LIUC eBook
Appunti di Matematica
e tecnica finanziaria
Ettore Cuni
Luca Ghezzi
LIUC eBook, 2
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
LIUC Università Cattaneo
Castellanza 2013
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
Copyright 2013 © Università Carlo Cattaneo - LIUC – C.so Matteotti, 22 - 21053 Castellanza (VA)
Data di pubblicazione: Luglio 2013 - ISBN 978-88-908806-1-2
Indice
Premessa ...................................................................................................................................... 7
Ringraziamenti ............................................................................................................................ 9
1. Calcolo finanziario di base ................................................................................................... 11
1.1. Principi finanziari: accumulazione e sconto di ammontari di denaro ............................. 11
Interesse semplice............................................................................................................... 13
Interesse composto ............................................................................................................. 15
Obbligazioni (senza cedola) ............................................................................................... 17
Sconto commerciale ........................................................................................................... 19
1.2. Contratti e mercati finanziari........................................................................................... 20
1.3. Tassi equivalenti di interesse composto .......................................................................... 31
Principio di scindibilità ...................................................................................................... 33
Fattori di montante in 2 variabili e esclusione dell’arbitraggio ......................................... 36
1.4. Rendite annue immediate: valori attuali, montanti e valori............................................. 42
Rendite annue immediate: proprietà .................................................................................. 43
Rendite annue immediate con rate costanti........................................................................ 43
Rendite periodiche immediate con rate costanti ................................................................ 44
Rendite perpetue annue immediate .................................................................................... 45
2. Ripagamento rateale di un prestito ..................................................................................... 51
2.1. Il piano di ammortamento................................................................................................ 51
2.2. La locazione finanziaria (leasing).................................................................................... 55
2.3. Legislazione italiana sul credito al consumo e sui mutui ipotecari ................................. 68
3. Valutazione degli investimenti reali .................................................................................... 73
3.1. Sull’uso dei bilanci pro-forma......................................................................................... 73
3.2. Il valore attuale netto (VAN)........................................................................................... 78
3.3. Il tasso interno di rendimento (TIR) ................................................................................ 83
Sull’uso congiunto di VAN e TIR...................................................................................... 87
3.4. Il valore attuale rettificato................................................................................................ 91
3.5. Sulla valutazione di un’impresa nella pratica professionale ........................................... 96
4. Obbligazioni a tasso fisso...................................................................................................... 99
4.1. Apprezzamento di obbligazioni a tasso fisso e con cedole annue ................................... 99
Apprezzamento di obbligazioni con cedole semestrali (trimestrali) ................................ 101
La funzione rendimento a scadenza-prezzo ..................................................................... 101
Sul tasso di rendimento effettivo...................................................................................... 103
4.2. Durata media finanziaria................................................................................................ 109
Convessità ........................................................................................................................ 114
4.3. La stima del rischio di credito da parte delle agenzie specializzate .............................. 124
4.4. La cartolarizzazione di crediti non trasferibili............................................................... 133
4.5. Sulla gestione attiva di portafogli obbligazionari.......................................................... 139
5. Struttura a termine dei tassi di interesse .......................................................................... 145
5.1. Sui tassi di interesse a trascurabile rischio di credito.................................................... 145
Sulla rilevazione della struttura a termine dei tassi Euribor ............................................ 148
Tassi di interesse a termine .............................................................................................. 149
Apprezzamento di obbligazioni a tasso variabile............................................................. 151
Riferimenti bibliografici......................................................................................................... 161
5
6
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
1
Ettore Cuni , Luca Ghezzi
2
Orandum est ut sit mens sana in corpore sano
Decimus Iunius Iuvenalis, I-II secolo d.C.
Premessa
La Matematica finanziaria concerne l’impiego di strumenti scientifici nelle attività di
investimento e finanziamento. Più precisamente, essa riguarda modelli e procedimenti
quantitativi convalidati, utilizzabili per prendere decisioni nell’ambito
• della valutazione e del confronto di piani di investimento reale;
• del confronto di operazioni bancarie e parabancarie, quali un deposito vincolato, un
mutuo immobiliare ipotecario a tasso fisso e/o variabile, un prestito di titoli contro
garanzia, o una locazione finanziaria di beni strumentali;
• della progettazione di contratti finanziari, quali un’obbligazione strutturata o una polizza
assicurativa sulla vita a capitale o rendimento garantito;
come pure
• dei processi di gestione di rendimenti e rischi finanziari, per esempio nel caso di un
portafoglio di prestiti bancari, di un fondo pensione, o di un fondo comune di
investimento;
• dei processi di supervisione e controllo dei rischi finanziari.
Questi appunti, concepiti per gli studenti di un corso universitario di Matematica finanziaria,
sono stati originariamente stesi come complemento, conforme alla tradizione italiana, del libro
di testo Luenberger (1998), un’opera di ben più ampio respiro, compiutamente riuscita nella
compenetrazione di rigore metodologico e di chiarezza espositiva. Essi si basano soprattutto su
una traduzione parziale degli Handouts for Financial modelling, redatti in inglese dal secondo
autore; grazie all’esperienza professionale del primo autore, il materiale proposto è stato
corredato di riferimenti a e di esempi e esercizi coerenti con la prassi operativa.
L’apprendimento e la ritenzione della disciplina potrebbero quindi essere agevolati dall’uso di
una duplice chiave di lettura: quella logica, relativa alle proprietà dei procedimenti analitici e
1
2
Analisi rischi, Credito Bergamasco–Gruppo Banco Popolare, 24100 Bergamo.
Associato di Ingegneria economico gestionale, Università Carlo Cattaneo, 21053 Castellanza (Va).
7
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
alle peculiarità dei procedimenti empirici, e quella operativa, relativa ai contratti, alle
operazioni e ai processi finanziari. La comprensione di questi ultimi non deve illudere;
l’esposizione, spesso a carattere introduttivo, è propedeutica ai corsi specialistici. Tuttavia, il
quadro d’insieme tacitamente proposto, sebbene parziale, è strutturato e desumibile mediante
una lettura attiva.
Gli appunti sono organizzati in 5 distinte sezioni, tutte le successive essendo sviluppate a
partire dalla prima
1. Calcolo finanziario di base
2. Ripagamento rateale di un prestito
3. Valutazione degli investimenti reali
4. Obbligazioni a tasso fisso
5. Struttura a termine dei tassi di interesse
La corrente versione è priva di una sezione finale sui fondamenti della gestione di portafogli
azionari, invece presente negli Handouts for Financial modelling; al lettore interessato si
segnalano, oltre al già menzionato Luenberger (1998), le opere Farrell (1997), Keasey et alii
(1998), Cornell (1999) e Jackson (2003).
Ogni sezione può comprendere
• una schematica spiegazione di nozioni teoriche, accompagnata da esempi illustrativi, e di
procedimenti empirici;
• un’essenziale presentazione di procedimenti operativi come pure una sintetica citazione
di norme di legge. Ove possibile, si menzionano pure gli specifici tassi annui di interesse
usati nella prassi operativa;
• alcuni esercizi e le loro soluzioni, i quali si aggiungono agli esempi proposti nel libro di
testo Luenberger (1998). Oltre a esemplificare un procedimento analitico, un esercizio
offre, a volte, l’occasione per descrivere un contratto finanziario e delle regole operative.
Tutti gli esercizi sono stati risolti al calcolatore, mediante dei fogli elettronici, ove
possibile programmati e convalidati; per esempio, nel caso dell’ammortamento
all’italiana, una volta inseriti i dati (il capitale prestato C, il numero di rate n, la loro
cadenza m, il tasso periodale di interesse applicato im ), il foglio elettronico restituisce
l’intero piano di ammortamento (una tabella di n + 1 righe e 5 colonne: il tempo t, la
quota di capitale Ct , la quota di interesse I t , la rata Rt e il debito residuo Dt ),
effettuando gli arrotondamenti con la precisione richiesta.
8
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
L’approccio è orientato alle applicazioni e dunque multidisciplinare, con possibili
riferimenti ai principi teorici e alle nozioni pratiche di altre discipline, quali la contabilità,
l’economia industriale, l’economia dei mercati e degli intermediari finanziari.
Si tenga presente che un serio esame finale dovrebbe concernere sia la teoria sia la pratica;
gli autori condividono infatti con altri colleghi la convinzione che una proficua teoria riposa su
solide basi pratiche, e viceversa. Per imparare bene e senza troppa fatica la Matematica
finanziaria, come pure per non dimenticarla assai presto, bisogna quindi acquisire allo stesso
tempo un po’ di dimestichezza con la Tecnica finanziaria. Pertanto, con riferimento ai
principali punti di un programma analitico, occorre sapere
• dove e quando un problema finanziario emerga nella pratica professionale;
• chi siano le controparti e gli intermediari finanziari;
• come e per mezzo di quali dati si possa risolverlo;
• quale sia il significato finanziario dei più importanti passaggi analitici e, se richiesto,
perché il procedimento risolutivo è appropriato (una dimostrazione può rivestire
interesse, in quanto aiuta a ricordare meglio un procedimento analitico e le sue
proprietà).
Si rammenta che la Matematica finanziaria si basa su ragionamenti passo a passo. Qualora
tale capacità non sia tra le doti di uno studente, la frequenza alle lezioni dovrebbe essere
considerata come un agevole e proficuo modo di apprendere.
Grazie alla duplice chiave di lettura, all’orientamento alle applicazioni e al taglio agile, gli
appunti sono fruibili anche da un lettore che, operando già nel mondo del lavoro, desideri
rinfrescare e/o aggiornare le proprie cognizioni di Matematica e tecnica finanziaria. Numerose
sono le estensioni e le integrazioni rispetto a una più tradizionale trattazione, ormai un po’
datata; si segnalano, a questo proposito, le sezioni 2.3, 3.1, 3.4, 4.3, 4.4, 4.5 e 5.1.
Bergamo - Castellanza, 11 febbraio 2013
Ringraziamenti
Si ringraziano sentitamente i professori Franco Cesarini (già Università Cattolica del Sacro
Cuore, Milano) e Lorenzo Peccati (Università Luigi Bocconi, Milano) per i loro preziosi
commenti e suggerimenti in merito a precedenti versioni.
Nondimeno, la responsabilità di ogni eventuale errore è degli autori. Ulteriori commenti e
suggerimenti sono graditi e possono essere inviati all’indirizzo elettronico [email protected].
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Ettore Cuni, Luca Ghezzi
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Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
1. Calcolo finanziario di base
1.1. Principi finanziari: accumulazione e sconto di ammontari di denaro
Il tempo t sia misurato in anni e 0 sia il corrente istante. Si supponga che un ammontare di
denaro C sia prestato per uno spazio di tempo
[0;t ]
e sia ripagato mediante un unico
ammontare. Poiché l’esercizio del credito è attività remunerata, il creditore riceverà dal
debitore un più elevato valore futuro o montante FV = C + I in cambio del prestito del
capitale C nello spazio di tempo
[0;t ] .
La differenza I è l’interesse maturato, ossia il
compenso per il creditore, il quale è, coeteris paribus, tanto maggiore quanto più distante è la
scadenza t. Poiché si ha
FV = Cf (t ) con f (0) = 1 e
df (t )
> 0 per ogni t ≥ 0
dt
dove f (t ) è un fattore di montante, l’accumulazione di denaro (o capitalizzazione) è un
processo nel quale l’interesse si accumula al passare del tempo
capitale C
FV = C + I = Cf (t )
tempo 0
tempo t dall’avvio
Per il momento si prescinde sia dal rischio di tasso sia dal rischio di credito. In altre
parole, non si tiene conto del fatto che le previsioni insite nell’iniziale struttura a termine del
mercato monetario possano non trovare riscontro nel successivo andamento temporale dei
diversi tassi di interesse, quali l’Eonia, gli Euribor e i tassi swap introdotti più avanti; inoltre,
si suppone che il debitore assolva sicuramente tutti i propri obblighi contrattuali. Infine, non si
considerano esplicitamente giorni di differimento, commissioni e tasse, di cui si tiene invece
conto in alcuni esercizi. Pertanto, la teoria viene sviluppata in un contesto deterministico,
essendo certi per ipotesi sia gli ammontari di denaro, sia i tassi di interesse, presenti e futuri.
Si supponga che un credito con valore nominale C e scadenza t sia venduto al tempo 0 a un
minore valore attuale PV = C − D , essendo la differenza D lo sconto. Il compratore diviene
creditore; pertanto, riceverà un più elevato montante C, comprendente un compenso per il
prestito PV nello spazio di tempo [ 0;t ] . Poiché si ha
PVf (t ) = C e dunque PV =
C
df (t )
con f (0 ) = 1 e
> 0 per ogni t ≥ 0
f (t )
dt
11
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
dove f (t )−1 è un fattore di sconto coniugato, lo sconto di denaro (o attualizzazione) è un
procedimento inverso al precedente, secondo cui un ammontare esigibile a una successiva data
è ridotto a un minore ammontare esigibile a una precedente data, quest’ultimo essendo, coeteris
paribus, tanto minore quanto più distante è la scadenza t del credito.
PV = C − D = Cf(t) −1
tempo 0
valore nominale C
scadenza: tempo t
Il montante e il valore attuale sono 2 operatori lineari negli ammontari di denaro. Pertanto,
se 2 ammontari di denaro C1 e C 2 sono prestati per degli spazi di tempo [t1; t ] e [t2 ; t ]
rispettivamente, il loro montante al tempo t sarà FV = C1 f (t − t1 ) + C2 f (t − t2 ) . Inoltre, se due
crediti con valori nominali C1 e C 2 sono esigibili ai tempi t1 e t2 rispettivamente, il loro
valore attuale al tempo 0 sarà PV = C1 f (t1 )−1 + C2 f (t2 )−1 .
Per effettuare i calcoli finanziari in esame, occorre stabilire una regola di accumulazione o
di sconto di modo che il fattore di montante f (t ) e il fattore di sconto coniugato f (t )−1
assumano una specificazione analitica. Siano i un tasso annuo di interesse e d un tasso annuo di
sconto commerciale; nel prosieguo esamineremo le 3 regole usate nella comune pratica, dette
pure regimi finanziari:
• l’ interesse semplice, per cui f (t ) = (1 + it ) ;
• l’ interesse composto, per cui f (t ) = (1 + i )t ;
• lo sconto commerciale, per cui f (t )−1 = (1 − dt ) .
In linea di principio, le regole dell’interesse semplice e dello sconto commerciale dovrebbero
essere applicate solamente alle operazioni di breve termine, le quali durano meno di 18 mesi.
La regola dell’interesse composto dovrebbe invece essere applicata alle operazioni di medio e
lungo termine; le prime durano tra i 18 mesi e i 5 anni mentre le seconde durano più di 5 anni.
Ove non diversamente specificato, si assumerà in tutta la sezione che ogni mese abbia 30
giorni, coerentemente con la regola di calcolo dei giorni 30/360 europea introdotta nell’esempio
1 insieme alle regole di calcolo dei giorni effettivi/360 e effettivi/365. Pertanto, come mostrato
nell’esempio 2, uno spazio di tempo di 1 anno, 6 mesi e 18 giorni è espresso come
t = 1+
12
6 18
+
= 1,55 anni; il calcolo inverso è svolto negli esercizi 1 e 9.
12 360
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
Interesse semplice
Il tempo t sia misurato in anni, 0 sia il corrente istante, e i sia il tasso annuo di interesse
semplice, vale a dire l’interesse annuo su un’unità di capitale. Si supponga che un capitale C sia
prestato per uno spazio di tempo [ 0;t ] . Poiché l’interesse semplice si accumula linearmente al
passare del tempo secondo l’equazione
I = Cit
il montante
FV = C + I = C + Cit = C (1 + it )
verrà pagato dal debitore al creditore al tempo t in cambio del prestito di C nello spazio di
tempo [ 0;t ] . Pertanto, il montante di C al tempo t è pari al capitale C moltiplicato per il fattore
di montante lineare f (t ) = (1 + it ) .
Esempio 1. €100.000 sono prestati da mercoledì 16 settembre a mercoledì 16 dicembre al
tasso annuo dell’1%; si trovi l’interesse semplice applicando la regola di calcolo dei giorni: a)
effettivi/360 o effettivi/365; b) 30/360 europea.
Le 5 regole di calcolo dei giorni sono spiegate in Cherubini-Della Lunga (2002, pag. 146); il
primo (l’ultimo) giorno di un prestito è sempre escluso (incluso).
Svolgimento.
a) Poiché il prestito dura effettivamente 14 + 31 + 30 + 16 = 91 giorni, si ha
I = Cit = 100.000 * 0,01*
91
= 252,78 €
360
I = Cit = 100.000 * 0,01*
91
= 249,32 €
365
b) Il prestito dura convenzionalmente 14 + 30 + 30 + 16 = 90 giorni, in quanto si suppone che
ogni mese abbia 30 giorni; se la data iniziale o finale cadesse il 31 del mese, sarebbe
spostata al 30. Si ha quindi
I = Cit = 100.000 * 0,01*
90
= 250,00 €
360
OSSERVAZIONE. A un divisore pari a 360 corrisponde l’anno commerciale mentre a un
divisore pari a 365 corrisponde l’anno civile.
13
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
Esempio 2. €25.000 sono prestati per 1 anno, 6 mesi e 18 giorni al tasso annuo del 6%. Si
trovino l’interesse semplice e il montante nell’ipotesi che ogni mese abbia 30 giorni.
Svolgimento. Si ha
6
18 

I = Cit = 25.000 * 0,06 * 1 + +
 = 25.000 * 0,06 *1,55 = 2.325 €
12
360


FV = C + I = C (1 + it ) = 25.000 + 2.325 = 25.000(1 + 0,06 *1,55) = 27.325 €
Esempio 3. All’inizio di un certo anno e dopo 9 mesi, €5.000 e €2.500 sono rispettivamente
prestati al tasso annuo del 4%. Si trovino l’interesse e il montante dopo altri 12 mesi.
Svolgimento. La linearità dell’interesse semplice rispetto al tempo comporta che gli
interessi delle 2 operazioni possano essere sommati. Inoltre, anche i montanti delle 2 operazioni
possono essere sommati, in quanto il montante è un operatore lineare negli ammontari di
denaro. Si ha dunque
I = I A + I B = 5.000 * 0,04 *
21
+ 2.500 * 0,04 = 450 €
12
FV = (C A + CB ) + I = (5.000 + 2.500) + 450 = 5.000 *1,07 + 2.500 *1,04 = 7.950 €
OSSERVAZIONE. A causa della linearità dell’interesse semplice, il suo ammontare
semestrale Ci0,5 è metà dell’ammontare annuo Ci , il suo ammontare trimestrale Ci0,25 è un
quarto dell’ammontare annuo Ci , etc. Le stesse proporzioni valgono per i tassi periodali di
interesse semplice, vale a dire gli interessi periodici su un’unità di capitale: il tasso semestrale è
i0,5 , il tasso trimestrale è i0,25 , etc.
Esempio 4. €50.000 sono prestati per 1 anno e 3 mesi a interesse semplice. Il montante dopo
3 mesi ammonta a €50.500. Si trovino a) il montante annuo; b) il montante finale; c) il tasso
trimestrale di interesse; d) il tasso annuo di interesse i.
Svolgimento. Poiché l’interesse trimestrale è 50.500 − 50.000 = 500 € ,
a) l’interesse annuo e il montante annuo sono rispettivamente 500 * 4 = 2.000 € e
50.000 + 2.000 = 52.000 € ;
b) l’interesse finale e il montante finale sono rispettivamente 500 * 5 = 2.500 €
50.000 + 2.500 = 52.500 € ;
c) il tasso trimestrale di interesse è 500 / 50.000 = 1% ;
d) si ha i = 4 * 500 / 50.000 = 4 *1% = 4% , cioè 4 volte il tasso trimestrale.
14
e
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
Interesse composto
Il tempo t sia misurato in anni, 0 sia il corrente istante, e i sia il tasso annuo effettivo di
interesse composto. Si supponga che un capitale C sia prestato per uno spazio di tempo [ 0;t ] .
Qualora l’interesse sia composto annualmente secondo la convenzione esponenziale, il
montante FV al tempo t di un capitale pari a C vale
FV = C (1 + i )
t
di modo che l’importo C (1 + i ) verrà restituito al tempo t in cambio del prestito di C nello
t
spazio di tempo [ 0;t ] . Pertanto, il montante di C al tempo t è pari al capitale C moltiplicato per
il fattore di montante esponenziale f (t ) = (1 + i )t . L’interesse composto I al tempo t vale
t
t
I = FV − C = C (1 + i ) − C = C (1 + i ) − 1


Per i = 5% , l’interesse composto su un’unità di capitale I = 1,05t − 1 importa
1,05 − 1 = 0,05000
dopo 1 anno
1,1025 − 1 = 0,10250
dopo 2 anni
1,1025 − 1 = 0,15763
dopo 3 anni
...
1,6289 − 1 = 0,62889
dopo 10 anni
DIMOSTRAZIONE. Quando l’interesse è composto annualmente, esso viene aggiunto al
capitale alla fine di ciascun anno. Pertanto, alla fine del primo anno l’interesse maturato Ci
viene aggiunto al capitale, che diviene FV = C + Ci = C (1 + i ) . Inoltre, alla fine del secondo
anno l’interesse maturato C (1 + i )i = Ci + Ci 2 , dove Ci 2 è interesse sull’interesse, viene
aggiunto
al
capitale, che diviene
FV = C (1 + i ) + C (1 + i )i = C (1 + i )2 . Si comprende
immediatamente (e si dimostra mediante induzione matematica) che ciascuna composizione
annua dell’interesse equivale a una moltiplicazione del capitale per il fattore di montante
(1 + i ) , da cui si ottiene
FV = C (1 + i )t alla fine del t-imo anno. Sebbene il tempo t sia intero nel
nostro ragionamento, esso può assumere qualsiasi valore reale non negativo in forza della
convenzione esponenziale.
15
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
Esempio 5. €25.000 sono prestati per 1 anno, 6 mesi e 18 giorni al tasso annuo del 6%,
come nell’esempio 2. Si trovino il montante e l’interesse composto nell’ipotesi che ogni mese
abbia 30 giorni.
Svolgimento. Si ha
FV = C (1 + i )t = 25.000 *1,061,55 = 27.363,02 €
I = FV − C = C (1 + i )t − C = 27.363,02 − 25.000 = 2.363,02 €
Si considerino i montanti a interesse semplice e composto allo stesso tasso annuo i; i
corrispondenti fattori di montante sono allora (1 + it ) e (1 + i )t . Come si osserva nel seguente
diagramma, dove i = 100% , l’uno cresce linearmente mentre l’altro cresce esponenzialmente
(geometricamente) con (1 + it ) > (1 + i )t per ogni 0 < t < 1 e (1 + it ) < (1 + i )t per ogni t > 1 a
causa del pagamento dell’interesse sull’interesse.
4,0000
3,0000
2,0000
interesse semplice
2,00
1,50
1,00
0,50
0,00
1,0000
interesse composto
Pertanto, per qualsiasi dato tasso annuo di interesse i e qualsiasi scadenza distante più di 1
anno, il montante a interesse composto è maggiore di quello a interesse semplice. Per esempio,
si ha (1 + i )2 = 1 + 2i + i 2 > 1 + 2i per t = 2 , la differenza i 2 essendo l’ interesse sull’interesse.
Qualora il tempo t non sia intero, si può pure fare uso della convenzione lineare e quindi
della capitalizzazione mista, secondo la quale il montante FV al tempo t di un capitale pari a C
vale
FV = C (1 + i ) (1 + iδ )
n
16
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
dove t = n + δ con n intero e 0 ≤ δ ≤ 1 . Se, per esempio, n = 3 anni e δ = 0, 25 anni = 3 mesi ,
il fattore di montante vale
(1 + i )3 (1 + i0,25)
e discende dall’applicazione dell’interesse
composto per un periodo di 3 anni seguita dall’applicazione dell’interesse semplice per un
periodo di 3 mesi. Poiché la funzione esponenziale (1 + i ) è convessa, si ha
t
(1 + i )n (1 + iδ ) ≥ (1 + i )n+δ
ovvero per qualunque durata intera ( δ = 0 e t = n ) si ottiene lo stesso montante con entrambe
le convenzioni; per qualunque durata non intera la capitalizzazione mista fornisce un montante
maggiore. I grafici dei due fattori di montante per i = 100% sono riportati nel diagramma sotto
4,0000
3,0000
esponenziale
2,00
1,75
1,50
1,25
1,00
0,75
0,50
0,25
1,0000
0,00
2,0000
lineare
Esempio 6. All’inizio di un certo anno e dopo 9 mesi, €5.000 e €2.500 sono rispettivamente
prestati al tasso annuo del 4%, come nell’esempio 3. Si trovino il montante e l’interesse
composto dopo altri 12 mesi, facendo uso della convenzione lineare e della capitalizzazione
mista.
Svolgimento. I montanti delle 2 operazioni possono essere sommati, in quanto il montante è
un operatore lineare negli ammontari di denaro. Si ha dunque
9
3 
9


FV = C A (1 + i )1 + i  + CB 1 + i 1 + i  = € 7.956,75
12 
12 
12 


I = FV − (C A + CB ) = 7.956,75 − 7.500 = 456,75 €
Obbligazioni (senza cedola)
Se un prestito prende la fattispecie di un titolo, viene diviso in obbligazioni di modo che
può essere contemporaneamente concesso da più obbligazionisti/creditori, con conseguente
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Ettore Cuni, Luca Ghezzi
frazionamento del credito e del rischio di credito. Poiché le obbligazioni sono dei titoli, ogni
obbligazionista/creditore ha la facoltà di rivendere il proprio credito successivamente. In
cambio del credito, il debitore, vale a dire l’emittente delle obbligazioni, si impegna legalmente
ad effettuare degli opportuni ripagamenti alle scadenze contrattuali. Il rischio di credito
riguarda una perdita finanziaria per gli obbligazionisti dovuta all’inadempienza dell’emittente
delle obbligazioni in merito a dei ripagamenti contrattuali.
Le obbligazioni sono emesse, tra gli altri, dai tesori degli stati sovrani, dagli enti
sovranazionali (per esempio, la World Bank, la European Investment Bank e l’Asian
Development Bank, fondate nel 1944, 1958 e 1966 da un certo numero di paesi membri, con
sede centrale a Washington, nel Lussemburgo e a Manila rispettivamente), dagli enti locali (per
esempio, le città), dalle banche e dalle società quotate. Inoltre, come spiegato nella sezione
4.4, le obbligazioni possono essere pure emesse a fronte di un’operazione di cartolarizzazione.
Come invece spiegato nella sezione 4.3, il merito di credito degli emittenti di obbligazioni è
determinato dalle agenzie internazionali di valutazione del credito. Se il merito di credito dello
Stato è opportuno, i titoli di Stato possono essere ritenuti privi di rischio di credito; le
obbligazioni societarie incorporano invece del rischio di credito in un qualche grado.
Naturalmente, un prestito obbligazionario risulta meno personalizzabile e elastico di un
prestito bilaterale concesso da una sola banca a un solo prestatario. Tuttavia, se il prestatario è
una grande e importante impresa, il prestito può essere concesso da un sindacato di banche
internazionali.
Esistono diversi tipi di obbligazioni, fra cui le obbligazioni senza cedola, le obbligazioni a
tasso fisso e le obbligazioni a tasso variabile, introdotte più sotto, nella sezione 4 e nella
sezione 5 rispettivamente. Le obbligazioni a tasso fisso o variabile pagano delle cedole annue,
semestrali o trimestrali a titolo di interesse sul capitale preso a prestito; inoltre, rimborsano di
solito il capitale preso a prestito in un’unica soluzione al momento della loro scadenza. Alcune
obbligazioni a tasso fisso possono essere rimborsate anticipatamente dall’emittente, a partire da
una prestabilita data e a un prestabilito prezzo, che di solito comprende un premio.
Poiché un’obbligazione senza cedola non stacca alcuna cedola, essa quota sempre a sconto;
il suo prezzo è dunque minore del valore nominale e pari al valore attuale di quest’ultimo,
calcolato mediante un tasso annuo di rendimento a scadenza. Giorni di differimento,
commissioni e tasse sono considerati esplicitamente negli esercizi 4, 5 e 6, i quali concernono
operazioni su BOT o CTZ, le obbligazioni senza cedola emesse dal Tesoro italiano.
18
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
Esempio 7. Un risparmiatore sottoscriva oggi, all’emissione, delle obbligazioni senza cedola
con valore nominale di €10.000 e durata di 6 mesi. Il prezzo percentuale di sottoscrizione sia
98,058. Si trovino
a) l’esborso del risparmiatore;
b) il tasso annuo di rendimento a scadenza, nel regime dell’interesse semplice;
c) il tasso annuo di rendimento a scadenza, nel regime dell’interesse composto.
Svolgimento. Il tempo t sia misurato in anni, ogni mese abbia 30 giorni e y indichi il tasso
annuo incognito.
a) L’esborso del risparmiatore ammonta a 10.000 *
b) Risolvendo l’equazione PV =
C
1 + yt
fattore di sconto semestrale, si ricava
98,058
= 9.805,80 € .
100
ovvero
98,058 =
100
, dove (1 + y 0,5)−1 è un
1 + y 0,5
 100

y = 2
− 1 = 3,961% .
 98,058 
c) Risolvendo l’equazione PV = C (1 + y )−t
ovvero 98,058 = 100(1 + y )−0,5 , dove (1 + y )−0,5
2
è un fattore di sconto semestrale, si ricava
 100 
y = 
 − 1 = 4% .
 98,058 
Sconto commerciale
Siano t il tempo, misurato in anni, 0 il corrente istante e d il tasso annuo di sconto
commerciale, vale a dire lo sconto annuo su un valore nominale pari a 1. Si supponga che un
credito C esigibile al tempo t sia venduto a una banca al tempo 0. Poiché lo sconto commerciale
cresce linearmente col tempo secondo l’equazione
D = Cdt
il valore attuale PV
PV = C − D = C − Cdt = C (1 − dt )
è l’ammontare pagato dalla banca al tempo 0. Pertanto, il valore attuale di C al tempo 0 è pari al
valore nominale C moltiplicato per il fattore di sconto
si deve avere t <
1
= (1 − dt ) ; affinché PV sia positivo,
f (t )
1
.
d
19
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
Esempio 8. Un neopensionato cede il proprio esercizio commerciale. L’acquirente emette,
tra l’altro, una cambiale pagherò avente il neopensionato quale beneficiario; si tratta di una
promessa di pagamento con valore nominale di €70.000 e con scadenza a 4 mesi e 15 giorni
da adesso. Per disporre immediatamente del proprio credito, il neopensionato fa scontare il
pagherò dalla propria banca, la quale applica un tasso annuo dell’8%. Si trovi l’ammontare
incassato dal neopensionato nell’ipotesi che ogni mese abbia 30 giorni.
Svolgimento. Si ha
15 
4
D = Cdt = 70.000 * 0,08 *  +
 = 70.000 * 0,08 * 0,375 = 2.100 €
 12 360 
PV = C − D = C (1 − dt ) = 70.000 − 2.100 = 70.000(1 − 0,08 * 0,375) = 67.900 €
OSSERVAZIONE. La cessione del credito è salvo buon fine; in altre parole, se l’emittente
della cambiale pagherò fosse insolvente e la cambiale pagherò rimanesse quindi insoluta, il
beneficiario, ossia il neopensionato, dovrebbe rifondere la banca. Per questa ragione, la banca
si premunirà al momento dello sconto, accertando se si possa concedere al neopensionato un
fido con cifra di castelletto non minore del valore nominale del credito. Lo sconto di pagherò è
operazione bancaria oggi poco frequente mentre lo sconto di cambiali tratte è caduto in
disuso.
1.2. Contratti e mercati finanziari
Il sistema finanziario di un’economia è composto dagli intermediari finanziari, dagli
investitori istituzionali, dai mercati finanziari e dalle autorità di vigilanza. Tra gli intermediari
finanziari figurano: le banche commerciali, di investimento e di affari, le banche cooperative e
le casse rurali, le società di intermediazione mobiliare, le società di credito al consumo, le
società di locazione finanziaria e di riscossione dei crediti. Tra gli investitori istituzionali
figurano: le compagnie di assicurazione, i fondi pensione, i gestori di patrimoni, i fondi comuni
di investimento, i fondi immobiliari, i fondi speculativi, i fondi di private equity e venture
capital. Tra le autorità di vigilanza italiane figurano: la Banca d’Italia, istituita nel 1893, la
CONSOB (acronimo di Commissione nazionale per le società e la borsa), istituita nel 1974,
l’IVASS (acronimo di Istituto per la vigilanza sulle assicurazioni) e la COVIP (acronimo di
Commissione di vigilanza sui fondi pensione).
Un sistema finanziario consente agli operatori di effettuare i propri pagamenti e ai fondi di
fluire dagli operatori in surplus di risparmio agli operatori in deficit di risparmio; più
precisamente, i fondi possono fluire lungo il canale indiretto che passa attraverso gli
20
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
intermediari finanziari e gli investitori istituzionali o lungo il canale diretto che passa
attraverso i mercati finanziari. In entrambi i canali, al flusso dei fondi si accompagnano la
stipula di contratti finanziari o la negoziazione di titoli; in entrambi i casi, i datori di fondi
assumono dei rischi di mercato e di credito. Certi specifici rischi di mercato o di credito
possono essere mitigati o coperti stipulando degli opportuni contratti derivati; in altre parole,
essi possono essere trasferiti alle controparti dei contratti derivati. Le famiglie sono nel
complesso operatori in surplus di risparmio, ossia datori netti di fondi, mentre le imprese sono
nel complesso operatori in deficit di risparmio, ossia prenditori netti di fondi.
L’amministrazione pubblica è un operatore in deficit di riparmio ogni volta che il suo bilancio è
in deficit, perché le spese superano le imposte e le tasse. Il resto del mondo può essere nel
complesso sia un datore netto di fondi sia un prenditore netto di fondi. I processi testé
menzionati avvengono grazie al supporto di sofisticate reti telematiche. Infatti, una miriade di
pagamenti e una miriade di negoziazioni vengono quotidianamente eseguite nei rispettivi
circuiti.
Quando il finanziamento è diretto, le imprese raccolgono capitale di debito e/o mezzi propri,
in quanto le loro obbligazioni e/o azioni sono sottoscritte all’emissione. Le obbligazioni e le
azioni sono emesse nei mercati primari e negoziate nei mercati secondari. I secondi possono
essere costituiti da una borsa valori, o da un mercato over the counter, o da un sistema
multilaterale di negoziazione.
Una borsa valori come NYSE (acronimo di New York Stock Exchange), LSE (acronimo di
London Stock Exchange) e BI (acronimo di Borsa italiana) è un mercato regolamentato,
autorizzato e controllato dalla competente autorità di vigilanza come la statunitense SEC
(acronimo di Securities and exchange commissions), la britannica FSA (acronimo di Financial
services authority) e la nostra CONSOB. Le azioni quotate sono più liquide e più volatili di
quelle non quotate. Ogni società quotata soddisfa specifici requisiti; i suoi bilanci annuali sono
certificati da una società di revisione contabile. Il sistema di negoziazione di una borsa valori
può basarsi sugli ordini o sulle quotazioni denaro-lettera. Nel primo sistema di negoziazione,
gli ordini di acquisto e di vendita dei titoli sono accoppiati elettronicamente; nel secondo
sistema di negoziazione, gli specialisti dei diversi titoli quotati propongono le proprie
quotazioni denaro-lettera e accoppiano gli ordini. Un ordine al meglio è eseguito al miglior
prezzo possibile mentre un ordine con limite di prezzo è eseguito al prezzo richiesto o a uno
migliore. L’esecuzione di un ordine è garantita solo dagli specialisti, i quali sono pronti a
comprare (vendere) titoli al prezzo denaro (lettera) per ovviare a squilibri tra gli ordini di
acquisto e gli ordini di vendita. Una cassa di compensazione e garanzia garantisce il
21
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
regolamento di tutte le negoziazioni. Entrambi i sistemi di negoziazione sono impiegati da
NYSE e LSE.
Un mercato over the counter, come il NASDAQ (acronimo di National Association of
Securities Dealers Automatic Quotations) in passato, i mercati dei cambi, larga parte del
mercato delle eurobbligazioni e del mercato delle obbligazioni USA, non ha una sede ed è
composto da intermediari connessi da telefoni e da reti di calcolatori. Di solito le conversazioni
telefoniche sono registrate e riscoltate nel caso di un conflitto sulle condizioni concordate.
Ciascuna negoziazione avviene direttamente tra due intermediari, un broker che opera per conto
terzi e un dealer che opera in conto proprio; tuttavia, c’è un piccolo rischio che il suo
regolamento non abbia luogo.
Un sistema multilaterale di negoziazione è un sistema di negoziazione elettronico, privato,
autorizzato dalla competente autorità di vigilanza e accessibile tramite Internet; il registro
elettronico degli ordini con limite di prezzo pendenti è generalmente a disposizione di tutti gli
utenti.
OSSERVAZIONE. NYSE (LSE) è la più grande e la più importante borsa valori americana
(europea). NYSE si fuse con Euronext nel 2007 mentre LSE si fuse con BI nello stesso anno. Il
gruppo Euronext, fondato nel 2000, è costituito dalle borse valori di Amsterdam, Bruxelles,
Parigi e Lisbona (dal 2002) come pure dal London International Financial Futures and Options
Exchange (dal 2002).
Sono mercati finanziari: i mercati monetari, i mercati dei capitali, i mercati dei contratti
derivati, i mercati dei cambi e i mercati delle merci. I contratti finanziari di breve termine, vale
a dire con durata originaria non maggiore di 1 anno, sono negoziati in un mercato monetario.
Esse includono: i buoni ordinari del Tesoro italiano (si vedano gli esercizi 4 e 5), i pronti contro
termine (si veda l’esercizio 2), i certificati di deposito (si veda l’esercizio 3), le accettazioni
bancarie, le cambiali finanziarie come pure i depositi e i prestiti interbancari, il Libor e lo
Euribor (si veda l’esercizio 7) essendo i principali tassi interbancari lettera. Ciascun mercato
dei capitali è diviso in 2 segmenti: il mercato obbligazionario, detto anche del reddito fisso, e il
mercato azionario. Le obbligazioni con durata all’emissione maggiore di 1 anno sono negoziate
nel primo segmento mentre le azioni sono negoziate nel secondo segmento.
I titoli di Stato italiani sono emessi attraverso delle periodiche aste elettroniche tenute
dalla Banca d’Italia e sono quotati su BI. Le obbligazioni societarie sono invece collocate
pubblicamente o privatamente.
22
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
Un’offerta pubblica può essere condotta da un consorzio di banche d’affari, banche di
investimento, banche universali; come spiegato in Forestieri (2007, cap. 8), la banca
coordinatrice organizza il consorzio (per esempio, nei 7-10 giorni successivi al ricevimento del
mandato), tiene il registro della domanda totale e opera insieme alla società emittente per stilare
il prospetto informativo e determinare il prezzo di offerta (per esempio, in 5 ulteriori giorni
lavorativi). Il prospetto informativo fornisce informazioni accurate ma ridondanti sulle
prospettive della società emittente e sui termini dell’operazione; esso deve essere approvato
dalla competente autorità di vigilanza, vale a dire la CONSOB in Italia. La stima iniziale del
prezzo di offerta viene rivista via via che il registro viene aggiornato. Tale prezzo viene
applicato nel mercato primario (per esempio, per 15 ulteriori giorni). Le banche collocatrici
possono effettuare un collocamento a fermo, un collocamento con assunzione di garanzia o
un collocamento semplice. Nel primo caso esse comprano a sconto dall’emittente tutte le
obbligazioni di nuova emissione e cercano di rivenderle al prezzo di offerta. Nel secondo caso,
esse si impegnano a comprare le obbligazioni non sottoscritte. Ad ogni modo, poiché
l’emittente è di solito una società importante con un buon merito di credito, esse sono esposte al
rischio di collocamento, vale a dire di una perdita dovuta a un’insufficiente domanda per le
obbligazioni societarie al prezzo di offerta. Nel terzo caso, le banche collocatrici non si
assumono il rischio di collocamento, in quanto agiscono da mediatori, limitandosi a fare del
loro meglio per vendere l’intera nuova emissione al prezzo di offerta. L’emittente retrocede alle
banche il margine lordo, per esempio l’1% del capitale raccolto; esse beneficiano così di una
considerevole remunerazione per le loro azioni di marketing diretto e indiretto. Il margine lordo
comprende 3 componenti: le commissioni di gestione incassate dalle banche coordinatrici del
consorzio, le commissioni di sottoscrizione incassate dalle banche che prestano la garanzia, le
commissioni di collocamento incassate dalle banche che collocano le obbligazioni societarie.
Una stessa banca può svolgere più ruoli. Un’offerta pubblica viene tipicamente quotata in una
borsa valori e una della banche collocatrici ne diviene di solito uno specialista.
I collocamenti privati, per esempio di prestiti obbligazionari di più piccola taglia, sono più
semplici, più veloci e meno costosi, i potenziali sottoscrittori, quali banche, compagnie di
assicurazione, fondi pensione e fondi comuni di investimento, essendo direttamente contattati
da un intermediario finanziario. La maggior parte delle obbligazioni societarie sono collocate
privatamente; anche le eurobbligazioni, il cui valore di mercato è di almeno $100 milioni, sono
collocate privatamente da sindacati di banche internazionali. Le eurobbligazioni sono di solito
titoli al portatore.
23
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
&——&——&
Esercizio 1. All’inizio di un certo anno, un capitale di €5.000 è dato in prestito al tasso
annuo del 4% nel regime dell’
a) interesse semplice;
b) interesse composto secondo la convenzione esponenziale;
c) interesse composto secondo la convenzione lineare.
Quanto tempo occorre affinché il montante importi €7.000?
Soluzione. Il tempo t sia misurato in anni e ogni mese abbia 30 giorni.
a) Poiché dall’equazione 7.000 = 5.000(1 + 0,04t ) si trae
 7.000  1
t =
− 1
= 10 anni
 5.000  0,04
il periodo incognito nel regime dell’interesse semplice è uguale a 10 anni.
b) Poiché dall’equazione 7.000 = 5.000(1 + 0,04)t si trae
t=
log(7.000 / 5.000)
= 8,579 anni = 8 anni + 0,579 * 360 giorni = 8 anni e 209 giorni
log(1,04)
approssimando per eccesso, il periodo incognito nel regime dell’interesse composto
secondo la convenzione esponenziale è uguale a 8 anni, 6 mesi e almeno 29 giorni.
c) Poiché dall’equazione 7.000 = 5.000 *1,048 (1 + 0,04t ) = 6.842,85(1 + 0,04t ) si trae
 7.000
 1
t = 
− 1
= 0,574 anni = 0,574 * 360 giorni = 207 giorni
 6.842,85  0,04
approssimando per eccesso, il periodo incognito nel regime dell’interesse composto
secondo la convenzione lineare è uguale a 8 anni, 6 mesi e almeno 27 giorni.
Esercizio 2. Un pronti contro termine è un contratto finanziario che prevede una vendita a
pronti di titoli e un loro contemporaneo riacquisto a termine; si tratta di solito di obbligazioni
che hanno un soddisfacente merito di credito e che non staccano una cedola tra i 2 regolamenti.
Il venditore si impegna a riacquistare le stesse obbligazioni dal compratore a una precisa data
futura, per esempio dopo 1-6 mesi, e a un preciso prezzo tel quel. Il rischio di credito insito nel
contratto è modesto; in caso di insolvenza del prestatore di titoli, il prestatore di denaro
disporrà dei titoli obbligazionari; in caso di insolvenza del prestatore di denaro, il prestatore di
titoli non restituirà il denaro preso in prestito. I pronti contro termine sono stipulati da società e
24
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
da intermediari finanziari per prendere o dare denaro in prestito a breve termine; inoltre, sono
utilizzati dalle Banche centrali per influenzare i tassi di interesse.
Si consideri la seguente negoziazione: una banca italiana venda a un cliente delle
obbligazioni per €80.000, la data di regolamento essendo 3 giorni lavorativi dopo la data di
negoziazione; la banca si impegni contestualmente a riacquistare le obbligazioni 91 giorni dopo
il regolamento per €80.875, anche nel caso di insolvenza dell’emittente. L’interesse lordo
ammonta dunque a €875; poiché è tassato alla fonte con aliquota fiscale del 20%, l’interesse
netto e il montante netto ammontano a €700 e a €80.700. Si trovi il tasso annuo netto di
interesse implicito nell’operazione monetaria; si usino l’interesse semplice e la regola
effettivi/365 per il calcolo dei giorni, come avviene in Italia nel caso dei pronti contro termine
su obbligazioni.
Soluzione. Il tempo t sia misurato in anni e i rappresenti il tasso annuo di interesse
incognito. Siano C = 80.000 e FV = 80.700 . Poiché l’interesse semplice comporta che
FV
91
= 1+ i
, si ha
C
365
i=
365  FV − C  365 I
= 3,510%

