4
1. Topolojik Uzaylar
1.2
A¸
cık ve Kapalı K¨
umeler
Topolojilerin elemanlarına ¨
ozel bir isim verilir: a¸cık k¨
ume5 . Bu adlandırma,
ger¸cel sayılarda tanımlı a¸cık aralık kavramından gelmektedir.
Bu kısımda bir topolojik uzayda a¸cık ve kapalı k¨
ume kavramları tanıtılacak
ve bu kavramdan u
¨retilen bir k¨
umenin i¸ci, kapanı¸sı ve sınırı gibi kavramlar
¨
tanımlanarak, bunların aralarındaki bazı temel ili¸skiler verilecek. Oncelikle
a¸sa˘gıdaki standart tanımla ba¸slayalım.
Tanım 1.2. (X, τ ) bir topolojik uzay olsun.
(i) τ ’nin her elemanına a¸
cık k¨
ume ,
(ii) T¨
umleyeni, τ ’nin bir elemanı olan k¨
umeye kapalı k¨
ume denir.
Bir topolojik uzayda bir k¨
umenin a¸cık olması i¸cin gerekli ve yeterli ko¸sul,
k¨
umenin t¨
umleyeninin kapalılı oldu˘
g barizzdir.
X topolojik uzayında bir k¨
umenin hem a¸cık hem kapalı olma durumu
s¨ozkonusudur. bo¸sk¨
ume ve X bu ¨
ozellikteki k¨
umelerdir. X u
¨zerinde tanımlı
en ince topolojiye g¨
ore X’nin her altk¨
umesi hem kapalı hem de a¸cıktır.
X topolojik uzayıda X’nin bir altk¨
umesinin a¸cık olmaması durumunda, bu
k¨
umeye ”en yakın” a¸cık k¨
umeyi anlamak, topolojik uzayın daha iyi anla¸sılmasını
kolayla¸stıracaktır. Benzer durum kapalı k¨
umeler i¸cinde s¨oz konusudur. Bu
sorgulama bizi a¸sa˘
gıdaki tanıma y¨
onlendirir.
Tanım 1.3. X bir topolojik uzay olsun. Her A ⊂ X k¨
umesi i¸cin,
(i) A0 := ∪{U : U
a¸cık ve
(ii) A = ∩{K ⊂ X : K
U ⊂ A}.
kapalı ve A ⊂ K}.
olarak tanımlanan k¨
umelere sırasıyla, A’nın i¸
ci ve kapanı¸sı denir.
Bir topolojik uzayın bir A altk¨
umesinin i¸cinin i¸ci Aoo ile g¨osterilir. Benzer
bi¸cimde kapanı¸sının kapanı¸sı da A ile g¨osterilir. Her k¨
umenin i¸ci a¸cık ve a¸cık
k¨
umenin i¸ci kendisine e¸sittir. Benzer bi¸cimde bir k¨
umenin kapanı¸sı kapalı ve
kapalı bir k¨
umenin kapanı¸sı kendisine e¸sttir. Yani bir X topolojik uzayında,
- A⊂X
a¸cık ⇐⇒ Ao = A,
- A⊂X
kapalı ⇐⇒ A = A,
- Aoo = Ao .
- A = A.
5
a¸cık ve kapalı k¨
ume kavramı ilk olarak Cantor tarafından Euclidean uzayları i¸cin
tanımlanmı¸s ve c¸alı¸sılmı¸stır.
1.2. Ac¸ık ve Kapalı Kumeler
¨
5
X topolojik uzayında bir k¨
umenin i¸ci, kendisi ve kapanı¸sı arasındaki en temel
kapsama ili¸skisi, her A ⊂ X i¸cin
Ao ⊂ A ⊂ A
ili¸skisidir. Ayrıca verilen A ⊂ X k¨
umesi i¸cin A ve X \ A k¨
umelerinin i¸ci ve
kapanı¸sı arasındaki e¸sitlik ve kapsama ili¸skileri, tanımlar kullanılarak hemen
¨
g¨or¨
ulebir. Orne˘
gin,
X \ A = (X \ A)o
olması gibi. A ⊂ X k¨
umesi i¸cin X \ A ve A k¨
umeleri ayrıkolduklarından, Ao ve
o
(X \ A) k¨
umeleride ayrık, fakat birle¸simleri X’e e¸sit olmayabilir. Bu g¨ozlem
sonucu a¸sa˘gıdaki tanımı vermek anlamlıdır.
Tanım 1.4. Bir X topolojik uzayında A ⊂ X k¨
umesinin sınırı
d(A) := X \ ((X \ A)o ∪ Ao )
olarak tanımlanır.
