岩澤類数公式
藤井 俊 (早大理工)
ここでは岩澤類数公式についての解説をする. 講演では具体的な計算に重点をおいて話
した (つもりでした) が, 報告集では本を書くつもりで書けという御達しがあったので, 後
ろの方に Appendix として非常に簡単に Hilbert 理論や加群に関して解説を行った. 実際
に証明に用いるのため, 注意書きをしておくので眺めてみてください.
岩澤類数公式のこの報告集内の証明は, Serre [11] によって整理されたものを採用した.
しかし, 元論文岩澤 [5] は非常に迫力があって面白いので, 興味をもたれた方は是非読まれ
る事をお勧めする.
1. 内容の紹介
p を素数とし, k を有理数体 Q の有限次拡大とする. そして k∞ /k を Zp -拡大, すなわち
無限次 Galois 拡大で, その Galois 群 Gal(k∞ /k) が p 進整数環 Zp の加法群と位相群として
同型になっているものとする. kn を Zp -拡大 k∞ /k の n-th layer ([kn : k] = pn となる唯一
つの中間体 k ⊆ kn ⊆ k∞ ) とする. 体の列
[
k = k0 ⊆ k1 ⊆ k2 ⊆ · · · ⊆ kn ⊆ · · · ⊆
kn = k∞
n≥0
があり, Gal(kn /k) ' Z/pn Z となっている. ここで重要な Zp -拡大の例を挙げよう: ζn ∈ Q
を 1 の原始 n 乗根とする (n ≥ 1). p を奇素数とすると,
Q ⊆ ∃1 Qn ⊆ Q(ζpn+1 ), [Qn : Q] = pn .
これから体の列
Q = Q0 ⊆ Q1 ⊆ Q2 ⊆ · · · ⊆ Qn ⊆ · · ·
を考えることができる.
Q∞ :=
[
Qn
n≥0
とすると, Q∞ /Q は Galois 拡大で,
n
Gal(Q∞ /Q) = lim
←− Gal(Qn /Q) ' lim
←− Z/p Z ' Zp
となることが分かる. したがって Q∞ /Q は Q 上の Zp -拡大である. p = 2 の場合は Qn :=
S
Q(ζ2n+2 )+ (最大総実部分体) とする. Q∞ := n≥0 Qn は同様に Q 上の Z2 拡大となる. 有
限次拡大 k/Q に対して
k∞ := kQ∞
とすると, Galois の推進定理から k∞ /k は Galois 拡大で
Gal(k∞ /k) ' Zp
となることが分かる.
定義 1.1 (円分的 Zp -拡大). 上のように構成した Zp -拡大 k∞ /k を円分的 ( または円分 )Zp 拡大 (cyclotomic Zp -extension) という.
S
Q に 1 の p 冪乗根を全て添加した体 Q(ζp∞ ) := n=0 Q(ζpn+1 ) は円の p 分体 Q(ζp ) (p = 2
√
√
のときは 4 分体 Q( −1) または Q( −2)) 上の円分的 Zp -拡大である. 任意の代数体には
少なくとも一つは Zp -拡大, 円分的 Zp -拡大が存在していることが分かった. 一般には同じ
代数体上に複数の Zp -拡大が存在しうるが, ここではそれについては触れない.
kn の類数の p-part の挙動を記述した次の定理がここで目標とする岩澤類数公式である:
定理 (岩澤類数公式). An を kn の Sylow p 部分群とする. このとき, k∞ /k のみに依存する
非負整数 λ(k∞ /k), µ(k∞ /k), n0 と整数 ν(k∞ /k) が存在し, n ≥ n0 ならば,
#An = pλ(k∞ /k)n+µ(k∞ /k)p
n +ν(k
∞ /k)
が成り立つ.
定理の中に現れた λ(k∞ /k), µ(k∞ /k), ν(k∞ /k) を k∞ /k の岩澤不変量という.
もし Zp -拡大にあまり馴染んでいなければ, Zp -拡大は上にあげた二つの円分 Zp -拡大
Q∞ /Q, Q(ζp∞ )/Q(ζp ) を想定してもらえばと思う. また, 岩澤類数公式の証明中から直ち
に示すことができる後々有用 (となるかも知れない) な命題と, 岩澤不変量に関する二つの
予想の紹介をする. さらに序文で述べたように, 最後に Appendix を用意した.
2. 岩澤類数公式の証明–前半
2.1. Zp -拡大における分岐について. 岩澤類数公式の証明の当面の目標は An を岩澤加群
Xk∞ の商群として表現し, その核 Yn を具体的に記述することである.
k∞ /k を Zp -拡大, Γ = Gal(k∞ /k) ' Zp , そして kn を k∞ /k の n-th layer とする. まずは
Zp -拡大における分岐を考察してみよう.
命題 2.1. (1) k∞ /k では p の上にある素点以外不分岐.
(2) k∞ /k で分岐する素点は少なくとも一つはあり, ある e ≥ 0 が存在し, k∞ /ke で分岐素
点は完全分岐.
Proof. (1) I ⊆ Γ を k∞ のある素点の惰性群とすると, Appendix 定義 5.1 より I は Γ の閉
s
s
部分群である. Γ の閉部分群は 1 か Γp というもののみなので, I = Γp とする. 無限素点
s
の惰性群の位数は 1 か 2 であって, Γp は torsion free なので無限素点は不分岐であること
が分かる. L を k∞ の有限素点で, I が L の惰性群となるものとする. I の固定体は ks であ
り, 惰性群の定義から k∞ /ks で L は完全分岐している. ln = L ∩ kn (n ≥ s) と置く. L が p
の上になければ, kn /ks で ln は tamely ramified (Appendix 命題 5.4 とその下参照) なので
×
pn−s |#F×
ln = #Fls
となるが, n は任意でよかったのでこれは矛盾.
(2) 不分岐アーベル拡大は有限次拡大であるので, k∞ /k で必ず分岐する有限素点が存在す
る. (1) から k∞ の k∞ /k で分岐する素点の個数は有限個である. Ij ⊆ Γ(1 ≤ j ≤ s) を分岐
nj
素点の惰性群とする. Ij は閉部分群であったので, Ij = Γp (nj ≥ 0) と表すことができる.
e = max{nj } とすれば, Gal(k∞ /ke ) ⊆ Ij より k∞ /ke で分岐素点は完全分岐となる.
注意 2.1. 必ずしも Zp -拡大で p の上にある素点全てが分岐するわけではない. しかし円
分的 Zp -拡大においては p 上の素点が全て分岐していることに注意しよう.
ここで以降の計算を簡単にするために次の仮定を設ける:
仮定. k∞ /k で分岐する素点は完全分岐.
これは何の害もない仮定である. なぜなら命題 2.1.(2) から k∞ /ke が仮定を満たすよう
な e が存在することがわかっているからである. 以降の議論を少々変更することによって
同様の結果を得ることができる. 証明の所々に注意書きをするので目を通してもらいたい.
2.2. イデアル類群から Galois 群へ. 相対代数拡大においては, イデアル類群よりも Galois
群の方が数段に扱いやすいので, イデアル類群, 特に岩澤加群 Xk∞ を類体論によって Galois
群として表現する. まず岩澤加群の定義を思い出そう (伊藤氏の講演参照):
定義 2.1 (岩澤加群). ノルム写像による An の射影極限
Xk∞ := lim
←− An
を k∞ /k の岩澤加群という. Xk∞ は Zp [[Γ]] 加群である.
Γn := Gal(kn /k), Ln /kn を最大不分岐アーベル p 拡大, Xn := Gal(Ln /kn ) をその Galois
群とする. 類体論によって以下のことが知られている:
命題 2.2. (1) Ln /k は Galois 拡大.
(2) Artin 写像によって同型 An ' Xn , a 7→ (a, Ln /kn ) が成り立つ. ただし (∗, Ln /kn ) は
Artin 記号.
(3) m ≥ n ≥ 0 に対して, Nm,n : Am → An をイデアル類群のノルム写像, rm,n : Xm → Xn
を Galois 群の制限写像とする. このとき
(∗,Lm /km )
Am −−−−−−→
Nm,n y
Xm
rm,n
y
An −−−−−→ Xn
(∗,Ln /kn )
は可換, すなわち km のイデアル a に対して,
(a, Lm /km )|Ln = (Nm,n a, Ln /kn )
が成り立つ.
(4) Γn = Gal(kn /k) は Xn に作用する. 作用のさせ方は, σ ∈ Γn , x ∈ Xn に対して,
σ · x = σ̃xσ̃ −1 . ただし, σ̃ ∈ Gal(Ln /k) は σ の任意の延長.
(5) Artin 写像は Γn -準同型である. すなわち kn のイデアル a と σ ∈ Γn に対して
(σa, Ln /kn ) = σ · (a, Ln /kn )
が成り立つ.
Proof. (1) σ : Ln ,→ Q を k-同型とすると, σ(Ln )/σ(kn ) は不分岐拡大である. σ(kn ) = kn
より, σ(Ln ) ⊆ Ln となるが, [σ(Ln ) : kn ] = [Ln : kn ] なので σ(Ln ) = Ln , したがって Galois
拡大である.
(2) Cln を kn のイデアル類群, Hn を kn の最大不分岐アーベル拡大とする. 類体論の
∼
相互法則によって (∗, Hn /kn ) : Cln → Gal(Hn /kn ) となっている. Ln ⊆ Hn であって,
(∗, Hn /kn )|Ln = (∗, Ln /kn ) に注意すると, Gal(Hn /kn ) → Xn が全射なので An は Xn に全
射で写り, 位数が等しいので同型となる.
