例題1

中学受験Unit.31- 3 4年平面図形‐面積２
面積と角度
例題１
右図の三角形ABCの面積は何cm2ですか。
A
6cm
45°
B
C
答え 9cm2
[例題１の解説]
図１
右図１のようにCから辺ABに垂直な線をひくと、
A
直角二等辺三角形2つになることがわかります。
3cm 45°
D
このとき BD＝DA＝DC＝3cm
3cm
底辺をABと考えると高さが3cmなので (三角形ABCの面積)＝6×3÷2＝9(cm2)
B
(別解)
図２
右図2のように直角二等辺三角形が4つで正方形になります。
3cm
45°
45°
B
C
A
6cm
よって (三角形ABCの面積)＝6×6÷4＝9(cm2)
45°
6cm
C
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中学受験Unit.31- 3 4年平面図形‐面積２
面積と角度
例題２
右図の色のついた部分の面積は何cm2ですか。
12cm
30°
5cm
答え 15cm2
[例題２の解説]
30度・60度・90度の直角三角形（三角じょうぎの１つ）は２つ組み合わせると
図１
右図１のように正三角形になります。
30°
30°
例えば30度・60度・90度の直角三角形でもっとも長い辺が10cmのとき、
図２のようにもっとも短い辺はその半分の5cmであることがわかります。
60°
60°
30度・60度・90度の直角三角形のもっとも長い辺の長さはもっとも短い辺の
図２
2倍であることを覚えておきましょう。
10cm
60°
10cm
2倍
30°
5cm
5cm
10cm
中学受験でよく出題されます。30度という角度があればこの長さの関係を思い出して下さい。
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中学受験Unit.31- 3 4年平面図形‐面積２
面積と角度
この三角形は30度・60度・90度の直角三角形なので
右図のようにもっとも短い辺は 12÷2＝6(cm) であることがわかります。
色のついた部分は底辺が5cmで高さが6cmの三角形です。
(色のついた部分の面積)＝5×6÷2＝15(cm2)
12cm
6cm
30°
5cm
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面積と角度
例題３
C
右図の三角形ABCはABとBCの長さが等しくなっています。
三角形ABCの面積は何cm2ですか。
150°
A
8cm
B
答え 16cm2
[例題３の解説]
二等辺三角形なので角度は右図１のようになります。
15°
図１
15°
8cm
150°
A
8cm
C
B
ほじょせん
さらに図２のように補助線をひくと三角形BDCが
15°
図２
30度・60度・90度の直角三角形であることがわかります。
よって CD＝8÷2＝4(cm)
15°
8cm
4cm
8cm
150°
A
C
B
D
30°
三角形ABCは底辺が8cmで高さが4cmなので (三角形ABCの面積)＝8×4÷2＝16(cm2)となります。
この問題の150度・15度・15度の二等辺三角形もよく出題されます。
この形でも30度・60度・90度の直角三角形を利用します。
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中学受験Unit.31- 3 4年平面図形‐面積２
面積と角度
例題４
C
右図の三角形ABCの面積は何cm2ですか。
8cm
150°
A
B
16cm
答え 32cm2
[例題４の解説]
下図のように補助線をひくと三角形BDCが30度・60度・90度の直角三角形であることがわかります。
よって CD＝8÷2＝4(cm)
C
8cm
A
60°
4cm
150°
16cm
B
D
30°
三角形ABCは底辺が16cmで高さが4cmなので (三角形ABCの面積)＝16×4÷2＝32(cm2)
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中学受験Unit.31- 3 4年平面図形‐面積２
面積と角度
例題５
右図の三角形ABCの面積は何cm2ですか。
A
30°
12cm
75°
C
B
答え 36cm2
[例題５の解説]
のこり１つの角の大きさは 180－(30＋75)＝75(度) なので
A
三角形ABCは 30度・75度・75度の二等辺三角形です。
30°
右図のようにBからACに垂直な線をひくと、三角形ABDが
30度・60度・90度の直角三角形であることがわかります。
よって BD＝12÷2＝6(cm)
12cm
12cm
三角形ABCは底辺が12cmで高さが6cmなので
(三角形ABCの面積)＝12×6÷2＝36(cm2)
※ BC＝6(cm) ではありません。気をつけましょう。
60°6cm
B
15°
D
75°
C
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面積と角度
例題６
右図の三角形ABCの面積は何cm2ですか。
C
8cm
15°
A
B
答え 6cm2
[例題６の解説]
右図１のように上下に2つ組み合わせて30度を作ります。
図１
A
C
8cm
15°
15°
B
8cm
D
図２のようにCからADに垂直に線をひくと、三角形AECが
図２
C
8cm
30度・60度・90度の直角三角形であることがわかります。
60°
よって CE＝8÷2＝4(cm)
三角形ADCは底辺が8cmで高さが4cmなので
(三角形ADCの面積)＝8×4÷2＝12(cm )
2
三角形ADCは三角形ABC２つ分なので
A
4cm
15°
15°
8cm
B
E
D
(三角形ABCの面積)＝12÷2＝6(cm )
2
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中学受験Unit.31- 3 4年平面図形‐面積２
面積と角度
例題７
右図のように正方形ABCDの中に正三角形BCEがあります。
A
D
E
色のついた部分の面積は何cm ですか。
2
20cm
B
C
答え 100cm2
[例題７の解説]
三角形BCEは正三角形なので角DCEは 90－60＝30(度)
A
D
E
CE＝CD なので三角形CDEは30度・75度・75度の二等辺三角形です。
F
60°
EからCDに垂直な線をひいて30度・60度・90度の直角三角形を作ります。
このとき EF＝20÷2＝10(cm)
20cm
20cm
20cm
20cm
30°
よって (色のついた部分の面積)＝20×10÷2＝100(cm2)
B
60°
60°
C
20cm
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中学受験Unit.31- 3 4年平面図形‐面積２
面積と角度
(別解)
A
のタイプと同じなので
右図の色のついた部分の面積は正方形の面積の半分です。
(右図の色のついた部分の面積)＝20×20÷2＝200(cm2)
E
D
20cm
よって (三角形CDEの面積)＝200÷2＝100(cm2)
B
C
ポイントまとめ
・30度・60度・90度の直角三角形のもっとも長い辺の長さはもっとも短い辺の2倍です。
・150度・15度・15度の二等辺三角形、30度・75度・75度の二等辺三角形はいろいろな図形問題で出題されます。
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