方程式と不等式 - 高認コミュニティ

方程式と不等式
(1) 方程式とは？
文字を含んだ式において、その文字がある特定の値のときに等式が成り立つもの
を方程式といいます。方程式にあてはまる文字の値を解といい、解を求める事を
「方程式を解く」といいます。
例えば、次のような問題を考える時に方程式を立てます。
大井君はアメ玉を５個持っていました。河野君のアメ玉と合わせると８個になりま
した。河野君は何個のアメ玉を持っていましたか？
第２章文字式でも勉強しましたが数学として解くには、わからないものを文字で置
きかえます。(ひとまず文字で置いてから式を立て具体的な数を求めます。)
河野君の持っているアメ玉をＸ個とすると、
５＋Ｘ＝８　という式がなりたちますね。これが方程式です。
この方程式の解は、Ｘ＝３になります。
方程式の解き方は次の項目で勉強します。
(2) 方程式の解き方
５＋Ｘ＝８を例にして考えてみましょう。
この方程式の意味は５にある数ｘを加えると８になります。ある数ｘはいくつか？
という問題です。
以下のようにして解きます。
５＋ｘ＝８の両辺から５をひくと、５＋ｘ－５＝８－５となります。
・左辺＝５＋ｘ－５＝ｘ
・右辺＝８－５＝３
左辺と右辺はイコールで結ばれているので、
ｘ＝３となり、ある数が求まりました。
これが基本的な考え方です。
これをふまえて、移項という作業を勉強しましょう（方程式を解く上で重要な知識移項
です。）
等式または不等式で一方
移項とは、数字や文字をイコールの反対側へ移動させる事です。
えて他方の辺に移すこと
そして、イコールの反対側へ移動すると符号が変わります。←ポイント！
さきほどの方程式を例にしましょう。
左辺にｘ、右辺に数字がくるように移項します。
５＋ｘ＝８
ｘ＝８－５　←左辺の５を右辺に移項するとマイナス５になる
[サンプル 5－1]
・ｘ－２＝５
ｘ＝５＋２　←左辺の－２を右辺に移項して２
ｘ＝７
・２ｘ＝ｘ＋１
２ｘ－ｘ＝１　←右辺のｘを右辺に移項して－ｘ
ｘ＝１
・２ｘ＋３＝ｘ＋５　←左辺の３と右辺のｘをそれぞれ移項する
２ｘ－ｘ＝５－３
ｘ＝２
の辺にある項の符号を変
練習問題 5-1　次の方程式を解きなさい。
(1) ｘ＋9＝11　(2) ｘ－５＝－２　(3) ２ｘ＝４
(4) x＋４＝２ｘ＋６　(5)２ｘー１＝ｘ
解説
(1) ｘ＋9＝11
ｘ＝11－9　←左辺の９を右辺に移項して－９
ｘ＝２
(2) ｘ－５＝－２
ｘ＝－２＋５　←左辺の－５を右辺に移項して＋５
ｘ＝３
(3) 2 ｘ＝4　←両辺を２でわる
ｘ=2
(4) x＋４＝２ｘ＋６
ｘ－2x=6 ー４　←左辺の４と右辺の２ｘをそれぞれ移項する
－ｘ＝２
ｘ=ー２
(5)２ｘー１＝ｘ　←左辺の－１と右辺のｘをそれぞれ移項する
2 ｘ－ｘ＝１
ｘ＝１
(3) 二次方程式とは？
すべての項を左辺に移項して整理した時、左辺がｘの２次式（ a x 2b xc=0
の形）になる方程式を二次方程式といいます。
二次方程式の解法は大きく分けて、次の二つがあります。
①因数分解を使った解き方
②解の公式を使った解き方　←過去の出題率１００％
二次方程式をみたら、まずは、因数分解を考えます。因数分解できない場合には、
解の公式を当てはめていくのが基本です。
①因数分解を使った解法
二次方程式
x 2 3 x 2=0
左辺を因数分解すると、
次に、左辺の
 x1=0
よって、解は
 x1
、
を考えてみましょう。
 x1 x 2=0
と
 x2
 x2=0
となります。
がそれぞれ０になる x を求めます。
ですから－1 と－2 が当てはまります。
x =−1,−2
[サンプル 5－2]
・
x 2−4 x 3=0
 x−1 x −3=0
・
x 2−2 x−3=0
 x1 x −3=0
よって
x =1,3
よって
x=−1,3
練習問題 5-2　次の二次方程式を解きなさい。
(1)
x 22 x−15=0
(2)
x 2−1=0
(4)
2 x 2−3 x −2=0
(5)
6 x 27 x−5=0
(3)
x 2−9=0
解説
(1)
(2)
(3)
x 22 x−15= x−3 x 5=0
2
x −1= x−1 x1=0
x 2−9= x −3 x3 =0
よって、
よって、
よって、
(4)
2 x 2−3 x −2=2 x 1 x−2 =0
(5)
6 x 27 x−5= 2 x−13 x5=0
x =3、−5
x =−1、1
x =3 、−3
よって、
よって、
1
x =− 、2
2
1
5
x = 、−
2
3
②解の公式を使った解法
因数分解できない場合は、解の公式を使って方程式を解きます。
出題率 100%なので絶対暗記してください。
