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Breve storia della teoria delle curve algebriche piane

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Breve storia della teoria delle curve algebriche
piane
Enrico Rogora
15 dicembre 2014
Generalit`
a Una curva algebrica piana affine `e il luogo degli zeri, nel piano
affine complesso, di un polinomio in due variabili f (x, y). Una curva algebrica piana proiettiva `e il luogo degli zeri, nel piano proiettivo complesso, di
un polinomio omogeneo in tre variabili F (x0 , x1 , x2 ). Il legame tra una curva
affine e la corrispondente curva proiettiva `e dato algebricamente dagli operatori di omogeneizzazione e disomogeneizzazione. L’omogeneizzazione del
polinomio f (x, y) si ottiene operando la sostituzione x = x1 /x0 e y = x2 /x0
e moltiplicando per la pi`
u bassa potenza di x0 che permette di eliminare i
denominatori. La disomogeneizzazione del polinomio F (x0 , x1 , x2 ) si ottiene
con la sostituzione x0 = 1, x1 = x, x2 = y.
Per esempio, se f (x, y) = x3 −y 2 , la sua omogeneizzazione H(f ) si ottiene
da (x1 /x0 )3 − (x2 /x0 )2 moltiplicando per x30 , ottenendo quindi
H(f ) = x31 − x22 x0 .
Mentre per ogni polinomio f in due variabili, D(H(f )) = f , si ha che
H(D(F )) = F solo se F non `e divisibile per una potenza di x0 .
Geometricamente, l’omogeneizzazione di una curva affine consiste nell’aggiungere i suoi punti all’infinito. Per esempio, alla parabola y = x2 , che omogeneizzata diventa x0 x2 = x21 viene aggiunto il punto all’infinito (0, 0, 1) che
rappresenta la direzione dell’asse della parabola, mentre all’iperbole xy = 1,
di equazione omogenea x1 x2 = x20 vengono aggiunti i punti all’infinito (0, 1, 0)
e (0, 0, 1) che rappresentano le direzione dei due asintoti.
Una curva si dice riducibile se il corrispondente polinomio si pu`o scrivere
come prodotto di due polinomi di grado maggiore di zero. Per esempio la curva di equazione xy = 0 `e riducibile in due rette di equazioni rispettivamente
x = 0 e y = 0.
1
Ordine di una curva. L’ ordine di una curva `e il grado del corrispondente
polinomio. La curva si dice riducibile se il corrispondente polinomio si pu`o
scrivere come prodotto di due polinomi di grado maggiore di zero. L’ordine di
una curva `e un invariate per trasformazioni proiettive. L’idea di classificare
le curve in funzione del loro ordine si deve a Descartes, che introdusse anche i
metodi della geometria analitica e lo strumento della derivazione dei polinomi
per affrontare il loro studio. Il punto di vista di Descartes rivoluzion`o la
geometria. Egli ne ridefin`ı gli oggetti, sostituendo alle curve costruibili con
procedimenti geometrici (riga e compasso) o meccanici le curve definite da
una equazione. Oltre a rendere accessibile all’indagine geometrica un nuovo
insieme di oggetti, il punto di vista di Descartes apr`ı alla geometria tutta una
serie di problemi prima inconcepibili. Per esempio il problema di classificare
le curve di dato ordine o di determinare il grado di curve che risolvono specifici
problemi geometrici, per esempio il problema di Pappo (cfr, [1]).
Il primo che affront`o sistematicamente lo studio delle curve algebriche
piane di ordine maggiore di due fu per`o Newton, che nel 1667-68 fece uno
studio dettagliato delle curve di terzo grado o cubiche. Anche Mc Laurin,
Taylor, Eulero, Cramer e Puiseux se ne occuparono, analizzando in particolare le propriet`a locali di una curva, cio`e le approssimazioni con parabole
occupatrici di ogni ordine e analizzando le singolarit`a. Il punto di vista di
questi autori era quello di considerare la geometria delle curve come un capitolo del Calcolo differenziale. Con Poncelet si assiste al ritorno del punto di
vista geometrico sintetico nello studio delle curve piane. Poncelet introdusse
l’idea di polare, di punti all’infinito di curva duale e pose alcuni problemi
fondamentali come quello del calcolo della classe di una curva e del numero
dei flessi.
Un punto di svolta fondamentale nello studio delle curve algebriche piane si ebbe con il lavoro di Pl¨
ucker, che svilupp`o un approccio geometrico
utilizzando gli strumenti del calcolo differenziale.
L’ordine di una curva algebrica si pu`o definire geometricamente come il
numero delle intersezioni della curva con una retta generica del suo piano,
pur di considerare le soluzioni complesse e di contare opportunamente le molteplicit`a di intersezione nei punti di tangenza e nei punti singolari della curva,
cio`e nei punti delle curva dove si annullano le derivate parziali. Infatti. ricavando una variabile dall’equazione della retta e sostituendola nell’equazione
(omogenea) della curva otteniamo un’equazione (omogenea) in una (due) variabili di grado n che, per il teorema fondamentale dell’algebra, ammette n
radici, in generale distinte. Facendo variare con continuit`a la retta pu`o succedere che alcune di queste radici venga a coincidere. Un punto in cui vengono
a coincidere r intersezioni con una retta si dice punto r-plo.
