画像認識特論 資料５ システム情報系 情報工学域 福井和広 固有空間への射影の有効性 1. 1 2. 3. 4 4. 情報圧縮 特徴抽出 画像復元 高次元デ タの可視化 高次元データの可視化 1 有効性１：情報圧縮 顔パターンを顔固有空間へ射影 この場合の情報の圧縮率は？ ９００次元 射影 射影 顔固有空間（９０次元） 顔固有空間： 様々な撮影条件、人物の顔パターンが局在している部分空間 ９００（＝３０ｘ３０）次元空間を張る直交基底ベクトルの一例 4 2 基底ベクトルの１次結合による表現 c1 任意の正面顔 （３０ｘ３０ピクセル ＝900次元ベクトル） c2 e1 c3 c4 e2 c897 ９００本の正規直交基底 ベクトルの線形和で 表される 表される． 重み 係数 e3 c898 e4 e5 c899 e898 e897 c5 c900 e900 e899 ci = x ⋅ ei = x t ei , i = 1,L ,900 99.9% ０ c1 c2 c3 ・・・・, c90, ・・・・ c899 c900 固有空間の基底ベクトルによる近似 b1 人物Ａ 近似 b2 e1 b3 e2 b90 e90 e3 人物Ｂ a1 近似 a2 e1 a3 e2 a90 e3 e90 90 3 情報圧縮とは？ 射影前：人物のベクトルは９００本の基 底により表現される． 底により表現される 射影後：人物のベクトルは９０本の基底 ベクトルにより表現される． 画像情報は90/900*100=10%に圧縮された．” “画像情報は90/900*100=10%に圧縮された と見なさせる． 射影により類似度の計算量が大幅に削減 Ａ Ｂ 射影前：人物ＡとＢの類似度を計算する ためには何回の乗算が必要か？ 射影後：人物ＡとＢの類似度を計算する ためには何回の乗算が必要か？ 4 固有空間の基底ベクトルによる近似 内積計算の量が大幅に減る理由 b1 人物Ａ 近似 b2 e1 b3 e2 b90 e90 e3 ベクトルAとBの内積＜A・B＞= ベクトルAとBの内積＜A B＞ ??? 人物Ｂ a1 近似 a2 e1 a3 e2 a90 e3 e90 情報圧縮は画像認識の常套手段！ 5 最もシンプルな識別法はこうなる． 1. 各人物毎に様々な条件で顔画像を収集する． 2. 各顔画像（ベクトル）を予め求めておいた固有空間に射 影する（この図では３次元固有空間)． 3 各クラスの射影ベクトル分布の平均を求める． 3. 各クラスの射影ベクトル分布の平均を求める 4. 入力（未知）顔ベクトルと各クラス平均ベクトルとの正規 化相関を計算する． 5. もっとも高い正規化相関に対応するクラスに分類する． 人物3ベクトル p3 S = cos θ = 2 人物1ベクトル 人物 ク ル p1 ( v ⋅ pi ) 2 2 v pi 人物2ベクトル p2 2 入力ベクトル v 固有（部分）空間 有効性２：特徴抽出 個人成分空間への射影 顔の固有空間（９０次元） 射影 射影 共通成分 部分空間 （30次元） 個人成分 部分空間 （60次元） 6 さらに識別性能を高めた識別法はこうなる． 1. 各人物毎に様々な条件で顔画像を収集する． 2. 各顔画像（ベクトル）を予め求めておいた固有空間中の 個人差成分空間へ射影する． 3 各クラスの射影ベクトル分布の平均を求める． 3. 各クラスの射影ベクトル分布の平均を求める 4. 入力（未知）顔ベクトルと各クラス平均ベクトルとの正規 化相関を計算する． 5. もっとも高い正規化相関に対応するクラスに分類する． 共通成分空間 S = cos θ = 2 人物1ベクトル 人物 ク ル p1 ( v ⋅ pi ) 2 2 v pi 人物2ベクトル p2 2 入力ベクトル v 人物3ベクトル p3 個人差成分空間 有効性３：画像復元 射影 ？ 欠損のない多数の人物の正面顔から 生成された部分空間とする． 部分空間 （正面顔固有空間） この部分空間内のパターンは必ず 欠損の無い正面顔の線形和で表される． 7 射影とは何かを再考してみよう． x ' = Px ベクトル X 射影ベクトルX’ 部分空間Ｐ x − x 'とxは直交している． x 'は，xに対してどのような特性を 持つ部分空間Ｐ上のベクトルか？ 有効性３：画像復元 射影 ？ 欠損のない多数の人物の正面顔から 生成された部分空間とする． 部分空間 （正面顔固有空間） この部分空間内のパターンは必ず 欠損の無い正面顔の線形和で表される． 8 画像パターンの可視化 どうすれば高次元ベクトルを “（近似的に）見る”ことができるか？ 画像パターンの可視化 e2 射影 射影 e1 顔の固有空間（３次元以下） 9 正面顔（４人分）の分布 動画像パターン列の可視化 • 回転する物体を撮影した動画像列を，固 転する物体を撮影 た動 像列を 固 有空間へ射影した場合，どのような分布 になるか？ • 動画像パタ 動画像パターンセットは高次元ベクトル ンセットは高次元ベクトル 空間において多様体を形成する． 10 ロボットの全身運動の可視化するためには？ 自由度＝１０（首に３，肩３×２左右，肘１×１左右） t=1 t=k t X t = (θ1t , θ2t , θ3t ,LL, θ9t , θ10 ) 11 ロボットの全身運動の可視化 自由度＝１０（首に３，肩３×２左右，肘１×１左右） １０次元状態ベクトルを ３次元部分空間に射影 Motion 1 「力学系を用いたロボットの情報処理」，中村仁彦，岡田昌史より 12
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