代数と幾何D(第 2 回小テスト解答・2007/11/21)1 各小問 10 点 (150 点満点) [1] < 10 点> 空でない集合 G 上に二項演算 ◦ : G × G −→ G, (a, b) 7−→ a ◦ b が定義され,以 下 (G1), (G2), (G3) を満たすとき (G, ◦) を群という: (G1) 結合法則 任意の a, b, c ∈ G に対して,(a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c). (G2) 単位元の存在 ある e ∈ G が存在し,任意の a ∈ G に対して,a ◦ e = e ◦ a = a. (G3) 逆元の存在 任意の a ∈ G に対し,ある a0 ∈ G が存在して,a ◦ a0 = a0 ◦ a = e. [2] < 4+3+3 点> (i) 偶置換 (ii) 奇置換 (iii) 奇置換 [3] <各 2 点+(i), (iii) はボーナス各 3 点> (i)-1 1 2 3 4 5 (i)-2 1 2 3 4 5 (i)-3 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 (ii) 6 本 (iii) (1 5 3 4 2) は偶置換なので,横棒は必ず偶数本 (なぜか?考える!).1 が 5 に移る ので,(1 2), (2 3), (3 4), (4 5) に対応した横棒が 4 本必要であり,またその 4 本だけだと (1 2)(2 3)(3 4)(4 5) = (1 5 4 3 2) となってしまう.よって 1 を 5 に移す置換の内,(1 5 4 3 2) 以外は横棒が 5 本以上必要であり,かつ 5 本で実現できるものは奇置換に限る. [4] < 4+3+3 点> (i) ord(a) = ∞ とすると,hai の元 ai , aj (i < j) に対し,ai 6= aj であり, #hai = ∞.なぜなら,ai = aj =⇒ aj−i = 1 で,ord(a) = ∞ に矛盾する.しかし,今 #G < ∞ であり,hai は G の部分集合なので,ord(a) < ∞ の場合のみ考えれば十分である. ord(a) = n < ∞ とすると,hai = {1, a, a2 , . . . , an−1 }.このとき,#hai = n を示す.もし, ai = aj (0 ≤ i < j ≤ n − 1) とすれば,aj−i = 1 (0 < j − i ≤ n − 1) となり,ord(a) = n に 矛盾する.よって ai 6= aj (0 ≤ i < j ≤ n − 1) であり,#hai = n. (ii) hai の任意の元 x = ai , y = aj に対し,xy −1 = ai (aj )−1 = ai−j ∈ hai. よって(部分群の 判定条件より)hai は G の部分群である. (iii) hai の任意の元 x = ai , y = aj に対し,xy = ai aj = ai+j = aj+i = aj ai = yx. [5] <各 2 点> Hasse 図 (棒は部分群を表わす) C8 = hai C4 = ha2 i 2 2 5 3 C3 = ha3 i C2 = ha4 i ¡ @ @ C5 = C2 = ha5 i ¡ ¡ 2@ @ ¡ 3 3 2 ¡ ha2 i ¡ ¡ C16 = hai 2 @ @ 2 C6 = C4 = ha3 i ¡ @2 ¡ 2@ @ ¡ 5 3 ha2 i @ 2@ ¡ 3 (i) 1 ◦ (1) a b c d e (1) (1) a b c d e a a b (1) e c d b b (1) a d e c c c d e (1) a b d d e c b (1) a (ii) 1 C2 = ha8 i PP 2 ´ PP ´ ¢ D P ´ ¢ D ´ 3 ¢3 D3 h(1 2 3)i ´ ´ ¢ D h(1 2)i h(1 3)i h(2 3)i ¡¡ PP 2 @2 ¥2 ¡ 3 PP PP@ ¥ ¡ {1} Web 版 (得点分布等の一部情報を削除) 2 {1} S3 e e c d a b (1) C4 = ha4 i 2 {1} [6] < 5+5 点> C8 = ha2 i 2 @ C3 = ha4 i C2 = ha6 i ¡ ¡ {1} {1} {1} C12 = hai C10 = hai C9 = hai 2 代数と幾何D(第 2 回小テスト解答・2007/11/21) [7] < 5+5 点> (i) 群 (G, ◦) から群 (G0 , ∗) への写像 f : G → G0 が ∀a, b ∈ G に対し,f (a ◦ b) = f (a) ∗ f (b) を満たすとき,f を G から G0 への準同型写像という. (ii) 群 (G, ◦) から群 (G0 , ∗) への写像 f : G −→ G0 が全単射であり,かつ準同型写像のとき, 同型写像という. [8] < 3+3+2+2 点> (i) f は全単射より,逆写像 g(全単射) が存在する.