2
Il teorema di Bezout Un risultato generale e utilissimo nella teoria delle
curve piane `e il teorema di Bezout che afferma che il numero di intersezioni di
una curva di grado n con una curva di grado m che non abbiano componenti
in comune `e sempre n × m, pur di considerare anche le intersezioni complesse
ed assegnare ad ogni punto di intersezione la corretta molteplicit`a, che `e pari
ad 1 solo quando il punto di intersezione `e semplice per entrambe le curve e
le rette tangenti alle due curve nel punto sono distinte.
Intersezione di due curve di grado due. Figura 1: quattro punti semplici, tangenti distinte,
quattro intesezioni. Figura 2: due punti semplici, tangenti coincidenti, molteplicit`a di
interezione due in ogni punto, ancora quattro intersezioni. Figura 3: nessuna intersezione
reale ma ancora quattro intersezioni complesse.
Punti semplici e punti multipli. Un punto P = (α, β, γ) della curva
proiettiva di equazione omogenea F (x0 , x1 , x2 ) = 0 si dice regolare o semplice
∂F
`e non nulla in P 1 . Se si annullano tutte
se almeno una delle tre derivate ∂x
i
tre il punto si dice singolare o multiplo. In un punto regolare la retta tangente
ha equazione
∂F
∂F
∂F
x0
(P ) + x1
(P ) + x2
(P ) = 0.
∂x0
∂x1
∂x2
In un punto singolare, sia r il pi`
u piccolo intero tale che almeno una delle
derivate parziali di ordine r non si annulli in P . Allora il punto P `e r-plo.
La tangente in un punto semplice P = (x0 , y0 ) rappresenta
in prima approssimazione, cio`e a meno di infinitesimi d’ordine
superiore ad x − x0 , la curva f (xy) = 0 nell’intorno del punto P .
Infatti si ha, nell’intorno di quel punto.
dy
(x − x0 ) + ,
y = y0 +
dx 0
con infinitesimo d’ordine superiore rispetto x − x0 . [4], libro I,
cap 1.
1
Si osservi che, per il teorema di Eulero sulle funzioni omogenee, se un punto annulla
le tre derivate parziali di F , necessariamente annulla anche F .
3
Sia P un punto di una curva algebrica. Scegliamo un sistema di coordinate
affini con l’origine in P . L’equazione affine della curva sar`a
f (x, y) = a10 x + a01 y + a20 x2 + a11 xy + a02 y 2 + . . . 2
L’origine un punto r-plo se aij = 0 per tutti gli indici i, j tali che i+j < r ma
esiste almeno un coefficiente aij diverso da zero con i + j = r. Il cono delle
rette che hanno contatto almeno r + 1-plo con la curva in P ha equazione
ar0 xr + a(r−1)1 xr−1 y + · · · + a0r y r .
Queste rette si chiamano tangenti principali.
Un punto di molteplicit`a due si dice anche punto doppio. Un punto doppio
si dice nodo se ha le tangenti principali distinte e cuspide altrimenti. Un nodo
con le tangenti principali complesse coniugate si dice punto doppio isolato.
Inviluppo di una curva Poncelet e Gergonne avevano mostrato chiaramente come le configurazioni della geometria proiettiva possono essere vantaggiosamente considerate assieme alle configurazioni duali. Nel caso di una
curva piana, la curva duale era stata definita da Leibniz attraverso il calcolo
dell’ inviluppo delle rette tangenti. Ogni punto della curva duale rappresenta
una tangente alla curva originaria e la natura di quel punto riflette la natura
della tangenza. Per esempio, una bitangente viene rappresentata sulla curva
duale da un nodo e un punto di flesso da una cuspide e viceversa, come in
Figura
La curva in rosso e quella in nero sono l’una duale dell’altra. La curva in rosso ha un
nodo cui corrisponde una bitangente, la retta orizzontale tangente ai punti con ordinata
massima. Le due cuspidi corrispondono a due flessi che appaiono simmetricamente nella
parte superiore della curva nera, dove cambia la concavit`a.
2
a00 = 0 perch´e f (P ) = f (0, 0) = 0
4
Se nella equazione algebrica f (x0 , x1 , x2 ) = 0 si pongono,
al posto delle variabili le coordinate di rette, coefficienti della
equazione
u0 x0 + u1 x1 + u2 x2 = 0,
l’equazione
F (u0 , u1 , u2 ) = 0
rappresenta una curva inviluppo3 le cui propriet`a si desumono
da quelle della f (x0 , x1 , x2 ) = 0 secondo il principio di dualit`a
della Geometria proiettiva: all’ ordine della curva f (x0 , x1 , x2 ) =
0 corrisponde la classe dell’inviluppo F (u0 , u1 , u2 ) = 0, che `e il
numero delle rette di questo che passano per un punto del piano
(non facente parte dell’inviluppo). [4], libro I, cap 1.
Singolarit`
a di ordine superiore
L’approssimazione delle curve in un punto singolare, la quale
non aveva dato luogo ad una speciale analisi da parte di Newton,
s’incontra nell’opera citata di De Gua (1740), il quale cadde in un
errore rilevato da Eulero (Acc. Berlino 1740) e Cramer, ritenendo la prima approssimazione sempre sufficiente a caratterizzare i
punti singolari; il tema `e stato svolto poi da Cramer e da Puiseux
con la introduzione degli sviluppi in serie di potenze fratte4 . . .
[4].