(3) a は素イデアル P, P は km /kn で不分岐と仮定してよい. p を P の下にある kn の素イデ
アルとし, f を P, p に関する相対次数とする. このとき Nm,n P = pf である. α を Ln の任意
の整数とする. Artin 記号の定義から (P, Lm /km )|Ln (α) ≡ αN P mod P (N P は P の絶対ノ
ルム, Lm /km はアーベル拡大なので法は P でよい) となっている. 合同式の両辺は Ln に含
まれているので, 法 P は p に変更しても良い. したがって (P, Lm /km )|Ln (α) ≡ αN P mod p
となる. 他方, (p, Ln /kn )(α) ≡ αN p mod p であり, N P = (N p)f なので, (P, Lm /km )|Ln =
(p, Ln /kn )f = (pf , Ln /kn ) = (Nm,n P, Ln /kn ) となる.
(4),(5) は単純な群論と Artin 記号の性質 [σP, Ln /kn ] = σ[P, Ln /kn ]σ −1 であるので省略す
る.
m ≥ n ≥ 0 に対して, Appendix 命題 5.9 より Ln km /km は不分岐拡大なので, Ln ⊆ Lm
が成り立つ. 仮定の km /k で分岐素点は完全分岐から Ln ∩ km = kn なので, 制限写像に
よって Gal(Ln km /km ) ' Gal(Ln /kn ) となる. したがって制限写像
∼
Xm = Gal(Lm /km ) −→ Gal(Ln km /km ) −→ Gal(Ln /kn ) = Xn
は全射である. また岩澤加群 Xk∞ と Galois 群の制限写像による射影極限 lim
←− Xn は Zp [[Γ]]
加群として同型である.
仮定より Ln ∩ k∞ = kn なので, Galois 群の制限写像により
Gal(Ln k∞ /k∞ ) ' Xn
S
となることに注意. L := n≥0 Ln とする. Ln /k は Galois 拡大であったから, L/k は Galois
S
S
拡大である. また, kn ⊆ Ln なので, k∞ ⊆ L, したがって L = Ln ⊆ Ln k∞ ⊆ L から
S
L = Ln k∞ である (L は k∞ 上の最大不分岐アーベル pro-p 拡大となることが示せる).
X = Gal(L/k∞ ) とする.
定理 2.1. X には Γ が作用し, さらに X は Zp [[Γ]] 加群であり, Xk∞ と X は Zp [[Γ]] 加群と
して同型である.
Proof. L =
S
Ln k∞ なので, X = lim
←− Gal(Ln k∞ /k∞ ) である. X への Γ の作用は,
σ · x := σ̃xσ̃ −1
(σ ∈ Γ, x ∈ X, σ̃ ∈ Gal(L/k) はσ の任意の延長) で与えられる. すなわち, σ · (xn )n =
(σ · xn )n である.
さて, Gal(Ln /kn ), Gal(k∞ /k) はアーベル拡大なので, Gal(k∞ /kn ) は Gal(Ln k∞ /k∞ ) に
自明に作用している. これから Gal(Ln k∞ /k∞ ) は Zp [Γn ] 加群であり, Zp [Γn ] 加群として
同型
Gal(Ln k∞ /k∞ ) ' Xn (σ 7→ σ|Ln )
が成り立つ. 命題 2.2 から Zp [[Γ]] 加群として X ' Xk∞ となる (Appendix 命題 5.10.(2) も
参照).
注意 2.2. 先に触れておいた “仮定” についてであるが, ここまでで仮定は Ln ∩ k∞ = kn
にのみ用いている. e を命題 2.1.(2) のような非負整数とすれば, 制限写像 X → Xn (n ≥ e)
は全射となる.
2.3. Yn = Ker(X → Xn ) の記述. 各 n に対して, 制限写像 X = Gal(L/k∞ ) → Xn =
Gal(Ln /kn ) が全射であることまで分かった. したがってその X と核 Yn := Ker(X → Xn )
が分かれば同型 Xn ' An から An が分かることになる. これから X の Λ-加群としての構
造と, Λ の作用を用いて Yn を具体的に記述する.
まずは記号を定義しておこう. G = Gal(L/k) とし, γ ∈ Γ を位相的生成元とする. もち
ろん γ は一意的には定まらないが, 今後一つ固定して話しを進める. また群の生成元での
表示 (例えば ha, bi みたいなもの) は全て位相的に生成しているものとする.
注意 2.3. 円分的 Zp -拡大の場合以下のように位相的生成元が得られる. k∞ /k を円分的
Zp -拡大とし, K = k(ζp ), K∞ = k∞ (ζp ) とする. また, Q(ζps ) = K ∩ Q(ζp∞ ) とする.
S
W = n≥0 hζpn+1 i とすれば, Gal(K∞ /K) ' 1+ps Zp ⊆ Aut(W ) = Z×
p なので, Gal(K∞ /K)
s
s
の位相的生成元 γ と 1 + p Zp の位相的生成元 ( 例えば 1 + p ) は一対一に対応する (γ ↔ α,
γ(ζ) = ζ α (ζ ∈ W )). 制限写像 Gal(K∞ /K) → Gal(k∞ /k) は同型なので, Gal(k∞ /k) の位
相的生成元は全て γ|k∞ として得られる.
Γ の位相的生成元 γ を一つ固定した際, Serre の同型 (伊藤氏の講演参照)
Zp [[Γ]] ' Zp [[T ]], (γ ↔ 1 + T )
が成り立ち, Zp [[Γ]] 加群は, Λ = Zp [[T ]] 加群と見なせる. 多項式 ωn , νn を
n
ωn := (1 + T )p − 1 (伊藤氏の講演では Pn )
n −1
νn := 1 + (1 + T ) + (1 + T )2 + · · · + (1 + T )p
= ωn /T
と定義する. また
n
n (pm−n −1)
νm,n := ωm /ωn = 1 + (1 + T )p + · · · + (1 + T )p
とする. νn = νn,0 , νm,n = νm,l νl,n (m ≥ l ≥ n) に注意.
(m ≥ n)
補題 2.1. ωn , νm,n は distinguished polynomial で, ωn ∈ (p, T )n+1 , νm,n ∈ (p, T )m−n .
n
n
n
m
n
Proof. ωn = (1 + T )p − 1 ≡ 1 + T p − 1 = T p mod p, 同様に νm,n = ωm /ωn ≡ T p /T p =
m−n
Tp
mod p から, distinguished polymonial であることが分かる. ν1 (0) = 1 + (1 + 0) +
· · · + (1 + 0)p−1 = p なので, ν1 ∈ (p, T ). νn ∈ (p, T )n とせよ. νn+1,n = νn+1 (0)/νn (0) = 1 +
n
n
(1 + 0)p + · · · + (1 + 0)p (p−1) = p から, νn+1 /νn ∈ (p, T ), 帰納法により νn+1 ∈ (νn )(p, T ) ⊆
(p, T )n+1 . ωn = T νn ∈ (p, T )n+1 , νm,n = νm,m−1 νm−1,m−2 · · · νn+2,n+1 νn+1,n ∈ (p, T )m−n で
O.K.
p1 , . . . , ps を k∞ /k で分岐する k の素点 (命題 2.1 より有限個), Pj , (1 ≤ j ≤ s) を pj の
上にある L の素点とし, Ij ⊆ G を Pj に関する惰性群とする. 仮定より k∞ /k における pj
の惰性群は Γ である. Appendix 命題 5.3 によって, 惰性群の間の制限写像
Ij −→ Γ, (σ 7→ σ|k∞ )
は全射である. 核は Ij ∩ X であるが, L/k∞ は不分岐拡大なので Ij ∩ X = 1, すなわち
Ij ' Γ ' Zp である. j は任意でよいので G は I1 と X の半直積,
G = XI1 , X ∩ I1 = 1
である. Ij の γ に対応する位相的生成元を γj ∈ G とする. G = XI1 より, 各々j について
γj = gj γ1 となる gj ∈ X が唯一つ存在する.
Gal(L/L0 ) を計算してみよう. L0 /k は最大不分岐アーベル p 拡大なので, Appendix 命
題 5.3 から
[G, G] ⊆ Gal(L/L0 )(⇐⇒ L0 /k : アーベル拡大),
gIj g −1 ⊆ Gal(L/L0 ) (1 ≤ ∀ j ≤ s, ∀ g ∈ G)(⇐⇒ L0 /k : 不分岐拡大)
だが, L0 の最大性から
Gal(L/L0 ) = h[G, G], gIj g −1 |1 ≤ j ≤ s, g ∈ Gi
である. 生成元は交換子群を法として考えてよいので, Ij = hgj γ1 i から
Gal(L/L0 ) = h[G, G], gIj g −1 |1 ≤ j ≤ s, g ∈ Gi
= h[G, G], Ij |1 ≤ j ≤ si
= h[G, G], I1 , hgj γ1 i|2 ≤ j ≤ si
= h[G, G], I1 , gj |2 ≤ j ≤ si
となっていることが分かる.
補題 2.2. (1) [G, G] = T X = (γ − 1)X.
(2) Y := hT X, gj |2 ≤ j ≤ si ⊆ X とする. このとき h[G, G], I1 , gj |2 ≤ j ≤ si = Y I1 .