=
91  C  91 C
In altre parole, il tasso netto di interesse semplice è del 3,510% annuo.
OSSERVAZIONE. La Banca centrale europea fissa 3+1 tassi di interesse chiave per l’area
€, applicati ai depositi e ai prestiti per una notte, i quali sono operazioni attivabili su
iniziativa delle controparti, come pure alle operazioni di rifinanziamento principale (a più
lungo termine), le quali sono operazioni di mercato aperto. Le operazioni attivabili su
iniziativa delle controparti e le operazioni di rifinanziamento sono svolte dalla BCE per
gestire la liquidità e adeguare i tassi di interesse a breve termine alla propria politica
monetaria, se la liquidità è scarsa (abbondante), i tassi di interesse a breve termine vengono
spinti verso l’alto (il basso) a causa di uno squilibrio tra domanda e offerta nel mercato
monetario. L’obiettivo principe della BCE e della sua politica monetaria è la stabilità dei
prezzi, definita come un tasso di inflazione annuo non maggiore del, ma prossimo al 2%, nel
medio termine e nell’area €. E’ improbabile che la politica monetaria eserciti un effetto diretto
sui tassi di interesse a medio e lungo termine, i quali influenzano le decisioni di investimento da
parte delle imprese e le decisioni di acquisto di case e altri beni durevoli da parte delle famiglie.
Le banche centrali nazionali sono pronte ad accettare depositi per una notte dal e a fornire
prestiti per una notte al sistema bancario ai tassi di interesse menzionati più sopra. I prestiti
25
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
sono effettuabili contro opportune garanzie collaterali; il sistema bancario comprende tutte le
istituzioni obbligate a detenere riserve presso le proprie banche centrali nazionali. I 2 tassi per
una notte definiscono un corridoio per il tasso di rifinanziamento principale; sono usualmente i
peggiori tassi possibili nell’area € e fungono pure da pavimento e da tetto per il tasso
interbancario per una notte (espresso dallo Eonia, acronimo di Euro OverNight Index Average,
un tasso annuo di interesse semplice dell’area € applicato secondo la regola effettivi/360 per il
calcolo dei giorni; più precisamente ogni Eonia è una media pesata, calcolata dalla BCE, dei
tassi per una notte effettivamente applicati a tutti i prestiti interbancari senza garanzia concessi
da un campione di più di 40 banche).
Gli altri tassi di interesse sono applicati a periodiche operazioni di mercato aperto, iniziate
dalla BCE e svolte attraverso aste standard, tenute ogni settimana (mese) per i pronti contro
termine (o i prestiti con garanzia) aventi durata settimanale (trimestrale). Sebbene le offerte
siano sottoposte alle banche centrali nazionali, le decisioni di riparto sono prese dalla BCE; in
un’asta a tasso e quantità fissi tutte le offerte sono soddisfatte pro-rata, mentre in un’asta a
tasso variabile solo le migliori offerte sono soddisfatte ai loro corrispondenti tassi. Ogni volta
che si tiene un’asta, le banche centrali nazionali prestano denaro al sistema bancario per una
settimana (un mese); più precisamente, esse comprano a pronti e rivendono a termine un
appropriata quantità di opportuni titoli, il cui valore può essere maggiore o minore
dell’ammontare in scadenza. Il sistema bancario riceve liquidità dalla BCE soprattutto
attraverso le operazioni di rifinanziamento principale; tuttavia, la BCE può pure condurre
operazioni di mercato aperto ad hoc o più strutturate, utilizzando anche altri strumenti
finanziari, quali gli swap valutari, o effettuando la compravendita a pronti di titoli.
Tuttavia, per la gestione giornaliera della liquidità le banche si avvalgono soprattutto del
mercato interbancario, dando o prendendo in prestito importi non minori di 1 milione di €. Il
rischio di credito è mitigato mediante un sistema a 2 livelli, secondo cui le banche più grandi e
più conosciute operano tra loro oltre confine come pure con le banche più piccole nel loro
stesso paese.
Esercizio 3. Un certificato di deposito è un titolo negoziabile abbinato a un deposito
vincolato presso una banca. Il certificato di deposito emesso da una banca per un risparmiatore
prevedeva che un capitale di €100.000 si trasformasse in un montante lordo di €140.000 in un
periodo di 5 anni. Pertanto, l’interesse lordo ammontò a €40.000; poiché fu tassato alla fonte
con aliquota fiscale del 12,5%, l’interesse netto e il montante netto ammontarono a €35.000 e
26
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
€135.000. La banca affermò che il tasso annuo lordo (netto) di interesse era l’8% (il 7%). Quale
regime dell’interesse aveva impiegato?
Soluzione. Il tempo t sia misurato in anni e i rappresenti il tasso annuo di interesse
incognito. Siano C = 100.000 e FV = 140.000 oppure FV = 135.000 . Facendo riferimento al
primo (secondo) montante, si ottiene un tasso di interesse lordo (netto).
1
FV
5
 FV  5
= (1 + i ) e i = 
Nel regime dell’interesse composto si ha:
 − 1 = 6,961% (6,186%) .
C
 C 
Nel regime dell’interesse semplice si ha:
FV
1  FV

− 1 = 8% (7%) .
= 1 + 5i e i = 
5 C
C

Pertanto, vige il regime dell’interesse semplice, che favorisce chi prende denaro in prestito
e quindi la banca in questo caso. La durata e gli importi sono fittizi, ma il fatto è realmente
accaduto (fonte: Basso, A., Pianca, P., Appunti di matematica finanziaria, Padova, CEDAM,
2002, pag. 131).
OSSERVAZIONE. Secondo il decreto legge 323 del 20/6/1996 (138 del 13/8/2011), la
ritenuta fiscale sugli interessi dei certificati di deposito è operata alla fonte con aliquota del
27% (20%), indipendentemente dalla loro durata.
Esercizio 4. Un risparmiatore sottoscriva, all’asta di emissione tenuta dalla Banca d’Italia
lunedì 12 gennaio 2009, dei buoni ordinari del Tesoro italiano 15/1-15/4/2009 per un valore
nominale di €10.000, pari a 10 volte il taglio minimo. Il prezzo percentuale di aggiudicazione
all’asta di tali obbligazioni senza cedola sia 99,587; la ritenuta fiscale è operata all’emissione
con aliquota del 12,50%; la commissione bancaria sia lo 0,10% del valore nominale. La regola
per il calcolo dei giorni è effettivi/360. Si trovino
a) l’esborso del risparmiatore;
b) i tassi annui lordo e netto di rendimento a scadenza, nel regime dell’interesse composto.
Soluzione. Il tempo t sia misurato in anni e y indichi il tasso annuo incognito di modo che
(1 + y )−365 / 360
è un fattore di sconto annuo.
a) Il prezzo percentuale di sottoscrizione è
99,587 + (100 − 99,587) * 0,125 + 100 * 0,0010 = 99,739
di modo che l’esborso del risparmiatore è di 10.000 *
99,739
= 9.973,90 € .
100
27
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
b) Poiché il 15 gennaio 2009 cade di giovedì e il 15 aprile di mercoledì, dall’inizio al termine
dell’operazione monetaria intercorrono effettivamente 16 + 28 + 31 + 15 = 90 giorni. Si ha
99,587 = 100(1 + y )−90 / 360 e 99,739 = 100(1 + y )−90 / 360
e quindi il tasso lordo y = 1,669% e il tasso netto y = 1,051% . Affinché l’1,051% sia pure
il tasso annuo netto di rendimento effettivo, bisogna poter reinvestire, alle condizioni
d’asta e per altri 9 mesi, il montante di €10.000, disponibile dopo 3 mesi.
OSSERVAZIONE. Qualora al risparmiatore occorresse del denaro prima della scadenza
dei suoi BOT, li potrebbe rivendere nel mercato secondario. Il regolamento di una
sottoscrizione all’asta di BOT (di una loro successiva rivendita nel mercato secondario) avviene
con 3 (2) giorni lavorativi di differimento. Il regolamento di una transazione su CTZ avviene
comunque con 3 giorni lavorativi di differimento; la regola per il calcolo dei giorni è
effettivi/365.
I BOT (CTZ) sono emessi con durata di 3, 6 e 12 mesi (24 mesi) attraverso aste elettroniche
periodicamente tenute dalla Banca d’Italia, competitive (marginali) per i BOT (CTZ). Sono
comunque accolte le migliori offerte per un’obbligazione senza cedola presentate dagli
intermediari finanziari; in un’asta competitiva ogni offerta aggiudicataria è soddisfatta al
rispettivo prezzo proposto, mentre in un’asta marginale tutte le offerte aggiudicatarie sono
soddisfatte al prezzo marginale, quello dell’ultima offerta accolta. Tuttavia, i risparmiatori
sottoscrivono i loro BOT al prezzo medio ponderato d’asta, le commissioni massime dei BOT a
3 / 6 / 12 mesi essendo pari allo 0,10% / 0,20% / 0,30% del valore nominale. Non ci sono
commissioni di sottoscrizione per i CTZ, in quanto esse sono retrocesse dal Tesoro italiano agli
intermediari finanziari aggiudicatari al momento della sottoscrizione. La ritenuta fiscale è
operata al rimborso dei CTZ con aliquota del 12,50%.
Esercizio 5. Un investitore sottoscriva, all’asta di emissione tenuta dalla Banca d’Italia
mercoledì 27 dicembre 2006, dei buoni ordinari del Tesoro italiano 2/1-29/6/2007 per un valore
nominale di €25.000, pari a 25 volte il taglio minimo. Il prezzo percentuale di aggiudicazione
all’asta sia 98,221; la ritenuta fiscale è operata all’emissione con aliquota del 12,50%; la
commissione bancaria sia lo 0,20% del valore nominale. La regola per il calcolo dei giorni è
effettivi/360; l’investitore abbia optato per il regime del risparmio amministrato.
Si trovino
a) l’esborso dell’investitore;
b) il tasso annuo netto di rendimento a scadenza, nel regime dell’interesse semplice.
28
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
L’investitore rivenda i suoi BOT martedì 27 marzo 2007 al prezzo percentuale di 99,244; la
commissione bancaria sia ancora lo 0,20% del valore nominale. Si trovino
c) l’incasso dell’investitore;
d) il tasso annuo netto di rendimento effettivo, nel regime dell’interesse semplice.
Soluzione. Il tempo t sia misurato in anni e y indichi un tasso annuo incognito.
a) Il prezzo percentuale di sottoscrizione è
98,221 + (100 − 98,221) * 0,125 + 100 * 0,0020 = 98,643
di modo che l’esborso del risparmiatore è di 25.000 *
98,643
= 24.660,75 € .
100
b) Poiché il 2 gennaio 2007 cade di martedì e il 29 giugno di venerdì, dall’emissione al
rimborso dei BOT semestrali intercorrono effettivamente 29 + 28 + 31 + 30 + 31 + 29 = 178
giorni. Si ha
178 

98,643 = 1001 + y

360 

−1
e quindi il tasso annuo netto y = 2,782% .
c) Il regolamento della rivendita dei BOT avviene giovedì 29 marzo, 86 giorni dopo la loro
emissione, al prezzo percentuale di
99,244 + (100 − 98,221) * 0,125 *
178 − 86
− 100 * 0,0020 = 99,159
178
il secondo termine essendo il rateo dell’imposta sostitutiva a carico dell’acquirente.
L’incasso dell’investitore è dunque di
25.000 *
99,159
= 24.789,75 € ; ad esso si
100
accompagna una minusvalenza pari a
(99,244 − 0,20) − (98,221 + 0,20) − (100 − 98,221) * 86
25.000
178 = −59,13 €
100
l’ultimo termine del numeratore essendo il rateo di scarto di emissione maturato negli 86
giorni di detenzione.
d) Facendo astrazione dalla minusvalenza, si ha
86 

98,643 = 99,1591 + y

360 

−1
e quindi il tasso annuo netto y = 2,190% . Per non incorrere in una minusvalenza,
l’investitore avrebbe dovuto rivendere i suoi BOT al prezzo percentuale di 99,481; in tale
caso, il tasso annuo netto di rendimento effettivo sarebbe stato pari al 3,195%.
29
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
Esercizio 6. Un investitore acquisti, nel mercato secondario lunedì 14 febbraio 2005, dei
CTZ 30/7/2004-31/7/2006 aventi prezzo di emissione pari a 94,840. Il valore nominale sia di
€50.000, pari a 50 volte il taglio minimo, mentre il prezzo percentuale sia 96,735, già
aumentato della commissione bancaria; la ritenuta fiscale è operata al rimborso con aliquota del
12,50%. L’investitore abbia optato per il regime del risparmio amministrato. Si trovino
a) l’esborso dell’investitore;
b) il tasso annuo netto di rendimento a scadenza, nel regime dell’interesse composto.
Soluzione. Il tempo t sia misurato in anni e y indichi un tasso annuo incognito.
a) Poiché il 30 luglio 2004 cade di venerdì e il 31 luglio 2006 di lunedì, dall’emissione al
rimborso dei CTZ semestrali intercorrono effettivamente 731 giorni. All’emissione si ha
94,840 = 100(1 + y )−731 / 365
e quindi il tasso annuo lordo di rendimento a scadenza y = 2,681% .
Il regolamento dell’ acquisto di CTZ avviene giovedì 17 febbraio 2005, 202 giorni dopo la
loro emissione, al prezzo percentuale di
(
)
96,735 − 94,840 1,02681202 / 365 − 1 0,125 = 96,560
il secondo termine essendo il rateo dell’imposta sostitutiva a carico del venditore. L’esborso
dell’investitore è dunque di 50.000 *
96,560
= 48.280,00 € .
100
b) Qualora l’investitore detenga i CTZ sino alla loro scadenza, il prezzo percentuale di
rimborso sarà
100 − (100 − 94,840)0,125 = 99,355
accompagnato da una minusvalenza percentuale pari a
(
)
100 − 96,735 − 100 − 94,840 *1,02681202 / 365 = −0,496
il terzo termine essendo il rateo di scarto di emissione maturato nei 529 giorni di detenzione.
Facendo astrazione dalla minusvalenza, si ha
99,355 = 96,560(1 + y )529 / 365
e quindi il tasso annuo netto di rendimento a scadenza y = 1,988% .
Esercizio 7. Gli Euribor (acronimo di Euro interbank offer rate) sono tassi annui di
interesse semplice proposti nell’area € con riguardo a prestiti interbancari senza garanzia, di
durata pari a 1, 2, 3 settimane o 1, 2, ... , 12 mesi; essi prevedono 2 giorni lavorativi di
differimento e la regola effettivi/360 per il calcolo dei giorni. Lo Euribor per un prestito
30
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
interbancario senza garanzia di durata mensile proposto lunedì 12 gennaio 2004 fu del 2,082%
(fonte: il Sole 24 Ore, 13/1/2004). Si trovino
a) la data di rimborso e la durata del prestito (si tiene conto dell’ultimo giorno ma non del
primo);
b) il fattore di montante mensile e l’equivalente tasso di interesse composto.
Lo stesso capitale fu nuovamente prestato a un’altra banca alla prima data utile. Si trovi
c) la data di decorrenza del secondo prestito interbancario senza garanzia.
Soluzione.
a) Il primo prestito in esame iniziò mercoledì 14 gennaio; poiché il 14 febbraio 2004 è sabato,
esso terminò lunedì 16 febbraio, durando effettivamente 17 + 16 = 33 giorni.
b) Il fattore di montante mensile vale
1 + 0,02082 *
33
= 1,00191
360
Sia i il tasso annuo di interesse composto equivalente allo Euribor per un’operazione in
essere dal 14/1/2004 al 16/2/2004; esso soddisfa l’equazione
1 + 0,02082 *
33
= (1 + i )33 / 360
360
360 / 33
33 

dalla quale si trae i = 1 + 0,02082*

360 

− 1 = 2 ,102% .
c) Il secondo prestito in esame cominciò lunedì 16 febbraio; il tasso di interesse applicato fu
l’opportuno Euribor proposto giovedì 12 febbraio 2004.
1.3. Tassi equivalenti di interesse composto
Siano t il tempo misurato in anni e 0 il corrente istante. Si supponga che un capitale C sia
prestato per uno spazio di tempo [ 0;t ] e che l’interesse sia composto m volte all’anno al tasso
j
periodale im = m , essendo il tasso contrattuale j m un tasso annuo nominale convertibile
m
m volte all’anno. Si consideri il caso di un conto corrente; sebbene il tasso contrattuale j m sia
j
un tasso annuo, l’interesse è composto a un minore tasso periodale im = m ; m = 2 (m = 4)
m
implica che l’interesse sia composto semestralmente (trimestralmente) al tasso semestrale
j 
j 
(trimestrale) i2 = 2  i4 = 4  .
2 
4 
31
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
Si indichi con i il tasso annuo effettivo di interesse composto; esso è equivalente a im , in
quanto genera lo stesso interesse (e quindi lo stesso montante) nel corso di un anno (e quindi a
qualsiasi scadenza) senza composizioni intermedie. Poiché secondo la convenzione
esponenziale il montante FV di un capitale C è dopo un anno
j 

FV = C 1 + m 
m 

m
= C (1 + im )m
con m composizioni per anno, come pure
FV = C (1 + i )
con un’unica composizione per anno, si ottiene la seguente formula di equivalenza tra tassi
nominali e effettivi di interesse
m
j 

m
1 + m  = (1 + im ) = 1 + i
m

essendo Ci l’interesse complessivamente maturato nel corso del primo anno.
Esempio 9. Un conto corrente è remunerato al tasso annuo nominale del 10% convertibile
semestralmente. Si ricavino a) il tasso annuo effettivo di interesse; b) l’interesse maturato nel
corso del primo anno su un deposito di €1.000. Si supponga che la composizione dell’interesse
divenga trimestrale senza alcun cambiamento del tasso annuo effettivo di interesse. Si ricavi c)
il nuovo tasso nominale di interesse.
Svolgimento.
2
j 

a) Si ha j 2 = 10% e i = 1 + 2  − 1 = 1,05 2 − 1 = 10,25% .
2 

b) L’interesse maturato nel corso del primo anno su un deposito di €1.000 è
1.000i = 1.000 * 0,1025 = 102,5 € .
(
)
1
1


j
c) Si ha 1 + 4 = (1 + i ) 4 e quindi j4 = 4 (1 + i )4 − 1 = 4 1,10250, 25 − 1 = 9,878% .
4


Per ogni dato i si può accertare che
[
]
j2 = 2 (1 + i )1 / 2 − 1 < i , a causa del pagamento
dell’interesse sull’interesse, e che la successione { j m } decresce al crescere di m, avendo come
limite inferiore il tasso annuo nominale convertibile istantaneamente introdotto più sotto.
Pertanto, qualunque tasso annuo nominale è minore del corrispondente tasso annuo effettivo.
32
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
Consideriano ora il caso ideale in cui il tasso nominale sia convertibile istantaneamente e
l’interesse sia quindi composto istantaneamente. Si fa riferimento a questo caso, per esempio,
quando si devono apprezzare alcuni strumenti derivati. Si ha
(1 + i )1 / m − 1
(1 + i)t − 1
(1 + i )t ln (1 + i )
= lim
= lim
= ln(1 + i ) < i
1/ m
t
1
m → +∞
t →0
t →0
δ = lim jm = lim
m → +∞
dove δ è un tasso annuo nominale convertibile istantaneamente (o composto continuamente) e
e δt
è il corrispondente fattore di montante nell’intervallo di tempo [0; t ] .
Esempio 10. All’inizio di un certo anno €25.000 sono collocati in un ideale conto corrente,
dove l’interesse è composto continuamente. Il montante dopo 2,5 anni importa €26.917,40. Si
trovino
a) il tasso annuo effettivo di interesse;
b) il tasso annuo nominale convertibile istantaneamente.
Svolgimento.
Il
tempo
t
sia
misurato
in anni. Siano inoltre
C = 25.000 € ;
FV = 26.917,40 € ; t = 2,5 anni . Da FV = C (1 + i ) t = Ce δt consegue che
1/ t
 FV 
a) i = 

 C 
− 1 = 3% ;
b) δ = ln (1 + i ) = 2,956% .
Si osservi che δ < i come affermato più sopra.
Principio di scindibilità
Siano t il tempo misurato in opportune unità e 0 il corrente istante. Si indichi con f (t ) un
fattore di montante che dipende solo dalla durata t dell’operazione finanziaria, invece che dalle
sue date iniziale e finale (per esempio, le date di decorrenza e di scadenza di un prestito
interbancario). Si consideri il seguente diagramma
0
t
t +τ
e si ricordi che f (t + τ ) è il montante al tempo t + τ di un investimento di 1 nell’intervallo
[0;t + τ ]
mentre f (t ) f (τ ) è il montante al tempo t + τ di un investimento di 1 nell’intervallo
[0;t ] seguito da un reinvestimento dell’incasso nell’intervallo [t; t + τ ] .
33
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
Definizione. Il fattore di montante f (t ) è scindibile se
f (t ) f (τ ) = f (t + τ ) per qualsiasi t ,τ ≥ 0
vale a dire se il montante non è influenzato dalla politica di investimento.
Sia i un tasso periodico di interesse semplice (o composto). Si ha
•
(1 + it )(1 + iτ ) = 1 + i ( t + τ ) + ( it )( iτ ) ≠ 1 + i ( t + τ )
•
(1 + i )t (1 + i )τ
t +τ
= (1 + i )
nel regime dell’interesse semplice
nel regime dell’interesse composto
Pertanto, il fattore di montante f (t ) = 1 + it e il regime dell’interesse semplice non sono
scindibili mentre il fattore di montante f (t ) = (1 + i ) e il regime dell’interesse composto sono
t
scindibili.
Proposizione. Un fattore di montante derivabile f (t ) è scindibile sse (se e solo se) esso è
tale che f (t ) = (1 + i ) , vale a dire sse l’interesse è composto.
t
DIMOSTRAZIONE. Si ha ln f (t ) + ln f (τ ) = ln f (t + τ ) e quindi l’equazione funzionale di
Cauchy
g (t ) + g (τ ) = g (t + τ ) in virtù della sostituzione
g (t ) = ln f (t ) . Per
t =τ = 0
l’equazione di Cauchy diviene g (0 ) + g (0 ) = g (0 ) e quindi g (0 ) = 0 . Derivando l’equazione di
Cauchy rispetto a t si ottiene
dg (t ) dg (t + τ )
dg (t )
=
di modo che
= δ . Pertanto, si ha
dt
dt
dt
g (t ) = δt , in quanto solo una linea retta con intercetta nulla ha derivata costante e è tale che
g (0 ) = 0 . Infine, ln f (t ) = g (t ) = δt equivale a f (t ) = eδt , vale a dire a un fattore di montante
nel regime dell’interesse composto continuamente al tasso nominale δ
convertibile
istantaneamente.
Se f (t ) è scindibile, montanti (e valori attuali) possono essere calcolati in diverse maniere.
Per esempio, poiché la definizione data più sopra può essere così riscritta
f (t ) =
f (t + τ )
f (τ )
per qualsiasi t ,τ ≥ 0
il montante di un investimento di 1 nell’intervallo [ 0; t ] può essere pure calcolato come il
valore attuale al tempo t del montante di un investimento di 1 nell’intervallo [ 0; t + τ ] . Questa
proprietà matematica risulta utile nel trattare le rendite; essa implica pure il principio di
34
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
equivalenza finanziaria delle rendite, secondo cui il confronto di più rendite sulla base dello
stesso tasso di interesse i conduce alle stessa graduatoria, qualunque sia l’istante di valutazione.
Nel caso di un investimento in obbligazioni, i tassi annui di rendimento a scadenza e di
rendimento effettivo sono coerenti tra loro solamente sotto l’ipotesi di scindibilità.
Esempio 11. Un investitore compra delle obbligazioni senza cedola per un valore nominale
di €5.000 e con scadenza dopo 12 mesi. Il tasso di rendimento a scadenza è il 3% annuo.
L’investitore rivende le obbligazioni 8 mesi più tardi, quando il tasso di rendimento a scadenza
è ancora il 3% annuo. Facendo astrazione da commissioni e tasse, si determini il tasso di
rendimento effettivo dell’operazione monetaria, qualora il tasso di rendimento a scadenza sia
espresso nel regime
a) dell’interesse semplice, come avviene nel caso dei buoni del Tesoro italiani;
b) dello sconto commerciale, come avviene nel caso dei buoni del Tesoro britannici e
statunitensi;
c) dell’interesse composto.
Svolgimento. Il tempo t sia misurato in anni e ogni mese abbia 30 giorni. Un’obbligazione
senza cedola quota sempre a sconto; il prezzo di mercato è dunque minore del valore nominale
e pari al suo valore attuale calcolato per mezzo del tasso di rendimento a scadenza.
a) L’appropriato fattore di sconto è
1
, dove 3% è il tasso annuo di rendimento a
1 + 0,03t
scadenza e t è la durata residua delle obbligazioni. Pertanto, il prezzo di acquisto è
5.000
= 4.854,37 , in quanto la durata residua è 1 anno, mentre il prezzo di rivendita è
1 + 0,03 *1
5.000
= 4.950,50 , in quanto la durata residua è 4 mesi. Il tasso annuo effettivo
1 + 0,03* 4 / 12
incognito soddisfa l’equazione
montante prezzo di rivendita 4.950,50
8
=
=
= 1 + r 12
capitale
prezzo di acquisto 4.854,37
dalla quale si trae r = 2,970% ; si tratta di un tasso di interesse semplice. Poichè l’interesse
semplice non è scindibile e l’investimento viene interrotto prima della scadenza, il tasso di
rendimento effettivo dell’operazione monetaria differisce dal tasso di rendimento a
scadenza, costante per ipotesi.
b) L’appropriato fattore di sconto è 1 − 0,03t , dove 3% è il tasso annuo di rendimento a
scadenza e t è la durata residua delle obbligazioni. Pertanto, il prezzo di acquisto è
35
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
4

5.000(1 − 0,03 *1) = 4.850 mentre il prezzo di rivendita è 5.0001 − 0,03 *  = 4.950 . Il tasso
12


annuo effettivo incognito soddisfa l’equazione
montante prezzo di rivendita 4.950
1
=
=
=
capitale
prezzo di acquisto 4.850 1 − d 8
12
dalla quale si trae d = 3,030% ; si tratta di un tasso di sconto commerciale. Poichè lo sconto
commerciale non è scindibile e l’investimento viene interrotto prima della scadenza, il tasso
di rendimento effettivo dell’operazione monetaria differisce dal tasso di rendimento a
scadenza, costante per ipotesi.
c) L’appropriato fattore di sconto è 1,03 −t , dove 3% è il tasso annuo di rendimento a scadenza e
t è la durata residua delle obbligazioni. Pertanto, il prezzo di acquisto è
5.000 *1,03 −1 = 4.854,37 mentre il prezzo di rivendita è 5.000*1,03 −4 / 12 = 4.950 ,98 . Il tasso
annuo effettivo incognito soddisfa l’equazione
8
montante prezzo di rivendita 4.950,98
=
=
= (1 + r )12
capitale
prezzo di acquisto 4.854,37
dalla quale si trae r = 3,000% ; si tratta di un tasso di interesse composto. Poichè l’interesse
composto è scindibile, il tasso di rendimento effettivo dell’operazione monetaria coincide
con il tasso di rendimento a scadenza, costante per ipotesi.
Fattori di montante in 2 variabili e esclusione dell’arbitraggio
Siano t il tempo misurato in opportune unità e 0 il corrente istante. Si indichi con f (0; t ) un
fattore di montante che dipende dalle date iniziale e finale dell’operazione finanziaria (per
esempio, le date di decorrenza e di scadenza di un prestito interbancario).
Definizione. Il fattore di montante in 2 variabili f (t; t + τ ) è scindibile se
f (0; t ) f (t ; t + τ ) = f (0; t + τ ) per qualsiasi t ,τ ≥ 0
vale a dire se il montante non è influenzato dalla politica di investimento.
Proposizione. Un fattore di montante differenziabile f (t; t + τ ) , funzione di 2 variabili, è
t

scindibile sse (se e solo se) esso è tale che f (0; t ) = exp δ (t )dt  , vale a dire sse l’interesse è


0

∫
composto continuamente al tasso nominale δ (t ) convertibile istantaneamente. La seguente
36
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
dimostrazione è alternativa a quella originale del matematico italiano Francesco Paolo Cantelli,
1875-1966, riportata in Cantelli (1914).
DIMOSTRAZIONE. Ponendo T = t + τ , si ha ln f (0; t ) + ln f (t; T ) = ln f (0;T ) e quindi
l’equazione funzionale di Cauchy g (0; t ) + g (t ;T ) = g (0; T ) per funzioni di 2 variabili in virtù
della sostituzione
g (0; t ) = ln f (0; t ) . Per
t =T =0
l’equazione di Cauchy diviene
g (0;0) + g (0;0 ) = g (0;0) e quindi g (0;0) = 0 . Derivando l’equazione di Cauchy rispetto a T si
ottiene
∂g (t; T ) ∂g (0; T )
∂g (t ;T )
∂g (0; T )
=
di modo che
= δ (T ) , in quanto
dipende solo da T.
∂T
∂T
∂T
∂T
T
t

Pertanto, si ha g (t ; T ) = ln f (t; T ) = δ (T )dT e quindi f (0; t ) = exp δ (t )dt  , vale a dire un


t
0

∫
∫
fattore di montante nel regime dell’interesse composto continuamente. La scindibiltà
dell’interesse composto può essere dimostrata nel più generale caso di misurabilità dei fattori
di montanti in 2 variabili.
Se l’andamento temporale di δ (t ) è noto, ci si trova in condizioni di certezza, in quanto
sono pure note le strutture a termine dei tassi di interesse, sia la corrente sia tutte le future. Più
precisamente,
t
∫ δ(t )dt
• i0;t = 0
è il corrente tasso a pronti di interesse per un’operazione finanziaria di
t
durata t;
t +τ
∫ δ(t )dt
• it ;t + τ = t
τ
è il tasso a pronti di interesse vigente al tempo t per un’operazione
finanziaria di durata τ ;
• se δ (t ) è funzione crescente / costante / decrescente del tempo t, pure i tassi a pronti di
interesse correnti i0;t (futuri it ;t +τ ) crescono / rimangono invariati / decrescono con la
durata t ( τ ).
Si consideri un ideale mercato finanziario nel quale
• non ci sono elementi di attrito come commissioni, forbici denaro-lettera, margini, vincoli
sulle vendite allo scoperto e tasse;
• ogni operatore massimizza il proprio profitto e non è in grado di esercitare alcuna
influenza sui prezzi dei titoli;
37
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
• qualsiasi ammontare di denaro può essere preso o dato in prestito;
• non si verificano insolvenze;
• i tassi di interesse, presenti e futuri, sono certi.
Si rammenta che l’arbitraggio è un insieme di simultanee operazioni finanziarie che non
richiede alcun esborso (netto) e procura o può procurare un qualche incasso. Si dimostra che
l’arbitraggio è escluso, sse
• esiste un’unica struttura a termine dei tassi di interesse;
• i valori attuali e futuri sono operatori lineari negli ammontari di denaro;
• i fattori di montante in 2 variabili sono scindibili.
Esercizio 8. Un certo conto corrente bancario è remunerato al tasso nominale di interesse
del
a) 3,8% annuo convertibile trimestralmente;
b) 4% annuo convertibile trimestralmente;
c) 3,8% annuo convertibile semestralmente.
Si trovino i corrispondenti tassi annui effettivi di interesse.
Soluzione. Si consideri la formula
j 

1 + i = 1 + m 
m 

m
dove j m è un tasso annuo nominale di interesse convertibile m volte all’anno e i è il
corrispondente tasso annuo effettivo di interesse.
a) Sostituendo m = 4 e j m = j 4 = 3,8% nella formula più sopra si ottiene i = 3,854% .
b) Sostituendo m = 4 e j m = j 4 = 4% nella formula più sopra si ottiene i = 4 ,060% .
c) Sostituendo m = 2 e j m = j 2 = 3,8% nella formula più sopra si ottiene i = 3,836% .
Esercizio 9. All’inizio di un certo anno €5.000 sono posti in un ideale conto corrente
remunerato al tasso nominale annuo del 4% convertibile trimestralmente.
a) Quanto tempo occorre affinché il montante importi €5.500?
b) Qual è l’interesse composto?
Soluzione. Il tempo t sia misurato in anni e ogni mese abbia 30 giorni.
(
a) Poiché dall’equazione 5.500 = 5.000 1,014
)
t
si trae
 5.500  1
t = ln
= 2 ,395 anni = 2 anni e 143 giorni

 5000  4 ln 1,01
38
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
approssimando per eccesso, il periodo incognito è uguale a 2 anni e almeno 143 giorni.
b) L’interesse composto ammonta a I = FV − C = 5.500 − 5.000 = 500 € .
Esercizio 10. All’inizio di un certo anno €100.000 sono collocati in un conto corrente
bancario che genera interesse al tasso nominale del 5% annuo convertibile semestralmente.
L’aliquota della ritenuta fiscale sull’interesse è del 20%.
a) Tenendo conto dell’onere fiscale, si determini il tasso (lordo) equivalente nel caso di
composizione annua dell’interesse.
b) Si supponga che né il tasso di interesse, né l’aliquota fiscale cambino nel tempo. Si trovi il
massimo prelievo costante che può essere effettuato alla fine di ogni semestre senza che il
conto corrente si esaurisca.
c) Supponendo che tale prelievo avvenga regolarmente, si determini il montante netto dopo 3
anni e 3 mesi (suggerimento: si usino la convenzione lineare e dunque la capitalizzazione
mista).
Soluzione.
a) Il tasso di interesse incognito i soddisfa l’equazione
2
 0,05

1 + 2 (1 − 0,2 ) = 1 + i(1 − 0,2 )


secondo la quale il fattore di montante annuo netto è lo stesso in entrambi i casi. La
soluzione dell’equazione è i = 5,05% .
b) Il massimo prelievo semestrale possibile è pari all’interesse semestrale netto
100.000
0,05
(1 − 0,2) = 100.000 * 2% = 2.000 €
2
essendo il tasso semestrale netto di interesse del 2%. Qualsiasi importo maggiore
svuoterebbe prima o poi il conto corrente.
c) Il montante 3 mesi dopo ogni prelievo, e quindi pure alla data richiesta, è
90 

100.0001 + 0,02
 = 101.000 €
180 

Tuttavia, l’interesse trimestrale netto, pari a €1.000, non è ancora stato composto.
OSSERVAZIONE. Secondo il DPR 600 del 29/9/1973 (art. 26, comma 2) e i successivi
aggiornamenti, ivi compreso il decreto legge 323 del 20/6/1996 (art. 7, comma 6), la ritenuta
fiscale sugli interessi dei depositi e conti correnti bancari o postali è operata alla fonte con
aliquota del 27% dalle banche o dalle Poste italiane. Essa è a titolo di imposta per le persone
39
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
fisiche, a titolo di acconto per gli imprenditori individuali e le società per azioni; per un elenco
più completo si rimanda a Mignarri (2012). Tale distinzione vale pure per i pronti contro
termine e i certificati di deposito introdotti più sopra. Secondo il decreto legge 138 del
13/8/2011 (art. 2, comma 6) l’aliquota della ritenuta fiscale testé menzionata è ridotta al 20%.
Esercizio 11. Un capitale di €200.000 è prestato da martedì 1 marzo a mercoledì 1 giugno al
tasso di interesse semplice del 2% annuo. Il montante netto è nuovamente prestato da
mercoledì 1 giugno al tasso di interesse semplice del 2,2% annuo. Vige la regola effettivi/365
per il calcolo dei giorni, mentre l’interesse è tassato alla fonte con aliquota fiscale del 20%.
Tenendo conto dell’onere fiscale, si trovino
a) la durata e la data di scadenza del secondo prestito alle quali corrisponde un montante netto
di €202.007,24;
b) l’interesse netto delle 2 operazioni monetarie in combinazione.
Soluzione. Il tempo sia misurato in giorni e t rappresenti la durata incognita del secondo
prestito. Siano C = 200.000 e FV2 = 202.007,24 .
a) Poiché il primo prestito dura effettivamente 30 + 30 + 31 + 1 = 92 giorni, il montante netto
alla sua scadenza vale
92 

FV1 = C 1 + 0,02(1 − 0,2)
= 200.806,58 €
365 

Il montante netto alla scadenza del secondo prestito soddisfa l’equazione
t 

FV2 = FV1 1 + 0,022(1 − 0,2)
365 

dalla quale si ricava
 FV

365
t =  2 − 1
= 124 giorni
 FV1
 0,022 * 0,8
Poiché il secondo prestito dura effettivamente 29 + 31 + 31 + 30 + 3 = 124 giorni, la sua
data di scadenza è lunedì 3 ottobre.
b) L’interesse netto delle 2 operazioni monetarie in combinazione vale FV2 − C = 2.007,24 € .
Esercizio 12. All’inizio di un certo anno, un capitale di €150.000 è prestato per 24 mesi al
tasso di interesse composto del 4% annuo. Alla scadenza, il montante è prestato per altri 12
mesi al tasso di interesse composto del 3,75% annuo. Si trovino
a) il montante e l’interesse delle 2 operazioni finanziarie in combinazione;
b) il tasso annuo effettivo di rendimento delle 2 operazioni finanziarie in combinazione.
40
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
Soluzione. Il tempo t sia misurato in anni e r rappresenti il tasso annuo effettivo di
rendimento incognito. Sia C = 150.000 .
a) Il montante dopo 24 mesi è
FV1 = C (1 + 0,04)2 = 162.240,00 €
mentre il montante dopo 36 mesi è
FV2 = FV1 (1 + 0,0375) = 168.324,00 €
Pertanto, l’interesse delle 2 operazioni finanziarie in combinazione è FV2 − C = 18.324,00 €
b) Il tasso annuo effettivo di rendimento r soddisfa l’equazione FV2 = C (1 + r )3 , dalla quale si
trae
1
 FV  3
r =  2  − 1 = 3,917%
 C 
Si tenga presente che il tasso annuo effettivo di rendimento r soddisfa pure l’equazione
(1 + 0,04)2 (1 + 0,0375) = (1 + r )3
che esprime l’equivalenza tra i fattori di montante.
Esercizio 13. Il tasso di interesse di un conto corrente bancario è il 2,75% annuo effettivo.
L’aliquota della ritenuta fiscale sull’interesse è del 20%. Il tasso annuo di inflazione è
l’1,188%. Supponendo che né il tasso di interesse, né l’aliquota fiscale, né il tasso di inflazione
cambino nel tempo, si determinino a) il tasso reale di interesse annuo dopo le imposte; b) il
montante reale di €10.000 dopo 7 anni.
Soluzione.
a) Poiché i montanti netti nominale e reale di €1 dopo 1 anno sono
1 + 0,0275(1 − 0,2 ) = 1,022 e
1,022
= 1,01
1,01188
il tasso reale di interesse annuo dopo le imposte vale 1,01 − 1 = 1% .
7
 1,022 
b) Il montante reale dopo 7 anni è 10.000
 = 10.000 *1,017 = 10.721,35 € .
1
,
01188


41
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
1.4. Rendite annue immediate: valori attuali, montanti e valori
Il tempo t sia misurato in anni. Si supponga che l’interesse sia composto (e le rate siano
scontate) al tasso i annuo effettivo. Una rendita annua immediata stipulata, emessa o
comprata al tempo 0 è una sequenza (o successione finita) di n rate annue posticipate, la prima
R1 > 0 con scadenza dopo 1 anno e la t-ima Rt > 0 con scadenza dopo t anni, alla fine del timo anno. Tale sequenza di rate positive è rappresentata dal seguente diagramma
0
R1
R2
1
2
L
Rn−1
Rn
n −1
n
Per agevolare la comprensione facciamo riferimento a un caso ideale ma significativo.
Un’obbligazione sicura, emessa al tempo 0, prometta di pagare le rate più sopra. Non ci siano
commissioni e tasse. Poiché l’emittente rispetterà sicuramente i propri impegni, il contratto
finanziario non comporta rischio di credito. E neppure comporta rischio di tasso, essendo i il
suo rendimento a scadenza in qualsiasi momento fino alla scadenza finale.
Un investitore compri l’obbligazione sicura all’emissione e la tenga sino alla scadenza; ogni
rata Rt sia versata in un conto corrente, remunerato al tasso annuo i di interesse composto.
Il valore attuale al tempo 0 di una rendita annua immediata è
n
∑ Rk (1 + i )−k = R1 (1 + i )−1 + R2 (1 + i )−2 + K + Rn (1 + i )−n
k =1
vale a dire la somma dei valori attuali di tutte le n rate come pure, nel nostro esempio, il prezzo
al tempo 0 del contratto finanziario sicuro.
Il montante al tempo n di una rendita annua immediata è
n
∑ Rk (1 + i )n−k = R1 (1 + i )n−1 + R2 (1 + i )n−2 + K + Rn
k =1
vale a dire la somma dei montanti di tutte le rate, come pure, nel nostro esempio, il saldo al
tempo n del conto corrente.
Il valore al tempo t di una rendita immediata con rate annue posticipate è
∑ Rk (1 + i )t −k + ∑ Rk (1 + i )−(k −t )
k ≤t
k >t
vale a dire il montante di tutte le rate in scadenza prima del e al tempo t più il valore attuale di
tutte le rate in scadenza dopo il tempo t. Il tempo t può assumere qualsiasi valore reale. Nel
42
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
nostro esempio i 2 termini sono il saldo al tempo t del conto corrente e il prezzo al tempo t del
contratto finanziario sicuro.
Rendite annue immediate: proprietà
Si osservi che:
(1) valore al tempo 0 = valore attuale al tempo 0
(2) valore al tempo n = montante al tempo n
(3) valore al tempo t = (1 + i ) ∗ valore al tempo 0
t
tenendo presente che tali equazioni valgono anche quando le rate hanno differenti segni.
L’equazione (3) è una conseguenza della scindibilità: prima si trasferiscono tutte le rate
all’indietro nel tempo e si calcola il loro valore (attuale) al tempo 0, poi si trasferisce questo
importo avanti nel tempo e si ottiene il loro valore al tempo t. Per n = 3 e t = 2 si ha
(R1 (1 + i )−1 + R2 (1 + i )−2 + R3 (1 + i)−3 )(1 + i )2 = R1 (1 + i) + R2 + R3 (1 + i )−1
Si supponga che diverse rendite annue (immediate) debbano essere confrontate sulla base
dello stesso tasso di interesse i. Il confronto può avvenire in un qualsiasi istante a causa
dell’equazione (3) e quindi della scindibilità. Se 2 rendite annue hanno lo stesso valore in un
particolare istante, esse sono finanziariamente equivalenti in qualsiasi istante; se una rendita
annua è la maggiore (minore) in valore in un particolare istante, essa è tale in qualsiasi istante.
OSSERVAZIONE. I regimi dell’interesse semplice e dello sconto commerciale non godono
di tale importante proprietà; in tali regimi, a 2 differenti istanti di valutazione possono
corrispondere 2 differenti graduatorie delle rendite annue in esame.
Rendite annue immediate con rate costanti
Si rammenta che il tempo t è misurato in anni e l’interesse viene composto al tasso i annuo
effettivo. Una rendita annua immediata costante stipulata, emessa o comprata al tempo 0 è
una sequenza (o successione finita) di n rate annue R, costanti e posticipate, la prima con
scadenza dopo 1 anno (e la t-ima con scadenza dopo t anni). Tale sequenza di rate positive è
rappresentata dal seguente diagramma
0
R
R
1
2
L
R
R
n −1
n
43
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
Il valore attuale al tempo 0 di una rendita annua immediata costante è
R (1 + i )

−1
+ (1 + i )
−2
+ K + (1 + i )
−n 

= Ran|i = R
1 − (1 + i )
−n
i
dove il simbolo an|i (a figurato n al tasso i) rappresenta il valore attuale di n rate annue
unitarie, calcolato un anno prima della scadenza della prima rata.
DIMOSTRAZIONE. Si supponga che un prestito di €1 debba essere rimborsato versando n
rate annue posticipate. Le prime n − 1 rate sono uguali a i, l’interesse per l’anno appena
terminato, mentre l’ultima rata è uguale a i + 1 , l’interesse per l’ultimo anno più il capitale.
Affinché i sia un tasso annuo di interesse composto, il prestito deve essere uguale al valore
attuale di tutte le rate: 1 = ia n|i + (1 + i )− n ; ciò implica che a n|i =
1 − (1 + i )− n
.
i
Il montante al tempo n di una rendita annua immediata costante è
(1 + i ) − 1
n −1
n−2
n
+ K + 1 = Rsn|i = Ran|i (1 + i ) = R
R (1 + i ) + (1 + i )


i
n
dove il simbolo sn|i rappresenta il montante di n rate unitarie annue, calcolato alla scadenza
dell’ultima rata. La seconda eguaglianza consegue dalla proprietà (3) delle rendite annue
immediate.
Il valore al tempo t di una rendita immediata costante è il montante di tutte le rate in
scadenza prima del e al tempo t più il valore attuale di tutte le rate in scadenza dopo il tempo t.


 (1 + i )t − (1 + i )− ( n −t ) 
 = R s +a
R (1 + i )t − k + (1 + i )− ( k −t )  = Ran|i (1 + i )t = R
t |i
n −t |i




i
k >t


 k ≤t

∑
∑
(
)
Il tempo t può assumere qualsiasi valore reale. Tuttavia, se t è un numero intero, il montante
Rst|i di t rate in scadenza prima del e al tempo t viene sommato al valore attuale Ra n−t|i di
n − t rate in scadenza dopo il tempo t. La prima eguaglianza consegue dalla proprietà (3) delle
rendite annue immediate.
Rendite periodiche immediate con rate costanti
Se il pagamento delle rate avviene m = 2 (o m = 4 , o m = 12 , o K ) volte all’anno, si usi il
semestre (o il trimestre, o il mese, o K ) quale unità di tempo e quindi il tasso periodale i m tale
che (1 + i m )m = 1 + i . Per esempio,
44
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
R
R
1 − (1 + i 2 )− n
è il valore attuale al tempo 0 di n rate semestrali, ciascuna pari a R;
i2
(1 + i4 )n − 1
i4
è il montante al tempo n di n rate trimestrali, ciascuna pari a R;
 (1 + i )t − (1 + i )− ( n −t )
12
12
R

i
12


 è il valore al tempo t di n rate mensili, ciascuna pari a R.