よって,g(a0 b0 ) = g(a0 )g(b0 ), (∀a0 , b0 ∈ G0 ) を示す.f は全射より ∃a, b ∈ G s.t. f (a) = a0 , f (b) = b0 . f は準同 型より a0 b0 = f (a)f (b) = f (ab) が成立し,g(a0 b0 ) = ab = g(a0 )g(b0 ) が成り立つ. · · a}) = · · · = f (a) · · · f (a) = f (a)n . (ii) f (an ) = f (a · · a}) = f (a)f (a | ·{z | ·{z | {z } n n−1 n (iii) ord(a) = n, ord(f (a)) = m とする.an = 1 より f (a)n = f (an ) = f (1) = 1, (f (1) = 1 は f (1) = f (1 · 1) = f (1)f (1) より分かる).よって,m | n.また,同様に逆写像を考えれ ば,f (a)m = 1 より am = g(f (a))m = g(f (a)m ) = g(1) = 1.よって,n | m であり,m = n. (iv) ab = ba ならば,f (a)f (b) = f (ab) = f (ba) = f (b)f (a). [9] < 4+3+3 点> (i) f : Cn → Cn0 , ai 7→ bi (i = 1, . . . n) とする.写像 f は全単射であり,か つ f (ai aj ) = f (ai+j ) = bi+j = bi bj = f (ai )f (aj ) より準同型写像.よって Cn と Cn0 は同型. (ii) 2 つの群が同型のとき,対応する各元の位数は等しい ([8](iii) 参照).C4 と V4 の各元の 位数を比較すると C4 の元 位数 1 a a2 1 4 2 a3 4 V4 の元 (1) (1 2)(3 4) 位数 1 2 (1 3)(2 4) 2 (1 4)(2 3) 2 となる.よって,C4 と V4 は同型でない. (iii) S3 は非可換群,C6 は可換群 ([4](iii) 参照) なので,同型ではない (← なぜか?分からな い場合は,少しの時間考える! [8](iv) を参照). [別解] S3 と C6 の各元の位数を比較すると S3 の元 1 (1 2 3) 位数 1 3 (1 3 2) 3 (1 2) 2 (1 3) 2 (2 3) 2 C6 の元 位数 1 a 1 6 a2 3 a3 2 a4 3 a5 6 であり,S3 と C6 は同型ではない. [10] < 4+3+3 点> (i) A4 = {(1), (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3), (1 2 3), (1 3 2), (1 2 4), (1 4 2), (1 3 4), (1 4 3), (2 3 4), (2 4 3)}. (ii) #A4 = 12. (iii) A5 の各元は (1), (i1 i2 )(i3 i4 ), (i1 i2 i3 ), (i1 i2 i3 i4 i5 ) の形である.形 (i1 i2 )(i3 i4 ) は, 数字を 4 つ選び,それぞれ 3 種類作れるので 5 C4 × 3 = 15 個.形 (i1 i2 i3 ) は,数字を 3 つ 選び,それぞれ 2 種類作れるので 5 C3 × 2 = 20 個.形 (i1 i2 i3 i4 i5 ) は,i1 = 1 と固定する と 4 P4 = 4! = 24 種類作れて 24 個ある.よって,#A5 = 1 + 15 + 20 + 24 = 60. [11] < 4+3+3 点> (i) ord(σ) = n, ord(τ ) = 2, ord(στ ) = 2. (ii) (i) より,τ = τ −1 , (στ )2 = 1 である.よって,(στ )2 = 1 ⇐⇒ (στ )(στ ) = 1 ⇐⇒ στ στ = 1 ⇐⇒ στ σ = τ −1 ⇐⇒ στ σ = τ ⇐⇒ τ σ = σ −1 τ . (iii) στ σ 2 (τ σ)τ = στ σ 2 (σ −1 τ )τ = στ (σ 2 σ −1 )τ 2 = σ(τ σ) = σ(σ −1 τ ) = τ (= σ 0 τ ). ±1 ±1 | ai ∈ {σ, τ }, k ∈ N} であった. [12] < 4+3+3 点> (i) hσ, τ i = h{σ, τ }i = {a±1 1 a2 · · · ak Dn ⊂ hσ, τ i は明らか.よって Dn ⊃ hσ, τ i を示す.x ∈ hσ, τ i とすると,問 [11](ii) より, τ σ = σ −1 τ が成り立ち,σ の左側にある τ は σ を σ −1 に変える事によって、右側に移動で きる.よって,これを繰り返すと x = σ i τ j の形にできる.また,ord (σ) = n, ord (τ ) = 2 より,0 ≤ i ≤ n − 1, 0 ≤ j ≤ 1 としてよい.よって,x ∈ Dn を得る. (ii) 正三角形の頂点に 1, 2, 3 と番号を付けると,D3 は σ = (1 2 3), τ = (1 2) として,3 次 対称群 S3 の部分群と見なせる.