ELE403/503 DOĞRUSAL OLMAYAN SİSTEMLER – 2014-2015/II- ÖDEV 1 Açıklama: Aşağıdaki soruları çözerek 16 Şubat 2015 Pazartesi günü teslim edin. Aksi belirtilmediği sürece sorulardaki hesaplamaları yapmak için hesap makinesi, bilgisayar vs. kullanılabilir. 1. Yandaki yay-kütle sisteminde 𝑚𝑚 = 1, 𝑘𝑘 = 2 olarak veriliyor. a. Sistemin kaç tane denge noktası vardır ve nelerdir? Bu noktalar ne tiptir? (kararlı/kararsız düğüm, odak, eyer, merkez vs.) 𝑑𝑑𝑥𝑥̇ b. 𝑥𝑥̈ = 𝑥𝑥̇ koyma yöntemini kullanarak sistemin faz 𝑑𝑑𝑑𝑑 portresini oluşturun. c. Eş-eğim çizgileri yöntemini kullanarak sistemin faz portresini oluşturun. 2. Yandaki yay-kütle-sönümleyici sisteminde 𝑚𝑚 = 1, 𝑘𝑘 = 2, 𝑐𝑐 = 1 olarak veriliyor. a. Sistemin kaç tane denge noktası vardır ve nelerdir? Bu noktalar ne tiptir? (kararlı/kararsız düğüm, odak, eyer, merkez vs.) b. Sistemin faz portresini oluşturun. (Derste gördüğümüz yöntemlerden istediğiniz birini kullanabilirsiniz.) 3. 𝑥𝑥̈ + 0.6𝑥𝑥̇ + 3𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 2 = 0 sistemini ele alalım. a. Sistemin kaç tane denge noktası vardır ve nelerdir? Bu noktalar ne tiptir? (kararlı/kararsız düğüm, odak, eyer, merkez vs.) b. Sistemin faz portresini oluşturun. (Derste gördüğümüz yöntemlerden istediğiniz birini kullanabilirsiniz.) 4. Aşağıdaki sistemlerde birim çemberin limit döngüsü olduğunu gösterin ve kararlılığını irdeleyin. a. 𝑥𝑥̇1 = 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥1 (𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥22 − 1) 𝑥𝑥̇ 2 = −𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 (𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥22 − 1) b. 𝑥𝑥̇1 = 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1 (𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥22 − 1)2 𝑥𝑥̇ 2 = −𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 (𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥22 − 1)2 5. Poincare-Bendixson teoremi kullanarak 𝑥𝑥̈ + 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥̇ (1 − 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥̇ 2 ) = 0 sisteminin kararlı bir limit döngüsü olduğunu gösterin. 6. Bendixson teoremi kullanarak aşağıdaki sistemin limit döngüsü olmadığını gösterin. 𝑥𝑥̇1 = −𝑥𝑥13 − 𝑥𝑥1 𝑥𝑥24 + sin�𝑥𝑥25 �𝑒𝑒 𝑥𝑥2 cos�𝑥𝑥17 � 𝑥𝑥̇ 2 = −𝑥𝑥23 − 𝑥𝑥12 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥1 7. Lienard teoremi kullanarak 𝑥𝑥̈ + 𝑚𝑚(𝑥𝑥 4 − 1)𝑥𝑥̇ + 𝑥𝑥 = 0 sisteminin kararlı bir limit döngüsü olduğunu gösterin. (𝑚𝑚 > 0)
© Copyright 2024 Paperzz
