演習問題2,3

1
2016年6月9日
エネルギー工学演習II
乱数とモンテカルロ
― 演習問題(6/2)の解答例 ―
渡辺幸信
2
演習課題（２）
演習課題(1)のプログラムを参考にして、上記の指数関数分布
（λ=1 とせよ）に対するサンプリングのプログラムを作成せよ。
•
•
•
•
nmax=10000
ビン幅は0.1
x軸の上限を10.0
縦軸 linear表示とlog表示の頻度分布
ヒストグラム
自然対数（底がe）
y=log(x)
ヒント： gnuplotのコマンド
set logscale y
解答例
dx = 0.1 ! bin width
xmax=10.0 ! upper limit of x
ixmax = xmax/dx ! number of x-bin
nmax = 10000 ! trial number
3
赤文字が演習１から
の主な変更点
•
•
•
nmax=10000
ビン幅は0.1
x軸の上限を10.0
hist(:) = 0 ! Initialization of array hist(0:nbinma)
call random_seed()
do i = 1, nmax
call random_number(r)
x   ln(1  r )
x=-lamda*log(1.0-r)
ix = x / dx
! determine bin number corresponding to x
if(ix <= ixmax) then : 10を超える場合があるので
hist(ix) = hist(ix) + 1
endif
enddo
do i=0,nb
write(*,*) i*dx,hist(i)
! ヒストグラムの出力
enddo
4
Y軸：Linear 表示
Y軸：Log表示
表示
Y軸：Log
gnuplot > set logscale y
gnuplot > plot [][1.0:] ‘ファイル名' with step
注） Y軸の下限を1とする。0ではエラー発生
5
発展的考察
関数fitting結果
y=a*exp(-b*x)
a= 9509.89, b=0.995979
gnuplotによる最小２乗法：
fit 関数 ‘ファイル名’ via 変数
gnuplot > f(x) = a*exp(-b*x)
関数の定義
gnuplot > a=10000
初期値設定
gnuplot > b=1.0
gnuplot > fit f(x) ‘ファイル名’ using 1:2 via a,b fitting
結果表示（次頁参照）
………………….
元データファイルとfitting結果を
gnuplot > plot f(x), ‘ファイル名’
重ねてプロット（結果は上図）
6
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Fri Jun 15 17:58:39 2012
画面上にfitting
結果が表示
FIT: data read from 'histexp.d' using 1:2
#datapoints = 101
residuals are weighted equally (unit weight)
fit.logファイルも作成
function used for fitting: f(x)
fitted parameters initialized with current variable values
Iteration 0
WSSR
: 2.67649e+17
delta(WSSR)/WSSR : 0
delta(WSSR) : 0
limit for stopping : 1e-05
lambda : 3.49714e+08
initial set of free parameter values
a
b
= 10000
= -1
Fittingの初期値
After 16 iterations the fit converged.
final sum of squares of residuals : 168458
rel. change during last iteration : -2.05517e-07
degrees of freedom (ndf) : 99
rms of residuals (stdfit) = sqrt(WSSR/ndf) : 41.2505
variance of residuals (reduced chisquare) = WSSR/ndf : 1701.6
Final set of parameters
Asymptotic Standard Error
=======================
==========================
a
b
= 9509.89
= 0.995979
+/- 23.65
(0.2487%)
+/- 0.003682 (0.3696%)
correlation matrix of the fit parameters:
a
a
b
b
1.000
0.671 1.000
Fittingの結果
非線形関数の
fitting
7
演習課題（３）発展問題
それぞれサイコロの目が出る確率が表１で与えられる”サイバー
サイコロ”をコンピュータ上で製作し、試行回数10, 100, 1000とした
場合の各目が出る頻度分布（ヒストグラム）を作成せよ。
(3-3) 式
サイの目i
1
2
3
4
5
6
確率pi
0.1
0.2
0.3
0.1
0.2
0.1
1
x
P( x)   p( )d  r
a
0.8
r=0.75
0.6
確率分布関数
i
Pi
Pi   pk  r
k 0
ヒント： if文を使うことになる。
0.4
0.2
0
1
2
3
4
5
サイコロの目
6
dice.f90
10回サイコロを振った結果
3
2
4
3
2
4
6
2
3
3
8
hist_dice.f90
hist_dice.f90
10,000回試行
して分布を作成
３の目が出る確率が多そう
だが。。。
サイの目
i
1
2
3
4
5
6
確率pi
0.1
0.2
0.3
0.1
0.2
0.1

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