このとき,D3 と S3 の位数は共に 6 であり,D3 = hσ, τ i = {(1), (1 2 3), (1 3 2), (1 2), (1 3), (2 3)}.よって D3 と S3 は同型. 2 代数と幾何D(第 2 回小テスト解答・2007/11/21) [別解] D3 , S3 (問 [6](i) 参照) の群表をそれぞれ書いてみると, D3 ◦ 1 σ σ2 τ στ σ2 τ 1 1 σ σ2 τ στ σ2 τ σ σ σ2 1 σ2 τ τ στ σ2 σ2 1 σ στ σ2 τ τ τ τ στ σ2 τ 1 σ σ2 στ στ σ2 τ τ σ2 1 σ σ2 τ σ2 τ τ στ σ σ2 1 ◦ (1) a b c d e S3 (1) (1) a b c d e a a b (1) e c d b b (1) a d e c c c d e (1) a b d d e c b (1) a e e c d a b (1) である.群表が同じ形 (積の構造が同じ) なので,D3 と S3 は同型 (D3 ∼ = S3 ) . (iii) στ 6= τ σ より Dn は非可換群,一方,C2n は可換群 ([4](iii) 参照) なので,同型ではな い (← なぜか?分からない場合は,少しの時間考える! [8](iv) を参照). [別解] Dn と C2n の各元の位数を比較する.C2n の生成元を a とすると,C2n = hai であり, ord(a) = 2n.しかし,Dn の各元の位数は n, 2, 1 のうちのどれかであり,位数 2n の元は存 在しない.よって Dn と C2n は同型でない ([8](iii) 参照). [13] < 4+3+3 点> (i) ak = 1 ⇐⇒ ak−1 = a−1 ⇐⇒ 1 = a−k ⇐⇒ 1 = (a−1 )k より,ord(a) = n, ord(a−1 ) = m とすれば,m | n かつ n | m より m = n. (ii) (ab)k = 1 ⇐⇒ (ab) · · · (ab) = 1 ⇐⇒ a (ba) · · · (ba) b = 1 ⇐⇒ a(ba)k−1 = b−1 ⇐⇒ | | {z } {z } k k−1 (ba)k−1 = a−1 b−1 ⇐⇒ (ba)k−1 = (ba)−1 ⇐⇒ (ba)k = 1 より,ord(ab) = n, ord(ba) = m と すれば,m | n かつ n | m であり m = n を得る. (iii) (ii) より ord(abc) = ord(a(bc)) = ord((bc)a) = ord(bca) を得る.同様にして,ord(abc) = ord((ab)c) = ord(c(ab)) = ord(cab). [14] < 10 点> aHa−1 の任意の元 X = axa−1 , Y = aya−1 に対し,X · Y = (axa−1 )(aya−1 ) = a(xy)a−1 ∈ aHa−1 かつ X −1 = (axa−1 )−1 = ax−1 a−1 ∈ aHa−1 . よって(部分群の判定条件 より)aHa−1 は G の部分群である. |H| < ∞ の場合,H = {a1 , . . . , an }, #H = n とすると,aHa−1 = {aa1 a−1 , . . . , aan a−1 } で あり,ai 6= aj =⇒ aai a−1 6= aaj a−1 , (1 ≤ i < j ≤ n) が成り立つ (なぜなら,消去律より aai a−1 = aaj a−1 =⇒ ai = aj ).よって |H| = |aHa−1 |. |H| = ∞ の場合,H の元 x, y (x 6= y) に対して axa−1 6= aya−1 であり,|aHa−1 | = ∞.よっ て,|H| = |aHa−1 | = ∞ を得る. [15] < 5+5 点> (試験中に訂正:n = 2 とする) (i) (部分群の判定条件より)∀A, B ∈ SL2 (R) に対して,AB −1 ∈ SL2 (R) を示せばよい. 今,det(A) = det(B) = 1 であり,行列式の性質 det(XY ) = det(X) · det(Y ), 1 det(X −1 ) = det(X) を用いると, det(AB −1 ) = det(A)·det(B −1 ) = det(A)/det(B) = 1.よって, AB −1 ∈ SL2 (R). (ii) まず,R× = R\{0} = R − {0} であった. (部分群の判定条件より)∀A, B ∈ H に対し, −1 AB ∈ H かつ A ∈ H を示せばよい. ( ) ( 0 0 ) a b a b ∈H A= ∈ H, B = 0 1 0 1 とすると, ( AB = aa0 ab0 + b 0 1 ) ( ∈H かつ よって (H, · ) は (GL2 (R), · ) の部分群である. 3 −1 A = 1/a −b/a 0 1 ) ∈ H.
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