Rendite perpetue annue immediate
Si rammenta che il tempo t è misurato in anni e l’interesse viene composto al tasso i annuo
effettivo. Una rendita perpetua annua immediata costante emessa o comprata al tempo 0 è
una successione di infinite rate annue R, costanti e posticipate, la prima con scadenza dopo 1
anno (e la t-ima con scadenza dopo t anni). Tale successione di rate positive è rappresentata dal
seguente diagramma
0
R
R
1
2
R
t
L
L
Il valore attuale al tempo 0 di una rendita perpetua annua immediata costante è
R (1 + i )

−1
+ (1 + i )
−2
+ K + (1 + i )
−t
+ K = R

∞
∑ (1 + i )−t =Ra∞|i = R i
1
t =1
dove il simbolo a∞|i rappresenta il valore attuale di un numero infinito di rate annue unitarie,
calcolato un anno prima della scadenza della prima rata.
DIMOSTRAZIONE. Si ha: Ra∞|i = lim Ran|i = lim R
n→+∞
n→+∞
1 − (1 + i )
i
−n
1
=R .
i
Una rendita perpetua annua immediata geometrica emessa o comprata al tempo 0 è una
successione di infinite rate annue posticipate, crescenti secondo una progressione
t −1
geometrica, dove la prima rata R scade dopo 1 anno (e la t-ima rata R (1 + g )
scade dopo t
anni, essendo g il tasso annuo di crescita). Tale successione di rate positive è rappresentata dal
seguente diagramma
45
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
0
R
R (1 + g )
R (1 + g )
1
2
3
t −1
R (1 + g )
2
t
K
K
Il valore attuale al tempo 0 di una rendita perpetua annua immediata geometrica è
∞
 1
(1 + g )2
(1 + g )t −1 
(1 + g )t −1
1+ g
1
R
+
+
+K +
+K = R
=R
2
3
t
t
i−g
1 + i (1 + i )

(1 + i )
(1 + i )
t =1 (1 + i )


∑
dove i > g affinché la serie (geometrica) in esame converga. La seguente dimostrazione è
alternativa a quella originale del matematico svizzero Leonhard Euler, 1707-1783.
DIMOSTRAZIONE. Si ha
t −1
1 + g  1 + g  2  1 + g 3

1+ g 
PV1 = R 
+
 +
 +K + 
 + K =
 1+ i 
 1 + i  1 + i   1 + i 

 1

(1 + g )2
(1 + g )t −2
1+ g

= R (1 + g )
+
+
+K +
+ K = (1 + g ) PV0
1 + i (1 + i )2 (1 + i )3

(1 + i )t −1


dove PV0 ( PV1 ) indica il valore attuale delle rate future al tempo 0 (1). Iterando tale
procedimento, si ottiene agevolmente
PVt = (1 + g )t PV0
Inoltre, la proprietà (3) delle rendite annue immediate implica che
R + PV1 = (1 + i ) PV0
Si ha dunque: R + (1 + g ) PV0 = (1 + i ) PV0 e quindi, semplificando: PV0 =
R
, dove i > g
i−g
affinché il risultato sia positivo e la serie geometrica in esame converga. Infatti, se la
precedente diseguaglianza non fosse soddisfatta, il termine R
(1 + g )t −1
(1 + i )t
non sarebbe
infinitesimo per t che tende all’infinito.
Esercizio 14. Una rendita immediata costante comprende 5 rate annue di €100 ciascuna.
Sulla base di un tasso di interesse del 4% annuo effettivo, si trovino
a) il valore attuale della rendita all’emissione;
b) il montante della rendita subito dopo il versamento dell’ultima rata;
c) il valore della rendita 3 anni dopo l’emissione;
46
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
d) il valore della rendita 3 anni e 3 mesi dopo l’emissione.
Soluzione. Il tempo sia misurato in anni. Le sequenza delle rate è rappresentata dal seguente
diagramma
rata
tempo
0
100
100
100
100
100
1
2
3
4
5
a) Il valore attuale della rendita all’emissione è
PV0 = 100a5|4% = 100
1 − 1,04 −5
= 445,18 €
0,04
Si tenga presente che a5|4% è il valore attuale a un tasso del 4% di 5 rate unitarie
periodiche, calcolato un periodo prima della scadenza della prima rata.
b) L’ultima rata sarà versata al tempo 5. Il montante della rendita 5 anni dopo l’emissione è
FV5 = 100 s5|4% = 100
1,04 5 − 1
= 541,63 €
0,04
vale a dire il montante di 5 rate. Si tenga presente che s5|4% è il montante a un tasso del 4%
di 5 rate unitarie periodiche, calcolato alla scadenza dell’ultima rata.
c) Il valore della rendita 3 anni dopo l’emissione è
V3 = FV3 + PV3 = 100 s3|4% + 100a 2|4% = 500,77 €
vale a dire il montante di 3 rate più il valore attuale delle 2 successive rate.
d) Il valore della rendita 3 anni e 3 mesi dopo l’emissione è
(
)
V3,25 = 1,040, 25V3 = 1,040,25 100s3|4% + 100a2|4% = 505,70 €
Si ha pure V3,25 = 1,043,25 PV0 = 100s3, 25|4% + 100a1,75|4% , ma i 2 fattori s3,25|4% e
a1,75|4% non sono suscettibili di interpretazione finanziaria.
OSSERVAZIONE. Si rammenta che s5|4% = 1,04 5 a5|4% e s3|4% + a 2|4% = 1,04 3 a5|4% a
causa della scindibilità; ciò si dimostra utile per rilevare eventuali errori di calcolo.
Esercizio 15. Una rendita costante comprende 6 rate annue di €90 ciascuna, la prima in
scadenza a 3 anni da adesso. Sulla base di un tasso di interesse del 5% annuo effettivo, si
trovino
a) il valore attuale della rendita adesso;
47
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
b) il montante della rendita 1 anno dopo il versamento dell’ultima rata;
c) il valore della rendita a 6 anni da adesso;
d) il valore della rendita a 6 anni e 6 mesi da adesso.
Soluzione. Il tempo sia misurato in anni. Le sequenza delle rate è rappresentata dal seguente
diagramma
rata
tempo
0
1
2
90
90
90
90
90
90
3
4
5
6
7
8
9
a) Il valore attuale della rendita differita è adesso
(
)
PV0 = PV2 *1,05−2 = 90a6|5% 1,05−2 = 414,34 €
Si tenga presente che a 6|5% è il valore attuale a un tasso del 5% di 6 rate unitarie
periodiche, calcolato un periodo prima della scadenza della prima rata.
b) L’ultima rata sarà versata al tempo 8. Il montante della rendita a 9 anni da adesso è
(
)
FV9 = FV8 *1,05 = 90s6|5% 1,05 = 642,78 €
Si tenga presente che s 6|5% è il montante a un tasso del 5% di 6 rate unitarie periodiche,
calcolato alla scadenza dell’ultima rata.
c) Il valore della rendita a 6 anni da adesso è
V6 = FV6 + PV6 = 90 s4|5% + 90a2|5% = 555,26 €
vale a dire il montante di 4 rate più il valore attuale delle 2 successive rate.
d) Il valore della rendita a 6 anni e 6 mesi da adesso è
(
)
V6,5 = 1,050,5V6 = 1,050,5 90 s4|5% + 90a2|5% = 568,97 €
Esercizio 16. Una rendita immediata costante di durata triennale comprende rate mensili
posticipate di €100 ciascuna. Si determini il valore attuale della rendita un mese prima della
scadenza della prima rata sulla base di un tasso di interesse del 12% annuo
a) effettivo;
b) convertibile mensilmente.
Soluzione. Il tempo sia misurato in mesi. Poiché la rendita è costituita da 36 rate mensili
posticipate di €100 ciascuna, il valore attuale incognito soddisfa l’equazione
100 a36|i12 = 100
48
1 − (1 + i12 )
i12
−36
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
dove i12 è il tasso di interesse mensile.
a) Si ha i12 = 1,121 / 12 − 1 = 0,949% e quindi 100a36|0,949% = 3.037 ,41 € .
b) Si ha i12 =
12%
= 1% e quindi 100a36|1% = 3.010,75 € .
12
Esercizio 17. Si supponga che
a) alla fine di ogni semestre un risparmiatore versi €30.000 in un conto bancario che genera
interesse al tasso nominale del 4,5% annuo convertibile semestralmente. L’aliquota della
ritenuta fiscale sull’interesse è del 20%;
b) né il tasso di interesse, né l’aliquota fiscale cambino nel tempo.
Quanto tempo occorre affinché il montante divenga pari a €400.000? (suggerimento: si
impieghino la convenzione lineare e dunque la capitalizzazione mista)
Soluzione. Il tasso di interesse semestrale netto è i2 =
0,045
(1 − 0,2) = 1,8% . Il numero dei
2
versamenti necessari n soddisfa l’equazione 30.000 sn|1,8% = 400.000 . Ciò comporta che
1,018n = 1 +
40
0,018 e quindi che
3
 40

ln1 + 0 ,018 
3
 = 12 ,058
n= 
ln(1,018)
Pertanto, il risparmiatore deve effettuare 12 versamenti semestrali, i quali generano un
montante di 30.000s12|1,8% = 397.867,55 € dopo 6 anni (5,5 anni dal primo versamento). Di
conseguenza, sono necessari 6 anni e t giorni per raggiungere l’obiettivo; l’incognita t soddisfa
t 

l’equazione 397.867,551 + 0,018
 = 400.000 , coerente con la capitalizzazione mista. La
180 

soluzione dell’equazione è
 400.000
 180
t = 
− 1
= 54 giorni
 397.867,55  0,018
49
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
50
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
2. Ripagamento rateale di un prestito
2.1. Il piano di ammortamento
Si consideri il caso in cui un capitale C venga dato in prestito al tempo 0 e rimborsato
attraverso il pagamento di n rate periodiche posticipate nell’intervallo (0,n) come mostrato
sotto
importo
tempo
-C
0
R1
1
R2
2
L
Rn−1
n −1
Rn
n
Si può trattare di un prestito bilaterale immobiliare quale un mutuo ipotecario acceso per
l’acquisto di una prima casa. In tale caso, la durata del prestito potrebbe essere compresa tra 7 e
20 anni (ma pure giungere a 30 anni) mentre il capitale mutuato potrebbe non superare il 75%
del valore di mercato dell’immobile, accertato mediante perizia tecnica (il capitale mutuato può
pure essere pari al 100% del valore di un immobile, nel caso il mutuatario sia, per esempio, un
gruppo di società particolarmente liquido). Qualora il mutuatario divenga insolvente, la banca
mutuante procederà all’esproprio e alla vendita dell’immobile, poiché esso funge da garanzia
reale. Quest’ultima si aggiunge alla garanzia generica, insita nella capacità di rimborso del
mutuatario, che dipende pure dalla coerenza tra la rateazione e il suo reddito; per esempio, se le
rate sono mensili e costanti mentre l’ipoteca di primo grado concerne la prima casa di un
insegnante, il loro ammontare non dovrebbe superare il 33% del reddito mensile medio netto
dell’insegnante (o una maggiore percentuale in presenza di una garanzia accessoria, come una
fideiussione per un certo importo rilasciata da un familiare o da un amico/a, della quale
egli/ella risponde con il suo intero patrimonio). Ogni rata Rt consta di 2 termini: la quota di
interesse I t relativa all’ultimo periodo e la quota di capitale C t : Rt = I t + C t per t = 1,2 ,K ,n .
La distinzione tra interesse e capitale è importante sia a fini fiscali (la quota di interesse versata
dal mutuatario potrebbe essere fiscalmente deducibile mentre l’interesse incassato dalla banca
mutuante costituisce reddito imponibile) sia nel caso di insolvenza del mutuatario.
OSSERVAZIONE. Per concedere il prestito immobiliare all’insegnante, la banca mutuante
ha condotto un’istruttoria di mutuo, volta a determinare la sua capacità di rimborso come pure
il valore di mercato dell’immobile, mediante perizia tecnica. La capacità di rimborso
dell’insegnante e i rischi dell’operazione bancaria dipendono soprattutto dal suo reddito netto,
51
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
dalle sue spese, dalla sua ricchezza, dal suo grado di indebitamento, dalla sua moralità e
correttezza. La più recente denuncia dei redditi del richiedente fornisce indicazioni circa il suo
reddito corrente e la sua proprietà immobiliare, mentre le sue spese ammontano
convenzionalmente al 67% del reddito netto. Dal 1964 la Centrale dei rischi fornisce
indicazioni sull’indebitamento dei clienti degli intermediari finanziari vigilati dalla Banca
d’Italia. Gli aderenti comunicano ogni mese e in via confidenziale alla Banca d’Italia i
nominativi dei clienti e il loro complessivo debito, per cassa e/o di firma, se maggiore o uguale
di €30.000, segnalando pure tutte le sofferenze, comprese quelle appena contabilizzate. Circa
40 giorni dopo la fine di ogni mese, la Banca d’Italia rende disponibili agli aderenti i risultati
delle elaborazioni. I crediti per cassa e di firma (garanzie personali e impegni di pagamento)
concessi a ciascun cliente vengono aggregati in 5 e in 2 categorie di censimento, distinguendo
tra credito accordato e utilizzato e evidenziando per differenza ogni eventuale sconfino. Le 5
categorie di censimento dei crediti per cassa sono: rischi autoliquidanti, quali un anticipo su
fatture, rischi a scadenza, quali un mutuo o una locazione finanziaria, rischi a revoca, quale
un’apertura di credito in conto corrente, finanziamenti a procedure concorsuali, sofferenze. Nel
Registro informatico dei protesti, aggiornato dalle Camere di Commercio delle diverse
provincie italiane, compaiono i nomi delle persone e delle società protestate per non aver
onorato una cambiale o un assegno bancario. Ciascun protesto rimane memorizzato per 5 anni,
ma può essere cancellato qualora la cambiale sia pagata entro 12 mesi dalla sua levata.
Avvalendosi magari di una terza parte, si può effettuare la visura degli eventuali protesti a
carico di un nominativo.
OSSERVAZIONE. Le garanzie che un mutuatario può offrire alla banca mutuante sono
generiche, reali, personali e atipiche. L’ipoteca su beni immobili, il pegno su titoli e il
privilegio su impianti e macchinari sono garanzie reali, le quali concernono beni materiali. La
fideiussione, l’avallo e il mandato di credito sono garanzie personali, le quali sono rilasciate da
terze persone.
Un prestito bilaterale concesso ad un individuo potrebbe pure prendere la meno usuale
specie di mutuo chirografario con durata compresa tra 3 e 5 anni e garanzia personale insita
in un pagherò cambiario. L’eventuale garanzia accessoria può essere data da un avallo da
parte di un familiare o di un amico. La scadenza del pagherò cambiario è di poco successiva
alla scadenza del prestito.
52
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
Il tempo t sia misurato in anni e l’interesse sia composto al tasso i annuo effettivo. Il caso di
tasso fisso di interesse e rate annue è esaminato nel seguito; tuttavia, qualora si sostituisca i
con il tasso periodale im , lo stesso procedimento matematico è applicabile al caso di m rate
periodiche all’anno. Il fine è di redigere il piano di ammortamento, una tabella che comprende
5 colonne, rispettivamente relative al tempo e agli andamenti temporali delle rate Rt , della
quota di interesse I t , della quota di capitale C t , del debito residuo Dt . Per cogliere tale fine,
si utilizzano le 3 seguenti equazioni
It = iDt −1
secondo cui l’interesse dovuto per il t-imo anno (periodo) è funzione del debito residuo
all’inizio dell’anno (periodo),
C t = Rt − I t
un’identità contabile, e
Dt = Dt −1 − Ct con D0 = C
secondo cui il pagamento della quota di capitale C t riduce il debito residuo Dt −1 . Il piano di
ammortamento è compilato progressivamente, utilizzando più volte tali equazioni, partendo
dalla prima riga e spostandosi da una riga a quella immediatamente successiva. Per t = 1 si ha:
I1 = iD0 = iC , C1 = R1 − I1 = R1 − iC , e quindi D1 = D0 − C1 = C − (R1 − iC ) = (1 + i )C − R1 .
Ripetendo lo tesso procedimento dapprima per t = 2 , poi per t = 3 , etc., si otterrà la seguente
tabella quale risultato
tempo t, fine
del t-imo anno
0
1
2
K
n
rata annua
Rt
interesse
It
quota capitale
Ct
R1
R2
K
Rn
I1 = iC
K
K
K
C1 = R1 − iC
K
K
K
debito residuo
Dt
C
D1 = (1 + i )C − R1
K
K
0
Affinché Dn = 0 , vale a dire affinché il debito sia completamente rimborsato al tempo n, la
sequenza delle rate annue (periodiche) posticipate {R1; R2 ;K; Rn } deve essere finanziariamente
equivalente al capitale mutuato D0 = C . Si può imporre questo vincolo in diverse maniere,
tutte equivalenti grazie all’uso dell’interesse composto. La più immediata è detta condizione di
chiusura iniziale e richiede che il valore attuale di tutte le rate, calcolato al tempo 0 e al tasso i,
sia uguale al capitale mutuato
53
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
n
∑ Rt (1 + i )−t = C
t =1
Come dimostrato nell’esercizio 19 punto c, quando la condizione di chiusura iniziale è
soddisfatta, Dt è il valore attuale di tutte le rate residue per qualsiasi t, con 0 ≤ t ≤ n . E’ inoltre
immediato constatare che Dt = D0 − (C1 + C2 + K + Ct ) . La prima è l’espressione prospettiva
più importante del debito residuo Dt mentre la seconda è la sua espressione retrospettiva più
semplice.
Gli esercizi 20 e 23 riguardano l’ammortamento alla francese e l’ammortamento a rate
variabili, entrambi molto usati nella pratica. L’ammortamento alla francese prevede un tasso
fisso di interesse e rate costanti R, di modo che la condizione di chiusura iniziale si semplifica
così
Ra n|i = C
Inoltre, come dimostrato nell’esercizio 20 punto c, le quote di capitale crescono
esponenzialmente nel tempo secondo l’equazione C t = (1 + i )t −1 C1 . L’ammortamento a rate
variabili si basa sull’impiego di un tasso variabile di interesse. Secondo l’impostazione più
semplice e più comune, gli andamenti temporali delle quote di capitale e del debito residuo
sono stabiliti una volta per tutte al momento della stipula (t = 0 ) ; più precisamente, tutte le n
rate sono supposte costanti e determinate in modo che il loro valore attuale al tasso di interesse
iniziale sia uguale al capitale C dato in prestito. Il piano di ammortamento viene aggiornato nel
tempo; più precisamente, una nuova riga viene completata subito dopo un pagamento, quando si
rileva il nuovo tasso di interesse e si calcolano la quota di interesse e la rata per il successivo
periodo.
L’esercizio 21 concerne invece l’ammortamento all’italiana, meno frequentemente usato
nella pratica. Esso prevede un tasso fisso di interesse e quote di capitale costanti C , di modo
che la condizione di chiusura elementare si semplifica così
n
∑ Ct = nC = C
t =1
Inoltre, come dimostrato al punto c, le quote di interesse e le rate decrescono linearmente nel
tempo, le prime secondo l’equazione I t = iC (n − t + 1) .
OSSERVAZIONE. Si consideri un mutuo immobiliare, concesso a un impiegato, il cui
piano di ammortamento alla francese preveda il pagamento di m rate periodiche costanti R
54
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
all’anno per
n
anni; per esempio, rate mensili costanti R per 15 anni (m = 12 e n = 180) . Si
m
ha allora Ra180|i12 = C , dove il tasso contrattuale di interesse j12 , un tasso annuo nominale
convertibile m = 12 volte all’anno, potrebbe essere pari al tasso swap a
n
= 15 anni
m
prevalente al momento della stipula del mutuo immobiliare, aumentato del 3%.
Se, coeteris paribus, le rate mensili sono variabili, il tasso annuo nominale convertibile
mensilmente utilizzato per determinare la t + 1 -ima quota di interesse mensile I t +1 , in
scadenza alla fine del t + 1 -imo mese (per esempio, del tredicesimo mese), potrebbe essere pari
al tasso Euribor a 1 mese registratosi nell’ultimo giorno lavorativo del t-imo mese (per esempio,
del dodicesimo mese), sempre aumentato del 3%.
Alcune informazioni sui tassi swap e sui tassi Euribor sono date nella sezione 5.
OSSERVAZIONE. Nell’ultimo riquadro di questa sezione si propone un esempio realistico
di come commissioni e spese influiscano sul tasso di interesse applicato da una banca mutuante.
2.2. La locazione finanziaria (leasing)
Un’operazione di locazione finanziaria prevede che un’azienda locatrice presti a
un’azienda locataria un proprio bene strumentale o un proprio immobile nello spazio di tempo
[0; n] contro il versamento di una sequenza di
n + 1 canoni periodici {R0 ; R1; R2 ;L; Rn } , fra i
quali R0 in via anticipata. Al termine dell’operazione l’azienda locataria può
• restituire il bene strumentale o l’immobile all’azienda locatrice, magari perché non più
confacente alle proprie esigenze;
• riscattarlo contro il versamento dell’importo R , pari a una percentuale del suo valore
PV0 all’inizio dell’operazione;
• effettuare una nuova operazione di locazione finanziaria, magari con canoni ridotti
rispetto ai precedenti.
Sia im il tasso periodale di interesse composto che regola l’operazione; si ha
PV0 =
n
∑ Rt (1 + im )−t + R (1 + im )−n
t =0
e quindi
PV0 = R0 + Ran|im + R (1 + im )− n
55
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
nel caso di canoni costanti R.
Le prime operazioni furono di leasing operativo, nelle quali l’azienda locatrice era pure la
casa costruttrice, che effettuava, per esempio, il prestito, di solito senza facoltà di riscatto, di
elaboratori elettronici, vale a dire di beni strumentali a alto contenuto tecnologico, forte
standardizzazione, rapida obsolescenza e elevato costo. Successivamente, presero piede le
operazioni di leasing finanziario, nelle quali l’azienda locatrice è un intermediario finanziario,
che si interpone tra aziende produttrici/fornitrici e aziende locatarie, effettuando un prestito con
facoltà di riscatto. Se il leasing è diretto, l’azienda locatrice compra, diciamo, un bene
strumentale da una società manifatturiera e poi lo presta a un’azienda locataria. Se il leasing è
sale and lease-back, l’azienda locataria vende, diciamo, un proprio immobile a un’azienda
locatrice e poi lo prende in prestito da quest’ultima.
OSSERVAZIONE. Una società può prendere in locazione una frazione del proprio parco
autovetture e camion, facendo effettuare la manutenzione dall’azienda locatrice specializzata.
Per far fronte a una domanda fluttuante, la maggior parte delle compagnie aeree prende in
locazione una frazione dei propri parchi aeroplani, stipulando dei contratti rescindibili; le
aziende locatrici specializzate sono di solito in grado di prestare ancora ogni aeroplano che sia
loro restituito. Di conseguenza, è molto probabile che gli aeroplani posseduti dalle aziende
locatrici specializzate volino di più degli aeroplani posseduti dalle compagnie aeree.
Per l’intermediario finanziario operante in Italia, a un esborso iniziale PV0 per l’acquisto
del bene fa seguito una sequenza di incassi, i canoni {R0 ; R1; R2 ;L; Rn } e l’eventuale valore di
riscatto R . Il bene viene ammortato; ciascun canone è un ricavo mentre la differenza tra valore
di riscatto e valore contabile netto del bene è una plusvalenza (minusvalenza), se positiva
(negativa). Per l’azienda locataria i canoni {R0 ; R1; R2 ;L; Rn } sono costi fiscalmente deducibili,
se la durata dell’operazione non è inferiore a metà della durata economica del bene stabilita da
apposite tabelle ministeriali (Borroni-Oriani, 2008, sez. 3.4.2), mentre il valore di riscatto R è
un investimento suscettibile di ammortamento.
Le 2 equazioni più sopra consentono
• all’intermediario finanziario di determinare i canoni in funzione del tasso periodale di
interesse im , qualora possa rivendere il bene al valore di riscatto R , nel caso esso sia
restituito dall’azienda locataria. Ciò può essere previsto da una particolare clausola del
56
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
contratto di compravendita originariamente stipulato con l’azienda produttrice/fornitrice.
In alcuni casi, il valore di riscatto R è una piccola percentuale di PV0 ;
• alla potenziale azienda locataria di determinare il tasso periodale di interesse im in
funzione dei canoni. Tale tasso non può essere direttamente confrontato con quello di un
prestito bancario da contrarre per l’acquisto del bene; bisogna infatti tenere conto del
diverso trattamento fiscale dei canoni di una locazione finanziaria e delle rate di un
prestito bancario, il quale consente pure l’ammortamento del bene da parte dell’azienda
acquirente. Un procedimento di comparazione delle 2 alternative è riportato in Benninga
(2000, cap. 5).
Esempio 12. Un nuovo capannone industriale del valore di €1.500.000 è prestato da
un’azienda locatrice a un’azienda locataria per 15 anni contro il versamento di un canone
anticipato, pari al 20% del valore del capannone, come pure di una sequenza di canoni
trimestrali, costanti e posticipati. Il tasso nominale di interesse applicato dall’azienda locatrice
è del 5% annuo convertibile trimestralmente. L’azienda locataria può riscattare il capannone
alla scadenza della locazione finanziaria, versando un importo pari al 10% del valore iniziale
del capannone. Si trovino a) il canone trimestrale costante; b) il debito residuo dopo 5 anni.
Svolgimento. Il tempo sia misurato in trimestri e 0 sia l’istante di valutazione. Il tasso di
interesse trimestrale equivalente è i4 =
5%
= 1,25%.
4
a) Si ha
PV0 = R0 + Ran|i4 + R (1 + i4 )−n
dove n + 1 = 61 è il numero dei canoni, PV0 = 1.500.000 € è il valore del capannone,
R0 = 0,2 PV0 = 300.000 € è il canone anticipato, R è il canone trimestrale incognito e
R = 0,1PV0 = 150.000 € è il valore di riscatto. Risolvendo la precedente equazione
nell’incognita R si ricava
PV0 − R0 − R (1 + i4 )− n
R=
= 26.854,43 €
an|i4
b) Sia D20 il debito residuo dopo 20 trimestri. Si ha
D20 = Ra40|i4 + R (1 + i4 )−40 = 932.528,93 €
Si tenga presente che nel caso di una locazione finanziaria, ciascun canone non può essere
suddiviso in quota di interesse e quota di capitale.
57
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
Esercizio 18. Un prestito di €500.000 viene rimborsato in 7 anni pagando 84 rate posticipate
con cadenza mensile; a una fase biennale di pre-ammortamento, nella quale ogni rata è pari
alla quota di interesse, fa seguito una fase quinquennale di ammortamento alla francese.
Durante il pre-ammortamento la rata mensile è minore di modo che il debitore ha tempo per
accrescere il proprio reddito. Sulla base di un tasso nominale di interesse del 6% annuo
convertibile mensilmente si trovino
a) le rate di pre-ammortamento e di ammortamento;
b) il debito residuo subito dopo il pagamento della 48ma rata.
Si supponga che subito dopo il pagamento della 48ma rata la durata del prestito sia allungata
di 2 anni in modo da ridurre la rata di ammortamento. Sulla base dell’originario tasso di
interesse si trovi
c) la nuova rata di ammortamento.
Soluzione.
a) Poiché l’equivalente tasso di interesse mensile è i12 =
6%
= 0,5% , ciascuna delle 24 rate
12
mensili di pre-ammortamento è pari a
500.000 * 0,005 = 2.500,00 €
mentre ciascuna delle 60 rate mensili di ammortamento è pari a
500.000
= 9.666,40 €
a 60|0 ,5%
b) Il debito residuo subito dopo il 48mo pagamento è
9.666 ,40a 36|0 ,5% = 317.744,39 €
vale a dire il valore attuale a quel tempo di tutte le 36 rimanenti rate.
c) Affinché il debito residuo non vari, la nuova rata di ammortamento deve valere
317.744,39
= 6.142,89 €
a 60|0 ,5%
Esercizio 19. Un individuo ha bisogno di un ideale prestito bancario. Vorrebbe rimborsarlo
in 3 anni e ritiene di poter versare €14.580 alla fine del primo e del secondo anno, €25.194,24
alla fine del terzo anno. Il tasso di interesse è dell’8% annuo effettivo.
a) Quale capitale può richiedere?
b) Si rediga il piano di ammortamento.
58
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
c) Con riferimento a un piano di ammortamento del tipo in esame si dimostri che la condizione
di chiusura iniziale, vale a dire debito residuo pari al valore attuale di tutte le (rimanenti)
rate future è soddisfatta in ogni istante.
Soluzione. Il tempo sia misurato in anni e 0 sia l’istante di valutazione.
a) In virtù delle condizione di chiusura iniziale, il capitale incognito C è pari al valore attuale
al tempo 0 di tutte le rate
C=
14.580 14.580 25.194,24
+
+
= 46.000 €
1,08
1,082
1,083
b) Il piano di ammortamento è riportato nella seguente tabella
tempo t, fine rata annua
quota interesse quota capitale
debito residuo
del t-imo anno Rt
I t = 0,08Dt −1
C t = Rt − I t
Dt = Dt −1 − C t
0
46.000
1
14.580
3.680
10.900
35.100
2
14.580
2.808
11.772
23.328
3
25.194,24
1.866,24
23.328
0
Per
compilare
la
I1 = 0,08 D0 = 3.680 €
tabella
e
si
pone
t = 1;
dato
D0 = 46.000 €
C1 = R1 − I1 = 10.900 €
poi
si
ottenendo
calcola
infine
D1 = D0 − C1 = 35.100 € . A questo punto si può ripetere il procedimento, dapprima per
t = 2 e poi per t = 3 .
c) Sia ancora C il capitale prestato e sia i il tasso annuo effettivo applicato. L’intera sequenza
delle rate compare nel seguente diagramma
−C
0
R1
1
R2
2
L
Rt
t
L
Rn
n
A causa della scindibilità, il versamento R1 al tempo 1 è, per esempio, equivalente al
t −1
versamento del suo montante (1 + i )
R1 al tempo t; ne consegue che il debito residuo Dt
al tempo t è pure uguale alla differenza tra il montante al tempo t del debito iniziale D0 e il
montante al tempo t di tutte le rate in scadenza tra il tempo 0 e il tempo t. Pertanto si ha
59
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
t −1
Dt = (1 + i ) D0 − (1 + i )

t
t −2
R1 + (1 + i )
R2 + K + Rt  =

t
−1
−2
−n
t −1
t −2
= (1 + i ) (1 + i ) R1 + (1 + i ) R2 + K + (1 + i ) Rn  − (1 + i ) R1 + (1 + i ) R2 + K + Rt  =

 

t −1
= (1 + i )

− n −t
t −1
t −2
Rt +1 + K + (1 + i ) ( ) Rn  − (1 + i ) R1 + (1 + i ) R2 + K + Rt  =

 
−
1
−
2
−
n
−
t
(
)
= (1 + i ) Rt +1 + (1 + i ) Rt + 2 + K + (1 + i )
Rn 


R1 + K + Rt + (1 + i )
−1
e quindi che il debito residuo Dt al tempo t è pure pari al valore attuale al tempo t di tutte le
rate in scadenza tra il tempo t + 1 e il tempo n.
Esercizio 20. Un prestito di €16.000 viene rimborsato in 1 anno versando rate costanti
trimestrali posticipate, calcolate sulla base di un tasso nominale di interesse dell’8% annuo
convertibile trimestralmente.
a) Si determini il tasso annuo effettivo del prestito e si stenda il piano di ammortamento alla
francese.
b) Si considerino le rate rimanenti subito dopo il secondo versamento; si estragga il loro valore
attuale dal piano di ammortamento.
c) Si dimostri che le quote di capitale crescono nel tempo in modo esponenziale.
d) Si mostri come la quota di capitale e la quota di interesse possano essere calcolate in un
qualsiasi istante t senza fare uso di un piano di ammortamento.
Soluzione.
a) Il tempo t sia misurato in trimestri. Il tasso di interesse trimestrale equivalente è
i4 =
8%
= 2%
4
mentre il tasso annuo effettivo è
i = 1,02 4 − 1 = 1,08243 − 1 = 8,243%
Poiché, in virtù della condizione di chiusura iniziale, l’importo prestato è il valore attuale
al tempo 0 di tutte le rate previste dal contratto: 16.000 = Ra4|2% , la rata trimestrale
posticipata è pari a
R=
16.000
= 4.201,98 €
a4|2%
Il piano di ammortamento alla francese è riportato nella seguente tabella. Per compilarla si
pone
t = 1;
dato
D0 = 16.000 €
si
calcola
I1 = 0,02 D0 = 320 €
e
poi
C1 = R − I1 = 3.881,98 € ottenendo infine D1 = D0 − C1 = 12.118,02 € . A questo punto si
60
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
può ripetere il procedimento, dapprima per t = 2 , successivamente per t = 3 e infine per
t=4.
tempo t, fine del rata trimestrale quota interesse
quota capitale debito residuo
t-imo trimestre
R
I t = i4 Dt −1
Ct = R − I t
Dt = Dt −1 − C t
0
16.000,00
1
4.201,98
320,00
3.881,98
12.118,02
2
4.201,98
242,36
3.959,62
8.158,40
3
4.201,98
163,17
4.038,81
4.119,59
4
4.201,98
82,39
4.119,59
0,00
b) A causa della scindibilità il debito residuo Dt al tempo t è pure uguale alla differenza tra il
montante al tempo t del debito iniziale D0 e il montante al tempo t di tutte le rate in
scadenza tra il tempo 0 e il tempo t; pertanto si ha
(
)
Dt = (1 + i4 )t D0 − Rst |i4 = (1 + i4 )t Ran|i4 − Rst|i4 = R st |i4 + an −t |i4 − Rst |i4 = Ran −t |i4
e quindi che la condizione di chiusura iniziale, vale a dire debito residuo Dt pari al valore
attuale al tempo t di tutte le rimanenti rate future, è soddisfatta in ogni istante t. Il valore
attuale cercato è dunque D2 = 8.158,40 € .
c) Si rammenta che R è la rata costante, I t e Ct sono le quote di interesse e di capitale in
scadenza al tempo t, Dt è il debito residuo al tempo t. Da Ct +1 + It +1 = R = Ct + It
si
ottiene Ct +1 + i4 Dt = Ct +1 + i4 (Dt −1 − Ct ) = Ct + i4 Dt −1 e quindi Ct +1 = (1 + i4 ) Ct . Poiché la
t −1
soluzione dell’ultima equazione è Ct = C1 (1 + i4 )
¸ le quote di capitale crescono nel tempo
in modo esponenziale. Ciò si dimostra utile per rilevare eventuali errori di calcolo; per
esempio,
nella
precedente
tabella
si
ha
C4 = (1 + i4 )3 C1 ,
vale
a
dire
4.119,59 = 1,023* 3.881,98 , come richiesto dalla teoria.
d) Poiché le quote di capitale crescono nel tempo in modo esponenziale, si ha
C t = (1 + i 4 )t −1 C1
I t = R − Ct
dove C1 = R − I 1 e I 1 = i 4 D0 = i 4 C .
Esercizio 21. Un prestito di €16.000 viene rimborsato in 1 anno versando quote di capitale
costanti trimestrali posticipate, calcolate sulla base di un tasso nominale di interesse dell’8%
annuo convertibile trimestralmente.
61
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
a) Si stenda il piano di ammortamento all’italiana.
b) Si considerino le rate rimanenti subito dopo il terzo versamento; si estragga il loro valore
attuale dal piano di ammortamento.
c) Si dimostri che le quote di interesse decrescono nel tempo in modo lineare.
Soluzione.
a) Il tempo t sia misurato in trimestri. Poiché, in virtù delle condizione di chiusura
elementare, l’importo prestato è pari alla somma di tutte le quote di capitale
16.000 = C1 + C2 + C3 + C4 = 4C
la quote di capitale trimestrale posticipata è pari a
C=
16.000
= 4.000 €
4
Il piano di ammortamento all’italiana è riportato nella seguente tabella. Per compilarla si
pone t = 1 ; dato D0 = 16.000 € si calcola I1 = 0,02 D0 = 320 € e poi R1 = C + I1 = 4.320 €
come pure D1 = D0 − C = 12.000 € . A questo punto si può ripetere il procedimento,
dapprima per t = 2 , poi per t = 3 e infine per t = 4 .
tempo t, fine del quota capitale
quota interesse
rata trimestrale debito residuo
t-imo trimestre
I t = i4 Dt −1
Rt = C + I t
Dt = Dt −1 − C
C
0
16.000
1
4.000
320
4.320
12.000
2
4.000
240
4.240
8.000
3
4.000
160
4.160
4.000
4
4.000
80
4.080
0
b) Dall’equazione Dt = Dt −1 − Ct si trae Dt = Dt −1 − (Rt − I t ) = (1 + i4 )Dt −1 − Rt e quindi
l’equazione Dt −1 =
Dt + Rt
. Procedendo a ritroso nel tempo, si ricava la successione finita
1 + i4
n


Rn
Rn −1
Rn
D
=
0
;
D
=
;
D
=
+
;
L
;
D
=
C
=
Rt (1 + i4 )−t 
 n
n −1
n−2
0
2
1 + i4
1 + i4 (1 + i4 )


t =1
∑
La condizione di chiusura elementare implica quindi quella iniziale; poiché quest’ultima è
soddisfatta in ogni istante t, il valore attuale cercato è D3 = 4.000 € .
c) Si rammenta che C è la quota di capitale costante, I t e Rt sono la quota di interesse e la
rata in scadenza al tempo t, Dt è il debito residuo al tempo t. Da Dt = Dt −1 − C si ottiene
n−t 
Dt = D0 − C t = C − C t e quindi Dt = C (n − t ) come pure Dt = C 
 . Poiché si ha
 n 
62
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
inoltre I t = i4 Dt −1 = i4C (n − t + 1) , le quote di interesse e quindi le rate decrescono nel
tempo in modo lineare. Ciò si dimostra utile per rilevare eventuali errori di calcolo; per
esempio, nella precedente tabella si ha I 3 = i4C * 2 , vale a dire 160 = 0,02 * 4.000 * 2 , come
richiesto dalla teoria.
OSSERVAZIONE. I prestiti dei 2 esercizi precedenti differiscono solo per il metodo di
ammortamento, alla francese nell’esercizio 20 e all’italiana nell’esercizio 21. Avvalendosi della
nozione di funzione convessa, si dimostra agevolmente che, in tale caso, all’ammortamento
all’italiana sono associati
• una maggiore rata iniziale R1 e una minore rata finale Rn ;
• un minore interesse totale. Infatti, come si evince dal confronto dei 2 piani di
ammortamento, per t = 1 la quota di interesse all’italiana è uguale alla quota di interesse
alla francese, mentre per 1 < t ≤ n ciascuna quota di interesse all’italiana è minore della
 n−t 
corrispondente quota di interesse alla francese (suggerimento: si ha C 
 < Ra n −t|i4
 n 
per 1 ≤ t < n ).
Esercizio 22. Un bene durevole avente valore pari a C sia acquistato pagandolo ratealmente.
A un anticipo pari a R0 facciano seguito n rate costanti posticipate, aventi cadenza m, calcolate
sulla base di un tasso annuo di sconto commerciale d tale che d <
m
.
n
a) Si determini la rata costante R in funzione di R0 , n, m e d.
b) Si spieghi come si possa stendere il piano di ammortamento.
Soluzione. Il tempo t sia misurato in
1
anni.
m
a) In virtù delle condizione di chiusura iniziale, l’importo prestato C − R0 è il valore attuale al
tempo 0 di tutte le n rate
C − R0 =
n

d

∑ R1 − m k 
k =1
Si dimostra mediante induzione matematica che
d n(n + 1) 

 d n +1
C − R0 = R  n −
= Rn1 −


2 
m

 m 2 
da cui si trae
63
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
R=
C − R0
 d n +1
n 1 −

 m 2 
b) Se l’acquirente fosse un consumatore, il venditore sarebbe obbligato a dichiarare il tasso
annuo nominale j m = mi m , convertibile m volte all’anno, della rateazione; esso andrebbe
determinato risolvendo per via numerica l’equazione C − R0 = Ra n|im . Sarebbe allora
opportuno stendere il piano di ammortamento alla francese. Nulla vieta alla persona fisica
diversa dal consumatore o alla persona giuridica di calcolare j m per proprio conto,
accertando così che d < j m , ovvero la presenza di uno specchietto per le allodole.
Esercizio 23. Un prestito a tasso variabile di €34.000 viene rimborsato in 2 anni mediante il
versamento di rate semestrali posticipate.
a) Applicando l’ammortamento alla francese, si trovi la prima rata semestrale sulla base di un
tasso nominale di interesse del 6% annuo convertibile semestralmente.
b) Si trovino gli andamenti temporali delle quote di capitale e del debito residuo.
Si supponga che il tasso nominale di interesse sia aggiornato una sola volta al 6,50% annuo
convertibile semestralmente, subito dopo il secondo versamento.
c) Si completi il piano di ammortamento.
Soluzione. Il tempo t sia misurato in semestri.
a) Poiché il primo tasso di interesse trimestrale equivalente è
2 i0;1
=
6%
= 3%
2
la prima rata semestrale vale
R1 =
34.000
= 9.146,92 €
a4|3%
b) Gli andamenti temporali delle quote di capitale e del debito residuo sono riportati nella
seguente tabella. Per compilarla si pone
I1 = 0,03D0 = 1.020 €
e
poi
t = 1 ; dato
D0 = 34.000 €
C1 = R − I1 = 8.126,92 €
si calcola
ottenendo
infine
D1 = D0 − C1 = 25.873,08 € . Nel caso dell’ammortamento alla francese le quote di capitale
crescono nel tempo in modo esponenziale, come già dimostrato nell’esercizio 20 punto c; si
ha dunque C t +1 = 1,03C t .
64
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
tempo t, fine del rata semestrale
quota interesse
quota capitale
debito residuo
t-imo semestre
Rt
It
Ct
Dt = Dt −1 − Ct
0
34.000,00
1
9.146,92
1.020,00
8.126,92
25.873,08
2
8.370,73
17.502,35
3
8.621,85
8.880,50
4
8.880,50
0,00
c) Il piano di ammortamento è riportato nella seguente tabella, dove 2 i0;1 = 2 i1;2 = 3% e
2 i 2;3 = 2 i3;4
= 3,25% . Si osservi che 3,25% > 3% comporta che R3 > R1 = R2 ; in altre
parole, a un aumento (una diminuzione) del tasso semestrale di interesse corrisponde un
aumento (una diminuzione) della rata semestrale, come suggerito dall’intuizione.
tempo t, fine del rata semestrale
t-imo semestre
Rt = Ct + It
0
1
2
3
4
9.146,92
9.146,92
9.190,68
9.169,12
quota interesse
I t= 2 it −1;t Dt −1
1.020,00
776,19
568,83
288,62
quota capitale
Ct
8.126,92
8.370,73
8.621,85
8.880,50
debito residuo
Dt = Dt −1 − Ct
34.000,00
25.873,08
17.502,35
8.880,50
0,00
OSSERVAZIONE. Affinché il debito residuo Dt sia il valore attuale al tempo t e al tasso
periodale m it ;t +1 di tutte le n − t rate residue {Rt +1; Rt + 2 ;L; Rn } , occorre seguire un approccio
teoricamente più saldo, secondo il quale gli andamenti temporali delle quote di capitale e del
debito residuo non sono stabiliti una volta per tutte al momento della stipula. La rata Rt +1 come
pure la sua ripartizione in quota di interesse I t +1 e quota di capitale Ct +1 sono calcolate al
momento della stipula (t = 0 ) come pure ad ogni tempo di aggiornamento, subito dopo un
pagamento. Nel fare ciò tutte le rimanenti rate sono supposte costanti e determinate in modo
che il loro valore attuale al nuovo tasso di interesse Rt +1an −t|m it ;t +1 sia pari al debito residuo
Dt = C − (C1 + C2 + L + Ct ) riportato nella precedente riga del piano di ammortamento.
Esercizio 24. Una società a partecipazione pubblica gestisca un inceneritore da rimodernare.
Per finanziare tale operazione, essa prenda in prestito un capitale di €20 milioni, stipulando un
mutuo ipotecario a tasso variabile della durata di 6,5 anni da rimborsare mediante il
versamento di rate semestrali posticipate indicizzate allo Euribor a 6 mesi aumentato del 4,5%.
65
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
Nel seguente diagramma è riportato l’andamento delle quote di capitale espresse come
percentuale del prestito lordo
%
5
semestre 1
5
2
8,75
3
8,75
4
8,75
5
8,75
6
8,75
7
8,75
8
8,75
9
8,75
10
9
11
9
12
2
13
esso è coerente con le esigenze finanziarie della società mutuataria. Si stendano le prime 3 righe
del piano di ammortamento nell’ipotesi che le prime 3 rilevazioni dello Euribor a 6 mesi siano
0,5%, 0,7% , 0,5% e ogni mese abbia 30 giorni.
Soluzione. Il tempo t sia misurato in semestri. Siano D0 = 20.000.000 € e
2 i 0;1
=
0,5% + 4,5%
0,7% + 4,5%
0,5% + 4,5%
= 2,5% , 2 i1;2 =
= 2,6% , 2 i 2;3 =
= 2,5%
2
2
2
i primi 3 tassi semestrali di interesse applicati dalla banca mutuante.
Le quote di capitale assegnate soddisfano la condizione di chiusura elementare; si ha infatti
(0,05 * 2 + 0,0875 * 8 + 0,09 * 2 + 0,02)20.000.000 = 1* 20.000.000 = 20.000.000
Il piano di ammortamento è riportato nella seguente tabella
tempo t, fine del rata semestrale
t-imo semestre
Rt = Ct + It
0
1
2
3
quota interesse
I t= 2 it −1;t Dt −1
1.500.000
1.494.000
2.200.000
quota capitale
Ct
500.000
494.000
450.000
1.000.000
1.000.000
1.750.000
debito residuo
Dt = Dt −1 − Ct
20.000.000
19.000.000
18.000.000
16.250.000
Esercizio 25. Un prestito di €200.000 viene rimborsato in 10 anni pagando rate annue
costanti posticipate, calcolate sulla base di un tasso di interesse del 4% annuo effettivo. Subito
dopo il 7imo pagamento il debitore prende in considerazione l’estinzione anticipata del debito.
Egli deve scegliere la migliore tra le 2 alternative
a) estinzione anticipata del debito mediante pagamento del 101% del debito residuo;
b) versamento del medesimo importo in un fondo remunerato al tasso del 6% annuo effettivo.
Soluzione. Il tempo t sia misurato in anni.
a) La rata annua vale
R=
200.000
= 24.658,19 €
a10|4%
Poiché il debito residuo subito dopo il 7imo pagamento è il valore attuale delle 3 rimanenti
rate
66
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
D7 = Ra3|4% = 68.428,72 €
l’estinzione anticipata richiede un esborso di 1,01D7 = 69.113,01 € .
b) Se subito dopo il 7imo pagamento un importo F7 = Ra3|6% = 65.911,64 € fosse collocato in
un fondo remunerato al tasso del 6% annuo effettivo, tutte le rimanenti rate potrebbero
essere pagate attingendo dal fondo F, che evolverebbe secondo l’equazione
Ft +1 = 1,06 Ft − R
la quale comporta che Ft < Dt < 1,01Dt per t = 7,8,9 come pure F10 = D10 = 0 . Tuttavia,
siccome l’iniziale versamento sarà maggiore e pari a €69.113,01, il surplus
1,01D7 − F7 = 3.201,37 € si trasformerà in un montante di 3.201,37 * 1,063 = 3.812,88 €
subito dopo il 10imopagamento.
Pertanto, l’estinzione anticipata del debito è la peggiore alternativa, in quanto non genera
alcun montante.
Esercizio 26. Un’automobile del valore di €50.000 è prestata per n mesi. Il locatario è
disposto a versare un canone anticipato, pari al 10% del valore dell’automobile, come pure una
sequenza di canoni mensili posticipati, ciascuno non maggiore di €775. Inoltre, egli comprerà
verosimilmente l’automobile alla scadenza della locazione finanziaria, versando un importo
pari all’1% del valore iniziale dell’automobile. Il tasso nominale di interesse applicato
dall’azienda locatrice è del 4,80% annuo convertibile mensilmente. Si trovi la durata della
locazione finanziaria.
Soluzione. Il tempo sia misurato in mesi e 0 sia l’istante di valutazione. Il tasso di interesse
mensile equivalente è i12 =
4,80%
= 0,40%.
12
Si ha
PV0 = R0 + R
1 − (1 + i12 )− n
+ R (1 + i12 )− n
i12
dove n + 1 è il numero incognito dei canoni, PV0 = 50.000 € è il valore dell’automobile,
R0 = 0,1PV0 = 5.000 € è il canone anticipato, R = 775 € è il massimo canone mensile
posticipato e R = 0,01PV0 = 500 € è il valore di riscatto. Risolvendo la precedente equazione
nell’incognita n si ricava
67
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
(1 + i12 )n =
R
−R
i12
R
+ R0 − PV0
i12


