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第2部:完備情報下の静学ゲーム 第 2 章:完備情報下の静学ゲーム

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2016 年 4 月 11 日
第2部: 完備情報下の静学ゲーム
第 2 章: 完備情報下の静学ゲーム
戦略的相互依存
複数のプレーヤーが意思決定する
お互いの利得に影響を与える
お互いの意思決定の仕方に影響を与える
例:
私は左側通行する:
他の人が右側通行していると危ない
他の人は右側通行している: ならば私も右側通行しよう
2
2.1. 標準形ゲーム
(Normal form game, 戦略形ゲーム, Strategic Form game)
戦略的相互依存を記述する「基本モデル」
三種の神器
( N , S , u)
(プレーヤー集合、純粋戦略(Pure Strategy)プロファイル集合、利得関数プロファイル)
N  {1,..., n}
S  S1  S2    Sn
Si
プレーヤー集合
プレーヤー i  N の純粋戦略集合(Set of all pure strategies
for player i ) si  Si 、 s  ( s1 ,..., sn )  S
S
純粋戦略プロファイル集合
ui : S  R プレーヤー i の利得関数(期待効用)
u  ( u1 ,..., un )
利得関数プロファイル
ui : S  R
プレーヤー i  N の利得関数(期待効用関数)
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戦略的相互依存を示す重要なポイント:
各プレーヤーの利得 ui ( s ) が、自身の戦略 si のみならず
他のプレーヤーの戦略プロファイル s i  ( s j ) jN \{ i }  S i   S j
jN \{ i }
にも依存している!
完備情報(Complete Information)?不完備情報(Incomplete Information)?
不完備情報:
実際にどのゲームに直面しているのかわからない状況
( N , S , u ) ? ( N , S , u ) ?
特に u  u
静学ゲーム?動学ゲーム?
静学ゲーム:
動学ゲーム:
各プレーヤーは戦略を一度に同時に決定する
ことなるタイミングで、しかも一人何回も行動決定する
戦略は「行動の計画」
第2部は完備情報、静学ゲーム
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ゲームのモデルとは?
現実をそのまま記述するものではない:
複雑すぎる、無意味
戦略的相互依存に関係する要因のみをモデル化:
標準形ゲームが基本モデル ( N , S , u )
( N , S , u ) をどう特定するか?
ショートカット: 単純化
直接関係しそうな経済主体、戦略の範囲
利得を決める根拠になる行動のみを扱う
現実を間違ってモデル化してしまうことも
→
( N , S , u ) を再検討
動学ゲームを考える
不完備情報を考える
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2.2. 標準形ゲーム:例
2.2.1. 同質財の複占市場(クールノー複占モデル)
企業1と企業2が同質財を供給する:
企業1の供給量 q1  [0,  )
企業2の供給量 q2  [0,  )
q1  q2 が市場に供給される。
需要関数
d :[0,  )  [0,  )
市場価格 p  [0,  ) について
需要量 d ( p )  [0,  )
あるいは逆需要関数
p  d  1 ( x )  p( x )
d ( p( x ))  x
市場均衡(需給均衡)
q1  q2  d ( p ) つまり需給均衡価格 p  p( q1  q2 ) が成立
p(q1  q2 )qi
企業 i  {1, 2} の生産費用 ci :[0,  )  [0,  )
よって企業 i の利潤
p(q1  q2 )qi  ci (qi )
企業 i の収入
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クールノー複占を標準形ゲームでモデル化する:
N  {1, 2}
S1  S2  [0,  )
q i  si  S i
ui ( s )  p( s1  s2 ) si  ci ( si )  p(q1  q2 )qi  ci (qi ) for each i  {1, 2}
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2.2.2. せり上げ入札
あるアンティークポットを入札者1と入札者2がせり上げ入札する
入札者1にとってポットは10000円の値打ちがある
入札者2にとってポットは8000円の値打ちがある
入札者1は(心の中で)「 s1  [0,  ) 円までならせり上げに応じよう!」
入札者2は(心の中で)「 s2  [0,  ) 円までならせり上げに応じよう!」
もし s1  s2 なら、せり上げは s2 円で終了し、入札者1が勝者
入札者1の利得は 10000  s2 (円)
入札者2の利得はゼロ(円)
もし s1  s2 なら、せり上げは s1 円で終了し、入札者2が勝者
入札者2の利得は 8000  s1 (円)
入札者1の利得はゼロ(円)
もし s1  s2 なら、せり上げは s2 円で終了し、じゃんけんで勝者が決まる
入札者の利得は 1 (10000  s2 ) (円)
2
