RING
(GELANGGANG)
TUJUAN
• Mahasiswa akan dapat memberikan
contoh ring, subring dan homomorfisma
ring
Cakupan
– Ring
– Ring komutatif
– Ring dengan unsur kesatuan
– Ring Tanpa Pembagi Nol
– Ring Dengan Pembagi Nol
– Karakteristik Ring
– Subring
– Homomorfisma Ring
DEFINISI
• Suatu struktur aljabar dengan dua
operasi biner “+” dan “”, (R,+,),
disebut RING, jika:
– (R,+) grup komutatif
– (R,) semigrup
– Berlaku distributif kiri dan kanan
• a(b+c) = ab + ac
• (a+b)c = ac + bc,  a,b,c  R
Beberapa Definisi
• Suatu Ring (R,+,) disebut ring komutatif jika
operasi “” bersifat komutatif.
• Suatu
Ring (R,+,) disebut ring dengan
unkes jika (R,) semigrup dengan unkes
(monoid).
• Ring disebut ring tanpa pembagi nol (RTPN)
bila berlaku “jika a0 dan b0 maka ab0”.
• Ring disebut ring dengan pembagi nol
(RDPN), jika “ada a0 dan b0, tetapi ab=0”.
• Ring (R,+,) dikatakan berkarakteristik n, jika
ada bil.bulat terkecil n, sehingga na = 0,
untuks setiap aR (0 = unkes aditif).
• Ring (R,+,) dikatakan berkarakteristik tak
hingga atau nol, jika tidak ada bilangan bulat
n yang tersebut di atas.
Contoh: Periksa apakah ring/bukan, Bila ring,
periksa komutatif/bukan, ada unkes/tidak,
RTPN/RDPN, cari karakteristiknya
1. (Z,+,), (Q,+,), (Q+,+,), (R,+,), (C,+,)
2. Himpunan bil. Genap bulat dengan
operasi + dan .
3. Himpunan bil. Riil berbentuk m+n2,
di mana m dan n adalah bilangan
rasional; operasi + dan .
4. Kumpulan bilangan bulat Gaussian
berbentuk a+i.b, di mana a dan b
bilangan bulat; operasi + dan .
SUB-RING
• Definisi: (R,+,) ring. Jika S  R, S  ,
(S, +, ) sendiri merupakan ring, maka S
disebut subring dari R.
• Subring trivial (tak sejati) adalah R dan
{0}; selain itu disebut subring sejati.
• Syarat perlu dan cukup agar subset tak
kosong S merupakan subring dari R
adalah: “untuk setiap a,bS berlaku
(ab)  S dan (ab)  S.
• Irisan dua subring adalah subring lagi.
Contoh:
1. (Z,+,) ring. Bagaimana (2Z,+,)?
2. (Z,+,) ring. Bagaimana dengan himp
bilangan cacah dengan operasioperasi yang sama? Bagaimana
dengan himp bilangan asli?
3. (C,+,) ring. Bagaimana dengan
(R,+,)?
HOMOMORFISMA RING
• (R,+,) dan (R’,,) adalah ring-ring.
Jika ada pemetaan f:RR’ yang
bersifat
– f(a+b)=f(a)f(b)
dan
f(ab)=f(a)f(b),
a,bR
maka dikatakan f adalah homomorfisma dari
R ke R’.
• Jika f bersifat 1-1 dan onto, dikatakan R
isomorf dengan R’, ditulis RR’.
• Isomorfisma dari R ke R sendiri disebut
automorfisma.
Sifat-sifat Homomorfisma Ring
• Bila 0=unkes aditif di R, 0’=unkes aditif
di R’, maka f(0) =0’.
• Bila 1=unkes multiplikatif di R,
1’=unkes multiplikatif di R’, maka f(1)
=1’.
• Jika f homomorfis, maka f(x) = f(x).
• Peta homomorf dari R merupakan
subring dari R’.
Beberapa Contoh
Periksa homomorf/bukan dan bila
homomorf, tentukan jenisnya
1. f:Z2Z yang didefinisikan f(x) = 2x;
operasi + dan x.
2. R={m+n2, m,n bulat} dengan operasi
+ dan x. Pemetaan f:RR sbb
f(a+b2)=ab2.
3. R={a,b,c,d}
dengan
+
dan
.
R’={p,q,r,s} dengan  dan .
Pemetaan f(a)=r, f(b)=q, f(c)=s, f(d)=p.
Penutup
– Ring: himpunan A dengan dua operasi + dan x,
sehingga (A,+) grup Abelian, (A,x) semigrup, operasi
x distributif terhadap +
– Ring komutatif: jika operasi x komutatif
– Ring dengan unsur kesatuan: jika operasi x punya
unkes
– Ring Tanpa Pembagi Nol: tidak ada dua elemen tak
nol yang produknya =0
– Ring Dengan Pembagi Nol: ada dua elemen tak nol
yang produknya = 0
– Karakteristik Ring: bilangan n, sehingga n.a = 0
– Subring: bagian dari ring yang juga merupakan ring
– Homomorfisma Ring: homomorfis antara dua ring

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download