Witt identity を巡って

Witt identity を巡って
Michio Ozeki
Department of Mathematical Sciences
Faculty of Science
Yamagata University
Kojirakawa-machi 1-4-12, Yamagata
990-8560, JAPAN
February 15, 2005
1
1.1
E. Witt の略歴
経歴
(1) 1911 年 6 月 26 日、Alsen(現 Denmark 領) に生まれる。
(2) 生まれてすぐに宣教師の息子として、中国に行き、9 歳まで過ごす。
(3) 9 歳の時にドイツの学校に入学する。
(4) 19 才で大学入学資格試験に合格後、フライブルク大学、ゲッチンゲン大学等で数学、
物理学を勉強する。1933 年にゲッチンゲン大学で学位を取得する。ゲッチンゲン大学で
ハッセの助手として就職。
(5) 1939 年にハンブルク大学の教授に就任、以後 1979 年に引退するまで同大学に在任。
1.2
印象的な仕事 (網羅的でない)
(1) 1931 年 20 才の時に Wedderburn の定理「有限体は可換体である。」の 1 頁の別証明論
文を書く。これが初論文
(2) 1937 年 26 才の時に、任意の体上の２次形式の理論を発表。現代の２次形式の代数的
理論の端緒を開く。Witt 群、K-理論等へ。
(3) 1937 年リー環の表現論の論文を公表。
(4) 1938 年マチューの５次可移群の組合せ論的解析をした論文を発表。同年スタイナー系
についての論文を発表。これらは有限群論での記念碑的論文。
1
(5) 1941 年 30 才の時に、鏡映群、半単純リー環の分類についての論文を発表。同年”Eine
Identität zwischen Modulformen zweiten Grades, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 14
323-337” を発表。
(6) 以後 1950 年まで数学的に沈黙状態。それからは第二次大戦中およびそれ以前の自分
の仕事の補足的な仕事が目立つ。
Witt の 1941 年論文の解説
2
Witt の論文 Eine Identität zwischen Modulformen zweiten Grades は講演者にとっても修
行時代に熟読して自分の研究の糧の一つとしたが、後の二次形式の整数論の研究に大きい
影響力を及ぼした大論文である。その概要を辿ることにする。
1941 年当時 Witt が利用できた数学的手段としては次のものが挙げられる。
1. Siegel-Minkowski の mass-formula:
Γn (n ≡ 0 (mod 8)) を n 次元の even unimodular lattice のなす genus とし、Γn / ∼
をその genus 内の integral equivalence classes 全体とするとき、
Mn =
1
B2k j=4k−1
Bj (n = 8k),
= 21−8k
|Aut(L)|
(4k)!
j=1
L∈Γn /∼
ここで、Bj はベルヌイ数で、
1
1
1
1
5
B1 = , B2 = , B3 = , B4 = , B5 = , · · ·
6
30
42
30
66
2. root lattice E6 , E7 , E8 , Dm (m ≥ 4), An (n ≥ 1) とそれらの自己同型写像群. 8|m の
とき、Dm より definite even unimodular lattice D̃m が構成される。
3. あまり洗練されていない vanishing theorem, Siegel modular form のなす線形空間の
次元の評価
4. Siegel の基本定理:
Eisenstein 級数 = １つの genus 内の lattice の同値類に対する重みを付けられた
theta 級数の和
Satz
Satz
Satz
Satz
1
2
3
4
項目 3 についての Siegel の一定理の引用。
項目 3 を使いやすい形にした。
Γ16 / ∼ の決定。
Hel Braun の一結果の引用。Eisenstein 級数の収束性。
2
Satz 5 θ2 (τ, E82 ) = θ2 (τ, D̃16 )
Satz 6 Witt identity:
E4 (τ )2 = E8 (τ )
の証明。ここで、Ek (τ ) は 2 次で重みが k の Siegel Eisenstein 級数で
Ek (τ ) =
1
,
C,D det(Cτ + D)
C, D は 2 次の整数係数の正方行列で、coprime という条件の下で、すべてを動き、τ は２
次の Siegel 上半空間の上の変数。
2.1
Satz 3 の詳説
Witt は次の事実を述べている。
|Aut(E8 )| = 696729600 = 192 · 10!
|Aut(D̃16 )| = 685597979049984000 = 215 · 16!
|Aut(E82 )| = 6967296002 · 2
= 970804271032320000
このことと mass formula を突き合わせると、
M(Γ16 / ∼) =
691
277667181515243520000
1
1
+
と一致することを確かめることにより、Witt は
2
|Aut(E8 )| |Aut(D̃16 )|
Γ16 / ∼ {E82 , D̃16 } を示し得た。これに関連して Witt は p-324 で次のように書いている。
Bei dem Versuch, eine Form aus einer solchen Klasse wirklich anzugeben, fand ich mehr
als 10 verschiedene Klassen in Γ24 . Die Bestimmung von h24 sheint nicht ganz leicht zu
sein.