Proof. (1) 交換子群の意味を考えてみよう. 交換子群に対応する L の部分体は k 上 L 内の
最大アーベル拡大である. k∞ /k はアーベル拡大なので, k∞ は交換子群の固定体に含まれ
る. k∞ ⊆ M ⊆ L, M/k が Galois 拡大であれば, Γ は Gal(M/k∞ ) に共役で作用する. そ
して
M/k : アーベル拡大 ⇐⇒ Gal(M/k∞ )x Γ : 自明に作用
⇐⇒ (γ − 1)X ⊆ Gal(L/M )
なので, 最大性から [G, G] = (γ − 1)X = T X となる. なお, 補題 2.2.(1) は普通に交換子群
を計算しても得ることができる (Washington の本 [12] では実際にその方法を採っている).
(2) まず gxg −1 = (gxg −1 x−1 )x なので, (1) より Y と h[G, G], I1 , gj |2 ≤ j ≤ si は交換子群を
含んでいることから正規部分群である. Y が正規部分群より Y I1 は部分群で, やはり交換子
群を含んでいるから Y I1 も正規部分群である. また, I1 , Y ⊆ G は compact なので, Y I1 も
compact, したがって Y I1 は閉正規部分群である. 以上から Y I1 /[G, G] = h[G, G], I1 , gj |2 ≤
j ≤ si/[G, G] を示せばよいが, 生成元を考えれば自明に等しいことが分かる.
T X ⊆ Y から Y は X の Λ-部分加群であることに注意しよう. 補題 2.2 から Gal(L/L0 ) =
Y I1 となっていることが分かる. 以上より
A0 ' X0
= Gal(L0 /k)
= G/Gal(L/L0 )
= XI1 /Y I1
' X/X ∩ (Y I1 )
= X/Y.
(Y ⊆ X, X ∩ I1 = 1 に注意) したがって Y = Ker(X → X0 ) となっていることが分かっ
n
た. これまでの議論を γ → γ p と置き換えてみる. これは kn 上で同じ議論を行うことで
ある. 交換子群は
n
n
[Gal(L/kn ), Gal(L/kn )] = (γ p − 1)X = ((1 + T )p − 1)X = νn T X
n
となり, γ1 → γ1p となるので,
n −1
n
(gj γ1 )p = gj γ1 gj γ1−1 γ12 gj γ1−2 · · · γ1p
n
= νn (gj )γ1p
−(pn −1) pn
γ1
gj γ1
から, gj 達は gj → νn (gj ) と置き換えればよい. したがって
Xn = Gal(Ln /kn )
= Gal(L/kn )/Gal(L/Ln )
n
n
= XI1p /hωn X, νn (gj )|2 ≤ j ≤ siI1p
n
' X/X ∩ (hνn T X, νn (gj )|2 ≤ j ≤ siI1p )
= X/νn Y
なので結局 Yn = Ker(X → Xn ) = νn Y が分かる. ここまでを命題としてまとめておこう:
命題 2.3. Y ⊆ X を T X と gj (2 ≤ j ≤ s) で生成された部分加群とする. このとき同型
An ' Xn ' X/νn Y
が成り立つ.
2
系 2.1. k/Q で p は不分解で, k∞ /k で分岐素点は完全分岐とする. このとき
An ' X/ωn X
n
が成り立つ. ただし, ωn = (1 + T )p − 1.
Proof. k/Q で p が不分解で, k∞ /k で完全分岐することから, s = 1 となるので gj (2 ≤ j ≤
s) は現れないことになる. したがって Y = T X, Yn = νn Y = νn T X = ωn X.
注意 2.4. さて “仮定” についてであるが, 一般の場合では以下のように変更する. k∞ /ke で
分岐素点が完全分岐ということで γ の Gal(L/k) への延長を γ1 とすると, I1 ∩ Gal(L/ke ) =
e
hxγ1p i となる x ∈ X が存在する.
Gal(L/ke ) = X(I1 ∩ Gal(L/ke ))
n
= Xhxγ1p i
e
から, hgj (xγ1p )i = Ij ∩ Gal(L/ke )(2 ≤ j ≤ s) となる gj ∈ X が存在する. これまでで
行ってきたことをそのまま再現すると, 交換子群 [Gal(L/ke ), Gal(L/ke )] は ωe X となり,
e
Gal(L/Le ) = hωe X, xγ1p , gj |2 ≤ j ≤ si となる. したがって Ye = hωe X, gj |2 ≤ j ≤ si とす
ると
Ae ' Xe
' Gal(L/ke )/Gal(L/Le )
e
e
= Xhxγ1p i/Ye hxγ1p i
e
' X/X ∩ (Ye hxγ1p i)
= X/Ye
となる. そして n ≥ e とすると交換子群は ωn X = νn,e ωe X で
e
(gj xγ1p )p
n−e
e
e
e
n−e −1
= gj (xγ1p gj (xγ1p )−1 ) · · · ((xγ1p )p
e
e
gj (xγ1p )−(p
n−e −1)
e
n−e
)(xγ1p )p
n−e
= νn,e (gj )(xγ1p )p
から gj → νn,e (gj ) と置き換えればよい (Γ の元の延長は任意でよかった ). ただし, νn,e =
e
e n−e
ωn /ωe = 1 + (1 + T )p + · · · + (1 + T )p (p −1) である. したがって Yn = νn,e Ye となる
ことが了解されたであろう. 以上より一般の場合の命題 2.3 は, “n ≥ e に対して, 同型
An ' Xn ' X/νn,e Ye が成り立つ”, と書き換えられる. なんとなく上の話が煩わしく感じ
られると思うので “仮定” を設けたのである.
さて前半最後の定理を示すことにしよう.
定理 2.2. X, Y は有限生成 torsion Λ-加群.
Proof. 命題 2.3 より, X/ν1 Y ' A1 は有限である. Y /ν1 Y ⊆ X/ν1 Y だから当然 Y /ν1 Y も
有限である. 補題 2.1 から ν1 ∈ (p, T ) であるので, 自然な全射準同型
Y /ν1 Y → Y /(p, T )Y
と #Y /ν1 Y < ∞ から, #Y /(p, T )Y < ∞ となる. したがって中山の補題から, Y は有限生
成 Λ-加群である.
Y は Λ 上有限生成なので, 有限生成 Λ-加群の構造定理 (伊藤氏の講演参照) から pseudoisomorphism
s
t
M
M
n
⊕r
mi
ϕ : Y −→ Λ ⊕
Λ/(p ) ⊕
Λ/(fj j )
i=1
j=1
が存在する (右辺の fj は既約な distinguished polynomial). 両辺を ν1 倍して割ると, Λ-準
同型
s
t
M
M
n
⊕r
mi
ϕ : Y /ν1 Y → (Λ/ν1 ) ⊕
Λ/(ν1 , p ) ⊕
Λ/(ν1 , fj j )
i=1
j=1
が得られ, 余核は有限である. Λ における割り算原理から, Zp -加群として Λ/(ν1 ) ' Zp⊕p−1
となり, もし r > 0 であれば, Y /ν1 Y と余核が有限であることに反する. したがって r = 0
であるので Y は torsion Λ-加群である. 自然な埋め込み Y → X は X/Y ' A0 より pseudoisomorphism なので X も有限生成 torsion Λ-加群となる.
注意 2.5. Y は有限生成 torsion Λ-加群となったので特性多項式 charΛ (Y ) が定義される.
任意の n ≥ 1 に対して, ϕ を νn 倍して割った Λ-準同型が考えられるが, Y /νn Y と余核
はやはり有限である. pm と νn はもちろん互いに素 (νn は distinguished polynomial) で,
n
ϕ の右辺にでてくる既約な distinguished polynomial の冪 fj j は全て νn と素になる. も
n
n
し νn と fj j が素でなければ, fj |νn となり, 自然な全射 Λ/(νn , fj j ) → Λ/(fj ) が定義でき
n
る. しかし Λ/(fj ) は位数無限なので Λ/(νn , fj j ) も位数無限となり矛盾である. したがっ
て νn と charΛ (Y ) は互いに素であることが分かる. “仮定” をはずした場合でも, 同様の
議論で n ≥ e に対して, νn,e と charΛ (Ye ) が互いに素であると結論できる. また上から
charΛ (X) = charΛ (Y ) である ( 伊藤氏の講演参照 ).
前半をここで終えよう.
3. 岩澤類数公式の証明–後半
前半でどのようなことをしていたか軽く復習しよう. 我々の目標は Zp -拡大 k∞ /k にお
いて kn のイデアル類群 An の位数の挙動を調べることであった. 類体論によれば, An は
kn 上最大不分岐アーベル拡大の Galois 群 Xn と Artin 写像を介して同型となっていた. こ
の同型から全て話を Galois 群の問題に移し変えて, An ' Xn ' X/νn Y を導き, Y が有限
生成 torsion Λ-加群であることを示したのであった.
後半は pseudo-isomorphism
ϕ : Y −→
s
M
mi
Λ/(p ) ⊕
i=1
t
M
n
Λ/(fj j )
j=1
から出発する. 以降右辺を E と略記して, 有限生成 elementary torsion Λ-加群と呼ぶ (か
もしれない).
3.1. elementary torsion Λ-加群 E の類数公式. #An = #X/νn Y = #X/Y · #Y /νn Y
なので, #Y /νn Y が分かれば目標の岩澤類数公式が得られる. さて, pseudo-isomorphism
ϕ : Y → E の両辺を見比べてみよう. どうも E/νn E の計算はしやすそうだ. そこで E/νn E
の類数公式 (と呼ぶのかな?) を証明する.
Pt
Ps
定理 3.1. λ = j=1 nj deg fj , µ = i=1 mi とする. このとき非負整数 n0 と整数 ν が存
n
在して, n ≥ n0 であれば, #E/νn E = pλn+µp +ν が成り立つ.