e quindi n = ln
 R

 i12


1

= 65,56
 ln(1 + i12 )
+ R0 − PV0 

R
−R
i12
Pertanto, n = 66 canoni mensili posticipati, ciascuno pari a
R=
PV0 − R0 − R *1,004−66
= 770,49 €
a66|0 ,4%
devono essere versati in uno spazio di tempo di 5 anni e 6 mesi.
2.3. Legislazione italiana sul credito al consumo e sui mutui ipotecari
Come spiegato in McCutcheon-Scott (1986, pag. 255), “nel recente passato i governi di vari
paesi hanno approvato leggi indirizzate a rendere le persone
a) che prendono in prestito denaro;
b) o comprano beni o servizi con pagamento rateale;
più consapevoli del vero costo del credito, consentendo loro pure di confrontare i veri tassi di
interesse impliciti nei vari schemi di prestito. Esempi di tali leggi sono il Consumer Credit Act
del 1974 (UK) e il Consumer Credit Protection Act del 1968 (USA). … Le regole contenute nel
Consumer Credit Act del 1974 stabiliscono quali elementi vadano considerati come parte delle
spese totali per l’ottenimento del credito e come il tasso di interesse applicato debba essere
calcolato. Il tasso, chiamato APR (annual percentual rate of charge), è definito come il tasso
annuo effettivo di interesse composto della transazione, ottenuto risolvendo l’opportuna
equazione (del valore), tenendo conto di tutti gli elementi costituenti le spese totali per il
credito. Le spese totali per il credito e l’APR devono essere dichiarati nelle pubblicità e nel
proporre contratti di credito al consumo.”
Anche in Italia, nella pubblicità e nei contratti, per esempio di
• acquisto con pagamento dilazionato o rateale (per esempio, di un autoveicolo, di
mobili, o di elettrodomestici) da parte di un consumatore, vale a dire di “una persona
fisica che accede al credito per scopi estranei all’attività imprenditoriale o professionale
eventualmente svolta”;
• prestito per esigenze finanziarie diverse a favore di un consumatore;
• mutuo ipotecario a favore di una persona fisica o di una persona giuridica;
devono essere dichiarati 2 diversi indicatori, denominati TAN (tasso annuo nominale) e TAEG
(tasso annuo effettivo globale) nei primi due casi, TAN e ISC (indicatore sintetico di costo) nel
terzo caso. Ciò discende dall’emanazione
68
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
• della legge 142 del 19/2/1992 contenente, fra l’altro, norme sul credito al consumo,
sancite in recepimento delle 2 direttive della CEE (oggi UE) 87/102/CEE e 90/88/CEE;
• della legge 154 del 17/2/1992 sulla trasparenza in materia di operazioni e servizi
finanziari;
• del decreto del ministro del Tesoro dell’8/7/1992 e del provvedimento del governatore
della Banca d’Italia del 24/5/1992 in attuazione della legge 154 del 17/2/1992;
• del decreto legislativo 385 del 1/9/1993, il testo unico della banca e del credito, come
pure del decreto legislativo 58 del 24/2/1998, il testo unico dell’intermediazione
finanziaria. Il primo testo unico abroga le norme pertinenti contenute nelle prime 2 leggi
dell’elenco;
• del decreto del comitato interministeriale per il Credito ed il risparmio del 4/3/2003 e del
conseguente provvedimento di attuazione del governatore della Banca d’Italia del
25/7/2003;
• di successivi aggiornamenti come pure di ulteriori provvedimenti.
Tra gli ulteriori provvedimenti figura la legge 108 del 7/3/1996 sulla lotta all’usura, che pone
un tetto al tasso di interesse applicato a un prestito. Più precisamente, all’inizio di ogni
trimestre il ministero del Tesoro rileva, attraverso la Banca d’Italia, il tasso (annuo) effettivo
globale medio, comprensivo di ogni commissione e spesa, imposte e tasse escluse, applicato da
banche e intermediari finanziari nel corso del precedente trimestre ai prestiti della stessa
categoria. I diversi tassi (annui) effettivi globali medi sono pubblicati nella Gazzetta Ufficiale
entro la fine del trimestre di rilevazione; una volta aumentati della metà, costituiscono il limite
oltre il quale si configura il reato di usura nel successivo trimestre. Se, per ipotesi, sono
convenuti interessi usurari, la clausola è nulla e gli interessi sono dovuti solo nella misura
legale.
OSSERVAZIONE. Le operazioni di credito al consumo hanno durata usualmente
compresa tra i 2 e i 5 anni e importo non superiore a €31.000, mentre i mutui ipotecari hanno
durata usualmente compresa tra i 7 e i 20 anni. Come spiegato in Borroni-Oriani (2008, sez.
3.4.3), il credito al consumo è concesso in assenza di garanzie reali; tuttavia, può assumere la
specie di mutuo chirografario, può prevedere una fidejussione, oppure il rischio di credito
può essere mitigato mediante la cessione del quinto dello stipendio o della pensione,
direttamente versato dal datore di lavoro o dall’ente previdenziale del debitore all’intermediario
finanziario. In tal caso, il rischio di infortunio, morte e perdita del lavoro va opportunamente
coperto.
69
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
Definizione. Il TAN è il tasso interno annuo (di interesse composto) dell’operazione
calcolato sull’importo lordo del prestito. Esso determina, in funzione del capitale prestato e
della durata del prestito, la quota di interesse e la quota di capitale di ciascuna rata presente nel
piano di ammortamento. Nello stabilire il TAN, l’intermediario finanziario tiene conto sia del
rischio di tasso sia del rischio di credito.
Definizione. Il TAEG/ISC è il tasso interno annuo (di interesse composto) dell’operazione
qualora si tenga conto che sul debitore gravano pure oneri accessori quali spese di istruttoria e
di apertura pratica come pure eventuali spese di perizia e di assicurazione, se quest’ultima è
richiesta dalla banca o dall’intermediario finanziario. Le spese di istruttoria e apertura pratica
(di perizia) sono sostenute dalla banca o dall’intermediario finanziario per valutare e gestire la
domanda di finanziamento (per valutare la garanzia reale). Tasse e imposte non vanno prese in
considerazione.
Il TAEG/ISC va indicato con 2 cifre decimali, mentre tutti i passaggi intermedi vanno eseguiti
con una precisione di almeno 8 cifre decimali; la regola per il calcolo dei giorni è effettivi/365.
OSSERVAZIONE. Il contratto di mutuo ipotecario va stipulato in Italia come atto pubblico
davanti a un notaio, il quale provvede pure all’iscrizione dell’ipoteca presso la Conservatoria
dei registri immobiliari e, eventualmente, alla sua cancellazione, sulla scorta di una lettera di
assenso della banca mutuante. L’ipoteca ha una durata legale di 20 anni. Diverse ipoteche a
garanzia di diversi creditori possono essere iscritte sullo stesso immobile; alla prima ipoteca in
ordine di tempo corrispondono il primo grado e quindi la massima priorità in caso di esproprio
e vendita dell’immobile. Nel calcolare l’ISC non si può tenere conto di tali spese notarili.
Esempio 13. Un mutuo ipotecario di €250.000, stipulato da una famiglia per l’acquisto
della propria abitazione, deve essere ripagato in 20 anni attraverso il versamento di 240 rate
mensili costanti posticipate, ciascuna pari a €1.541,43. Inoltre, al momento dell’erogazione del
prestito la famiglia mutuataria versa alla banca mutuante: le spese di istruttoria pari a €875
(0,35% dell’ammontare del mutuo), le spese di perizia pari a €500, l’imposta sostitutiva pari a
€625 (0,25% dell’ammontare del mutuo; per un immobile diverso dalla prima casa, l’aliquota
fiscale sarebbe stata del 2%). Per determinare TAN e ISC del mutuo bancario in esame, si
sceglie il mese quale unità di tempo per poi procedere nel modo seguente.
70
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
Svolgimento. Per ricavare il TAN i si calcola dapprima il tasso mensile di interesse
composto i12 che soddisfa l’equazione
250.000 = 1.541,43a240|i12
secondo la quale il prestito lordo al momento dell’erogazione è pari al valore attuale di tutte le
rate contrattuali. Il TAN (convertibile mensilmente) è allora pari a i = i12 * 12 ; avvalendosi
della procedura iterativa incorporata in un foglio elettronico si ricava i12 = 0,35% e
i = 4,20% .
Per ricavare l’ISC i si calcola dapprima, con la dovuta precisione, il tasso mensile di
interesse composto i12 che soddisfa l’equazione
250.000 − 875 − 500 = 248.625 = 1.541,43a240|i12
secondo la quale il prestito al lordo delle imposte al momento dell’erogazione è pari al valore
attuale di tutte le rate contrattuali (un’eventuale spesa di incasso della rata, per esempio €2,
andrebbe sommata alla corrispondente rata). Il prestito netto ammonta invece a
250.000 − 875 − 500 − 625 = 248.000 € . L’ISC è allora pari a i = (1 + i12 )12 − 1 ; avvalendosi
della procedura iterativa incorporata in un foglio elettronico si ricava i12 = 0,355% e quindi
i = 4,35% .
OSSERVAZIONE. Per la banca, a un solo esborso fanno seguito diversi incassi; pertanto,
come spiegato nella sezione 3, il tasso interno di interesse determinato nei 2 casi è unico.
Negli esercizi 27 e 28 si calcolano, rispettivamente, il TAEG di un prestito per esigenze
finanziarie diverse e il TAEG di un acquisto con pagamento rateale.
&——&——&
Esercizio 27. Una banca conceda a un pensionato un prestito per esigenze finanziarie
diverse di €11.000 contro cessione di un quinto della sua pensione. Il piano di ammortamento
preveda il pagamento di 48 rate mensili costanti posticipate, calcolate sulla base di un TAN del
5,40%. Al momento dell’erogazione del prestito il pensionato deve versare alla banca
finanziante: le spese di istruzione della pratica pari a €120, il premio unico dell’obbligatoria
assicurazione sulla vita pari a €880. Il pensionato paga pure la parcella della visita medica
preliminare alla stipula della polizza assicurativa. Si determini il TAEG riportato nel contratto
sottoscritto dal pensionato.
71
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
Soluzione. Il tempo t sia misurato in mesi, i rappresenti il TAEG incognito e i12 il tasso
mensile equivalente. La rata mensile posticipata vale
R=
11.000
a 48|0, 45%
= 209,61 €
Dall’equazione
11.000 − 120 − 880 = 10.000 = 209,61a 48|i12
si trae dapprima, avvalendosi della procedura iterativa incorporata in un foglio elettronico,
i12 = 0,785% . Procedendo con la dovuta precisione, si ricava poi i = (1 + i12 )12 − 1 = 9,83% . Il
prestito netto ammonta a 11.000 − 120 − 880 = 10.000 € .
Esercizio 28. Un impiegato acquisti un’utilitaria al prezzo omnicomprensivo di €16.250
pagandola ratealmente. A un anticipo di €6.250 fanno seguito 48 rate mensili posticipate;
calcolate sulla base di un TAN del 4,50%. Le spese di apertura pratica sono pari a €300, la
spesa di incasso di ciascuna rata è pari a €3 mentre l’imposta di bollo è di €24. Poiché
l’ammontare della rata mensile non deve superare il 33% dello stipendio, l’impiegato consegna
al concessionario una copia della sua più recente busta paga; inoltre, prima di concedere il
prestito, la società finanziaria del gruppo automobilistico accerta il suo grado di indebitamento
e la sua correttezza. Si determini il TAEG riportato nel contratto sottoscritto dall’impiegato.
Soluzione. Il tempo t sia misurato in mesi, i rappresenti il TAEG incognito e i12 il tasso
mensile equivalente. La rata mensile posticipata vale
R=
10.000
= 228,03 €
a 48|0,375%
Dall’equazione
10.000 − 300 = (228,03 + 3)a 48|i12
ovvero 9.700 = 331,03a 48|i12
si trae dapprima, avvalendosi della procedura iterativa incorporata in un foglio elettronico,
i12 = 0,560% . Procedendo con la dovuta precisione, si ricava poi i = (1 + i12 )12 − 1 = 6,93% . Il
prestito netto ammonta a 10.000 − 300 − 24 = 9.676 € di modo che il pagamento iniziale è pari
a 6.250 + 324 = 6.574 € .
72
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
3. Valutazione degli investimenti reali
3.1. Sull’uso dei bilanci pro-forma.
Una società manifatturiera può intraprendere un certo investimento reale per differenti
ragioni; per esempio, una fabbrica può essere realizzata in una località straniera per accrescere
il fatturato, poiché il paese straniero è un interessante mercato, o per ridurre i costi di
produzione, poiché il paese straniero offre una capace manodopera a buon mercato e/o una
favorevole tassazione, o per acquisire competenze, poiché il distretto della fabbrica è
tecnologicamente avanzato. Più in generale, le prestazioni dirigenziale, tecnica, commerciale
e finanziaria della società manifatturiera conseguono dall’attuazione di una strategia
competitiva, la quale, a sua volta, deve essere coerente con la struttura del settore
industriale.
Ad ogni modo, quando si tratta di valutare un progetto di investimento reale da parte di una
società, si deve tenere conto di molti e diversi aspetti attraverso un’esaustiva analisi, la cui
presentazione esula dagli scopi di questa dispensa. Basta qui rammentare che occorre coerenza
tra passato e futuro della società, vale a dire tra le competenze dirigenziali, tecniche e
commerciali come pure i risultati finanziari da un lato e la strategia competitiva dall’altro, che
a sua volta deve essere coerente con i piani di attuazione. Naturalmente, la valutazione
finanziaria fa parte dell’analisi e si basa su una sequenza di bilanci pro-forma, ottenuti
utilizzando il piano di mercato e il piano operativo come fonti di dati, per quanto concerne
rispettivamente i ricavi e i costi. Qualora si stenda un piano d’impresa, una sua sezione deve
riguardare la simulazione dei bilanci. Una schematica delineazione di tale metodo è proposta
più avanti in questo riquadro; il lettore interessato può consultare Benninga-Sarig (1997) per
una più completa presentazione.
Ogni bilancio comprende due costrutti, un conto economico e uno stato patrimoniale
semplificati, che sono simulati per alcuni futuri anni di esercizio di seguito, spesso n = 3 − 5
anni (ma anche n = 10 anni, quando si tratta di stendere il piano strategico societario). Nel fare
ciò, la gestione finanziaria della liquidità in eccesso non va presa in considerazione, poiché si
deve prestare attenzione solo alla gestione caratteristica. Per ogni futuro anno di esercizio in
esame si otterrà pure un rendiconto finanziario semplificato, avente un flusso di cassa per i
finanziatori o per gli azionisti nell’ultima posizione. In linea di principio, se si fa riferimento
al primo (al secondo), si considera il punto di vista dei creditori e degli azionisti (degli
azionisti).
73
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
OSSERVAZIONE. Se il progetto di investimento reale è intrapreso da una società già
esistente, tutte le voci di ciascun bilancio semplificato sono incrementali.
Indicatori finanziari quali il valore attuale netto, il tasso interno di rendimento, l’indice di
redditività e il tempo di recupero sono calcolati facendo riferimento alla simulata sequenza di
flussi di cassa annui per i finanziatori o per gli azionisti. Sia xt il flusso di cassa simulato per il
t-imo anno; se 0 è l’istante corrente e n è l’orizzonte temporale, la pertinente sequenza è
0
x1
x2
1
2
L
xn −1
xn
n −1
n
dove l’ultimo importo è la somma di un flusso di cassa e di un valore terminale. I bilanci proforma sono di solito simulati sintantoché ciascuno di essi recepisce un qualche tratto distintivo
del corrispondente esercizio, mentre il valore terminale può essere dato da una formula di
valutazione sotto la convenzionale ipotesi che per t > n~ ≥ n il progetto di investimento reale è
in stato stazionario con i flussi di cassa che crescono a un tasso medio annuo di lungo periodo
coerente con il tasso medio annuo di crescita della corrispondente economia. Qualora il
progetto di investimento reale sia finanziariamente congruo, ciò è segnalato da tutti gli
indicatori finanziari menzionati più sopra.
Quando si proiettano un conto economico e uno stato patrimoniale pro-forma, ci si avvale di
alcuni elementi perno, esprimendo altri elementi come loro percentuali. Per esempio, le scorte e
il credito commerciale possono essere espressi come percentuale del fatturato, mentre il debito
commerciale può essere espresso come percentuale dei costi totali; tutte le percentuali possono
risultare uguali ad opportune medie storiche. Si tenga presente che il conto economico è redatto
sulla base del maturato, mentre il rendiconto finanziario è redatto sulla base della cassa. Gli
elementi del rendiconto finanziario del t-imo anno sono dati da alcuni elementi del conto
economico del t-imo anno come pure da variazioni in alcuni elementi dello stato patrimoniale
del t-imo anno rispetto al precedente anno di esercizio. Il procedimento per ottenere un flusso
di cassa degli azionisti o dei finanziatori è schematizzato nella seguente tabella, dove, per
esempio, ∆mezzi propri(t ) > 0 discende da un aumento capitale, ∆mezzi propri(t ) < 0 discende
da un riacquisto di azioni proprie e ∆mezzi propri(t ) = mezzi propri(t ) − mezzi propri(t − 1) . Per
quanto riguarda le correzioni contabili, si rammenta che l’ammortamento viene sommato
all’utile netto, perché è un costo privo di corrispondente esborso; un incremento delle scorte
74
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
viene dedotto dall’utile netto, perché è un esborso privo di corrispondente costo, mentre un
decremento nelle scorte viene sommato all’utile netto, perché è un costo privo di
corrispondente esborso; un incremento del credito commerciale o dei ratei attivi viene
dedotto dall’utile netto, perché concerne dei ricavi ai quali non corrispondono ancora degli
incassi; un incremento nel debito commerciale, nei ratei passivi o nel debito fiscale viene
sommato all’utile netto, perché concerne dei costi ai quali non corrispondono ancora degli
esborsi; un incremento dei risconti attivi (per esempio, frazioni di premi assicurativi) viene
dedotto dall’utile netto, perché è un esborso anticipato privo di corrispondente costo, mentre un
incremento dei risconti passivi viene sommato all’utile netto, perché è un incasso anticipato
privo di corrispondente ricavo.
+ utile netto
+ ammortamento
–
∆capitale circolante netto
= liquidità operativa
–
investimento
+ ∆debito
= liquidità degli azionisti (= dividendo – ∆mezzi propri + ∆cassa)
+ interesse dopo le tasse
–
∆debito
= liquidità dei finanziatori
La rivendita di immobilizzazioni tecniche (immobili, impianti, equipaggiamento) è esclusa; se
non lo fosse, si dovrebbe tenere conto di plusvalenze e minusvalenze di capitale.
OSSERVAZIONE. Il piano d’impresa è uno strumento di pianificazione focalizzato sul
medio termine, vale a dire su un arco temporale di 3-5 anni. Può essere il caso di stenderlo,
qualora si debba amministrare una società, oppure raccogliere mezzi propri o capitale di debito,
oppure intraprendere un nuovo e impegnativo progetto, sia esso di investimento, o di
acquisizione e fusione, o di ristrutturazione. Il piano d’impresa deve essere sobrio e sintetico
come pure bene articolato, pertinente e esaustivo. Ogni affermazione deve essere comprovata
da precisi dati e particolareggiate informazioni; le fonti vanno citate. Le diverse copie
potrebbero essere numerate in modo da facilitare le richieste di restituzione.
75
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
Per quanto attiene all’amministrazione di una società, la stesura del piano d’impresa è un
processo iterativo, soggetto a periodiche verifiche e revisioni, da cui possono conseguire
adeguamenti nella strategia competitiva della società. In sede di pianificazione, si stabiliranno e
si concorderano prospettivamente gli obiettivi e le linee guida, per poi allocare coerentemente
le risorse nelle diverse unità aziendali; affinché l’attuazione sia possibile, occorre che l’analisi
sia sufficientemente profonda e condivisa. In sede di aggiornamento, si confronteranno tra loro
una prestazione effettiva e una prestazione prevista, mettendo così in evidenza i punti di forza e
di debolezza organizzativa; inoltre, si valuteranno retrospettivamente le diverse capacità
previsive e gestionali lungo un intero arco temporale.
Si supponga che un nuovo e impegnativo progetto di investimento reale stia per essere
intrapreso da una società manifatturiera di recente costituzione. Come spiegato in Ford et alii
(2007), nel piano d’impresa (lungo 30-50 cartelle) figurerano verosimilmente le seguenti
sezioni:
1) indice;
2) riassunto per dirigenti: società (missione aziendale, numero dei dipendenti, sede,
prodotti/mercati/tecnologia, dati di sintesi, proprietari/dirigenti chiave) e strategia
competitiva (visione, pietre miliari, caratteristiche differenzianti, fabbisogno di capitale,
dati di sintesi);
3) succinta descrizione qualitativa della società (missione aziendale, visione, obiettivi, cenni
storici, proprietari/dirigenti chiave);
4) prodotti e servizi: principali caratteristiche, impiego e attrattiva, stadio di sviluppo, proprietà
intellettuale;
5) piano di mercato: analisi di mercato (principali tendenze, segmentazione, attuali e potenziali
clienti), analisi del settore industriale (principali tendenze, concentrazione, differenziazione
del prodotto, barriere all’ingresso) e della concorrenza (attuali e potenziali concorrenti, loro
possibili mosse), analisi swot, strategia di mercato, ivi comprese le proiezioni del fatturato;
6) piano operativo: sviluppo dei prodotti, proprietà immobiliare e attrezzatura, fornitori,
processi e costi aziendali, gestione del magazzino, gestione della qualità, servizio al cliente,
manutenzione, normativa pertinente;
7) organizzazione e direzione aziendale: proprietari/dirigenti chiave e loro curricula vitae,
consulenti chiave, struttura organizzativa, piano del personale;
8) struttura finanziaria: forma giuridica della società, azionariato e struttura finanziaria,
fabbisogno di capitale;
76
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
9) piano finanziario: prestazione passata (almeno 3 bilanci), ipotesi chiave circa la prestazione
futura, bilanci pro forma, indicatori finanziari e indici di bilancio.
Il riassunto per dirigenti rappresenta la sezione cruciale, che va scritta per ultima. Gli esperti
scartano spesso un piano d’impresa senza andare oltre il riassunto per dirigenti.
OSSERVAZIONE. Nell’esaminare un settore industriale, si può fare un competente uso
delle nozioni di
• ciclo di vita di un prodotto / di un settore industriale, costituito dalle 4 fasi di iniziale
sviluppo, espansione e consolidamento, maturità, declino; gli iniziali fallimenti accadono
in un’elevata percentuale nella prima fase, mentre la liquidità può mancare nella seconda
fase e una considerevole efficienza è essenziale nella terza fase, dove l’innovazione di
processo è importante. Le società più mature si sono spesso dimostrate non in grado di
recepire un’innovazione radicale. Per quanto attiene ai prodotti assemblati, il numero di
società manifatturiere può crescere nella prima fase, quando avviene la sperimentazione,
raggiungendo un picco alla comparsa della configurazione dominante, le probabilità di
sopravvivenza essendo maggiori per le più esperte tra le società entranti. Una drastica
riorganizzazione può allora avere luogo nel settore industriale, dove iniziano a emergere
le società dominanti; contemporaneamente, le probabilità di sopravvivenza diventano più
sfavorevoli per le società nuove entranti. Come mostrato in Suárez-Utterback (1995), la
precedente affermazione trova riscontro negli USA e nei cicli di vita delle macchine da
scrivere, delle automobili, degli apparecchi televisivi, dei tubi catodici e dei transistori, le
date di comparsa delle loro configurazioni dominanti essendo il 1906, 1923, 1952, 1956,
1959.
• le 5 forze competitive secondo Porter, vale a dire 1) i fornitori, 2) i canali distributivi e i
clienti, 3) la concentrazione del settore industriale e i concorrenti; 4) le barriere
all’ingresso e i potenziali concorrenti, 5) i prodotti sostitutivi. Nei settori industriali più
concentrati le società hanno maggiore dimensione e beneficiano di più elevata
redditività, di maggiore facilità di finanziamento (soprattutto le cosiddette blue chips), di
migliori opportunità di imparare facendo e, magari, di più ampia attività di R&S. Le
barriere all’ingresso conseguono da tali caratteristiche distintive quali il marchio (vale a
dire, qualità del prodotto e del catalogo, assistenza al cliente), le economie di scala e di
scopo (dovute alla combinazione di produzione e distribuzione di massa) la
diversificazione, la R&S, le competenze dirigenziali, tecniche e commerciali, i brevetti e
i segreti industriali. Le competenze tecniche e dirigenziali sono state alla base del
77
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
mondiale successo nel dopoguerra della manifattura tedesca e giapponese come pure dei
produttori americani, i primi soprattutto nei settori industriali più tradizionali, i secondi
pure in quelli più innovativi, quali, per esempio, quello dei microprocessori, del software,
dell’ingegneria genetica.
3.2. Il valore attuale netto (VAN)
Il tempo t sia misurato in anni e 0 sia la data di valutazione. Si consideri la rappresentazione
di un progetto di investimento reale secondo la Matematica finanziaria; si tratta di una
sequenza (o successione finita) di esborsi (annui) previsti x t− (con x t− < 0 ) e incassi (annui)
previsti x t+ (con x t+ > 0 ), come mostrato nel seguente diagramma.
x0
x1
x2
0
1
2
L
x n −1
xn
n −1
n
Il valore attuale netto al tempo 0 di un progetto di investimento reale è
PV0 =
n
∑ xt (1 + r )−t
t =0
dove r è il tasso di rendimento (composto) richiesto, su base annua, se non diversamente
specificato. Il contesto è semideterministico, in quanto tutte le poste sono semicerte; sebbene
siano rappresentate come se fossero certe, non sono tali. Come spiegato in CuthbertsonNitzsche (2001, pag. 82), si può compiere un’analisi di sensitività, per valutare l’effetto
dell’incertezza sul valore attuale netto PV0 , il quale può essere calcolato, per esempio, 3 volte,
con riferimento a uno scenario pessimistico, intermedio e ottimistico. Tale approccio può essere
seguito pure per stimare il tasso interno di rendimento, l’indice di redditività e il tempo di
ripagamento del progetto di investimento.
Si accerta facilmente che il VAN è un operatore lineare: se i 2 progetti di investimento A, con
valore attuale netto PV0; A , e B, con valore attuale netto PV0; B , sono intrapresi insieme, il
risultante valore attuale netto è PV0; A+ B = PV0; A + PV0; B ; inoltre, raddoppiando tutte le poste
del progetto di investimento A si ha PV0;2 A = 2 PV0; A .
Nel prosieguo
• considereremo soprattutto investimenti in senso stretto, tutti gli esborsi dei quali si
verificano prima di tutti gli incassi;
78
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
• assumeremo il punto di vista di un alto dirigente di una società per azioni invece che di
un normale azionista non coinvolto nella gestione della società. Gli alti dirigenti
raccolgono capitale, proprio o di debito, per fare fronte agli esborsi iniziali e utilizzano i
successivi incassi per remunerare i finanziatori, ossia gli azionisti e i creditori.
Come mostrato nell’esercizio 29, il tasso di rendimento richiesto r ha un duplice significato,
essendo sia un costo del capitale sia un tasso di reinvestimento. Ogni società per azioni deve
remunerare i propri finanziatori a un tasso annuo detto costo del capitale, il quale dipende dalla
natura degli affari, dalla passata prestazione finanziaria e dalla corrente struttura
finanziaria. Se x t è un flusso di cassa per i finanziatori (per gli azionisti), r è un costo del
capitale totale (del capitale proprio), vale a dire il tasso di rendimento richiesto dai finanziatori
(dagli azionisti). Detto tasso può essere stimato attraverso un’analisi trasversale di alcune
società per azioni (quotate), che siano confrontabili in termini di natura degli affari (settori
industriali), di tecnologia e di clienti, come mostrato compiutamente da Benninga-Sarig (1997,
cap. 9). Un’idea di massima può essere evinta dalla Tabella 1, dove compaiono alcune stime
empiriche del costo del capitale proprio, ottenute con riferimento a un’impresa idealmente
priva di debito, il settore industriale e la dimensione dell’impresa essendo le 2 determinanti.
▲ Tasso annuo di interesse privo di rischio
▲ Settori industriali a basso rischio (società elettriche e telefoniche,
4%
6-7%
banche, compagnie di assicurazione)
▲ Settori industriali a medio rischio (maturi, con una moderata
8-9%
dipendenza dal ciclo economico)
▲ Settori industriali a elevato rischio (tecnologicamente avanzati)
10-12%
▲ Piccole imprese in un settore industriale maturo
13-15%
▲ Piccole imprese (anche appena costituite) in un settore industriale
15-20%
innovativo
Tabella 1 – Stime empiriche del costo annuo del capitale proprio per un’impresa idealmente priva di debito
(fonte: Massari, M., Zanetti, L., Valutazione finanziaria, Milano, McGraw Hill, 2004, cap. 5)
OSSERVAZIONE. Qualora il progetto di investimento reale sia intrapreso da una società
di nuova costituzione e x t sia un flusso di cassa per i finanziatori (per gli azionisti), il valore
attuale netto PV0 è pari al valore di mercato del capitale totale (del capitale proprio) della
società. Qualora il progetto di investimento reale sia intrapreso da una società già esistente, tali
valori sono incrementali.
79
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
Come ribadito da Luenberger (1998, pag. 25), “il criterio del valore attuale netto è piuttosto
convincente e in effetti è generalmente ritenuto la migliore singola misura della bontà di un
investimento.” Più precisamente,
• se si esamina la fattibilità di un unico progetto di investimento, l’appropriata regola di
decisione è “intraprendi il progetto, se il suo valore attuale netto PV0 al tasso di
rendimento richiesto r è positivo”;
• se si deve scegliere un solo progetto tra 2 o più progetti alternativi di investimento,
l’appropriata regola di decisione è “intraprendi il progetto con il più elevato valore
attuale netto PV0 > 0 al tasso di rendimento richiesto r”. Nell’effettuare tale selezione si
possono prendere in considerazione alternative che differiscano per taglia e/o durata,
supponendo tacitamente che il divario sia colmato da progetti integrativi di investimento
aventi valore attuale nullo, perché effettuati al tasso di rendimento richiesto. Tuttavia, ciò
potrebbe non avere senso; un esempio in merito è quello delle attività ripetibili, trattato
in Luenberger (1998, pag. 29). Poiché il rendimento è composto e ogni progetto di
investimento è una rendita immediata, massimizzando il valore attuale netto PV0 si
massimizza pure il valore futuro netto
FV n =
n
∑ xt (1 + r )n−t = PV0 (1 + r )n
t =0
in virtù della scindibilità; il primo è calcolato alla data di valutazione, il secondo
all’orizzonte temporale.
• Si considerino più progetti di investimento indipendenti, ciascuno caratterizzato da un
solo esborso seguito da più incassi; si supponga di dover selezionare uno o più di tali
progetti sotto un vincolo di bilancio. Sebbene il fine sia quello di trovare la combinazione
di progetti con massimo valore attuale netto, la graduatoria dei progetti di investimento
deve basarsi sull’indice di redditività, come mostrato nell’esercizio 32.
A nostro avviso, sebbene sia opportuno attenersi a tali regole di decisione, il calcolo del tasso
interno di rendimento e del tempo di ripagamento di ciascun progetto di investimento potrebbe
fornire qualche altra utile informazione.
80
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
Esercizio 29. Si consideri la seguente sequenza di flussi di cassa per i finanziatori (per gli
azionisti), dove il tempo è misurato in anni e xt+ ( xt− ) indica un incasso (un esborso).
x0−
x1−
x2+
x3+
0
1
2
3
tempo
Sia r il tasso annuo di rendimento richiesto dai finanziatori (dagli azionisti). Con riferimento
al procedimento di calcolo del valore attuale netto di questo progetto di investimento, si mostri
che il tasso di rendimento richiesto rappresenta un costo del capitale come pure un tasso di
reinvestimento.
Soluzione. Il valore attuale netto al tempo 0 e il montante netto al tempo 3 valgono
PV0 = x0− + x1− (1 + r )−1 + x 2+ (1 + r )−2 + x3+ (1 + r )−3
FV3 = PV0 (1 + r )3 = x0− (1 + r )3 + x1− (1 + r )2 + x2+ (1 + r ) + x3+
FV3 ha lo stesso segno di PV0 e è proporzionale a PV0 . Pertanto, FV3 , un montante di
esborsi e incassi, può sostituire PV0 come indicatore finanziario. Quando, nella seconda
equazione, un esborso (incasso) viene trasferito avanti nel tempo, r rappresenta un costo del
capitale (tasso di reinvestimento). Questa proprietà vale per una qualsiasi sequenza di poste, a
condizione che il rendimento sia composto.
Esercizio 30. Una società immobiliare può
a) continuare a affittare un complesso di appartamenti di sua proprietà per altri 5 anni,
incassando € 0,6 milioni all’anno al netto delle spese. Presumibilmente, tra 5 anni il
complesso immobiliare potrà essere venduto a € 11 milioni.
b) vendere il complesso immobiliare adesso, in cambio di € 10 milioni, e effettuare un
investimento alternativo al tasso annuo di rendimento dell’8%.
Si dica quale sia l’alternativa migliore, qualora non si tenga conto di ammortamento, inflazione,
e tasse.
Soluzione. Si osservi che quanto pagato in passato per il complesso immobiliare è un costo
affondato, non pertinente ai fini della valutazione. Poiché i valori attuali delle 2 alternative sono
(il tempo è misurato in anni e gli importi sono espressi in 10 6 € )
PVA = 0,6a5|8% + 11 *1,08−5 = 9,882 e PV B = 10
la seconda alternativa (vendere adesso) è meglio della prima (vendere tra 5 anni).
81
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
OSSERVAZIONE. Come mostrato nell’esercizio 29, il criterio del valore futuro netto è
equivalente al criterio del valore attuale netto in virtù della scindibilità. Poiché i valori futuri
netti dopo 5 anni delle 2 alternative sono (il tempo è misurato in anni e gli importi sono espressi
in 10 6 € )
FV A = PV A 1,08 5 = 0,6 s 5|8% + 11 = 14 ,520 e FV B = PV B 1,08 5 = 10 *1,08 5 = 14 ,693
si ottiene ancora la precedente graduatoria, la seconda alternativa (vendere adesso e reinvestire)
essendo migliore della prima (reinvestire gli incassi e vendere tra 5 anni).
Esercizio 31. Un uomo d’affari sta prendendo in considerazione l’acquisto di alcune
attrezzature per ufficio del valore di €80.000. L’acquisto può avvenire mediante
a) pagamento in contanti, con un conseguente sconto dell’8%;
b) pagamento a rate: a un iniziale versamento di €16.000 fanno seguito 4 rate semestrali
posticipate, ciascuna di €16.000.
Si determinino le condizioni di acquisto più favorevoli, nell’ipotesi (convenzionale) che l’uomo
d’affari possa dare e prendere in prestito denaro al tasso del 6,09% annuo effettivo.
Soluzione. L’equivalente tasso semestrale è i2 = 1,0609 − 1 = 3% . Le condizioni a) sono
meno onerose, in quanto i valori attuali delle 2 alternative sono
PV A = 73.600 € e PV B = 16.000 + 16.000a 4|3% = 75.473,57 €
Esercizio 32. I dirigenti di una società per azioni potrebbero investire al massimo €500.000
in uno o più tra 5 progetti in senso stretto. In ciascun caso, a un iniziale esborso fa seguito una
sequenza di incassi, come riportato nella tabella più sotto.
progetto
82
esborso (€)
valore attuale incassi (€)
1
100.000
190.000
2
100.000
180.000
3
200.000
300.000
4
250.000
500.000
5
250.000
400.000
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
Ogni progetto di investimento può essere realizzato solo in piena scala. Avvalendosi di un
metodo euristico, si determinino la combinazione ottima degli investimenti e il suo valore
attuale netto.
Soluzione. I simboli VAN e IR indichino rispettivamente un valore attuale netto e un indice
di redditività, vale a dire un rapporto benefici-costi. Poiché
VAN = valore attuale incassi − esborso
e IR =
valore attuale incassi
esborso
con VAN ≥ 0 ⇔ IR ≥ 1 , la precedente tabella può essere così estesa
progetto
esborso (€)
VAN (€)
valore attuale
IR
incassi (€)
1
100.000
190.000
90.000
1,9
2
100.000
180.000
80.000
1,8
3
200.000
300.000
100.000
1,5
4
250.000
500.000
250.000
2,0
5
250.000
400.000
150.000
1,6
I progetti 4, 1 e 2 posseggono i maggiori indici di redditività IR e richiedono un esborso totale
di €450.000, coerentemente con il vincolo di bilancio di €500.000. Ai progetti 4, 1 e 2 insieme
corrisponde il massimo VAN, pari a €420.000. Nel caso di problemi più articolati, il metodo
euristico appena impiegato restituisce una soluzione approssimata, spesso attendibile. Per
determinare con certezza la soluzione ottima bisogna risolvere un problema di ottimizzazione
zero-uno (si veda Luenberger, 1998, cap. 5).
3.3. Il tasso interno di rendimento (TIR)
Il tempo t sia misurato in anni, 0 sia la data di valutazione e t k sia un numero razionale. Si
consideri un progetto di investimento reale, rappresentato mediante una sequenza di poste
comprendente esborsi
(xk− < 0)
e incassi
(xk+ > 0)
previsti, come mostrato nel seguente
diagramma
x0
x1
x2
0
t1
t2
L
x n −1
xn
t n−1
tn
83
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
Il tasso interno di rendimento è un’opportuna radice reale r dell’equazione
0=
n
∑ xk (1 + r )−t
k
k =0
tale che r > −1 . Un progetto di investimento reale e un suo multiplo (per esempio, tutte le poste
sono triplicate) hanno lo stesso tasso interno di rendimento r . In alcuni casi la radice r può
non esistere, oppure possono esistere diverse radici reali maggiori di -1; tuttavia, nel caso
dell’importante categoria degli investimenti in senso stretto, la radice reale r esiste, è unica e
può assumere qualsiasi segno. Le seguenti proposizioni sul tasso interno di rendimento (per
anno) possono risultare utili per rilevare eventuali errori di calcolo in un modello finanziario.
Proposizione. Se tutti gli esborsi precedono tutti gli incassi, il tasso interno di rendimento è
ben definito (esiste un’unica opportuna radice, che può essere positiva, nulla o negativa).
 n


 k =0


Proposizione. Se gli incassi superano gli esborsi  ∑ x k > 0  e tutti gli esborsi precedono
tutti gli incassi, il tasso interno di rendimento è unico e positivo.
Esempio 14.
xt
-5
-5
-5
10
10
t
0
1
2
3
4
Svolgimento. Poichè incasso totale = 20 > esborso totale = 15 e tutti gli esborsi precedono
tutti gli incassi, il tasso interno di rendimento r è unico, positivo e pari al 12,074% annuo,
come si può verificare utilizzando la funzione TIR incorporata in un foglio elettronico.
CENNO ALLA DIMOSTRAZIONE. Si consideri la precedente sequenza di poste; i
simboli PVt , FVt e Vt rappresentino il suo valore attuale, montante e valore al tempo t. Il
valore al tempo 2 di questa sequenza di poste è
[
] [
V 2 = FV 2 + PV 2 = −5 (1 + r )2 + (1 + r ) + 1 + 10 (1 + r )−1 + (1 + r )−2
]
Si consideri V 2 come funzione di r. Poiché gli incassi superano gli esborsi, si ha
V2 (0) = −15 + 20 = +5 . Inoltre, V2 (r ) decresce al crescere di r (sia FV 2 sia PV 2 si comportano
così) e lim V2 (r ) = −∞ . Poiché V2 (r ) è una funzione continua, essa deve attraversare l’asse r
r → +∞
84
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
una e una sola volta in corrispondenza di un valore positivo r , che è l’unico tasso interno di
rendimento. Infatti, V2 (r ) = 0 implica che
PV0 (r ) = (1 + r )−2 V 2 (r ) = 0
a causa della scindibilità. E’ agevole rendersi conto che una simile dimostrazione vale per ogni
sequenza di poste che soddisfi le ipotesi.
OSSERVAZIONE. La scadenza media aritmetica di una sequenza di poste è una media
pesata di tutte le scadenze, i pesi essendo i rapporti tra ciascuna posta e la somma di tutte le
poste. Come dimostrato dal matematico italiano Eugenio Levi, 1913-1969, se gli incassi
 n


