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I
DS no2
Samedi 15 novembre 2014
Cin´
etique : Questions de Cours
On suppose qu’une r´eaction du type αA → produits poss`ede une cin´etique d’ordre global p.
Le syst`eme r´eactionnel ´etant isochore, on note [A]0 la concentration initiale de l’esp`ece A et [A]
sa concentration `
a l’instant t > 0.
´
1) Etablir le temps de demi-r´eaction lorsque p = 1.
´
2) Etablir
le temps de demi-r´eaction lorsque p = 2.
On suppose qu’une r´eaction du type αA + βB → produits poss`ede une cin´etique d’ordres
partiels p par rapport `
a A et q par rapport `a B.
3) Comment s’´ecrit la loi de vitesse v ?
4) Les concentrations initiales ´etant telles que [B]0 ≫ [A]0 , pourquoi parle-t-on de « dégénérescence de l’ordre » ?
Application : On s’intéresse à la transformation 2Fe3+ + Sn2+ → 2Fe2+ + Sn4+ .
5) Pour une solution contenant initialement du Fe3+ à 1 mol.L−1 et du Sn2+ à 10−2 mol.L−1 ,
le temps de demi-réaction est de 4 secondes. Ce temps reste le même si la concentration initiale
de Sn2+ est multipliée par 2. Que peut-on conclure ?
6) Pour une solution contenant initialement Sn2+ à la concentration 1 mol.L−1 et Fe3+ à
10−2 mol.L−1 , on constate que le temps de demi-réaction double si la concentration initiale en
Fe3+ est divisée par deux. Donner l’ordre global de la réaction.
On donne le tableau suivant concernant la cinétique de la décomposition de l’éthanal :
θ (◦ C)
427
487
537
727
k(L.mol−1 .s−1 ) 0, 011 0, 105 0, 789 145
7) Donner la loi d’Arrhénius en précisant le nom et les unités des grandeurs qui y apparaissent.
8) Calculer l’énergie d’activation de cette décomposition (R = 8, 314 u.S.I.).
9) À l’aide d’une analyse dimensionnelle déterminer l’ordre de la réaction.
II
Optimisation de temp´
erature et d´
eplacement d’´
equilibre
La synthèse du trioxyde de soufre est obtenue industriellement selon la réaction chimique :
2SO2(g) + O2(g) = 2SO3(g)
On donne l’expression numérique de la constante thermodynamique de l’équilibre en fonction de
la température :
22 610
ln K ◦ =
− 21, 55
T
Pour réaliser industriellement la transformation de SO2(g) en SO3(g) , on envoie, un mélange
gazeux {SO2(g) , O2(g) , N2(g) } sur un catalyseur. Les quantités de matières initiales sont :
n(SO2 )0 = n(O2 )0 = n1
et
n(N2 )0 = 4n1
Ce mélange est porté à la température T1 = 740 K fixée et sous une pression P fixée. Dans ces
conditions, 90% de SO2(g) est transformé en SO3(g) à l’équilibre.
1) Quelle est la valeur numérique de K ◦ (T1 ) ? La présence d’un catalyseur a-t-elle une influence
sur cette valeur ?
DSno 2
Sa 15/11/14
Optique g´eom´etrique / Transformations chimiques | PTSI
2) Établir le tableau d’avancement molaire en prenant soin de ne pas oublier le diazote dans la
quantité de matière totale des gaz (N2(g) ne participe pas directement à la réaction mais joue un
rôle dans la pression totale P !) :
(mol) 2SO2(g) + O2(g) = 2SO3(g)
N2(g) ntg
ti
tf
3) Déterminer les quantité de chaque gaz à l’équilibre en fonction de n1 .
4) En déduire les pressions partielles en chaque gaz à l’équilibre en fonction de P .
5) Calculer alors la pression P pour obtenir ce rendement de 90%.
6) Quel pourcentage de SO2(g) serait transformé en SO3(g) à l’équilibre pour un même mélange
initial et la même pression totale mais sous la température T2 = 300 K ? Pourquoi ne réalise-t-on
pas la synthèse à 300 K ?
On suppose désormais qu’on part d’un mélange initial en proportions stoechiométriques (2
moles de SO2(g) et 1 mole de O2(g) ).
7) L’équilibre étant atteint, on ajoute du N2(g) à T et P fixées. Quel est le sens de déplacement
de l’équilibre ?
III
Transformation d’oxydo-r´
eduction
Dans un bécher, on mélange un volume Vl = 20 mL d’une solution de nitrate d’argent (Ag+ +
−1 mol.L−1 et un volume V = 20 mL d’une solution de
NO−
2
3 ) de concentration C1 = 1, 0.10
−
2+
nitrate de cuivre (Cu + 2N O3 ) de concentration C2 = 5, 0.10−2 mol.L−1 . On plonge ensuite
dans le bécher un fil de cuivre de masse mCu = 1, 0 g et un fil d’argent de masse mAg = 0, 5 g
bien décapés. Il se produit une transformation chimique entre les ions Ag+ et le cuivre qu’on
modélise par une transformation de d’équation :
2+
2Ag+
(aq) + Cu(s) = 2Ag(s) + Cu(aq)
Données :
- constante d’équilibre associée à l’équation à 25◦ C : K ◦ = 2, 2.1015 .
