CPU/GPU混在環境におけるタイルLU分解アルゴリズムの実行時自動

研究背景
研究目的
タイル LU 分解
タイルサイズチューニング
ピボット選択
CPU/GPU 混在環境におけるタイル LU 分解
アルゴリズムの実行時自動チューニング
科研費基盤研究 (C) 26400197 (H26 - H28)
鈴木智博
山梨大学
第 6 回自動チューニング技術の現状と
応用に関するシンポジウム@山上会館
2014/12/25
まとめ
研究背景
研究目的
タイル LU 分解
タイルサイズチューニング
ピボット選択
まとめ
研究背景
研究目的
タイル LU 分解
タイルサイズチューニング
ピボット選択
まとめ
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タイル LU 分解
タイルサイズチューニング
ピボット選択
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研究背景
• 密行列数値線形代数用ライブラリ
• 行列分解 ⇒ 前処理
• 行列分解のタイルアルゴリズム
• 大量の細粒度タスクを生成
• one-sided factorization : Cholesky, LU, QR
• two-sided factorization : Hessenberg, bidiagonal
• 高並列計算環境
• クラスタシステム（分散メモリ）
• ヘテロジニアス環境（CPU & GPU）
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研究目的
タイル LU 分解
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ピボット選択
まとめ
タイルアルゴリズム
Step 0
!
End of step 0
Step 1
!
End of step 1
Step 2
!
Step 3
End of step 2
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タイル LU 分解
タイルサイズチューニング
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タイルアルゴリズムのタスク
• QR, LU では４種類のタスク
• ２種類の分解タスク
• ２種類の更新タスク
• m = n = 38, 400、タイルサイズ t = 320 のとき、
タイル数 120 × 120、
分解タスク数 120 + 7140、
更新タスク数 7140 + 3412920、
総タスク数 3427320
• タスク間の依存関係 ⇒ プログレステーブルで管理
• スケジューリング ⇒ タスクキューで動的に
• 大量の細粒度タスク ⇒ 負荷分散
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研究目的
タイル LU 分解
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ピボット選択
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タイル QR の実装 (previous work)
• 共有メモリ環境実装
• OpenMP ワークシェアリング
• 動的スケジューリング
• タスクキュー
• プログレステーブル
240&&
Ours
200&&
Speed%(GFlops)
研究背景
• クラスタ環境実装
• T2K@Tokyo, Cray XE6@Kyoto
• 1D ブロックサイクリックデータ分散
PLASMA&2.6.3
160&&
120&&
80&&
40&&
0&
5000&
10000& 15000& 20000& 25000& 30000&
Size%of%matrix
t=300,&s=50,&Cray&XE6&1node=32core
• 1 node 1 MPI プロセス
• CPU/GPU 環境実装
• CPU : 分解タスク
• GPU : 更新タスク
• 行列データ：メインメモリ ⇔ GPU メモリ
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タイル LU 分解
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研究目的
タイル LU 分解の、
• タイルサイズの実行時自動チューニング
• ピボット選択（戦略）
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LU 分解の更新アルゴリズム
（Updating Matrix Factorizations）

 B
A = 
D

C 
 の LU 分解。ただし、B : n × n, E : ne × ne , n ≫ ne
E
1. B を Block LU with partial pivoting で分解 → L , U
2. C を更新