 k =0


superano gli esborsi  ∑ x k > 0  e la scadenza media aritmetica degli esborsi precede la
scadenza del primo incasso, esiste un solo tasso interno di rendimento positivo. Si osservi che
la proposizione non esclude l’esistenza di altre radici, che devono essere negative, come
mostrato nel prossimo esempio. Quando l’ipotesi più sopra sulla scadenza media aritmetica è
soddisfatta, il primo pagamento x0 è un esborso.
Esempio 15.
xt
-20
-20
15
15
15
15
-10
t
0
1
2
3
4
5
6
Svolgimento. Poichè
incasso totale = 60 > esborso totale = 50
aritmetica degli esborsi è
e la scadenza media
0 * 20 + 1 * 20 + 6 *10
= 1,6 < 2 , c’è un solo tasso interno di
20 + 20 + 10
rendimento positivo. Si ha inoltre PV0 (0 ) =
6
∑ xk > 0 e
k =0
lim PV0 (r ) = −∞ , in quanto l’ultimo
r → −1+
pagamento è un esborso e − 10(1 + r )−6 è il termine dominante di PV0 (r ) per r → −1+ .
Pertanto, ci deve pure essere almeno una radice negativa. Infatti, utilizzando opportunamente la
funzione TIR incorporata in un foglio elettronico, si trovano 2 tassi interni di rendimento,
rispettivamente pari al -58,435% e al 9,307% annuo.
Proposizione (C.J. Norstrøm, 1972). Le scadenze siano periodiche e Bt = x0 + x1 + K + xt
rappresenti il saldo di cassa al tempo t, subito dopo il pagamento dell’importo xt . Se Bt ≠ 0 per
85
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
t = 0,1,K, n e la sequenza
{B0 , B1,K, Bn } presenta uno e un solo cambiamento di segno,
l’equazione in esame possiede un’unica radice positiva (si tenga presente che se xt ≠ 0 , Bt = 0
deve essere considerato come un cambiamento di segno).
Esempio 16.
xt
-5
1
-3
8
4
Bt
-5
-4
-7
1
5
t
0
1
2
3
4
Svolgimento. Come si evince dalla seconda riga della tabella più sopra, la sequenza del
saldo di cassa presenta uno e un solo cambiamento di segno, che avviene tra il tempo 2 e il
tempo 3. Pertanto, il tasso interno di rendimento è unico, positivo e pari al 22,109% annuo,
come si può verificare utilizzando la funzione TIR incorporata in un foglio elettronico.
Le seguenti proprietà di PV0 (r ) , il valore attuale netto al tempo 0 di un investimento in senso
stretto, torneranno utili nel prosieguo; esse sono illustrate dalle figure degli esercizi 33 e 34.
Proposizione. Se tutti gli esborsi precedono tutti gli incassi, si ha PV0 (r ) > 0 solo per
−1 < r < r , dove r è l’unico tasso interno di rendimento. Infatti, il valore attuale netto PV0 (r ) ,
quando positivo, è una funzione decrescente e convessa del tasso di rendimento richiesto r e
tale che lim PV0 (r ) = +∞ . Inoltre, PV0 (r ) può avere un solo punto di stazionarietà, il quale è
r → −1+
un minimo negativo.
DIMOSTRAZIONE. Quando r tende a −1+ , xn+ (1 + r )−tn è il termine di dominante di
PV0 (r ) di modo che il limite tende a + ∞ . Sia τ un istante di tempo compreso tra l’ultima
scadenza degli esborsi e la prima scadenza degli incassi. La derivata prima di PV0 (r ) rispetto a
r è tale che
n
n
dPV0 (r )
=
xk (−tk )(1 + r )−t k −1 <
xk (−τ )(1 + r )−tk −1 = −τ (1 + r )−1 PV0 (r )
dr
k =0
k =0
∑
∑
mentre la derivata seconda di PV0 (r ) rispetto a r è tale che
d 2 PV0 (r )
dr 2
86
=
n
∑
k =0
xk tk (tk + 1)(1 + r )−tk −2 >
n
∑ xk tk (τ + 1)(1 + r )−t −2 = −(τ + 1)(1 + r )−1
k
k =0
dPV0 (r )
dr
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
Pertanto, PV0 (r ) > 0 comporta che
comporta che
d 2 PV0 (r )
dr 2
dPV0 (r )
d 2 PV0 (r )
dPV0 (r )
<0 e
> 0 . Inoltre,
=0
dr
dr
dr 2
> 0 ; in altre parole, ogni punto di stazionarietà è un minimo negativo.
Poiché due minimi sono separati da un massimo, PV0 (r ) può avere un solo punto di
stazionarietà.
Sull’uso congiunto di VAN e TIR
Sebbene il riferimento al tasso interno di rendimento sia frequente in sede operativa, il TIR è
più un complemento che un sostituto del VAN. Si tenga presente che il TIR è un costo del
capitale come pure un tasso di reinvestimento; pertanto, esso perde di significato se
particolarmente elevato, in quanto gli incassi non possono essere effettivamente reinvestiti a
tale condizione. A nostro avviso, come precedentemente sostenuto, un decisore avveduto
dovrebbe prendere in considerazione entrambi gli indicatori finanziari, in quanto forniscono
dell’utile informazione; tuttavia, egli dovrebbe privilegiare il VAN ogni volta che i due
rispettivi criteri di decisione siano in contrasto.
TIR e VAN risultano coerenti e danno la stessa indicazione nel seguente importante caso;
ciò consegue dalle precedenti proposizioni. Qualora si esamini la fattibilità di un progetto di
investimento in senso stretto, la regola di decisione “intraprendi il progetto se il suo tasso di
rendimento interno r è maggiore del tasso di rendimento richiesto r” è equivalente alla regola,
enunciata enunciata in precedenza, “intraprendi il progetto, se il suo valore attuale netto PV0 al
tasso di rendimento richiesto r è positivo”.
CENNO ALLA DIMOSTRAZIONE. Come dimostrato più sopra, si ha PV0 (r ) > 0 solo
per −1 < r < r , dove r è l’unico tasso interno di rendimento. Ci sono 2 possibilità:
n
1) se gli incassi non superano gli esborsi
∑ x k ≤ 0 , l’unico TIR r
è non positivo di modo che
k =0
PV0 (r ) < 0 per tutti gli r > 0 . Il progetto non va intrapreso: il TIR è minore di ogni tasso di
rendimento richiesto positivo di modo che il VAN a qualsiasi tasso di rendimento richiesto è
negativo;
87
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
n
2) se gli incassi superano gli esborsi
∑ xk > 0 ,
l’unico TIR r è positivo di modo che
k =0
PV0 (r ) > 0 for 0 ≤ r < r . Il progetto può essere intrapreso se il TIR è maggiore del tasso di
rendimento richiesto di modo che il VAN al tasso di rendimento richiesto è positivo.
Se si deve scegliere un solo progetto tra 2 o più progetti alternativi di investimento in senso
stretto, la regola di decisione “intraprendi il progetto con il più elevato TIR r , purché
maggiore del tasso di rendimento richiesto r” non è equivalente alla regola, enunciata in
precedenza, “intraprendi il progetto con il più elevato valore attuale netto PV0 > 0 al tasso di
rendimento richiesto r” e non va utilizzata, come mostrato nell’esercizio 34.
Esercizio 33. Si consideri il seguente progetto di investimento reale in senso stretto, dove il
tempo è misurato in anni e un iniziale esborso x0− è seguito da diversi incassi xk+ con
k = 1,2,K, n .
x0−
x1+
x 2+
0
1
2
x n+
L
n
tempo
Il valore attuale netto al tempo 0 del progetto di investimento è PV0 = x0− +
n
∑ xk+ (1 + r )−k ,
k =1
dove r è il tasso annuo di rendimento richiesto.
a) Si supponga che gli incassi superino l’esborso iniziale: x0− +
n
∑ xk+ > 0 ; si determinino le
k =1
caratteristiche qualitative del grafico di PV0 (r ) (suggerimento: si rammenta che, come
dimostrato nella sezione 3.3, PV0 (r ) > 0 per −1 < r < r ).
b) Si abbia n = 3 , x0− = −1.400 e xt+ = 550 ; le poste siano espresse in 103 € . Si verifichi che
il tasso interno di rendimento è r = 8,688% .
Soluzione. Poiché gli incassi superano l’esborso iniziale per ipotesi e l’esborso iniziale
precede tutti gli incassi, il tasso di rendimento interno è unico e positivo, come dimostrato nel
precedente riquadro e mostrato nel seguente diagramma.
a) Quando un iniziale esborso è seguito da diversi incassi, si ha
88
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
1) PV0 (0) = x0− +
n
∑ xk+ ;
k =1
2) lim PV0 (r ) = x0− : l’iniziale esborso è un asintoto orizzontale;
r →+∞
3)
4)
n
dPV0 (r )
=
xk+ (−k )(1 + r )− k −1 < 0 : PV0 (r ) decresce al crescere di r;
dr
k =1
∑
d 2 PV0 (r )
dr
2
=
n
∑ xk+ k (k + 1)(1 + r )−k −2 > 0 : PV0 (r ) è una funzione convessa.
k =1
Poiché PV0 (r ) è una funzione continua, PV0 (0) > 0 per ipotesi e lim PV0 (r ) < 0 , l’asse
r →+∞
orizzontale r viene attraversato una e una sola volta in corrispondenza di un valore positivo
r , che è l’unico tasso interno di rendimento.
250
200
150
100
50
20,0%
17,5%
15,0%
12,5%
10,0%
-100
7,5%
5,0%
2,5%
-50
0,0%
0
-150
-200
-250
PV0(r)
b) Si ha
PV0 (8,688%) = −1.400 + 550a3|8,688% = 0
come richiesto dalla definizione di tasso interno di rendimento.
Esercizio 34. I dirigenti di una società per azioni devono decidere se intraprendere l’uno o
l’altro dei 2 seguenti progetti di investimento reale in senso stretto (il tempo è misurato in anni
e le poste sono espresse in 103 € ).
89
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
A
-10
10
1
1
B
-10
1
1
12
tempo
0
1
2
3
a) Per ciascun progetto di investimento si tracci il grafico del valore attuale netto PV (r ) al
tempo 0 quale funzione del tasso annuo di rendimento richiesto r.
b) Si supponga che il tasso di rendimento richiesto sia l’8% e si determini quale progetto debba
essere finanziato.
Soluzione. I grafici dei PV (r ) di entrambi i progetti compaiono nella figura più sotto
5,00
4,00
3,00
2,00
1,00
30,00%
27,50%
25,00%
22,50%
20,00%
17,50%
15,00%
12,50%
10,00%
7,50%
5,00%
-2,00
2,50%
-1,00
0,00%
0,00
-3,00
-4,00
pvA
pvB
a) In entrambi i casi,
• poiché un esborso è seguito da diversi incassi, il valore attuale netto PV (r ) è una
funzione decrescente e convessa di r; inoltre, l’iniziale esborso è un asintoto orizzontale
lim PVA (r ) = lim PVB (r ) = −10.000
r →+∞
r →+∞
• poiché gli incassi superano l’esborso iniziale ( PVA (0) = 2.000 e PVB (0) = 4.000 ), il
tasso interno di rendimento è unico e positivo.
Inoltre, i 2 grafici hanno un solo punto comune
PVA = PVB = 603,60 per r = 10,554%
mentre PVA (20%) = −393,52 e PVB (20%) = −1.527,78 ; pertanto, si ha
PVA < PVB per r < 10,554% e PVA > PVB per r > 10,554%
90
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
b) Sebbene procedendo per via numerica si ricavi TIRA = 16,044% > TIRB = 12,937% , il
progetto B è più redditizio, poiché gli incassi sono verosimilmente reinvestiti a un tasso
dell’8%
PVA( 8%) = 910,43 € < PVB( 8%) = 1.309,25 €
3.4. Il valore attuale rettificato
Il procedimento di valutazione proposto in questo riquadro si fonda sulla nozione di valore
attuale rettificato (o adjusted present value); esso può essere coerente con l’ipotesi di
irrilevanza della struttura finanziaria, a condizione che si tenga conto sia delle imposte
societarie sia delle imposte personali. La presentazione è mutuata da Benninga-Sarig (1997,
cap. 8) ma si contraddistingue per il ricorso a una regola euristica bene accetta dagli operatori
bancari e volta a minimizzare il rischio di fallimento. A nostro avviso, si tratta del
procedimento di valutazione più strutturato e meglio definito tra quelli disponibili; è inoltre
quello meglio dominabile da un non specialista.
Il tempo t sia misurato in anni e 0 sia l’istante di valutazione. Si consideri un progetto di
investimento reale, rappresentato mediante una sequenza di flussi di cassa per i finanziatori
(
)
(
)
comprendente esborsi annui xt− < 0 e incassi annui xt+ > 0 previsti, come mostrato nel
seguente diagramma
0
x1
x2
1
2
L
x n −1
xn
n −1
n
dove n è l’orizzonte temporale e l’ultimo importo x n è la somma di un flusso di cassa per i
finanziatori e di un valore terminale.
Per valutare tale progetto di investimento reale si deve
• determinare un’appropriata leva finanziaria (iniziale), procedendo per prove ed errori.
Secondo lo schema contabile della sezione 3.1, ogni volta che si contrae un debito, si usa
meno liquidità e/o si raccoglie meno capitale proprio ma poi seguono utili netti
comparativamente più bassi. Tuttavia, bisogna tenere presente che una leva finanziaria
troppo alta esporrebbe eccessivamente l’impresa al rischio di fallimento. Per accertare se
una data leva finanziaria (iniziale) sia sostenibile, si deve considerare il caso di completo
ripagamento del debito a rate costanti in, diciamo, non più di 10 anni e fare uso di una
91
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
regola euristica bene accetta dagli operatori bancari. Più specificatamente, occorre
verificare se il seguente rapporto
liquidità operativat + interesset
rata costante
noto come indice di copertura del servizio annuo del debito, giaccia nell’intervallo
[1,3; 2] per
t = 1,2,L, n ; la liquidità operativa è una voce del rendiconto finanziario ed è
uguale all’utile netto più l’ammortamento meno la variazione del capitale circolante
netto.
• simulare i bilanci pro-forma per n anni di seguito, calcolare i flussi di cassa per i
finanziatori
{x1 ; x 2 ; L; x n }
e poi supporre che il progetto di investimento reale sia
finanziato solo da capitale proprio. Di conseguenza, i flussi di cassa per i finanziatori
sono pari ai flussi di cassa per gli azionisti. Tuttavia, quando si introduce la leva
finanziaria, i secondi mutano mentre i primi rimangono generalmente invariati. Sia r * il
tasso di rendimento richiesto, vale a dire l’opportuno costo del capitale proprio per
un’impresa priva di debito estratto dalla Tabella 1. Il valore attuale netto PV0* del
progetto di investimento reale finanziato solo da capitale proprio è
PV0* =
∑ xt (1 + r* )
n
−t
t =1
• considerare gli effetti della leva finanziaria. Lo svantaggio insito nell’indebitamento è
dato dal rischio di fallimento da esso generato; il vantaggio insito nell’indebitamento è
dato dallo scudo fiscale prodotto dalla deducibilità dell’interesse. Poiché il valore attuale
netto è un operatore lineare, i flussi di cassa per i finanziatori essendo in generale pari
agli originali flussi di cassa per gli azionisti, si può calcolare il valore attuale rettificato
PV0 del progetto di investimento reale come somma di 2 termini
PV0 = PV0* + PV0**
dove PV0* è il valore attuale netto del progetto di investimento reale finanziato solo da
capitale proprio mentre PV0** è il valore attuale netto del debito. Si usa l’appropriato
costo del capitale proprio r * per un’impresa priva di debito per calcolare il primo e il
costo del debito i per calcolare il secondo; in linea di principio, si ha r * > i . Si accerta
agevolmente che il secondo è uguale al valore attuale netto dello scudo fiscale, vale a
dire
92
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
PV0** =
n
∑ interesset τ (1 + i )−t + TS0
t =1
dove τ è l’aliquota fiscale dell’imposta societaria e TS 0 è il valore attuale al tempo 0
dei risparmi fiscali conseguiti quando t > n . Infatti, ciascun capitale preso a prestito è
uguale al valore attuale al tasso i delle successive quote di interesse e di capitale. Qualora
il rischio di fallimento non sia trascurabile, bisogna sottrarre a PV0** il valore attuale dei
costi attesi del dissesto finanziario. Secondo l’usuale approccio, il valore attuale dei costi
attesi del dissesto finanziario è pari alla probabilità di fallimento moltiplicata per il
valore attuale dei costi del dissesto finanziario. Il procedimento di stima è indiretto e
difficile. Più precisamente, la Tabella 4 è una tipica fonte della probabilità di insolvenza,
a condizione che il merito di credito delle obbligazioni sia stato stimato. Inoltre, studi su
passati dissesti finanziari e fallimenti sono la fonte del valore attuale dei costi del
dissesto finanziario; tuttavia, è verosimile incorrere in considerevoli errori.
Sfortunatamente, questa è una carenza del valore attuale rettificato.
OSSERVAZIONE. Poiché errori di modello sono possibili, la simulazione dei flussi di
cassa per i finanziatori non è completamente affidabile. Nelle scienze ingegneristiche, gli
errori di modello sono compensati da un adeguato margine di sicurezza; pertanto, il valore
attuale rettificato PV0 deve essere adeguatamente maggiore di 0 e ciascun indice di copertura
del servizio annuo del debito deve essere adeguatamente maggiore di 1,3.
OSSERVAZIONE. Sia D0 il valore di mercato del debito netto (=debiti finanziari–cassa e
banca–titoli di pronto smobilizzo–crediti finanziari) al tempo 0. Qualora il progetto di
investimento reale sia intrapreso da una società di nuova costituzione, il valore attuale
rettificato PV0 è pari al valore di mercato del capitale totale della società mentre PV0 − D0 è
pari al valore di mercato del capitale proprio della società. Qualora il progetto di investimento
reale sia intrapreso da una società già esistente, tali valori sono incrementali.
OSSERVAZIONE. Qualora il rapporto tra debito e capitale proprio vari considerevolmente
nel tempo, il valore attuale rettificato è una nozione più appropriata del costo medio
ponderato del capitale. Un’operazione di leveraged buy out è un esempio in merito. Come
mostrato in Benninga-Sarig (1997, cap. 8), il costo medio ponderato del capitale rWACC è pari a
rWACC = wr** + (1 − w)i (1 − τ )
93
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
dove r ** è l’opportuno costo del capitale proprio per un’impresa indebitata, i(1 − τ ) è il costo
del debito al netto dell’imposta societaria, il peso w è il rapporto tra il valore di mercato del
capitale proprio e il valore di mercato del capitale totale, il peso (1 − w) è il rapporto tra il
valore di mercato del debito e il valore di mercato del capitale totale. Si suppone di solito che
r ** giaccia sulla security market line, un costrutto del capital asset pricing model di William
F. Sharpe, John Lintner e Jan Mossin, presentato in Luenberger (1998, cap. 7).
Sfortunatamente, il costo medio ponderato del capitale presenta due gravi difetti. In primo
luogo, il valore di mercato del capitale proprio e quindi il valore di mercato del capitale totale
sono spesso incogniti, in quanto sono i risultati del procedimento di valutazione. In tal caso, i
valori di mercato sono spesso sostituiti dai valori di libro. Inoltre, la leva finanziaria, espressa
dal peso (1 − w) , è costante nel tempo per ipotesi; ciò trova difficilmente riscontro nella realtà.
OSSERVAZIONE. Secondo il diritto tributario italiano, la differenza tra gli interessi
passivi e gli interessi attivi può essere dedotta dal reddito di impresa per un ammontare non
maggiore del 30% del margine operativo lordo (o EBITDA). Qualsiasi eccesso può essere
dedotto nei successivi esercizi, rispettando comunque il vincolo del 30%; il margine operativo
lordo non utilizzato lo può essere successivamente. La norma non si applica, tra l’altro, alle
banche, alle compagnie di assicurazione e alle società pubbliche che forniscono acqua, energia,
teleriscaldamento, o raccolgono i rifiuti o depurano.
Si può pure risolvere un problema inverso, nel quale il valore attuale rettificato PV0 è
assegnato mentre il costo r del capitale totale è da determinare. Il costo del capitale totale
cercato rende il valore attuale di tutti i flussi di cassa per i finanziatori pari a
PV0 = PV0* + PV0** =
n
∑ xt (1 + r )−t . Tale equazione può possedere radici multiple.
t =1
Proposizione. Se i flussi di cassa per i finanziatori
{x1 ; x 2 ; L ; x n }
sono tali che tutti gli
esborsi dei finanziatori precedono tutti gli incassi dei finanziatori, esiste un unico costo r del
capitale totale, che è minore del costo r * del capitale proprio per un’impresa priva di debito,
vale a dire r < r * .
DIMOSTRAZIONE. Se si assimila il valore attuale rettificato PV0 a un fittizio esborso
iniziale, calcolare r è come calcolare un tasso interno di rendimento. Poiché tutti gli esborsi
94
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
precedono tutti gli incassi, il tasso di rendimento interno cercato esiste ed è unico; inoltre,
n
quando è positiva,
∑ xt (1 + r )−t
è una funzione decrescente e convessa di r, tale che
t =1
lim PV0 (r ) = +∞ . Poiché
r → −1+
PV0 =
∑ xt (1 + r )−t > PV0* = ∑ xt (1 + r* )
n
n
t =1
t =1
−t
si ha r < r * .
Esempio 17. Si fa riferimento ad uno studio di fattibilità effettuato nel 2007 per accertare se
convenga costruire un impianto di cogenerazione a biomassa nella pianura agricola del nord
Italia. Tale impianto è alimentato da legno, scarti delle lavorazioni del legno, rami potati,
cereali e residui di cereali; produce energia rinnovabile, più precisamente 1,1MW di
elettricità verde e 12MW di calore, fornibile entro la distanza massima di km15 attraverso il
teleriscaldamento. Nei mesi più freddi possiede un’elevata efficienza operativa (=energia in
uscita/energia in ingresso) dell’80% al massimo, che si confronta con il 35% al massimo di
un’impianto convenzionale che produca solamente elettricità. La sua emissione netta di CO2 è
nulla: l’anidride carbonica emessa nell’atmosfera è stata precedentemente assorbita da essa
durante la recente crescita della biomassa.
L’attività verrà intrapresa da una nuova società pubblica. Più specificatamente, occorrono 3
anni per progettare l’impianto e ottenere la licenza edilizia; occorre invece 1 anno per costruire
l’impianto, il cui ciclo di vita è di 30 anni. Pertanto, i flussi di cassa per i finanziatori sono
negativi per i primi 4 anni e positivi per i successivi 30 anni, durante i quali la capacità
produttiva non varia e l’investimento è modesto. Si raccoglie capitale proprio e si contrae
debito solo durante i primi 4 anni. Il rapporto tra debito e capitale proprio è costante nel tempo
e pari a 1,5; naturalmente, si considerano valori di libro. Tale leva finanziaria è sostenibile; si
constata infatti che tutto il debito può essere ripagato in 8 esercizi senza correre alcun rischio di
insolvenza. Per semplicità, non vengono mai distribuiti dividendi; gli utili ritenuti accrescono la
cassa, la quale può essere utilizzata per ripagare il debito. Attraverso i certificati verdi, la
produzione di elettricità verde beneficia di sussidi durante i primi 8 anni di esercizio.
Si simulano i bilanci pro-forma per n = 14 anni di seguito, utilizzando un rapporto tra
valore del capitale totale e margine operativo lordo (EBITDA) pari a 7,5 per calcolare il valore
terminale del capitale totale della società pubblica. Attraverso tale simulazione si ricava la
95
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
sequenza di n = 14 flussi di cassa per gli azionisti (espressi in 10 3 €) riportata nella seguente
tabella.
xt
-2.078,0
-2.161,1
-2.249,5
-4.421,8
1.670,3
1.959,0
1.959,0
t
1
2
3
4
5
6
7
xt
1.959,0
1.959,0
1.959,0
1.959,0
1.959,0
963,2
11.390,4
t
8
9
10
11
12
13
14
L’appropriato costo del capitale proprio per un’impresa priva di debito è r * = 8% . Il costo
del debito è i = 6,50% mentre il valore attuale netto dello scudo fiscale è PV0** = 1.504,63 .
Si trovino il valore attuale rettificato PV0 e il costo del capitale totale r.
Svolgimento. Scontando la sequenza dei flussi di cassa per gli azionisti al tasso r * = 8% , si
ricava PV0* = 3.497,61 . Si ha dunque PV0 = PV0* + PV0** = 3.497,61 + 1.504,63 = 5.002,24 ;
tale valore attuale rettificato costituisce una stima del valore di mercato al tempo 0 del capitale
totale della nuova società pubblica.
Il calcolo di r è riconducibile al calcolo del tasso interno di rendimento della seguente
sequenza di flussi di cassa
t
t
-7.080,2
-2.161,1
-2.249,5
-4.421,8
1.670,3
1.959,0
1.959,0
1
2
3
4
5
6
7
1.959,0
1.959,0
1.959,0
1.959,0
1.959,0
963,2
11.390,4
8
9
10
11
12
13
14
Utilizzando la funzione TIR incorporata in un foglio elettronico, si ricava r = 6,83% .
Sulla valutazione di un’impresa nella pratica professionale
Tra i metodi di valutazione di un’impresa usati nella pratica professionale spiccano quelli
tradizionali fondati sull’attualizzazione dei flussi di cassa o sui multipli. Molti professori di
96
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
finanza anglosassoni preferiscono i primi mentre molti esperti di finanza fanno ricorso ai
secondi. Tuttavia, entrambi i metodi dovrebbero essere impiegati e poi riconciliati.
Nel primo caso, la valutazione è analitica e prospettiva. Si proiettano, su un foglio
elettronico, uno stato patrimoniale e un conto economico per 3-5 o più anni nel futuro, cosicché
si può simulare un rendiconto finanziario e ottenere una successione di flussi di cassa dei
finanziatori. Come già spiegato, si considera solo la gestione caratteristica, trascurando invece
la gestione finanziaria della liquidità in eccesso. Si calcola poi un valore terminale dell’impresa
dopo 3-5 o più anni per mezzo di una formula di valutazione o di un multiplo; si ottiene allora
una stima del valore di mercato del capitale totale dell’impresa attualizzando i flussi di cassa
dei finanziatori e il valore terminale a un opportuno costo del capitale totale, spesso un costo
medio ponderato del capitale (si vedano Benninga-Sarig, 1997, cap. 3 e cap. 8).
Alternativamente, si può calcolare un valore attuale rettificato del capitale totale dell’impresa
avvalendosi del procedimento presentato più sopra, che è più saldo sul piano teorico. Infine, si
possono attualizzare i flussi di cassa degli azionisti a un opportuno costo del capitale proprio
(si vedano Benninga-Sarig, 1997, cap. 13), ottenendo così il valore di mercato del capitale
proprio dell’impresa. E’ difficile usare i flussi di cassa dei finanziatori, qualora sia difficile
definire il valore di mercato del debito. E’ invece difficile usare i flussi di cassa degli azionisti,
qualora siano presenti obbligazioni convertibili e warrant.
Nel secondo caso, la valutazione è empirica e può essere retrospettiva, come accade
usualmente nel campo del private equity. Il valore di mercato del capitale totale dell’impresa è
spesso stimato mediante l’una o l’altra delle seguenti equazioni
valore del capitale totale = k EBIT o valore del capitale totale = k EBITDA
dove k è il multiplo e EBIT(DA) è una media degli ultimi 3-5 valori o l’ultimo valore
disponibile dell’utile prima degli oneri finanziari, delle tasse (e dell’ammortamento), vale a dire
del margine operativo netto (lordo). Tale calcolo può essere pure svolto con riferimento al
fatturato. Si tenga presente che opportuni aggiustamenti sono apportati al margine operativo
netto o lordo di bilancio. Il multiplo k è un’opportuna media dei multipli relativi alle varie
società comparabili quotate che operano nel settore industriale in esame.
OSSERVAZIONE. Secondo un’affidabile regola euristica, l’obiettivo ideale di
un’operazione di leveraged buy out è un’impresa manifatturiera con una consolidata posizione
in un settore industriale maturo e tale che
EBITDA/fatturato=12-13%, capitale circolante/fatturato=30-35%, investimento/fatturato=1-2%
97
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
Sebbene la redditività dell’impresa non sia elevata, in coerenza con la sua appartenenza a un
settore industriale maturo, il capitale circolante e l’investimento non pesano troppo di modo che
un moderato incremento del fatturato non farebbe danno. In linea di principio, fintantoché
EBIT/interesse >2 e debito/EBITDA<4,5
si può ottenere ulteriore credito da una banca.
Gli esperti italiani di finanza utilizzano pure il metodo patrimoniale, che è analitico e
retrospettivo. Più precisamente, essi stimano il valore di mercato del capitale proprio di
un’impresa corregendo le voci del più recente stato patrimoniale sotto l’ipotesi convenzionale
che l’impresa cessi la propria attività e sia liquidata. E’ verosimile che emergano differenze tra
i valori di mercato e i valori di libro, per esempio, delle attività intangibili, delle partecipazioni
a causa del metodo di consolidamento, delle immobilizzazioni a causa dell’inflazione e del
divario tra ammortamento ed obsolescenza delle immobilizzazioni, dei crediti e dei debiti non
rappresentati da titoli quotati (per esempio, il valore di libro di un credito esigibile tra 2 anni è
il valore facciale mentre il valore di mercato è il suo valore attuale). Il metodo patrimoniale è
coerente con il caso particolare in cui la redditività media dell’impresa è normale, vale a dire è
proprio quella richiesta dagli investitori. Ciò spiega perché il metodo patrimoniale sia ancillare
e non vada utilizzato da solo, a meno che l’impresa da valutare sia in fase di liquidazione.
98
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
4. Obbligazioni a tasso fisso
4.1. Apprezzamento di obbligazioni a tasso fisso e con cedole annue
Il tempo sia misurato in anni. Si consideri un prestito diviso in obbligazioni a tasso fisso,
con cedole annue e con valore facciale (o nominale) percentuale pari a 100; siano c il tasso
cedolare annuo e n il numero delle rimanenti cedole. Come mostrato dal seguente diagramma,
ogni obbligazione stacca una cedola 100c alla fine di ogni anno e restituisce il valore facciale
100 alla scadenza n senza pagare alcun premio di rimborso. L’emittente delle obbligazioni
non disponga della facoltà di rimborso anticipato.
0
t
100c
100c
1
2
L
100c
n −1
100(1 + c )
n
Se, inoltre, la più recente cedola è stata staccata (o le obbligazioni sono state emesse) al tempo
0, t è il tempo trascorso da allora ( 0 ≤ t < 1) , di modo che i dietimi (o rateo di interesse)
valgono 100ct . Ove non diversamente specificato, si farà astrazione in tutta la sezione da
giorni di differimento, commissioni e tasse, assumendo pure che ogni mese abbia 30 giorni,
coerentemente con la regola di calcolo dei giorni 30/360 europea.
Si supponga che la giornaliera quotazione delle obbligazioni sia pubblicamente disponibile e
riportata, tra l’altro, in una pagina elettronica di un fornitore di informazione e in una pagina
cartacea di un quotidiano finanziario.
Scadenza
1/2/2009
15/4/2009
1/5/2009
15/6/2009
1/11/2009
Tasso cedolare
3,00%
3,00%
4,50%
3,75%
4,25%
Corso secco
100,050
100,170
100,780
100,680
101,460
Rendimento
a scadenza
2,61%
2,53%
2,56%
2,47%
2,63%
Tabella 2 – Quotazioni di alcuni BTP rilevate il 27/11/2008; le cedole dei BTP sono semestrali
(Copia parziale da: il Sole 24 Ore, venerdì 28/11/2008)
Sebbene tale quotazione sia un corso secco Pclean , ogni compratore deve pagare un corso tel
quel Pdirty al venditore, dove Pdirty = Pclean + 100ct ; entrambi i corsi sono espressi come
percentuale dell’effettivo valore facciale di ogni obbligazione.
99
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
Esempio 18. Un risparmiatore compri oggi delle obbligazioni con valore facciale di
€75.000, cedole annue al tasso cedolare del 9% e durata residua di 14 mesi. L’odierna
quotazione sia 102,13. Si determinino l’odierno corso tel quel e l’esborso del risparmiatore
nell’ipotesi che ogni mese abbia 30 giorni.
Svolgimento. Poiché la durata residua è di 14 mesi, il prossimo stacco di cedola avverrà tra
14 − 12 = 2 mesi; in altre parole, sono trascorsi 10 mesi dall’emissione o dall’ultimo stacco di
cedola. Pertanto, i dietimi e il corso tel quel valgono
100 * 0,09
10
= 7,50 e Pdirty = Pclean + 7,50 = 102,13 + 7,50 = 109,63
12
Siccome il corso tel quel è espresso come percentuale del valore facciale dell’obbligazione, il
prezzo di un’unità di valore facciale è
unità di valore facciale è 75.000
109,63
, mentre l’esborso del risparmiatore per 75.000
100
109,63
= 82.222,50 € .
100
Giorni di differimento, commissioni e tasse sono esplicitamente considerati nell’esercizio
35. Sia t il corrente istante ( 0 ≤ t < 1) . Il tasso annuo (lordo) di rendimento a scadenza delle
obbligazioni, comprate al tempo t e detenute sino alla loro scadenza n, è il tasso interno di
rendimento definito dall’equazione
(
)
Pdirty = Pclean + 100ct = 100can| y + 100(1 + y )− n (1 + y )t
sotto l’ipotesi che l’interesse sia composto annualmente. La sua parte destra può essere
derivata coerentemente con la nozione di scindibilità: tutti i futuri incassi sono dapprima
trasferiti all’indietro al tempo 0; il loro valore attuale è poi trasferito in avanti al tempo t.
All’esborso iniziale Pdirty fanno dunque seguito n incassi, il cui totale ammonta a
n100c +100 > Pdirty , in quanto gli obbligazionisti sono operatori razionali. In virtù della
condizione sufficiente riportata nella sezione 3.3, il tasso interno di rendimento y è unico e
positivo.
Per t = 0 l’equazione più sopra coincide con l’equazione (3.1) con m = 1 riportata in
Luenberger (1998); per 0 < t < 1 l’equazione più sopra estende l’equazione (3.1) con m = 1
riportata in Luenberger (1998).
OSSERVAZIONE. La precedente equazione nell’incognita y non possiede una soluzione
analitica. Ciò nonostante, avvalendosi della funzione Goal Seek incorporata nel foglio
elettronico Excel, si può determinare un’affidabile soluzione numerica (approssimata).
100
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
Un’inizializzazione, spesso superflua, per il procedimento iterativo di calcolo è data dalla
formula approssimata
yˆ =
100c + (100 − Pclean ) / n
(100 + 2 Pclean ) / 3
Il contesto è semideterministico, in quanto si tiene conto del rischio di tasso e del rischio
credito. Il rendimento effettivo delle obbligazioni è incerto e, in generale, diverso dal
rendimento a scadenza; tutte le poste sono semicerte.
Apprezzamento di obbligazioni con cedole semestrali (trimestrali)
La precedente equazione vale pure per le obbligazioni con cedole semestrali (trimestrali).
In tal caso, tuttavia, il tempo deve essere misurato in semestri (trimestri) e sia il tasso cedolare
c sia il tasso di rendimento a scadenza y devono essere espressi su base semestrale
(trimestrale).
La funzione rendimento a scadenza-prezzo
Si consideri un’obbligazione a tasso fisso con valore facciale (o nominale) percentuale di
100 e con n cedole annue pari a 100c. Il tempo sia misurato in anni e 0 sia il corrente istante di
modo che l’obbligazione quota ex cedola; di conseguenza, i dietimi sono nulli e i corsi secco e
tel quel sono uguali
Pdirty = Pclean = 100ca n| y + 100(1 + y )− n
Si consideri il corso ex cedola Pclean ( y ) come funzione del tasso annuo di rendimento a
scadenza y. Si ha
1) Pclean (0) = n100c + 100 = (nc + 1)100 > 100 ;
2) Pclean (c) = 100c
1 − (1 + c )− n
+ 100(1 + c )−n = 100 ;
c
3) lim Pclean ( y ) = 0 + di modo che l’asse delle ascisse y è un asintoto orizzontale;
y →+∞
4)
n
dPclean ( y )
= −n(1 + y )− n −1100 + − t (1 + y )−t −1100c < 0 di modo che il grafico di Pclean ( y )
dy
t =1
∑
ha inclinazione negativa;
5)
d 2 Pclean ( y)
dy 2
> 0 di modo che il grafico di Pclean ( y ) è convesso.
101
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
Come mostrato nel seguente diagramma, dove c = 5% o 10% e n = 5 , poiché Pclean ( y ) è una
funzione continua, si ha, per ogni data scadenza n e tasso cedolare c,
1) Pclean ( y ) > 100 per 0 ≤ y < c , ossia l’obbligazione è quotata a premio;
2) Pclean (c ) = 100 , ossia l’obbligazione è quotata alla pari;
3) Pclean ( y ) < 100 per c < y , ossia l’obbligazione è quotata a sconto.
Inoltre, per ogni data scadenza n e tasso annuo di rendimento a scadenza y, tanto maggiore è il
tasso cedolare c, quanto maggiore è il corso ex cedola Pclean ( y ) .
150
100
50
0
0%
5%
10%
15%
20%
Pclean(y) c=5%
25%
30%
35%
40%
Pclean(y) c=10%
Le obbligazioni a tasso fisso sono di solito emesse vicino alla pari, vale a dire con tasso
cedolare c vicino al tasso annuo di rendimento a scadenza y allora richiesto dal mercato per la
scadenza n e per il merito di credito dell’emittente. Tuttavia, poiché le condizioni di mercato
mutano al passare del tempo, i corsi secchi delle obbligazioni a tasso fisso possono differire, a
volte pure marcatamente, dal loro valore nominale, pari a 100. Più precisamente, un incremento
(decremento) nel tasso di rendimento a scadenza y produce un decremento (incremento) nel
corso tel quel e dunque nel corso secco Pclean ( y ) . La reazione del corso ex cedola a ogni dato
∆y è asimmetrica: un ∆y positivo (negativo) fa sì che Pclean ( y ) fletta di meno (cresca di più).
Per ogni dato tasso di rendimento a scadenza y < c , si dimostra mediante induzione
matematica che tanto più lontana è la scadenza n, quanto maggiore è il corso ex cedola.
Pertanto, al crescere della scadenza n, la curva prezzo-rendimento Pclean ( y ) diviene più ripida e
ruota in senso orario attorno al punto alla pari. Un esempio in merito è riportato nel diagramma
sotto, dove c = 5% e n = 2 o 5 o 10 .
102
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
150
100
50
0
0%
5%
10%
15%
Pclean(y) n=2
20%
25%
Pclean(y) n=5
30%
35%
40%
Pclean(y) n=10
Sul tasso di rendimento effettivo
Si supponga che un’obbligazione a tasso fisso sia comprata al tempo t e detenuta sino a
scadenza. Poiché il suo tasso di rendimento a scadenza y è un tasso interno di rendimento, si
suppone pure tacitamente che tutte le cedole siano reinvestite a tale tasso, una circostanza
improbabile. Pertanto, il tasso di rendimento effettivo dell’obbligazione differisce di solito dal
suo tasso di rendimento a scadenza y; l’effetto esercitato dal tasso di reinvestimento è
esaminato nell’esercizio 38, dove si fa riferimento a una scadenza n intermedia e a tassi di
reinvestimento plausibili in un contesto a bassa inflazione.
Ad ogni modo, sebbene i tassi di reinvestimento a medio e lungo termine siano difficilmente
predicibili, gli errori di predizione saranno verosimilmente analoghi per obbligazioni con la
stessa scadenza. Questa è probabilmente la ragione per cui i gestori di fondi obbligazionari
fanno ricorso al tasso di rendimento a scadenza nel confrontare obbligazioni a tasso fisso con
simili scadenze e simili meriti di credito.
OSSERVAZIONE. Il tasso di rendimento a scadenza di un portafoglio obbligazionario non
è una media pesata dei tassi di rendimenti a scadenza delle obbligazioni che lo compongono, i
pesi essendo le percentuali investite nelle obbligazioni.
Si consideri ora la seguente particolare operazione finanziaria, concernente un’obbligazione
a tasso fisso e con cedole annue pari a 100c. Essa sia comprata e poi rivenduta dopo un’anno,
103
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
sempre a un corso ex cedola e in corrispondenza del medesimo tasso annuo di rendimento a
scadenza y. Poiché l’obbligazione è, in tale circostanza, una rendita con n rimanenti rate annue,
non costanti e posticipate, il tasso di rendimento effettivo è pari a y. Inoltre, la variazione
annua nel corso ex cedola è
∆Pclean = 100( y − c )(1 + y )− n
dove n indica il numero delle rimanenti cedole al momento dell’acquisto. Si ha
• ∆Pclean ( y ) < 0 per 0 ≤ y < c . Sebbene l’obbligazione sia quotata a premio, la cedola
incassata è troppo grassa e viene compensata da una minusvalenza di capitale;
• ∆Pclean (c ) = 0 , ossia l’obbligazione è comunque quotata alla pari;
• ∆Pclean ( y ) > 0 per c < y . Sebbene l’obbligazione sia quotata a sconto; la cedola incassata
è troppo magra e viene compensata da una plusvalenza di capitale.
OSSERVAZIONE. Qualora y sia sempre lo stesso, ai successivi stacchi di cedola si
registrerà un’analoga situazione. In particolare, per y ≠ c il corso ex cedola ridurrà ogni anno la
sua distanza da 100, annullandola al momento del rimborso; tali variazioni sono causate dal
passare del tempo.
Esercizio 35. Un risparmiatore compri mercoledì 23 giugno dei buoni del Tesoro poliennali
con valore nominale di €25.000, tasso fisso del 3,20% e 3 cedole semestrali residue, in
pagamento il 1/4 e il 1/10. Tali obbligazioni siano state emesse alla pari; la loro quotazione sia
99,83; la data di regolamento è lunedì 28 giugno. Le cedole e l’eventuale plusvalenza di
capitale sono tassate con aliquota del 12,50%. La regola per il calcolo dei giorni è
effettivi/effettivi. Si determini l’esborso del risparmiatore, facendo astrazione dalla
commissione bancaria.
Soluzione. Il tempo sia misurato in semestri. Poiché l’ultima cedola è stata staccata giovedì
1 aprile e la successiva sarà staccata venerdì 1 ottobre, i giorni effettivamente trascorsi dal più
recente stacco sono 29 + 31 + 28 = 88 di modo che
t=
88
183
Inoltre, poiché il tasso cedolare dei BTP è convertibile semestralmente, le cedole semestrali
lorda e netta valgono
100 *
104
0,032
= 1,60 e 1,60 * 0,875 = 1,40
2
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
rispettivamente; nella prassi operativa i dietimi sono netti, in quanto i risparmiatori incassano
cedole nette. Pertanto, i dietimi e il corso tel quel sono pari a
1,40
88
= 0,67 e Pdirty = 99,83 + 0,67 = 100,50
183
Siccome il prezzo di un’unità di valore facciale è
25.000 unità di valore facciale ammonta a 25.000
100,50
, l’esborso del risparmiatore per
100
100,50
= 25.125 € .
100
OSSERVAZIONE. Il regolamento di una sottoscrizione all’asta di BTP o di CCT avviene
con 2 giorni lavorativi di differimento; il regolamento di una compravendita di BTP, di CCT, o
di obbligazioni societarie avviene con 3 giorni lavorativi di differimento. Per le obbligazioni
con cedole emesse dopo il 1/1/1999, la regola per il calcolo dei giorni è effettivi/effettivi.
Le aste elettroniche di emissione di BTP o di CCT periodicamente tenute dalla Banca d’Italia
sono marginali; in tali aste tutte le migliori offerte degli intermedari finanziari per
un’obbligazione sono soddisfatte al prezzo marginale, quello dell’ultima offerta accolta. Non ci
sono commissioni di sottoscrizione per i BTP e i CCT, in quanto esse sono retrocesse dal
Tesoro italiano agli intermediari finanziari aggiudicatari al momento della sottoscrizione.
Esercizio 36. Un risparmiatore compri oggi delle obbligazioni societarie con valore facciale
di €100.000, cedole annue al tasso cedolare del 5,76% e durata residua di 26 mesi. Tali
obbligazioni siano state emesse alla pari e la loro quotazione odierna sia 101,34. Le cedole e
l’eventuale plusvalenza di capitale sono tassate con aliquota del 20%; la commissione bancaria
sia pari allo 0,25% del valore facciale. Si determinino
a) l’esborso del risparmiatore;
b) il tassi annui lordo e netto di rendimento a scadenza.
Soluzione. Il tempo sia misurato in anni e ogni mese abbia 30 giorni. Le cedole annue lorda
e netta valgono 100 * 0,0576 = 5,76 e 5,76 * 0,8 = 4,608 . Poichè l’ultimo stacco di cedola è
avvenuto 10 mesi fa, i dietimi e il corso tel quel sono
4,608
10
= 3,84 e Pdirty = 101,34 + 3,84 + 0,25 = 105,43
12
a) L’esborso del risparmiatore per 100.000 unità di valore facciale ammonta a
100.000
105,79
= 105.430 €
100
b) I tassi incogniti y soddisfano le 2 equazioni
105
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
Pdirty = 101,34 + 5,76
(
)
10
= 101,34 + 4,80 = 106,14 = 5,76a3| y + 100(1 + y )−3 (1 + y )10 / 12
12
(
)
Pdirty = 105,43 = 4,608a3| y + 100(1 + y )−3 (1 + y )10 / 12
che non possiedono una soluzione analitica. Utilizzando la funzione Goal Seek incorporata
nel foglio elettronico Excel, si possono determinare 2 soluzioni numeriche (approssimate);
il tasso annuo lordo risulta pari a y = 5,081% mentre il tasso annuo netto risulta pari a
y = 3,823% .
OSSERVAZIONE. Si consideri il caso di una persona fisica residente in Italia che
percepisca dei redditi obbligazionari al di fuori dell’esercizio di un’attività di impresa, avendo
optato esplicitamente per il regime di tassazione più diffuso, quello del risparmio
amministrato, introdotto dal decreto legislativo 461 del 21/11/1997. Egli tenga le proprie
obbligazioni (titoli di Stato e equiparati come pure obbligazioni emesse da banche operanti in
Italia o da società quotate in Italia) in custodia e amministrazione presso una banca o una SIM
senza avere delegato l’attività di gestione. Come spiegato in Mignarri (2012), il prelievo fiscale
è operato dall’intermediario finanziario per conto dell’erario; esso è a titolo di imposta
sostitutiva, sempre con aliquota del 12,5% o del 20%. Più precisamente, l’onere fiscale grava
sulle cedole e sul disaggio (o scarto) di emissione, al momento della loro percezione, come
pure sulle plusvalenze di capitale, al momento della loro realizzazione. Di conseguenza, tali
redditi finanziari non vanno riportati nella dichiarazione dei redditi. L’aliquota fiscale per i
titoli di Stato, sia nazionali sia esteri purché di opportuni paesi, e per le obbligazioni emesse da
enti sovranazionali è del 12,5% mentre l’aliquota fiscale per le obbligazioni societarie è del
20%. Secondo il decreto legge 201 del 6/12/2011, ogni anno si effettua un ulteriore prelievo
fiscale pari allo 0,15% del valore di mercato di tutte le obbligazioni depositate presso banche e
altri intermediari finanziari.
Qualora il risparmiatore del precedente esercizio detenga l’obbligazione sino a scadenza, in
tale momento conseguirà una minusvalenza pari a 101,59-100=1,59, dove 101,59 è il corso
secco di acquisto aumentato della commissione bancaria. Egli potrà dedurre la minusvalenza,
sino alla sua concorrenza, da plusvalenze, anche e non solo su opportune azioni, conseguite
nello stesso anno o nei 4 anni successivi. Se, coeteris paribus, la quotazione odierna
dell’obbligazione, aumentata della commissione bancaria, fosse stata Pclean < 100 , alla sua
scadenza il risparmiatore avrebbe conseguito una plusvalenza pari a 100 − Pclean , compensabile
con opportune minusvalenze o soggetta a un prelievo fiscale pari a (100 − Pclean )0,20 .
106
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
~
Più in generale, siano n~ e Pclean il numero delle cedole annue e il corso secco
all’emissione di un’obbligazione societaria con valore nominale percentuale pari a 100 e tasso
~
~
cedolare annuo c; per Pclean < 0 si ha un disaggio di emissione pari a 100 − Pclean , sul quale è
(
)
~
operato, alla scadenza dell’obbligazione, un prelievo fiscale pari a 100 − Pclean 0,20 . Qualora
l’obbligazione non sia mai negoziata, l’imposta sostitutiva è interamente a carico dell’unico
detentore; altrimenti, l’imposta sostitutiva deve essere pagata da ciascun detentore
proporzionalmente al periodo di detenzione.
Per comprendere il caso generale, è sufficiente considerare il caso particolare, ma significativo,
di un risparmiatore che acquisti l’obbligazione in esame successivamente alla sua emissione e
la detenga sino a scadenza. Qualora egli la acquisti al corso secco Pclean comprensivo della
commissione bancaria, n essendo il numero delle rimanenti cedole e t essendo il tempo
trascorso dall’ultimo stacco, il corso secco omnicomprensivo sarà
n~ − (n − t )
~
Pclean − max 100 − Pclean ;0 0,20
n~
(
)
dove il secondo termine è il rateo dell’imposta sostitutiva sul disaggio di emissione a carico del
precedente detentore, n~ − (n − t ) essendo il tempo trascorso dall’emissione. Il corso tel quel
sarà dunque
n~ − (n − t )
~
Pdirty = Pclean − max 100 − Pclean ;0 0,20
+ 100c0,80t
n~
(
)
Alla scadenza dell’obbligazione il risparmiatore
• incasserà l’ultima cedola netta, pari a 100c0,80 ;
• incasserà il valore nominale, pari a 100, diminuito dell’intera imposta sostitutiva sul
~
disaggio di emissione, pari a max 100 − Pclean ;0 0,20 ;
(
)
• conseguirà verosimilmente una plusvalenza o una minusvalenza pari a
(
)
n−t
~
100 − Pclean − max 100 − Pclean ;0 ~
n
da trattare in uno dei 2 modi menzionati più sopra. Il terzo termine è il rateo di disaggio
di emissione maturato nel periodo di detenzione n − t .
Pertanto, per determinare l’eventuale plusvalenza o minusvalenza, al corso secco di vendita si
sottraggono il corso secco di acquisto e il rateo di scarto di emissione maturato tra acquisto e
vendita; ciascun corso secco è pari una quotazione, diminuita o aumentata della commissione
bancaria. Qualora la stessa obbligazione sia acquistata più volte, l’intermediario finanziario farà
uso del corso secco medio ponderato di acquisto.
107
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
Esercizio 37. Si consideri un’obbligazione con valore facciale percentuale di 100, cedole
semestrali, tasso cedolare del 4,20% e durata residua di 22 mesi. L’odierno tasso di rendimento
a scadenza sia il 4,04 % annuo effettivo. Si determinino
a) l’odierno corso secco;
b) il corso ex cedola tra 4 mesi, nell’ipotesi che il tasso di rendimento a scadenza non vari.
Soluzione. Il tempo sia misurato in semestri. Poiché il tasso cedolare è convertibile
semestralmente, la cedola semestrale vale 100
0,042
= 2,10 . Inoltre, un rendimento del 4,04%
2
(
)
annuo effettivo è equivalente a un rendimento del 2% semestrale 1,02 2 = 1,0404 .
a) A causa della scindibilità il corso tel quel soddisfa l’equazione
(
)
Pdirty = 2,10an| y 2 + 100 * (1 + y2 )− n (1 + y2 )t
dove n = 4 è il numero delle rimanenti cedole, y2 = 2% è il tasso di rendimento
semestrale, t =
60 1
= semestre (ossia 2 mesi) è il tempo trascorso dall’ultimo stacco di
180 3
cedola (o dall’emissione dell’obbligazione). Pertanto i corsi tel quel e secco valgono oggi
Pdirty = 101,05 e Pclean = 101,05 − 0,70 = 100,35
dove l’importo 2,10t =
2,10
= 0,70 costituisce i dietimi.
3
b) Il corso ex cedola tra 4 mesi è
Pclean = 2,10a3|2% + 100 * 1,02
−3
2
= 101,50 * 1,02 3
− 2,10 = 100,29
Si rammenta che, se il tasso di rendimento a scadenza y2 è costante, l’obbligazione è una
rendita con n rimanenti rate semestrali, non costanti e posticipate. Il valore della rendita tra
4 mesi, pari a Pdirty (1 + y2 )4 / 6 , è la somma di un montante, la cedola in pagamento, e di un
valore attuale, il corso ex cedola.
Esercizio 38. Si consideri un’obbligazione con valore facciale percentuale di 100, cedole
annue, tasso cedolare del 3% e durata residua di 10 anni. Dopo essere stata comprata oggi, alla
quotazione di 91,89, l’obbligazione sia detenuta sino a scadenza, reinvestendo tutte le cedole a
un tasso annuo del 2%, o del 3%, o del 5%, o del 6%. Si determinino il montante tra 10 anni e il
corrispondente tasso annuo di rendimento effettivo.
108
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
Soluzione. Il tempo sia misurato in anni. La cedola annua ammonta a 100 * 0,03 = 3 . Poichè
l’ultimo stacco di cedola è appena avvenuto, i dietimi sono nulli di modo che il corso tel quel è
uguale al corso secco. Il tasso annuo di rendimento a scadenza incognito y soddisfa
l’equazione del montante
91,89(1 + y )10 = 3s10| y + 100
vale a dire l’abituale equazione del valore attuale con entrambe le parti moltiplicate per
(1 + y )10 . Avvalendosi della funzione Goal Seek incorporata incorporata nel foglio elettronico
Excel, si ricava y = 4% .
Il tasso annuo di rendimento effettivo incognito y ACT soddisfa l’equazione del montante
91,89(1 + y ACT )10 = 3s10|i + 100 = FV10
dove i è il tasso annuo di reinvestimento mentre FV10 è il corrispondente montante tra 10 anni.
Si ha
i
FV10
y ACT
2%
132,85
3,755%
3%
134,39
3,875%
4%
136,02
4%
5%
137,73
4,130%
6%
139,54
4,266%
OSSERVAZIONE. Qualora l’obbligazione sia venduta prima della scadenza, per esempio
tra 4 anni al corso ex cedola Pclean , il tasso annuo di rendimento effettivo y ACT soddisfa
l’equazione del montante
91,89(1 + y ACT )4 = 3s4|i + Pclean = FV4
In tale caso, al rischio di reinvestimento delle cedole si aggiunge il rischio di prezzo.
4.2. Durata media finanziaria
La durata media finanziaria di un’obbligazione misura in modo approssimato la sensitività
del corso tel quel Pdirty a un’improvvisa e contenuta variazione nel tasso annuo di rendimento
a scadenza y. Il tempo t sia misurato in anni e 0 sia l’istante di valutazione. Si consideri
dapprima il caso generale di una rendita, vale a dire di una sequenza di rate con scadenze
periodiche t1 < t2 < L < tn e valore attuale PV; la durata media finanziaria D della rendita è
109
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
n
∑
tk PVk
PVk
D=
tk
= k =1
n
PV
k =1
PVk
n
∑
∑
k =1
dove PVk è il valore attuale della rata con scadenza tk . Mutatis mutandis, si applicano alle
rendite l’analisi di sensitività e le 2 proposizioni riportate più sotto, le quali fanno riferimento
alle obbligazioni.
OSSERVAZIONE. Nel caso particolare di una rendita periodica immediata con n rate
costanti posticipate R, versate m volte all’anno, si ha t1 =
n
D=
n
∑ tk
k =1
1
2
n
< t2 = < L < tn =
e
m
m
m
∑ m R(1 + im )-k
k
PVk
= k =1
PV
Ran|im
dove im è il tasso periodale di interesse utilizzato. Si dimostra che la formula generale si
semplifica così
1+ i
1
n
m −