Ls
Lt
nj
mi
m
Proof. E/νn E =
i=1 Λ/(νn , p ) ⊕
j=1 Λ/(νn , fj ) であるので, E = Λ/(p ) または
Λ/(f ) (f は distinguished polynomial) の場合に示せば十分である.
·Λ/(pm ) の場合.
この場合は割り算原理により簡単である.
Λ/(νn , pm ) ' Zp [T ]/(νn , pm )
' Z/pm Z[T ]/(νn )
' (Z/pm Z)⊕ deg νn
(最初の同型は νn が distinguished polynomial なので, 割り算原理を使った). したがって
n −1)
#Λ/(νn , pm ) = pm(p
n −m
= pmp
となる.
·Λ/(f ) の場合.
deg f = d, (p − 1)pn > d とする. f , νn+1,n は命題 2.1 から distinguished polynomial なので
f = T d + pa,
n
νn+1,n = T (p−1)p + pb
となる多項式 a, b ∈ Zp [T ] が取れる. そこで
n (p−1)
νn+1,n = T p
=T
+ pb
pn (p−1)−d
n (p−1)−d
= Tp
n (p−1)−d
(T d + pa) + pb − pT p
n (p−1)−d
f + p(b − T p
a
a)
n (p−1)−d
と変形してみる. νn+1,n (0) = p, pn (p−1) > d から b(0) = 1 となるので b−T p
であることが分かる (伊藤氏の講演参照). 以上より
a ∈ Λ×
(νn+1 , f ) = (νn+1,n νn , f )
n (p−1)−d
= ((T p
= (p(b − T
n (p−1)−d
f + p(b − T p
pn (p−1)−d
a))νn , f )
a)νn , f )
= (pνn , f )
となる. pn0 (p − 1) > d となる n0 ≥ 0 を固定し, pc = #Λ/(νn0 , f ) とする. 上の計算から
n ≥ n0 に対して
#Λ/(νn , f ) = #Λ/(νn0 , f )#(νn0 , f )/(νn , f )
= pc · #(νn0 , f )/(pn−n0 νn0 , f )
となる. νn0 倍写像
Λ/(f ) −→ (νn0 , f )/(f ) (h 7→ νn0 h)
は Λ が一意分解環であり, νn0 と f が互いに素であることから同型である. 特に
Λ/(pn−n0 , f ) ' (νn0 , f )/(pn−n0 νn0 , f )
となっている. ここまでまとめると
#Λ/(νn , f ) = pc · #(νn0 , f )/(pn−n0 νn0 , f )
= pc · #Λ/(pn−n0 , f )
= pc · #Z/pn−n0 Z[T ]/(f )
= pc · p(n−n0 ) deg f
= pn deg f +(c−n0 deg f )
となる.
Lt
Ls
nj
mi
最後に E =
j=1 Λ/(νn , fj ) の場合で考えると, 整数 n0 ≥ 0 を
i=1 Λ/(νn , p ) ⊕
(p − 1)pn0 > max{nj deg fj |1 ≤ j ≤ t} なるように取れば, n ≥ n0 ならば #E/νn E =
n
pλn+µp +ν が得られる (ν は −m や (c − n0 deg f ) の寄せ集めである).
3.2. 岩澤類数公式の証明完成へ. 前節では elementary torsion Λ-加群 E の類数公式を証
明した. あとは pseudo-isomorphism ϕ : Y → E のずれをちゃんと見てやれば岩澤類数公
式の証明が完成する. このずれを見るために加群の一般論から Snake Lemma (Appendix
命題 5.11) を援用する.
A := Kerϕ, B := Cokerϕ とし, Y 0 := Y /A とする. pseudo-isomorphism の定義から, A,
B は有限 Λ-加群である. また Λ-加群 M と f ∈ (p, T ) に対して M [f ] := {x ∈ M |f x = 0}
とする. pseudo-isomorphism ϕ は完全系列
0 −→ Y 0 −→ E −→ B −→ 0
を誘導する. A1 = B1 = Y 0 , A2 = B2 = E, A3 = B3 = B とし, f1 , f2 , f3 を νn 倍写像とし
て Snake Lemma を適用すると完全系列
E[νn ] −→ B[νn ] −→ Y 0 /νn Y 0 −→ E/νn E −→ B/νn B −→ 0
が得られる. 注意 3.5 より, νn と charΛ (Y ) は互いに素であったから, νn : E → E(h 7→ νn h)
は単射である. ゆえに E[νn ] = 0 である. また B は有限で, 完全系列
ν
n
0 −→ B[νn ] −→ B −→
B −→ B/νn B −→ 0
から, #B[νn ] = #B/νn B である. 完全系列
0 −→ B[νn ] −→ Y 0 /νn Y 0 −→ E/νn E −→ B/νn B −→ 0
と, #B[νn ] = #B/νn B から #Y 0 /νn Y 0 = #E/νn E となる. 完全系列
0 −→ A −→ Y −→ Y 0 −→ 0
に同じように νn 倍写像に関して Snake Lemma を適用すると, Y 0 は E に単射で埋め込ま
れていたから Y 0 [νn ] = 0 であるので, 完全系列
0 −→ A/νn A −→ Y /νn Y −→ Y 0 /νn Y 0 −→ 0
が得られる. 補題 2.1 から νn ∈ (p, T )n であった. A は有限加群なので, ある m ≥ 0 が存在
し, n ≥ m であれば (p, T )n A = 0 となる (伊藤氏の講演参照). したがって
#Y /νn Y = #A · #Y 0 /νn Y 0 ,
(n ≥ m)
となる. 以上全てあわせると整数 n0 を n0 > m, (p − 1)pn0 > max{nj deg fj |1 ≤ j ≤ t} を
満たすように取り, n ≥ n0 であれば
#An = #Xn
= #X/νn Y
= #X/Y · #Y /νn Y
= #A0 · #A · #Y 0 /νn Y 0
= #A0 · #A · #E/νn E
= #A0 · #A · pλn+µp
= pλ(k∞ /k)n+µ(k∞ /k)p
n +ν
n +ν(k
が成り立つ.
∞ /k)
2
注意 3.1. (1) 上の計算から
λ(k∞ /k) =
t
X
nj deg fj ,
j=1
µ(k∞ /k) =
s
X
mi
i=1
と, Λ-加群 X の λ, µ 不変量と一致していることが了解されたと思う. また ν(k∞ /k) の方
は #E/νn E の計算に出てきた ν や #X/Y , #A の寄せ集めである. 定理の主張の中にあっ
た “ある番号 n0 ” は, νn0 ,e A = 0 となる n0 と, nj deg fj の中で最大の物を取ればよい. し
たがって A = 0 であるような Zp -拡大 k∞ /k においては, 何らかの方法で λ(k∞ /k) が計算
できている場合, n0 > e, (p − 1)pn0 > λ(k∞ /k) とすれば, n ≥ n0 に対して, #An は公式
通りとなっている.
(2) さて, 岩澤不変量 λ(k∞ /k), µ(k∞ /k), ν(k∞ /k), n0 は計算することができるのであろ
うか ? このことは福田氏の解説を参照していただくとして詳しくは述べないが, 一般には
計算方法は知られていないようである. そこでという訳でもないが, 最近尾崎氏に教えて
いただいた面白い例を紹介しよう. 任意の素数 p, 任意の非負整数 `, m, n0 に対して,
(
n
p`n+mp +c
0 ≤ n ≤ n0 ,
#An =
`n0 +mpn0 +c
p
n ≥ n0
となる Zp -拡大 k∞ /k が存在する. n = 0 から計算してみると #An はあたかも公式通りとな
っている. ところがどっこい, n0 から先の位数はずっと一致してしまっているのだ. したがっ
てこの Zp -拡大 k∞ /k の岩澤不変量は, λ(k∞ /k) = µ(k∞ /k) = 0, ν(k∞ /k) = `n0 +mpn0 +c
である (`, m は擬岩澤不変量と呼ばれている, とかいないとか・
・
・). この例で #An を順番
に見ていっても, 岩澤不変量や n0 を決定することができないことがわかる. 特殊な Zp -拡
大に対しては λ(k∞ /k) を計算する方法が知られている ( 福田氏の講演参照 ). 次に n = 0
から #An が公式どおりに振舞う例を挙げよう, と思ったのですが, 説明がめんどくさくな
るのでやめときます. p が奇素数のとき, p が不分解な虚二次体 k 上の円分的 Zp -拡大など
でそのような例がある, とひとこと言っておきます.
4. 岩澤加群の簡単な性質と岩澤不変量に関する予想について
4.1. 証明中からの系たち. 証明中に出てきたものを使って簡単に示せる命題をいくつか紹
介する. まずは実際証明中にも書いた命題であるが, 内容をほんのちょっと増やして再記
する.
命題 4.1. k/Q で p は不分解で, k∞ /k で分岐素点は完全分岐とする. このとき
An ' X/ωn X
で, X = 0 であるための必要十分条件は A0 = 0 である.
Proof. 前半の同型は系 2.1 から. X は有限生成 Λ-加群なので X = 0 ⇔ X/(p, T )X = 0 で
あり, 同様に A0 = X/T X は有限アーベル p 群なので, X/(p, T )X = 0 ⇔ X/T X = A0 =
0.
命題 4.2. (1) p-rankAn = dimZ/pZ An /pAn ( 加群と見て additive に書きます ) とする. こ
のとき以下は同値.
(i) p-rankAn は n に関して有界.
(ii) 岩澤加群 X は Zp 上有限生成.
(iii) µ(k∞ /k) = 0.
