数の成り立ち、写像と無限集合
目次
１．数の成り立ち、集合の扱いについて
自然数、整数、有理数、実数
２．写像について
写像、写像の個数、単射、全射、逆写像、
写像の合成
３．無限集合について
濃度が等しい、N～Z、N～Q、N～Rでない、
カントールの対角論法
１.０
自然数，整数
有理数，無理数
実数
可算無限集合
非可算無限集合
実数
有理数
整数
自然数
無理数
１.１ 自然数，整数
●
●
１.２ 有理数（その１）
●
●
●
１.３ 有理数（その２）
●
１.４ 数直線と有理数以外の数
自然数，整数，有理数
有理数，有限小数
有理数ではない
有理数，循環小数
有理数でない数
0
●
1
7
3
4
1
2
2
数直線
１.５
が有理数でないことの証明
（高校の教科書にもある有名な証明）
１.６ 有理数，無理数と実数
●
●
●
１.７ 実数の四則演算における法則
●
１.８ 何故，１.７の法則が成立するか？
●
１.９ 可算無限集合，非可算無限集合
●
２.１
写像と関数の話
定義(写像) 集合Ｘ,Ｙに対し，Ｘの各元ｘに対
してＹの元ｙを対応させる規則をＸからＹへの写像
(mapping)という．
ｆ：Ｘ→Ｙ
Ｘをｆの定義域(domain)
f(X)={f(x)|x∈X} をｆの値域（range)という．
一般に、f(X)⊆Y．
２.２ 学校では規則が、式で表される場合（関
数による対応付け）を扱うことが多い
数から数への写像を関数と呼ぶことが多い．
ｆ（ｘ）＝ｘの多項式
ｆ（ｘ）＝ｘの累乗、ｎ乗根
ｆ（ｘ）＝ｘの有理関数（分母、分子がｘの多項式）
ｆ（ｘ）＝ｘの三角関数
ｆ（ｘ）＝ｘの指数関数、対数関数
これらはどれも対応が式でかけている．
２.３ でも、写像には対応の規則が式で表せ
ない場合もある！！
X=｛ナミヘイ、フネ、サザエ、カツオ、ワカメ、マスオ、タラ｝
Y=｛男、女｝
ｆ：X →Y
漫画をご存知なら、定義域のどの要素にも値域の
「男または女」を対応つけることができます．
この規則は皆さんがこれまで勉強したｘの式では
かけません．（sin(ナミヘイ) や （カツオ）２では表現
できない）
２.４ 関数は写像の特別な場合！！
写像
数から数への対応
ものからものへの対応
対応が式でかける場合もかけない場合もある
関数
写像で定義しておけば
その定義を実数の集合などに
おきかえると
関数の定義になる！！
数から数への対応
を問題にする
２.５ 注意１：定義域の全部の要素に対応付けし
ないと写像とは言わない！！
X＝｛ナミヘイ、フネ、サザエ、カツオ、ワカメ、マスオ、タラ｝
ｆ：X →X （父親を対応付ける）
漫画の知識に従って、ｘに対して父親を対応つけると、
f（サザエ）＝ナミヘイ、f（カツオ）＝ナミヘイ
f（ワカメ）＝ナミヘイ、f（タラ）＝マスオ
ですがナミヘイ、フネ、マスオの父親はXの要素にないために
f（ナミヘイ）を決められません．この場合、この対応付けfを
写像とは言いません．
２.６ 注意２：定義域の要素に２個以上の要素を対応
付ける場合は写像とは言わない！！
X＝｛ナミヘイ、フネ、サザエ、カツオ、ワカメ、マスオ、タラ｝
ｆ：X →X （子供を対応付ける）
漫画の知識に従って、ｘに対して子供を対応つけると、