Pl¨
ucker Pl¨
ucker introdusse i metodi analitici nella Geometria proiettiva. I suoi contributi matematici (Pl¨
ucker fu anche un fisico sperimentale
di prim’ordine) non si limitarono allo studio della geometria delle rette, che
3
Sia f (x − 0, X − 1, x2 ) = 0 l’equazione di una curva in coordinate omogenee e sia
(a, b, c) un punto della curva. L’equazione della retta tangente alla curva nel punto `e
x0
∂f
∂f
∂f
(a, b, c) + x1
(a, b, c) + x2
(a, b, c) = 0.
∂x0
∂x1
∂x2
La retta u0 x0 + u1 x1 + u2 x2 = 0 `e tangente alla curva se
u0 = λ
∂f
∂f
∂f
(a, b, c) u1 = λ
(a, b, c) u2 = λ
(a, b, c).
∂x0
∂x1
∂x2
Eliminando a, b, c e λ da queste equazioni e dall’equazione u0 x0 + u1 x1 + u2 x2 = 0
otteniamo l’equazione F (u0 , u1 , u2 ) dell’inviluppo.
4
Per una discussione esauriente del problema dell’approssimazione di una curva nell’intorno di un punto doppio e in particolare della differenza tra punto cuspidale, dove c’`e un
solo ramo e nodo, dove ci sono due rami, si veda [4] vol.1, pp. 73-79.
5
abbiamo discusso brevemente nel capitolo sulla storia della Geometria superiore. Introdusse le coordinate omogenee e le coordinate di retta Pl¨
ucker
fu anche il primo a giustificare in maniera analitica il principio di dualit`a,
in tutta la sua generalit`a, riformul`o analiticamente della teoria delle polari,
precis`o analiticamente i concetti di linea all’infinito, di punto ciclico etc., introdotti da Poncelet, studi`o curve e superfici di ordine superiore al secondo.
Scopr`ı le importanti formule enumerative che portano il suo nome che legano
i caratteri proiettivi elementari di una curva algebrica piana.
Le opere principali di Pl¨
ucker sono
1. Analitisch-geometrische Entwicklungen [Sviluppi della geometria analitica] 1828/31;
2. System der analytischen Geometrie (der Ebene) [Sistema delle Geometria Analitica (del piano)], 1834;
3. Theorie der algebraische Kurven [teoria delle curve algebriche], 1839;
4. System der analytischen Geometrie des Raumes [Sistema delle Geometria Analitica (dello spazio)], 1846;
5. Neue Geometrie des Raumes, gegruendet auf die Betrachtung der geraden Linie als Raumelement [Una nuova geometria dello spazio, basato
sulla nozione di retta come elemento dello spazio]
Tra il 1846 e i 1868, Pl¨
ucker, amareggiato da un’aspra polemica con Steiner
sull’uso dei metodi analitici nello studio della geometria, rallent`o la sua produzione matematica dedicandosi a importanti ricerche di fisica sperimentale
a Bonn.
Lo scopo di Pl¨
ucker fu quello di riformare la geometria analitica,attraverso
la completa fusione delle formule con le costruzioni. Nella geometria di
Pl¨
ucker la nuda combinazione di equazioni `e tradotta in termini geometrici
e le operazioni analitiche sono sempre riferite al loro contenuto geometrico.
Il calcolo viene evitato per quanto `e possibile, ma facendo ci`o viene coltivata
e applicata estensivamente l’intuizione interna dell’interpretazione geometrica delle equazioni analitiche assegnate. Per illustrare il suo approccio alla
geometria, consideriamo la dimostrazione di Pl¨
ucker del teorema di Pascal.
6
Siano p, p0 , q, q 0 e r, r0 le coppie di equazioni lineari delle rette opposte nell’esagono completo. Allora pqr − µp0 q 0 r0 `e l’equazione di un fascio di curve del
terzo ordine che passano per i novi punti di intersezione delle due triple p, q, r
e p0 , q 0 , r0 . Siccome 6 dei nove punti giacciono su una conica posso scegliere µ
imponendo il passaggio per un settimo punto della conica. Per il teorema di
Bezout, questa cubica deve contenere la conica come componente, e quindi
si spezza nella conica e in una retta, che deve contenere gli altri tre punti.
Polare di un punto e polo di una retta rispetto a una circonferenza
La polarit`a fu considerata inizialmente con riferimento alla circonferenza, assegnando ad un punto la sua retta polare e ad una retta il suo polo. Se il
punto P `e esterno alla circonferenza la corrispondente retta polare `e quella che congiunge i due punti di contatto delle tangenti condotte da P alla
circonferenza. Analogamente, se la retta sega la circonferenza in due punti, il polo `e l’intersezione delle due tangenti alla circonferenza nei punti di
intersezione.
Queste costruzioni si possono fare facilmente con riga e compasso. Per
quanto costruire la polare di un punto esterno, si procede come in figura.
7
La retta polare di P rispetto alla circonferenza c di centro C `e la congiungente i punti di
intersezione di c con la circonferenza per P centrata nel punto medio M di P C.
Per costruire il polo di una retta secante, si procede come in figura.
Il polo della retta a rispetto alla circonferenza c si ottiene intersecando le perpendicolari
ai segmenti congiungenti il centro C di c con le intersezioni della retta a con c.
