HOMOMORFISMA
TUJUAN
• Mahasiswa akan dapat memberi contohcontoh homomorfisma grup dan jenisjenisnya
Cakupan
– Homomorfisma
– Epimorfisma
– Monomorfisma
– Isomorfisma
– Endomorfisma
– Automorfisma
– Kernel
– Teorema Cayley
DEFINISI
HOMOMORFISMA GRUP
• (A,) dan (B,) adalah grup-grup. Suatu
fungsi f:AB disebut homomorfisma
jika f(mn) = f(m)f(n) untuk setiap
m,nA.
Contoh-contoh:
1. G = himpunan bilangan rasional dengan
operasi +. G’ = himpunan bilangan riil tanpa
nol dengan operasi . Pemetaan :GG’
adalah (x)=2x, untuk setiap x  G. Apakah
 suatu homomorfisma?
2. G = himpunan bilangan riil positif dengan
operasi . G’ = himpunan bilangan riil
dengan operasi +. Pemetaan :GG’
adalah (x) = log x, untuk setiap xG.
Apakah  suatu homomorfisma?
3.
G = {1, 1, i, i} dengan operasi perkalian. G’
= himpunan matriks 2x2 ={E, A, B, C}.
1 0
 1 0 
 0 1
 0  1
; A  
; B  
; C  

E  
0 1
 0  1
 1 0
1 0 
4.
Tentukan pemetaan :GG’ agar 
merupakan suatu homomorfisma
B = {0, 1, 2} dengan operasi penjumlahan
modulo 3. G = {0o, 120o, 240o} dengan
operasi
rotasi.
Definisikan
(0)=0o,
(1)=120o, (2)=240o. Apakah  suatu
homomorfisma?
5.
6.
7.
Z = himpunan bilangan bulat dengan
operasi +. :ZZ adalah (x)=2x, untuk
setiap
xG.
Apakah

suatu
homomorfisma?
R* = himpunan bilangan riil tak nol dengan
operasi perkalian. S = {1, 1} dengan
operasi perkalian. :R*S adalah (x)=1
bila x positif dan (x)= 1 bila x negatif,
untuk setiap xR*. Apakah  suatu
homomorfisma?
Z = himpunan bilangan bulat dengan
operasi +. Pemetaan :ZZ adalah (x) =
x, untuk setiap xZ. Apakah  suatu
homomorfisma?
Jenis-jenis Homomorfisma
1.
2.
3.
4.
Epimorfisma = homomorfisma onto
Monomorfisma = homomorfisma 1-1
Isomorfisma = homomorfisma 1-1 dan onto.
Endomorfisma = homomorfisma dari grup
ke dalam dirinya sendiri.
5. Automorfisma = endomorfisma 1-1 dan
onto.
Dari contoh-contoh sebelum ini mana yang
epimorfisma, monomorfisma, isomorfisma,
endomorfisma dan automorfisma?
Beberapa Sifat
• Kernel homomorfisma = himpunan semua
elemen G yang dipetakan ke unkes G’.
• (e)=e’, e=unkes G, e’=unkes G’.
• (x1) = [(x)]1
• Isomorfisma tidak mengubah order elemen
• Isomorfisma adalah relasi ekuivalen
• Grup-grup siklis berorder sama adalah
isomorf
• Suatu grup siklis tak berhingga
isomorfis dengan grup aditif bilangan
bulat
• Suatu grup siklis berorder n isomorf
dengan grup aditif kelas residu modulo
n. Grup aditif kelas residu modulo n
adalah {0,1,2,3,…,n1} dengan operasi
penjumlahan modulo n
• Subgrup dari grup siklis tak berhingga
isomorf dengan grup aditif kelipatan
bulat dari bilangan bulat n
• Subgrup dari grup siklis tak berhingga
isomorf dengan grup itu sendiri
TEOREMA CAYLEY
Setiap grup berhingga isomorf dengan
suatu grup permutasi.
Contoh:
Carilah subgrup permutasi reguler P4
yang isomorf dengan grup multiplikatif
G={1,1,i,i}.
Penutup
– Homomorfisma: pemetaan antar dua grup
yang memenuhi kriteria tertentu.
– Epimorfisma: homomorfis yang onto
– Monomorfisma: homomorfis yang 1-1
– Isomorfisma: homomorfis yang 1-1 dan onto
– Endomorfisma: homomorfis ke dalam diri
sendiri
– Automorfisma: isomorfis pada diri sendiri
– Kernel: elemen-elemen yang dipetakan ke 0’
– Teorema Cayley: Setiap grup berhingga
isomorf dengan suatu grup permutasi.

download

download