D=
anni
n
 im
m
(
)
1
+
i
−
1
m


Nel caso di un’obbligazione con cedole i termini della formula generale più sopra diventano
PV = Pdirty
100c(1 + y )-tk
per t k < t n
e PV k = 
-tn
100(1 + c )(1 + y )
per t k = t n
in quanto ogni rata è una cedola (annua, semestrale, o trimestrale), accompagnata dal rimborso
del capitale alla scadenza tn dell’obbligazione. Poiché la durata media finanziaria D è una
media pesata di tutte le n scadenze, i pesi essendo dati dai rapporti
PVk
, si ha t1 ≤ D ≤ t n con
Pdirty
D = t1 per un’obbligazione senza cedola, avente una sola rata, e D < tn per un’obbligazione
con cedole, avente n rate.
Si dimostra che, coeteris paribus,
• tanto maggiore è il tasso cedolare (periodale) c, quanto minore è la durata media
finanziaria D;
• tanto maggiore è il tasso di rendimento a scadenza y, quanto minore è la durata media
finanziaria D;
110
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
• per t n → +∞ la durata media finanziaria D tende a un limite finito. Inoltre, per y ≤ c ,
tanto maggiore è tn , quanto maggiore è D, mentre per y > c e una scadenza tn meno
distante (più distante), tanto maggiore è tn , quanto maggiore (minore) è D. Un esempio
in merito è riportato nel diagramma sotto, dove c = 4% annuo, y = 15% annuo, mentre
tn varia tra 5 e 75 anni.
10
9
8
7
6
5
4
5
15
25
35
45
55
65
75
durata media finanziaria D(tn)
Si consideri il corso tel quel quale funzione del tasso di rendimento a scadenza: Pdirty = f ( y ) .
Qualora si tronchi al termine del 1° ordine lo sviluppo di Taylor di f ( y )
∆Pdirty = f ' ( y )∆y +
f ' ' ( ~y ) 2
∆y
f ' ' ( ~y ) 2
∆y = − DPdirty
+
∆y
2
1+ y
2
dove ~y è un punto interno all’intervallo di estremi y e y + ∆y , si accerta agevolmente che la
sensitività di Pdirty a variazioni di y può essere approssimata dal termine lineare
∆Pdirty
Pdirty
≅−
D
~
∆y = − D∆y
1+ y
l’errore di approssimazione essendo uguale al resto dello sviluppo di Taylor. Un’improvviso e
contenuto incremento (decremento) di y darebbe origine a una minusvalenza (plusvalenza)
~
di capitale, grosso modo proporzionale alla durata media finanziaria modificata D .
Esempio 19. Si consideri un’obbligazione con cedole annue, tasso cedolare dell’8% e durata
di 8 anni. Si supponga che l’obbligazione sia comprata alla pari all’emissione. Pertanto, il
111
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
tasso di rendimento a scadenza è dell’8% mentre la durata media finanziaria è D = 6,206 . Il
grafico di Pdirty = f ( y ) compare nella figura più sotto, dove il punto alla pari P = (0,08;100)
indica le condizioni all’emissione.
La linea retta Pdirty − 100 = −
6,206 *100
( y − 0,08) è tangente alla curva Pdirty = f ( y) nel
1,08
punto P. Per valutare le conseguenze di un’improvvisa e contenuta variazione di y, si può fare
riferimento alla retta tangente, vale a dire a un’approssimazione lineare. Per esempio, se y
crescesse all’8,50%, si verificherebbe una perdita di capitale di 2,873 dovuta a una flessione del
corso tel quel a circa 97,127.
150
P
100
50
0%
2%
4%
6%
Pclean(y)
8%
10%
12%
14%
16%
retta tangente
OSSERVAZIONE. Si constata rapidamente che l’effettivo corso tel quel dopo l’incremento
nel tasso di rendimento a scadenza è pari a 97,180. Pertanto, l’errore di approssimazione è
decisamente modesto e pari a 97,127 − 97,180 = −0,053 ; ciò spiega perché il calcolo riportato
più sopra sia spesso svolto dagli esperti per stimare come una variazione del +1% (-1%) nel
tasso annuo di rendimento a scadenza influenzi il corso tel quel di un’obbligazione. Si accerta
pure agevolmente che, coeteris paribus, tanto più distante è la scadenza n dell’obbligazione,
quanto meno accurata è l’approssimazione.
Ricapitolando, il corso di un’obbligazione può variare per il passare del tempo o a causa di
una variazione nel tasso di rendimento a scadenza; tale affermazione vale anche per la durata
media finanziaria.
112
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
Proposizione. Qualora y non cambi e non abbia luogo alcun pagamento, D decresce
linearmente al passare del tempo.
DIMOSTRAZIONE. Sia t l’istante di valutazione con 0 ≤ t < t1 . La durata media
finanziaria al tempo t è
n
∑ (t k − t )PVk (1 + y )t
k =1
n
n
∑ (t k − t )PVk
= k =1
∑ PVk (1 + y )
n
k =1
∑ t k PVk
= k =1
−t = D −t
n
∑ PVk
t
n
∑ PVk
k =1
k =1
Si supponga che diversi ammontari di denaro siano investiti al tempo 0 in diverse
obbligazioni, tutte aventi lo stesso tasso annuo di rendimento a scadenza y. Sia t n la scadenza
finale più lontana. Il valore del portafoglio obbligazionario PV soddisfa un’equazione quale
PV = PV A + PVB + PVC = C A
PdirtyA
+ CB
100
PdirtyB
100
+
CC
PdirtyC
100
dove C A è il valore facciale delle obbligazioni A presenti nel portafoglio.
Proposizione. La durata media finanziaria del portafoglio obbligazionario è
D = w A D A + w B D B + wC D C
i pesi w A , w B , wC essendo le percentuali investite nelle 3 obbligazioni.
DIMOSTRAZIONE. Si ha
D=
n
t k (PV A k + PV B k + PVC k )
k =1
PV
∑
=
n
∑
k =1
t k (PV A k + PV B k + PVC k )
PV A + PV B + PVC
e quindi
D=
n
t PV
PV
n
t PV
PV
n
t PV
PV
∑ k PVAAk PVA + PVBA + PVC + ∑ k PVBBk PVA + PVBB + PVC + ∑ k PVCC k PVA + PVCB + PVC
k =1
k =1
= w A D A + w B D B + wC D C
=
k =1
Se il rendimento a scadenza y cambiasse di poco, una variazione approssimata del valore del
portafoglio obbligazionario sarebbe data dall’equazione lineare introdotta più sopra. La nozione
di durata media finanziaria di un portafoglio obbligazionario è usata nella pratica: qualora un
gestore preveda che tutti i tassi di interesse aumentino (diminuiscano), egli ridurrà (accrescerà)
la durata media finanziaria del proprio portafoglio. Infatti, se un portafoglio obbligazionario ha
113
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
una contenuta (elevata) durata media finanziaria, il suo valore è poco (molto e favorevolmente)
influenzato da tale evoluzione.
Si consideri ora un portafoglio che comprenda crediti e debiti. Tutti i crediti (debiti)
abbiano lo stesso tasso di rendimento a scadenza y A ( yL ), essendo PV A ( PV L ) il loro valore
attuale e D A ( DL ) la loro durata media finanziaria. Scegliendo opportunamente D A e DL si
ottiene l’immunizzazione dal rischio di tasso. In altre parole, se tutti i tassi di rendimento a
scadenza subiscono la stessa piccola variazione ∆y = ∆y A = ∆y L , si avrà approssimativamente
∆PVA ≅ ∆PVL di modo che non si verificherà alcuna perdita di capitale proprio.
Per esempio, un compagnia di assicurazione sulla vita può costruire un portafoglio per fare
fronte ad alcuni impegni futuri, vale a dire alle obbligazioni insite nelle polizze sottoscritte.
Inoltre, una banca può accettare nuovi depositi e emettere nuove obbligazioni per finanziare
nuovi prestiti bilaterali; naturalmente, gli uni sono debiti mentre gli altri sono crediti. Poiché i
depositi possono essere ritirati con breve preavviso mentre molti prestiti hanno lunga durata, la
banca affronta un cosiddetto problema di trasformazione delle scadenze.
Convessità
La convessità di un’obbligazione misura il grado di curvatura della funzione rendimento a
scadenza-prezzo. Può essere usata insieme alla durata media finanziaria per ottenere una
migliore approssimazione della variazione nel corso tel quel Pdirty dovuta a un’improvvisa
variazione nel tasso annuo di rendimento a scadenza y. Il tempo t sia misurato in anni,
~
t1 < t2 < L < tn siano delle scadenze e 0 sia l’istante di valutazione. La convessità C di
un’obbligazione è
∑ (t k2 + t k )PVk
n
~
C=
1
(1 + y )
k =1
2
Pdirty
dove PVk è il valore attuale della rata con scadenza tk , vale a dire
100c(1 + y )-t k
per tk < tn
PVk = 
-t n
100(1 + c )(1 + y )
per tk = tn
k
in quanto ogni rata è una cedola (annua, semestrale, o trimestrale), accompagnata dal rimborso
del capitale alla scadenza tn dell’obbligazione. Si dimostra che, coeteris paribus,
~
• tanto maggiore è il tasso cedolare (periodale) c, quanto minore è la convessità C ;
~
• tanto maggiore è il tasso di rendimento a scadenza y, quanto minore è la convessità C .
114
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
Inoltre, le obbligazioni senza cedola hanno la convessità minore tra tutte le obbligazioni con
uguale tasso di rendimento a scadenza y e durata media finanziaria D. In effetti, le obbligazioni
con cedola hanno pagamenti più dispersi nel tempo.
Si consideri il corso tel quel quale funzione del tasso di rendimento a scadenza:
Pdirty = f ( y ) . Qualora si tronchi al termine del 2° ordine lo sviluppo di Taylor di f ( y )
~
f ' ' ( y) 2 f ' " ( ~
y) 3
∆y C Pdirty
f ' ' ' (~
y) 3
∆Pdirty = f ' ( y ) ∆y +
∆y +
∆y = − DPdirty
+
∆y 2 +
∆y
2
6
1+ y
2
6
dove ~y è un punto interno all’intervallo di estremi y e y + ∆y , si accerta agevolmente che la
sensitività di Pdirty a variazioni di y può essere approssimata dai termini lineare e quadratico
~
~
D
C 2
C 2
~
≅−
∆y + ∆y = − D∆y + ∆y
Pdirty
1+ y
2
2
∆Pdirty
l’errore di approssimazione essendo uguale al resto dello sviluppo di Taylor.
OSSERVAZIONE. Si considerino diverse obbligazioni con uguale tasso di rendimento a
scadenza y e durata media finanziaria D. Si accerta agevolmente che tanto maggiore è la
~
convessità C , quanto maggiore è la variazione nel corso tel quel Pdirty dovuta a una variazione
nel tasso di rendimento a scadenza y. Qualora si faccia riferimento a una struttura a termine dei
tassi di interesse non piatta, considerando ancora diverse obbligazioni con uguale durata media
finanziaria D, la precedente proposizione può essere così riformulata: tanto maggiore è la
~
convessità C , quanto maggiore è la variazione nel corso tel quel Pdirty dovuta a una
traslazione parallela della struttura a termine.
Esempio 20. Si consideri un’obbligazione con cedole annue, tasso cedolare dell’8% e durata
di 8 anni, come nell’Esempio 19. Si supponga che l’obbligazione sia comprata alla pari
all’emissione. Pertanto, il tasso di rendimento a scadenza è dell’8% mentre la durata media
~
finanziaria e la convessità sono D = 6,206 e C = 43,616 . La parabola
Pdirty − 100 = −
6,206 *100
( y − 0,08) + 43,616 *100 ( y − 0,08)2
1,08
2
è tangente alla funzione Pdirty = f ( y ) nel punto alla pari P = (0,08;100) . Per valutare le
conseguenze di un’improvvisa variazione di y, si può fare riferimento a tale parabola tangente,
vale a dire a un’approssimazione quadratica. Per esempio, se y crescesse all’8,50%, si
verificherebbe una perdita di capitale di 2,819 dovuta a una flessione del corso tel quel a circa
115
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
97,181. Si rammenta che l’effettivo corso tel quel dopo l’incremento nel tasso di rendimento a
scadenza è pari a 97,180.
Nella seguente tabella si fa ancora riferimento a un’obbligazione con cedole annue, tasso
cedolare dell’8% e durata di 8 anni. Si considerano diverse variazioni ∆y nel tasso annuo di
rendimento a scadenza y e si confronta l’effettivo corso tel quel Pdirty con le sue
approssimazioni lineare e quadratica. La prima si basa sulla durata media finanziaria mentre la
seconda tiene pure conto della convessità.
∆y
Pdirty
Appr. Lineare
Errore
Appr. quadratica
Errore
-5%
-3%
-1%
-0,5%
0,5%
1%
3%
5%
135,098
119,390
105,971
102,929
97,180
94,465
84,562
76,006
128,731
117,239
105,746
102,873
97,127
94,254
82,761
71,269
-6,367
-2,151
-0,225
-0,056
-0,053
-0,211
-1,801
-4,737
134,183
119,202
105,964
102,928
97,181
94,472
84,724
76,721
-0,915
-0,188
-0,007
-0,001
0,001
0,007
0,162
0,715
Per piccole variazioni ∆y nel tasso annuo di rendimento a scadenza y l’approssimazione
lineare è abbastanza accurata, mentre per maggiori variazioni ∆y l’approssimazione quadratica
è da preferirsi.
Si supponga che diversi ammontari di denaro siano investiti al tempo 0 in diverse
obbligazioni, tutte aventi lo stesso tasso annuo di rendimento a scadenza y. Sia t n la scadenza
finale più lontana. Il valore del portafoglio obbligazionario PV soddisfa un’equazione quale
PV = PV A + PVB + PVC = C A
PdirtyA
100
+ CB
PdirtyB
100
+
CC
PdirtyC
100
dove C A è il valore facciale delle obbligazioni A presenti nel portafoglio.
Proposizione. La convessità del portafoglio obbligazionario è
~
~
~
~
C = w A C A + w B C B + wC C C
i pesi w A , w B , wC essendo le percentuali investite nelle 3 obbligazioni.
DIMOSTRAZIONE. Si ha
116
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
(t k2 + t k )(PV A k + PVB k + PVC k )
~ n
C=
∑
(1 + y )2 PV
k =1
e quindi
(
)
2
n
~ n t k + t k PV A k PV A
C=
+
2
PV k =1
k =1 (1 + y ) PV A
∑
(t k2 + t k ) PVB k PV B + n (t k2 + t k ) PVC k
∑ (1 + y )2 PV
B
∑
2
k =1 (1 + y ) PVC
PV
PVC
=
PV
~
~
~
= wAC A + wBC B + wC CC
Se il rendimento a scadenza y cambiasse di poco, una variazione approssimata del valore del
portafoglio obbligazionario sarebbe data dall’equazione quadratica introdotta più sopra. La
nozione di convessità è utilizzata nella gestione di portafogli obbligazionari come pure di
portafogli che comprendano crediti e debiti.
Esercizio 39. Si consideri un’obbligazione con valore facciale percentuale di 100, cedole
annue al tasso cedolare del 5%, e durata residua di 27 mesi. L’odierno tasso di rendimento a
scadenza sia il 5% annuo effettivo. Si determinino
a) la durata media finanziaria e la convessità.
Si supponga che il tasso annuo di rendimento a scadenza vari improvvisamente dal 5% al
6%. Si determinino
b) un’approssimazione lineare della variazione nel corso tel quel;
c) un’approssimazione quadratica della variazione nel corso tel quel.
Soluzione. Il tempo sia misurato in anni e ogni mese abbia 30 giorni.
a) A causa della scindibilità il corso tel quel soddisfa l’equazione
(
)
Pdirty = 5a n| y + 100 * (1 + y )− n (1 + y )t
dove n = 3 è il numero delle rimanenti cedole, y = 5% è il tasso di rendimento annuo,
t = 0,75 anni (9 mesi) è il tempo trascorso dall’ultimo stacco di cedola (o dall’emissione
dell’obbligazione). Pertanto, il corso tel quel è Pdirty = 103,727 . Inoltre, la durata media
finanziaria e la convessità sono
D=
(
0 ,25* 5*1,05 -0 ,25 + 1,25* 5*1,05 -1,25 + 2 ,25*105*1,05 - 2 ,25
= 2,109 anni =
Pdirty
)
= 2 + 0 ,109* 360 = 2 anni e 39 giorni
(
)
(
)
~ 0 ,25 2 + 0,25 * 5*1,05 -0 ,25 + 1,25 2 + 1,25 * 5*1,05 -1,25 + 2 ,25 2 + 2,25 *105*1,05 - 2 ,25
C=
= 6,145
1,05 2 Pdirty
117
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
b) Il corso tel quel deve diminuire, in quanto tutte le rimanenti poste sono scontate a un
maggiore tasso annuo y + ∆y = 6% . Poiché la sua variazione approssimata è
∆Pdirty ≅ −
DPdirty ∆y
1+ y
=−
2,109 *103,727 * 0,01
= −2,083
1,05
il suo nuovo valore approssimato è pari a Pdirty + ∆Pdirty ≅ 103,727 − 2,083 = 101,644 .
c) Si ha
∆Pdirty ≅ −
DPdirty ∆y
1+ y
+
~
CPdirty ∆y 2
2
=−
2,109 *103,727 * 0,01 6,145 *103,727 * 0,012
+
= −2,052
1,05
2
e quindi la più accurata approssimazione Pdirty + ∆Pdirty ≅ 103,727 − 2,052 = 101,675 .
Si accerta agevolmente che l’effettivo corso tel quel dopo l’incremento nel tasso di
rendimento a scadenza è pari a 101,675.
OSSERVAZIONE. Si rammenta che quando y non cambia nel tempo e non avviene alcuno
stacco di cedola, la durata media finanziaria decresce linearmente al passare del tempo; ciò si
dimostra utile per rilevare eventuali errori di calcolo. Nel caso in esame si ha
D a 27 mesi dalla scadenza = D a 3 anni dalla scadenza − 9 mesi = 2 ,859 − 0 ,75 = 2 ,109
Esercizio 40. Si consideri un’obbligazione con valore facciale percentuale di 100, cedole
semestrali al tasso cedolare del 6% e durata residua di 9 mesi. L’odierno tasso di rendimento a
scadenza sia il 6,09 % annuo effettivo. Si determinino
a) la durata media finanziaria;
b) un’approssimazione lineare della variazione nel corso tel quel, nell’ipotesi che il tasso
annuo di rendimento a scadenza vari improvvisamente dal 6,09% al 5,59%.
Suggerimento: si usi il semestre (l’anno) quale unità di tempo per determinare il corso tel quel
(la durata media finanziaria e la variazione approssimata nel corso tel quel).
Soluzione. Il tempo sia misurato in semestri e ogni mese abbia 30 giorni. Poiché il tasso
cedolare è convertibile semestralmente, la cedola semestrale vale 100
0,06
= 3 . Inoltre, un
2
rendimento del 6,09% annuo effettivo è equivalente a un rendimento del 3% semestrale
(1,032 = 1,0609).
a) A causa della scindibilità il corso tel quel soddisfa l’equazione
(
)
Pdirty = 3an| y 2 + 100 * (1 + y2 )− n (1 + y2 )t
118
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
dove n = 2 è il numero delle rimanenti cedole, y2 = 3% è il tasso di rendimento
semestrale, t =
90 1
=
semestre (ossia 3 mesi) è il tempo trascorso dall’ultimo stacco di
180 2
cedola (o dall’emissione dell’obbligazione). Pertanto, il corso tel quel è Pdirty = 101,49
Il tempo sia ora misurato in anni. La durata media finanziaria assume il valore
D=
0 ,25* 3*1,0609-0 ,25 + 0,75*103*1,0609-0 ,75
= 0,735 anni = 0,735* 360 = 265 giorni
Pdirty
b) Il corso tel quel deve aumentare, in quanto tutte le rimanenti poste sono scontate a un minore
tasso annuo y + ∆y = 5,59% . Poiché la sua variazione approssimata è
∆Pdirty ≅ −
D * Pdirty ∆y
1+ y
=−
0,735 * 101,49 * (−0,005)
= 0,35
1,0609
il suo nuovo valore approssimato risulta pari a Pdirty + ∆Pdirty ≅ 101,49 + 0,35 = 101,84 .
Esercizio 41. Un portafoglio comprende le obbligazioni a tasso fisso riportate nella tabella
più sotto. Le cedole sono annue e l’obbligazione A (B) ha un valore facciale di €40.000
(€60.000).
obbl. A
obbl. B
tasso
cedolare
durata residua
(anni)
corso
tel quel
rendimento
annuo
durata media
finanziaria
convessità
5%
4%
6
3,5
105,24
101,98
4%
4%
5,349
3,275
33,249
13,388
Si trovino
a) il valore del portafoglio, la sua durata media finanziaria e la sua convessità;
Si supponga che il tasso annuo di rendimento a scadenza vari improvvisamente dal 4% al 3,5%.
Si trovino
b) un’approssimazione lineare della variazione nel valore del portafoglio;
c) un’approssimazione quadratica della variazione nel valore del portafoglio.
Soluzione. Il tempo sia misurato in anni. Si rammenta che, secondo la teoria
dell’immunizzazione nella sua versione più semplice, a tutte le obbligazioni deve corrispondere
lo stesso tasso annuo di rendimento a scadenza y.
a) Il valore del portafoglio è
PV = 40.000
105,24
101,98
+ 60.000
= 42.096 + 61.188 = 103.284 €
100
100
mentre la sua durata media finanziaria è
119
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
D=
42.096
61.188
5,349 +
3,275 = 4,120 anni
103.284
103.284
e la sua convessità è
~ 42.096
61.188
C=
33,249 +
13,388 = 21,483
103.284
103.284
b) Il valore del portafoglio deve aumentare, in quanto tutte le rimanenti poste sono scontate a
un minore tasso annuo y + ∆y = 3,5% . Poiché la sua variazione approssimata è
∆PV ≅ −
D * PV∆y
4,120 *103.284 * (−0,005)
=−
= 2.045,82
1+ y
1,04
il suo nuovo valore approssimato risulta pari a
PV + ∆PV ≅ 103.284 + 2.045,82 = 105.329,82 €
c) Si ha
~
DPV∆y CPV∆y 2
4,120 * 103.284 * (− 0,005) 21,483 * 103.284 * 0,0052
∆PV ≅ −
+
=−
+
= 2.073,55
1+ y
2
1,04
2
e quindi la più accurata approssimazione PV + ∆PV ≅ 103.284 + 2.073,55 = 105.357 ,55 € .
Esercizio 42. Un debito di €100.000 in scadenza tra 4 anni deve essere rimborsato gestendo
un ideale portafoglio comprendente le obbligazioni della seguente tabella. Le cedole sono
annue e si può acquistare un qualsiasi ammontare di ciascuna obbligazione.
obbl. A
obbl. B
tasso
cedolare
6%
5%
durata residua
(anni)
6
4
corso ex
cedola
105,08
100,00
rendimento
annuo
5%
5%
durata media
finanziaria
5,234
3,723
a) Si determini il portafoglio che consegue l’immunizzazione dal rischio di tasso di interesse,
vale a dire da una (piccola) variazione nel tasso di rendimento a scadenza.
b) Si supponga che il tasso annuo di rendimento a scadenza non vari; si trovi il valore del
portafoglio tra 1 anno.
c) Si supponga che il tasso annuo di rendimento a scadenza si riduca dal 5% al 4% subito dopo
aver formato il portafoglio. Si constati che l’immunizzazione è efficace e si determini come
il portafoglio debba essere ribilanciato.
Soluzione. Il tempo sia misurato in anni, PV sia un valore attuale, y un tasso annuo di
rendimento a scadenza, D una durata media finanziaria. Si rammenta che, secondo la teoria
dell’immunizzazione nella sua versione più semplice, a tutti i crediti e debiti deve corrispondere
un unico tasso annuo di rendimento a scadenza.
120
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
a) Il portafoglio di crediti (obbligazioni) deve avere valore attuale e durata media finanziaria
uguali a quelli del debito. In tal caso, una (piccola) variazione ∆y nel tasso annuo di
rendimento a scadenza indurrebbe la stessa variazione nei valori attuali dei crediti
(obbligazioni) e del debito
∆PV ≅ − D PV
∆y
1+ y
Quando ciò accade (o una cedola viene staccata), il portafoglio obbligazionario deve essere
ribilanciato; poiché non si considerano i costi di transazione, non occorre denaro fresco.
Pertanto, il portafoglio obbligazionario soddisfa la coppia di equazioni lineari
PVA + PVB = PV = 100.000 *1,05−4 = 82.270,25
PVA
PVB
5,234 +
3,723 = 4
PV
PV
la cui soluzione è PVA = 15.081,97 €; PVB = 67.188,28 € . In altre parole, € 15.081,97
(67.188,28) devono essere investiti nell’obbligazione A (B).
b) Se il tasso annuo di rendimento a scadenza non varia, il valore attuale del debito PV tra 1
anno sarà
PV = 82.270,25 * 1,05 = 100.000 * 1,05 −3 = 86.383,76
In virtù della scindibilità, ciò sarà pure il valore del portafoglio obbligazionario, dato dalla
somma delle prossime cedole e del valore attuale dei successivi incassi.
c) Poiché l’immunizzazione si basa su un’approssimazione lineare, non c’è perfetta copertura.
Si ha
15.081,97
110,48
103,63
+ 67.188,28
− 100.000 *1,04−4 =
105,08
100,00
= 15.857,02 + 69.627,21 − 85.480,42 = 3,81 €
dove 110,48 (103,63) è il corso secco dell’obbligazione A (B) corrispondente a un tasso
annuo di rendimento a scadenza del 4%; sia i crediti (le obbligazioni) sia il debito si sono
dunque apprezzati. In questa circostanza l’immunizzazione risulta efficace. Tuttavia, la
durata media finanziaria dell’obbligazione A (B) al tasso annuo di rendimento a scadenza
del 4% è 5,256 (3,729); l’immunizzazione è persa ma può essere ripristinata ribilanciando il
portafoglio obbligazionario in modo da soddisfare la coppia di equazioni lineari
PVA + PVB = PV = 100.000 *1,04−4 = 85.480,42
PVA
PVB
5,256 +
3,729 = 4
PV
PV
121
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
la cui soluzione è PVA = 15.170,40 €; PVB = 70.310,02 € . Poiché € 15.170,40 (70.310,02)
devono essere investiti nell’obbligazione A (B), occorrono 2 transazioni: vendere €686,62 di
obbligazioni A e comprare €682,81 di obbligazioni B.
OSSERVAZIONE. Pertanto, se il portafoglio obbligazionario è ribilanciato ove necessario,
crediti e debiti hanno sempre lo stesso valore attuale, sia quando il tasso annuo di rendimento a
scadenza non varia, sia quando varia. Ciò è pure vero quando il debito matura e i crediti (le
obbligazioni) sono venduti per estinguerlo.
OSSERVAZIONE. Si supponga di associare a un’unico debito un portafoglio di crediti con
diverse scadenze ma con lo stesso valore attuale PVA( 0;y) = PVL( 0;y) e la stessa durata media
finanziaria del debito DA = DL . Si dimostra che una qualsiasi variazione finita ∆y del tasso
di rendimento a scadenza y è tale che
PVA( 0+ ;y + ∆y)
PVL( 0+ ;y + ∆y)
> 1.
Come dimostrato in De Felice-Moriconi (1991, cap. 3), questa proprietà sussiste anche, ma non
solamente, nel caso
• di una traslazione parallela di una struttura a termine dei tassi di interesse non piatta;
• di più debiti con diverse scadenze, a condizione che i crediti siano complessivamente più
dispersi nel tempo dei debiti, le dispersioni essendo delle opportune deviazioni medie
assolute.
Tuttavia, l’ipotesi di traslazioni parallele di una struttura a termine dei tassi di interesse non è
realistica e neppure teoricamente salda, qualora si faccia astrazione da elementi di attrito quali
tasse, vincoli alle posizioni corte, commissioni, forbici denaro-lettera. Infatti, si può beneficiare
di opportunità di arbitraggio, per esempio, comprando 2 obbligazioni senza cedola e vendendo
allo scoperto un’obbligazione senza cedola per lo stesso ammontare, a condizione che la durata
media finanziaria del portafoglio di crediti sia pari alla durata residua del debito.
Esercizio 43. Si consideri un ideale portafoglio bancario comprendente dei prestiti ai clienti
da finanziare mediante del debito e del capitale proprio. Il credito concesso sia pari a
€5.000.000 mentre il tasso nominale di interesse applicato sia l’8% annuo convertibile
semestralmente; il piano di ammortamento preveda 20 rate semestrali, ciascuna pari a
€367.908,75, la durata media finanziaria essendo 4,6046 anni. Il debito sia costituito da
122
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
un’obbligazione, da emettere alla pari, con 12 cedole semestrali al tasso nominale del 4%
annuo, la durata media finanziaria essendo 5,3934 anni.
a) Si determini il valore attuale del debito che consegue l’immunizzazione dal rischio di tasso
di interesse, vale a dire da una medesima piccola variazione in entrambi i tassi di rendimento
a scadenza.
b) Si supponga che i 2 tassi annui di rendimento a scadenza non varino; si trovi il valore del
portafoglio tra 3 mesi.
Soluzione. Il tempo sia misurato in anni, E sia un capitale proprio, PV sia un valore attuale,
y un tasso annuo di rendimento a scadenza, D una durata media finanziaria. Si rammenta che,
secondo la teoria dell’immunizzazione in una sua versione più avanzata, a tutti i crediti (debiti)
deve corrispondere lo stesso tasso annuo di rendimento a scadenza y A ( yL ).
a) Si ha y A = 1,042 − 1 = 0,08160 e yL = 1,022 − 1 = 0,04040 . Sia E = PVA − PVL ; una piccola
variazione ∆y = ∆y A = ∆y L comporta approssimativamente che
 DA