f（ナミヘイ）＝サザエ、f（ナミヘイ）＝カツオ
f（ナミヘイ）＝ワカメ
となり、ナミヘイに３つの要素が対応します．写像であるため
には、定義域のどの要素にも値域の１つの要素を対応つける
必要があります．したがってこの場合も、この対応付けfは
写像とは言いません．
２.７ 集合 X から集合Yへの写像の個数は？
XからYへの写像は複数ある！！
X=｛1,2} から Y={a,b} には４つの写像 f1,f2,f3,f4がある．
１番目の写像 f1
２番目の写像 f2
３番目の写像 f3
４番目の写像 f4
f1（１）＝ａ, f1(2)=a
f2（１）＝ａ, f2(2)=ｂ
f3（１）＝ｂ, f3(2)=ａ
f4（１）＝ｂ, f4(2)=ｂ
f1,f2,f3,f4を式でかく必要は全くありません．
この場合には ｆi は単に記号の意味しかありませんが．
２.８ 複数ある写像の中で、次の特徴的なものを
単射、全射、全単射と呼ぶ！！
ｆ：X→Yへの写像とする．
単射 （１対１の写像）
x1 ≠ x2 を満たすどんな X の元に対しても必ず
f(x1) ≠ f(x2) が成り立つ写像
全射 （上への写像）
ｆ（X）（＝｛f(x)|x∈X}）＝Yを満たす写像
全単射 （上への１対１の写像）
単射かつ全射である写像
２.９ ベン図による写像の表示
２.１０ 逆向きの対応が写像になる場合もある．それを
逆写像（逆関数）という！！
全単射
に限っ
て逆向
きの対
応も写
像にな
る！！
２.１１ ｆ：Ｒ→｛ｙ∈R｜ｙ＞０｝（ｆ（ｘ）＝ｅx）には
逆関数が存在する．
ｆは単調増加なので、単射．
ｆ（R)＝｛ｆ（ｘ）｜ｘ∈R｝＝｛ｙ∈R｜ｙ＞0}より、全射．
従って、ｙからｘへの対応も関数になる．この関数が
ｘ＝ｆ－１（ｙ）＝logｙ である．（通常、改めてこの変数ｙをｘ
に書き換えて、ｆ－１（ｘ）＝logｘ とかく．）
ｆ：Ｒ→Ｒ（ｆ（ｘ）＝ｅx）とし、逆の対応を考えるとき、ｙ＝０と
ｙ＜０に対してｘを対応付けられないので、逆関数は存在
しなくなる．実際には、対数の真数条件によりｙ≦０
の場合を除外し、逆関数が存在するようにしている．
２.１２ 写像の合成と全単射
（１）写像 ｆ：X→Y、ｇ：Y→Zで共に全単射ならば
ｇ。ｆ：X→Zも全単射になる。
（２）（ｇ。ｆ）－１：Z→Xも全単射になる。
（３） （ｇ。ｆ）－１＝ ｆ－１ 。ｇ－１
３.１ 集合の要素数の比較
（１）集合A、Bが有限集合の場合：個数を数えて比較
する。
（２）集合A、Bが無限集合の場合：集合の包含関係を
見て比較できそう。
（３）全単射の写像で対応を付けて比較する。（包含
関係とは異なる性質がわかる：集合の濃度）
3.2 集合の濃度が等しい
集合 A から集合 B への全単射があるとき、A と B
は濃度が等しいと言われる。
整数の集合Zと自然数の集合Nは濃度が等しい
ｆ：Z→N を f(z)= 2|z|-1 (z<0)
2(z-1)
(z≧0）
でｆは全単射
3.3 N２＝{(n,m)|n,mは自然数｝
とNは濃度が等しい
f:N2→Nを次で定義する
ｆ（（n,m））＝(１/2)(n+m-1)(n+m-2)+m
(n,m)は（n+m-1)群のm番目（群数列の考え）
