの誤答をしていることに気が
付いた。先生はそのうち学生 A がカンニングの犯人ではないかと疑い、調査に乗り出した。実際、真犯人は学生 A なのだ
が、その調査によって明確な証拠がつかめる確率は半々である。学生 A は、先生に調査されていることはわかっているが、
先生が証拠を得ることができたかどうかはわからない。このとき次のようなゲームを考えよう。
まず、先生は証拠の有無を確認した後、学生 A を告発するか見逃すかを決定する。告発をした場合、学生 A は自白する
か否認するかを選択する。
いま、両者の利得を(先生の利得,学生の利得)と書くことにする。先生が見逃した場合、利得は(0,0)である。先生が告発を
した場合は証拠の有無によって異なる。先生が証拠を握っているとき、学生が自白をしたら(2,-2)、否認をした場合は(4,-4)
である。先生が証拠を握っていないとき、学生が自白をしたら(2,-2)、否認をした場合は(-4,4)である。
（１）この展開形ゲームをゲームの木によって図示せよ。
（２）先生・学生それぞれの純粋戦略集合を明らかにせよ。
（３）（１）を標準形ゲームとしてみなし、マトリックス表現せよ。
（４）このゲームにおけるナッシュ均衡を全て求めよ。
問２（固定費用）：シュタッケルベルク複占において、後手企業２の生産費用は、生産ゼロの時ゼロ、生産量が正の場合固
定額 F  0 とする。（企業１は生産費用ゼロのまま。）
（１）部分ゲーム完全均衡を、 F について場合分けして、全てもとめよ。
（２）先手である企業１は供給の上限が 1 であったとする。今、企業１が、供給の上限を 1 から１に引き上げた、と報じ
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た。すると、企業２は市場から撤退することになった。このような状況が生じうる場合の F の範囲を示せ。
問３（経営戦略）：企業１は市場１と市場２の両方で事業展開している。市場１は企業 1 の独占である。市場２には企業２
というライバルがいる。企業１は、市場１で事業拡大するか否か、を検討している。近日中にこの事業戦略を決断して、記
者会見を開く予定である。事業戦略は、以下の３つの観点から、決定される。「市場２は価格競争か、数量競争か。」「企業
２は市場２から撤退する可能性がどの程度あるか。
」
「市場１での事業拡大は、企業１の市場２での事業展開に技術面でプラ
スになるかマイナスになるか。
」以上を踏まえて、企業１の望ましい事業戦略について論じよ。
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問４：K 教授と M 教授が講義について話し合っている。K 教授は課題量を 1 とするのが望ましいと考えており, M 教授は
課題量を 3 とするのが望ましいと考えている。実現した課題量を y としたとき, 各教授の効用を u1 , u2 とすると,
u1  10  1  y
u2  10  3  y
を満たす。二人は次のような交渉をする。まず, 過去の慣習から課題量を 4 とする暫定案があり, これを踏まえて K 教授は
課題量を x   0, 5 とする案を出す。これを踏まえ, M 教授は課題量を x または 4 のどちらかに決定する。
(1) 部分ゲーム完全均衡を求めよ。
(2) 部分ゲーム完全均衡ではないナッシュ均衡をすべて求めよ。
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第 7 章：逐次合理性（Sequential Rationality）:まとめ
動学ゲームを均衡分析する際には、ナッシュ均衡のみならず、逐次合理性をもみたすことが大事である。
「逐次合理性をみたすナッシュ均衡」についての概念としては、
「部分ゲーム完全均衡」、
「（弱）完全ベイジアン均衡」
、
「逐
次均衡」が知られている。
部分ゲーム完全均衡は、完全情報、完全モニタリングの多段階ゲーム、繰り返しゲームに有用である。
完全情報の場合、部分ゲーム完全均衡は後方帰納法（Backward Induction）によって導くことができる。
完全情報の動学ゲームの重要な応用としてスタッケルベルク寡占、逐次交渉などがある。
部分ゲーム完全均衡は、無限回の展開形ゲームについても定義できるが、後方帰納法は適用できない。
「One-Stage Deviation
Principle」によって均衡かどうかが確認される。
無限回繰り返しゲームにおいては、暗黙の協調を、部分ゲーム完全均衡によって説明できる。部分ゲーム完全均衡によって
達成できる利得ベクトルは、割引ファクターが十分に１に近い場合無数に存在し、広範囲である。この性質は「フォーク定
理」と呼ばれる。
部分ゲーム完全均衡は、多くの不完全情報の動学ゲームに適さない。よって、別の概念として「（弱）完全ベイジアン均衡」
がある。完全ベイジアン均衡は、部分ゲーム完全均衡でなかったり、構造的整合性をみたさなかったりする。逐次均衡は、
完全ベイジアン均衡の欠点を克服する精緻な概念である。
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