D
∆E = ∆PVA − ∆PVL ≅  −
PVA + L PVL ∆y
1 + yl
 1 + yA

Quando ciò accade (o hanno luogo un incasso e un esborso), il portafoglio bancario
dovrebbe essere ribilanciato. Pertanto, per conseguire l’immunizzazione, vale a dire
∆E ≅ 0 , occorre soddisfare la seguente equazione
4,6046
5,3934
DA
DL
PVA =
PVL vale a dire
5.000.000 =
PVL
1,08160
1,04040
1 + yA
1 + yL
dalla quale si trae PVL = 4.106.150 € e quindi E = PVA − PVL = 893.850 € . Poiché
l’obbligazione è emessa alla pari, PVL = 4.106.150 € è pure il suo valore facciale.
b) Se entrambi i tassi di rendimento a scadenza non cambiano, i valori attuali del credito e del
debito tra 3 mesi saranno
PVA = 5.000.000*1,081600 ,25 = 5.099.019,51 €
PVL = 4.106.150,00*1,040600 ,25 = 4.147.008,22 €
di modo che E = PVA − PVL = 952.011,29 € , le loro durate medie finanziarie essendo
DA = 4,6046 − 0,2500 = 4,3546 e DL = 5,3934 − 0,2500 = 5,1434
Pertanto, la forbice tra i tassi genererà una plusvalenza di capitale proprio pari a €58.161,29;
tuttavia, l’immunizzazione viene persa al passare del tempo, rendendo prima o poi
necessario un ribilanciamento del portafoglio bancario.
123
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
OSSERVAZIONE. Per calibrare il precedente esercizio si è fatto uso di uno sviluppo di
Taylor della funzione E = f ( y A ; y L ) troncato al termine del 2° ordine; il segno di tale termine
dipende da PVA e y A , PVL e yL , come pure dalle convessità del credito e del debito.
4.3. La stima del rischio di credito da parte delle agenzie specializzate
Le agenzie di valutazione del credito raggruppano le obbligazioni societarie in classi di
rischio di credito secondo il loro merito di credito, valutato nella fase intermedia del ciclo
economico, in modo da rendere ogni aggiornamento il più raro possibile. Le agenzie
specializzate più conosciute sono Fitch Ratings, Moody’s Investors Service e Standard &
Poor’s. Le società remunerano i servizi delle agenzie di valutazione del credito per ridurre
l’asimmetria informativa tra i potenziali creditori e i loro alti dirigenti e quindi beneficiare di
più ridotti tassi cedolari quando emettono le proprie obbligazioni societarie. Se più agenzie
specializzate sono incaricate da una società, i loro giudizi possono differire. Un’abituale
rappresentazione, qualitativa e semplificata, delle classi di rischio di credito è riportata nella
tabella più sotto, che comprende 2 metà, quella delle obbligazioni da investimento e quella
delle obbligazioni da speculazione. Gli obbligazionisti più prudenti si interessano solo della
prima metà.
Classe
AAA
AA
A
BBB
BB; B
CCC; CC
C
D
Caratteristiche dell’obbligazione (dell’emittente)
Estrema solidità nel pagamento di capitale nominale e interesse
Molto notevole solidità nel pagamento di capitale nominale e interesse
Notevole solidità nel pagamento di capitale nominale e interesse, ma con
maggiore suscettibiltà agli effetti avversi della congiuntura macro e
microeconomica
Adeguata capacità di pagamento di capitale nominale e interesse
Investimento obbligazionario a carattere speculativo
Obbligazioni che non pagano più l’interesse
Obbligazioni in mora
Tabella 3 – Classi di rischio di credito secondo S&P’s
La valutazione a medio termine di un emittente di obbligazioni è accompagnata da una
valutazione degli oneri finanziari di breve termine, l’orizzonte temporale dell’una (dell’altra)
essendo pari a 3-5 anni (13 mesi). Una più bassa valutazione di un’emissione obbligazionaria
comporta una peggiore qualità, chiamata merito di credito, a cui corrispondono un più elevato
rischio di insolvenza e un maggiore rendimento a scadenza come compensazione.
124
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
Alcune stime empiriche dei tassi di insolvenza e di recupero di ciascuna classe di rischio
di credito sono riportate nelle tabelle più sotto. I tassi di insolvenza e di recupero dipendono
pure dalla congiuntura economica; il primo (secondo) tasso aumentando (diminuendo) durante
una recessione come pure prima delle recessioni 7/90-3/91 e 4/01-12/01. Inoltre, i tassi di
insolvenza dipendono pure dal settore industriale; i servizi di pubblica utilità, le banche e le
compagnie di assicurazione mostrano sia le più basse medie annue sia le più basse deviazioni
standard. Anche i produttori di beni di consumo di marca e le società farmaceutiche possono
avere solidi fondamentali.
Giudizio
S&P’s
AAA
AA
A
BBB
BB
B
CCC
1
0,00%
0,00%
0,00%
0,04%
0,00%
1,98%
2,99%
2
0,00%
0,00%
0,31%
0,29%
0,62%
2,88%
5,78%
Anni dall’emissione
3
4
5
0,00%
0,00%
0,00%
1,81%
2,20%
2,33%
0,71%
0,71%
0,71%
0,46%
0,46%
0,91%
1,25%
1,56%
1,84%
3,60%
7,69%
11,53%
9,52%
30,22%
31,17%
7
0,13%
2,33%
0,89%
1,07%
6,64%
18,98%
N/A
10
0,13%
2,46%
0,93%
2,12%
6,64%
31,91%
N/A
Tabella 4a – Tassi medi cumulativi di insolvenza delle diverse classi di rischio di credito.
Insolvenze e emissioni dal 1971 al 1987 (fonte: Altman, 1989)
Giudizio iniziale
S&P’s
AAA
AA
A
BBB
BB
B
CCC
Tasso medio
di recupero
78,67%
79,29%
45,90%
45,30%
35,71%
42,56%
41,15%
Numero di
osservazioni
5
13
19
22
13
64
12
Tabella 4b – Tassi medi di recupero delle diverse classi di rischio di credito.
Insolvenze e emissioni dal 1971 al 1987 (fonte: Altman, 1989)
Si osservi come sia poco probabile che le obbligazioni societarie da investimento di nuova
emissione passino improvvisamente e inaspettatamente dal paradiso all’inferno, ossia che i
rispettivi emittenti divengano insolventi dal giorno alla notte.
OSSERVAZIONE. I tassi medi cumulativi di insolvenza della Tabella 4a furono stimati
mediante un metodo mutuato dalle scienze attuariali. Nell’esaminare una classe di rischio di
credito, diciamo la AA, si prese in considerazione il periodo storico 1971-1987 e si associò a
ciascuno anno in esame una coorte, vale a dire un portafoglio di obbligazioni societarie AA
125
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
emesse in tale anno. Quando definiscono le loro coorti, le agenzie internazionali di valutazione
del credito scelgono delle obbligazioni con un assegnato merito di credito in un’assegnata data,
indipendentemente dal merito di credito iniziale e/o dal tempo trascorso dall’emissione. La
dimensione di ciascuna coorte venne espressa dal valore nominale totale delle obbligazioni
costituenti. Alternativamente, essa avrebbe potuto essere espressa dal numero degli emittenti.
La dimensione di ciascuna coorte decresce al passare del tempo, in quanto alcuni emittenti
divengono insolventi e i valori nominali delle obbligazioni sopravvissute vengono prima o poi
rimborsati. Nel seguire l’evoluzione di ciascuna coorte si tenne quindi conto delle obbligazioni
rimborsate.
In primo luogo, si stimarono i tassi annui marginali di insolvenza mdr1 , mdr2 , K , mdr10
relativi a ciascuna coorte mediante l’equazione
mdrt =
valore nominale delle obbligazioni insolventi nell' anno t dall' emissione
dimensione della coorte all' inizio dell' anno t
Si calcolò poi una media ponderata mdr t , tra le diverse coorti, di ciascun tasso annuo
marginale di insolvenza mdrt , i pesi essendo dati dai rapporti tra la dimensione di ciascuna
coorte e la dimensione totale di tutte le coorti, entrambe rilevate all’inizio del t-imo anno
dall’emissione.
Infine,
si
stimarono
tassi
i
medi
cumulativi
di
insolvenza
cdr 1 , cdr 2 , K , cdr 10 mediante l’equazione
cdr t = 1 −
∏ (1 − mdr k )
t
k =1
che può essere così riscritta
(
)
(
)(
)
cdr t = mdr 1 + mdr 2 1 − mdr 1 + mdr 3 1 − mdr 1 1 − mdr 2 + L + mdr t
(
)
t −1
∏ (1 − mdr k )
k =1
Si osservi che mdr1 e 1 − mdr1 sono i tassi di insolvenza e di sopravvivenza della coorte
(
) (
)(
)
media nel primo anno dall’emissione, mdr 2 1 − mdr1 e 1 − mdr1 1 − mdr 2 sono i tassi di
insolvenza e di sopravvivenza della coorte media nel secondo anno dall’emissione, mentre
(
)(
mdr 3 1 − mdr1 1 − mdr 2
)
è il tasso di insolvenza della coorte media nel terzo anno
dall’emissione. Di conseguenza, cdr t è il tasso di insolvenza della coorte media di obbligazioni
societarie AA nei primi t anni dall’emissione.
Ciascun tasso di recupero della Tabella 4b è una media dei prezzi di mercato di obbligazioni
da poco divenute insolventi. I tassi di recupero si mostrarono indipendenti dall’età
dell’emissione obbligazionaria.
126
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
OSSERVAZIONE. Le agenzie specializzate valutano pure l’affidabilità dei vari paesi e dei
loro governi. Secondo Standard & Poor’s, l’attuale pagella a lungo termine di Germania e UK
è AAA, quella di Francia e USA è AA+, quella del Giappone è AA–, quella dell’Italia è BBB+,
quella della Spagna è BBB–, mentre quella del Portogallo è BB. Un basso merito di credito
sovrano è verosimilmente un tetto per tutti i meriti di credito societari.
La valutazione di ciascuna società è svolta da più analisti finanziari, esperti del settore
industriale e della regione, i quali si avvalgono di linee guida euristiche e effettuano sia
un’analisi economica sia un’analisi finanziaria. L’una muove dai fondamentali (vale a dire il
paese, il settore industriale, la strategia competitiva e il piano finanziario, la moralità e
l’impegno della dirigenza) per valutare la presenza e le determinanti di un vantaggio
competitivo. L’altra verte sugli indici di bilancio, che sono derivati da bilanci passati,
intermedi e pro forma, e confrontati con standard storici, relativi allo specifico settore
industriale. Più precisamente, si fa uso dei bilanci pro forma
• ogni volta che si debba valutare l’impatto di una nuova emissione obbligazionaria;
• nell’effettuare un’analisi del caso peggiore (chiamata stress test), costruendo dapprima
uno scenario particolarmente avverso, magari basandosi su qualche caso storico
particolarmente critico, per poi valutarne l’impatto sul conto economico e lo stato
patrimoniale della società emittente.
Nell’usare gli indici di bilancio bisogna distinguere tra disponibilità di liquidità nel breve
termine e presenza di sostenibilità nel medio termine, vale a dire tra capacità di fare fronte ai
debiti nel breve e nel medio termine. Come spiegato in Benninga-Sarig (1997, cap. 11), la
prima capacità è misurata da indici di liquidità quali gli indici corrente (=attivo
corrente/passivo corrente) e acido (=cassa e equivalenti+altri titoli a breve termine+credito
commerciale/passivo corrente), mentre la seconda capacità è misurata dagli indici di copertura
(MON/oneri
finanziari;
liquidità
operativa/oneri
finanziari),
di
redditività
(ROS=MON/fatturato; ROI=MON/capitale totale medio; ROE=utile netto/capitale proprio
medio)
e
di
solidità
patrimoniale
(debito
totale/capitale
totale;
capitale
proprio/immobilizzazioni nette – mutui immobiliari). La copertura è il punto più importante, a
meno che non vi sia carenza di liquidità; gli indici di liquidità e copertura misurano l’equilibrio
finanziario, quelli di redditività l’equilibrio economico, quelli di solidità patrimoniale
l’equilibrio patrimoniale.
127
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
Le stesse agenzie specializzate rendono regolarmente disponibili alcune disaggregazioni, per
settore industriale e classe di rischio, dei valori mediani di indici di bilancio scelti; il quadro
riassuntivo riportato nella tabella più sotto può essere utilizzato solo a fini statistici. All’analisi
degli indici di bilancio può fare seguito un’analisi dei flussi finanziari, delle fonti e degli
impieghi più in generale, delle variazioni di liquidità e di capitale circolante più in particolare.
MON/oneri finanziari
MOL/oneri finanziari
(Liquidità operativa–
investimento)/debito totale (%)
Debito totale/MOL
MON/capitale totale medio (%)
Debito totale/capitale totale (%)
AAA AA
A
BBB
BB
B
CCC
23,8
19,5
8,0
4,7
2,5
1,2
0,4
25,5
24,6
10,2
6,5
3,5
1,9
0,9
127,6
44,5
25,0
17,3
8,3
2,8
–2,1
0,4
27,6
12,4
0,9
27,0
28,3
1,6
17,5
37,5
2,2
13,4
42,5
3,5
11,3
53,7
5,3
8,7
75,9
7,9
3,2
113,5
Tabella 5 – Indici di bilancio chiave per classe di rischio di credito;
mediane triennali di società industriali: 2002-2004 (fonte: Corporate Ratings Criteria, Standard & Poor’s, 2006)
Gli analisti finanziari di Standard & Poor’s si concentrano usualmente su uno o due settori
industriali. Nel monitorare una società, essi ne incontrano gli alti dirigenti almeno una volta
all’anno. Di conseguenza, essi possono confrontare i piani finanziari e i bilanci nel tempo,
individuando deviazioni come pure aggiornamenti e cercando di comprenderne le ragioni. Le
valutazioni delle società vengono rivedute in seguito a importanti operazioni finanziarie o
inattesi sviluppi.
Seguendo Altman (1968) e il suo modello a punteggio z fondato sull’analisi discriminante
(si veda l’esercizio 46), i tecnici bancari possono costruire il loro modello di punteggio che
converte i diversi indici finanziari in un punteggio composito. Tali modelli possono fare
comodo quando si debba valutare il merito di credito di una società non ancora censita o si
debbano prevedere con anticipi dei cambiamenti nelle valutazioni date dalle agenzie
specializzate. Inoltre, le azioni delle società con fosche prospettive sono idonee alla vendita allo
scoperto. I modelli a punteggio possono pure fondarsi sull’analisi degli azzardi.
Nel costruire la Tabella 6 più sotto si considerò un investimento iniziale pari a $100 in
ciascuna classe di rischio di credito e si riportò l’evoluzione temporale del suo eccesso di
montante, il termine di paragone essendo costituito dai titoli di Stato USA. Si suppose che le
obbligazioni societarie venissero comprate all’emissione e detenute, reinvestendo ogni cedola
nella corrispondente coorte; si suppose inoltre che ogni emissione divenuta insolvente fosse
venduta, reinvestendo l’incasso nella corrispondente coorte sopravvissuta. I margini medi di
128
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
credito nel periodo 1971-1987 furono 0,47% (AAA), 0,81% (AA), 1,08% (A), 1,77% (BBB),
3,05%(BB), 4,09%(B) e 7,07% (CCC).
Se le probabilità di insolvenza implicite nei margini di credito e nei prezzi delle obbligazioni (si
vedano gli esercizi 44 e 45) fossero risultate uguali agli effettivi tassi di insolvenza, tutte le
perdite da insolvenza sarebbero state precisamente compensate dagli eccessi di rendimento
delle obbligazioni societarie sopravvissute. Di conseguenza, tutti gli eccessi di montante
sarebbero svaniti nel lungo termine. Tuttavia, ciò non accadde, come mostrato dalla Tabella 6.
Anni dalla
emissione
Merito di credito all’emissione delle obbligazioni
AAA
AA
A
BBB
BB
B
CCC
1
2
3
5
7
10
0,45%
1,00%
1,65%
3,44%
5,98%
12,45%
0,76%
1,68%
2,43%
5,15%
9,49%
20,28%
1,04%
2,23%
3,67%
7,82%
13,66%
28,85%
1,71%
3,66%
6,09%
12,50%
22,86%
45,77%
3,26%
6,84%
11,29%
24,19%
35,85%
76,37%
3,82%
8,61%
14,60%
21,60%
33,65%
44,67%
5,19%
11,74%
20,62%
15,61%
N/A
N/A
Tabella 6 – Eccesso di montante per le obbligazioni societarie confrontate con i titoli di Stato USA.
Insolvenze e emissioni dal 1971 al 1987 (fonte: Altman, 1989)
Pertanto, i margini di credito incorporarono verosimilmente più che le perdite da insolvenza
attesa, comprendendo pure un premio per il rischio di credito e una compensazione per le
imposte. In altre parole, il principio di compensazione tra i rischi, un fondamento delle scienze
attuariali risultò opportunamente riformulato. Si tenga presente che gli interessi delle
obbligazioni societarie USA sono soggetti sia a un’imposta federale sia a un’imposta statale,
mentre gli interessi dei titoli di Stato USA sono esenti dall’imposta statale.
Esercizio 44. Si considerino 2 ideali portafogli di grande taglia che comprendono obbligazioni
senza cedola di diversi emittenti ma con durata all’emissione sempre di 1 anno. Ciascun
portafoglio ha un valore nominale di €10.000.000 e un tasso di rendimento a scadenza del 4%
(4,25%). Si supponga che qualora si manifesti un’insolvenza, il capitale nominale delle
corrispondenti obbligazioni sia ripagato alla scadenza secondo un tasso di recupero del 50%.
Tutte le obbligazioni del primo (secondo) portafoglio appartengano alla classe di rischio di
credito AAA (BBB); nelle obbligazioni AAA non è insito alcun rischio di insolvenza. Si
trovino
a) il prezzo corrente di ciascun portafoglio obbligazionario;
129
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
b) lo scarto di rendimento sp proprio delle obbligazioni BBB con durata all’emissione di 1
anno;
c) la probabilità di insolvenza delle obbligazioni BBB nel primo anno dopo l’emissione.
Soluzione. Il tempo sia misurato in anni e 0 sia il corrente istante.
a) Il prezzo corrente del primo portafoglio è PAAA = 10.000.000 *1,04−1 = 9.615.384,62 mentre
il prezzo corrente del secondo portafoglio è PBBB = 1.000.000 *1,0425−1 = 9.592.326,14 .
b) Poiché nelle obbligazioni AAA non è insito alcun rischio di insolvenza, il tasso a pronti di
interesse i0;1 è pure del 4%. Lo scarto di rendimento cercato è allora
sp = 4,25% − 4,00% = 0,25%
c) Per converso, nelle obbligazioni BBB è insito un rischio di insolvenza; tuttavia, se il numero
degli emittenti e dei settori industriali è opportuno, ha verosimilmente luogo una
compensazione dei rischi, che attenua il rischio di insolvenza. Infatti, qualora i numeri
siano grandi, e passato e futuro siano gli stessi in termini probabilistici, ipotesi che
potrebbe risultare infondata nella pratica, il futuro tasso di insolvenza sarà simile alla
corrispondente probabilità come pure alla passato tasso di insolvenza, magari registratosi
negli ultimi 7 anni. Di conseguenza, l’incasso effettivo alla scadenza varrà circa
10.000.000 * (1 − π BBB ) + 5.000.000 * π BBB
dove π BBB è la probabilità di insolvenza delle obbligazioni BBB nel primo anno dopo
l’emissione. Pertanto, qualsiasi opportunità di arbitraggio è preclusa se
(10.000.000(1 − π BBB ) + 5.000.000π BBB ) *1,04−1 = 9.592.326,14
da cui consegue che 5.000.000π BBB = 23.980,81 e quindi π BBB = 0,480% .
Esercizio 45. Si consideri ancora il contesto delineato nell’esercizio 44 come pure 2 ideali
portafogli di grande taglia che comprendono molte obbligazioni a tasso fisso di diversi
emittenti, tutte con cedole annue e durata all’emissione di 2 anni. Ciascun portafoglio ha un
valore nominale di €10.000.000, un tasso cedolare del 4% (4,50%) e un tasso di rendimento a
scadenza del 4% (4,50%). Si supponga che qualora si manifesti un’insolvenza, le rimanenti
cedole delle corrispondenti obbligazioni non vengano pagate e il tasso di recupero sia del 50%.
Tutte le obbligazioni del primo (secondo) portafoglio appartengano alla classe di rischio di
credito AAA (BBB); nelle obbligazioni AAA non è insito alcun rischio di insolvenza.
Si trovino
a) il prezzo corrente di ciascun portafoglio obbligazionario;
130
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
b) lo scarto di rendimento sp proprio delle obbligazioni BBB con durata all’emissione di 2
anni;
c) le probabilità di insolvenza delle obbligazioni BBB nel secondo anno dopo l’emissione.
Soluzione. Il tempo sia misurato in anni e 0 sia il corrente istante.
a) Poiché ciascun tasso di rendimento a scadenza è pari al corrispondente tasso cedolare medio,
il prezzo corrente del primo portafoglio è PAAA = 10.000.000 mentre il prezzo corrente del
secondo portafoglio è PBBB = 10.000.000 .
b) Poiché nelle obbligazioni AAA non è insito alcun rischio di insolvenza, i tassi a pronti di
interesse i0;1 e i0;2 sono pure del 4%. Lo scarto di rendimento cercato è allora
sp = 4,50% − 4,00% = 0,50%
essendo pure la soluzione dell’equazione
(
)
(
)
100 = 4,50 * 1 + i 0;1 + sp −1 + 104,50 * 1 + i 0;2 + sp −2 .
c) Per converso, nelle obbligazioni BBB è insito un rischio di insolvenza; tuttavia, se il numero
degli emittenti e dei settori industriali è opportuno, ha verosimilmente luogo una
compensazione dei rischi, che attenua il rischio di insolvenza. Infatti, qualora i numeri
siano grandi, passato e futuro siano gli stessi in termini probabilistici, ipotesi che potrebbe
risultare infondata nella pratica, i futuri tassi di insolvenza saranno simili alle
corrispondenti probabilità come pure ai passati tassi di insolvenza, magari registratisi negli
ultimi 7 anni. Di conseguenza, gli effettivi incassi varanno circa
450.000 * 0,9952 + 5.000.000 * 0,0048 = 471.840
dopo un 1 anno e
(
)
10.450.000 * 1 − π BBB; 1 − π BBB; 2 + 5.000.000 * π BBB; 2 = 10.399.840 − 5.450.000π BBB; 2
dopo 2 anni, dove π BBB; t è la probabilità di insolvenza delle obbligazioni BBB nel t-imo
anno dopo l’emissione e π BBB;1 = 0,480% . Pertanto, qualsiasi opportunità di arbitraggio è
preclusa se
10.000.000 = 471.840*1,04 −1 + (10.399.840 − 5.450.000π BBB; 2 )*1,04 −2
da cui si trae che 5.450.000π BBB; 2 = 74.553,60 e quindi π BBB; 2 = 1,368% .
OSSERVAZIONE. Le probabilità di insolvenza π BBB; 1 e
π BBB; 2
1 − π BBB; 1
possono essere
confrontate con le medie ponderate storiche mdr1 e mdr 2 dei tassi annui marginali di
131
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
insolvenza delle obbligazioni BBB. Più in generale, la probabilità di insolvenza
(
π BBB; t
1 − π BBB; 1 + π BBB; 2 + L + π BBB; t -1
)
può essere confrontata con mdr t . I precedenti calcoli
valgono pure per singole obbligazioni, nella tacita ipotesi che esse facciano parte di portafogli
obbligazionari ben diversificati e eventualmente eterogenei.
OSSERVAZIONE. L’analisi retrospettiva delle insolvenze di può basarsi sia su dati
statistici che su modelli statistici. Fanno parte della prima classe la Tabella 4 come pure
analoghe tabelle costruite dalle agenzie di valutazione del credito. Secondo tali tabelle, i primi
2 anni di vita sono particolarmente critici per le obbligazioni con basso merito di credito come
CCC; inoltre, i cambiamenti di merito di credito comportano che i tassi marginali medi di
insolvenza delle obbligazioni da speculazione non crescano al passare del tempo
dall’emissione. Fanno parte della seconda classe i modelli di classificazione basati sull’analisi
discriminante o sull’analisi degli azzardi.
Nell’effettuare un’analisi prospettiva dei tassi annui di insolvenza occorre tenere presente
che le probabilità di insolvenza implicite nei prezzi delle obbligazioni dipendono dalla
congiuntura economica e, soprattutto nel caso di una recessione, sono generalmente più elevate
dei tassi marginali medi empirici. Ciò sarebbe causato dalle difficoltà incontrate dagli operatori
nell’ottenere portafogli obbligazionari ben diversificati; inoltre, durante le fasi di recessione ha
luogo una meno efficace compensazione degli errori a causa di concatenamenti tra i fallimenti.
Tuttavia, a una maggiore probabilità di insolvenza corrispondono un maggiore rendimento a
scadenza e, magari, un maggiore rendimento effettivo.
Esercizio 46. Una società italiana quotata alla Borsa valori di Milano produce altoparlanti.
Nell’esercizio 2011 essa ebbe un fatturato di 27.693, un margine operativo netto di 5.658, un
capitale circolante di 11.331, un attivo netto di 20.270, riserve da utili di 7.575, un valore di
libro del debito totale di 2.531, e un valore di mercato medio del capitale proprio di 38.000 (i
dati sono espressi in 103 € ). Si accerti che era probabile che la società rimanesse solvente nel
2012, come accadde effettivamente.
Soluzione. Le società prossime al fallimento hanno indici di bilancio e indici finanziari
diversi da quelli delle società in buona salute. Secondo Altman (1968), gli indici di bilancio e
gli indici finanziari possono essere convertiti nel seguente punteggio composito
z = 1,2 x1 + 1,4 x 2 + 3,3x 3 + 0,6 x 4 + 0,999 x 5
132
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
dove x1 è il rapporto tra capitale circolante (=attivo corrente–passivo corrente) e attivo netto,
x 2 è il rapporto tra riserve da utili e attivo netto, x 3 è il rapporto tra margine operativo netto e
attivo netto, x 4 è il rapporto tra valore di mercato del capitale proprio e valore di libro del
debito totale, mentre x 5 è il rapporto tra fatturato e attivo netto. Se
• 2,99 < z , è probabile che la società in esame rimanga solvente;
• 2,675 < z ≤ 2,99 , si è in una zona grigia;
• 1,81 < z ≤ 2,675 , è probabile che la società in esame fallisca entro un anno;
•
z ≤ 1,81 , è molto probabile che la società in esame fallisca entro un anno.
Qualora si forzi un poco tale modello a punteggio e lo si applichi alla società italiana, si
ricava
x1 = 0,559 ; x2 = 0,374 ; x 3 = 0,279 ; x 4 = 15,014 ; x5 = 1,366
di modo che z = 12,49 . Pertanto, era probabile che la società rimanesse solvente
OSSERVAZIONE. Altman (1968) utilizzò l’analisi discriminante per stimare il suo
modello a punteggio. Il campione di dati compreva 66 società manifatturiere quotate negli
USA; 33 di tali società fallirono nel periodo 1946-1965, mentre le rimanenti 33 erano ancora in
esercizio nel 1966.
Furono commessi modesti errori di I e II tipo: solo il 6% (3%) delle società fallite (solventi)
furono classificate in modo errato. Nel complesso, il modello a punteggio si dimostrò affidabile
sino a 2 anni prima del fallimento. Quando i fallimenti furono previsti con 2 anni di anticipo,
furono commessi errori di I e II tipo del 28% e del 6% rispettivamente. Inoltre, il modello a
punteggio riportato più sopra si mostrò accurato anche quando fu esaminato un secondo
campione di dati.
Infine, le medie dei 5 rapporti furono calcolate tra le società fallite nei 5 anni precedenti il
fallimento. Tutti i rapporti mostrarono una tendenza al deterioramento, la loro maggiore
diminuzione avvenendo 2 anni prima del fallimento in 3 casi su 5.
4.4. La cartolarizzazione di crediti non trasferibili
Un’operazione di cartolarizzazione rende trasferibili e quindi negoziabili dei crediti che non
lo sono. Essa viene effettuata su un ampio portafoglio di crediti non trasferibili aventi
ripagamento pluriennale e caratteristiche simili, quali, per esempio, i mutui ipotecari
residenziali o commerciali, i crediti al consumo, i contratti di locazione finanziaria come pure i
crediti in sofferenza. Anche le imprese (gli enti pubblici) compiono operazioni di
133
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
cartolarizzazione, per esempio di crediti commerciali su base rotativa (di contributi
previdenziali e assistenziali). Le prime cartolarizzazioni ebbero luogo negli Stati Uniti negli
anni 70.
OSSERVAZIONE. La presentazione in questo riquadro è coerente con il caso dell’Italia,
dove le operazioni di cartolarizzazione sono regolate dalla legge 130 del 30/4/1999,
successivamente aggiornata dalla legge 80 del 14/5/2005. La presentazione ha carattere
introduttivo; per un approfondimento si rimanda a Forestieri (2007, cap. 18).
I crediti non trasferibili, per esempio i mutui ipotecari residenziali di una banca italiana,
sono ceduti pro soluto a una società veicolo autorizzata, che è esclusivamente dedicata a una o
più operazioni di cartolarizzazione. Qualora i crediti non trasferibili siano di buona qualità, il
loro valore (attuale) di cessione sarà maggiore del valore nominale. La società veicolo ha scarso
capitale proprio, è priva di dipendenti, e svolge la propria attività avvalendosi di servizi esterni;
essa emette titoli obbligazionari a tasso fisso o variabile nei mercati primari, collocandoli di
solito presso gli investitori istituzionali. In tal modo, essa raccoglie i fondi necessari per
rilevare i mutui ipotecari residenziali dalla banca. Un fiduciario rappresenta gli interessi degli
obbligazionisti. Le obbligazioni possono ripagare ratealmente il loro valore nominale; esse sono
divise in alcune classi aventi differente merito di credito, generalmente certificato da una o più
agenzie internazionali di valutazione del credito. Qualora le obbligazioni siano collocate
pubblicamente, tale certificazione è obbligatoria; in linea di principio, essa dovrebbe fornire
dell’affidabile informazione a tutti i potenziali sottoscrittori. Tanto peggiore è il merito di
credito, quanto maggiori sono il grado di subordinazione e il tasso cedolare; le obbligazioni
della prima (ultima) classe hanno il migliore (peggiore) merito di credito e sono remunerate per
prime (ultime). Il valore nominale delle obbligazioni diminuisce a seguito delle insolvenze; le
obbligazioni dell’ultima (prima) classe ne risentono per prime (ultime).
Il portafoglio ceduto viene di solito gestito dalla banca cedente, la quale monitora i mutui
ipotecari residenziali ceduti, riceve i ripagamenti di interesse e di capitale dai debitori ceduti e
li gira alla società veicolo cessionaria, gestendo gli incagli e le sofferenze. In tal modo, la banca
cedente mantiene i rapporti con i debitori ceduti e incassa delle commissioni periodiche. La
società veicolo cessionaria destina i ripagamenti alle diverse classi di obbligazioni secondo
l’ordine di priorità prestabilito.
Come già indicato, il rischio di insolvenza grava sulla società veicolo e quindi sugli
obbligazionisti. Il portafoglio ceduto è ben diversificato per area geografica. Inoltre, è
134
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
granulare, ogni singolo debitore avendo un piccolo peso; per esempio, potrebbe comprendere
più di 10.000 mutui ipotecari residenziali. Tuttavia, la qualità del credito viene accresciuta in
diversi modi. In primo luogo, le obbligazioni sono divise in alcune classi; poiché la prima
classe è protetta da più classi subordinate, essa è verosimilmente certificata come AAA (Aaa).
Inoltre, il rischio di insolvenza può essere mitigato attraverso la costituzione di riserve o di
garanzie accessorie. Le riserve sono presenti quando il valore nominale dei mutui ipotecari
residenziali eccede opportunamente il valore nominale delle obbligazioni. Le garanzie
accessorie sono generalmente fornite da altre banche, mediante lettere di credito, o da
compagnie di assicurazione contro il pagamento di commissioni periodiche o premi periodici.
Infine, la banca cedente sottoscrive di solito le obbligazioni dell’ultima e più rischiosa classe.
OSSERVAZIONE. Per strutturare o giudicare le diverse classi di obbligazioni bisogna
prevedere l’andamento temporale della perdita attesa del portafoglio ceduto. L’operazione di
cartolarizzazione in esame è di tipo tradizionale, in quanto il portafoglio ceduto è granulare.
Per quanto concerne il rischio di insolvenza, i singoli mutui ipotecari residenziali possono
essere ritenuti tra loro indipendenti. Pertanto, le probabilità di insolvenza e i tassi di di recupero
possono essere stimati applicando ai rispettivi dati storici i metodi di derivazione attuariale. In
particolare, le medie ponderate empiriche dei tassi annui marginali di insolvenza approssimano
le probabilità di insolvenza. La perdita attesa nel t-imo anno dall’emissione è pari al prodotto
della corrispondente probabilità di insolvenza per la perdita da insolvenza, la quale dipende
dall’esposizione e dal tasso di recupero.
Se invece l’operazione di cartolarizzazione fosse di tipo innovativo, il portafoglio ceduto
potrebbe essere costituito da prestiti commerciali concessi a meno di 200-300 debitori. Poiché i
singoli prestiti commerciali risultano tra loro dipendenti, bisogna tenere conto delle correlazioni
tra le insolvenze. Di conseguenza, sia il calcolo finanziario sia i procedimenti di stima risultano
meno agevoli.
Tale operazione di cartolarizzazione è complessa e molto costosa; pertanto, il portafoglio di
mutui ipotecari residenziali è ampio e l’operazione è coordinata da un intermediario finanziario
specializzato, quale una banca d’affari, una banca di investimento, o una banca universale.
OSSERVAZIONE. Le spese iniziali derivano dalla consulenza dell’intermediario
finanziario, dalla costituzione della società veicolo, dalla certificazione del merito di credito e
dal collocamento delle obbligazioni. Se un’impresa italiana effettuasse un’operazione di
135
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
cartolarizzazione con durata di 5 anni e base rotativa costituita da crediti commerciali con
valore nominale di €100 milioni, tali spese potrebbero essere pari rispettivamente allo 0,25%,
0,10%, 0,02% e 0,25% del capitale inizialmente raccolto. Si tenga presente che nella prima fase
di una cartolarizzazione rotativa, la società veicolo utilizza parte degli incassi per rilevare
ulteriori crediti non trasferibili.
L’intermediario finanziario consulente opera insieme alla banca mandante, ai suoi revisori
contabili, a avvocati e commercialisti, svolgendo diversi compiti. Più precisamente, vengono
individuati i mutui ipotecari residenziali da cartolarizzare; vengono determinate alcune opzioni
circa la struttura dell’operazione, vale a dire le varie categorie di obbligazioni e le loro
caratteristiche; vengono scelti, sulla base delle loro reputazioni, gli intermediari finanziari che
forniscono le garanzie accessorie. Una volta individuati i mutui ipotecari residenziali da
cartolarizzare, l’intermediario finanziario consulente li vaglia sul piano legale, accertando, per
esempio, i diritti della banca cedente, il valore degli immobili ipotecati e la possibilità di
sostituire i beneficiari delle polizze assicurative contro i danni agli immobili ipotecati. I revisori
contabili devono certificare che tali mutui ipotecari residenziali sono idonei alla
cartolarizzazione.
L’intermediario finanziario consulente sottopone poi alle agenzie internazionali di valutazione
del credito incaricate il portafoglio di mutui ipotecari residenziali e le diverse opzioni sulla
struttura dell’operazione; negoziando eventuali modifiche, raggiunge un accordo di massima
coerente con gli obiettivi di certificazione. A questo punto risulta possibile prevedere con
maggiore accuratezza gli incassi della banca cedente, i quali derivano dal collocamento delle
obbligazioni e dalla gestione del portafoglio di crediti ceduti. Il merito di credito delle
obbligazioni viene ufficialmente certificato solo dopo che le obbligazioni sono state emesse
dalla società veicolo. L’intermediario finanziario consulente si occupa di solito del
collocamento delle obbligazioni.
OSSERVAZIONE. Attraverso la cartolarizzazione dei mutui ipotecari residenziali, la banca
italiana in esame consegue diversi benefici: diversifica le proprie fonti di finanziamento,
aumentando il proprio potere negoziale; accresce la propria liquidità, rendendo mobili dei
capitali altrimenti vincolati; ha più agio nell’allineare le scadenze dei crediti e dei debiti e nel
gestire il rischio di tasso; riduce sensibilmente il rischio di credito e quindi il costo della
raccolta; riduce temporaneamente il fabbisogno di capitale regolamentare; migliora la propria
visibilità nei mercati finanziari.
136
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
Le obbligazioni garantite sono direttamente emesse da una banca con un opportuno
patrimonio di vigilanza. Esse godono di una duplice protezione. In primo luogo, sono garantite
da un portafoglio di copertura separato, costituito da crediti non trasferibili di elevata qualità,
vale a dire da mutui ipotecari o da prestiti a enti pubblici erogati dalla banca stessa (o da
un’altra banca con un opportuno patrimonio di vigilanza). Inoltre, e in contrasto con una
cartolarizzazione, gli obbligazionisti possono esercitare un’azione di rivalsa nei confronti della
banca. Prima di emettere le obbligazioni garantite, la banca cede il portafoglio di copertura a
un’apposita società veicolo, che a sua volta garantisce il prestito obbligazionario. Di
conseguenza, se la banca divenisse insolvente, solo gli obbligazionisti potrebbero aggredire il
portafoglio di copertura separato. La banca ha l’obbligo di fare in modo che i valori nominale e
attuale del portafoglio di copertura siano sempre almeno pari ai valori nominale e attuale delle
obbligazioni garantite. Se le insolvenze nel portafoglio di copertura fossero di più del previsto,
la banca dovrebbe cedere altri crediti non trasferibili alla società veicolo. Pertanto, e in
contrasto con una cartolarizzazione, il rischio di insolvenza grava sulla banca. L’operazione è
monitorata da una società di revisione contabile, la quale verifica il rispetto delle norme e
l’adeguatezza del portafoglio di copertura. Poiché il portafoglio di copertura separato è
costituito da crediti non trasferibili di elevata qualità, le obbligazioni garantite vengono
considerate da investimento dalle agenzie internazionali di valutazione del credito e giudicate
AAA o Aaa in molti casi. Le obbligazioni garantite rimborsano tipicamente il valore nominale
alla loro scadenza.
OSSERVAZIONE. La cartolarizzazione di mutui ipotecari residenziali giocò un importante
ruolo nella crisi finanziaria avvenuta negli USA nel biennio 2007-2008 e quindi divenuta una
crisi finanziaria globale.
A partire dagli anni 90, i tassi di interesse di mercato negli USA divennero bassi e i mutui
ipotecari residenziali subprime vennero concessi a debitori con basso reddito e basso merito
creditizio, in precedenza esclusi dal mercato del credito. Parallelamente, agenzie pubbliche
come Fannie Mae (Federal National Mortgage Association) e Freddie Mac (Federal Home
Loan Mortgage Corporation) rendevano liquidi i mutui ipotecari, procedendo alla loro
cartolarizzazione; le obbligazioni emesse erano garantite contro il rischio di insolvenza. I prezzi
degli immobili iniziarono a salire alla fine degli anni 90, per poi quasi triplicare nel decennio
1997-2006. La cartolarizzazione riguardò inizialmente i mutui ipotecari residenziali più sicuri
ma successivamente venne estesa da altri intermediari finanziari ai mutui ipotecari subprime;
137
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
nel secondo caso, le obbligazioni emesse non erano di solito garantite contro il rischio di
insolvenza, che veniva dunque trasferito dagli intermediari finanziari mutuanti agli
obbligazionisti.
A causa della rapida e ampia diffusione di queste ultime cartolarizzazioni, si registrò una
considerevole crescita dei mutui ipotecari subprime tra il 2000 e il 2006. Purtroppo, molte
istruttorie di mutuo condotte dai mortgage brokers, vale a dire da intermediari non bancari,
divennero troppo superficiali: le informazioni fornite dal debitore non venivano
(sufficientemente) verificate; il rapporto tra capitale mutuato e valore di mercato dell’immobile
era spesso troppo elevato. Inoltre, i mutui ipotecari subprime potevano prevedere dei bassi tassi
fissi per i primi 2 o 3 anni seguiti da più elevati tassi variabili di mercato, per esempio il tasso
dei buoni del Tesoro USA più 3%, troppo onerosi per dei debitori ingenui e a basso reddito.
Questi ultimi accettavano le condizioni contrattuali nella speranza di poterle rinegoziare
successivamente. Nonostante ciò, nelle cartolarizzazioni di mutui ipotecari subprime, la
migliore classe di obbligazioni veniva frequentemente giudicata AAA o Aaa dalle agenzie
internazionali di valutazione del credito. Con il senno di poi, si può affermare che esse
sottostimarono i possibili tassi di insolvenza, anche perché utilizzarono dati storici relativi a un
periodo molto favorevole e a mutui ipotecari residenziali più sicuri. Parallelamente, alcune
controparti nei credit default swap come AIG (acronimo di American International Group)
vendettero troppa assicurazione contro il rischio di insolvenza rispetto al capitale disponibile.
Le società veicolo precedentemente menzionate stipulavano tali swap per accrescere la qualità
del credito. Negli anni 2005 e 2006 sarebbero stati concessi mutui ipotecari subprime per un
ammontare complessivo di $1.200 miliardi, cartolarizzati nella misura dell’80%.
Nel 2006 cominciò una prolungata fase di contrazione nei prezzi degli immobili,
accompagnata da più elevati tassi variabili dei mutui ipotecari subprime, in crescita sin dal
2004. Tali prezzi si sarebbero contratti di circa un terzo entro il 2009. Venne così meno la
possibilità di rifinanziarsi a condizioni più favorevoli e il valore di mercato dell’immobile
ipotecato potè risultare minore del debito residuo. Poiché le insolvenze da parte dei debitori
ingenui o opportunisti aumentarono vertiginosamente, gli espropri fecero lo stesso di modo che
un grande numero di immobili finì sul mercato, causando un ulteriore ribasso dei loro prezzi e
alimentando così un circolo vizioso. Conseguentemente, anche le obbligazioni AAA o Aaa
menzionate più sopra subirono delle forti perdite nel corso del 2007 e del 2008 di modo che il
capitale di importanti banche come Citigroup e Wachovia Bank risultò significativamente
eroso. Iniziò così la crisi di liquidità culminata nel settembre 2008, quando ebbero luogo i
commissariamenti di Fannie Mae e Freddie Mac, la vendita di Merrill Lynch, sull’orlo della
138
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
bancarotta, a Bank of America, il fallimento di Lehman Brothers e il salvataggio di AIG da
parte del governo USA. Ciò diede luogo a una stretta creditizia globale, con conseguente
rallentamento della crescita economica in tutto il mondo e parallela contrazione del commercio
internazionale.
4.5. Sulla gestione attiva di portafogli obbligazionari
La gestione attiva di portafogli obbligazionari muove dalla distinzione tra nazioni e tra classi
di rischio (di credito), 10 secondo le classificazioni delle agenzie Fitch, Moody’s e Standard &
Poor’s; in linea di principio, ciascuna delle 10 classi di rischio di una data nazione è
rappresentata, in ogni giorno lavorativo, da una specifica curva dei rendimenti a scadenza,
che associa a ogni scadenza in ordinata un tasso annuo di rendimento a scadenza in ascissa.
Poiché, come spiegato più sotto, i tassi annui di rendimento a scadenza dei titoli di Stato
(obbligazioni senza cedola, a tasso fisso, a tasso variabile) riflettono le prospettive
macroeconomiche di una nazione, la corrispondente curva costituisce il quotidiano termine di
paragone. Se il merito di credito dei titoli di Stato è AAA o AA secondo le agenzie Fitch e
Standard & Poor’s, oppure Aaa o Aa secondo l’agenzia Moody’s, il rischio di credito insito in
essi è modesto e il minore possibile. Le determinanti del rendimento a scadenza di
un’obbligazione societaria sono, a grandi linee, 3: la nazione e le sue prospettive
macroeconomiche, il merito di credito della società emittente (che dipende a sua volta dalle
caratteristiche del settore industriale e della società), la scadenza del contratto. Data una certa
scadenza futura, la differenza tra i rendimenti a scadenza di un’obbligazione societaria e di un
titolo di Stato, vale a dire il premio per il rischio di credito nella sua espressione elementare,
sarà tanto maggiore quanto minore è il merito di credito della società emittente.
I lavori scientifici sui fondi obbligazionari e le loro prestazioni sono molti di meno di quelli
sui fondi azionari. Secondo tali analisi empiriche, le prestazioni passate dei gestori di fondi
obbligazionari sarebbero state in generale modeste e prive di persistenza nei risultati. D’altra
parte, il nocciolo della gestione attiva di portafogli obbligazionari risiede nella capacità di fare
previsioni migliori di quelle di consenso, implicite nelle varie curve dei rendimenti a scadenza.
Nel caso dei titoli di Stato, la curva dei rendimenti a scadenza cambia forma nel tempo, in
generale secondo il ciclo economico, essendo determinata dalle previsioni di consenso
sull’economia come pure da squilibri tra domanda e offerta. In linea di principio, le previsioni
di consenso dovrebbero concernere il quadro macroeconomico di una nazione, definito
magari come nelle tabelle proposte dal settimanale The Economist, vale a dire dal tasso di
crescita del prodotto interno lordo, dal tasso di inflazione, dal tasso di disoccupazione, dal tasso
139
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
di cambio, dal saldo della bilancia commerciale come pure dai rapporti partite correnti-PIL e
deficit di bilancio–PIL. Il primo tratto della curva dei titoli di Stato, con scadenze minori di 2
anni, potrebbe riflettere le previsioni di consenso circa la politica monetaria della Banca
centrale; inoltre, qualora si prevedano espansione e quindi maggiore inflazione (recessione e
quindi minore inflazione) nel breve-medio termine, la curva dei titoli di Stato dovrebbe essere
inclinata verso l’alto (il basso). Poiché gli obbligazionisti sono avversi al rischio, la curva dei
titoli di Stato è di solito inclinata verso l’alto; tuttavia, essa muta nel tempo in modo che i
rendimenti a breve scadenza risultino molto più variabili di quelli a lunga scadenza.
Per quanto attiene alle obbligazioni societarie, i premi per il rischio di credito risentono del
ciclo economico, aumentando (diminuendo) nella fase di contrazione (espansione), quando le
insolvenze sono più (meno) frequenti e i corrispondenti tassi sono più elevati (contenuti). Il
rapporto tra i rendimenti a scadenza delle obbligazioni BBB e AAA a 10 anni è un valido
indicatore della percezione generale del rischio di credito.
Secondo alcuni studi basati sull’analisi delle componenti principali, larga parte della
variabilità dei rendimenti a scadenza dei titoli di Stato, diciamo il 95% di essa, è riconducibile a
3 soli fattori comuni, che sono convenzionalmente interpretati come una traslazione parallela,
un cambiamento di inclinazione e una cambiamento di curvatura della curva dei rendimenti a
scadenza dei titoli di Stato.
OSSERVAZIONE. Come spiegato in Golub-Tilman (2000, cap. 3) e nei riferimenti
bibliografici ivi citati, un’analisi delle componenti principali degli eccessi di rendimento delle
obbligazioni può comprendere
• il riferimento alle obbligazioni senza cedola emesse dal Tesoro USA o create dagli
intermediari finanziari rivendendo separatamente, nel mercato secondario, ciascuna
cedola e il capitale nominale di un titolo di Stato (Separate Trading of Registered Interest
and Principal Securities, procedimento introdotto dal Tesoro USA nel 1985). Per
esempio, un vettore di eccessi di rendimento a scadenza ern;1 rispetto al tasso pronti
contro termine per una notte è rilevato settimanalmente per 5 anni in modo da
determinare una matrice reale e simmetrica di varianza-covarianza Σ n;n . Nel fare ciò ci
si può avvalere dello smorzamento esponenziale;
• un cambiamento di variabili pcn;1 = Ω n;nern;1 , dove Ω è una matrice ortogonale.
Qualora
gli
n
autovalori
di
Σ
siano
positivi
e
distinti,
ossia
tali
che
λ1 > λ2 > L > λn > 0 , le colonne di ΩT = Ω −1 sono i corrispondenti autovettori
140
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
ortogonali di Σ , ciascuno normalizzato in modo che la somma dei quadrati dei suoi
coefficienti sia pari a 1. Di conseguenza, si ottiene un vettore pcn;1 di componenti
principali ortogonali (e quindi incorrelate), la cui matrice diagonale di varianzacovarianza è ΩΣΩT ; la somma delle loro varianze λ1 + λ2 + K + λn è pertanto uguale a
σ12 + σ 22 + K + σ n2 . Solo 2-3 componenti principali sono di solito importanti; esse
spiegano mediamente, diciamo, l’85%, il 7% e il 3% della variabilità degli eccessi di
rendimento, vale a dire
λ1
λ1 + λ2 + K + λn
+
λ2
λ1 + λ2 + K + λn
+
λ3
λ1 + λ2 + K + λn
= 0,85 + 0,07 + 0,03 = 0,95
L’interpretazione finanziaria di tali fattori comuni è quella data più sopra; tuttavia, i pesi
del primo fattore comune pc1 dipendono dalle scadenze quasi come nel caso della
struttura a termine delle volatilità. Si ha
erk = ω1;k pc1 + ω2;k pc2 + ω3;k pc3
dove i coefficienti del primo autovettore ω1;1 ≅ ω1;2 ≅ L ≅ ω1;n descrivono una
traslazione e i coefficienti del secondo autovettore ω2;1 ≥ ω2;2 ≥ L ≥ ω2;n
(o
ω2;1 ≤ ω2;2 ≤ L ≤ ω2;n ) descrivono una rotazione oraria (antioraria) non rigida. E’
agevole constatare che la varianza di ciascun eccesso di rendimento settimanale è
pressochè completamente spiegata dai 3 fattori comuni;
• il riferimento a delle obbligazioni con cedola emesse dal Tesoro USA. E’ verosimile
accertare nel campione che pure le varianze degli eccessi di rendimento settimanali di tali
obbligazioni sono pressochè completamente spiegate dai 3 fattori comuni menzionati più
sopra.
L’analisi delle componenti principali può essere pure svolta con riferimento a variazioni
giornaliere, settimanali o mensili dei tassi di rendimento a scadenza dei titoli di Stato o dei tassi
di interesse a pronti del mercato monetario. La persistenza della relazione può essere accertata
suddividendo il campione di dati in sottointervalli.
La gestione attiva di portafogli obbligazionari si basa sulla previsione delle variazioni nei
rendimenti a scadenza dei titoli di Stato e nei margini di credito delle obbligazioni societarie
come pure sull’individuazione di apprezzamenti temporaneamente erronei di obbligazioni e
insiemi di obbligazioni. Per quanto attiene ai titoli di Stato, un gestore dovrebbe prevedere la
loro evoluzione nel breve termine, prima o meglio del mercato, una sfida che può scoraggiare.
141
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
Figura 1 – Tipiche evoluzioni delle curva dei rendimenti a scadenza dei titoli di Stato USA (fonte: Jones, 1991)
Per esempio, qualora la curva dei rendimenti a scadenza dei titoli di Stato sia inclinata verso
l’alto ed egli ritenga che rimarrà sostanzialmente invariata, egli sostituirà cautamente le
scadenze più brevi con scadenze più lunghe, assumendo così del rischio di tasso in cambio di
più elevati rendimenti a scadenza. Inoltre, come mostrato nella precedente figura, un gestore
può pure prevedere che tutti i rendimenti a scadenza dei titoli di Stato aumentino
(diminuiscano) a causa di una traslazione verso l’alto (il basso) della curva dei rendimenti a
scadenza, accompagnata magari da una riduzione (un aumento) dell’inclinazione positiva e
quindi del divario tra rendimenti a lungo e a breve termine. In tale circostanza, egli ridurrà
(accrescerà) la durata media finanziaria del proprio portafoglio. Infatti, se le obbligazioni hanno
durata media finanziaria contenuta (elevata), i loro prezzi sono poco (molto e favorevolmente)
influenzati da tale evoluzione.
142
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
OSSERVAZIONE. Come riportato in Jones (1991), le 2 evoluzioni testé menzionate
spiegherebbero circa il 91,6% dei rendimenti effettivi dei titoli di Stato USA. Inoltre, esse sono
verosimilmente caratterizzate da considerevoli variazioni nei rendimenti a scadenza; una
traslazione verso l’alto (il basso) dell’1% è coerente con una riduzione (un aumento) del divario
tra rendimenti a lungo e a breve termine dello 0,25%. Tuttavia, gli effetti del cambiamento di
inclinazione possono pure risultare più forti degli effetti della traslazione.
Più in generale, un gestore potrà delineare almeno 3 differenti scenari, assegnando loro le
rispettive probabilità di accadimento; ciascuno scenario, sia esso ottimistico, intermedio o
pessimistico, descriverà un peculiare andamento della curva dei rendimenti a scadenza dei titoli
di Stato, per esempio alla fine dell’anno. Egli cercherà allora un compromesso tra rendimento
effettivo e rischio, propendendo verso un portafoglio obbligazionario con un’accettabile
prestazione in ogni scenario, magari meno brillante nello scenario ottimistico ma più
soddisfacente in quello pessimistico.
Tra le obbligazioni societarie, un gestore privilegerà quelle male apprezzate a suo avviso,
per le quali attenda, nel breve termine, un miglioramento del merito di credito, con conseguente
incremento dei loro corsi secchi. Inoltre, egli sfrutterà anche la possibilità di sostituire alcune
obbligazioni in portafoglio con altre, che abbiano complessivamente le stesse caratteristiche ma
siano meno costose. Infine, la sua scommessa potrà pure riguardare parte di una classe di
rischio, qualora egli si aspetti, nel breve termine, una riduzione del corrispondente margine di
credito, dilatato magari da timori non giustificati, a suo avviso, dalle correnti caratteristiche
degli emittenti. In linea di principio, le scommesse sui margini di credito delle obbligazioni
societarie devono essere coerenti con l’obiettivo di durata media finanziaria del portafoglio.
OSSERVAZIONE. Secondo i dati storici, le obbligazioni da investimento sono più spesso
declassate che promosse di classe dalle agenzie di valutazione del credito. Inoltre, gli eccessi di
rendimento delle obbligazioni male apprezzate sono di solito decisamente minori di quelli delle
azioni male apprezzate. Tuttavia, ci si può esporre al rischio di credito, comprando e detenendo
un ampio e ben diversificato portafoglio di obbligazioni con non elevato merito di credito.
Secondo la Tabella 6, poiché i margini di credito potrebbero più che compensare le perdite da
insolvenza, si potrebbero conseguire degli eccessi di rendimento. Comunque, se tali
obbligazioni non fossero opportunamente scelte a causa di una carente analisi fondamentale
delle società emittenti, le perdite da insolvenza potrebbero essere maggiori del previsto. Inoltre,
143
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
potrebbero registrarsi delle minusvalenze di capitale di breve termine dovute a un aumento dei
margini di credito.
Il lettore interessato può consultare Farrell (1997, cap. 14) per una più organica trattazione
della gestione di portafogli obbligazionari, concernente pure
• le obbligazioni con facoltà di rimborso anticipato da parte dell’emittente, che
incorporano quindi un’opzione call esercitabile dall’emittente, generalmente pagando un
premio per il rimborso anticipato;
• le obbligazioni estere, le quali consentono una più ampia diversificazione del portafoglio
obbligazionario ma lo espongono al rischio di cambio. In tale circostanza, un gestore
deve pure decidere se mitigare o coprire tale rischio, stipulando periodicamente degli
opportuni contratti derivati.
144
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
5. Struttura a termine dei tassi di interesse
5.1. Sui tassi di interesse a trascurabile rischio di credito
Qualora il merito di credito dei titoli di un certo Stato sia AAA o AA secondo le agenzie
Fitch e Standard & Poor’s, oppure Aaa o Aa secondo l’agenzia Moody’s, esistono più tassi di
interesse, nei quali, in condizioni operative ordinarie, è insito un bassissimo rischio di credito,
ossia di insolvenza del debitore
• i tassi (impliciti nei prezzi) dei titoli di tale Stato;
• i tassi interbancari;
• i tassi swap, i tassi impliciti in certi contratti futures e i tassi di riporto.
Alcuni dei valori assunti dagli Euribor e dai tassi Irs in un particolare giorno sono riportati
nelle 2 seguenti tabelle.
tasso lettera (%)
3,159
3,209
3,251
3,610
3,805
3,879
3,928
3,963
3,978
durata
1s
2s
3s
1m
2m
3m
6m
9m
1a
Tabella 7 – Tassi Euribor rilevati il 27/11/2008
(Copia parziale da: il Sole 24 Ore, venerdì 28/11/2008)
Gli Euro Interbank Offered Rate sono tassi annui di interesse semplice proposti nell’area € e
applicabili, con 2 giorni lavorativi di differimento e con la regola effettivi/360 per il calcolo dei
giorni, a prestiti interbancari in € senza garanzia; essi sono riservati di solito a controparti
con soddisfacente merito di credito (almeno AA o Aa, in linea di principio), prendono la forma
di deposito e hanno durata di 1, 2, o 3 settimane, o da 1 a 12 mesi. Più precisamente, ogni
Euribor è una media troncata, calcolata da Reuters, delle condizioni proposte da un campione di
più di 40 banche di riferimento. La maggior parte di tali operazioni bancarie ha durata non
superiore a un mese.
tasso denaro (%)
3,33
3,14
3,23
3,35
3,46
3,94
4,05
3,64
3,31
tasso lettera (%)
3,35
3,16
3,25
3,37
3,48
3,96
4,07
3,66
3,33
durata
1a
2a
3a
4a
5a
10a
20a
30a
50a
Tabella 8 – Tassi IRS su € contro Euribor a 6 mesi rilevati il 27/11/2008
(Copia parziale da: il Sole 24 Ore, venerdì 28/11/2008)
145
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
Un tasso annuo Irs (interest rate swap) concerne un contratto derivato stipulabile tra 2
controparti e relativo a scambi di rate semestrali posticipate per 1 o più anni; le 2 sequenze di
rate semestrali posticipate, dette gambe dagli operatori, sono determinate in funzione di un
capitale convenzionale, che non è scambiato. La data di decorrenza segue di 2 giorni lavorativi
la data di rilevazione. La gamba variabile è costituita da rate semestrali variabili, ciascuna
delle quali dipende dal capitale convenzionale e dal tasso variabile, lo Euribor a 6 mesi avente
regolamento nel primo giorno del rispettivo semestre di maturazione. La gamba fissa è
costituita da rate semestrali costanti, ciascuna delle quali è pari al capitale convenzionale
moltiplicato per metà del tasso fisso, il tasso Irs prevalente al momento della stipula del
contratto. Più precisamente, si applica il tasso Irs denaro (lettera), se le rate semestrali costanti
sono versate (incassate) dall’intermediario finanziario proponente; le differenze lettera-denaro
remunerano l’attività degli intermediari finanziari.
Per risolvere problemi quali la misurazione del premio per il rischio di credito insito in un
prestito obbligazionario e la valutazione dei contratti derivati, bisogna disporre di una struttura
a termine di tassi di interesse omogenei e a trascurabile rischio di credito. Secondo il
linguaggio matematico, una struttura a termine è una sequenza (o successione finita) di termini
{it;T }, con t assegnato e T variabile, dove il generico termine it;T
è un tasso annuo di interesse
a pronti, concernente un prestito con inizio al tempo t, durata T − t e rimborso globale alla
scadenza al tempo T; a tali tassi annui devono inoltre corrispondere dei fattori di montante
(
)
1 + it ;T (T − t ) e/o 1 + it ;T T −t crescenti al crescere della durata T − t . Ove non diversamente
specificato, si farà astrazione in tutta la sezione da giorni di differimento, commissioni e
tasse, assumendo pure che ogni mese abbia 30 giorni, coerentemente con la regola di calcolo
dei giorni 30/360 europea.
Se si fa riferimento a un’opportuna valuta e ai tassi annui di interesse menzionati più sopra,
si possono rilevare ogni giorno 2 tipi di struttura a termine a trascurabile rischio di credito,
l’una relativa al mercato monetario, l’altra relativa al mercato dei titoli di Stato. La prima
(seconda) indica, per ogni durata, il tasso a pronti al quale un intermediario finanziario con
soddisfacente merito di credito (lo Stato con merito di credito AAA o AA) potrebbe prendere
denaro in prestito in quel giorno, concretamente (in linea di principio) per le durate più brevi
(lunghe), quali quelle minori di 1 anno. I procedimenti di rilevazione sono comunque
approssimati; il più semplice è quello del laccio dello scarpone (bootstrap). Il suo impiego è
più agevole nel caso del mercato monetario, considerato più sotto; nel caso dei titoli di Stato
esso richiede la scelta di un paniere di obbligazioni (si vedano gli esercizi 49 e 50).
146
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
OSSERVAZIONE. Sia yt ;T il tasso di rendimento a scadenza al tempo t di un titolo di
{ }
Stato che scade al tempo T. La curva dei rendimenti yt ;T differisce dalla struttura a termine
{ }
dei tassi di interesse it ;T , a meno di prendere in considerazione solo obbligazioni senza cedola.
Se, come avviene di solito nella prassi operativa, i contratti derivati sono valutati per mezzo
dei tassi del mercato monetario, si determineranno dei prezzi teorici che escludono ogni
opportunità di arbitraggio sia per gli operatori bancari con soddisfacente merito di credito sia
per gli altri operatori, in quanto per questi ultimi valgono condizioni peggiori (minore
remunerazione dei depositi e maggiore onerosità dei prestiti).
Il mercato interbancario funziona grazie a un circuito telematico che collega tra loro gli
operatori abilitati. Per ciascuna durata minore dell’anno, ogni giorno vengono rilevate le
quotazioni del tasso denaro (bid rate), applicato ai depositi, e del tasso lettera (ask rate),
applicato ai prestiti; nella prassi operativa si fa riferimento soprattutto al secondo, che è
maggiore del primo. Poiché la probabilità di insolvenza di ogni banca è maggiore della
probabilità di insolvenza dello Stato, ciascun tasso interbancario lettera è, in teoria ma non
sempre in pratica, maggiore del corrispondente tasso di interesse a pronti (implicito nei prezzi)
dei titoli di Stato. La struttura a termine dei tassi interbancari di interesse, vale a dire del
mercato monetario, può essere ricavata, per le durate maggiori di 1 anno, utilizzando i tassi
swap, come mostrato più sotto.
OSSERVAZIONE. In realtà, come spiegato in Hull (2012, cap. 6), il tratto intermedio della
struttura a termine del mercato monetario, con durate comprese, per esempio, tra 3 e 15 mesi,
potrebbe essere rilevato avvalendosi di informazioni desunte dai contratti futures su tassi di
interesse a breve termine (per esempio, lo Euribor a 3 mesi), perché tali contratti derivati sono
molto liquidi. Il rischio di credito insito in un contratto futures è nullo, in virtù del ruolo svolto
dalla cassa di compensazione (e garanzia) di una borsa futures attraverso il meccanismo dei
margini.
OSSERVAZIONE. Per semplicità, le precedenti considerazioni prescindono dalla
possibilità
• di stipulare dei contratti swap aventi l’Eonia (Euro OverNight Index Average) quale
tasso variabile;
147
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
• di finanziarsi attraverso a un contratto di riporto (detto pure contratto pronti contro
termine), ossia mediante una vendita a pronti e un contemporaneo riacquisto a termine
delle stesse obbligazioni, usualmente a un prezzo a termine maggiore del prezzo a pronti,
come nell’esercizio 2. Il tasso di interesse implicito nel contratto, detto tasso di riporto, è
usualmente di poco maggiore del corrispondente tasso (implicito nei prezzi) dei titoli di
Stato, in quanto il rischio di credito insito nel contratto è molto basso.
Sulla rilevazione della struttura a termine dei tassi Euribor
~
Il tempo sia misurato in anni e 0 sia l’istante di rilevazione; i0;T e i0;T indichino un Euribor
e un tasso swap, rilevati al tempo 0 e concernenti un’operazione di durata T, con scadenza al
tempo T. Ogni Euribor noto (incognito) i0;T con T ≤ 1 (con T > 1 ) sia un tasso annuo di
interesse composto secondo la convenzione lineare (esponenziale).
Facendo riferimento ai dati presenti nelle Tabelle 7 e 8 e avvalendosi solo dei tassi swap, sulla
falsariga di Hull (2012, cap. 7), si presenta ora il procedimento di misurazione della struttura
termine dei tassi Euribor per le durate maggiori di 1 anno. Esso prevede 3 passi
1) per ciascuna durata disponibile, si ricava il corrispondente tasso swap, pari alla media dei
tassi IRS denaro e lettera. Si ottiene, per esempio,
~
~
~
~
i0;1 = 3,34%; i0;2 = 3,15%; i0;3 = 3,24%; i0;4 = 3,36%
2) per ciascuna durata non disponibile, pari a 1,5 / 2,5 / 3,5 anni etc., si ricava il tasso swap
mancante mediante interpolazione lineare, introdotta più sotto nell’esercizio 47 punto b. Si
ottiene, per esempio,
~
~
~
~
~
~
i0;1 + i0;2
i0;2 + i0;3
i0;3 + i0;4
~
~
~
i0;1,5 =
= 3,245%; i0;2,5 =
= 3,195%; i0;3,5 =
= 3,300%
2
2
2
3) facendo riferimento a degli interest rate swaps stipulabili al tempo 0, con durata dapprima di
1,5 anni, poi di 2 anni, quindi di 2,5 anni, etc., si calcola un Euribor incognito alla volta. Si
tenga presente che, al momento dello stipula di ogni interest rate swap, i valori attuali delle
2 gambe, calcolati per mezzo degli Euribor nel caso in esame, devono essere uguali. Se si
finge che il capitale convenzionale sia scambiato alla scadenza del contratto derivato, la
gamba variabile (la gamba fissa) è assimilabile a un’obbligazione a tasso variabile
(un’obbligazione a tasso fisso) e, mutatis mutandis, può essere valutata come nell’esercizio
54 punto a (nell’esercizio 47 punto c). Si ha, per esempio,
~
i0;1,5
100 = 100
1 + i0;0,5 0,5 −1 + 1 + i0;1 −1 + 1 + i0;1,5 −1,5 + 100 1 + i0;1,5 −1,5 =
2
((
148
)
(
)
(
)
)
(
)
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
(
)
(
)
= 1,6225 1,01964−1 + 1,03978−1 + 101,6225 1 + i0;1,5 −1,5
da cui si trae i0;1,5 = 3,260% come pure
100 = 100
~
i0;2
((
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 + i0;0,5 0,5 −1 + 1 + i0;1 −1 + 1 + i0;1,5 −1,5 + 1 + i0;2 − 2 + 100 1 + i0;2 − 2 =
2
= 1,575 1,01964−1 + 1,03978−1 + 1,03260−1,5 + 101,575 1 + i0;2 −2
(
)
)
da cui si trae i0;2 = 3,164% .
Tassi di interesse a termine
Il tempo sia misurato in anni e 0 sia il corrente istante. Un tasso di interesse a termine
f 0; t ;T pattuito oggi è un tasso stabilito oggi con riguardo a uno spazio di tempo [t; T ] che
comincia nell’istante futuro t. Si applica al tempo T a un capitale C prestato nello spazio di
tempo [t; T ] e rimborsato mediante un unico ammontare.
I tassi di interesse a termine sono impliciti in una struttura a termine di tassi di interesse a
pronti {i0;t }. Affinché l’arbitraggio sia escluso, lo stesso rendimento deve essere associato a
tutte le politiche di investimento sicure che sono attuabili oggi e hanno lo stesso termine T con
0 < t < T . Si ha pertanto
(
)(
)
1 + i0;T T = 1 + i0;t t 1 + f 0;t ;T (T − t )
nel regime dell’ interesse semplice
(1 + i0;T )T = (1 + i0;t )t (1 + f 0;t;T )T −t
nel regime dell’ interesse composto
i0;T T = i0;t t + f 0;t ;T (T − t ) nel regime dell’ interesse composto continuamente
Poiché i correnti tassi a pronti sono noti, i correnti tassi a termine possono essere ricavati
risolvendo le 3 precedenti equazioni, le quali escludono qualsiasi opportunità di arbitraggio.
Secondo tali equazioni, le 2 seguenti operazioni finanziarie, concordate al tempo 0, sono
equivalenti: prestare un capitale C per T anni al tasso a pronti i0;T oppure prestare dapprima
(
)
un capitale C per t anni al tasso a pronti i0;t e in seguito il suo montante C 1 + i0;t per altri
T − t anni al tasso a termine f 0; t ;T . Se così non fosse, l’arbitraggio sarebbe conseguibile,
prendendo a prestito alle condizioni meno favorevoli un elevato ammontare di denaro, per poi
prestarlo alle condizioni più favorevoli. A un esborso nullo al tempo 0 corrisponderebbe così un
considerevole incasso al tempo T, pari alla differenza tra i montanti delle 2 operazioni
finanziarie.
I tassi di interesse a termine possono essere pattuiti stipulando dei contratti derivati come
debitori o creditori di un capitale (convenzionale) in un futuro spazio di tempo.
149
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
Esempio 21. Alcuni tassi annui di interesse semplice a pronti in un particolare giorno
siano come segue
tasso(%)
3,00
3,10
3,20
3,30
termine
3 mesi
6 mesi
9 mesi
1 anno
Si vogliano determinare i tassi di interesse a termine 3x6, 6x9, and 6x12 che possono essere
pattuiti in un FRA (forward rate agreement); l’intervallo temporale 3x6 comincia (finisce) 3
(6) mesi dopo la stipula. Per ridurre il rischio di credito insito in un FRA, non si ha scambio di
capitale e una liquidazione per contanti ha luogo all’inizio dell’intervallo temporale pattuito.
Svolgimento. Il tempo sia misurato in anni e 0 sia il corrente istante. Si ha
i0;0,25 = 3%; i0;0,5 = 3,1%; i0;0,75 = 3,2%; i0;1 = 3,3% . Sostituendo tali valori nelle 3 equazioni
che escludono l’arbitraggio
(
)(
)
1 + i0;0,75 0,75 = (1 + i0;5 0,5)(1 + f 0;0,5;0,75 0,25)
1 + i0;1 = (1 + i0;5 0,5)(1 + f 0;0,5;10,5)
1 + i0;0,5 0,5 = 1 + i0;25 0,25 1 + f 0;0,25;0,5 0,25
e semplificando, si ricava f 0;0,25;0,5 = 3,176%; f 0;0,5;0,75 = 3,348%; f 0;0,5;1 = 3,447% .
Secondo la prima equazione, prestare un capitale C per 6 mesi al tasso a pronti i0;0,5 = 3,1%
equivale a prestare dapprima un capitale C per 3 mesi al tasso a pronti i0;0, 25 = 3% e in
seguito il suo montante
(
)
C 1 + i0;0,25 0,25
per altri 3 mesi al tasso a termine
f 0;0,25;0,5 = 3,176% .
Sebbene non siano stati presi in considerazione elementi di attrito quali le tasse, gli scarti
denaro-lettera e le commissioni di intermediazione, le equazioni che escludono l’arbitraggio
forniscono una ragionevole approssimazione nel caso del montante lordo di un grande capitale,
in quanto gli elementi di attrito costituiscono un piccola frazione dell’esborso totale.
OSSERVAZIONE. Qualora l’evoluzione temporale dei tassi di interesse a pronti fosse
nota, ogni tasso di interesse a termine f 0; t ;T , stabilito al tempo 0, sarebbe pari al futuro tasso di
interesse a pronti it ;T , stabilito al tempo t e vigente nello spazio di tempo [t; T ] . In tali
150
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
condizioni di certezza, le equazioni che escludono l’arbitraggio definirebbero la nozione di
scindibilità per un fattore di montante in 2 variabili. Come dimostrato in precedenza, un fattore
di montante in 2 variabili è scindibile, sse (se e solo se) vige il regime dell’interesse composto;
si ha, per esempio
(1 + i0;3 )3 = (1 + i0;1 )(1 + i1;2 )(1 + i2;3 ) = (1 + i0;1 )(1 + i1;3 )2 = (1 + i0;2 )2 (1 + i2;3 )
Tuttavia, secondo l’evidenza empirica i tassi di interesse a termine f 0; t ;T sarebbero pari ai
valori medi dei corrispondenti tassi a pronti futuri it ;T , aumentati di un modesto premio per la
liquidità (quindi tanto maggiore, quanto maggiore è la durata T − t del prestito). La conoscenza
incompleta circa l’evoluzione temporale dei tassi di interesse a pronti comporta appunto che la
condizione di esclusione dell’arbitraggio possa essere pure formulata nel regime dell’interesse
semplice.
Apprezzamento di obbligazioni a tasso variabile
Il tempo sia misurato in anni e t sia l’istante di valutazione, con 0 ≤ t < 1 . Si consideri un
prestito diviso in obbligazioni a tasso variabile, con n rimanenti cedole annue e con valore
facciale percentuale pari a 100; il tasso cedolare sia indicizzato allo Euribor a 1 anno. Come
mostrato dal seguente diagramma, ogni obbligazione stacca una cedola 100it −1;t alla fine
dell’anno t, la quale diviene nota al tempo t − 1 , in quanto it −1;t è lo Euribor pattuito in t − 1
per prestiti interbancari senza garanzia di durata annuale. Ogni obbligazione restituisce inoltre
il valore facciale 100 alla scadenza n senza pagare alcun premio di rimborso.
0
t
100i0;1
100i1;2
1
2
L
(
100in − 2; n −1
100 1 + in −1;n
n −1
n
)
Proposizione. Il prezzo dell’obbligazione in esame risulta pari a 100 all’emissione e subito
dopo lo stacco di ogni cedola.
DIMOSTRAZIONE. Poniamoci al tempo
n − 1 ; dopo un anno, alla scadenza
dell’obbligazione, verrà pagato l’importo 100in −1;n + 100 , il cui valore attuale al tempo n − 1
calcolato al tasso in −1;n è proprio 100. Poniamoci ora al tempo n − 2 ; dopo un anno maturerà la
penultima cedola, pari a 100in − 2; n −1 mentre il prezzo dell’obbligazione sarà 100. Il valore
151
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
attuale al tempo n − 2 dell’importo 100in − 2;n −1 + 100 calcolato al tasso in − 2;n −1 è nuovamente
100. Ripetendo n − 2 volte questo ragionamento si può raggiungere il tempo 0.
Il corso tel quel al tempo t delle obbligazioni a tasso variabile è
(
)(
)
Pdirty = Pclean + 100i0;1t = 100 1 + i0;1 1 + it ;1(1 − t ) −1
in quanto la durata 1 − t è non maggiore di un anno e lo Euribor it ;1 è un tasso di interesse
semplice.
OSSERVAZIONE. Qualora le cedole delle obbligazioni a tasso variabile siano semestrali
(trimestrali) e quindi staccate m = 2
(m = 4)
volte all’anno, la precedente proposizione è
ancora vera, purché i tassi di interesse adoperati siano semestrali (trimestrali). Sia 0 ≤ t <
1
;
m
la precedente formula diviene
−1
 i0;1 / m 
1

