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Appendice Matematica
Docente: Matteo Alvisi
Microeconomia (A-E)
Corso di Laurea Triennale in Scienze Politiche, Sociali e
Internazionali
Febbraio 2014
1
Funzioni
1.1
Definizione
Una funzione è una regola matematica che consente di associare a ciascun elemento x ∈ X un unico
elemento y ∈ Y (dove X ed Y sono due insiemi generici) e si denota come f : X → Y.
Una funzione di una variabile associa a ciascun numero x un unico numero y. Essa si rappresenta
generalmente come y = f (x) per indicare che la variabile y dipende dai valori che assume la variabile x
secondo la regola f. Data la funzione y = f (x), il numero x è chiamato variabile indipendente mentre
il numero y rappresenta la variabile dipendente.
Ad esempio, la funzione y = 2x + 3 stabilisce che per ottenere la variabile dipendente y associata alla
variabile indipendente x si deve applicare la seguente regola di calcolo: “si prenda un numero qualsiasi
x, lo si moltiplichi per 2 e si aggiunga 3 al risultato”. In base a questa regola, quando x = 1 si ottiene
y = f (x = 1) = 2 × 1 + 3 = 5; quando x = 2 si ottiene y = f (x = 2) = 2 × 2 + 3 = 7 e così via.
Analogamente, la funzione y = x2 + 1 stabilisce la regola di calcolo “si prenda un numero qualsiasi x, lo
si elevi al quadrato e si aggiunga 1 al risultato”. In questo caso, quando x = 1 si ricava y = 2, quando
x = 2 si rivaca y = 5 e così via.
Una funzione di due variabili associa a ciascuna coppia di numeri (x, y) un unico numero z. In
questo caso scriviamo z = f (x, y) per indicare che il valore della variabile dipendente z è determinato
dai valori di x ed y congiuntamente, le variabili indipendenti.
Funzione di due variabili è per esempio la regola di calcolo “si prenda un numero x e lo si elevi al
quadrato, si prenda un numero y e lo si elevi al quadrato e infine si moltiplichino fra loro i due quadrati”,
ovvero z = x2 y2 .
Una funzione di una variabile può anche essere espressa in forma implicita (ovvero la variabile dipendente y può non essere isolata sul lato sinistro dell’uguaglianza y = f (x)). In questo caso non si deve
confondere una funzione implicita di una variabile con una funzione di due variabili. Ad esempio, la funzione ax + by = c dove a, b, c sono costanti qualsiasi può essere ricondotta alla forma consueta y = f (x)
esplicitando la y ed ottenendo y =
positiva non è altro che y =
√
a
x .
c−ax
b .
Analogamente, la funzione x2 y 2 = a dove a è una costante
Quanto segue è riferito in particolare a funzioni di una sola variabile.
1.2
Grafici di funzioni
Molte informazioni relative ad una funzione sono descritte dal suo grafico. Il grafico di una funzione è un
metodo per rappresentare sul piano le relazioni tra la variabile indipendente x e la variabile dipendente y.
Per far ciò, per convenzione, si utilizzano due rette orientate (una per le x e l’altra per le y) perpendicolari
1
tra loro che si incontrano in un punto chiamato origine. La rappresentazione così ottenuta è un piano
cartesiano e le due rette si chiamano assi. La variabile indipendente è riportata sull’asse x o asse
orizzontale o delle ascisse e la variabile dipendente è rappresentata sull’asse y o asse verticale o delle
ordinate.1
Per assegnare le coordinate di un punto di un piano cartesiano è necessario disporre di due numeri
reali. Convenzionalmente, il primo numero corrisponde alla posizione sull’asse delle ascisse, il secondo
riporta la posizione sull’asse delle ordinate.
