問題 2 t を実数とする。y = x − x のグラフ C へ点 P(1, t) から接線を引く。 3 (1) 接線がちょうど1本だけ引けるような t の範囲を求めよ。 (2) t が (1) で求めた範囲を動くとき、点 P(1, t) から C へ引いた接線と C とで 囲まれた部分の面積を S(t) とする。S(t) の取りうる値の範囲を求めよ。 【2014 京都大学】 解答 y (1) C の x = p での接線は、y 0 = 3x2 − 1 より、 ( ) y = 3p2 − 1 (x − p) + p3 − p これが点 P(1, t) を通るから、 ( ) t = 3p2 − 1 (1 − p) + p3 − p P 3次関数においては「接線と接点は1対1対応す る」から、C へ点 P(1, t) から接線がちょうど1本 だけ引けるとは、これを満たす実数 p がただ1つ 存在することである。 ( ) f (p) = 3p2 − 1 (1 − p) + p3 − p − t x O とおくと、 ( ) f 0 (p) = 6p (1 − p) − 3p2 − 1 + 3p2 − 1 = 6p (1 − p) であるから、f (p) = 0 がただ1つの実数解をもつためには、 f (0) × f (1) > 0 ⇔ (−t − 1) (−t) > 0 ⇔ t < −1, 0 < t c Darumafactory -1- RadicalMath t (2) ( ) y = x3 − x, y = 3p2 − 1 (x − p) + p3 − p 1 の共有点の x 座標は、 ( ) x3 − x = 3p2 − 1 (x − p) + p3 − p 1 2 2 ⇔ (x − p) (x + 2p) = 0 ⇔ x = p, x = −2p だから、 ∫ S (t) = −2p p O −1 (x − p) (x + 2p) dx 1 2 1 27 4 4 = (3p) = p 12 4 −1 さて、t と p の関係は t = −2p3 + 3p2 − 1 であったから、 dt = −6p2 + 6p = −6p (p − 1) dp より、t = −2p3 + 3p2 − 1 のグラフは右図。これより、 1 3 p<− , <p 2 2 であるから、S(t) の値域は、 ( )4 27 1 27 S (t) > · − = 4 2 64 c Darumafactory -2- 3 2 RadicalMath p
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