1 + it ;1 / m ( − t ) 
Pdirty = Pclean + 100i0;1 / mt = 1001 +
m 
m


&——&——&
Esercizio 47. Alcuni tassi annui di interesse a pronti per prestiti interbancari in un
particolare giorno siano come segue (per semplicità, ogni mese abbia 30 giorni e non vi siano
giorni di differimento)
tasso (%)
3,00
3,10
3,30
3,40
3,50
3,50
3,80
durata
1 mese
3 mesi
6 mesi
1 anno
2 anni
3 anni
5 anni
a) Si trovi il fattore di montante per un deposito interbancario con durata di 6 mesi, facendo
astrazione dallo scarto denaro-lettera.
b) Si ricorra all’interpolazione lineare per trovare un fattore di sconto approssimato da
applicare a un importo in scadenza dopo 9 mesi.
c) Si consideri un’obbligazione societaria con merito di credito AA, avente cedole annue, tasso
cedolare del 4% e scadenza dopo 3 anni. Il suo corso ex cedola sia 100,70. Si trovi il
margine di credito.
152
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
Soluzione. Il tempo sia misurato in anni e 0 sia l’istante di rilevazione. Sia i0;t il tasso di
interesse a pronti per operazioni che iniziano al tempo 0 e terminano al tempo t.
a) Poiché i0;0,5 = 3,3% , il fattore di montante richiesto è 1 + i0;0,5 0,5 = 1,01650 .
b) Per interpolare linearmente i tassi di interesse a pronti disponibili, si associa a ciascuna
(
coppia (durata; tasso) della tabella più sopra un punto del piano t; i0;t
)
e si collegano
mediante segmenti i punti corrispondenti a coppie contigue; il risultante grafico è lineare a
tratti. Dato che la scadenza 9 mesi è compresa tra le scadenze 6 mesi e 1 anno, il tasso a
pronti incognito i0;0,75 è una funzione di i0;0,5 = 0,033 e i0;1 = 0,034 . Più specificatamente,
esso giace sulla linea retta
i0;t − 0,033
0,034 − 0,033
=
t − 0,5
vale a dire i0;t = 0 ,032 + 0 ,002t
1 − 0,5
(
)
che passa per i punti (0,5 ; 0,033) e (1 ; 0,034 ) del piano t ; i0;t .
Poiché i0;0,75 = 0 ,032 + 0 ,002 * 0,75 = 0,0335 per t = 0,75 , il fattore di sconto richiesto è
(1 + i0;0,75 0,75)−1 = (1 + 0,0335 * 0,75)−1 = 0,97549 .
c) Il margine di credito incognito sp soddisfa l’equazione
(
)
(
)
(
)
4 1 + i0;1 + sp −1 + 4 1 + i0;2 + sp −2 + 104 1 + i0;3 + sp −3 =
4(1,034 + sp )−1 + 4(1,035 + sp )−2 + 104(1,035 + sp )−3 = 100,70 €
che non possiede una soluzione analitica. Un valore approssimato dell’unico margine di
credito è sp = 0,25% .
Esercizio 48. Alcuni tassi annui di interesse a pronti per prestiti interbancari in un
particolare giorno siano come segue (per semplicità, ogni mese abbia 30 giorni e non vi siano
giorni di differimento)
tasso (%)
3,00
3,10
3,30
3,40
3,50
3,50
3,80
durata
1 mese
3 mesi
6 mesi
1 anno
2 anni
3 anni
5 anni
a) Si trovino gli equivalenti tassi annui nominali composti continuamente per durate di 6
mesi, 1 anno e 2 anni.
153
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
b) Si usi il tasso annuo nominale composto continuamente e si trovi il fattore di montante per
un deposito interbancario con durata di 6 mesi, facendo astrazione dallo scarto denarolettera.
c) Si ricorra all’interpolazione esponenziale per trovare un fattore di sconto approssimato da
applicare a un importo in scadenza dopo 9 mesi.
Soluzione. Il tempo sia misurato in anni e 0 sia l’istante di rilevazione. Sia i0;t il tasso di
interesse a pronti per operazioni che iniziano al tempo 0 e terminano al tempo t sotto l’ipotesi di
composizione continua dell’interesse.
a) Si ha
 0,033 
i0;0,5 = 2 ln1 +
 = 3,273%; i0;1 = ln (1 + 0,034) = 3,343%; i0;2 = ln (1 + 0,035) = 3,440%
2 

b) Poiché
i
e 0; 0 , 5
*0,5
i0;0,5 = 3,273% , un deposito semestrale di €1 genera un montante di
= 1,01650 €. A causa dell’equivalenza tra tassi di interesse, non c’ è alcuna
differenza con il punto a) del precedente esercizio.
c) Per interpolare esponenzialmente i tassi di interesse a pronti disponibili, si considera una
tabella di tassi annui nominali composti continuamente, si associa a ciascuna coppia
(
)
(durata; tasso) della tabella un punto del piano t; i0;t e si collegano mediante segmenti i
punti corrispondenti a coppie contigue. Il risultante grafico è lineare a tratti. Dato che la
scadenza 9 mesi è compresa tra le scadenze 6 mesi e 1 anno, il tasso a pronti incognito
i0;0,75 è una funzione di i0;0,5 = 0,03273 e i0;1 = 0,03343 . Più specificatamente, esso giace
sulla linea retta
i0;t − 0,03273
0,03343 − 0,03273
=
t − 0,5
vale a dire i0;t = 0 ,03203 + 0 ,0014t
1 − 0,5
(
)
che passa per i punti (0,5 ; 0,03273) e (1 ; 0,03343) del piano t ; i0;t .
Poiché
i0;0,75 = 0 ,03203 + 0 ,0014 * 0,75 = 0,03308 per t = 0,75 , il fattore di sconto
richiesto è e
−i0; 0, 75 *0,75
= 0,97550 .
Esercizio 49. I prezzi di alcune obbligazioni senza cedola in un particolare giorno d’asta
siano
154
prezzo
98
96
94
92
durata (mesi)
3
6
9
12
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
Inoltre, il prezzo secco di un’obbligazione con cedole annue, tasso cedolare del 10%, e 18 mesi
alla scadenza sia 101,40. Tutte le obbligazioni sono titoli di Stato emessi dal Tesoro; per
semplicità, ogni mese abbia 30 giorni e non vi siano giorni di differimento.
Si trovino i tassi di interesse a pronti (annui effettivi) impliciti in tali prezzi.
Soluzione. Il tempo sia misurato in anni e 0 sia l’istante di rilevazione. Sia i0;t il tasso di
interesse a pronti per transazioni che iniziano al tempo 0 e terminano al tempo t. Dall’equazione
prezzo = 100(1 + i0;t )−t si trae
1
 100  t

1 + i 0;t = 
 prezzo 
dove
100
è un fattore di montante periodale. Sostituendo i prezzi più sopra nella seconda
prezzo
equazione, si ricava la seguente tabella
tasso periodale
2,041%
4,167%
6,383%
8,696%
tasso effettivo i 0;t
8,417%
8,507%
8,600%
8,696%
0,25
0,5
0,75
1
durata (anni)
Il prezzo tel quel dell’obbligazione a tasso fisso è 101,40 + 10 / 2 = 106,40 ; dall’equazione di
(
)
apprezzamento 106,40 = 10 *1,08507− 0,5 + 110 * 1 + i0;1,5 −1,5 si trae i0;1,5 = 8,896% .
Esercizio 50. I prezzi di alcune obbligazioni senza cedola in un particolare giorno siano
prezzo
durata (giorni)
99,25
97,00
94,75
92,50
30
120
210
300
Inoltre, il prezzo secco di un’obbligazione con cedole annue, tasso cedolare del 9% e 390 giorni
alla scadenza sia 99,05. Tutte le obbligazioni sono titoli di Stato emessi dal Tesoro; per
semplicità, ogni mese abbia 30 giorni e non vi siano giorni di differimento.
Si trovino
a) i tassi di interesse a pronti (annui effettivi) impliciti in tali prezzi;
b) il tasso di interesse a pronti a 1 anno, per mezzo dell’interpolazione lineare.
155
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
Soluzione. Il tempo sia misurato in anni e 0 sia l’istante di rilevazione. Sia i0;t il tasso di
interesse a pronti per transazioni che iniziano al tempo 0 e terminano al tempo t.
a) Dall’equazione prezzo = 100(1 + i0;t )−t si trae
1
 100  t

1 + i 0;t = 
 prezzo 
dove
100
è un fattore di montante periodale. Sostituendo i prezzi più sopra nella
prezzo
seconda equazione, si ricava la seguente tabella
tasso periodale
0,756%
3,093%
5,541%
8,108%
tasso effettivo i 0;t
9,455%
9,568%
9,686%
9,807%
1/12
4/12
7/12
10/12
durata (anni)
Il prezzo tel quel dell’obbligazione a tasso fisso è 99,05 + 9 *11 / 12 = 107,30 ; dall’equazione
di apprezzamento
107,30 = 9 * 1,09455
−
1
12
(
)
13
+ 109 * 1 + i0;13 / 12 − 12
si trae i0;13 / 12 = 9,938% .
b) Si ha i0;1 = i10 / 12 + (i13 / 12 − i10 / 12 )
2 /12
2
= 9,807% + 0,131% = 9,894% .
3 / 12
3
OSSERVAZIONE. Il metodo del laccio dello scarpone (bootstrap) presentato negli ultimi
2 esercizi consente di rilevare sequenzialmente la struttura a termine dei tassi di interesse insita
in un paniere di n obbligazioni, ciascuna con lo stesso merito di credito ma con una differente
scadenza, ogni data di pagamento essendo una delle n scadenze. Il risultato finale, un insieme di
(
n punti t; i0;t
)
interpolati linearmente, risente della scelta del paniere. Qualora si voglia
rilassare l’ipotesi sul paniere, come accade soprattutto nell’ambito dell’analisi economica,
bisogna ricorrere all’ottimizzazione, per stimare i parametri incogniti di una funzione della
durata, sia essa una funzione parsimoniosa oppure una funzione polinomiale (o esponenziale)
a tratti, detta spline.
Un ben noto esempio di funzione parsimoniosa è proposto in Nelson-Siegel (1987); la
risultante struttura a termine può avere andamento monotono, con gobba, sigmoidale
156
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
t
 t
i0;t = a + b 1 − exp −
τ
 τ

 t
  + c exp − 

 τ
dove i0;t è un tasso annuo nominale continuamente composto, mentre a, b, c e τ sono i
parametri incogniti.
Nel caso di una spline, i diversi tratti in generale, e i tassi a breve e a lungo termine i0;t in
particolare, risultano relativamente indipendenti. Per motivi legati alla gestione del rischio di
tasso, in sede operativa si prendono spesso in considerazione i tratti aventi come estremi le
scadenze a 1, 3, 5, 7, 10 e 30 anni. Per un approfondimento dell’argomento si rimanda a
Marangio et alii (2002).
Esercizio 51. I tassi annui di interesse a pronti in un particolare giorno siano come segue
tasso (%)
termine
5,00
5,10
5,30
5,40
5,50
5,50
5,80
1 mese
3 mesi
6 mesi
1 anno
2 anni
3 anni
5 anni
Si calcoli il tasso annuo a termine 3x12 nel caso i dati in tabella rappresentino
a) tassi annui di interesse composto secondo la convenzione lineare;
b) tassi annui di interesse composto secondo la convenzione esponenziale;
c) tassi annui nominali di interesse continuamente composto.
Soluzione. Il tempo sia misurato in anni e 0 sia l’istante di rilevazione. Sia i0;t il tasso di
interesse a pronti per transazioni che iniziano al tempo 0 e terminano al tempo t; sia f 0;t ;T il
tasso di interesse a termine vigente al tempo 0 per transazioni che iniziano al tempo t e
terminano al tempo T. L’intervallo 3x12 comincia (termina) 3 (12) mesi dopo la stipula.
Sostituendo i valori i0;0, 25 = 5,1% ; i0;1 = 5,4% nella condizione che esclude l’arbitraggio
(
)(
(
) (
)
a) 1 + i0;0,25 0,25 1 + f 0;0, 25;10,75 = 1 + i0;1
)
b) 1 + i0;0,25 0,25 1 + f 0;0, 25;1 0,75 = 1 + i0;1
i
c) e 0; 0, 25
0, 25 f 0; 0, 25;1 0,75
e
i
= e 0;1
e semplificando, si ricava
a) f 0;0,25;1 =

1 + i0;1
1 
− 1 = 5,431%
0,75  1 + i0;0,25 0,25 
157
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
1

 0,75
1 + i0;1

b) f 0;0, 25;1 = 
− 1 = 5,500%
0, 25 
 1+ i
0
;
0
,
25


(
c) f 0;0, 25;1 =
)
i0;11 − i0;0,25 0,25
0,75
= 5,500%
Si rammenta che il tasso a termine di interesse semplice f 0;0,25;1 = 5,431% può essere pattuito
al tempo 0 dalle 2 controparti di un FRA (forward rate agreement).
Esercizio 52. Sei mesi fa fu stipulato un FRA 6x12 con un capitale convenzionale di
€100.000. Alcuni tassi annui di interesse a pronti sono riportati nella tabella più sotto
(l’interesse è semplice; per semplicità, ogni mese abbia 30 giorni e non vi siano giorni di
differimento). Si descriva il regolamento per contanti che ha luogo oggi.
durata
tasso (6 mesi fa)
tasso (oggi)
6 mesi
4,00%
4,50%
1 anno
5,00%
5,50%
Soluzione. Se il capitale fosse scambiato, ciò avverrebbe due volte, 6 e 12 mesi dopo la
stipula (da cui l’espressione 6x12). Tuttavia, lo scambio di capitale è sostituito da un
regolamento per contanti 6 mesi dopo la stipula.
Il tempo sia misurato in anni, 0 sia l’istante della stipula e 0,5 sia l’istante del regolamento
(che cade oggi). Sia i 0;t il tasso di interesse a pronti per transazioni che iniziano al tempo 0 e
terminano al tempo t; sia f 0;t ;T il tasso di interesse a termine vigente al tempo 0 per
transazioni che iniziano al tempo t e terminano al tempo T. Sostituendo i valori i0;0,5 = 4% ;
i0;1 = 5% nella condizione che esclude l’arbitraggio
1 + f 0;0,5;10,5 =
1 + i0;1
1 + i0;0,5 0,5
=
1,05
1,02
si ricava il tasso a termine concordato: f 0;0,5;1 = 5,882% . Poiché i0,5;1 = 4,50% , il debitore
deve pagare
(
)
100.000 f 0;0,5;1 − i0,5;1 0,5 100.000(5,882% − 4,500% )0,5
=
= 675,79 €
1 + i0,5;10,5
1 + 4,5% * 0,5
al creditore. Tuttavia, se € 100.675,97 sono presi in prestito per 3 mesi al vigente tasso a pronti
i0,5;1 , a scadenza si dovrà restituire
158
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
100.675,79(1 + 4,5% * 0,5) = 102.941,00 = 100.000(1 + 5,882% * 0,5) €
come è implicito nel FRA. Se i0,5;1 fosse stato maggiore di 5,882%, il creditore avrebbe dovuto
versare l’importo
(
)
100.000 i0,5;1 − f 0;0,5;1 0,5
al debitore.
1 + i0,5;10,5
Esercizio 53. Per saldare un debito di €96.000 tra 1 anno, una società per azioni potrebbe
depositare in banca un incasso di €40.000 tra 6 mesi come pure un incasso di €55.000 tra 9
mesi. Alcuni odierni tassi annui di interesse a pronti sono riportati nella tabella più sotto
(l’interesse è semplice). Il rischio di tasso verrebbe coperto stipulando un FRA 6x12 e un FRA
9x12. Si verifichi se l’operazione finanziaria sia efficace.
tasso (%)
termine
4,00
3 mesi
4,10
6 mesi
4,20
9 mesi
4,30
1 anno
Soluzione. L’operazione finanziaria è efficace. Il tempo sia misurato in anni e 0 sia il
corrente istante. Sia i0;t il tasso di interesse a pronti per transazioni che iniziano al tempo 0 e
terminano al tempo t; si ha i0;0,5 = 0,041; i0;0,75 = 0,042; i0;1 = 0,043 . Si rammenta che un
ideale arbitraggio è costituito da un insieme di operazioni simultanee che non richiede alcun
esborso e che procura o potrebbe procurare un qualche incasso. Affinché l’arbitraggio sia
impossibile nel nostro caso, qualsiasi insieme di operazioni simultanee e sicure, pattuite oggi e
relative agli incassi menzionati più sopra, deve generare lo stesso montante tra 1 anno. Di
conseguenza, le stipule di un FRA 6x12 e di un FRA 9x12 equivalgono allo sconto al tempo 0
di entrambi gli incassi seguito da un deposito sino al tempo 1 del risultante valore attuale
(40.000(1 + i
0;0,5 0,5
)−1 + 55.000(1 + i0;0,75 0,75)−1 )(1 + i0;1 ) = 96.495,11 € > 96.000 €
OSSERVAZIONE. Questo è il più semplice procedimento possibile per il calcolo di un
montante certo di incassi futuri certi, sulla base dei tassi a pronti vigenti in un dato giorno.
Esercizio 54. Si consideri un’obbligazione a tasso variabile con merito di credito AA,
valore facciale percentuale di 100, cedole annue e 15 mesi alla scadenza. Alcuni tassi annui di
interesse a pronti per prestiti interbancari, vigenti 9 mesi fa e oggi, sono riportati nella
tabella più sotto
159
Ettore Cuni, Luca Ghezzi
durata
tasso (9 mesi fa, %)
tasso (oggi, %)
3 mesi
2,60
2,70
6 mesi
2,80
2,90
1 anno
3,00
3,10
2 anni
3,10
3,20
3 anni
3,10
3,20
5 anni
3,15
3,25
Si trovi l’odierno corso secco dell’obbligazione, nell’ipotesi che il tasso cedolare sia pari a un
tasso a pronti per prestiti interbancari a 1 anno
a) senza alcuna maggiorazione;
b) con una maggiorazione di 20 punti base, ossia dello 0,20%.
Soluzione. Il tempo sia misurato in anni, 0,75 sia il corrente istante e 2 sia la scadenza
dell’obbligazione. L’ultimo stacco di cedola avvenne 9 mesi fa al tempo 0. Siano
i0;1 = 3,000% il tasso a pronti a 1 anno vigente 9 mesi fa, e i0 ,75;1 = 2,700% il tasso a pronti a
3 mesi vigente oggi.
a) Poiché la prossima cedola, pari a 100i0;1 = 3 , maturerà tra 3 mesi, il corso secco
dell’obbligazione sarà allora 100, come è già accaduto all’emissione e subito dopo lo stacco
delle precedenti cedole. Gli odierni corsi tel quel e secco dell’obbligazione sono
(
)(
)
100 1 + i0;1 1 + i0,75;10,25 −1 = 103(1 + 0,027 * 0,25)−1 = 102,31 e 102,31- 2,25 = 100,06
dove l’importo 100i0;10,75 = 2,25 costituisce i dietimi.
b) Siano i0,75;1 = 2,700%; i0;75;2 = 3,1% + 0,1%
0,25
= 3,125%; i tassi a pronti applicati oggi a
1
un’operazione di durata di 3 o 15 mesi; il secondo tasso a pronti è ottenuto mediante
interpolazione lineare. All’obbligazione a tasso variabile del punto a) si aggiunge ora una
rendita con 2 poste, ciascuna di ammontare 100 * 0,0020 = 0,20 , in scadenza a 3 e a 15 mesi
da adesso. Gli odierni corsi tel quel e secco dell’obbligazione sono pertanto
((
)
(
)
)
102,31 + 0,20 1 + i0,75;1 0,25 −1 + 1 + i0,75;2 −1, 25 = 102,70 e 102,70 − 2,40 = 100,30
(
)
dove l’importo 100 i0;1 + 0,0020 0,75 = 2,40 costituisce i dietimi.
OSSERVAZIONE. Come già accennato, il regolamento di una sottoscrizione all’asta di
CCT avviene con 2 giorni lavorativi di differimento; il regolamento di una compravendita di
CCT o di obbligazioni societarie a tasso variabile avviene con 3 giorni lavorativi di
differimento. Per le obbligazioni emesse dopo il 1/1/1999, la regola per il calcolo dei giorni è
effettivi/effettivi.
160
Appunti di Matematica e tecnica finanziaria
Riferimenti bibliografici
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Management Journal, 16(6), 415-430.
162
A partire dal 1971, anno di transizione dal regime di cambi fissi di Bretton Woods al regime di
cambi flessibili, sia la Matematica sia la Tecnica finanziaria hanno attraversato una stagione di
straordinario sviluppo, alimentato e facilitato dalla liberalizzazione e globalizzazione dei mercati
finanziari, dalla diffusione delle tecnologie informatiche e telematiche, dai progressi compiuti dai
fornitori di informazione finanziaria.
Pur non rinunciando al rigore delle tradizionali trattazioni, gli Appunti di Matematica e tecnica
finanziaria sono più decisamente orientati alle applicazioni. Coerentemente con lo sviluppo
menzionato più sopra, essi offrono una duplice chiave di lettura della disciplina: quella logica,
relativa ai procedimenti analitici o empirici, e quella operativa, relativa a contratti, operazioni e
processi finanziari. L’approccio è non solo pragmatico ma anche multidisciplinare, con riferimenti
alla contabilità, all’economia industriale, all’economia dei mercati e degli intermediari finanziari.
Ettore Cuni
E’ dottore in Economia e commercio e supervisore del credito presso la direzione generale del
Credito Bergamasco. E’ esperto di tecnica bancaria, analisi di bilancio e analisi del rischio di
credito.
Luca Ghezzi
E’ dottore di ricerca in Ingegneria informatica e professore associato di Ingegneria economico
gestionale presso l’Università Carlo Cattaneo. La sua attività di ricerca concerne l’impiego dei
metodi dell’ingegneria in problemi di natura economica e finanziaria, quali il funzionamento dei
mercati finanziari, la gestione dei portafogli finanziari, la valutazione delle imprese.
ISBN 978-88-908806-1-2

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3 - Il MURO

ESERCIZI su interesse, sconto commerciale, montante e

Avviso ai sottoscrittori del prestito obbligazionario

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UniCredit S.p.A. co n. 0057714/14 il Document il Primo Sup e/o

1 - Il MURO

Prospetto Informativo

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