for AI

Lecture 2 of Artificial Intelligence
Problem formulation
Produced by Qiangfu Zhao (Since 2008), All rights reserved ©
AI Lec02/1
Topics of this lecture
•
•
•
•
•
Review of tree structure
Review of graph structure
Graph representations
State space representation
Search tree and search graph
Produced by Qiangfu Zhao (Since 2008), All rights reserved ©
AI Lec02/2
木 (tree)
• 1次元データ構造：
– 連結リスト、スタック、
キュー
Ｅ
• 2次元データ構造：
Ａ
–木
• 木の例：
–
–
–
–
家系図
スポーツのトーナメント
会社の組織図
UNIX階層ファイルシ
ステム
Ａ
Ｒ
Ｓ
Ｅ
Ｔ
Ｍ
Produced by Qiangfu Zhao (Since 2008), All rights reserved ©
Ｐ
Ｌ
Ｅ
AI Lec02/3
木の用語(1)
Ｅ
• 木：ノードの集合とエッジ(edge)
Ａ
Ｒ
の集合からなる.
ＡＳ
Ｔ
• エッジ：２つのノードを結ぶもの.
• ルート(root)：最初のノード.
ＭＰ
• 親ノード(parent)：ノードの一個上
にあるもの.
• 子ノード(child)：一個下にあるもの.
• 中間ノード：子ノードを持つノード.
• 葉(leaf)：子ノードを持たないノード.
• パス(path)：エッジで結ばれているノードの集合.
Produced by Qiangfu Zhao (Since 2008), All rights reserved ©
Ｅ
Ｌ
Ｅ
AI Lec02/4
木の用語(2)
Ｅ
• 親ノード､子ノード､兄弟（sibling）
Ａ
Ｒ
ノード.
ＡＳ
Ｔ
• 葉､終端ノード(terminal)、
ＭＰ
Ｌ
Ｅ
外部ノード (external node).
• 中間ノード､非終端ノード
(non-terminal）、内部ノード(internal node).
• レベル (level)：ルートからノードに至るノード数のこと
（ルート自身を含めない）.
• 高さ (height)：ルートからもっとも遠いノードまでの距離.
Produced by Qiangfu Zhao (Since 2008), All rights reserved ©
Ｅ
AI Lec02/5
多分木と2分木
• 多分木 (multi-way tree or multi-branch tree)：
– どの非終端ノードもn (>2)以下の子ノードを持つ順序木.
• ２分木 (binary tree)：
– 子のない終端ノードと２つ以下の子（左の子と右の子）をもつ非終端
ノードの２種類のノードからなる順序木.
• 完全２分木 (complete binary tree)：
– どのレベルにおいても非終端ノードが完全に詰まっている２分木
– 一番下のレベルに限って、左詰めが許される.
Produced by Qiangfu Zhao (Since 2008), All rights reserved ©
AI Lec02/6
木の走査 (traverse)
• 走査：ノードをすべて訪れる(訪問する）こと.
