QëP áK . @ éªÓAg . ﺑﻦ ﺯﻫﺮ ـ ﺔﺍ ﺃ ﻛﺎ ﺟ ﺎ ﻣﻌ ﺩﻳﺮ Universit´ e Ibn Zohr HA j JË@ èXYªJÓ éJ ʾË@ P@ PPð H. QªÖ Ï @ , H@ Facult´e Polydisciplinaire AD ITÉ G E RS IR IV UN Ouarzazate, Maroc IBN ZOHR -A Correction des Travaux Dirig´ es de Thermodynamique I ∗ Prof. : H. Chaib Fili` ere : SMP, Semestre : 1, Ann´ ee : 2015/2016, S´ erie : 02 Exercice 1 1. Soient n et n0 les nombres de moles d’oxyg`ene dans la bouteille, respectivement, avant et apr`es le pr´el`evement d’oxyg`ene qui est isotherme. Ces deux grandeurs sont donn´ees par : p0 V pV et n0 = (1) n= RT RT Alors, le nombre de moles n∗ de l’oxyg`ene pr´elev´e s’´ecrit : V (p − p0 ) RT (2) V (p − p0 )MO2 RT (3) n∗ = n − n0 = d’o` u la masse m∗ du gaz pr´elev´e s’´ecrit : m∗ = n∗ MO2 = avec MO2 = 2MO est la masse molaire de l’oxyg`ene O2 A.N. : m∗ = 131 g. 2. Le volume V 00 de l’oxyg`ene pr´elev´e apr`es d´etente et ´echauffement est donn´e par : n∗ RT 00 p00 (4) V RT 00 (p − p0 ) 00 RT p (5) T 00 p − p0 · V T p00 (6) V 00 = or n∗ = V (p RT − p0 ), alors V 00 = soit : V 00 = A.N. : V 00 = 109,28 l. ∗. Les cours, les travaux dirig´es avec correction, les ´epreuves avec correction et les travaux pratiques sont disponibles en ligne sur le site Web : http://196.200.181.135/chaib/teaching/ Correction des TD de Thermodynamique I (S´erie 02 : 2015/2016) - Prof. H. Chaib 2 Exercice 2 1. Avant de relier les deux ballons, les ´etats des deux gaz sont g´er´es par les ´equations suivantes : p1 V1 = n1 RT et p2 V2 = n2 RT (7) avec n1 est le nombre de moles du dioxyde de carbone CO2 et n2 est le nombre de moles du dioxyg`ene O2 . Apr`es la reliure des deux ballons, les ´etats des deux gaz sont g´er´es par les ´equations suivantes : p01 V = n1 RT et p02 V = n2 RT (8) avec V = V1 + V2 est le volume total des deux ballons. Ces ´equations impliquent : p01 V = p1 V1 et p02 V = p2 V2 et p02 = p2 d’o` u: V1 V1 + V2 0 0 A.N. : p1 = 3 atm et p2 = 1,5 atm. p01 = p1 (9) V2 V1 + V2 (10) 2. En utilisant la loi de Dalton, on peut ´ecrire : p0 = p01 + p02 (11) A.N. : p0 = 4,5 atm. 3. Les nombres de moles des deux gaz sont donn´es par : n1 = p1 V1 RT p2 V 2 RT et n2 = et m2 = MO2 (12) Leurs masses sont donn´ees par : m1 = MCO2 p1 V1 RT p2 V 2 RT (13) Alors la masse totale du m´elange s’´ecrit : m= p1 V1 p2 V 2 MCO2 + MO2 RT RT (14) d’o` u, la masse volumique du m´elange a pour expression : m V (15) p1 V1 MCO2 + p2 V2 MO2 RT (V1 + V2 ) (16) m0v = soit : m0v = A.N. : m0v = 8,03 kg m−3 . 4. Les ´equations d’´etat du m´elange avant et apr`es le chauffage sont, respectivement : p0 V = n0 RT (17) p00 V = n0 RT 00 (18) et Correction des TD de Thermodynamique I (S´erie 02 : 2015/2016) - Prof. H. Chaib Alors : 3 p00 T 00 = p0 T d’o` u: p00 = (19) T 00 0 p T (20) A.N. : p00 = 4,75 atm. 5. Le volume et aussi les nombres de moles (ou encore la masse) des gaz constituant le m´elange n’ont pas chang´e apr`es le chauffage. Alors, la masse volumique reste constante : (21) m00v = m0v A.N. : m00v = 8,03 kg m−3 . Exercice 3 1. Les coefficients thermo´elastiques sont d´efinis par : 1 α= V ∂V ∂T ! , p 1 β= p ∂p ∂T ! 1 χT = − V et V ∂V ∂p ! (22) T 2. Pour un syst`eme thermodynamique, les trois variables d’´etat p, V et T sont deux a` deux ind´ependantes. Alors, leurs d´eriv´ees partielles r´ealisent l’identit´e suivante : ∂V ∂T ! ∂T ∂p p ! V ∂p ∂V ! = −1 (23) T Or, selon les d´efinitions des coefficients thermo´elastiques : ∂V ∂T ! = αV, p ∂T ∂p ! V 1 = βp ∂p ∂V et alors : ! =− T 1 χT V (24) ! 