株価とブラウン運動ブラウン運動株価の変動確率解析の展開確率解析展開ー確率分布から見本路解析へー顕微鏡をのぞくと株価が！ブラウン運動の発見から数理ファイナンスまで数理学研究院谷口説男 1次元ブラウン運動 (数学的に) 原点から出発する連続関数の空間 W W={ w:[0 w:[0,∞)→R ∞)→R | 連続，w(0)=0} 連続 w(0)=0}：全事象座標関数 Bt:W→R (Bt(w)=w(t)) 時刻 t での位置位置ブラウン運動のｘ座標幾何ブラウン運動 Louis Bacherier (1870-1946) 時刻 t での株価∝Bt P l Samuelson Paul S l (1915-2009.12.13) (1915 2009 12 13) 時刻tでの株価 ∝exp(σB exp(σBt+νt) Black-Sholesの価格公式顕微鏡確率論 1654 Bl Blaise i Pascal（1623-1662） P l（1623 1662） Pierre de Fermat（1601-1665）（） Pascal 往復書簡ゲーム中断時の掛け金の配分発明：1590年頃オランダ人ヤンセン親子発明 1590年頃オランダ人ヤンセン親子 (Hans, Zacharias Janssen) Robert Hooke;1635-1703 Fermat 20世紀ブラウン運動の解析学 1932 Andreｙ Kolmogrov Foundations of the Theory of Probability 1942 伊藤清確率積分・確率微分方程式 Anton van Leeuwenhoek; 1632-1723 1976 P.Malliavin マリアバン解析リアバ解析ブラウン運動の発見(現象) ラウン運動の発見(現象) ブラウンの見たものラウンの見たもの水の中に浮かぶ花粉にから出てきた微粒子が，止むことのない不規則でジグザグな運動を行うことを観察 Robert Brown;1773-1858 1828(1827年夏の観測) 非生物現象（すす岩石鉱物非生物現象（すす,岩石,鉱物, スフィンクスの破片） Jan Ingenhousz;1730-1799 1784年アルコール上の炭素粒子 Adolphe Brongniart; 1801-1876 1827年 B.Ford ユーロネクスト・パリ（旧パリ証券取引所 19世紀後半(なぜ動く？) 世紀後半(なぜ動く ) ～1880年代 (a)光による不規則な加熱， ((b)溶液内の温度差，溶液の蒸発 )溶液内の温度差，溶液の蒸発 (c)溶液の表面張力 (d)電気的な力 1877年 J. Delsaux 水分子との衝突による YES 19世紀後半原子は存在しない電磁気学理論「連続な微分方程式で記述できる」 1905年奇跡の年：アインシュタイン光量子仮説，ブラウン運動，特殊相対性理論 Lucretius;BC99年頃-BC55 物質はすべて原子から成りたつ部屋に差し込む光に浮かぶ微塵 J.Maxwell 1888年 L. Gouy (1)運動は非常に不規則，軌道は微分不可 (2) 粒子はお互いに独立に動く (3) 粒子が小さい，溶液の粘性が低い，溶液度がが溶液温度が上がる，と運動は激しくなる激くな (4) 粒子の組成・濃度は運動に影響しない (5) 運動は止むことがないカルノーの原理？熱力学の成功（巨視的）実証主義 E.Mach 気体分子論統計力学 F.Ostwald L.Boltzmann アインシュタインよりも先に 1906 1904 時刻 t に x の回り単位体積空間に見つかるブラウン運動する微粒子の数 f(x,t) f(x t) 熱方程式 Albert Einstein, 1879-1955 ガウス核核粒子の分布 William Sutherland (Austraria) 1859 1911 1859-1911 Marian von Smoluchowski 1872-1917 R：気体定数，T：絶対温度気 NA：アボガドロ数 η：粘性率，a：粒子半径歴史ー数学的に 1880年 Thorvald Thiele;1838-1910 Thiele;1838 1910 デンマーク人の天文学者・統計学者 1880年計器の時刻tにおける位置Btの推定観測値：Zt=Bt+εｔ（測定誤差あり） Btは独立な増分を持は独立な増分を持つデンマーク語の論文最小二乗法歴史ー数学的に 1905ｰ13年歴史ー数学的に歴史数学的に 1900年 900年 L i B Louis Bacherier;1870-1946 h i 1870 1946 Théorie de la spéculation, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup.17 (1900), 21-86 St：株価株価 St-S Ss～S St-s と仮定熱熱方程式・ガウス核式核数学的厳密性？