- masses molaires : MCu = 63, 5 g.mol−1 ; MAg = 108, 0 g.mol−1
1) Calculer la valeur du quotient de réaction associé à l’équation précédente dans l’état initial
du système. En déduire le sens de l’évolution spontanée du système.
2) Déterminer la composition du système dans l’état final de la transformation.
IV
Prisme
[Banque PT 2003/2005]
On considère un prisme équilatéral, réalisé dans un milieu solide transparent d’indice de réfraction
n à mesurer, d’arête P et d’angle au sommet A. Ce prisme est plongé dans l’air dont l’indice de
réfraction est assimilé à l’unité.
Un rayon du « faisceau parallèle » incident, contenu dans le plan de figure perpendiculaire à
l’arête P et passant par un point E, arrive au point I sur la face d’entrée du prisme sous l’angle
d’incidence i.
On s’intéresse, dans la suite, au cas où le rayon émergent en J existe ; S est un point situé sur
ce rayon émergent.
Tous les angles sont définis sur la figure ci-après. La convention de signe, commune à tous ces
angles, est la convention trigonométrique.
On notera que, dans le cas particulier de figure proposé ci-dessous, les valeurs des six angles
π
rad.
A, i, i′ , r, r′ et D sont toutes comprises entre 0 et
2
2
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Raimi/Qadri
PTSI | Optique g´eom´etrique / Transformations chimiques
Sa 15/11/14
1) Prouver que tous les rayons lumineux dessinés sur
la figure ci-contre sont contenus dans un même plan.
P
2) Établissement des formules du prisme :
+
A
2.a) Écrire la loi de réfraction aux points I et J
2.b) Établir la relation entre les angles A, r et
D
J
I
r′
i
2.c) Écrire la relation entre D, i,
r et
E
r′
i'
r'
r
i′ ,
DSno 2
S
K
air 1
n
2.d) En déduire l’expression de la déviation D en fonc′
tion de i, i et de A
On suppose d’abord la lumière monochromatique et l’indice du prisme égal à n.
verre
1 air
3) Montrer que, pour que le rayon émergent existe, il est nécessaire que les deux conditions
suivantes soient satisfaites :
1
1
π
,
a A < 2. arcsin
et
,
b ilim < i <
avec sin ilim = n. sin A − arcsin
n
2
n
Dans toute la suite, nous considérons que ces deux conditions sont satisfaites et que par conséquent
le rayon émergent existe toujours.
4) On admet que la courbe D = D(i) passe par un minimum Dm .
En appliquant le principe du retour inverse de la lumière, montrer que, pour une valeur de D
possible donnée, il existe deux couples de solutions (i, i′ ).
En déduire l’égalité de i et de i′ (soit : i = i′ = im ) lorsque D passe par un minimum Dm
(supposé unique).
5) Déterminer la valeur im de i correspondant au minimum de déviation en fonction de Dm et
de A.
A + Dm
f
2
6) En déduire que l’indice n, les angles A et Dm vérifient une relation du type n =
A
f
2
où f est une fonction que l’on précisera.
Les résultats précédents ont été obtenus en supposant le prisme éclairé de façon monochromatique. En réalité, l’indice de réfraction du milieu varie en fonction de la longueur d’onde dans le
vide suivant une loi n(λ) à déterminer. On dit que le milieu est dispersif.
7) On éclaire le prisme avec une lampe à vapeur de mercure, pour laquelle on a mesuré Dm
pour différentes longueurs d’onde et obtenu les valeurs de n correspondantes.
0, 4047 0, 4358 0, 4916 0, 5461 0, 5770
λ (µm)
n
1, 803 1, 791 1, 774 1, 762 1, 757
2
−2
1/λ (µm ) 6, 11
5, 27
4, 14
3, 35
3, 00
Montrer que n peut se mettre sous la forme (loi de Cauchy) :
n=A+
B
λ2
avec A et B des constantes.
Pour cela, effectuer une régression linéaire et conclure.
On précisera les valeurs des constantes A et B ainsi que le carré du coefficient de régression
linéaire R2 .
8) Pour une lampe à vapeur de cadmium, on mesure un indice égal à n = 1, 777. En déduire la
longueur d’onde et donner la couleur correspondante.
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3
DSno 2
V
Optique g´eom´etrique / Transformations chimiques | PTSI
Sa 15/11/14
Photographier le Campanile
[d’apr`es ENSTIM 2009]
Dans Casino Royale, lorsqu’ils
arrivent à Venise par le Canale
di San Marco, l’agent 007 et son
amie Vesper veulent immortaliser
cet instant en photographiant le
Campanile situé sur la Plazza di
San Marco.
La tour culmine à une hauteur
h = 96 m et se situe à une distance d = 800 m du voilier sur lequel l’agent de Sa Majesté envoie
sa démission à M.
A. Utilisation d’un objectif standard :
Dans un premier temps, on utilise un objectif standard qu’on modélisera par une lentille convergente unique de centre O et de distance focale f ′ = 50 mm.
