Pertemuan 12
Dasar-dasar Probabilitas
J0682
Tujuan Belajar
Setelah mempelajari bab ini, Mahasiswa
diharapkan mampu:
Memahami fungsi dan metode perhitungan probabilitas
Menjelaskan arti dan kejadian/peristiwa dan nitasi
himpunan
Menguraikan beberapa aturan/hukum dalam himpunan
dan aturan dasar probabilitas
Menghitung probabilitas marjinal dan menggunakan
rumus Bayes
Memahami permutasi dan kombinasi
Materi
P
engertian dasar Probabilitas
A
turan dasar Probabilitas :
» Aturan Penjumlahan
» Aturan Perkalian
P
ermutasian dan Kombinasi
Buku Acuan
Statistika,
1
(2000) kar. J. Supranto, jilid 1 Chap.12
edisi keenam, halaman 308 – 352
2
Statistika, Teori dan Aplikasi
(2001), Bab 09, kar.
Wayan Koster, edisi pertama, halaman 235 - 289
♥Teori Probabilitas atau kemungkinan muncul dari
gelanggang judi (untung-untungan).
♥CHEVALIER DE MERE, seorang bangsawan
Prancis sering menulis surat kepada BLAISE
PASCAL agar diberi penjelasan hubungan antara
pemikiran teoritisnya dengan observasi dari
gelanggan judi.
• ♥Tahun 1713, 8 tahun setelah meninggalnya
JACOB BERNAULLI (1654-17015) bukunya
yang sangat terkenal ARS CONJECTANDI
baru diterbitkan karena BERNAULLI melihat
pengetahuan probabilitas dari sudut umum.
Teorinya dinamakan TEORI BERNAULLI.
• ♥Perkembangan teori probabilitas mencapai
puncak pada masa LAPLACE (1749-1827).
Karya yang penuh pikiran baru dan metode
analisis yang baru, yaitu ;
1. THEORIE ANALYTIQUE DES
PROBABILITIES
2. ESSAY PHILOSOPHIQUE SUR LES
PROBABILITIES
Probabilitas adalah cabang dari ilmu pengetahuan
matematika yang menelaah faktor untung-untungan
(change factor)
Konsep untung-untungan lebih mudah dijelaskan
dengan contoh.
Contoh :
Andai 10 bola putih dan 10 bola merah dimasukan
kedalam satu kotak secara bersamaan, kemudian
kita ambil 1 bola secara acak maka ada
kemungkinan bisa merah dan bisa juga putih.
Peluangnya sama besar.
• Dalam proses pemilihan ini ada 2 macam
kondisi, yaitu :
1. GIVEN
● Bola bentuk sama kecuali warnanya
● Bola terdiri dari 10 putih dan 10 merah
● Jumlah warna putih = warna merah
2. UNKNOWN
● Kedudukan bola merah dan putih dalam
kotak
● Tindakan pemilihan bola
• Karena kondisi UNKNOWN, maka
hasilnya tidak dapat diramalkan dengan
pasti, tetapi hanya faktor untunguntungan.
Faktor untung-untungan dihubungkan
dengan peluang atau kemungkinan
yang dapat dianalisa dengan dasar
logika ilmiah.
VARIABEL ACAK
Adalah deskripsi numerik (angka) dari hasil
percobaan.
VARIABEL ACAK DISKRIT
Adalah variabel acak yang mengambil nilai-nilai
tertentuyang diperoleh dari hasil perhitungan.
VARIABEL ACAK KONTINU
Adalah variabel acak yang mengambil nilai-nilai
dalam suatu interval yang biasanya diperoleh dari
pengukuran.
• DISTRIBUSI PROBABILITAS
Suatu gambaran bagaimana nilai probabilitas
didistibusikan terhadap nilai-nilai variabel
acaknya
• FUNGSI PROBABILITAS
Suatu fungsi yang dinotasikan dengan p(x) yang
memberikan nilai probabilitas bagi nilai tertentu
dari variabel acak X.
NILAI HARAPAN
Sebuah ukuran rata-rata dari variabel acak
VARIANS
Sebuah ukuran dispersi dari variabel acak
STANDAR DEVIASI
Akar dari varians
KOVARIANS
Varians bersama 2 variabel acak
Contoh:
Percobaan
Variabel Acak
Kemungkinan
Nilai Var. Acak
Penjualan Mobil Jenis Kelamin
Pembeli
0 = jika laki-laki
1 = jika wanita
Penelitian Thd
50 Produk Baru
Jumlah Produk
Yang Rusak
0,1,2,3,….50
Pencatatan