3.4 有理数の集合QとNは濃度が等しい
Q＝｛ｙ/x | y,xは整数、xは０でない}
Z、N2、QとNはどの集合も濃度が等しい
3.5 実数の区間（ａ,ｂ）（ａ＜ｂ）と
（ｃ,ｄ）（ｃ＜ｄ）は濃度が等しい
f: (a,b)→(c,d) を以下で定義する
ｆ（ｘ）＝{（d-c）（x-a) / (b-a) } + c
例５ （-π/2, π/2 ) と R=（‐∞,∞）は濃度が等しい
ｆ：（-π/2, π/2 )→（‐∞,∞）を ｆ（ｘ）＝tanx で定義
3.6 実数の区間（ａ,ｂ）（ａ＜ｂ）と
R=（‐∞,∞）は濃度が等しい
ｆ：（ａ,ｂ）→（-π/2, π/2 ) 全単射
ｇ：（-π/2, π/2 )→（‐∞,∞） 全単射
ｇ。ｆ： （ａ,ｂ） →（‐∞,∞）も全単射になる。
ｇ。ｆ（ｘ）＝ｇ（ｆ（ｘ））＝ｇ（ {π（x-a) / (b-a) } -π/2 ）
＝tan（ {π（x-a) / (b-a) } -π/2 ）
3.7 [0,1]と（0,1)は濃度が等しい
[0,1]と（0,1]も濃度が等しい
f: [0,1]→(0,1) でｆ（ｘ）＝ｘとすると全射にならない。
[0,1]の中の有理数の集合1/2, 1/3, 1/4, …と
無理数の集合に分けて扱う。
ｘが無理数のとき、ｆ（ｘ）＝ｘ
ｘが０のとき、ｆ（ｘ）＝1/2、ｘが１のとき、ｆ（ｘ）＝1/3
ｘが1/nのとき、ｆ（ｘ）＝1/(n+2)
例８．R２とRの濃度は等しい
3.8 (カントールの対角論法）
実数Rと自然数Nの濃度は異なる
ｆ：R→N の全単射があると仮定して矛盾を導く。
N、Z、QなどのNと同じ濃度の集合を加算無限集
合とよび、Rと同じ濃度の集合を非加算無限集合
とよぶ。
課題（レポート）
番号（
名前（
Ⅰ．
X ＝｛ナミヘイ、フネ、サザエ、カツオ、ワカメ、マスオ、タラ｝
子供：X →X について
子供全員： X →Ｐ（Ｘ）（＝{Ｙ⊆Ｘ｜ＹはＸの部分集合｝）
とすると、写像になることを確認せよ．
例えば、
子供全員（ナミヘイ）＝｛サザエ、カツオ、ワカメ｝ ∈Ｐ（Ｘ）
子供全員(カツオ）＝｛｝∈Ｐ（Ｘ）
なので、Ｘの各要素にＰ（Ｘ）の要素を１つ対応可能．
Ｐ（Ｘ）をＸのべき集合という．
）
）
Ⅱ．集合{1,2,…,n} から集合｛1,2,…,m} への写像について以
下を検討せよ．
写像は何通りあるか？
ｎとｍの関係がどのような場合に単射を作れるか？作れる場
合の単射は何通りあるか？
ｎとｍの関係がどのような場合に全射を作れるか？
ｎとｍの関係がどのような場合に全単射を作れるか？作れる
場合の全単射は何通りあるか？
Ⅲ．(a,b)=｛ｘ∈R｜a<x<b｝とする．
開区間（a,b） から開区間（c,d）への関数で、全単射となる
関数ｆ（ｘ）を１つあげよ．
開区間（-π/2,π/2) から実数全体の集合(-∞,∞)への関数
で、全単射となる関数ｆ（ｘ）を１つあげよ．
できる人は上記の２つの関数を合成し、開区間（a,b)から
実数全体への全単射となる関数ｆ（ｘ）を作れ．このことか
ら、(0,1)に含まれる実数と (-∞,∞)に含まれる実数には対
応が付く．
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