Per rappresentare una funzione qualsiasi su un piano è sufficiente trovare alcuni punti appartenenti
alla funzione e congiungerli tra loro. Ad esempio, la funzione y = 3x + 3 passa per i punti (0, 3), (1, 6),
(2, 9) e così via, mentre la funzione y = x2 + 1 passa per i punti (−2, 5) , (−1, 2) , (0, 1) , (1, 2) , (2, 5) e
così via.
y
10
8
6
4
2
-3
Grafico della funzione y = 3x + 3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
Grafico della funzione y = x2 + 1
L’intercetta verticale di una funzione corrisponde al valore di y quando x = 0. L’intercetta
orizzontale corrisponde al valore di x quando y = 0. Non sempre una funzione presenta sia una intercetta
verticale che orizzontale.
L’inclinazione della funzione corrisponde alla sua pendenza e misura come varia la funzione rispetto
alle variazioni di x. In generale, l’inclinazione di una funzione varia al variare di x.
1.3
Proprietà delle funzioni
Una funzione è continua se può essere rappresentata senza staccare la matita dal foglio.
Una funzione è derivabile o liscia se non presenta angoli o spigoli.
Una funzione è monotona se f (x) varia sempre nella stessa direzione a fronte di variazioni di x.
Una funzione è monotona crescente se cresce costantemente al crescere di x, cioè se, per ogni x > x′ ,
f (x) ≥ f (x′ ) , ovvero se l’inclinazione di tale funzione è sempre positiva. Una funzione è monotona
1 Una
funzione è tale se ciascuna retta parallela all’asse delle ordinate incontra il grafico della funzione una sola volta.
2
decrescente se diminuisce costantemente al crescere di x, cioè se, per ogni x > x′ , f (x) ≤ f (x′ ) , ovvero
se l’inclinazione di tale funzione è negativa per ogni x. Se y = f (x) è monotona, allora vi sarà un unico
valore di x associato ad y. Se una funzione monotona è possibile definire la sua funzione inversa,
semplicemente risolvendo per x in funzione di y. Ad esempio la funzione inversa di y = 2x sarà x = y2 .
Una funzione è concava se l’insieme delimitato superiormente dalla funzione stessa è un insieme
convesso. Alternativamente, una funzione è concava se, dati due punti x0 e x1 e una costante λ ∈ (0, 1)
f (λx0 + (1 − λ) x1 ) > λf (x0 ) + (1 − λ) f (x1 ) .
Una funzione è convessa se l’insieme delimitato inferiormente dalla funzione stessa è un insieme
convesso. Alternativamente, una funzione è convessa se, dati due punti x0 e x1 e una costante λ ∈ (0, 1)
f (λx0 + (1 − λ) x1 ) < λf (x0 ) + (1 − λ) f (x1 ) .
Un insieme si definisce convesso se, dati due punti x0 e x1 appartenenti all’insieme, anche la loro
combinazione lineare λx0 + (1 − λ) x1 appartiene all’insieme.
2
Funzioni elementari
2.1
Funzioni lineari
Una funzione lineare (una retta) è una funzione del tipo
y = a + bx
dove a e b sono costanti o parametri. L’intercetta verticale è y = a e l’intercetta orizzontale x = − ab .
La pendenza di una funzione lineare è costante, cioè non varia al variare di x, ed è uguale al coefficiente
della variabile indipendente b.
Dati due punti appartenenti ad una retta, si può calcolare univocamente l’inclinazione e l’equazione
della retta. Siano P0 = (x0 , y0 ) e P1 = (x1 , y1 ) le coordinate di due punti che giacciono entrambi sulla
stessa retta. Allora la pendenza di questa retta è
△y
(y1 − y0 )
=
△x
(x1 − x0 )
e l’equazione della retta è
y = y0 +
(y1 − y0 )
(x − x0 ) .
(x1 − x0 )
Ad esempio, la retta passante per i punti P0 = (2, −1) e P1 = (3, 5) ha equazione y = −1 +
ovvero y = 6x − 13.
3
5+1
3−2
(x − 2)
2.2
Funzioni polinomiali
Una funzione polinomiale di secondo grado (ovvero una parabola) ha la forma seguente
y = ax2 + bx + c.
