DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ Öteleme Hareketi Bir nesnenin bir yerden başka bir yere belirli bir doğrultu ve yönde kayma hareketine öteleme denir. Örnek: Yandaki koordinat düzleminde çizilen üçgenin üzerindeki A, B ve C noktalarının öteleme hareketlerini inceleyelim: I. öteleme sonucunda, şekil x eksenine paralel olarak 4 birim sağa ötelenmiştir. II. öteleme sonucunda, şekil önce y eksenine paralel olarak 5 birim aşağı, sonra x eksenine paralel olarak 1 birim sola ötelenmiştir. Örnek Soru: !!UYARI!! Öteleme hareketi nesnenin ya da şeklin, duruşunu, boyutunu ve birimini değiştirmez. Koordinat Düzleminde Öteleme Hareketi Yukarıda verilen şeklin koordinat ekseninde x eksenine paralel 2 birim sola ve y eksenine paralel 4 birim aşağıya ötelenmesiyle oluşan şekil aşağıdakilerden hangisidir? Örnek : www.ustunmatematik.com Çözüm: Yanıt C Çözüm: Yanıt B Örnek Soru: Yansıma Hareketi Eksen olarak alınan bir doğrudan, benzer noktaları karşılıklı olarak eksene aynı uzaklıkta bulunan iki benzer parçanın birbirine göre olan durumuna yansıma denir. Yansıma ayrıca “simetri” olarak da adlandırılır. Yukarıdaki şekilde bisikletli çocuğun x eksenine paralel 4 birim sola ve y eksenine paralel 1 birim yukarıya ötelenmesiyle oluşan şekil aşağıdakilerden hangisidir? www.ustunmatematik.com Koordinat Düzleminde Yansıma Hareketi Yandaki koordinat düzleminde çizilen şekil önce y eksenine göre daha sonra x eksenine göre yansıtılmıştır. Örnek Soru: Yukarıdaki şekilde verilen hamburger ve kolanın d doğrusuna göre, yansımaları aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir? Örnek Çözüm: Verilen şeklin d doğrusuna göre yansıması aşağıdaki gibidir. Yanıt B www.ustunmatematik.com Örnek Soru: Yukarıdaki şekilde aynanın önündeki tavuğun aynadaki yansımasını gösteren resim aşağıdakilerden hangisidir? Koordinat Düzleminde Dönme Hareketi Koordinat düzleminde bir geometrik şekil, orijin etrafında saat yönünde 90° döndürüldüğünde şeklin üzerindeki bir A(x, y) noktasının görüntüsü A’(y, –x) olur. Şekil orijin etrafında saat yönünde 180° döndürüldüğünde şeklin üzerindeki bir A(x, y) noktasının görüntüsü A’(–x, –y) olur. Çözüm: Tavuğun aynadaki yansıması aşağıdaki gibidir. Şekil orijin etrafında saat yönünde 270° döndürüldüğünde şeklin üzerindeki bir A(x,y) noktasının görüntüsü A’(–y, x) olur. Şekli orijin etrafında 360° döndürdüğümüz de şeklin üzerindeki bir A(x, y) noktası değişmez. Yanıt B Dönme Hareketi Verilen bir şeklin bir nokta etrafında sağa veya sola çevrilmesi dönme hareketidir. Örnek: ABCD dörtgenini orijin etrafında saat yönünde 90° döndürdüğümüzde I nolu şekil oluşur. ABCD dörtgenini orijin etrafında saat yönünde 180° döndürdüğümüzde II nolu şekil oluşur.Dönme hareketinin yaptırıldığı şekil üzerinde herhangi bir noktanın orijine olan uzaklığı ile şeklin görüntüsünde bu noktaya karşılık gelen noktanın orijine olan uzaklığı eşittir. www.ustunmatematik.com Ötelemeli Yansıma Hareketi Bir şekle belli doğrultularda hem öteleme hem yansıma hareketi yapılmasıdır. Örnek : Örnek: Aşağıda verilen şekillerde yapılan dönüşüm hareketlerini inceleyelim. Örnek Soru: Yukarıdaki şeklin y eksenine paralel 3 birim aşağıya ötelenip y eksenine göre yansıması sonucu oluşan şeklin görüntüsünü bulalım. Yukarıdaki şekil önce aşağıya ötelenmiş sonra d doğrusuna göre yansıma hareketi yapılmıştır. !!UYARI!! Çözüm: Önce şekli y eksenine paralel 3 birim aşağıya öteleyelim. Şekil öteleme hareketi sonucu koordinat düzleminde III. bölgeye geçer. Bir şeklin, bir doğruya göre yansıtılmasından sonra ötelenmesi ile ötelenmesinden sonra yansıtılması altındaki görüntüleri aynıdır. Ötelemeli yansımada hiçbir nokta ve yansıma doğrusu dışındaki hiçbir doğru sabit kalmaz. www.ustunmatematik.com Daha sonra y eksenine göre yansıması alınır.Bir şeklin yansıması alınırken noktaların simetri eksenine eşit uzaklıkta olduğuna dikkat edelim. Yanıt C Örnek Soru: Örnek Soru: 1. ve 2. şekil sırayla pembe noktaların olduğu yerlerden ok yönünde birleştiriliyor. Oluşan 3.şekil noktalı doğruların hizasından kesiliyor. Kesilen kısımlar atıldığında kalan şekil açılıyor.Buna göre, katlı olan şekil açıldığında hangi şekil elde edilmiş olur? Yukarıdaki şekilde verilen kartalın kanatlarında ve başında bulunan B, J ve K noktalarının koordinatları B (–5, 2), J (–1, 2) ve K (–1, 4)’tür. Bu kartal orijin etrafında saat yönünde 90° dönerse oluşan B’, J’ ve K’ noktalarının koordinatları aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiş olur? Çözüm: 3. şeklin kesilen kısımları atılıp açıldığında aşağıdaki şekil oluşur. A) B’(2, –5), J’(–1, 2) ve K’(–1, 4) B) B’(2, – 5), J’(1, –2) ve K’ (1, –4) C) B’(2, 5), J’(2, 1) ve K’ (4, 1) D) B’(5, 2), J’(2, 1) ve K’ (4, 1) Çözüm: Kartal orijin etrafında saat yönünde 90° dönerse B’(2, 5) , J’(2, 1) , K’(4, 1) olur. Yanıt A www.ustunmatematik.com Örnek Soru: 8.Sınıf Dönüşüm Geometrisi Etkin Katılım 1. Aşağıda verilen üçgenlere istenilen ötelemeleri yapınız. Yukarıdaki koordinat düzleminde verilen K,L, M, N şekillerine göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) L’nin y eksenine göre yansıması K’dir. B) K’nin orijin etrafında ve saat yönünde 180° döndürülmesiyle M elde edilmiştir. C) M’nin x ekseni boyunca 5 birim sola ötelenmesiyle N elde edilmiştir. D) K’nin x eksenine göre yansıması N’dir. (2009 SBS) 2. Aşağıda verilen şekillere istenilen eksenlere göre yansımasını yapınız. Çözüm: K’nin x eksenine göre yansıması aşağıdaki gibi olur. O halde, D şıkkı yanlıştır. Yanıt D www.ustunmatematik.com