` possibile estendere la definizione di polare a un punto interno alla
E
circonferenza e quella di polo a una retta che non `e secante alla circonferenza
a partire dalle propriet`a che polo e polare hanno quando sono definite come
sopra. La chiave per l’estensione sta nelle seguenti propriet`a:
1. le polari dei punti su una retta data, passano tutte per un punto, che
`e il polo della retta;
2. i poli delle rette di un fascio per un punto dato stanno tutti su una
retta, che `e la polare del punto;
3. il polo della polare di un punto `e il punto stesso;
4. la polare del polo di una retta `e la retta stessa.
Usando questa propriet`a possiamo costruire la polare di un punto interno alla
circonferenza e il polo di una retta che non interseca la circonferenza. Per
trovare la polare di un punto P interno alla circonferenza, si considerino due
rette r ed s che si intersecano in P e che quindi intersecano la circonferenza.
Siano R ed S i rispettivi poli. Allora la polare di P `e la congiungente di R
con S. Analogamente, sia p una retta esterna alla circonferenza e siano R e
S due suoi punti, che sono ovviamente esterni alla circonferenza. Siano r ed
s le rispettive rette polari e sia P l’intersezione di r ed s. P `e il polo di p.
8
La polare `e una nozione covariante, nel senso che, trasformando il punto e
la circonferenza con una proiettivit`a, la polare del punto rispetto alla conica
sar`a l’immagine della vecchia polare.
` possibile definire la polare di un punto partendo da un punto di viE
sta diverso, generalizzando la nozione di diametro coniugato di una conica
rispetto ad una direzione. Sia fissata una conica e una direzione e per ogni
retta parallela a tale direzione intersechiamo prendiamo il punto di mezzo
dell’intersezione della conica con la retta. Al variare della retta, i punti medi
descrivono il diametro coniugato della direzione assegnata. Il punto medio di
due punti coincide con il quarto armonico dei due punti e del punto improprio
della retta. Ci`o suggerisce la seguente costruzione sintetica, per la polare di
un punto rispetto a una conica. Sia P un punto e C una conica. La polare
di P rispetto a C `e la curva descritta dal quarto armonico di P e delle due
intersezioni di una retta per P con C al variare delle rette per P .
Le polari di una curva algebrica La nozione di polare pu`o essere estesa alle curve algebriche e fornisce lo strumento principale per studiare le
propriet`a proiettive delle curve.
La polarit`a rispetto ad una conica, i cui germi si trovano nelle
opere degli antichi (Apollonio, Pappo), si pu`o riattaccare a Desargues (1639), che ne scopr`ı le propriet`a fondamentali. Al lume
della concezione proiettiva di Desargues (cui risale l’introduzione
dei punti all’infinito) la polare d’un punto appare come una generalizzazione del diametro bisecante un sistema di corde parallele
e - al tempo stesso - come congiungente i punti di contatto delle tangenti condotte dal polo. Gli sviluppi posteriori della teoria
mettono capo alla sua sistemazione nella scuola di Monge, dove, dopo il maestro, sono da annoverare Brianchon, Gergonne,
Servois, e specialmente Poncelet. Ivi la polare, che Desargues
designava come transversarle de l’ordonnance, riceve appunto il
nome di polare,(Gergonne), mentre Servois introduce il nome di
polo.
La propriet`a proiettiva della polarit`a come corrispondenza,
cio`e che le polari di un fascio formano un fascio, viene riconosciuta da Monge riferendosi alle quadriche (`e noto che questa
propriet`a condusse pi`
u tardi a definire la polarit`a indipendentemente dalle forme di secondo ordine -cos`ı da servire di base ad
una nuova trattazione di queste forme- Staudt,1848). Il rapporto
della teoria delle polari colle propriet`a diametrali delle coniche
9
appare luminoso nell’ordine delle idee di Poncelet, al quale si deve in particolare il chiaro riconoscimento della retta all’infinito,
luogo dei punti all’infinito del piano.
Ora la teoria generale delle polari nello studio delle forme
algebriche si presenta come naturale estensione dei due modi di
considerare la polare d’un punto rispetto ad una conica,cio`e
1. quale congiungente i punti di contatto delle tangenti condotte
dal polo,
2. e quale generalizzazione proiettiva del diametro.
Sorgono cos`ı due ordini di concetti e quindi due definizioni generali delle polari, che mettono in evidenza il significato e il valore
della teoria.
1. Nello studio delle curve piane, la polare scaturisce naturalmente dal problema della tangente, quando si cerchino i punti di contatto delle tangenti condotte ad una curva f da un
punto qualsiasi del piano. Questa considerazione suppone
che la curva stessa venga concepita non pi`
u come data in un
tratto limitato, secondo la veduta dell’Analisi differenziale,
ma nella sua interezza secondo la veduta sintetica( o integrale) che conviene alla teoria qualitativa delle funzioni, particolarmente algebriche. Anzitutto Monge ha fatto la scoperta
fondamentale che la curva di contatto del cono circoscritto
ad una superficie d’ordine n appartenente ad una (determinata) superficie d’ordine n − 1 (quella che fu poi designata
come superficie polare del vertice del cono). Questa scoperta
contiene il resultato a cui pervenne pi`
u tardi(1817) Poncelet nell’analisi del problema delle tangenti che si possono
condurre ad una curva piana per un punto.
Se f (xy) `e una curva algebrica di ordine n > 1, la tangente
in un punto (xy) ha per coefficiente angolare
0
y =
∂f
∂x
− ∂f
∂y
.
