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Flussi Interni Comprimibili
Corso di Aerodinamica e Gasdinamica
A.A. 2013/2014
Docente: Prof. Renato Ricci
Equazione di Continuità
Consideriamo il flusso in un condotto a sezione variabile, così debolmente che si possa considerare in prima
approssimazione come flusso unidimensionale. Ciò implica che tutte le variabili dipendenti risultino solo
funzioni di x (ascissa dell’asse del condotto). In ogni sezione si viene quindi ad avere un valore costante (uguale
al valore medio) di pressione, densità, temperatura e velocità. Questa ipotesi semplificativa viene assunta in
prima approssimazione per lo studio dei condotti interni delle macchine a fluido.
Nell’ipotesi di flusso stazionario 1-D si consideri l’equazione della massa:
nL


   d      u  dS  0 
t  
 
 u  dS  0
n1

 u  dS   u  dS   u  dS   u  dS

A1
AL
  1u1dA    2u2 dA  0
A1
A2
A2
uA  const  d  uA  0
n2
FLUSSO
Equazione dell’Energia
Nelle medesime ipotesi utilizzate per l’equazione di continuità, l’equazione dell’energia può essere trattata
come segue.

 
1 2
    e  u  d  
t   
2




   e 



1 2

  e  u   u  dS     pu  dS
2



1 2
u   u  dS     pu  dS
2




p1 1 2 
p2 1 2 
  1  e1   u1  u1dA   2  e2 
 u2  u2 dA  0
1 2 
2 2 


A1
A1


p1 1 2 
p2 1 2 
1  e1   u1  u1 A1  2  e2   u2  u2 A2
1 2 
2 2 


Tenendo presente l’equazione di continuità per flussi monodimensionali e la definizione di entalpia si ottiene:
1 2
h  u  const  dh  udu  0
2
Equazione della Quantità di Moto
L’equazione della quantità di moto, per l’unica componente di velocità presente nel campo di moto, può essere
trattata in maniera del tutto analoga a quanto fatto per i due casi precedenti, tuttavia qualche attenzione in più
va riservato alle forze di pressione.
 u  u  dS     p  dS  i 




   u dA    u dA      p1dA   p2 dA   p  dS  i  
 A

A1
A2
A

2
 1

2
1 1
2
2 2
p1 A1  1u12 A1  p2 A2   2u22 A2 
 p  dS  i 
n

p  dS  i   pdA1 cos      pdA2 cos      p1  dS  i    pdA
L’equazione differenziale della quantità di moto per flussi quasi 1-D può essere si può
ricavare applicando la legge appena ottenuta all’elemento di condotto riportato nella figura
a destra.
pA   u A  pdA   p  dp  A  dA     d   u  du   A  dA  A
2
2
Riordinando e trascurando i termini del secondo ordine si ottiene:

pA  u 2 A  pdA  pA  dpA    A   dA  d  A u 2  2udu

θ
A1
θ
i
A+dA
Equazione della Quantità di Moto
Adp  Au 2 d    u 2 dA  2  uAdu  0
Introducendo l’equazione differenziale della massa per flussi 1-D:
 Adu  uAd    udA  0
Adp   Aud   udA  uAdu  u  uAdu  0
=
0
Le equazioni di conservazione per flussi comprimibili quasi 1-D in forma differenziale possono essere riassunte
come segue:
d  uA  0
dh  udu  0
dp   udu  0
L’equazione di conservazione della massa può essere anche riscritta nella seguente forma che tornerà utile per
ricavare la legge delle aree.
log  uA  const
d
du dA


0

u
A
Legge delle Aree
Introducendo nell’equazione di conservazione della massa la variazione differenziale di densità per unità di
densità ricavata a partire dalla conservazione della q.d.m. si ottiene la legge delle aree dalla quale si possono
trarre importanti conclusioni sugli andamenti di pressione e velocità all’interno di condotti in regime
comprimibile.
a2d 

