¨
1. Verilen Topoloji ve Fonksiyonlarla Yeni Topoloji Uretmek
8
1.4
C
¸ arpım Uzayı
(Xi )i∈I bo¸s k¨
umeden karklı k¨
umelerin ailesi olmak u
¨zere, bu k¨
umenin kartezyan
¸carpımının
Q
I
i∈I Xi = {f : f ∈ (∪i Xi ) , ∀i, f (i) ∈ Xi }
olarak tanımlandı˘
gını hatırlıyalım. Bu k¨
ume se¸cme beliti beliti altında bo¸s
k¨
umeden farklıdır.
((Xi , τi ))i∈I topolojik uzayların bir ailesi olsun. Bu aileyi kullanarak
Q
X = i∈I Xi
u
¨zerinde ”dogal” bir topoloji tanımlıyaca˘gız. Ilk bakı¸sta X k¨
umesi u
¨zerinde
tanımlanacak do˘
gal topoloji, tabanı
Q
B = { i Ui : Ui ∈ τi }
olan topolojidir. (B’nin sonlu arakesit i¸slem kapalı oldu˘gu bariz.) B ratafından
u
¨retilen topolojiye kutu topolojisi denir. Topolojisi kutu topolojisi olan
toplojik uzay (X, τ )’ye topolojik kutu uzayı (ya da kutu uzayı) denir.
Kutu uzayı bazı ters ¨
ornek olu¸sumlarında verimli olsa da, bu topolojik uzay
topoloji alanında
pek c¸alı¸sılan bir topolojik uzay de˘gildir.
Q
X = i∈I Xi k¨
umesi u
¨zerinde izd¨
u¸su
¨m fonksiyonlarla tanımlanan ba¸ska
¨
bir topoloji tanımlıyaca˘
gız. Oncelikle izd¨
u¸su
¨m fonksiyonları hatırlıyalım: j ∈ I
olmak u
¨zere
Q
Pj : i∈I Xi → Xk , Pj (f ) = f (j)
olarak tanımlanan fonksiyona
u¸su
¨m denir. Pratiksel a¸cıdan her i ∈ I
Qj’ninci izd¨
i¸cin f (i) = ai olan f ∈
X
fonksiyonunu
f = (ai ) olarak da yazi
i∈I
abilece˘gimizi unutmuyalım.
Q
Tanım 1.5. (Xi , τi )i∈I topolojik uzayların bir ailesi ve X = i∈I Xi olsun.
X u
¨zerinde
{Pi−1 (Ui ) : i ∈ I, Ui ∈ τi }
tarafından u
¨retilen topolojiye ¸
carpım topolojisi ya da Tychonoff topolojisi ve topolojisi c¸arpım topolojisi olan X topolojik uzayına topolojik ¸
carpım
3
uzayı (ya da ¸
carpım uzayı) denir.
X, ((X, τi ))i∈I topolojik uzaylar ailesinin c¸arpım uzay olsun. A¸sa˘gıdakilerin
do˘grulu˘gu hemen hemen de barizdir.
3
C
¸ arpım uzayları ilk kez Steinitz’nin 1908 tarihli makalesinde bahsedilmi¸stir. Daha soyutsal olarak, sonlu indeksli k¨
ume u
¨zerinde, c¸arpım uzayları 1910 yilinda Frechet tarafından
tartı¸sılmı¸stır.
1.4. C
¸ arpım Uzayı
9
(i) Her i ∈ U i¸cin Pi izd¨
u¸su
¨m¨
u s¨
ureklidir.
(ii) {f −1 (Ui ) : i ∈ I, Ui ∈ τi }, X uzayının bir ¨ontabanıdır.
Q
(ii) B = { i∈I Ui : Ui ∈ τi , {j ∈ I : Uj =
6 Xj } sonlu}, X uzayının bir
tabanıdır.
Teorem 1.7. X, ((X, τi ))i∈I topolojik uzaylarının ¸carpım uzayı olsun. Her
j ∈ I i¸cin, Xj uzayı, X’nin bir altuzayına homeomorfiktir.