– 例：PrintTree, SearchTree
• 捜査の順序：
– 先行順 (pre-order)
– 中央順 (in-order)
– 後行順 (post-order)
– レベル順 (level-order)
Produced by Qiangfu Zhao (Since 2008), All rights reserved ©
AI Lec02/7
先行順
• ルートからスタートし、再帰的に次のことを実行する
• 現在のノード、そして左子､右子の順に訪れる
Traverse(struct node *t){
visit(t);
if(t->l != z) Traverse(t->l);
if(t->r != z) Traverse(t->r);
}
Produced by Qiangfu Zhao (Since 2008), All rights reserved ©
AI Lec02/8
中央順と後行順
• 中央順（対称順）：ルートからスタートし､再帰
的に、左ノード、現在のノード､右ノードの順で
訪れる。
• 後行順：ルートからスタートし､再帰的に、左
ノード、右ノード、現在のノードの順で訪れる。
Produced by Qiangfu Zhao (Since 2008), All rights reserved ©
AI Lec02/9
レベル順
• キューによって実現される。
• 上から下へ、左から右へ、レベル毎にそのレベルにあるノー
ドを全部を訪れる。
traverse(struct node *t) {
enqueue(t);
while (!queueempty()) {
t = dequeue();
visit(t);
if (t->l != z) enqueue(t->l);
if (t->r != z) enqueue(t->r);
}}
Produced by Qiangfu Zhao (Since 2008), All rights reserved ©
AI Lec02/10
グラフ
• グラフは、木の拡張である。形式的には、グラフは
G=(V,E)
のように、2つ組（2-tuple, 或は double)で定義される。
ここで、
– Vは頂点（vertex, vertices）或はノード(node)の集合。
– Eはエッジ(edge)或は連結(connection)の集合である。
Produced by Qiangfu Zhao (Since 2008), All rights reserved ©
AI Lec02/11
木とグラフの関係
• 木はロープがないグラフである。
– 任意のノードはルートと唯一のパスで結ばれる。
– ２つ以上のパスはない。
– 結ばれていないノードはない。
Produced by Qiangfu Zhao (Since 2008), All rights reserved ©
AI Lec02/12
グラフの例
•
•
•
•
コンピュータネットワーク
日本航空の路線図
会津若松の上下水道図
電気回路
• グラフはこれらのシステムを表
すためのもの。
• グラフにおいて、ノードの位置
は、通常意味はない。
• ノード間の繋がりは重要である。
1
3
4
6
Produced by Qiangfu Zhao (Since 2008), All rights reserved ©
2
5
7
AI Lec02/13
グラフの用語
• Path（パス）：ノードAとBの間に、連結で繋いでいるノード。
• Simple path（シンプルパス）: ノードAとBを繋がるパスにおいて、同
じノードが2回以上出ない。
• Cycle（サイクル）: Simple pathで、始点と終点が同じである。
• Connected graph（連結グラフ）：すべてのノードの間にパスがある。
• Connected component（連結成分）: 部分グラフで、それ自体は連
結グラフになっている。
• Directed graph（有向グラフ）: 連結は方向性があるグラフ。
• Undirected graph(無向グラフ）：連結に方法性はないグラフ。
• Weighted graph: 連結に重みが付いているグラフ。
• Expand node (ノード展開）：ある節点の子節点の集合を求めること
はそのノードを展開するという。
• Spanning tree: グラフのすべてのノードを持つツリー（部分グラフ）。
Produced by Qiangfu Zhao (Since 2008), All rights reserved ©
AI Lec02/14
グラフの表現(1)
• グラフの隣接リスト表現(Adjacency-list representation)：
– N=|V|：ノード数
– N個のリストAdj[0],Adj[1],…,Adj[N-1]を定義する。
– Adj[i]は、i番目のノードに対応するリストで、このノードに隣接するす
べてのノードを含む。
– 即ち、Adj[i]に含まれている任意のノードｊに対して、(i,j)はEに属する
連結である。
Produced by Qiangfu Zhao (Since 2008), All rights reserved ©
AI Lec02/15
グラフの表現（２）