L’intercetta verticale è y = c e le intercette orizzontali (radici) sono
x1 =
√
−b− b2 −4ac
2a
e x2 =
√
−b+ b2 −4ac
2a
,
sempre che il discriminante o determinante det = b2 − 4ac sia positivo. Il vertice della parabola ha
b
coordinate date da − 2a
; − det
4a . Se la costante a > 0, allora il vertice della parabola è il punto di minima
ordinata; in questo caso si dice che la parabola volge la concavità verso l’alto. Se invece a < 0, allora il
vertice della parabola è il punto di massima ordinata e si dice che la parabola volge la concavità verso il
basso.
Ad esempio, la funzione y = 2x2 − x − 3 è una parabola con concavità rivolta verso l’alto ( a positivo),
intercetta verticale di coordinate (0, −3) e intercette orizzontale di coordinate (−1, 0) e
3
2, 0
. Il vertice
è il punto di coordinate ( 14 , − 25
8 ).
2.3
Funzioni potenza
Una funzione potenza è del tipo
y = xa
La funzione potenza gode delle seguenti proprietà:
1. x0 = 1.
2. xa xb = xa+b .
3.
xa
xb
= xa−b .
4. (xa )b = xab .
La funzione potenza ha tre casi particolari:
(a) Quando a è un numero intero positivo e maggiore di uno, si ottiene una curva convessa che, nel primo
quadrante, ricorda un ramo di una parabola passante per l’origine con concavità rivolta verso l’alto.
Ad esempio, per a = 3, si ottiene
y = x3 .
4
(b) Quando a è un numero razionale (una frazione) si ottiene una radice che, nel primo quadrante, è una
funzione concava passante per l’origine. Ad esempio, per a = 12 ,
1
y = x2 =
√
2
x.
(c) Quando a è un numero intero negativo si ottengono le iperboli. Ad esempio, per a = −1
y = x−1 =
3
1
.
x
Saggio di variazione e derivata
La notazione △x significa variazione di x. Se la variabile indipendente varia da x0 a x1 , la variazione di
x viene data da
△x = x1 − x0
ovvero
x1 = △x + x0 .
Il saggio di variazione è il rapporto tra due variazioni: se y dipende da x attraverso la funzione f (x),
allora il saggio di variazione di y rispetto ad x è uguale a
△y
△f (x)
f (△x + x0 ) − f (x0 )
=
=
.
△x
△x
△x
Il saggio di variazione misura la variazione di y al variare di x e quindi rappresenta l’inclinazione della funzione. Se y aumenta ogni volta che aumenta x allora ∆y avrà lo stesso segno di ∆x e quindi l’inclinazione
della funzione è positiva. Al contrario, se y diminuisce quando x aumenta, allora ∆y e ∆x hanno segni
opposti e la funzione è inclinata negativamente. Si noti che il saggio di variazione dipende dal valore
iniziale di x nonchè dalla misura della variazione ∆x.
Tipicamente △x rappresenta una piccola variazione di x ovvero una variazione marginale. Quando
questa variazione è infinitesimale, ossia tende a zero, allora il saggio di variazione diventa una derivata.
La derivata di una funzione y = f (x) è definita come
dy
df (x)
f (△x + x0 ) − f (x0 )
=
= lim
△x→0
dx
dx
△x
La derivata è il limite del saggio di variazione di y rispetto a x al tendere a zero della variazione di x.
La derivata di f (x) rispetto ad x viene anche denotata come f ′ (x) . Analogamente al saggio di
variazione, anche la derivata di una funzione dipende in genere dal valore assunto da x. Geometricamente,
la derivata di f (x) in un dato punto x0 è rappresentata dall’inclinazione della retta tangente alla funzione
nel punto x0.
5
Il segno della derivata fornisce l’indicazione sull’andamento della f (x). Se f ′ (x0 ) > 0, allora la
funzione è crescente nel punto x0 . Se f ′ (x0 ) < 0, allora la f (x) è decrescente nel punto x0 . Se f ′ (x0 ) = 0,
allora la funzione presenta una tangente orizzontale (parallela cioè all’asse delle ascisse). In tal caso, x0
potrà essere un punto di minimo o di massimo (o di flesso) della funzione, oppure un punto qualsiasi di
una funzione ovunque costante.
