. ÜNİTE VERİ, SAYMA ve OLASILIK 6. ÜNİTE 6. ÜNİTE 6. ÜNİTE VERİ – SAYMA 1. Kazanım : Merkezi eğilim ve yayılım ölçüleri Aritmetik ortalama, ortanca, tepe değer, en büyük değer, en küçük değer ve açıklık kavramları hatırlatılır. Bir veri grubuna ait alt çeyrek, üst çeyrek, çeyrekler açıklığı ve standart sapma tanımlanır. 2. Kazanım : Verilerin grafikle gösterilmesi Gerçek hayat durumunu yansıtan veri gruplarını uygun grafik türleri ile temsil ederek yorumlar. Serpme grafiğini açıklar, iki nicelik arasındaki ilişkiyi serpme grafiği ile gösterir ve yorumlar. Kutu grafiğini açıklar, bir veri grubuna ait kutu grafiğini çizerek yorumlar ve veri gruplarını karşılaştırmada kutu grafiğini kullanır. OLASILIK 3. Kazanım : Basit olayların olasılıkları Örnek uzay, deney, çıktı, bir olayın tümleyeni, ayrık ve ayrık olmayan olay kavramlarını açıklar. 4. Kazanım : Tümleyen, ayrık ve ayrık olmayan olaylar ile ilgili olasılıkları hesaplar. 6. ÜNİT VERİ ve SAYMA VERİ Yorumlamak ve sunmak amacı ile toplanmış, çözümlenmiş ve özetlenmiş gerçeklere veriler denir. Veriler ölçüm, sayım, deney, gözlem veya araştırma yoluyla elde edilirler. Verileri iki ana grup altında toplayabiliriz. Veri Sayısal Kategorik (‹simsel) Marka, kanal adı, ders adı, ülke, Kesikli Sürekli flehir v.b. gibi Kardefl sayısı, yafl, Boy, a¤›rl›k, araç sat›fl adedi v.b. gibi s›cakl›k v.b. gibi MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Gözlenen verilerin düzenlenerek, tablolarla, grafiklerle sunulması çoğu durumda yeterli olmaz. Genel durumu yansıtacak bir takım ölçülere gereksinim vardır. Bu ölçüler merkezi eğilim ölçüleri olup en çok kullanılanları; x ortalama ( aritmetik ortalama ) x ortanca ( medyan ) x tepe değeri (mod) olmak üzere üç grupta toplanabilir. ORTALAMA Merkezi eğilim ölçülerinin en sık kullanılanıdır. Aritmetik ortalamayı ifade eder. Eldeki veriler toplamının veri sayısına bölümüdür. x ile gösterilir. Veri değerleri x 1, x 2, ...., x n olan n tane veri için, x = ÖRNEK 1 7, 6, 7, 8, 10, 12, 6 veri grubundaki sayıların ortalaması kaçtır? Çözüm 562 x 1 + x 2 + ... + x n n dir. ÖRNEK 2 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5 veri gurbundaki sayıların ortalaması kaçtır? Çözüm Veri, Sayma ve Olasılık ORTANCA (Medyan) ÖRNEK 3 Bir sayı dizisinin medyanını bulmak için, sayılar küDers Not Kredi Matematik 84 4 Fizik 72 3 Kimya 65 2 Biyoloji 70 2 çükten büyüğe doğru sıralanır. ¬ Dizinin terim sayısı tek ise ortadaki terim ortancadır. ¬ Dizinin terim sayısı çift ise ortadaki iki terimin aritmetik ortalaması ortancadır. Başka bir deyişle, n terimli bir sayı dizisinde ¬ n tek ise ortanca : x n + 1 ¬ n çift ise ortanca : 2 Furkan’ın sayısal derslerinden aldığı yıl sonu notları ve bu derslerinin haftalık kredileri yukarıda tablo xn + xn +1 2 2 2 dir. halinde verilmiştir. Furkan’ın sayısal karnesinin not ortalamasını, kredi ağırlığına göre bulunuz. ÖRNEK 6 Çözüm 3, 2, 2, 1, 4, 5, 5, 7, 4 verilerinin ortancası (medyan) kaçtır? ÖRNEK 4 Ö¤renci say›s› 5 12 8 3 0 0 1 Kardefl say›s› 1 2 3 4 5 6 7 ESEN YAYINLARI Çözüm 29 öğrenci bulunan bir sınıftaki öğrencilere, kardeş sayıları sorulmuş ve verilen