(2) rankZp X = dimQp X ⊗Zp Qp とするとき, rankZp X = λ(k∞ /k).
Proof. (1) まず compact Zp -加群 M が Zp 上有限生成 ⇔ dimZ/pZ M/pM < ∞ ⇔ #M/pM <
∞ に注意 (Appendix 命題 5.10 参照).
(i) ⇔ (ii):X = lim
←− An なので, X/pX = lim
←− An /pAn である. p-rankAn が有界であれば, あ
る n0 ≥ 0 が存在して, n ≥ n0 ならば
∼
Nn+1,n : An+1 /pAn+1 −→ An /pAn
⊕r
となる. したがって r := p-rankAn (n ≥ n0 ) とすると, X/pX = lim
←− An /pAn ' (Z/pZ)
となり, X は Zp 上有限生成となる. 逆は全射 X/pX → lim
←− An /pAn → An /pAn (n ≥ e) か
ら.
(ii) ⇔ (iii): ϕ : X → E を pseudo-isomorphism とする. さらに A := Kerϕ, B := Cokerϕ,
X 0 := X/A とする. 完全系列 0 → A → X → X 0 → 0, 0 → X 0 → E → B → 0 と Snake
Lemma から
A/pA −→ X/pX −→ X 0 /pX 0 −→ 0
と
B[p] −→ X 0 /pX 0 −→ E/pE −→ B/pB −→ 0
は完全系列で,
X : Zp 上有限生成 ⇐⇒ #X/pX < ∞
⇐⇒ #X 0 /pX 0 < ∞
⇐⇒ #E/pE < ∞
となる. そして
E/pE =
s
M
Λ/(p) ⊕
i=1
t
M
Λ/(p, T nj deg fj )
j=1
であり,
Λ/(p) ' Z/pZ[[T ]],
Λ/(p, T nj deg fj ) ' Z/pZ[T ]/(T nj deg fj )
なので, #E/pE < ∞ ⇔ µ(k∞ /k) = 0 となる.
(2) 完全系列 0 → A → X → E → B → 0 の各項に ⊗Zp Qp をすると, A, B は有限であっ
たので pseudo-isomorphism は同型
∼
ϕ : X ⊗Zp Qp −→ E ⊗Zp Qp
を誘導する. 右辺を計算すると
à s
!
t
M
M
n
E ⊗Zp Qp =
Λ/(pm
Λ/(fj j ) ⊗Zp Qp
i )⊕
i=1
'
s
M
j=1
(Λ/(pm
i )
⊗Zp Qp ) ⊕
i=1
'
t
M
t
M
n
(Λ/(fj j ) ⊗Zp Qp )
j=1
n
Qp [T ]/(fj j )
j=1
となっているから
rankZp X = dimQp X ⊗Zp Qp
= dimQp E ⊗Zp Qp
= dimQp
t
M
j=1
=
t
X
nj deg fj
j=1
= λ(k∞ /k)
で O.K.
n
Qp [T ]/(fj j )
命題 4.2 から µ(k∞ /k) = 0 と X が Zp 上有限生成であることが同値となることが分かっ
た. 有限生成であることを用いて次の定理が示されている. これは An の位数だけでなく
アーベル群としての構造の挙動も記述できるというものである:
定理 4.1 (Grandet–Jaulent [2]). k∞ /k を µ(k∞ /k) = 0 であるような Zp -拡大, λ = λ(k∞ /k)
とする. このときある n0 が存在して, m ≥ n ≥ n0 ならば可換図式
∼
Am −−−→ Z/pa1 +m Z ⊕ · · · ⊕ Z/paλ +m Z ⊕ C
Nm,n y
ynatural
∼
An −−−→ Z/pa1 +n Z ⊕ · · · ⊕ Z/paλ +n Z ⊕ C
が存在する. ただし整数 ai (1 ≤ i ≤ λ) は n と独立で, C = TorZp X.
Proof. k∞ /ke で分岐素点は完全分岐とし, Y = Ye = Ker(X → Xe ) とする. n ≥ e に対し
て, Yn = Ker(X → Xn ) とすれば, 命題 2.3 および注意 2.4 から Yn = νn,e Y である. またさ
らに命題 2.3 から n ≥ e に対して可換図式
∼
∼
∼
∼
An+1 −−−→ Xn+1 −−−→ X/νn+1,e Y
rn+1,n y
Nn+1,n y
ynatural
An −−−→ Xn −−−→ X/νn,e Y
が成り立つ. 一番右の加群の挙動を調べてゆこう.
命題 4.2 より, Zp -free な元 xi ∈ X(1 ≤ i ≤ λ) が存在し
X = Zp x1 ⊕ · · · ⊕ Zp xλ ⊕ C
と表すことができる. さらに Yn が Krull 位相において単位元の基本近傍系であることか
ら十分大きな全ての n に対して Yn ⊆ Zp x1 ⊕ · · · ⊕ Zp xλ となることが分かる. なぜなら
pc := #C とすると, pc X = pc Zp x1 ⊕ · · · ⊕ pc Zp xλ で, Yn が基本近傍系をなすことから,
pc X は開部分群なので Yn ⊆ pc X ⊆ Zp x1 ⊕ · · · ⊕ Zp xλ となる. したがって C は X/Yn の
直和因子となることが分かる.
さて, f ∈ Λ を f X = 0 となる distinguished polynomial, n0 ≥ e を Yn0 ⊆ pc X, pn0 (p −
1) > deg f となる整数とし, pai +n0 = ord(xi mod Yn0 ) とする. このようにしておけば
X/Yn0 ' Z/pa1 +n0 Z ⊕ · · · ⊕ Z/paλ +n0 Z ⊕ C
となっている. あと何を示せばよいかというと, n ≥ n0 ならば Yn+1 = pYn が成り立
つことである. しかしこれは Λ/(νn , f ) の位数を計算したようにすれば, n0 の取り方と
νn+1,n0 = νn+1,n νn,n0 から従う.
4.2. 岩澤不変量に関する予想. この節では, 岩澤不変量に関する二つの予想を紹介する.
まずは岩澤先生自身による予想で
予想 4.1 (岩澤 µ 予想). k∞ /k が円分的 Zp -拡大であれば µ(k∞ /k) = 0 であろう.
というものである. 岩澤先生による論説で「µ(k∞ /k) = 0 であれば X の dual が Jp (Jacobi
多様体) の非常によい類似を与える場合で, そういう意味で興味がある」といったような
ことが書かれている. この予想に関してどのような結果があるかというと有名な Ferrero
と Washington による (田谷氏の講演参照)
定理 4.2 (Ferrero–Washington [1]). k∞ /k がアーベル体 k 上の円分的 Zp -拡大であれば,
µ(k∞ /k) = 0.
がある. また
定理 4.3 (岩澤 [7]). K/k を有限次代数体の p 拡大, K∞ /K, k∞ /k を円分的 Zp -拡大とす
る ( ただし p = 2 のときは k は総虚と仮定 ). このとき µ(K∞ /K) = 0 ⇔ µ(k∞ /k) = 0.
が証明されているから, アーベル体上の p 拡大でも µ 不変量は 0 となることが分かる. また
この予想は k∞ 上のある非可換な拡大の Galois 群の構造と関係している (cf. [8], [9], [13]).
円分的でない Zp -拡大における µ 不変量はどうかというと
定理 4.4 (岩澤, 尾崎). いくらでも大きな µ 不変量を持つ有限次代数体の円分的でない Zp 拡大が存在する ( 岩澤 [7]). 特に p が奇素数であれば与えられた µ 不変量を持つ Zp -拡大
が存在する ( 尾崎 [10]).
が知られている. これらの例では k∞ /k において完全分解する素点が存在することを用い
て計算している. 円分的 Zp -拡大は完全分解する素点が存在しないことが Q∞ /Q に帰着
することにより簡単に示すことができる. しかし, 算術級数定理により任意の n ≥ 0 に対
して kn /k で完全分解する素点は無数に存在する. この辺りに何か微妙なものがあるので
しょうか?
二つ目の予想を紹介しよう.
予想 4.2 (Greenberg 予想). k∞ /k が総実代数体 k 上の円分的 Zp -拡大であれば, λ(k∞ /k) =
µ(k∞ /k) = 0 であろう.
この予想に関しても岩澤先生が [6] の中で, 「We have so far no example of a cyclotomic
Z` -extension K/k where k and K are J-fields and where
dim V + = λ0 (K+ /k+ ) > 0.
It would be an important problem to find out when dim V + > 0.」と問題を示唆されてい
る. Greenberg が [3] において初めてこの問題を取り上げて, λ, µ 不変量が 0 となるための
必要十分条件をいくつか示した. Greenberg 予想は次のような言い換えがある.
命題 4.3. k∞ /k を Zp -拡大, A∞ := lim
−→ An ( 帰納的極限はイデアルの持ち上げに関して取
る ) とする. このとき以下は同値:
(1) λ(k∞ /k) = µ(k∞ /k) = 0.
(2) #X < ∞.
(3) A∞ = 0.
実は (3) は pseudo-isomorphism ϕ : X → E の核 Kerϕ の特徴づけになっている. X の
有限部分加群の An への像は k∞ /k で単項化するイデアル類となるのだ.
任意の素数 p に対して有理数体上の円分的 Zp -拡大 Q∞ /Q においては λ, µ, ν は全て 0
である. なぜなら Q∞ /Q で分岐素点 (p のみです) は完全分岐で, Q の類数は 1 なので命題
5.1 から An ' X/ωn X = 0 となる. これと同じ条件 (k の類数は p で割れない, k/Q で p は
不分解, k∞ /k で分岐素点は完全分岐) を満たす Zp -拡大の岩澤不変量は全て 0 となる.