二次方程式解の公式
ax 2bxc=0
x=
の解は、
−b ±  b 2−4ac
2a
※a は 0 以外の数 (a=0 だと二次方程式でなくなるため！)
2 x 25 x1=0 の場合で考えると
a =2 、 b=5、c=1 だから、これらの値を解の公式に代入します。
−b ±  b 2−4ac −5 ±  52−4 × 2 ×1 −5±  17
x=
=
=
2a
2× 2
4
±の符号でまとめて書いていますが、実際には解は以下の二つ存在します。
x=
−5 17 −5− 17
、
4
4
[サンプル 5－3]
4 x 2−7 x−6=0
a =4 、b=−7 、c=−6
だから、これらの値を解の公式に代入します。
−b ±  b −4ac 7 ± −72−4 × 4 ×−6 7 ±  145
x=
=
=
2a
2 ×4
8
2
練習問題 5-3　次の二次方程式を解きなさい。
(1)
5 x 26 x−2=0
(2)
2 x 23 x−1=0
解説
(1)
(１)は、b が偶数です。
a =5 、b=6、 c=−2 だから、これらの値を解の公式に代入します。
−b ±  b 2−4ac −6 ±  6 2−4×5×−2 −6±  76 −6 ± 2  19
x=
=
=
=
2a
2 ×5
10
10
−3 ±  19
約分して x =
←分母と分子を２でわって約分した。
5
(2)
a=2、 b=3、c =−1 だから、これらの値を解の公式に代入します。
−b ±  b −4ac −3 ±  3 −4 ×2×−1 −3 ±  17
=
=
2a
2× 2
4
2
x=
2
一般に
ax 2 bxc=0 の
ｂが偶数の場合
2
a x 2b xc=0
−b ±  b2−ac
x=
a
が成り立ち、少し計算が
楽になります。(約分の必
要がなくなります。)
(4) 二次方程式の発展問題
例えば、二次方程式
x 23 x 2=0
の解は、因数分解を利用して解が
x =−1,−2 となる事を学んできました。
この二つの解を、元の方程式に代入すると当然０になります。
・
x =−1 を元の方程式に代入して計算すると０になります。
⇒
・
−123 ×−12=0
x =−2 を元の方程式に代入して計算すると０になります。
⇒
−223 ×−22=0
つまり、解を元の方程式に代入すると０になります。この基本を押さえた上で高認
では次のような問題がよく出題されています。
[サンプル 5－4]
x
の二次方程式
4 x 2−3m x−m=0
(m は定数)の解の一つが－1 であるとき
m の値を求めよ。
解の一つが－1 であるから、元の方程式に代入すれば０になるとわかります。
よって、x=－1 を代入すると
これを整理すると
よって
m=−2
4 −12 −3m ×−1−m=0
42m=0 となります。←m の方程式になりました！
練習問題 5-4　ｘの二次方程式
2 x 2m xm7=0
(m は定数)の解の一つが 2 であるとき、m
の値は［キク］である。(平成 20 年第 2 回高認試験)
解説
解の一つが 2 であるから元の方程式
2 x 2m xm7=0
に代入します。
2
2 2 m×2m7=0
整理すると
3m15=0
となります。
これを満たす m を求めると
m=−5 となります。
練習問題 5-5
x の二次方程式
x 2a−5 x−6=0
(a は定数)の解の一つが 3 であるとき、a
の値は［ケ］で、もう一つの解は［コサ］である。(平成 18 年第 1 回高認試験)
解説
x 2a−5 x−6=0
3 23a −5−6=0
93a−15−6=0
の解の一つが３であるから代入すると
a について解くと a=4
これを元の方程式に代入すると、
x 2 4−5 x −6=0
2
x −x −6=0
 x−3 x2=0
よって x=－2、3 である。
よってもう一つの解は－２とわかります。
となります。
(5) 不等式とは？
不等式とは、数や式の大小を不等号を用いて表した式のことです。
高認試験では、一次不等式と二次不等式の計算問題が頻出しています。
①一次不等式　(１次式の不等式)
「ある数ｘの２倍に１を加えた数は、ｘの５倍より大きい」を不等式で表すと、
2 x15 x
となります。
これを解くには、一次方程式と同じように、以下のように解きます。
2 x15 x
2 x −5 x1
←5 ｘを左辺に移項した。
−3 x1
1
x −
3
←マイナスで割ると不等号の向きが変わる。
[サンプル 5－5]
2 x3 ≦ x5 を解きます。
2 x−x ≦ 5−3 ←ｘを右辺、３を左辺に移項した。
x ≦ 2
一次不等式