”Γ24 には 10 より多くの同値類を私は見付けている。h24 の決定は容易なものではないよ
うに見える。”
結局この問題は 28 年後に H.-V. Niemeier により解決された。講演者もこの問題を
Niemeier とほぼ同時期に追及していたのであるが。
この後の量が
2.2
Satz 5 の詳説
L を positive definite even unimodular lattice とするとき、L に付随した２次の Siegel
theta series θ2 (τ, L) は次のように定義される。
θ2 (τ, L) =
exp(πitr([x, y]τ )),
x,y∈L
3
ここで τ は２次の Siegel 上半空間の上の変数、
[x, y] =
(x, x) (x, y)
(x, y) (y, y)
,
(x, x) は L の上の内積を表す。また tr は正方行列のトレースをとることである。Satz 5
は等式
θ2 (τ, E82 ) = θ2 (τ, D̃16 )
を示すことにあるが、そのために Witt はこれらの theta series の初めの方のフーリエ係
数を計算し、Satz 2 を援用することにより等式を示し得た。
Witt は３次の Siegel theta series についても等式
θ3 (τ, E82 ) = θ3 (τ, D̃16 )
を予想しているが、この予想は 1967 に至って井草と Kneser とによって殆ど同時にしかし
全く異なる方法により肯定的に解決された。
2.3
Satz 6 の詳説
Siegel の基本定理を援用すると
E4 (τ ) = θ2 (τ, E8 )
θ2 (τ, D̃16 )
θ2 (τ, E82 )
+
E8 (τ ) = (
)/(M(Γ16 / ∼))
2
|Aut(E8 )| |Aut(D̃16 )|
を示すことが出来る。ここで低い重みでの Eisenstein 級数の収束性を気にしなくてはな
らないが、それは Satz 4 で保証されている。
次の同等性は、式を追跡することにより、見て取れる。θ2 (τ, E8 )2 = θ2 (τ, E82 ) に注意す
ると、
E4 (τ )2 = E8 (τ ) ⇐⇒ θ2 (τ, E8 )2 = (
θ2 (τ, D̃16 )
θ2 (τ, E82 )
+
)/(M(Γ16 / ∼))
|Aut(E82 )| |Aut(D̃16 )|
⇐⇒ θ2 (τ, E82 ) = θ2 (τ, D̃16 )
最後の等式は Satz 5 により証明済みだから、Satz 6 も証明されたことになる。
3
3.1
Witt 以後
Classification of positive definite integral quadratic forms
Witt による Γ16 / ∼ の決定の後、Kneser が整係数の正定値２次形式の分類問題に基本的
な貢献をした。その延長線で、Kneser の学生であった H.-V. Niemeier が Γ24 / ∼ の分類
4
問題を解決した。Γ32 / ∼ の分類問題は、Minkowski-Siegel の Mass-formula によるその類
数の評価から考えても取り組むには無謀過ぎる問題の一つと看做されている。
definite な odd unimodular lattice の分類問題は Kneser の Klassenzahlen definiter
quadratischer Formen で相当な進展を見たが、Conway-Sloane, Borcherds 等の研究に
より実行可能な次元 (25) までの分類はなされた。
1. H. Minkowski, Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen mit ganzzahligen Koefficienten, Mem. pres. par divers savants a l’Academie des Science