Kanıt: j ∈ I verilsin. Her i ∈ I \ {j} i¸cin ai ∈ Xi se¸celim.
Y = {(xi ) : ∀i, i 6= j, xi = ai }
olarak tanımlansın. Xj ’nin Y altuzayına homeomorfik oldu˘gu bariz.
Q
Teorem 1.8. (Xi )i∈I
Q topolojik
Q uzayların bir ailesi olsun ve i Xi bu ailenin
¸carpım uzayı olsun. i Ai ⊂ i Xi i¸cin,
Y
Ai =
i∈I
Y
Ai .
i
Kanıt: En az bir i i¸cin i i¸cin Ai = ∅ olması durumunuda
e¸sitlik bariz. S¸imde
Q
her i i¸cin Ai 6= ∅ oldu˘
gunu varsayalım. x = (xi ) ∈ i∈I Ai verilsin. U a¸cık bir
k¨
ume ve x ∈ U olsun.
x ∈ ∩i∈J Pi−1 (Ui ) ⊂ U
olacak bi¸cimde sonlu J ⊂ I k¨
umesi vardır. Burada ge¸cen Ui ’ler Xi topolojik
uzayında a¸cık ve her i ∈ J i¸cin xi ∈ Ui dir. Her i ∈ J i¸cin, xi ∈ Ai oldu˘gundean,
yi ∈ A ∩ Ui vardır. i ∈ I \ J i¸cin yi ∈ Ai se¸celim. y = (yi ) olmak u
¨zere
Y
y ∈ (∩i∈J Pi−1 (Ui )) ∩
Ai
i∈I
Q
Q
oldu˘gundan dolayı x ∈ i Ai dir. x = (xi ) ∈ i Ai verilsin. j ∈ I, Uj , Xj
topolojik uzayında a¸cık ve xj ∈ Uj olsun. x ∈ Pj−1 (Uj ) dir. Varsayım gere˘gi
(Pi−1 (Uj )) ∩
Y
Ai 6= ∅,
i
oldu˘gundan Uj ∩ Aj 6=Q∅ dir. B¨
oylece xj ∈ Ai oldu˘gu g¨osterilmi¸s olur. j ∈ I
keyfi oldu˘gundan x ∈ i Ai oldu˘
gu g¨
osterilmi¸s olur. Bu kanıtı tamamlar. Teorem 1.9. ((Xi , τi ))i∈I topolojik uzayların bir ailesi ve ∅ =
6 J, K ⊂ I
k¨
umeri ayrık ve J ∪ K = I olsun. X, ((Xi , τi ))i∈I ’nin ¸carpım uzayı, Y ,
((Xi , τi ))i∈J ’nin ¸carpım uzayı ve Z, ((Xi , τi ))i∈K ’nin ¸carpım uzayı olsun. Y
ve Z’nin a¸rpım uzayının X uzayına homeomorfikdir.
¨
1. Verilen Topoloji ve Fonksiyonlarla Yeni Topoloji Uretmek
10
Kanıt:
X=
Q
i∈I
Xi , X =
Q
i∈J
Xi ve X =
Q
i∈K
Xi
uzayları ¸carpım uzaylar olsunler.
π : X → Y × Z, π(f ) → (f |J , f |K )
olarak tanımlansın. π’nin bit=rebir ve ¨orten oldu˘gu bariz. Ayrıca, π’nin ve
tersinin s¨
ureklili˘
gi de barizdir.
Alı¸stırmalar
1.19. (Xi , τi ) (i = 1, 2, ..., n topolojik uzaylar osunlar.
X = X1 × X2 ... × Xn = {(x1 , ..., xn ) : xi ∈ Xi }
ve
B = {U1 × U2 ... × Un : Ui ∈ τi }
olarak tanımlıyalım. X, B tarafından u
¨retilen topolojik uzay olsun. A¸sa˘
gıdakilerin do˘
grulu˘
gunu
g¨
osteriniz.