Pengunjung
Restoran Pada
Suatu Hari
Jumlah
Pengunjung
0,1,2,3,….dst
Jika kita mengukur lebar ruangan – jarak - tinggi
badan
atau berat badan, maka hasilnya pasti berbeda
antara satu dengan yang lainnya.
Misal: jarak Bogor – Jakarta dapat 80 km; 80,5
km;
80,57 km; dll
Isi Botol minuman Jumlah
jadi (max=600 ml) mililiter
Penimbangan 20
paket kemasaan
(max=2 kg)
0 ≤ x ≤ 600
Berat sebuah 0 ≤ x ≤ 2
paket
kemasan (kg)
Contoh:
2 Dadu dilempar secara bersamaan,
kemungkinan
yang muncul lemparan pertama
X= 1,2,3,4,5,6
Kemungkinan yang muncul lemparan kedua
Y= 1,2,3,4,5,6
HASIL LEMPARAN DADU 2 X :
Y
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
11
21
31
41
51
61
12
22
13
14
15
16
X
33
44
55
66
Y
X
1
2
3
4
5
6
1
2
1/36 1/36
1/36
1/36 1/36
1/36
1/36
1/36
3
4
1/36
1/36
5
6
1/36 1/36
1/36
1/36
Ada 3 buah distribusi diskrit :
1. DISTRIBUSI BINOMINAL (Bernauli)
2. DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIS
3. DISTRIBUSI POISSON
SEBARAN / DISTRIBUSI BINOM
Ada 4 syarat, yaitu :
1. Banyaknya experimen merupakan Bilangan
Tetap,
1. Setiap percobaan hanya menghasilkan 2
hasil, yaitu SUKSES (S) atau GAGAL (G),
√ Lulus (sukses)
Tidak lulus (gagal)
√ Senang
Tidak senang
√ Setuju
Tidak setuju
√ Barang bagus
Barang rusak
3. Probabilitas sukses sama pada setiap
percobaan,
4. Percobaan harus bebas (independent) satu
sama lain, artinya hasil
percobaan yang satu tidak mempengaruhi
hasil percobaan lainnya.
RUMUS :
n
P(x=k) =
k
k
n-k
P q
untuk k= 0,1,2,….,n
1 kotak, diambil secara acak berisi 30 bola merah
( = 30M) dan 70 bola hijau ( = 70H).
Y = variabel acak dengan nilai :
1,
kalau bola Merah yang
terambil
0,
kalau Hijau yang terambil
Y=
• P(M) = p = Probabilitas untuk mendapat bola
Merah (sukses)
= 0,3
P(H) = 1 - p = q = Probabilitas untuk
mendapatkan bola Hijau
(gagal) = 0,7
• E(Y) = 1(p) + 0(1-p)
= 1(0,3) + 0(0,7)
= 0,3
Sekarang apabila dilakukan n = 4 kali
4
Percobaan menghasilkan 2 = 16 hasil
1. MMMM
13. MMHH
2. MMMH
14. MHHH
3. MMHM
15. HHMH
4. MHMM
16. HHHH
Misalkan hasil percobaan P(MMHM) = PPqP
= (0,3) (0,3) (0,7) (0,3) = 0,0189
3
maka PPqP = P q
• kalau X = banyak bola merah
= Y1 + Y2 + Y3 + Y4
untuk MMMH maka X = 1 + 1 + 1 + 0 = 3
kalau MHMH maka X = 1 + 0 + 1 + 0 = 2
Apabila semua nilai probabilitas X sebagai hasil
suatu percobaan kita hitung, akan diperoleh
Distribusi Probabilitas X dan disebut Distribusi
Probabilitas Binominal
• P(X=0) = P(HHHH) = P(H) P(H) P(H) P(H)
= (0,7)4 =0,2401
4
P(X=4) = P(MMMM) = (0,3) = 0,0081
P(X=3) = P3q + P2qP + PqP2 + qP3
= 4 P3q = 4 (0,3) 3 (0,7)
= 0,0756
X
0
1
2
3
4
P(x)
0,2401
0,4116
0,2646
0,0756
0,0081
maka, Rumus Bernouli :
P ( X SUKSES, dalam m percobaan) = Pxqn-x
Dimana :
X = 0,1,2,3…..n
P = Probabilitas sukses
Q = (1 - P) = Probabilitas gagal
Apabila suatu himpunan terdiri dari n elemen
dibagi dua, yaitu: X SUKSES dan (n – X)
GAGAL, maka Rumusnya menjadi :
P(x) =
n!
Pxqn-x
x! (n – x)!
X = 0,1,2,3…..n
INGAT 0! = 1! = 1
dan P0 = 1
CONTOH
4 C3 =
4!
3! (4 – 3)!
=
(4) (3) (2) (1)
(3) (2) (1) (1)
=4
SOAL:
• Seorang penjual mengatakan bahwa diantara
seluruh barang, ada yang rusak 20%, seorang
pembeli membeli sebanyak 8 buah secara
acak. Kalau X= banyak barang yang bagus.
Berapa probabilitas bahwa dari 8 buah barang
yang dibeli, ada 5 yang rusak?
►Sampai jumpa pada pertemuan 13 (F2F)

download

download soal

download

download