Ove questa tangente sia assoggettata ad avere una data direzione, cio`e a passare per un punto all’infinito (y/x = k),
il suo punto di contatto dovr`a verificare all’equazione
∂f
∂f
+k
=0
∂x
∂y
10
che `e d’ordine n−1. Da ci`o Poncelet deduce, per proiezione,
che sempre i punti di contatto delle tangenti condotte ad f
da un punto stanno sopra una curva d’ordine n − 1.
[...]
Una notevole semplificazione della teoria delle polari si ha
con l’introduzione delle coordinate omogenee, come ha mostrato Pl¨
ucker (1829). Infatti se l’equazione di f `e scritta
sotto forma omogenea
f (x0 x1 x2 ) = 0,
l’equazione della tangente in un punto (x0 x1 x2 ). diviene
∂f
∂f
∂f
y0 +
y1 +
y2 = 0;
∂x0
∂x1
∂x2
alloras, tenendo fisse le yi , l’equazione precedente rappresenta senz’altro una curva d’ordine n − 1, che `e la polare del
punto (yi ).
2. Attraverso De La Hire (1679) le concezioni di Desargues in
ordine alle propriet`a diametrali delle coniche e alla loro generalizzazione proiettiva, passano nella scuola di Newton,
ove vengono estese a curve d’ordine superiore.
Nell’ Enumeratio di Newton del 1704 si trovano considerate
le coniche diametrali e i diametri delle cubiche; questi ultimi
vengono definiti in rapporto a fasci di rette parallele, considerando su ognuna di tali rette il punto per cui la somma
algebrica delle distanze delle intersezioni della curva riesce
nulla.
Un teorema postumo di Cˆotes, che trova posto nel trattato
di Mac-Laurin (1748), esprime una propriet`a (proiettiva)
generale in ordine alle trasversali di una curva uscenti da
un punto O, la quale si riduce alla propriet`a del diametro,
mandando O all’infinito.Cos`ı s’introducono, in relazione a
gruppi dati su una retta per O,quei punti che furono chiamati
da Poncelet centri delle medie armoniche.
Ad illuminare le anzidette concezioni non ci voleva meno che
l’elaborazione d’idee onde riesce costituito, coll’opera di Poncelet, l’organismo della Geometria proiettiva. La definizione
sintetica della polare d’un punto rispetto ad una curva, come
11
luogo dei centri delle medie armoniche sopra le trasversali
per esso, si trova in una memoria di Poncelet dell’inverno
1816 la quale rimase lungamente inedita e fu pubblicata nel
citato volume del 1864 (cfr.[4] pp.5-8).
Teoria dei centri armonici Come scrive Cremona nel suo testo [2] che
costituisce l’esposizione organica pi`
u completa della teoria sintetica delle curve algebriche, la polarit`a permette di sviluppare in maniera facile la teoria
elementare delle curve piane.
Il desiderio di trovare, coi metodi della pura geometria, le dimostrazioni degli importantissimi teoremi enunciati dall’ illustre
Steiner nella sua breve Memoria Allgemeine Eigenschaften der
algebraischen Curven (Crelle, t. 47), mi ha condotto ad intraprendere alcune ricerche delle quali offro qui un saggio bench´e
incompleto. Da poche propriet`a di un sistema di punti in linea
retta ho dedotto la teoria delle curve polari relative ad una data
curva d’ ordine qualsivoglia, la qual teoria mi si `e affacciata cos`ı
spontanea e feconda di conseguenze, che ho dovuto persuadermi,
risiedere veramente in essa il metodo pi`
u naturale per lo studio
delle linee piane. Il lettore intelligente giudicher`a se io mi sia
apposto al vero.
[...]
La teoria delle curve polari costituisce la seconda Sezione, nella quale svolgo e dimostro con metodo geometrico, semplice ed
uniforme, non solo i teoremi di Steiner, ch’egli aveva enunciati
senza prove, ma moltissimi altri ancora, in parte nuovi ed in parte
gi`a ottenuti dai celebri geometri Pl¨
ucker, Cayley, Hesse, Clebsch,
Salmon,... col soccorso dell’ analisi algebrica.Da ultimo applico
la teoria generale alle curve del terz’ ordine. Oltre alle opere de’
geometri ora citati, mi hanno assai giovato quelle di Maclaurin,
Carnot, Poncelet, Chasles, Bobillier, Moebius, Jonqui`eres, Bischoff ecc., allo studio delle quali `e da attribuirsi quanto v’ ha di
buono nel mio lavoro (cfr.[2], p.29).
Per definire in modo algebrico-sintetico la nozione di polare `e necessario
premettere quella di centro armonico. Seguendo l’esposizione di [2] partiamo
dalla considerazione su una retta di n punti a1 , . . . , an e di un polo o. Sia
m un punto della retta medesima, tale che la somma dei prodotti degli n
12
ma
rapporti P
, presi
oa
ad r a r, sia nulla. Esprimendo questa somma con il
ma
il punto m sar`a determinato per mezzo dell’equazione
simbolo
oa r
X ma oa
=0
r
L’equazione `e di grado r e quindi fornisce r posizioni del punto m, che si
diranno i centri armonici di grado r del sistema di punti a1 , . . . , an rispetto
al polo o.
Quando r = 1, si ha un solo punto m, considerato da Poncelet sotto il
nome di centro delle medie armoniche. Se invece n = 2, il punto m `e il
coniugato armonico di o rispetto ai due punti a1 e a2 . Le propriet`a dei centri
armonici sono invarianti per proiezione centrale e quindi per proiettivit`a.