Greenberg 予想は日本人数学者によって数多くの実例が挙げられている. しかし, 任意
の素数で Greenberg 予想が成り立つ総実代数体は Q 以外には知られていない. 実二次体を
例にとっても, k/Q で分解するような素数 p に対しては, Greenberg 予想は恐ろしく難し
いものとなるのである. しかも分解する素数は無数にある. 虚二次体で考えてみると実は
命題 4.4. k を虚二次体とする. p を k/Q で分解する奇素数, k∞ /k を円分的 Zp -拡大とす
ると λ(k∞ /k) ≥ 1.
となることが類体論を用いることによって簡単に示せる. ここでは詳しく述べることが
できないが, 総実体 k の類体論では単数群の rank が大きいことから上の虚二次体のよう
に λ(k∞ /k) が 0 かどうかを正確に捉えることができないのである. このあたりがぱっと
見て分かる難しさの原因であろうか. 実例以外に Greenberg 予想の根拠は無いようであ
る. Greenberg 予想が正しければ, 岩澤主予想がコロっと証明されてしまうというぐらい
に, この予想の持つ数論的情報は計り知れない. 今では岩澤主予想は証明されているが未
だに Greenberg 予想は示されそうな雰囲気すらないようである. また最近の非アーベル拡
大の研究において, 総実体のイデアル類群や岩澤加群などの構造が CM 体の非アーベル拡
大へ与える影響が非常に強いことが分かってきている. 実際, Vandiver 予想と Q(ζp∞ ) 上
最大不分岐 pro-p 拡大の Galois 群が free になることが同値なのである. この視点から見た
際に, 総実体の岩澤加群が有限になることと, CM 体の不分岐 pro-p 拡大の Galois 群がど
のような構造をもつことが対応しているのであろうか?
5. Appendix
5.1. Hilbert 理論. ここではまず有限次 Hilbert 理論の復習を行う. Hilbert 理論といって
も我々の場合は分岐か不分岐が問題であるので, ここでは分岐群に関する詳しい追跡は行
わない. Hilbert 理論はいろいろな述べ方があると思うが, ここではイデアルを用いたもの
の解説を行う. 復習なので証明は一切行わず事実だけをつらつらと書いていく. 証明は藤
崎先生の「代数的整数論入門」の下巻に詳しく書かれているのでそちらを参照されたい.
K/Q を有限次拡大とし, L/K を有限次 Galois 拡大とする. p を K の素イデアルと
すると, p は極大イデアルなのであった. 以後, 代数体 K に対して剰余体 OK /p を Fp
と書くことにする. ただし OK は K の整数環. p の上にある L の素イデアルの集合を
S = Sp (L/K) = {P|p ⊆ P} と書く. G = Gal(L/K), σ ∈ G, P ∈ S とせよ. S の定義か
ら, p ⊆ P なので, 両辺に σ を作用させると p = σ(p) ⊆ σ(P) となるから G は S に作用し
ている.
命題 5.1. G の S への作用は推移的.
2
Q
L での p の素イデアル分解を考えてみよう. pOL = gi=1 Pei i を L での p の素イデアル分
解, P = P1 とする. 1 ≤ i ≤ g に対して p ⊆ Pi が成り立っているので, 命題 5.1 よりある g
Qg
個の σi ∈ G があって Pi = σi−1 (P) となっている. pOL = i=1 σi−1 (P)ei の両辺に σi を作
Q
用させると pOL = Pei j6=i σi σj−1 (Pj )ej となり, 素イデアル分解の一意性から e1 = ei (1 ≤
∼
∀
i ≤ g) が得られる. 自然な埋め込み Fp = OK /p −→ (OK + Pi )/Pi ⊆ OL /Pi = FPi に
よって Fp は FPi の部分体と見なすのであった. また, σ ∈ G は同型
(1)
σ
FP = OL /P ' OL /σ(P) = Fσ(P) (α mod P 7→ σ(α) mod σ(P))
を引き起こすので, 相対次数 f = fi = [FPi : Fp ](1 ≤ i ≤ g) は全て等しいことが分かる.
Qg
Pg
以上より pOL = i=1 Pei , f = [FPi : Fp ] から等式 [L : K] = i=1 ei fi = ef g が成り立つ.
P ∈ S に対して, D := {σ ∈ G|σ(P) = P} ⊆ G とする. D は G の部分群で P の L/K
における分解群という. 違う言葉でいえば P の安定部分群である. 命題 5.1 から G は S
に推移的に作用しているので, 全単射 G/D ' S(σD ↔ σ(P)) があり, [G : D] = #S = g
なので上の等式から #D = ef が成り立つ. σ ∈ D ならば同型 (1) は FP の Fp -自己同型と
なっているので準同型写像
(2)
D −→ Gal(FP /Fp ) (σ 7→ σ = σ mod P)
が定義される.
命題 5.2. 準同型写像 (2) は全射.
2
準同型写像 (2) の核 I := {σ ∈ G|σ(α) ≡ α mod P, ∀ α ∈ OL } を P の L/K における
惰性群という. #D = ef, f = #Gal(FP /Fp ) から #I = e が分かる. したがって特に
P : L/K で不分岐 ⇔ I = 1 が得られる.
命題 5.3. (1) σ ∈ G に対して, L/K における σ(P) に関する分解群, 惰性群はそれぞれ
σDσ −1 , σIσ −1 に一致する.
(2) 中間体 K ⊆ M ⊆ L に対して, pM = P ∩ M とする. このとき pM が M/K で不
分岐かつ相対次数が 1 ⇔ M ⊆ LD ⇔ Gal(L/M ) ⊇ D, pM が M/K で不分岐 ⇔ M ⊆
LI ⇔ Gal(L/M ) ⊇ I. また L/M での P に関する分解群, 惰性群はそれぞれ Gal(L/M ) ∩
D, Gal(L/M ) ∩ I なので, L/M で P が完全分解 ⇔ Gal(L/M ) ∩ D = 1, L/M で P が不
分岐 ⇔ Gal(L/M ) ∩ I = 1. また, M/K における pM の分岐指数は [I : I ∩ Gal(L/M )] で
与えられる.
(3) さらに M/K が Galois 拡大のとき, M/K における pM に関する分解群, 惰性群をそれ
ぞれ D0 , I 0 とすると, Galois 群の制限写像によって準同型 D → D0 , I → I 0 が定義され,
これは全射準同型である.
2
上の LD , LI をそれぞれ L/K における P の分解体, 惰性体という. 次に穏やかな分岐
を定義しよう. 自然数 n ≥ 0 に対して, Vn := {σ ∈ I|σ(α) ≡ α mod Pn+1 , ∀ α ∈ OL } を n
次分岐群という. I は丁度 0 次分岐群である. 素イデアル P を一つ選んでおくと, これま
で出てきた G の部分群の列
(3)
D ⊇ I = V0 ⊇ V1 ⊇ · · · ⊇ Vn ⊇ · · ·
が得られる.
命題 5.4. (1) ある n ≥ 0 が存在し, Vn = Vn+1 = · · · = 1.
(2) I/V1 は乗法群 F×
P の部分群と同型で, n ≥ 1 に対して Vn /Vn+1 は加法群 FP の部分群と同
型. 特に p を P の下にある素数とすると, V1 は I の p-Sylow 部分群. D/I ' Gal(FP /Fp ) '
Z/f Z とあわせると, D は可解群である.
2
[L : K] と P が互いに素であれば, V1 = V2 = · · · = 1 となる. 1 次以上の分岐群が全て自
明なとき L/K で P は分岐が穏やか (tamely ramified) であるといい, そうでないとき分岐
が激しい (wildly ramified) という. これで復習を終えよう.
次に無限次拡大における分岐についての議論を行う. 有限次の場合の命題たちが無限次
拡大においても成り立つことが当然要請され, 実際に成立する. 無限次拡大における分岐
といっても, 無限次 Galois 理論のように結局は有限次拡大に帰着させて命題を示していく
ことになる. つまり Galois 群の位相群としての構造, Krull 位相によって compact である
ことが本質的である. こういった理由で無限次 Galois 理論さえ知っていれば難なく受け入
れられる話だと思われる. さらにこの節では前節で述べなかった無限素点における分岐に
ついても解説する. ここでの解説は Washington [Wa] の Appendix §2 を一歩も出ていない
のでさらに詳しく勉強したい方は岩澤 [Iw1] またはやはり Washington [Wa] の Appendix
§2 を参考にしてみられては如何であろう.
有理数体 Q の代数閉包 Q を一つ固定する. K を必ずしも Q 上有限次とは限らない代数
体 (K ⊆ Q) とし, 以降 GK = Gal(Q/K) と書くことにする. K の素イデアル p を一つ固定
する.
命題 5.5. p は極大イデアル.
Proof. α ∈ OK を p に含まれない K の整数とする. このときある整数 β ∈ OQ(α) が存在し,
αβ ≡ 1 mod p ∩ Q(α) となるので, p は極大イデアル.
有限次の場合と同じように, S = {P : Qの素イデアル |p ⊆ P} と定義すると GK =
Gal(Q/K) は S に作用する.
命題 5.6. GK の S への作用は推移的.
