ゴム材料の構成則と破壊基準の構築

第6期非線形CAE勉強会
材料モデルのVV
∼ゴム材料の構成則と破壊基準の構築∼
山梨大学　工学部　土木環境工学科
吉田純司
本日話す内容
高減衰ゴムの構成則の構築とその検証
天然ゴムの破断特性とモデル化
1.
ゴム材料の免震構造への応用
積層ゴム支承とは
ゴムが非圧縮に近い性質を積極的に利用ゴムと鋼板を積層状に剛結 ⇒　ゴム層の体積変形を制限
層数が少ない支承
層数が多い支承
はらみ出し大⇒鉛直剛性小
はらみ出し小⇒鉛直剛性大
水平剛性は，概ね同一
水平方向
柔
加速度の低減
鉛直方向
剛
構造物の支持
土木における免震
・1995年兵庫県南部地震以後，積層ゴム支承を採用する橋
梁が増加
・ゴムの圧縮性を利用して
構造物を支持．
・減衰性能を付与
変位応答を低減
・構造物の損傷を局在化
過度に長周期化しない．
⇒ 桁間衝突，ジョイント部の損傷を回避
動力学的効果＋損傷の戦略的な制御
構造系全体の挙動に大きく影響
構造系の応答予測精度 ⇒ 積層ゴム支承のモデルの精度
２．高減衰積層ゴム支承の
力学特性の概要
高減衰ゴムを用いた支承の復元力特性
150
100
力学特性
・大きな履歴減衰を有し
ている
・剛性劣化やハードニングが
が顕著に表れている．
50
0
-50
ハードニング
-100
-150
-300
150
100
荷重 [kN]
水平1方向
に変形
荷重 [kN]
鉛直荷重
-200
-100
0
100
200
せん断ひずみ [%]
剛性劣化
300
50
0
-50
・全体的な荷重が進展する方向 -100
-150
は似通っている．
-300
-200
-100
0
100
200
(水平変位/ ゴム層の総厚)×100
300
支承の力学特性の温度依存性
100 0.005[Hz],10℃
0.005[Hz],20℃
load[kN]
50
0
-50
-100
-60
-40
-20
0
20
displacement[mm]
40
60
ゴムによっては，同一の載荷速度で，試験温度が異なる
と異なる力学特性を示す．
３．高減衰ゴムの材料試験
ゴムの材料試験
高減衰ゴム：
応力進展に関する部分＋エネルギー吸収の部分
４種類の高減衰ゴム，２種類の天然ゴム
①単軸引張り試験
②2軸引張り試験
③繰り返しせん断試験
④リラクゼーション試験
応力方向の決定
ハードニング特性の把握
⇒ エネルギー吸収性能の評価
⇒ 粘性の把握
温度の影響を小さくするため，常温（20∼24）で実施
単軸引張り試験
天然ゴム
40
Cauchy 応力 [MPa]
40
高減衰ゴム
30
20
10
0
1
2
3
4
5
Cauchy応力[MPa]
伸び比
30
20
10
0
1
2
3
4
伸び比
5
6
・応力進展の傾向は同じ
・残留ひずみやエネルギ
ー吸収性能が異なる
6
一軸固定二軸引張り試験
のび比一定
のび比一定
天然ゴム
25
引張り方向
拘束方向
8
Cauchy応力[MPa]
Cauchy応力[MPa]
10
6
4
2
0
1
1.5
2
伸び比
2.5
3
高減衰ゴム
引張り方向
拘束方向
20
15
10
5
0
1
1.5
2
2.5
3
伸び比
3.5
4
4.5
繰り返し単純せん断試験（高減衰のみ）
試験体
固定
試験体
入力変位
Cauchy応力[MPa]
3
2
1
1[Hz]
0.1[Hz]
0.01[Hz]
0
常温において
0.01～1Hzでは
速度依存性が少ない
-1
-2
-3
-300 -200 -100 0 100 200
せん断ひずみ[%]
300
リラクゼーション試験（高減衰のみ）
250
速度:1000 [%/sec]
150
10分間計測
50
時間[min]
Cauchy stress [MPa]
3
せん断ひずみ[%]