Il caso generale della nozione di centro armonico `e dovuto a de Jonqui´eres.
Le ricerche di de Jonqui´eres, influenzate dall’incontro con Chasles con
cui collabora nella redazione del volume Trait´e de g´eom´etri´e, si concentrano
principalmente sulla geometria. Nel lavoro del 1856 M`elanges de g´eom´etrie
pure approfondisce gli studi sulle sezioni coniche e la costruzione delle curve
di terzo grado.
Definizione sintetica della nozione di polare di una curva piana
Usiamo finalmente le parole di Cremona per definire la polare di una curva
di grado qualsiasi:
Sia data una linea piana Cn dell’ordine n, e sia o un punto
fissato ad arbitrio nel suo piano. Se intorno ad o si fa girare una
trasversale che in una posizione qualunque seghi Cn in n punti
a1 , a2 , . . . , an , il luogo de’ centri armonici, di grado r, del sistema
rispetto al polo o sar`a una curva dell’ordine r, perch`e essa ha r
punti sopra ogni trasversale condotta per o. Tale curva si dir`a
polare (n − r)esima del punto o rispetto alla curva data (curva
fondamentale).
Cos`ı il punto o d`a origine ad n − 1 curve polari relative alla
linea data. La prima polare `e una curva d’ordine n−1 ; la seconda
polare `e dell’ordine n−2 ; ecc. L’ultima od (n−1)ma polare, cio`e
il luogo dei centri armonici di primo grado, `e una retta (cfr.[2],
§68 ).
Alcuni teoremi per i centri armonici di un sistema di n punti in linea retta
possono essere tradotti in altrettante propriet`a delle curve polari relative alla
curva data. Ad esempio il seguente teorema relativo ai centri armonici
13
Se l’equazione
X ma =0
oa r
si moltiplica per oa1 .oa2 ...oan e si divide per ma1 ,ma2 ,... man ,
essa si muta evidentemente in quest’altra:
X oa =0
ma n−r
si traduce nella seguente propriet`a delle polari: il luogo di un polo, la cui
polare
(r)ma
passi per un dato punto o, `e la polare
(n − r)ma
di o.
Definizione analitica di polare Sia Q = (a, b, c). Si consideri l’operatore
differenziale
∂
∂
∂
+b
+c
∆Q = a
∂x
∂y
∂z
La p-polare di una curva C, di equazione omogenea f (x, y, z) = 0 rispetto a
Q `e
∆pQ f (x, y, z).
Come esempio di semplicit`a delle dimostrazioni analitiche delle propriet`a
delle polari consideriamo la seguente. La p-polare di C rispetto a Q `e il luogo
dei punti P tali che la (n − p)-polare di C rispetto a P passi per Q.
Espandendo f (λa + µp, λb + µq, λc + µr) in serie di Taylor, prima in
P = (p, q, r), poi in Q = (a, b, c), ottenendo
1
µn f (p, q, r) + λµn−1 ∆Q f (p, q, r) + λ2 µn−2 ∆2Q f (p, q, r) + · · · =
2
1
n
n−1
λ f (a, b, c) + µλ ∆Q f (a, b, c) + µ2 λn−2 ∆2Q f (a, b, c) + . . .
2
E quindi
1
∆p f (p, q, r)
p! Q
=
1
∆n−p f (a, b, c).
(n−p)! P
14
(1)
(2)
Le formule di Pl¨
ucker. Non `e difficile dimostrare che la polare n−1-esima
di una curva non singolare di ordine n relativa ad un punto P interseca la
curva in n(n − 1) punti Qi tali che le rette che congiungono P con Qi sono
tangenti alla curva nei punti Qi . In conseguenza di questo fatto, abbiamo
che una curva non singolare di ordine n ha classe n∗ = n(n − 1). La classe
di una curva C `e l’ordine della curva duale. Poich´e la duale della duale `e la
curva di partenza, se anche la duale fosse una curva non singolare, si avrebbe
n = (n∗ )∗ = n∗ (n∗ − 1) = n(n − 1)(n(n − 1) − 1)
e questo `e possibile solo per n = 2. Quindi la duale di una curva liscia di
grado maggiore di due `e sempre una curva singolare.
L’uguaglianza n = (n∗ )∗ = n(n − 1)(n(n − 1) − 1) che abbiamo interpretato come condizione perch´e una curva e la sua duale siano entrambe
prive di singolarit`a fu percepita inizialmente come paradossale (Paradosso di
Poncelet).
Si noti che la polare n − 1-esima di una curva singolare rispetto ad un
punto qualsiasi contiene tutti i punti singolari della curva, cio`e tutti i punti
che annullano le derivate prime. Esiste una formula per calcolare il contributo
dei punti singolari al calcolo della classe di una curva? A questa domanda
risponde la prima formula di Pl¨
ucker 5 che stabilisce che se la curva ha solo
nodi e cuspidi, allora
n∗ = n(n − 1) − 2δ − 3κ
dove δ `e il numero dei nodi e κ `e il numero delle cuspidi.