Proof. Q は加算集合なので次のような体の列が取れる:
[
(4)
K = F0 ⊆ F1 ⊆ · · · ⊆ Fn ⊆ · · · ⊆
Fn = Q, Fn /K : 有限次 Galois 拡大
n≥0
各 n ≥ 0 に対して, Sn := {pn : Fn の素イデアル |p ⊆ pn } と定義する. p0n , p1n ∈ Sn を, 任
意の σ ∈ Gal(Fn /K) に対して p0n 6= σ(p1n ) となるものとする. 中国式剰余定理から
α ≡ 0 mod p1n , α ≡ 1 mod σ(p1n )(σ ∈ Gal(Fn /K), σ(p1n ) 6= p1n )
となる Fn の整数 α ∈ OFn が存在し, NFn /K α ∈ p0n ∩ K = p ⊆ σ(p1n ) となり矛盾. したがっ
て Gal(Fn /K) は Sn に推移的に作用している.
次に P, P0 ∈ S に対して, pn = P ∩ Fn , p0n = P0 ∩ Fn とする. Sn には Gal(Fn /K) が推
移的に作用しているので, 各 n ≥ 0 に対して τn (pn ) = p0n となる τn ∈ GK が存在し, GK は
0
0
compact なので, {τn }∞
n=0 の集積点 τ ∈ GK が存在する. P = ∪n≥0 pn , P = ∪n≥0 pn に注意
すると,
τ (P) = τ (∪n≥0 pn )
= ∪n≥0 τ (pn )
= ∪n≥0 p0n
= P0
より作用は推移的である.
さて有限次の場合と同様に分解群を D := {σ ∈ GK |σ(P) = P} と定義する. D は GK の
閉部分群である. なぜなら, Dn0 = {τ ∈ GK |τ (pn ) = pn } とすると Gal(Q/Fn ) ⊆ Dn0 なので
Dn0 は GK の開部分群で, P = ∪n≥0 pn より D = ∩n≥0 Dn0 , したがって D は閉部分群である.
FP /Fp は Galois 拡大で, D の元は FP の Fp -自己同型を誘導する. 当然命題 5.2 の主張が
成り立つことが期待され, それは以下のように示すことができる.
命題 5.7. D → Gal(FP /Fp ) は全射.
Proof. また体の列 (4) を用いる. 最初に Dn を Fn /K における pn に関する分解群として,
Dn → Gal(Fpn /Fp )
が全射であることを示そう. まず Fpn /Fp は有限次拡大である. なぜなら α mod pn ∈ Fpn
に対して, f (X) ∈ OK [X] を α の K 上の最小多項式とする. f (X) ∈ Fp [X] を α mod pn
の Fp 上の最小多項式とする. f (α) ≡ 0 mod pn なので, f (X)|f (X) mod p, したがって
deg f (X) ≤ deg f (X) ≤ [Fn : K] となる. これから任意の a ∈ Fpn に対して, [Fp (a) : Fp ] ≤
[Fn : K] である. a ∈ Fpn を [Fp (a) : Fp ] が最大になる元とする. Fpn /Fp は分離拡大なので,
任意の b ∈ Fpn に対してある c ∈ Fpn が存在し, Fp (a, b) = Fp (c) となるので,
[Fp (a) : Fp ] ≤ [Fp (a, b) : Fp ]
= [Fp (c) : Fp ]
≤ [Fp (a) : Fp ]
から, b ∈ Fp (a) となる. したがって Fpn = Fp (a) なので, Fpn /Fp は有限次拡大である.
Fpn = Fp (a) とし, a = α mod pn とする. R = {ρ} を Gal(Fn /K)/Dn の単位類以外の完
全代表系とし, 中国式剰余定理により β ∈ OFn を,
β ≡ α mod pn ,
β ≡ 0 mod ρ(pn )
となるように取る. f (X) =
し, f (X) ∈ OK [X] を
Q
τ ∈Gal( pn / p ) (X
F
F
− τ (a)) ∈ Fp [X] を a の Fp 上の最小多項式と
Y
f (X) =
(X − σ(β))
σ∈Gal(Fn /K)
とする. f (α) ≡ f (β) = 0 mod pn なので, f (X)|f (X) mod p となることが分かる. ここで,
ρ1 ∈ R, η ∈ Dn を固定した際, ρ1 ηρ2 ∈ Dn となる ρ2 ∈ R が存在する. したがって β のと
り方から
f (X) =
Y
(X − η(β))
η∈Dn
≡ X [Fn :K]−#Dn
Y
(X − ρη(β))
ρ∈R
Y
(X − η(β)) mod pn
η∈Dn
となり, f (X)|
Q
η∈Dn (X
− η(β)) mod pn =
Q
η∈Dn (X
− η(a)) なので全射である.
さて, 有限次拡大で示されれば後は簡単である. FP = ∪n≥0 Fpn であることに注意すると,
Gal(FP /Fp ) ' lim
←− Gal(Fpn /Fp )
となっている. 制限写像 D → Dn が全射であることを示そう. τ ∈ GK に対して
τ (pn ) = pn ⇐⇒ τ (P ∩ Fn ) = τ (P) ∩ Fn = P ∩ Fn
⇐⇒ τ (P) = τn (P), (∃ τn ∈ Gal(Q/Fn ))
⇐⇒ τ ∈ DGal(Q/Fn )
から全射となる. D は閉部分群であって, 制限写像 D → Dn は全射であるから
D ' lim
←− DGal(Q/Fn )/Gal(Q/Fn )
' lim
←− Dn
となっていることが分かる. したがって全射 Dn → Gal(Fpn /Fp ) から D → Gal(FP /Fp ) は
全射. 特に連続写像である.
定義 5.1. 準同型 D → Gal(FP /Fp ) の核
I = {σ ∈ D|σ(α) ≡ α mod P, ∀ α ∈ OQ }
を P に関する惰性群という. I は閉部分群であることに注意.
L/K を Galois 拡大とすると, 次のような可換図式が成り立っている:
1 −−−→ I ∩ GL −−−→ D ∩ GL −−−→ Gal(FP /FpL ) −−−→ 1
y
y
y
1 −−−→
I
y
−−−→
D
y
−−−→ Gal(FP /Fp ) −−−→ 1
y
1 −−−→
I0
−−−→ DGL /GL −−−→ Gal(FpL /Fp ) −−−→ 1
ただし pL = P ∩ L, I 0 は L/K における pL に関する惰性群, そして 2 段目から 3 段目へ
の写像は Galois 群の制限写像. 最上段の完全性は I ∩ GL , D ∩ GL がそれぞれ Q/L にお
ける P に関する惰性群, 分解群であることから. 命題 5.7 の証明中より DGL /GL は L/K
における pL の分解群である. 以上のことから後述の Snake Lemma (といって良いのだろ
うか?) を用いると I 0 は IGL /GL に一致することが分かる. ゆえに Galois 群の制限写像に
よって惰性群も全射で対応することが分かる.
ここまでの準備でようやく素イデアルの分岐を述べることができる.
定義 5.2. K ⊆ L ⊆ Q とする. pL を L の素イデアルとし, P を Q の pL の上にある素イデ
アル, p を K の pL の下にある素イデアルとする. I を Q/K における P の惰性群とすると
き, pL の L/K における分岐指数を群指数 [I : I ∩ GL ] で定義する. 分岐指数が 1, すなわ
ち I ⊆ GL のとき pL は L/K で不分岐であるという.
注意 5.1. さてここで疑問がありませんか? それは上の定義が well-defined か, すなわち
Q の素イデアル P の取り方に依らないのか? と言うことです. それは命題 5.3.(1) から取
り方によらないことが分かるわけです. 無限次の場合も同じなので証明は省略します. 講
演のレジュメでは Galois 拡大において惰性群の位数でもって分岐指数を定義していまし
たが, 制限写像で惰性群は全射で対応することから Galois 拡大の場合はレジュメの定義と
今回の定義は一致していることに注意してください.
一応完全分解を定義しておこう.
定義 5.3. 記号は定義 5.2 と同じとし, さらに D を Q/K における P に関する分解群とす
る. 任意の σ ∈ GK に対して σDσ −1 ⊆ GL であるとき p は L/K で完全分解という.
有限素点に関する話はここまでとして, 次に無限素点の話に移る. 無限素点の分岐は非
常に簡単である.
定義 5.4. K ⊆ Q とする. 埋め込み ϕ : K ,→ C に対して, pϕ := {ϕ, ϕ} を ϕ の素点とい
う. ただし, ϕ は ϕ と複素共役の合成. このような素点 pϕ を総じて無限素点という.
pϕ を K の無限素点とする. もし ϕ(K) ⊆ R であれば ϕ = ϕ なので, pϕ = {ϕ} となる.
ϕ(K) ⊆ R のとき pϕ を実素点, そうでないときを虚素点という.
同型写像の延長定理によって ϕ : K ,→ C は埋め込み φ : Q ,→ C に延長できる. このよ
うな φ から定まる素点 Pφ を pϕ の上にある Q の素点, pϕ を Pφ の下にある K の素点とい
うことにする. 実際に pϕ = pφ|K となっている. そこで S = {Pφ |pφ|K = pϕ } と定義する.
S には GK が
(5)
σPφ := {φσ, φσ}, σ ∈ GK
として作用する. ψ をもう一つの ϕ の延長とする. ψ −1 φ は K の恒等写像となるので,
σ = ψ −1 φ とすれば φ = ψσ, すなわち S には GK が推移的に作用している. さて,
(6)
I = D = {σ ∈ GK |σPφ = Pφ }
を Q/K における Pφ に関する惰性群という. I の構造を調べてみよう. まずは pϕ が実素点
の場合. σPφ = Pφ ならば, φσ = φ または φσ = φ となる. したがって σ = 1 または φ−1 φ
でどちらも Q の K-自己同型である. φ−1 φ は位数 2 なのでこの場合は I = hφ−1 φi ' Z/2Z
である. 次に pϕ が虚素点の場合. 同じように σ = 1 または φ−1 φ となるが, ϕ(K) 6⊆ R よ
り φ−1 φ は K-同型では無い (もし K-同型なら任意の α ∈ K に対して φ−1 φ(α) = α なので
φ(α) = φ(α), したがって ϕ(K) ⊆ R となる). ゆえにこの場合は σ = 1 である. ここまで
を命題としてまとめておこう.