Inst. nat. de France, 29 1911
2. C.L. Siegel, Über die analytische Theorie der quadratischen Formen, Ann. Math.
36 1935
3. L.J. Mordell, The definite quadratic forms in eight variables with determinant unity,
J. Math. Pures Appl. 17 1938
4. E. Witt, Eine Identitat zwischen Modulformen zweiten Grades, Abhandlungen aus
Mathm. Seminar Hamburg, 14 (1941), 323-337,
5. M. Kneser, Klassenzahlen indefinite quadratischer Formen, Archiv der Math. 7
(1956), 323-332
6. M. Kneser, Klassenzahlen definiter quadratischer Formen, Archiv der Math. 8
(1957), 241-250
7. H.-V. Niemeier, Definite quadratische Formen der Dimension 24 und Diskriminante
1, J. Num. Th. 5 (1973), 142-178
8. B. B. Venkov, The classification of integral even unimodular 24-dimensional quadratic
forms, Proc. Steklov Inst. 1980
9. J. H. Conway and N. J. S. Sloane, On the enumeration of lattices of determinant
one, J. Num. Th. 15 (1982) 83-94
10. R. E. Borcherds, The 24-dimensional odd unimodular lattices, Chap. 17 of ConwaySloane’s book SPLAG
3.2
Dimension estimate, vanishing theorem
Siegel の Einfürung と Witt の Eine Identität が起源となっている研究の１潮流で、Siegel
保型形式の環の構造が分からない場合でも、ある所までのフーリエ係数がゼロならばその
5
保型形式が恒等的にゼロになるという形の命題が vanishing theorem で、ある weight の保
型形式のなす線形空間の次元の粗い評価を dimension estimate といっている。次元の精密
な評価は、Eichler-Selberg の trace formula とか、modular variety の compact 化の後に
可能な Riemann-Roch theorem を通してなされる。
1. C.L. Siegel, Einfürung in die Theorie der Modulfunctionen n-ten Grades, Math.
Ann. 116 (1939)
2. E. Witt, Eine Identität zwischen Modulformen zweiten Grades, Abhandlungen aus
Mathm. Seminar Hamburg, 14 (1941), 323-337,
3. M. Eichler, Zur Begründing der Theorie der automorphen Funktionen in mehreren
Variablen, Aeq. Math. 3 (1969) 93-111
4. M. Eichler, Über die Anzahl der linear unabhängigen Siegelschen Modulformen von
gegebenem Gewicht, Math. Ann. 213 (1975) 281-291
5. C. Poor and D. Yuen, Dimensions of spaces of Siegel modular forms of low weight
in degree four, Bull. Austral. Math. Soc. 54 (1996) 309-315
6. C. Poor and D. Yuen, Estimates for dimensions of spaces of Siegel modular cusp
forms, Abhand. Math. Sem. Univ. Hamburg 66 (1996) 17
7. C. Poor and D. Yuen, Linear dependence among Siegel modular forms, Math. Ann.
318 (2000) 205-234
Poor と Yuen の１連の共同研究は保型形式のなす線形空間の次元の評価を degree ４で行っ
ているが、恐らくは彼等は Siegel 保型形式の環の決定を目論んでいると推察できる。そ
のための準備段階としての次元の評価ではないか。
3.3
Dimension of the space spanned by theta series, basis problem for Siegel modular forms, linear relations among theta
series
Witt の Eine Identität の後、Kneser が Lineare Relationen zwischen Darstellungsanzahlen
quadratischer Formen で問題を一般化した。すなわちある genus 内の 2 次形式の同値類に
ついて、その 2 次形式に付随した Siegel theta series のなす線型空間の次元、あるいは線
型従属性を調べよという問題に。この問題に関連して basis problem の問題が持ち上がる。
それは保型形式のなす線型空間が何時 2 次形式の theta series で張られるかという問題で
ある。full modular group で 2 次の場合は小関により、それより高次の場合は Böcherer
により (次数と重みに若干の制約付きではあるが) 解決されている。level 付きの modular
group については次数２で Böcherer が最近結果を出している。
6
1. M. Kneser, Lineare Relationen zwischen Darstellungsanzahlen quadratischer Formen, Math. Ann. 168 (1967) 31-39
2. M. Ozeki, On basis problem for Siegel modular forms of degree 2, Acta Arithm. 31
(1976) 17-30
3. M. Ozeki, On a relation satisfied by Fourier coefficients of theta-series of degree one
and two. Math. Ann. 222 (1977) 225-228
4. V.A. Erokhin, Theta series of even unimodular 24-dimensional lattices, LOMI 86
(1979) 82-93
5. V.A. Erokhin, Theta series of even unimodular lattices, LOMI 199 (1981) 1012-1020
6. S. Böcherer, Uber die Fourier-Jacobi Entwicklung Siegelscher Eisensteinreihen, Math.
Z. 183 (1983) 21-46
7. M. Ozeki, Examples of even unimodular extremal lattices of rank 40 and their Siegel
theta-series of degree 2, J. Num. Th. 35 (1988) 119-131
8. M. Peters, Siegel theta series of degree 2 of extremal lattices, J. Num. Th. 35
(1990) 58-61
9. R.E. Borcherds, E. Freitag, R. Weissauer, A Siegel cusp form of degree 12 and weight
12, J. reine angew. Math. 494 (1998) 141-153
10. G. Nebe and B.B. Venkov, On Siegel modular forms of weight 12, J. reine angew.
Math. 531 (2000) 503-518
11. R.S. Manni, Slopes of cusp forms and theta series, J. Num. Th. 83 (2000) 282-296
7

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