Un problema analogo riguarda il calcolo del numero dei flessi κ∗ di una
curva. Se la curva `e liscia, i flessi sono i punti di intersezione della curva
C con la curva Hessiana. Se C ha equazione omogenea F (x0 , x1 , x2 ) la sua
Hessiana `e la curva di equazione




det 

∂2F
∂x0 ∂x0
∂2F
∂x0 ∂x1
∂2F
∂x0 ∂x2
∂2F
∂x1 ∂x0
∂2F
∂x1 ∂x1
∂2F
∂x1 ∂x2
∂2F
∂x2 ∂x0
∂2F
∂x2 ∂x1
∂2F
∂x2 ∂x2


=0

Poich´e l’Hessiana ha ordine 3(n − 2), il numero dei flessi di una curva liscia
`e 3n(n − 2). D’altra parte anche l’Hessiana passa per i punti singolari. La
seconda formula di Pl¨
ucker stabilisce che se la curva ha solo nodi e cuspidi,
allora il numero dei flessi `e
κ∗ = 3n(n − 2) − 6δ − 8κ.
5
In realt`
a dovuta a Poncelet, cfr. [4], Libro II, cap. 2.
15
In un punto di flesso di una curva C la tangente ha un contatto tripunto.
Dualmente, questa retta `e una cuspide della curva duale. Analogamente, una
retta bitangente, `e un nodo della curva duale. Quindi κ∗ indica equivalentemente il numero dei flessi di C e il numero delle cuspidi di C ∗ e δ ∗ indica
equivalentemente il numero delle bitangenti di C e il numero dei nodi di C ∗ .
Le due formule di Pl¨
ucker per la curva C danno luogo a due analoghe formule
per la curva duale, osservando che (κ∗ )∗ = κ, (δ ∗ )∗ = δ, (n∗ )∗ = n.
n = n∗ (n∗ − 1) − 2δ ∗ − 3κ∗
κ = 3n∗ (n∗ − 2) − 6δ ∗ − 8κ∗ .
Solo tre di queste equazioni tra gli invariati n, n∗ , δ, δ ∗ , κ, κ∗ sono indipendenti.
Le formule di Pl¨
ucker, che legano i caratteri di una curva piana, permettono di determinare quali siano i caratteri delle curve di un dato ordine. Per
esempio, per le curve di grado 3 abbiamo tre possibilit`a:
Cubiche liscie
n=3 δ=0 κ=0
n∗ = 6 δ ∗ = 0 κ∗ = 9
Cubiche con un nodo
n=3 δ=1 κ=0
n∗ = 4 δ ∗ = 0 κ∗ = 3
Cubiche con una cuspide
n=3 δ=0 κ=1
n∗ = 3 δ ∗ = 0 κ∗ = 1
Il contributo di Hesse Il calcolo del numero di flessi fu fatto da Pl¨
ucker
in maniera pi`
u complicata di quanto abbozzato nel paragrafo precedente,
senza fare uso dell’Hessiana. L’Hessiana fu introdotta da Hesse sviluppando
un’idea di Jacobi che aveva trasportato l’idea dei determinanti dall’algebra
all’analisi.
Jacobi aveva introdotto l’idea di determinante funzionale (o determinante
jacobiano), associando ad ogni insieme di n funzioni f, g, h, . . . di n variabili,
differenziabili in un punto P , il determinante
∂f ∂f ∂f
∂f ∂x ∂x ∂x . . . ∂x
n 1
2
3
∂g ∂g ∂g
∂g .
.
.
∂xn ∂x1 ∂x2 ∂x3
∂h ∂h ∂h . . . ∂h ∂x1 ∂x2 ∂x3
∂xn ·
·
· ...
· ·
·
· ...
· 16
Lo jacobiano `e invariante per trasformazioni ben pi`
u generali delle sostituzioni lineari, ovvero `e invariante per diffeomorfismi locali.
Il lavoro di Jacobi sui determinanti fu sviluppato da Hesse (1811-1874).
Hesse insegn`o a K¨onisberg, Halle, Heidelberg e Monaco. In Vorlesungen
u
¨ber analitische Geometrie mostr`o come usando le coordinate omogenee fosse
possibile raggiungere una formulazione simmetrica e di grande eleganza dei
calcoli di geometria algebrica analitica. Scopr`ı numerose applicazioni del
determinante Hessiano di una forma omogenea f di n variabili, definito come
∂2f
∂2f
∂2f
∂2f
.
.
.
∂x21
∂x1 ∂x2
∂x1 ∂x3
∂x1 ∂xn ∂2f
∂2f
∂2f
∂2f
.
.
.
2
∂x2 ∂x3
∂x2 ∂xn ∂x2
∂x2 ∂x1
·
·
·
...
·
·
·
·
...
·
∂2f
∂2f
∂2f
∂2f
∂xn x1 ∂xn ∂x2 ∂xn ∂x3 . . .
∂x2
n
Con una sostituzione lineare H 0 = r2 H. H `e un covariante di f .
Accenniamo all’applicazione del determinante Hessiano nel calcolo dei
punti di flesso di una curva piana. Sia F (x, y) = 0 l’equazione (affine) si
una curva piana e sia y(x) la sua equazione locale, definita implicitamente.
Un punto di flesso `e determinato dalla condizione y 00 = 0. Dalla formula di
derivazione delle funzioni implicite, si ha y” = −fy2 fxx + 2fx fy fxy − fx2 fyy ,
ovvero
fxx fxy fx fxy fyy fy fx fy 0 Questa equazione ha grado 3n − 4 e quindi, per il teorema di Bezout,come
abbiamo gi`a detto, ci aspettiamo al pi`
u n(3n − 4) flessi. Gi`a Pl¨
ucker forn`ı un
argomento per abbassare tale numero a 3n(n−2). Hesse dimostra il risultato
molto pi`
u chiaramente, passando alle coordinate omogenee e manipolando
opportunamente l’espressione per y 00 , verificando che y 00 = x20 · H(F ). Il
fattore x20 = 0 introduce i punti di intersezione che sono esclusi in maniera
artificiosa con il metodo di Pl¨
ucker, mentre l’equazione H = 0 determina i
punti di flesso come intersezione completa con la curva assegnata.