Yukarıdaki tanım sonrası her topolojik uzay X, uzayın her altk k¨
umesi
i¸cin u
¨c¸ ayrık par¸caya ayrılır. Gerceekten, A ⊂ X i¸cin, Ao , (X \ A)o ve d(A)
k¨
umeleri iki¸sr iki¸ser ayrık ve
.
.
X = Ao ∪ (X \ A)o ∪ d(A)
dır.
Bir X topolojikk uzayında bir A ⊂ X k¨
umesinin kapanı¸sı X olabilir. Bu
durum olduk¸ca ¨
onemlidir ve bu noktada bu durumu isimlendirmek yerindedir.
Tanım 1.5. Bir X topolojik uzayında A = X ise, A’ya yo˘
gun k¨
ume denir.
Alı¸stırmalar
1.8. (X, X ) bir topolojik uzay olsun. A ⊂ B ⊂ X ise Ao ⊂ B o ve A ⊂ B oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
1.9. Bir X topolojik uzayında A ⊂ X i¸cin
(i) Ao = X \ X \ A,
(ii) A = X \ (X \ A)o
oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
1.10. X topolojik uzay ve A ⊂ X verilsin.
A = Ao ∪ d(A)
oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
1.11. Bir X topolojik uzayında A, B ⊂ X i¸cin
A∪B =A∪B
oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
ve
(A ∩ B)o = Ao ∩ B o
6
1. Topolojik Uzaylar
1.12. (X, X ) bir topolojik uzay, A ⊂ X ve x ∈ X verilsin. A¸sa˘
gıdakilerin denk oldu˘
gunu
g¨
osteriniz.
(i) x ∈ A0 .
(ii) x ∈ U ⊂ A o
¨zelli˘
ginde bir a¸cık k¨
ume U vardır.
1.13. (X, X ) bir topolojik uzay, A ⊂ X ve x ∈ X verilsin. A¸sa˘
gıdakilerin denk oldu˘
gunu
g¨
osteriniz.
(i) x ∈ A.
(ii) U a¸cık ve x ∈ U ise U ∩ A 6= ∅.
1.14. X topolojik uzay olmak u
¨zere A, B ⊂ X k¨
umeleri verilsin.
∅ = ∅,
A ⊂ A,
A∪B =A∪B
ve
A=A
ve
∅o = ∅,
Ao ⊂ A,
(A ∪ B)o = Ao ∪ B o
ve
Aoo = Ao
oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
1.15. Bir X topolojik uzayında bir A ⊂ P(X) k¨
umesi, verilen her x ∈ X iin
¸,
{A ∈ A : A ∩ U 6= ∅}
sonlu olacak bi¸cimde x ∈ U a¸cık u
¨mesi var ise,ise A’ye
olmak u
¨zere A yerel sonlu ise,
6
denir. X bir topolojik uzay
∪A∈A A = ∪A∈A A
oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
g bariz. x ∈ ∪A∈A A verilsin. A yerel sonlu oldu˘
gundan,
Kanıt: ∪A∈A A ⊂ ∪A∈A A oldu˘
S = {A ∈ A : A ∩ U 6= ∅}
k¨
umesi sonlu olacak o
¨zellikte x ∈ U a¸cık k¨
umesi vardır.
x ∈ (∪A \ S) ∪ (∪S) = ∪(A \ S) ∪ ∪S,
x 6∈ ∪(A \ S)
ve S sonlu oldu˘
gundan,
x ∈ ∪S = ∪A∈S A
dir.
1.16. Bir X topolojik uzayında A ⊂ P(X) k¨
umesi yerel sonlu ise,
A = {A : A ∈ A}
olarak tanımlanan k¨
umeninde yerel sonlu oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
1.17. X topolojik uzay ve (An ), X’nin altk¨
umelerinin bir dizisi olsun.
∞
∞
∞
∪∞
i=1 Ai = (∪i=1 Ai ) ∪ (∩i=1 ∪j=0 Ai+j )
oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
1.18. X topolojik uzay ve U , X’de a¸cık k¨
ume olsun. Her A ⊂ X i¸cin
U ∩A=U ∩A
oldu˘
gunu g¨
osteriniz.
6
bu kavram 1924 yılında Alexandrooff tarafından verilmi¸stir
1.2. Ac¸ık ve Kapalı Kumeler
¨
7
1.19. X topolojik uzayında A ⊂ X yo˘
gun ise, her a¸cık U k¨
umesi i¸cin U ∩ A = U oldu˘
gunu
g¨
osteriniz.
1.20. (Kuratowski 14-K¨
ume Teoremi) X bir topolojik uzay olmak u
¨zere her n ∈ N ve A ⊂ X
i¸cin cn A ∈ {A, X \ A} olmak u
¨zere,
|{c1 c2 ...cn A : n ∈ N}| ≤ 14
oldu˘
gunu g¨
osteriniz
© Copyright 2024 Paperzz