1) Quelle doit être la distance D entre la lentille et le capteur pour que la photographie soit
nette ? Justifier la réponse.
2) Construire sur un schéma l’image de l’objet sur le capteur. On ne respectera pas l’échelle.
3) Déterminer la hauteur h1 du Campanile sur le capteur et donner sa valeur numérique.
Les caractéristique techniques de l’appareil photographique numérique plein format précisent :
« Capteur Cmos 36 × 24 : 22,3 Mp effectifs ».
4) Calculer l’ordre de grandeur de la taille ǫ d’un pixel du capteur Cmos de l’appareil.
5) Calculer la profondeur de champ sachant que l’ouverture est de « f /11, 0 » et que la profondeur
NO
de champ s’écrit PDC = 2.ǫ.d2 . ′2 , NO notant le « nombre d’ouverture ».
f
6) Quel intérêt l’agent 007 a-t-il à augmenter la profondeur de champ ? Dans ce cas, si l’appareil
numérique est en mode « manuel », comment faut-il faire évoluer le temps de pose pour obtenir
une exposition similaire au réglage précédent ?
7) Expliquer pourquoi il est nécessaire de prendre une focale plus grande pour photographier
les détails d’un objet lointain.
B) Utilisation d’un téléobjectif :
Un téléobjectif est un objectif de longue focale – à savoir un objectif dont la focale est supérieure à
la diagonale de la pellicule pour un appareil argentique ou à la matrice de cellules photosensibles
pour un numérique. Ces objectifs permettent le cadrage serré des sujets photographiés grâce à un
angle de champ étroit.
On modélise ici un tel objectif en associant deux lentilles distantes de e = 31 mm, la première
convergente L1 , de centre O1 et de distance focale f1′ = 50 mm et la seconde divergente L2 de
centre O2 et de distance focale f2′ = −25 mm.
8) Définir le foyer image F ′ du téléobjectif. Déterminer la position du foyer image par rapport
à O2 en fonction de f1′ , f2′ et e.
9) En déduire l’encombrement de l’objectif c’est-à-dire la distance entre la première lentille de
l’objectif et la pellicule. Faire l’application numérique.
10) Démonstration graphique : retrouver (aux erreurs de tracés près) le résultat précédent en
effectuant la construction correspondante à l’échelle 2 (10 mm sont représentés par 20 mm sur
4
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Sa 15/11/14
DSno 2
la feuille de papier millimétrée à joindre avec votre copie)
11) Déterminer l’expression de la hauteur h2 du Campanile en fonction de f1′ , f2′ , e, d et h
lorsqu’on utilise cet objectif. Donner sa valeur numérique.
12) Quelle lentille faudrait-il utiliser pour obtenir le même grandissement avec une seule lentille
mince ?
13) Conclure sur les avantages ou les inconvénients du téléobjectif.
VI
Focom´
etrie
[d’apr`es ENAC 2002]
À l’aide d’une lentille mince convergente (L) de distance
focale image f ′ = 20 cm, on forme l’image A′ B ′ d’un objet
AB sur un écran situe à une distance D = 1 m de l’objet.
En déplaçant la lentille, on trouve deux positions O1 et O2
pour le centre optique O de (L) qui donnent une image
nette sur l’écran (cf. figure ci-contre).
On pose : OA = x et OA′ = x′
1) Exprimer AA′ en fonction de x et x′ . En utilisant la relation de Descartes, déterminer le
polynôme dont x est la racine.
2) Calculer la distance d = O1 O2 qui sépare ces deux positions :
A d = 447 mm
B d = 192 mm
C d = 58 mm
D d = 352 mm
3) Calculer le grandissement transversal Gt de l’image correspondant à chacune de ces deux
positions de la lentille.
A Gt = −2, 62
B Gt = −0, 79
C Gt = −0, 38
D Gt = −1, 27
4) La lentille précédente est remplacée par une lentille convergente (La ) de distance focale image
fa′ inconnue.
Les deux positions de la lentille qui donnent une image nette sur l’écran sont séparées par une
distance da = 800 mm. Calculer fa′ .
′
A fa = 100 mm
′
B fa = 260 mm
′
C fa = 90 mm
′
D fa = 160 mm
7) On remplace (La ) par une nouvelle lentille convergente (Lb ) placée entre l’objet et l’écran.
On obtient les mesures expérimentales suivantes :
D (cm)
d (cm)
60
70
80
90
100
120
130
15, 6 31, 5 42, 6 54, 3 66, 2 86, 6 97, 1
f ′ (cm)
À l’aide de la relation de Bessel f ′ =
D 2 − d2
, effectuez un traitement statistique en donnant :
4D
- la moyenne arithmétique f ′ ;
- l’écart-type sexp correspondant ;
- l’incertitude-type associée u(f ′ ) ;
- et enfin, connaissant le coefficient de Student t7 = 2, 447 (pour un degré de confiance de 95%),
exprimer le résultat sous la forme f ′ = (f ′ ± ∆f ) cm (avec un seul chiffre significatif pour
l’incertitude).
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