(i) B, X uzayının bir tabanıdır.
Q
(ii) (X, τ ) topolojik uzayı, i∈{1,2,...,n} Xi uzerinde tanımlı kutu ve c¸arpım uzaylayına
homeomorfiktir.
1.20. (Xi , τi ) (i = 1, 2, ..., n topolojik uzaylar osunlar. (Yukarıdaki problemdeki gibi tanımlanan
topolojik uzaylar) (X1 × ... × Xn−1 ) × Xn ve X1 × ... × Xn uzaylarının homeomorfik
olduklarını g¨
osteriniz.
1.21. (Xi , τi ) topolojik uzayların bir ailesi olsun. τ bu ailenin ¸carpım topolojisi ve T kutu
topolojisi olsun. τ ⊂ T oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
Q
1.22. R Euclidean uzay olmak u
¨zere X = n∈N R kutu topolojisi ile donatılsın.
f : R → X, f (x) = (x)
olarak tanımlanan fonksiyonun hi¸cbir noktoda s¨
ureli olmadı˘
gını g¨
osteriniz.
Kanıt: f ’nin x0 ∈ R noktasında s¨
urekli oldu˘
gunu varsayalım.
U=
Y
1
1
(x0 − , x0 + ),
n
n
n
(f (x0 ) noktasını i¸ceren a¸cık k¨
umedir.
f ((x0 − , x0 + )) ⊂ U
o
¨zelli˘
ginde > 0 vardır. Buradan, her n ∈ N i¸cin
x0 +
2
< x0 +
1
n
elde edilir ki, bu c¸eli¸skidir.
Q
Q
1 1
1.23.
umesinin, n∈N R c¸arpım uzayında a¸cık olmadı˘
gını g¨
osteriniz.
n∈N (− n , n ) k¨
1.24. X, (Xi )i∈I topolojik uzayların bir ailesi olsun. Y bir topolojik uzay ve f : Y → X bir
fonksiyon olsun. A¸ca˘
gıdakilerin denkli˘
gini g¨
osteriniz.
(i) f s¨
ureklidir.
(ii) Her i ∈ I i¸cin Pi ◦ f : Y → Xi s¨
ureklidir.
1.4. C
¸ arpım Uzayı
11
1.25. X, (Xi )i∈I topolojik uzayların ¸carpım uzayı olsun. Her k = 0, 1, 2 i¸cin a¸sa˘
gıdakilerin
denkli˘
gini g¨
osteriniz.
(i) X bir Ti -uzayıdır.
(ii) Her i ∈ I i¸cin Xi , Tk -uzayıdır.
1.26. X, (Xi )i∈I topolojik uzayların ¸carpım uzayı olsun. Her i ∈ I i¸cin Pi : X → Xi
izd¨
u¸su
¨m¨
un¨
un a¸cık oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
Kanıt: i ∈ I verilsin. k ∈ I ve U ⊂ Xk a¸cık olsun. i = k i¸cin Pi (Pk−1 (U )) = U ve i 6= k
i¸cin Pi (Pk−1 (U )) = Xi oldu˘
gu bariz. {Pi−1 (U ) : i ∈ I, U ⊂ Xi a¸cık} Xnin o
¨ntabanı
oldu˘
gundan isetenilen a¸cıktır.
Q
1.27. R, Euclidean uzay olamk u
¨zere X = n∈N R c¸arpım uzayında,
c00 = {(xn ) : ∃n∀i ≥ n, xi = 0}
k¨
umesinin kapanı¸sının
c0 = {(xn ) : limn xn = 0}
oldu˘
gunu g¨
osteriniz. X’nin kutu uzayı olması durumunda c00 ’nın kapanı¸sını belirleyiniz.
1.28. X, (Xi )i∈I topolojik uzayların kutu uzayı olsun ve her i ∈ I i¸cin Ai ⊂ Xi verilsin.
Q
Q o
Q
Q
0
i Ai ve
i Ai
i Ai =
i Ai =
oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
© Copyright 2024 Paperzz