学位論文 honorable 次席 ←ランダムウォーク歴史ｰ数学的に 1923年 Norbert b Wiener;1894-1964 1923 Differential space, J. Math. Phys. 2 R：気体定数，T：絶対温度， NA：アボガドロ数， η：粘性率，a：粒子半径 Les Atomes (1913) Jean Perrin;1870-1942 直径1μm程度の球形微粒子を浮かべたコロイド溶液で精緻な観測 (i) ストークスの法則を『小さい』ブラウン粒子に適用してよい (ii) 浸透圧の公式を『大きい』ブラウン粒子に適用してよい (iii) 平均二乗変位σ 平均二乗変位σ＾2∝t 2∝t，粒子の変位のヒストグラムは正規分布のグラフに一致する (iv) Dを力学的拡散係数と同 Dを力学的拡散係数と同一視して良い視して良い (v) 種々の方法によるアボガドロ数の計測 ⇒Einsteinのアボガドロ数の計測法が正しいブラウン運動の存在！連続性！歴史ｰ数学的に 1931年確率過程と偏微分方程式 Andrey Kolmogorov;1903-1987 ;1903 1987 Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Wahrscheinlichkeitsrechnung Math. Ann. 104 Forward Eq (Fokker (Fokker-Planck) Planck) 拡散過程の構成⇔偏微分方程式コルモゴロフの拡張定理ルフ拡張定理 Backward Eq コルモゴロフの連続性定理歴史ｰ数学的に 1940年歴史ｰ数学的に 1968年 Paul Lévy;1886 Lévy;1886-1971 1971 Le mouvement Brownien plan Amer Jour. Amer. Jour Math., Math 62 (1940) Haar関数 -n+1 k2 -n+1 (k+1)2 Itô-Nisio ô i i On the convergence g of sums of independent p Banach space valued random variables Osaka Jour. Math. 5 (1968) 35–48 確率積分ｰ1942年確率積分 – 定義伊藤清；1915 2008 伊藤清；1915-2008 1942年，『Markoff過程ヲ定メル確率微分方程式』ブラウン運動に基づく微積分学伊藤積分の等長性 RHS<∞へ一般化伊藤の公式 - 連鎖定理 - 確率微分方程式ランダムな擾乱積分方程式 Lipschitz連続解の存在と意性解の存在と一意性 (逐次近似）確率微分方程式と偏微分方程式 Feynman-Kacの公式 Richard Ri h d Feynman; F 1918-1988 1918 1988 1942年 Feynman経路積分 1947年春 Cornell Physics Colloqium Mark Kac; 1914-1984 Forward Eq 大偏差原理  ε→0：準古典近似に対応準典近似対  Shilderの定理  Donsker-Varadhanの定理多様体上の確率微分方程式多様体上のブラウン運動多様体上のブラウン運動と熱方程式  M：Riemann多様体，O(M)： M：Riemann多様体 O(M)：直交枠束  ω：接続形式，θ：soler形式  ξ に付随する水平ベクトル場  熱方程式の解  基本水平ベクトル場  O(M) 上の確率微分方程式  微分形式に対する熱方程式の解  M上のブラウン運動；多様体への巻き付けと展開  水平持ち上げマリアバン解析  H H-微分微分  確率平行移動  巻き付け  展開 ソボレフ空間双対 Wiener空間上の超関数 – 熱核  非退化：  Watanabe’s pullback 色々と  熱核の短時間漸近挙動 diagonal, off-diagonal  Gauss-Bonnet-Chernの定理定理  跡公式  経路空間上の解析  ラフパス解析  熱半群熱半群→熱核熱核 Dynamical Asset Pricing Model  市場  安全証券(国債，預金など) 安全証券(国債預金など)  危険証券(株式など） (  裁定機会の有無裁定機会の有無，ヘッジ可能性，ヘッジ可能性金融派生商品の価格公式金融工学と確率解析の邂逅  1900年バシェリエ  1950年以前経済学者に認知されず  1950年代再発見サベサベージの手紙ジの手紙「誰かバシェリエという1914年に投資に関する小冊子を出版したフランス人を知っているか?」  1965年 P. Samuelson  1973年 F. Black & M. Sholes  1973年 R. Merton BSモデル－オプションの価格公式ヨーロピアンコールオプション満期時に危険証券を1単位価格Kで買う権利 max{ST-K,0} 放棄利益 0 NO 満期 ST>K YES 行使利益 ST-K B-Sの価格公式