アルゴリズムとデータ構造 Contents of this lecture 木の性質 Example

Contents of this lecture
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アルゴリズムとデータ構造
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復習：木の性質、木の走査
応用：２分探索木
木の他の実現方法
第7回講義：木構造その２
Produced by Qiangfu Zhao (Since 2009), All rights reserved (c)
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Example
木の性質
1.
2.
3.
4.
木において、任意の２つのノードを結ぶパスはただ１つ
である.
ノードの個数がＮである木には、辺がＮ‐１個ある.
中間ノードがＮである２分木には、Ｎ+１個終端ノードが
ある.
内部ノードがＮである２分木が一杯になっていれば、そ
の高さは約log2Nである.

下の木について、1番と2番目の性質を確かめよ
Ｅ
Ａ
Ａ
Ｒ
Ｓ
3
Ｅ
Ｔ
Ｍ
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Ｐ
Ｌ
Ｅ
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Example
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木の走査 (traverse)
下の２分木について、3番と４番目の性質を確
かめよ
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

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初期化と中央順走査のプログラム例
treeprint() {
treeprintr(head->r);
}
treeprintr(struct node *x){
if (x != z) {
treeprintr(x->l);
printnode(x);
treeprintr(x->r);
}
}
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Example
(pp. 16-17 in text, Vol. 2)
treeinitialize() {
z = (struct node *)
malloc(sizeof *z);
z->l = z; z->r = z; z->info = -1;
head = (struct node *)
malloc(sizeof *head);
head->r = z; head->key = 0;
}
走査：ノードをすべて訪れること.
先行順：ルートから始まり､現在ノードを先に処理し､次に
左ノードと右ノードの順に再帰的に処理する.
中央順：ルートから始まり､左ノード、現在ノード､右ノード
の順に再帰的に処理する.
後行順：ルートから始まり､左ノード、右ノード、現在ノード
の順に再帰的に処理する.
レベル順：（再帰的でない）上から下へ、左から右へ、レ
ベル毎にそのレベルにあるノードを順番に処理する.

以下の２分木を、先行順、中央順、後行順、レベル順
のそれぞれによって、ノードに訪れる順番を考えよ
Ｐ
Ｍ
Ｓ
Ａ
Ｌ
Ｅ
Ａ
Ｒ
Ｅ
Ｔ
Ｅ
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2
２分探索木 (binary search tree)
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
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２分探索木の特徴
探索：前もって格納されている多くのデータの中
から望みのデータを引き出す操作.
探索の目的：与えられた探索キーと一致する
キーをもつすべてのレコードを見つけ出し、必要
なレコード内のデータを引き出す.
２分探索木を使えば､効率的に探索できる.
与えられたキーを最初にルートにあるキーと比
較し、小さければ左部分木に行き、等しい時は停
止し、大きい時には右部分木に行く.
以上を再帰的に適用する.
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
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探索のプログラム例
static struct node {
int key, info;
struct node *l, *r; };
static struct node *t, *head, *z;
int treesearch(int v) {
struct node *x = head->r;
z->key = v;
while (v != x->key)
x = (v < x->key) ? x->l : x->r;
return x->info;
}
単純で効率のよい動的な探索法で、もっと
も基本的なアルゴリズムの１つである。
ノードにおかれたキーより、
小さいキーをもつレコードはすべてそのノード
の左部分木の中にあり、
大きいあるいは等しいキーをもつレコードはす
べて右部分木にある。
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探索の様子
•
ダミーノードの使い方
•
終了条件
•
探索の成功条件
•
再帰のやりかた
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２分探索木におけるIの探索
Ａ
Ｓ
Ｅ
Ａ
R
C
See p. 15, Vol. 2
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H
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An Example
データの挿入(p. 17 in text, Vol. 2)
treeinsert(int v, int info) {
struct node *p, *x;
p = head; x = head->r;
while (x != z) {
p = x; x = (v < x->key) ? x->l : x->r;
}
x = (struct node *) malloc(sizeof *x);
x->key = v; x->info = info; x->l = z; x->r = z;
if (v < p->key) p->l = x; else p->r =x;
}
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Ａ
Ｓ
Ｅ
Ａ
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


H
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２分探索木の計算量
探索、挿入などより実現しにくい
方法：３つのケースに分けて考える

R
C
２分探索木の削除

ASEARCHINGEXAMPLE

子を持たない→そのまま削除
子を１つもつ→削除された親ノードを子ノードで置きかえ
子を２つもつ→削除された親ノードを、左部分木の最大
ノードかあるいは右部分木の最小ノードで置きかえ

N個のランダムなキーから生成された２分
探索木での１回の探索または挿入
 平均約log2N回の比較
N個のデータからなる２分探索木での探索

最悪の場合にはN回の比較
コードは第2巻の22ページにある
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木の他の実現方法－１

リンクは子供たちではなく、子供と兄弟
Ａ
Ａ
木の他の実現方法－2
Son
Ｅ
Brother
Ｒ
Ｓ
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
a[k]
Ａ
Ｓ
Ａ
Ｍ
Ｐ
Ｌ
Ｅ
Ｔ
Ｒ
Ｅ
Ｅ
dad[k]
3
3
11
8
8
8
8
9
11
11
--
Ｅ
Ｅ
Ｔ
Ｍ
Ｐ
Ａ
Ｌ
Ａ
Ｅ
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Ｌ
クイズ（２）
次のデータを順番に空の木に入れて
いった場合に、作られる木を書きなさ
い。ただし、途中の過程も書くこと。

木にデータを入れていく（アルゴリズム
Ｃ第２巻 p.18）ときは、まず木を辿って
空いている所（葉）を探し、見つかった
らそこにデータを入れます。木を辿ると
きに、左右どちらに行くかは、入れたい
データがそのノードの値よりも大きいか
小さいかで決めます。右の図を参考に
して書いてみてください。
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Ｐ
Ｅ


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配列実現であり、
親ノードのインデックス
だけを記憶しておく
Ｅ
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OLDFASHION

Ｓ
Ｍ
Quiz（１）

Ｒ
Ｔ
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inorder(struct node *t){
if(t->l != z) inorder(t->l);
visit(t);
if(t->r != z) inorder(t->r);
}
クイズ(1)で作られた木を inorder でトラバースし
た結果を書きなさい。
演習第 6 回でやった inorder でトラバースして
みてください。
正しく木が作れていて、正しくトラバースできれば、
アルファベット順に並んでいるはずです。
上の例では A I K N O になります。
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