d
du dA


0

u
A
 udu  0 
d

 M 2
du
u


du du dA
dA
du
2
M


0
 M 1
u
u
A
A
u
2
Si considerino un condotto convergente ed uno divergente:
FLUSSO
FLUSSO
dA  0
M  1  du  0
M  1  du  0
dA  0
M  1  du  0
M  1  du  0
Il convergente si comporta come un Ugello
Il convergente si comporta come un Diffusore
Il divergente si comporta come un Diffusore
Il divergente si comporta come un Ugello
Bloccaggio Sonico
I condotti convergenti in regime subsonico si comportano come ugelli: sono capaci di accelerare il flusso
abbassandone la pressione, tuttavia esiste un limite superiore alla velocità del flusso nella sezione di uscita che
è esattamente pari alla velocità sonica.
FLUSSO
M<1
M>1
M=1
Si consideri il caso in cui si abbia una velocità supersonica (M>1)
nella sezione d’uscita dell’ugello. La sezione sonica si è colloca
necessariamente in una posizione intermedia fra la sezione di
ingresso e quella di uscita. Esisterà, quindi, una regione
(evidenziata in rosso a sinistra) in cui si è avuta un’accelerazione
da M=1 a M>1 ciò non è possibile in quanto in contrasto con la
legge delle aree.
Negli ugelli convergenti è quindi possibile accelerare il flusso non oltre la velocità del suono. Tale condizione
di funzionamento è dovuta al fatto che, raggiunto M=1 nella sezione di uscita dell’ugello, un ulteriore
abbassamento della pressione statica non viene risentito all’interno del condotto in quanto la perturbazione
di pressione ha una velocità relativa nulla rispetto alla velocità convettiva del flusso. Tale fenomeno ha
importanti implicazioni sulla portata massica elaborabile da un ugello convergente.

0
p0
T0
FLUSSO
1
p1
T1

u1  2c p T 0  T

 1


0

2 p   p  
u1 
1  0 
0 
 1 
p  



m  1u1 A1
Bloccaggio Sonico
La portata elaborata da un ugello convergente può essere scritta come:
0
p0
T0
FLUSSO
1
p1
T1
2
 1


m
2  p    p   

 0   0  
0 0



1
p  p 
A1 p 


Quando la pressione alla sezione di uscita è alla pressione critica
allora si ha M=1. Per quanto osservato in precedenza la velocità del
suono è la massima raggiungibile nell’ugello convergente; pertanto
in tali condizioni anche la portata è la massima che può essere
convogliata.
Un’ulteriore diminuzione della pressione non ha alcun effetto sulle
caratteristiche del moto. In tali condizioni il moto si dice bloccato o
in choking. La massima portata elaborabile vale:
 2 
 

p0  0
  1 
m
A1
 1
 1
Ciò implica che per un dato gas perfetto la portata massima in un
ugello può essere regolata modificando oltre che l’area della gola il
valore della pressione e della temperatura nella sezione di imbocco.
Ugello Convergente-Divergente
In un ugello convergente la velocità può al massimo eguagliare la velocità del suono e tale valore viene raggiunto
nella sezione di gola. Si possono raggiungere velocità superiori a quella sonica aggiungendo un tratto di
divergente subito a valle della gola. L’ugello convergente-divergente tuttavia non garantisce, di per sé, che il
moto diventi supersonico. Ciò, infatti, accade solo se il valore della pressione nella sezione di sbocco cade in un
determinato range di valori. Si consideri il bilancio di massa fra la sezione di gola e quella di sbocco.
Se si ipotizza la gola sonica le grandezze vanno considerate allo stato critico.
 uA   *u * A*
Uscita
Gola
A  * a* M *
A
1 * T *

 *
*
A
 aM
A
M  T
A
1 * T * *  0 1

 0
*
A
M  T
  M
T* T0
T0 T
Nell’ipotesi di funzionamento isoentropico del tratto di divergente si ottiene il rapporto fra la sezione di uscita
dell’ugello e quello della sezione di gola secondo le relazioni isoentropiche e quelle dello stato critico.
A
1  2     1 2  

