Matakuliah : METODE NUMERIK I
Tahun
: 2008
Hampiran Numerik Penyelesaian
Persamaan Tak Linear
Pertemuan 3
PERSAMAAN TAK LINIER (N0N LINEAR)
Persamaan Tak Linier adalah persamaan yang
mengandung variabel berpangkat lebih dari satu
dan/atau yang mengandung fungsi-fungsi transenden
Bina Nusantara
PERSAMAAN TAK LINIER (N0N LINEAR)
Persamaan Tak Linier adalah persamaan yang
mengandung variabel berpangkat lebih dari satu
dan/atau yang mengandung fungsi-fungsi transenden
Contoh:
n
1.
f ( x)   a k x k  a0 x 0  a1 x  a 2 x 2  a3 x 3  ...  a n x n  0
k 0
2.
3.
Bina Nusantara
f ( x)  e x  x 2  2  0
f ( x)  e
x
 sin x  x  0
Metode Penyelesaian Persamaan Tak Linier
Bracketing
methods
Bisecton
method
False position
method
Open
methods
Fixed point
method
NewtonRaphson
method
Bina Nusantara
Secant
method
Bracketing Methods vs Open Methods
Bracketing Methods:
- Memerlukan paling sedikit dua nilai akar sebagai dugaan
awal
- Akar dugaan mengapit akar persamaan yang dicari
- Lebih mudah memenuhi asumsinya dibanding open
methods
Open Methods
- Umumnya hanya perlu satu nilai dugaan awal
- Lebih efisien dibanding Bracketing Methods, tetapi
metode ini tidak selalu convergen
Bina Nusantara
Hal yang perlu diperhatikan dalam
menggunkan Bracketing Methods
f(x)
xu x
xl
xr
Bila f(xu) dan f(xl) berlainan tanda
maka pasti akar, xr, diantara xu dan xl.
i.e. xl < xr < xu.
f(x)
xr xr xr xu x
xl
Bina Nusantara
Terdapat akar banyak dan ganjil.
f(x)
x
xl
Bila f(xu) dan f(xl) mempunyai tanda
yang sama, maka kemungkinan tidak
terdapa akar diantara xl and xu.
xu
f(x)
xr
xl
Bina Nusantara
xr
x
xu
Kemungkinan terdapat
akar genap diantara xl and xu.
f(x)
x
Bila fungsi tangensial terhadap sumbu
X,maka terdapat akar ganda (multiple
Terdapat
akar ganda
f(x)
Fungsi diskontinuitas
x
Bina Nusantara
Metode Bisection
Langkah-langkah menentuakan akar suatu persamaan
menggunakan metode Bisection
1. Pilih batas bawah dan batas atas interval (a and b) yang
diperkirakan memuat akar
2. Pilih a < b, sehiungga a dan b berada pada jangkauan fungsi
3. Periksa apakah terdapat akar antara a and b atau
(f(a)*f(b) < 0)
4. Hitung nilai tengah a dan b {Nilai tengah (Nt) = (a+b)/2}
5. Jika f(Nt)*f(a) < 0 maka akar berada antar nilai tengah dan a
(ubah b=Nt), sebaliknya (ubah a=Nt)
6. Jika f(Nt) lebih besar dari epsilon (ε) kembali ke langkah 4,
lainnya, nyatakan Nilai tengah sebagai akar
Bina Nusantara
xn  xn 1
r 
.100%
xn 1
Relatif error:
Absolut Error:
Bina Nusantara
xn  xn 1
r 
.100%
xn 1
Abs. r  xn  xn1
Metoda Bisection
Bina Nusantara
Bina Nusantara
Contoh: Tentukan Akar dari x6-6=0 pada interval [1,2]
n
Bina Nusantara
an
bn
Nt=(a+b)/2
f(Nilai
tengah)
│Ntn+1-Ntn│
0
1
2
1.5
5.390625
1
1
1.5
1.25
-2.1853
0.25
2
1.25
1.5
1.375
0.7580
-0.125
3
1.25
1.375
1.3125
-0.8879
0.0625
4
1.3125
1.375
1.34375
-0.11277
-0.03125
5
1.34375
1.375
1.35938
0.31009
-0.01563
6
1.34375
1.35938
1.35156
0.09560
0.00781
7
1.34375
1.35156
1.34766
-0.00934
0.00391
8
1.34766
1.35156
1.34961
0.04294
-0.00195
9
1.34766
1.34961
1.34863
0.01676
0.00098
Metoda Posisi Salah
Metoda posisi salah (Regula Falsi) tetap
menggunakan dua titik perkiraan awal seperti pada
metoda bagi dua yaitu a0 dan b0 dengan syarat
f(a0).f(b0) < 0. Metoda Regula Falsi dibuat untuk
mempecepat konvergensi iterasi pada metoda bagi
dua yaitu dengan melibatkan f(a) dan f(b)
Rumus iterasi Regula Falsi:
Bina Nusantara
(bn  an )
X r  bn 
f (bn )
( f (bn )  f (an ))
n=0,1,2,3,…
Contoh:
Menggunakan Metode False-Position tentukan akar dari f(x)=(0,9-0,4X)/X pada
interval [1, 3]
n
a
b
f(a)
f(b)
f(xr)
Xr
0
1
3
0.5
-0.1
-0.10968
3.1
1
1
3.1
0.5
-0.10968
-0.06939
2.72222
13.87756
2
1
2.7222
0.5
-0.06939
-0.04177
2.51235
8.35379
3
1
2.5123
0.5
-0.04177
-0.02434
2.39575
4.86687
4
1
2.3957
0.5
-0.02433
-0.01390
2.33097
2.77897
5
1
2.331
0.5
-0.01389
-0.00784
2.29498
1.56807
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
24
1
2.25
0.5
-2E-07
-1.12916E-07
2.25000
25
1
2.25
0.5
-1.1E-07
-6.27312E-08
2.25 (akar) 0.00004
Bina Nusantara
((Xr-Xr+1)/Xr+1)*100
Metode Terbuka
Metoda titik tetap
Akar dari f(x)=0 ditentukan dengan Iterasi
xn+1=g(x), untuk n=0,1,2,3,…
atau xn+1=xn + f(xn), untuk n=0,1,2,3,…
Bina Nusantara
Contoh:
f(x) = 1 – x – x^3=0
Rumus iterasi diperoleh
dengan x=x +f(x) yaitu:
3
0
.
6875

