Pembuktian Dalam Matematika Tujuan • Mahasiswa akan dapat pernyataan matematika membuktikan Cakupan – – – – – – – – – – Pembuktian Langsung Pembuktian Tidak Langsung Vacuous Proof Trivial Proof Bukti dengan kontradiksi Bukti per kasus Bukti biimplikasi Bukti ekuivalensi Bukti dengan counter example Bukti dengan induksi Jenis-jenis Pembuktian 1. Pembuktian langsung • Contoh: Jika x bilangan genap, maka x2 bilangan genap. 2. Pembuktian tidak langsung. • p q ~q ~p • Implikasi bernilai sama dengan kontrapositifnya. • Contoh: Jika (3n+2) adalah ganjil, maka n juga ganjil. 3. Vacuous Proof • p q selalu benar jika p bernilai salah. • Contoh: P(n) : “Jika n > 1 maka n2 > n”. Buktikan P(0) bernilai benar. 4. Trivial Proof • p q selalu benar jika q bernilai benar. • Contoh: P(n): “Jika a dan b bilanganbilangan bulat positif dengan a b, maka an bn”. Buktikan P(0) bernilai benar. 5. Bukti dengan kontradiksi • ~p q adalah benar dan q bernilai salah, maka ~p bernilai salah dan p bernilai benar. • Contoh: Jika (3n+2) merupakan bilangan ganjil, maka n juga ganjil. 6. Bukti per kasus • Untuk membuktikan (p1 p2 p3 … pn) q, buktikan p1q, p2q, p3q, …., pnq. • Contoh: Jika n bilangan bulat yang tak habis dibagi 3, maka n2 1(mod 3) 7. Bukti biimplikasi • p q (p q) (qp) • Contoh: Bilangan bulat n ganjil jika dan hanya jika n2 juga ganjil. 8. Bukti ekuivalensi • Untuk membuktikan p1, p2, p3, …, pn adalah ekuivalen, buktikan implikasi p1p2, p2p3, p3p4, …., pnp1. • Contoh: Buktikan ketiga pernyataan berikut ekuivalen: – n2=9 – n2 – 9 =0 – n=3 9. Bukti dengan counter example. • Untuk membuktikan x, p(x) bernilai salah, cari sebuah elemen a, sedemikian sehingga p(a) bernilai salah. Elemen ini disebut counter example. • Contoh: Untuk setiap bilangan cacah n, berlaku n2 > n. Benarkah pernyataan ini? 10. Bukti dengan Induksi Matematika • Ada 3 langkah: – – – • buktikan benar untuk n=1 asumsikan benar untuk n=k buktikan benar untuk n=k+1 Bukti dengan induksi matematika analog dengan cara orang menyebarkan gosip atau dengan sekumpulan kartu domino berdiri yang didorong. Contoh: • – – – Buktikan 1 + 3 + 5 + … + (2n-1) = n2 Buktikan 12 + 22 + 32 +… + n2 = 1/6.n(n+1)(2n+1) Buktikan (72n+1 – 22n+1) habis dibagi 5 Penutup – Pembuktian dalam matematika terdiri dari beberapa metode, seperti: Pembuktian Langsung, Pembuktian Tidak Langsung, Vacuous Proof, Trivial Proof, Bukti dengan kontradiksi, Bukti per kasus, Bukti biimplikasi, Bukti ekuivalensi, Bukti dengan counter example, Bukti dengan induksi
© Copyright 2024 Paperzz