M 

1 
*
A
M    1  
2

 1
2  1
Ugello Convergente-Divergente
A
1  2     1 2  

M 

1 
*
A
M    1  
2

 1
2  1
Il rapporto fra la sezione di uscita dell’ugello e quello della
sezione di gola in funzione del numero di Mach (calcolato nella
sezione di uscita) può essere rappresentato graficamente.
M=1 implica A=A*; tale condizione corrisponde allo sbocco
sonico in un ugello convergente. Per A/A*=2, ad esempio, si
ottengono due numeri Mach che permettono un funzionamento
dell’ugello in condizioni isoentropiche con gola sonica. In un caso
si ha M<1 nell’altro M>1. Ciò spiega l’affermazione secondo cui il
moto è supersonico all’uscita di un convergente-divergente solo
se la pressione assume determinati valori.
La pressione di scarico a cui corrisponde la gola sonica ed una velocità di uscita con M<1 è detta pressione
discriminante. Si definisce pressione di adattamento quella a cui corrisponde M>1 nella sezione di scarico. La
pressione alla sezione di uscita può essere fissata ad un valore intermedio fra la pressione discriminante e
quella di adattamento; tuttavia in tali condizioni il funzionamento dell’ugello non può essere completamente
isoentropico. L’unico fenomeno che può generare entropia, viste le ipotesi di non dissipatività del moto, è un
onda d’urto la quale si instaurerà nel tratto di divergente del condotto essendo in questa zona il moto
supersonico.
Ugello Convergente-Divergente
Nella figura a destra vengono gli
andamenti della pressione lungo
l’estensione del condotto per
diversi valori del rapporto fra la
pressione di scarico e la pressione
di ristagno all’ingresso. Fino a che
la pressione di scarico è maggiore
di quella discriminante il flusso
risulta subsonico, e quindi
isoentropico, lungo tutto il
condotto, mentre la portata risulta
minore di quella massima
Nel tratto convergente il flusso accelera, raggiungendo la massima velocità (minima pressione) nella sezione di gola
senza mai diventare sonico (quindi con M<1), mentre nel tratto divergente il flusso decelera subendo una diffusione
poiché si è in condizioni di M < 1.
Nel caso in cui la pressione di scarico è uguale di quella discriminante allora si raggiunge la condizione sonica in gola
e, pertanto, la portata smaltita dall’ugello risulta pari a quella massima. Il flusso risulta ancora subsonico e
isoentropico sia nel tratto convergente che in quello divergente. Per valori della pressione di scarico inferiori al valore
discriminante, il flusso nel tratto convergente resta inalterato (per lo stesso motivo visto nel caso del condotto
puramente convergente), con la sezione di gola in condizione sonica; quindi, la portata smaltita dal condotto risulta
indipendente dal valore della pressione di scarico e pari al valore massimo, che sappiamo dipendere, per un gas
assegnato, unicamente dalla condizioni totali a monte e dall’area della sezione di gola.
Ugello Convergente-Divergente
Se la pressione di scarico è
compresa fra quella discriminante
e pusu si ha la formazione di un
urto retto nel divergente, che si
posiziona tra
la sezione di gola e quella di uscita.
Il flusso risulta isoentropico dal
serbatoio sino alla sezione
immediatamente prima dell’urto,
subisce un incremento di entropia
attraverso l’urto e, infine, è
isoentropico fino allo scarico.
Al diminuire della pressione di scarico l’urto si sposta dalla sezione di gola a quella di uscita: esiste quindi un valore
della pressione di scarico per cui l’urto si posizionerà esattamente nella sezione di uscita (pusu).
Il valore della pusu si può valutare in maniera abbastanza semplice ricordando che la pressione a monte dell’urto retto
in tale caso coincide esattamente con le condizioni di adattamento; utilizzando la teoria degli urti retti è quindi
possibile risalire alla pressione valle urto e quindi alla pressione di scarico. La posizione dell’urto, invece, può essere
calcolata per via iterativa imponendo la posizione della sezione; utilizzando le equazioni del flusso isoentropico e
quelle dell’urto si può calcolare la condizione di sbocco se il valore ottenuto è inferiore rispetto a quello desiderato è
necessario spostare la sezione d’urto verso la gola in caso contrario verso la sezione di uscita.
Per pressioni di scarico comprese fra la pressione di adattamento e pusu, il flusso è detto sovraespanso e si può avere
la presenza di urti obliqui interni o esterni all’ugello. Infine, per valori della pressione di scarico al di sotto di quella di
adattamento si hanno espansioni esterne all’ugello stesso e il flusso si dice sottoespanso.
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