命題 5.8.
(
I'
Z/2Z if ϕ(K) ⊆ R,
1
if ϕ(K) 6⊆ R.
K ⊆ L ⊆ Q とする. ϕ の L への延長 ϕ̃ : L ,→ C の分岐を定義しよう.
定義 5.5. φ を ϕ̃ の Q への延長とする. L/K における ϕ̃ の分岐指数を群指数 [I : I ∩ GL ]
で定義する. 分岐指数が 1, すなわち I ⊆ GL のとき ϕ̃ は L/K で不分岐であるという.
この定義も素イデアルの場合と同様に延長の取り方に依らない.
素イデアルと無限素点をあわせて単に素点という. ここまでで代数体の素点の分岐を定
義できたことになる. 全ての素点で不分岐な拡大を不分岐拡大という. 不分岐性は体の合
成で保たれるという性質があり, これは岩澤理論以外でも良く用いられるのでここで証明
を与えておくことにする.
命題 5.9. K ⊆ L, M ⊆ Q とする. LM の素点 p̃ を一つ取り, p を p̃ の L への制限とする.
このとき L/K で p が不分岐ならば, p̃ は LM/M で不分岐.
Proof. P を p̃ の上にある Q の素点, I を Q/K における P の惰性群とする. p は L/K で不
分岐なので [I : I ∩ GL ] = 1 すなわち I ⊆ GL となっている. Q/M における P の惰性群は
I ∩ GM で GLM = GL ∩ GM より, I ∩ GLM = I ∩ GL ∩ GM = I ∩ GM から p̃ は LM/M で
不分岐.
5.2. 加群に関して. この節で加群に関する話を幾つかする. 岩澤理論では compact Zp -加群
に関する議論が不可欠である. ここでその辺に関する話を済ませておこうと思う. compact
Zp -加群に関しては次を示しておく.
命題 5.10. (1) compact Zp -加群 M は pro-p 群. M が Zp 上有限生成 ⇔ #M/pM < ∞.
(2) compact Zp -加群 M に Γ が作用していれば, M は Λ-加群.
Proof. (1) M ◦ を M の連結成分とする. 剰余群 M/M ◦ は完全非連結, compact, Hausdorff と
なるので pro-p 群である. したがって命題を示すためには連結 compact Zp -加群が自明なも
の以外無いことを言えばよい. M を連結 compact Zp -加群とせよ. Pontryagin duality より
非自明な連続準同型 χ : M → R/Z が存在する. R/Z の閉部分群は, 0, n1 Z/Z(n ∈ Z≥1 ), R/Z
のみで, 非自明かつ連結なものは R/Z である. したがって χ は全射である. この全射連続
準同型 χ によって R/Z に Zp が作用することになるがこれは矛盾. Pontryagin duality に
ついては壬生雅道著「位相群論概説」, または Pontryagin 著 (杉浦光夫訳) 「連続群論」を
参照 (いずれも岩波書店). 後半の主張は compact Zp -加群が pro-p 群であることが分かっ
たので中山の補題 (伊藤氏の講演の Λ の場合と同様) から O.K.
n
(2) これもほとんど中山の補題の証明と同じである. γ ∈ Γ を位相的生成元とする. γ p →
1 (n → ∞) なので, 任意の m ∈ M , 任意の M の 0 の近傍 U に対して, m に依存する非負整
n
n
数 N (m) が存在し, n ≥ N (m) ならば (γ p − 1)m ∈ U . さらに (γ p − 1) 倍写像の連続性か
S
n
ら m の近傍 Um で, (γ p − 1)Um ⊆ U なるものがある. そして M = m∈M Um で仮定から
S
M は compact なので有限個の m1 , . . . , mr ∈ M が存在し, M = ri=1 Umi となる. そこで
S
n
n
N := max{N (mi )|1 ≤ i ≤ r} とすると, n ≥ N ならば, (γ p −1)M = ri=1 (γ p −1)Umi ⊆ U
T
n
となる. ゆえに n≥1 (γ p − 1)M = 0 となっている. これから自然な写像
n
p
M −→ lim
←− M/(γ − 1)M
(m 7→ (m)n )
は単射, 像は稠密に含まれているので compact 性から全射となる. M のこの表示により,
n
M/(γ p − 1)M は Zp [Γn ] 加群なので M は Λ-加群.
次に Snake Lemma を紹介する. 加群に関する基本的な命題であるので, 目を通してお
かれると後々便利になるであろう.
命題 5.11 (Snake Lemma). R を可換環とし, Ai , Bi (1 ≤ i ≤ 3) を R-加群とする. R-加
群の完全可換図式
ϕ1
ϕ2
0 −−−→ A1 −−−→ A2 −−−→ A3 −−−→ 0
f3 y
f2 y
f1 y
ψ1
ψ2
0 −−−→ B1 −−−→ B2 −−−→ B3 −−−→ 0
δ
があれば, 0 → Kerf1 → Kerf2 → Kerf3 → Cokerf1 → Cokerf2 → Cokerf3 → 0 が完全と
δ
なる R-準同型 Kerf3 → Cokerf1 が存在する.
Proof. 0 → Kerf1 → Kerf2 → Kerf3 , Cokerf1 → Cokerf2 → Cokerf3 → 0 の完全性は
何も問題は無いので δ を構成すればよい. x ∈ Kerf3 とせよ. ϕ2 : A2 → A3 は全射なの
で ϕ2 (y) = x となる y ∈ A2 が存在する. 図式の可換性から ψ2 ◦ f2 (y) = f3 ◦ ϕ2 (y) =
f3 (x) = 0 となるので, 下段の完全性から ψ1 (z) = f2 (y) となる z ∈ B1 が存在する. そこで
δ(x) := z mod f1 (A1 ) と定義する. well-defined 性で引っかかりそうなのは y の取り方だ
けど, y を取り替えてもずれるのは ϕ1 (A1 ) の元で, 図式の可換性と最終的に modulof1 (A1 )
で写像を定義していることからこのずれは無視される. 次に R-準同型になることを見て
みよう. x1 , x2 ∈ Kerf3 , r1 , r2 ∈ R とする. ϕ2 (yi ) = xi (i = 1, 2) となるように yi ∈ A2
を取り, ψ1 (zi ) = f2 (yi ) (i = 1, 2) となるように zi ∈ B1 を取る. ϕ2 (r1 y1 + r2 y2 ) =
r1 ϕ2 (y1 ) + r2 ϕ2 (y2 ) = r1 x1 + r2 x2 かつ, ψ1 (r1 z1 + r2 z2 ) = r1 ψ1 (z1 ) + r2 ψ1 (z2 ) = r1 f2 (y1 ) +
r2 f2 (y2 ) = f2 (r1 y1 + r2 y2 ) より, δ(r1 x1 + r2 x2 ) = r1 z1 + r2 z2 mod f1 (A1 ) となるから, δ
は R-準同型である. 最後に完全性を示そう. まずは Im(Kerf2 → Kerf3 ) = kerδ から.
x ∈ Im(Kerf2 → Kerf3 ) とせよ. このとき y ∈ Kerf2 として良い. したがって f2 (y) = 0
なので, z = 0 となるから δ(x) = z mod f1 (A1 ) = 0 より Im(Kerf2 → Kerf3 ) ⊆ kerδ. 逆
に x ∈ Kerδ とする. y ∈ A2 を ϕ2 (y) = x となるように取り, f2 (y) = ψ1 (z) となるように
z ∈ B1 を取ると z ∈ f1 (A1 ) である. ゆえにある w ∈ A1 が存在して, z = f1 (w) となる.
ψ1 (z) = ψ1 (f1 (w)) = f2 ◦ ϕ1 (w) = f2 (y) より, y − ϕ1 (w) ∈ Kerf2 となり, ϕ2 (y − ϕ1 (w)) =
ϕ2 (y) = x から x ∈ Im(Kerf2 → Kerf3 ), したがって Im(Kerf2 → Kerf3 ) ⊇ kerδ, ゆえに
Im(Kerf2 → Kerf3 ) = kerδ. 次に Imδ = Ker(B1 /f1 (A1 ) → B2 /f2 (A2 )) についてだけど,
これは ψ1 (z) = f2 (y) と ψ1 の単射性から O.K.
さて, Snake Lemma は別にアーベル群であるということを本質的に用いていないこと
が見て取れる. したがって Ai , Bi (1 ≤ i ≤ 3) 達を全て群とし, fi (Ai ) が Bi の正規部分群
であると仮定すれば, この場合にも Snake Lemma は成立している.
謝辞 最後に, 私のような若輩者にこのような発表の機会を与えてくださった本サマース
クールの世話人の方々に感謝を述べたいと思います. ありがとうございました.
講演の準備, 発表等精一杯努めたつもりでありましたが, 至らぬ点が多数あったかと思
います. 私自身, 後になってここはこうすべきであった, と思うことが多々ありました. そ
のような講演にもかかわらず, 熱心に講演を聴いてくださった本サマースクール参加者の
皆様に感謝を述べたいと思います. 本当にありがとうございました.
参考文献
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