フーリエ変換の性質
・対称性
・パーシバルの定理
・畳み込み積分
・畳み込み積分定理
フーリエ変換の応用
・デルタ関数のフーリエ変換
・方形パルスのフーリエ変換
・デルタ関数列のフーリエ変換
偶関数
奇関数
y軸に対称な関数
原点に対称な関数
f(x)
f(x)
0
0
f x   f  x 
x
f x    f  x 
x
正弦波 sin(ωt)：
余弦波 cos(ωt)：
偶関数×偶関数
奇関数×奇関数
偶関数×奇関数
f(x)が偶関数のときのフーリエ変換
F     f  x e dx
  f  x  cosx dx  i  f  x sin x dx
実数部のみが残る
 2  f  x  cosx dx
f(x)が奇関数のときのフーリエ変換

 i x






0

F     f  x e ix dx





  f  x  cosx dx  i  f  x sin x dx

 2i  f  x sin x dx
0
虚数部のみが残る
フーリエ変換の対称性

F     f ( x)e ix dx

実領域
周波数領域
1
f x  
2
x → -x
1
f  x  
2



F  e

ix


F  eix d
d
x と ωを入れ替える
1
f    
2

ix


 F x e dx
F     f  x 
ならば
F  x   f   
F(ω)=Re(ω)－jIm(ω)
f(x)
FT
0
x
ω
0
（空間）周波数軸を
時間（空間）軸に
（ω → x）
F(x)=Re(x) －jIm(x)
f(－ω)
0
x
FT
0
ω
フーリエ変換の対称性
ある関数をフーリエ変換して出来た関数と逆
変換して出来た関数は，変数の符号が異なる
だけ
「時間（空間）変数 x と（空間）周波数変数 ω
を，それぞれ – ω と x に交換できる」というの
がフーリエ変換の対称性という言葉の意味
フーリエ変換の対称性といった場合，左右対
称とか点対称などといった幾何学的な意味は
まったくない
パーシバルの定理
トータルのパワー（エネルギー）は，実領域で
求めても周波数領域で求めても同じである
1
2



1
F   d 
2
1

2
2
パワースペクトル
Power spectrum






F  F   d
F   f  x eix dxd
 1
 
  2






i x


F

e
d


 f  x dx

  f  x  dx

2
v
x
y
空間領域 f(x,y)
u
空間周波数領域 F(u,v)
• 空間軸上のパワー（平方の総和）と空間周波数軸上のパワー（平方の総
和）は等しい
• 空間軸上のエネルギーと周波数軸上のエネルギーは保存される
畳み込み積分（合成積，重畳積分）
Convolution（コンボリューション）
２つの関数f1(x)，f2(x)が与えられたとき

f  x    f1  y  f 2  x  y dy

を，f1(x)とf2(x)の畳み込み積分という
f2(x)
f1(x)
1.0
1.0
x
x
x→y
f2(y)
f1(y)
1.0
1.0
f(-y)
を考える
f2(-y)
f2(τ-y)
f1(y)
1.0
f1(y)
1.0
f2(x-y)
τ
プラス側に
τだけ
移動した
f(τ-y)を考える
f1(y)
f2(x-y)
1.0
f2(0-y)
f2(x-y)において
x = 0のとき
τ

f  x    f1  y  f 2  x  y dy

x = τのとき
1

f  x    f1  y  f 2  x  y dy
x = 0のとき
f (x) = 0
0

面積
  f 2  x  y dy
0
畳み込み積分の定義式

f  x    f1  y  f 2  x  y dy

 f1  x   f 2  x 
*
：コンボリューションを意味する記号
f1(x)とf2(x)の畳み込み積分は
f1  x   f 2  x  で表される
次のような問題を考えてみます
２つの関数f(x)，g(x)が与えられたとき
コンボリューション（convolution）積分は
f  x   g  x  で表される
f  x   g  x  のフーリエ変換を求めよ．
ここで，仮にf(x)，g(x)のフーリエ変換を

F(ω)
 j x
 f  x    f ( x)e dx

G(ω)

 j x
g  x    g ( x)e dx
で表す



 f  x   g  x     f ( y )  g  x  y dy 
 



 j x


   f ( y )  g  x  y dy  e dx

 
 


  f ( y)  g x  y dy  e

 j y
 

  f ( y)  e

 j y
 F    G  

dy  g  x  y   e
 jx    jx   0

e
j y
e
 j  x  y 
 j x
dx
dx
e 0  1  e  jx  jx  e  jx  e jx
畳み込み積分定理
Convolution（コンボリューション）定理
 f x   g x   F   G  
実空間領域
（時間）
空間周波数領域
（時間）
実領域




f
x

g
x

（空間，時間）
ＦＴ



f  y g  x  y dy
ＦＴ
ＦＴ
 f x   g x 
周波数領域 F(ω)
（空間，時間）
G(ω)




 
f ( y )  g  x  y dy  e  jx dx
＝ F(ω)× G(ω)
畳み込み積分定理
Convolution（コンボリューション）定理
２つの関数f(x)，g(x)の畳み込み積分の
フーリエ変換は，それぞれの関数の
フーリエ変換F(ω)，G(ω)の積で表される
実領域での畳み込み積分は，
周波数領域では掛け算で行える
フーリエ変換の応用
デルタ関数 δ(x)

  x dx  1

 x   0
 0  
x  0
δ(x)
ある関数f(x)とデルタ関数を
掛け合わせて積分すると



インパルス関数と
もいわれる
f  x     x dx  f 0 
0
x
デルタ関数のフーリエ変換

F       x   e
δ(x)
 j x

e
 j ( 0 )
e
1
0
dx
0
x
ＦＴ
F(ω)
1
白色スペクトル：
常に一定の周波数スペクトル
0
ω
方形パルスのフーリエ変換
1

f  x    2d
 0

 f  x    f  x   e  jx dx

x  d
x  d

 1   j x
     e dx
 d 2d
 
1 d  j x

e dx

2d  d
 1  1   jx
 e
  
 2d   j 
d
f(x)
1/2d
－d
d

x
sin d 

d

d
d
シンク（sinc）関数
sin   sin ax 
，

ax
のように表される関数
sinc(θ)，sinc(ax) と表記する
振幅の範囲 －1～1
sin関数
sinc関数
方形パルスのフーリエ変換
1

f  x    2d
 0

x  d
x  d
f(x)
1/2d
－d
d
ＦＴ
x
F     f  x   e
d
 jx
d
dx
sin d 

d
F(ω)
1
ω
－2π/d －π/d π/d
2π/d
デルタ関数列のフーリエ変換
f(x)
F(u)
ＦＴ
0
x
x0
comb function，
コム関数，櫛関数
とも呼ばれる
u
0
u0 
x0 大 → u0 小
x0 小 → u0 大
1
x0
「フーリエ変換の応用」 まとめ
デルタ関数のフーリエ変換は，常に1の
白色スペクトルである
方形パルスのフーリエ変換は，シンク関
数である
デルタ関数列のフーリエ変換は，デルタ
関数列である
周波数の単位
時間領域
t
時間周波数領域
Fourier Transform
cycles/sec, Hz
空間周波数領域
空間領域
mm
cycles/mm
LP/mm
line pairs per
millimeter
1
1
, mm
mm
1 mm
1 mm
6 LP/ mm
3 LP/ mm
line間の間隔が
狭い → 高周波
line間の間隔が
広い → 低周波

2011/11/12 1 放射線治療計画の線量分布計算