[重要ポイント]
両辺にマイナスをかけたり、両辺をマイナスでわると不等号＞の向きが変わる事に注意。
[サンプル 5－6]
x 52 x6
(1)一次不等式
x −2 x6−5
−x1
←2x を左辺、5 を右辺に移項した。
←移項した式を整理した。
x −1
(2)一次不等式
を解きます。
←両辺をマイナスでわると、不等号の向きが変わる。
x 43 x10
x −3 x10−4
を解きます。
←3x を左辺、4 を右辺に移項した。
−2 x 6 ←移項した式を整理した。
x −3 ←両辺を－2 でわった。
練習問題 5-5　次の一次不等式を解きなさい。
3 x−22 x 1
(1)
(2)
2 x−55 x4
解説
3 x−22 x 1
(1)
3 x−2 x 12
2 x−55 x4
(2)
x 3
2 x−5 x45
−3 x9
x −3
練習問題 5-6　次の一次不等式を解きなさい。
(1)
3 x −2
x1
2
(2)
0.2 x−1x0.5
解説高認試験の一次不等式では、分数や小数を含んだ問題が頻出！
3 x −2
x1
2
両辺を２倍すると 3 x−22 x1 となる。
3 x−22 x 2
3 x−2 x 22 ←2x を左辺、－2 を右辺に移項した。
(1)
(2)
x 4
0.2 x−1x0.6
2 x−1010 x6 となる。
2 x−10 x610 ←10x を左辺、－10 を右辺に移項した。
−8 x16
両辺を 10 倍すると
x −2
←両辺を－８でわった。
②一次不等式の文章問題
高認試験では大問２で２問、方程式や不等式の応用問題が出題されています。こ
のタイプの問題は、単純に公式に当てはめるのではなく、自分で式を立てなければ
いけないので、やや難しい所もあります。（どうしても苦手なら、配点は 10 点程度な
のでバッサリ切り落としても大丈夫です。）
まず何を求めるのか？何と何が等しいか問題文をよく読み分析します。そして求め
たい数量を文字で表し方程式を作ります。
文章問題のポイント
①問題分析　何を求めるのか？数量関係を調べる。
②文字の決定　求める数量を文字にする。
③方程式をつくる　数式で表す。
④方程式を解く　因数分解などを利用して方程式を解く。
上のポイントを意識して、過去問題や類似問題で慣れる必要があります。
[サンプル 5－7]
ボール 1 個を的に当てるゲームがある。ボールが的に当たったときの得点は
5 点ではずれたときの得点は 1 点である。このゲームを 20 回行うとき、
合計得点を 70 点以上にするには、最低［キク］回当てなければならない。
ボールが当たった時をｘ　はずれた時をｙとすると条件より
x  y=20 ・・・①　5 x y ≧ 70 ・・・②
y =20− x これを②に代入すると 5 x 20−x≧ 70
これを解くと、 x ≧ 25 よって、最低 13 回当てなければならない。
2
①を変形して、
③二次不等式　(2 次式の不等式)
二次不等式の計算問題も高認試験では頻出です。大問３の二次関数の項目で出題さ
れますが、以下の公式を暗記しておけばグラフなどを使う必要はなく、機械的に正
解できます。
a x 2b xc0 の解を求めるには、まず左辺を因数分解して
 x−α x− β の形にする必要があります。
二次不等式
二次方程式の項目で学習したように、
 x−α x− β=0
の解は
ｘ＝α，β (α＜β)とわかります。
この前提知識をもとに二次不等式を解きます。
a x 2b xc
の解がｘ＝α，β (α＜β) のとき
・二次不等式
a x 2b xc0
の解は、α ＜ｘ＜ β
・二次不等式
a x 2b xc0
の解は、ｘ＜ α、β＜ｘ
これも具体的な問題をこなす事で自然と身につきます。暗記するべきポイントは二
次不等式の不等号の向きによって解の範囲が変わる所です。
[サンプル 5－8]
x 2 −x −60 を解きます。
左辺を因数分解すると  x2 x−30
(1) 二次不等式
二次不等式の公式より、－２＜ｘ＜３
x 2 −x −60 を解きます。
左辺を因数分解すると  x2 x−30
(2) 二次不等式
二次不等式の公式より、ｘ＜－２、３＜ｘ
練習問題 5-7　次の二次不等式を解きなさい。
(1)
x 24 x30
(2)
x 2−3 x 0
解説
(1)
x 24 x30
左辺を因数分解すると
 x1 x 30
二次不等式の公式より、ｘ＜－3、－1＜ｘ
(2)
x 2−3 x 0
左辺を因数分解すると
x  x−30
二次不等式の公式より、0＜ｘ＜３

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