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
500
1000
time [sec]
1500
Cauchy stress [MPa]
3.5
3
2.5
2
どの高減衰ゴムも
確実に粘性は存在．
1.5
1
0.5
0
0
500
1000
time [sec]
1500
2000
2000
４．高減衰ゴムの構成則
ゴム材料の構成則
仮定
・初期等方性材料である．
・材料試験を等温で実施 ⇒ 等温過程である
・速度依存性が少ない ⇒ 粘性を塑性で置換
弾塑性部
エネルギー吸収性能
等方効果
超弾性部
応力進展方向＋剛性劣化
弾塑性体と超弾性体を組み合わせた構成則を提案
弾塑性部
微小変形を前提とした弾塑性体
Grasser(1991)のモデル
・微分方程式型 ⇒ 弾性, 塑性を自動判定
・弾性-塑性間の遷移を滑らかに再現
(1) 大変形に適用するための拡張
(2) 等方硬化でハードニングを表現
l
D
T( J ) = C: D − Dp
q
F
GH
3
3T': T'
D =
D': D'
2
2(Ty ) 2
p
I
JK
L
I − 3U O
R
= T M1 + S
P
V
c
MN T W PQ
N −1
2
T'
Ty
微分方程式で記述
される完全弾塑性体
b
Ty
0
y
C
等方硬化でハードニングを表現
弾塑性部の詳細な式
m
D
T ( J ) = C: D − D p
F
GH
r
:速度型方程式 (Jaumann速度を使用)
T': T'
3
D =
D': D'
2
2(Ty ) 2
p
I
JK
L
I − 3U O
R
= T M1 + S
P
V
MN T c W PQ
N −1
T'
Ty
:塑性ひずみ速度
b
Ty
Cpqrs
0
y
B
：等方硬化
1
= Fpi Fqj Frk Fsl Cijkl + δ pr Tsp( H ) + δ qsTpr( H ) − δ rsTpq( H )
J
∂ 2W
C=
∂E∂E
:弾性テンソル
c4 c  I C − 3 
W = c4 ( I C − 3) + c5 ( II C − 3) +


m +1 c 
材料定数:
c4 , c5 , c, m
+
m +1
0
y
N , T ,b
超弾性部
川端ら(1992)のモデルをベース
W1 = c1 ( I C − 3) + c2 ( II C − 3)
W2 =
c3c  I C − 3 


n +1 c 
・物理的意味が明確．
・簡便で精度が高い．
線形に近い弾性挙動
n +1
ハードニング
ダメージモデルで剛性の劣化を表現
偏差応力分のひずみエネルギー密度関数
W = G (Ξ1 ) W1 + H (Ξ 2 ) W2
G , H ：最大経験ひずみの関数
超弾性部の詳細な式
W = G (Ξ1 ) W1 + H (Ξ 2 ) W2 +
の第1,第2不変量
χ
(W v ) 2
ひずみエネルギー密度関数
2
W1 = c1 ( I C − 3) + c2 ( II C − 3)
W v = 2( III C − 1)
n +1
c3c  I C − 3 
I C , II C
W2 =


n +1 c 
1 − exp( −Ξ / α )
G(Ξ ) = β + (1 − β )
Ξ /α
RS
T
UV
W
H (Ξ ) = 1 − 1 / [1 + exp{− a H (Ξ − bH )}]
m
2
: C
の低減不変量
ダメージ関数
Ξ it = max
2Wi ( s)
−∞< s ≤ t
v
∂W1
∂W2
∂W
∂
W
S=
=G
+H
+ χW v
∂E
∂E
∂E
∂E
材料定数
応力ひずみ関係
c1 , c2 , c3 , n, χ + α , β , aH , bH
