1/1ペ ージ IⅡ 。(中 心力問題) 講義では、中心カポテ ンシャル び(r)の 下での質点 (質 量 η)の (“ ,7)平 面上の運動 を極座 標 o,7)=(r OOs,,rdnψ )を 用いて考察した。要点をまとめると以下の通りであった : 角運動量の ″成分 (保 存量)を Mで 表す と M=協 r2ψ であり、rの 運動方程式は 鶴r=― 3ミ(F) 券 で与えられる。 ここに有効ポテンシャル ydF(r)は 次式で定義される (A) : 十 陽0=颯 → 撃 窮 今、び(r)=arnの 場合 を考 える。 ここに、αとれは定数 で ある。以下 の設間に答えよ。 (1)中 心カポテ ンシャル 颯 r)が 引力であるためには、定数 αと れは どのような条件 を 満さねばな らな いか? 以下の設間では (1)の 条件が満 されて い る場合を考える。 (2)π =2、 π=-1お よび "舞 -4の 場合の 晩ぼr)を 図示せよ。 (3)原 点 (r=o)に 落ち込 まな い有界な軌道が存在するためには ■はどのような範囲に なけれ￨ばな らな いか?理 由を付 して答えよ。 以下では πは間 (3)で 与えた範囲にあるとする。 (4),(t)=宅 =一 定 の円軌道 の半径 raを 求めよ。なお、 この円軌道 の角運動量を M とする。更に、質点が この円軌道 を一周するのに要する時間 (同 期)Tcを rc、 だ、 燒 を用 いて表せ。 (5)前 問 (4)の 円軌道か ら微小にずれた軌道を考えよう。り )を 微小 として r(1)を (ι r(1)=ra十 り (1) (B) と表す。r(ι )の 運動方程式 (A)に c)を 代入 し、微小なりについて 隻縣Or展 開を行つ て一次 の項 のみを残 したり(3)の (線 形化 した)運 動方程式を書き下せ。なお、運動 方程式の係数 は rc、 M、 れ を用 いて表せ。 (6)前 間 (5)で 得た り )の (ι (線 形化)運 動方程式 の解 は振動 を表す。この振動 の同期 為 と (4)で 求めた円軌道 の同期 場 との関係 を導晩 (7)上 で考えた、円軌道に微小な振動が加わった軌道は、定数 ■がどのような条件を満 す場合に開 じるか?ま た、 この条件 を満す ■の例 を三つ与えよ。 http:〃 image.blog.1市 edoOrjp/nyoron2Amgs/d/a/dad81223jpg 2009/07/16
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