3.1
Derivate parziali
Data una funzione di due variabili z = f (x, y) la derivata parziale di z rispetto a x è definita come
∂f (x, y)
f (△x + x0 , y) − f (x0 , y)
= lim
.
△x→0
∂x
△x
La derivata parziale di f (x, y) non è altro che la derivata della funzione rispetto ad x quando y viene
mantenuto fisso. Analogamente si può definire la derivata parziale di z rispetto a y.
3.2
Derivate seconde
La derivata seconda di una funzione y = f (x) è la derivata della derivata.
d2 f (x)
d
d2 y
=
=
2
2
dx
dx
dx
df (x)
dx
La derivata seconda misura la curvatura di una funzione, ovvero misura come varia l’inclinazione della
funzione al variare di x.
Se la derivata seconda di una funzione è negativa in un punto, significa che l’inclinazione della funzione
è decrescente in quel punto. In questo caso la funzione è concava.
Se la derivata seconda di una funzione è positiva in un punto, l’inclinazione della funzione è crescente.
Allora la funzione è convessa in quel punto.
Una funzione la cui derivata seconda sia nulla in un punto, presenta un puto di flesso (cambia curvatura) in quel punto.
4
Equazioni
Un’equazione è un’uguaglianza tra una funzione e un numero (o tra due funzioni della stessa variabile)
ed in generale ha forma f (x) = a. Esempi di equazioni sono 2x + 3 = 11, x2 = 9. La soluzione
di un’equazione è un valore di x che la soddisfa. La soluzione delle precedenti equazioni è x = 4 e
x = ±3 rispettivamente. Un’equazione generica è f (x) = 0. Non possiamo risolverla fino a quando non
conosciamo l’effettiva funzione f, tuttavia possiamo denotare con x∗ la soluzione e dire che x∗ soddisfa
l’equazione f (x) = 0.
6
Un sistema di due equazioni in due incognite è dato da

 f (x, y) = a
 g (x, y) = b
Per risolverlo occorre compiere i seguenti passi: (i) si risolve una delle due equazioni, ad esempio la prima,
per una variabile, ad esempio y, in funzione dell’altra; (ii) si sostituisce per y nella seconda equazione
(che ora è una equazione con una sola incognita x); (iii) si trova il valore di x che soddisfa la seconda
equazione; (iv) infine si sostituisce x∗ in una delle due equazioni iniziali e si trova y ∗ .
Ad esempio, per risolvere il sistema

 x + y = 18
y

=2
x
si risolve la prima equazione per y ottenendo y = 18 − x, si sostituisce nella seconda equazione ottenendo
18 − x = 2x, che è soddisfatta per x∗ = 6. Sostituendo nella prima equazione si ottiene y ∗ = 18 − 6 = 12.
Si noti che si è appena trovato il punto di intersezione tra le rette y = 18 − x e y = 2x.
5
Ottimizzazione
Se y = f (x) il punto x∗ è detto il massimo di f (x) se f (x∗ ) ≥ f (x) per qualsiasi valore di x. Se f (x)
è una funzione derivabile allora
df (x)
dx x=x∗ = 0
2
d f (x)
≤0
dx2
x=x∗
.
La condizione del primo ordine stabilisce che la funzione è piatta in corrispondenza di x∗ . La condizione di secondo ordine stabilisce che la funzione è concava in un intorno di x∗ .
Alternativamente, il punto x∗ è detto il minimo di f (x) se f (x∗ ) ≤ f (x) per qualsiasi valore di x.
Se f (x) è una funzione derivabile allora
df (x)
dx
2
d f (x)
dx2
x=x∗
x=x∗
=0
.
≥0
La condizione del primo ordine stabilisce che la funzione è piatta in corrispondenza di x∗ . La condizione
di secondo ordine stabilisce che la funzione è convessa in un intorno di x∗ .
7

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