構成則の再現性①
高減衰ゴム
繰り返しせん断試験
単軸引張り試験
40
3
真応力 [MPa]
真応力[MPa]
2
材料試験
モデル
1
0
-1
材料試験
モデル
30
20
10
0
-2
-300 -200 -100 0
100 200
せん断ひずみ[%]
300
-10
0
1
2
3
4
伸び比
ゴム材料の力学特性を精度よく再現
5
6
モデルの再現性①の続き
一軸固定二軸引張り試験
25
真応力 [MPa]
20
15
材料試験引張り
モデル引張り
材料試験拘束
モデル拘束
10
5
0
-5
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
伸び比
本構成則により材料の力学特性を
精度よく再現することができた
構成則の再現性②
ハードニング特性が大きい高減衰ゴムの場合
繰り返しせん断試験
4
材料試験
モデル
真応力 [MPa]
真応力 [MPa]
6
単軸引張り試験
2
0
-2
-4
-400-300-200-100 0 100 200 300 400
せん断ひずみ[%]
35
30
25
20
15
10
5
0
-5
材料試験
モデル
0
1
2
3
4
伸び比
本構成則で力学特性を精緻に再現できた
5
6
構成則の再現性③
天然ゴム
単軸引張り試験
一軸固定二軸引張り試験
0.6
0.4
50
材料試験
材料試験
モデル
モデル
Cauchy応力[MPa]
Cauchy応力[MPa]
0.8
0.2
0
-0.2
0.5
40
30
20
10
0
-10
1
1.5
2
伸び比
2.5
3
材料試験
モデル
1
1.5
2
2.5
3 3.5
伸び比
天然ゴムの力学特性を精度よく再現
4
4.5
5
5．構造部材レベルでの検証
積層ゴム支承の３軸載荷実験
ゴム層：5[mm]×7層
鋼鈑：2.3[mm]×6枚
210
実橋に用いられ
ている支承の1/3
支承に鉛直荷重＋水平２方向の変形を付与
FEMと水平2方向載荷実験結果との比較
鉛直荷重
変形
変形
Y方向の変位 [mm]
70
35
0
-35
-70
-70
60
載荷実験
FEM
0
40
荷重[kN]
荷重[kN]
50
-35
0
35
X方向の変位 [mm]
70
載荷実験
FEM
20
0
-20
-40
-50
-200 -150 -100 -50
0
50 100 150 200
せん断ひずみ[%]
-60
-200
-100
0
100
せん断ひずみ[%]
200
FEMと鉛直載荷実験結果との比較
鉛直荷重
鉛直に面圧0∼7.92[MPa]
を繰り返し載荷
1/4 モデル
鉛直方向の変位-荷重関係
400
荷重 [kN]
300
載荷実験
FEM
200
100
0
-100
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
変位[mm]
0.8
1
圧力場[MPa]
概ね実験結果とよく一致している．
～ゴム材料の破断特性の把握とモデル化～
研究の目的
ゴムの材料実験よりゴムの破断特性を把握し，
破壊基準を構築する
研究の流れ
ゴムの破壊試験（画像計測）　・単軸引張試験
・一軸固定二軸引張試験
・均等二軸引張試験
画像処理
破断特性の把握
歪から検討
破壊基準の構築
試験片形状
単軸引張試験用試験片
3.0
10
60
10
25
10
2.6 3.0
10
2.6
10
二軸引張試験用試験片
60
3.9
1.3
10
9.0
3.9
円形部分の厚さ：0.5
天然ゴム　せん断弾性係数　G = 98 [N/cm2]
４種類
単位 [mm]
破断実験の概要
変位場が一様ではない
チャック間変位からでは　内部の変形が導出できない
画像による歪場の
算出が必要
画像保存用パソコン
デジタル