入札者2の利得は 1 (8000  s2 ) (円)
2
8
せり上げ入札を標準形ゲームでモデル化する:
N  {1, 2}
S i  [0,  )
si  S i
u1 ( s )  10000  s2
u1 ( s )  0
and u2 ( s )  0
and u2 ( s )  8000  s1
u1 ( s )  1 (10000  s2 )
2
and u2 ( s )  1 (8000  s1 )
2
if s1  s2
if s1  s2
if s1  s2
*二位価格入札:せり上げを上のように標準形ゲームで表すと、それは別の入札制度である「二位価格入
札」のモデルとしても解釈できる。
「高い指値をした方が勝者になる。」
「勝者は負けた方の入札者の指値(二番目に高い指し値、二位価格)を支払う。」
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2.2.3. 多数決問題
三人の投票者1,2,3が、ある議案に対して、賛成票(Y)か反対票(N)を投じる
二人以上が賛成なら可決(1)。それ以外は否決(0)
投票者1,2はともに、可決を否決より選好する
投票者3は、否決を可決より選好する
多数決問題を標準形ゲームでモデル化すると
N  {1, 2, 3}
S1  S 2  S 3  {Y , N }
u1 ( s )  u2 ( s )  1 and u3 ( s )  0
u1 ( s )  u2 ( s )  0 and u3 ( s )  1
if si  Y for at least two players
if si  N for at least two players
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2.3. 標準形ゲームのマトリックス表現
プレーヤーが二人、戦略集合が有限集合の場合、標準形ゲームをマトリックス(行列)で表現できる。
e
プレーヤー1
a
b
c
d
現実の極端なショートカット:
19
90
34
78
20
16
86
54
f
-8 12
24 77
123 78
24 -9
プレーヤー2
g
123 6
12 99
-6 -57
-8 -8
h
56 -23
54 92
-4 -129
-12 -13
わかりやすい
ベンチマーク:
対立と協調の「エッセンス」
ただし、現実を不適切に簡素化している可能性
k
4
44
12
68
8
44
13
48
11
2.3.1. Prisoners’ Dilemma
社会的ジレンマ(1)
パレート最適はどれ?パレート劣位優位の関係にあるのはどれ?
c
d
c
d
1 1
2 -1
-1 2
0 0
2.3.2. Matching Pennies
社会的ジレンマ(2)
:PKゲーム
L
L
R
1 -1
-1 1
R
-1 1
1 -1
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2.3.3. グーチョキパー
社会的ジレンマ(3)
:matching pennies に似ている
グー
チョキ
パー
グー
0 0
-1 1
1 -1
チョキ
1 -1
0 0
-1 1
パー
-1 1
1 -1
0 0
2.3.4. Coordination Game
社会的調整
左側通行?右側通行?
パレート優位劣位の関係にあるのはどれ?
L
R
L
R
1 1
0 0
0 0
1 1
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2.4. 均衡概念(Solution Concept, Equilibrium Conept)
各プレーヤーはゲームをいかにプレイするか?
均衡概念
各プレーヤーはゲームをいかにプレイするかを説明する、
どの戦略を選ぶかを説明する概念
優位戦略(Dominant Strategy)
劣位戦略逐次消去(Iterative Elimination of dominated strategies)
合理化戦略(Rationalizability)
ナッシュ均衡
などなど
均衡概念を理解する視点:
プレーヤーは合理的にふるまう:
自身の利得を最大化したい
プレーヤーは知識を活用する:
ゲームの構造についての知識(完備情報)
相手プレーヤーも合理的であることをフルに考慮
経験や慣習を考慮する:
左側通行?右側通行?
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第2章:完備情報下の静学ゲーム:まとめ
ゲーム理論は戦略的相互依存を分析するための応用数学である
ゲーム理論の基本モデルは、標準形ゲームである。標準形ゲームは、プレーヤー集合、戦略プロファイル
集合、利得関数プロファイル(三種の神器!)で定義される。
経済、政治など、社会の様々な問題は、標準形ゲームによって表現できる。
標準形ゲームによるモデル化では、シンプル、簡便なやり方が求められる。その一方で、現実の記述に適
切であることが求められる。
二人プレーヤーのケースでは、標準形ゲームをマトリックスで表現できる。囚人のジレンマなど、利害対
立や協調の在り方のエッセンスをとらえることができるが、限界がある。
プレーヤーがゲームをどのようにプレイするかは、均衡概念によって説明される。均衡概念には、優位戦
略、ナッシュ均衡などがある。
均衡概念は、プレーヤーが、合理的であること、ゲームのルールや他のプレーヤーが合理的であることに
ついての知識を活用すること、経験や慣習を活用すること、などを仮定する。
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