1
0.6875
x3 
1-2x-x^3 = -x, kemudian
2
diubah menjadi:
 0.6813
x 1 - x^3
n
x
 n
n 1
2
Jawab :
x0  0
0 1 - 0 3
x 
2
 0.5
0.5  1 - 0.5 3
x2 
2
 0.6875
1
Bina Nusantara
x4
x5
x6
0.6813 1 - 0.6813 3

2
 0.6825
0.6825 1 - 0.6825 3

2
 0.6823
0.6823  1 - 0.6823 3

2
 0.6823
Jadi akar pendekatan adalah 0.6823
Metode Newton-Raphson
Asumsi:
• f(x) Kontinu dan dapat dapat diturunkan
(differetiable) pada [a, b]
• Nilai akar dugaan awal (x0) berada pada
interval [a, b] dapat ditetntukan
Bina Nusantara
Metode Newton-Raphson
Grafik
f(x)
’
f (xi)
xi+1
Bina Nusantara
xi
f ( xi )
f ' ( xi ) 
xi  xi 1
f ( xi )
xi  xi 1 
f ' ( xi )
f ( xi )
xi 1  xi 
f ' ( xi )
Langkah-langkah Menentukan Akar
Menentukan akar suatu fungsi/persamaan tidak
linear dengan metode Newton-Raphson:
1) Andaikan xi sebagai akar dugaan awal
f (Xi )
2) Tentukan xi+1 dengan
X i 1  X i 
f '(Xi )
3) Andaikan xi= xi+1 ulangi langkah 2 dan 3
hingga hasilnya cukup akurat,
misalnya bila xn1  xn  , =bilangan bulat positif kecil
x n 1
Bina Nusantara
Contoh: Hitung akar dari
f’(x) = 3x2
f(x) = x3 – 15
f (Xi )
X i 1  X i 
f '(Xi )
Andaikan X1= 3
maka X2= 3-{[3(3)3-15]/[3.(3)2]} = 2,55555556
X3 = 2,5556 - {[3(2,5556)3-15]/[3.(2,5556)2]}
= 2.46929917
X4 = 2,46621207 (merupakan Akar Pendekatan)
Relatif error= 0.000156%
Bina Nusantara
Metode Scant
Asumsi:
• f(x) Kontinu pada [a, b]
• Interval pemuat [xo, x1] diketahui
Bina Nusantara
Langkah Penyelesaian
• Membangun barisan titik potong xn+1 antara sumbu –x
dengan garis lurus yang melewati titik (xn-1, f(xn-1)) dan
titik (xn+1, f(xn+1))
• Membangkitkan barisan akar pendekatan {xn:n≥2}
secara iteratif menggunakan formula
Grafik
f(x)
y
x0 x2 x3
x1
Bina Nusantara
x
xn  xn1
xn1  xn  f ( xn )
f ( xn )  f ( xn1 )
Contoh: Cari akar riel dari x6-x-1=0 pada [1,2]
n
Bina Nusantara
xn
f(xn)
|((xn-xn-1)/xn)x100|
0
2
61
1
1
-1
100.00
2
1.016129
-0.915367714
1.59
3
1.190578
0.657465697
14.65
4
1.117656
-0.168491168
6.52
5
1.132532
-0.022437286
1.31
6
1.134817
0.000953564
0.20
7
1.134724
-5.06617E-06
0.01
8
1.134724 (akar)
-1.13476E-09
0.00
Soal Latihan
1. Tentukan akar dari:
f(x)=6X3 -5X2 +7X-2 nilai dugaan awal a=0 dan b=1 untuk (εr < 0,01%)
Menggunakan Metode Bisection dan Metode False-Position,
2. Tentukan akar dari f(x)= Sin x = X2, bila x dalam radian,
pada [1/2, 1] untuk menggunakan Metode Newton-Raphson
(εr < 0,1%)
3. Tentukan akar dari f(x)= X4-8X3+ X2 -2x +1, menggunakan
Metode Titik Tetap, batas toleransi kesalahan (εr < 1,0%)
Bina Nusantara

download