CCDカメラ
CCDカメラ
2軸引張試験機
データ入出力用パソコン
・引張開始から破壊までを画像で撮影
・外部で載荷速度を制御　・変位，荷重をデータとして取得
実験の条件
温度　： 20℃
試験片個数：各試験において3～5個
材料試験の種類
単軸引張破壊試験
一軸固定二軸引張破壊試験
伸長比一定
載荷速度　0.2 , 2.0 , 20.0 [mm/sec]
載荷速度　2.0 [mm/sec]
均等二軸引張破壊試験
載荷速度　0.2 , 2.0 , 20.0 [mm/sec]
画像処理方法
引張前
破壊直前
白点の位置を座標データとして取得
画像計測
２値化
ラベリング
点の重心算出
座標データ　[pixel]
座標変換
座標データ　[mm]
点を分類
歪場について
破壊直前
座標データを比較
x2 [mm]
引張前
λ1
すべての点の変位を内挿
x1 [mm]
４点で作られる領域の
伸長比を計算
伸長比
破断部分の伸長比
変形勾配テンソル
∂xi
Fij =
∂X j
λ1
変形勾配テンソルのx1方向の固有値
λ2
変形勾配テンソルのx2方向の固有値
X j ：無変形状態での位置（x１方向は
xi ：変形後の位置（x1方向は i = 1
j = 1 , x2方向は j = 2 のとき）
, x2方向は i = 2 のとき）
歪速度と破断時伸長比の関係　・・・単軸引張試験，均等二軸引張試験
6
5.5
単軸
均等二軸
5.45
5.52
5.29
x2
x1
5
λ１
単軸引張破壊試験
4.5
4
3.58
3.72
3.55
3.5
3
0.0001
0.001
0.01
0.1
歪速度 [1/sec]
1
均等二軸引張破壊試験
•　歪速度の影響は小さい
•　均等二軸のλ1は単軸のλ1 より小さい
λ1 ： x1方向の伸長比
歪速度と破断値の関係　・・・一軸固定二軸引張破壊（x2の伸長比：1，2）
5
4.5
x2方向の伸長比：1
x2
x2方向の伸長比：2
λ１
4.05
4
3.5
0.001
伸長比：1
x2の伸長比：1
x1
3.90
歪速度 [1/sec]
0.01
λ1 ： x1方向の伸長比
•　x2方向の伸長比が1,2のときで破断時のλ1
に大きな差はない
伸長比：2
x2の伸長比：2
主軸伸長比の関係
x2
既往の実験結果
本実験結果
8
8
単軸
一軸固定x2の伸長比：1
一軸固定x2の伸長比：2
均等二軸
λB
6
λ２
λ2
6
4
2
単軸
均等二軸
λB
0
0
λB 2
4
λ1 ： x1方向の
λB1
伸長比
2
λB
4
6
8
0
2
λ1
既往の実験結果
本実験結果
λB 2
λB1
0
2
x1
λ2 ： x2方向の
伸長比
4
6
8
λ１
最大伸長比基準が成り立つ
最大伸長比基準の関係は成り立たない
他のゴムも同様の結果
最大伸長比基準
λ1 or λ2 ＞ λB
破壊基準の構築・・・基準化した主軸伸長比から　ゴム材料の破壊基準を構築　基準化
100
λ1 = λ1 λmin , λ2 = λ2 λmin
単軸
一軸固定x2の伸長比：1
一軸固定x2の伸長比：2
均等二軸
破壊基準
10
λmin
：主軸伸長比の最小値
λ1 , λ2
：その他の主軸伸長比
破壊基準式
λ2
λ2 = A(λ1 ) B
1
0.1
0.1
λ2 = 0.003λ1
1
λ1
A, B
：パラメータ
ゴムの種類によって主軸
伸長比は異なる
2.4
10
100
ゴムの種類ごとの最適な
パラメータを算出する
最近の研究：CAEを用いた制震壁の性能予測システムの構築
高粘性流体
・耐久性、耐候性に優れている
・高いエネルギー吸収性
構造物の防振・制振装置に広く利用
制震壁

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