1 1 − αV βp χT V = −1 (25) d’o` u finalement la relation entre les trois coefficients thermo´elastiques : α =p βχT (26) 3. On a p = p(V,T ), alors : dp = ∂p ∂V ! T ∂p dV + ∂T ! dT (27) V qui s’´ecrit a` volume constant : dp = ∂p ∂T ! ∂p ∂T ! d’o` u: ∆p = dT (28) ∆T (29) V V Correction des TD de Thermodynamique I (S´erie 02 : 2015/2016) - Prof. H. Chaib 4 ∂p car ∂T est ind´ependant de T . Cependant, selon la d´efinition du coefficient V d’augmentation de pression isochore β on peut ´ecrire : ∆p = pβ∆T (30) α ∆T χT (31) ou encore : ∆p = A.N. : ∆p = 60 atm. Exercice 4 1. On a V = V (p,T ), alors : dV = ! ∂V ∂p T ∂V dp + ∂T ! dT (32) p Or, selon les d´efinitions des coefficients thermo´elastiques : ! ∂V ∂T et ∂V ∂p = αV (33) = −χT V (34) p ! T alors : dV = −χT V dp + αV dT ou en rempla¸cant α et χT par leurs expressions respectives (35) 3aT 3 V et b V : dV = −b dp + 3aT 3 dT (36) Les variables sont s´epar´ees dans la diff´erentielle, l’int´egration se r´esume au calcul de deux primitives, soit : 3 V = −b(p − p0 ) + a T 4 − T04 + V0 4 (37) 2. Selon la relation entre les trois coefficients thermo´elastiques, on peut ´ecrire : β= α pχT (38) ou en rempla¸cant α et χT par leurs expressions : β= 3aT 3 bp (39) Correction des TD de Thermodynamique I (S´erie 02 : 2015/2016) - Prof. H. Chaib 5 Exercice 5 1. L’´equation d’´etat d’un gaz parfait s’´ecrit : pV = nRT soit : V = nRT p ou (40) p= nRT V (41) Selon les d´efinitions des coefficients thermo´elastiques, il vient : 1 α= V ∂V ∂T 1 β= p ∂p ∂T ! 1 T (42) = 1 T (43) p ! V et 1 χT = − V = ∂V ∂p ! = T 1 p (44) 2. Pour le gaz ayant l’´equation d’´etat : p(V − nb) = nRT (45) on peut ´ecrire : V = nRT + nb p ou p= nRT V − nb (46) Selon les d´efinitions des coefficients thermo´elastiques, il vient : 1 α= V 1 β= p ∂p ∂T ∂V ∂T ! = V et 1 χT = − V ∂V ∂p ! nR pV (47) nR 1 = p(V − nb) T (48) = p ! = T nRT V − nb = 2 pV pV (49) Exercice 6 1. Le travail volum´etrique W du gaz qui subit une transformation de l’´etat (1) `a l’´etat (2) `a pression constante s’´ecrit : W =− Z V2 pdV = −p V1 Z V2 dV (50) V1 soit : W = −p(V2 − V1 ) (51) Le gaz est parfait, alors : pV1 = nRT1 et pV2 = nRT2 (52) Correction des TD de Thermodynamique I (S´erie 02 : 2015/2016) - Prof. H. Chaib soit : p(V2 − V1 ) = nR(T2 − T1 ) d’o` u: W = −pV1 et T2 − T1 T1 nR = pV1 T1 6 (53) (54) A.N. : W = −200 kJ. 2. La transformation que subit le gaz est adiabatique (Q = 0), alors : ∆U = Q + W = W (55) A.N. : ∆U = −200 kJ. 3. Le travail volum´etrique W 0 du gaz du milieu ext´erieur qui subit aussi une transformation `a pression constante p0 s’´ecrit : 0 W =− Z V0 2 V10 0 0 p dV = −p 0 Z V0 2 V10 dV 0 (56) soit : W 0 = −p0 (V20 − V10 ) = −p0 ∆V 0 (57) La variation de volume que subit le milieu ext´erieur est ∆V 0 = −∆V , o` u ∆V est la variation de volume que subit le gaz du milieu int´erieur (∆V = V2 − V1 ). Alors : W 0 = −p0 (V20 − V10 ) = p0 ∆V = p0 (V2 − V1 ) (58) W = −p(V2 − V1 ) (59) p0 W0 = − W p (60) or : alors : A.N. : W 0 = 98 kJ. Exercice 7 1. Le gaz est parfait diatomique, alors son ´energie interne U est donn´ee par : 5 U = nRT 2 (61) alors, sa capacit´e calorifique `a volume constant CV s’´ecrit : CV = En tenant compte que n = p1 V1 , RT1 ∂U ∂T V 5 = nR 2 (62) on obtient : CV = A.N. : CV = 8,33 J K−1 . ! 5 p1 V 1 · 2 T1 (63) Correction des TD de Thermodynamique I (S´erie 02 : 2015/2016) - Prof. H. Chaib 7 2. L’´equation d’´etat du gaz dans les deux ´etats d’´equilibre (1) et (2) s’´ecrit : p1 V1 = nRT1 et p2 V2 = nRT2 (64) En divisant les deux ´equations membre a` membre, on obtient : p2 V2 T2 = p1 V1 T1 d’o` u: T2 = p2 V 2 T1 p1 V 1 (65) (66) A.N. : T2 = 579 K. 3. Pour un gaz parfait, on a : dU = CV dT soit ∆U = CV ∆T (67) ou encore : ∆U = CV (T2 − T1 ) (68) Or pour une transformation adiabatique Q = 0, alors : ∆U = W = CV (T2 − T1 ) A.N. : W = 2,325 kJ. (69)
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