 U 
 を U の形状に注意してBlock LU with partial pivoting で分解
3. 
D


 C 

 を更新
4. 
E
5. C 、D 、E を交換
6. 2. へ戻る
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タイル LU 分解
タイルサイズチューニング
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タイル LU 分解
for k = 0 to NT − 1 do
[Akk , pkk ] := LUBlk (Akk )
for j = k + 1 to NT − 1 do
Akj := FS(Akk , pkk , Akj )
end for
for[(i = k) + 1 to NT
] − 1 do (
)
Akk
Akk
S
, Lik , pik := LUBlk
Aik
Aik
for( j =)k + 1 to (NT − 1 do )
Akj
Akj
Lik
:= FSS
, pik ,
Aij
Aik
Aij
end for
end for
end for
j
LU_B
FS
LU^S_
SSRFB
LU_B
B
FS
FS
SSRFB
FS
SSRFB
FS
i
LU^S_
LU^S_
SSRFB SSRFB SSRFB
SSRFB SSRFB
B
LU_B
FS
B
FS^S
LU^S_
LU^S_
SSRFBLU^S_
SSRFB SSRFB
SSRFB SSRFB
SSRFB
B
B
LU_B
B
k
G. Quintana-Ortı́, et al., Design and Scheduling of an Algorithm-by-Blocks for the
LU Factorization on Multithreaded Architectures, FLAWN 26, 2007
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タイル LU 分解のデータ依存
j
LU_B
• i 方向 : 依存あり
• j 方向 : 分解後に並列実行可
• k 方向 : 逐次
FS
LU^S_
SSRFB
LU_B
B
FS
FS
SSRFB
FS
SSRFB
FS
i
LU^S_
LU^S_
SSRFB SSRFB SSRFB
SSRFB SSRFB
B
LU_B
FS
B
FS^S
LU^S_
LU^S_
SSRFBLU^S_
SSRFB SSRFB
SSRFB SSRFB
SSRFB
B
B
LU_B
B
k
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タイルサイズチューニング
※ 現在はタイル QR 分解に対して実施
• タイルサイズ小 = 大量の細粒度タスク ⇒ ロードバランス ↑
• タイルサイズ大 ⇒ L3 (CU)BLAS 性能 ↑
Tile QR on Cray XE6 (8 node) の最適（最速）ブロックサイズ
700"
600"
Tile/Inner)block)size
研究背景
500"
Tile"size
400"
300"
200"
Inner/block"size
100"
0"
0"
10000" 20000" 30000" 40000" 50000" 60000" 70000" 80000"
Matrix)size
以降、b = 5s
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タイルサイズと速度：8 ノード（QR）
1600,,
Speed%(GFlops)
1200,,
800,,
80,
160,
400,,
320,
640,
1280,
0,,
0,
20000,
40000,
Matrix%size
60000,
80000,
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ノード数と最適タイルサイズ（QR）
16'
14'
160
320
12'
Number'of'nodes
研究背景
10'
8'
640
6'
4'
2'
0'
0'
20000'
40000'
60000'
80000'
100000'
120000'
Matrix'size
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実行時タイルサイズ変更
k + 1 ステップからタイルサイズ大 ⇒ 小
タイルサイズ変更は、
• 縮小した分解・更新領域に
• 分解・更新とオーバーラップして
適用可能
ところが
「スピードアップ」 ≃ 「サイズ変更１回の手間」
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タイルサイズと時間：8 ノード（QR）
1000""
100""
Time%(sec)
研究背景
160"
10""
320"
1""
640"
0""
0"
20000"
40000"
Matrix%size
60000"
80000"
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実行時タイルサイズ変更に関する知見（QR）
• オーバーヘッド（実行時変更）
：
• タイル毎に大 ⇒ 小に変更可能
• サイズ変更時間 ⇐ ある程度の隠蔽可能
• 速度に対する効果が少ない
• 効果があるとすれば...
• 少ない計算資源＆大きな行列
• ヘテロな環境
• 通信に対する効果
• 自動チューニング：
• カーネルのオーバーラップ実行を考慮した性能モデル ⇒ 難しい
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ピボット選択
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CPU/GPU 混在環境におけるタイルアリゴリズム
役割分担：
• CPU : 分解操作 & GPU control
• GPU : 更新操作
• rich in L3 BLAS
• 長方形領域（タイル行）に適用 ⇒ より大きな行列を GPU へ
CPU0
GPU0
CPU1
GPU1
CPU2,)CPU3):)GPU)control
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ピボット選択
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SSRFB（更新 2）のトレース
x
2014
GPU
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CPU タスクのトレース
GPU
2014
cuda
GEQRT
TSQRT
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タイルサイズチューニング
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分解操作高速化のためのタイルサイズ変更
高速化の必要性：
• データ依存
• 更新 1 は分解 1 のデータ待ち
• 更新 2 は分解 2 のデータ待ち
高速化の方法：
• 再帰分割による更新カーネルのマルチスレッド実行
• （データ転送時間の削減）
• 隠蔽可能（被更新データ）
• 軽い（分解行列）
K. Kim, et al., Dense Matrix Computation on a Heterogenous Architecture: A
Block Synchronous Approach, FLAWN 63, 2012.
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通信時間削減のためのタイルサイズ変更
クラスタ環境下で、
• データ量多、通信回数少 v.s. データ量少、通信回数多
• オーバーヘッドによっては、効果があるかも
• ノード間通信回数の削減
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ピボット選択
まとめ
Incremental ピボット選択
第 k ステップのタイル列分解におけるピボット選択：
LUBlk (Akk ) : partial ピボット選択
（ピボット = Akk タイル下三角で絶対値最大）
for i = k +
( 1 to
) NT − 1 do
Akk
S
LUBlk
: partial ピボット選択
Aik
（ピボット = Akk の対角行と Aik 内で絶対値最大）
end for
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タイルサイズチューニング
ピボット選択
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ピボット選択
タイル LU のピボット選択 ⇒ incremental
ピボット選択法と誤差
partial
incrimental
誤差
小
タイルサイズ
大 (t = n)
⇒
⇐
pairwise
大
小 (t = 1)
• タイルサイズ ⇒ 誤差のチューニングパラメータ
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タイルサイズチューニング
ピボット選択
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1.0E%08'
タイルサイズと誤差（QR）
1.0E%09'
1.0E%10'
Residue
1.0E%11'
1.0E%12'
1.0E%13'
Orthogonality
1.0E%14'
0'
5000'
10000' 15000' 20000' 25000' 30000' 35000'
Matrix'size
O_80'
O_160'
O_320'
O_640'
O_1280'
R_80'
R_160'
R_320'
R_640'
R_1280'
• タイル QR では影響なし
• タイル LU ではどうか？ ⇒ 影響大（予想）
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タイルサイズチューニング
ピボット選択
まとめ
まとめ & Future works
• 実行時タイルサイズチューニング
• 更新カーネル高速化 ⇒ 効果少
• 分解カーネル高速化必要
• CPU/GPU 混在環境
• 通信時間削減？
• ピボット選択
• 誤差解析
• 新戦略の開発
• カーネルチューニング
• GPU 実装
• 通信最適化
• PLASMA カーネルは共有メモリ環境向け
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