• グラフの隣接行列表現(Adjacency-matrix representation)
–
–
–
–
N=|V|：ノード数
ノードに番号を振る（任意）
NxNの行列Aを定義する。
Aのi行目、j列目の要素は以下のように定義される：
1 if (i, j ) ∈ E
aij = 
0 otherwise
Produced by Qiangfu Zhao (Since 2008), All rights reserved ©
AI Lec02/16
グラフ表現の例
Produced by Qiangfu Zhao (Since 2008), All rights reserved ©
AI Lec02/17
AI問題の状態空間表現：例1
(State space representation)
８-パズル問題
• 初期状態： (2,B,3,4,5,6,7,1,8)
• 目標状態： (1,2,3,4,5,6,7,8,B)
• ルール
–
–
–
–
ルール１：
ルール２：
ルール３：
ルール４：
Bを上に移動する
Bを下に移動する
Bを左に移動する
Bを右に移動する
• 現在状態により、ルール実行後の
結果が違う。
• また、現在状態により、実行できな
いルールがある。
Produced by Qiangfu Zhao (Since 2008), All rights reserved ©
初期状態
2
B
3
1
8
4
7
6
5
ゴール状態
1
2
3
8
B
4
7
6
5
AI Lec02/18
AI問題の状態空間表現：例２
(State space representation)
迷路問題
• 初期状態：(0,0)
• 目標状態：(2,2)
• ルール
–
–
–
–
ルール１：上へ移動する
ルール２：下へ移動する
ルール３：左へ移動する
ルール４：右へ移動する
y
2
1
0
• 現在状態により、ルール実行後の
結果は違う。
• また、現在状態により、実行でき
ないルールがある。
Produced by Qiangfu Zhao (Since 2008), All rights reserved ©
０
1
2
x
迷路問題
AI Lec02/19
状態空間の利点
• 問題を形式的に定義する。
• 任意の初期状態から任意の
目標状態への遷移は、形式
的に求められる。
• 求められた結果が「知識｣と
して利用できる。
• 問題点：計算量は非常に大
きいかもしれない。
Produced by Qiangfu Zhao (Since 2008), All rights reserved ©
AI Lec02/20
迷路問題のグラフ表現
(Search graph)
（0,2）
U
D
（0,1）
U
（1,2）
D
（0,0）
U
R
L
D
（1,1）
U
（2,2）
D
（1,0）
U
R
D
（2,1）
L
R
L
（2,0）
• 解を求めることはこの探
索グラフ節点(0,0)から
節点(2,2)への経路を求
める問題に同値である。
• 経路は唯一ではないた
め、最短なものを求める
ことは重要である。
Produced by Qiangfu Zhao (Since 2008), All rights reserved ©
AI Lec02/21
パズル問題のグラフ表現
探索木 (Search tree)
• 探索グラフを作ってから問題の
解を探すことは非効率である。
• ８－パズル問題でさえ、状態の
数は9!/2(約18万）個ある。
• 初期状態からスタートし、ルー
ルを適用して木の形に展開して
いく。
• 展開の途中で解が見つかった
ら終了する。
• 最適解を求めることは、状態数
が多い場合、非常に難しい問
題である。
2 B 3
B 2 3
1 8 4
1 8 4
7 6 5
7 6 5
2 8 3
1 B 4
7 6 5
2 3 B
1 8 4
7 6 5
Produced by Qiangfu Zhao (Since 2008), All rights reserved ©
AI Lec02/22
今週の課題
• スケルトンをもとに以下のプログラムを完成させよ
– 幾つかの節点対を入力し、グラフを構成する
– 探索開始節点を入力する
– 探索開始節点から全節点を訪問し、訪問順に節点番号を出力する
• アルゴリズムとして以下の２つの方法を使用する
– 深さ優先探索
– 幅優先探索
• 深さ優先探索/幅優先探索についてわからなければ、授業資料やイン
ターネットで調べること
Produced by Qiangfu Zhao (Since 2008), All rights reserved ©
AI Lec02/23
今週のクイズ
•
迷路問題の初期状態と目標状態は何ですか？
•
グラフを構成する２つの集合は何ですか？
•
探索グラフ或いは探索木の解は何ですか？
•
右のグラフについて、以下の文がある。それらが正しい場
合には○、間違っている場合には×を括弧に書け：
– このグラフは連結グラフである。（）
– このグラフは無向グラフである。（）
– このグラフは重み付きグラフである。（）
このグラフのスパニングツリー(spanning tree)を一つ書け。
•
Produced by Qiangfu Zhao (Since 2008), All rights reserved ©
AI Lec02/24

Download Report