Secondo Hesse `e sempre possibile usare formulazioni simmetriche e omogenee fin dal principio nel processo di analisi algebrica. In questo modo i
calcoli algebrici sono la pura controparte delle considerazioni geometriche.
Hesse us`o questo approccio per studiare le cubiche e le quartiche del piano.
L’Hessiana divenne presto uno strumento importate per la geometria
analitica. Il nome Hessiano fu introdotto da Cremona.
17
` ben noto
Numero massimo di punti doppi e genere di una curva. E
che una curva del secondo ordine irriducibile non pu`o avere punti doppi.
Abbiamo gi`a osservato che una curva irriducibile del terzo ordine pu`o avere
` naturale chiedersi qual `e il numero
una sola cuspide o un solo nodo. E
massimo di punti doppi che pu`o ammettere una curva irriducibile di ordine
n. Si pu`o dimostrare che tale numero vale n(n − 1)/2. La deficienza di una
curva C irriducibile di ordine n `e la differenza tra questo massimo e il numero
di punti doppi effettivi, cio`e n(n − 1)/2 − δ − κ. Come osserv`o Clebsch, la
deficienza di C `e uguale a quella di C ∗ i. Oggi si usa il termine genere per
indicare la deficienza della curva C. Il genere `e un invariate birazionale e anzi
addirittura topologico della curva C e riveste un’importanza fondamentale
nella teoria moderna delle curve algebriche.
Classificazione proiettiva delle curve Concludiamo con una breve rassegna di risultati sulla teoria proiettiva delle curve di grado tre che fornisce
un assaggio dei problemi affrontati dai geometri algebrici della prima met`a
del secolo diciannovesimo.
• Ogni cubica non singolare `e proiettivamente equivalente ad una cubica
di equazione affine
y 2 = x(x − 1)(x − c)
• Ogni cubica non singolare ha esattemente nove flessi. Ogni retta che
ne contiene due, ne contiene anche un terzo.
• Salmon (1851). Sia P un punto di una cubica non singolare. Da P si
possono condurre quattro tangenti alla cubica, compresa la tangente
per P . Se c `e il birapporto delle quattro tangenti, si ponga
j(c) =
(c2 − c + 1)3
c2 (c − 1)2
Il modulo j delle quattro tangenti non dipende da P e si dir`a invariante
j della cubica. Se la cubica si scrive nella forma y 2 = x3 + ax + b il suo
invariate j `e
28 33 a3
4a3 + 27b2
• Due cubiche non singolari sono proiettivamente equivalenti se e solo se
hanno lo stesso invariante j.
• Esistono due classi di equivalenza proiettiva per le cubiche irriducibili
singolari: y 2 = x3 e y 2 = x2 (x − 1).
18
• I 9 flessi di una cubica sono distribuiti in triple su 12 rette (Pl¨
ucker).
• Le 12 rette di Pl¨
ucker si distribuiscono in 4 triangoli, ognuno dei quali
contiene tutti e 9 i punti di flesso. Ognuno dei quattro triangoli `e una
cubica riducibile che appartiene al fascio delle cubiche per i 9 flessi, cio`e
al fascio f + λH, dove f `e l’equazione della cubica e H la sua Hessian
(Hesse).
3
• L’invariante j della cubica si pu`o esprimere nella forma TS 2 dove S e T
sono polinomi omogenei invarianti nei coefficienti della cubica, di gradi
4 e 6 rispettivamente.
Anche la configirazione delle 28 bitangenti ad una quartica ricevette notevole interesse. Pl¨
ucker forn`ı un esempio di una quartica con 28 bitangenti
reali (1839)i e dimostr`o che il numero delle bitangenti reali deve essere 28,
16 o un numero inferiore a 9.
Riferimenti bibliografici
[1] Boyer C.B., 1990 Storia della matematica, Mondadori, Milano.
[2] Cremona L., 1862 Introduzione ad una teoria geometrica delle curve
piane, Tipi Gamberini e Parmeggiani, Bologna.
[3] Cremona L., 1864 Sulle trasformazioni geometriche delle curve piane
Nota I,Annali di Matematica pura ed applicata, serie I, tomo VI, pp.
153-168.
[4] Enriques F., Chisini, O., 1912-23 Teoria delle funzioni algebriche di una
variabile, vol.3, Zanichelli.
[5] Gray J., 2010 Worlds Out of Nothing: A Course in the History of Geometry in the 19th Century Springer Undergraduate Mathematics Series,
Springer.
[6] Klein F., 1979 Developement of mathematics in the 19th century in Lie
Groups Series, vol.9, Math Ci Press, Brookline, Massachussetts.
[7] Kolmogorov A.N., Yushkevich,A.P., 1996 Mathematics of the 19th
Century, Birkh¨auser, Boston.
[8] Pl¨
ucker J., 1828 Analytisch-geometrische entwicklungen, G.D. Baedeker,
Essen.
19
[9] Pl¨
ucker J., 1835 System der analytischen Geometrie, Verlag von Duncker
und Humbolt, Berlin.
20
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