cevaplara göre yukarıdaki tablo oluşturulmuştur. Buna göre, bu sınıfta bulunanların ortalama kardeş sayısı kaçtır? Çözüm ÖRNEK 7 2, 7, 2, 5, 3, 4, 4, 1 verilerinin ortancası (medyan) kaçtır? ÖRNEK 5 Çözüm a, a + 1, a + 3, a + 5, a + 7, a + 8 veri grubunun ortalaması 8 olduğuna göre, a kaçtır? Çözüm 563 Veri, Sayma ve Olasılık TEPE DEĞERİ (Mod) ÖRNEK 11 Bir veri grubundaki en çok ( en sık) tekrarlanan de- 7, 19, 11, 3, 3, 5, 7, 6, 7, 1, 19 ğere tepe değeri ( mod) denir. Tekrar sayıları frekans verilerinin tepe değeri kaçtır? olarak adlandırılır. Çözüm ÖRNEK 8 5, 11, 4, 13, 7, 6, 11 verilerinin tepe değeri kaçtır? Çözüm ÖRNEK 12 Bir veri grubunda birden fazla tekrar eden değer yoksa, bu veri grubunun tepe değeri yoktur. 1, 2, 3, 4, 5, 6 veri grubunun tepe değeri yoktur. 3, 3, 3, 3, 3, 3 veri grubunun tepe değeri yoktur. 1, 1, 2, 2, 3, 3 veri grubunun tepe değeri yoktur. ESEN YAYINLARI ÖRNEK 9 Meyve suyu üreten bir fabrikada, rastgele seçilen 15 şişe meyve suyunun bozulma süreleri ay olarak aşağıdaki gibi tespit edilmiştir. Bir veri grubunda aynı sayıda tekrar eden birden fazla değer varsa, tepe değeri değeri de birden fazla olabilir. Fakat, tüm değerler eşit sayıda tekrar ediyorsa tepe değeri yoktur. ÖRNEK 10 1, 3, 5, 2, 4, 3, 7, 9, 5 sayı dizisinin tepe değeri kaçtır? Çözüm 564 18, 20, 21, 22, 22, 22, 24, 25, 25, 26, 27, 30, 30, 31, 32 Bu süreler için merkezi eğilim ölçüleri olan; ortalama, ortanca ve tepe değerleri nelerdir? Çözüm Veri, Sayma ve Olasılık MERKEZİ YAYILMA (DAĞILIM) ÖLÇÜLERİ ÖRNEK 13 Merkezi eğilim ölçüleri, birimlerin kendi aralarında Bazı özelliklerde Türkiye’nin dünya sıralamasındaki yeri aşağıdaki tablo ile belirtilmiştir. Özellik nasıl bir dağılım ( yayılım) gösterdiklerini ifade etmede yetersiz kalırlar. Örneğin; Dünya Sıralamasındaki Yeri VER‹LER Nüfus sayısı 17 X Yüzölçümünün büyüklüğü 36 Kentli nüfus oranı 13 Ekonomik büyüme 16 Kişi başına düşen milli gelir 21 1 Altın ve toryum üretimi 2 Cıva, mermer ve jeotermal enerji üretimi 7 Fındık, incir ve kiraz üretimi 1 Çelik üretimi 9 Çimento üretimi 2 Kömür üretimi 15 İlaç üretimi 18 Koyun, keçi sütü üretimi Dış satım (ihracat ) 1 30 Z 22 2 7 23 25 9 24 30 11 25 31 13 26 32 80 x, y ve z verilerinin ortalamaları eşit ( x = y = z = 24 ) olduğu halde verilerin dağılımları oldukça farklıdır. Bu nedenle verilerin ortalamaya göre veya kendi aralarında nasıl bir dağılım gösterdiklerini incelemek için merkezi dağılım ölçüleri kullanılır. Bunlar, Açıklık – Çeyrekler Açıklığı – Standart Sapma olarak ifade edilirler. ESEN YAYINLARI Bor ve krom üretimi Y AÇIKLIK (Aralık – Ranj ) Bir veri kümesinde bulunan en büyük ve en küçük değer arasındaki farktır ve genellikle R ile gösterilir. R = En Büyük Değer – En Küçük Değer Tekstil ihracatı 3 Çimento ihracatı 2 ÇEYREKLER AÇIKLIĞI (Q) Mermer ihracatı 8 Bir veri grubundaki terimler küçükten büyüğe doğ- En çok tatil yapılan ülkeler 3 ru sıralandığında ilk terime en küçük, son terime en büyük, bunların ortasındaki terime de ortanca denir. Tablodan elde edilen verilerin tepe değeri, medyanı Ortancadan küçük terimlerin ortancasına alt çeyrek ve ortalamasını bulunuz. (Q1 ) denir. Çözüm Ortancadan büyük terimlerin ortancasına üst çeyrek (Q3 ) denir. Bir başka ifade ile veri kümesinin ilk % 50 lik kısmının ortancasına Q1 , sonraki % 50 lik kısmının ortancasına da Q3 denir. Çeyrekler açıklığı = Üst çeyrek – Alt çeyrek Q = Q3 – Q1 Çeyrekler açıklı¤› %0 En küçük de¤er % 25 Q1 % 50 Ortanca % 75 Q3 % 100 En büyük de¤er 565 Veri, Sayma ve Olasılık STANDART SAPMA ÖRNEK 14 Standart sapma, verilerin ortalama etrafında nasıl 7, 3, 4, 9, 2, 7, 5 bir yayılma gösterdiğinin ölçüsüdür. Düşük standart veri grubunun açıklığı ile çeyrekler açıklığını bulunuz. sapma değeri, bir araya toplanmış ve ortalamaya Çözüm daha yakın verilerin çok olduğunun ölçüsüdür. n tane verinin aritmetik ortalaması x olmak üzere, bu veri grubunun standart sapması (s) s= ( x1 – x )2 + ( x2 – x )2 + … + ( xn – x )2 n–1 dir. ÖRNEK 17 5, 3, 7 veri grubunun standart sapması kaçtır? Çözüm ÖRNEK 15 16, 18, 30, 4, 6, 10, 8, 8, 12, 17, 20, 24, 36, 22, 28 veri grubunun çeyrekler açıklığını bulunuz. ESEN YAYINLARI Çözüm ÖRNEK 18 Yıl Frekans 1–5 21 6 – 10 15 11 – 15 19 16 – 20 6 ÖRNEK 16 1, 3, 4, 6, 7, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 20 Araç aküsü üreten bir firmanın ürettiği 61 akünün dayanma sürelerine ait frekans tablosu yukarıda veri grubunun açıklığı ile çeyrekler açıklığını bulunuz. verilmiştir. Akülerin ortalama ömürleri ve dayanma Çözüm sürelerinin standart sapması nedir? Çözüm 566 Veri, Sayma ve Olasılık ÖRNEK 19 ÖRNEK 20 Gün Alper Burak A B C 1 4 3 12 18 24 2 2 3 13 21 14 3 5 4 12 15 14 4 3 5 14 13 22 5 4 5 11 16 25 20 18 16 6 6 4 16 18 11 Bir pazarlama şirketi Alper ve Burak isminde iki A, B ve C oyuncularının son 7 maçta attıkları basket elemandan birisini 6 günlük deneme süresi sonunda sayıları yukarıdaki tabloda verilmiştir. işe alacaktır. Bu elemanların 6 günlük satışları yuka- a. Bu tablo yardımıyla A, B ve C basketçilerine ait merkezi eğilim ve yayılma ölçülerini bulunuz. rıdaki gibidir. Buna göre, bu şirketin daha istikrarlı bir eleman almak için Alper ve Burak’tan hangisini tercih etmesini gerektiğini bulunuz. ESEN YAYINLARI Çözüm b. Bu oyunculara sahip basketbol takımının koçusunuz ve önünüzdeki maçı çok farklı bir şekilde kazanmanız gerekiyor. Aksi takdirde takımınız elenecek. A, B ve C oyuncularından birini seçerek maça başlamak istiyorsunuz. Hangi basketçiyi seçersiniz? Çözüm 567 Veri, Sayma ve Olasılık ETKİNLİK 1 TL, 7 TL, 8 TL, 9 TL, 10 TL, 13 TL, 50 TL Bir lokantadaki 7 masada 13.00 – 14.00 saatleri arasında ödenen hesaplar yukarıdaki gibi olsun. Bu verilerden yararlanarak sonraki 1 saatlik dilim içinde gelen yeni bir müşterinin yaklaşık ne kadar hesap ödeyeceğini tahmin etmeye çalışalım ve hangi ölçülerin bize nasıl bir bilgi verebileceğini inceleyelim. 1 + 7 + 8 + 9 + 10 + 13 + 50 = 14 7 Ödenen hesapların birçoğu ortalamadan çok uzakta olduğu için ortalama çok faydalı bir gösterge değildir. Ortalama: x = Tepe Değeri: Tepe değeri bulunmadığından incelemeye katkısı yoktur. Ortanca: a 1, 7, 8, 9 , 10, 13, 50 k Aşırı uç değerlerden ( 1 ve 50 ) etkilenmediği için medyan iyi bir göstergedir. Yani gelecek olan bir müşterinin ortalama 9 TL hesap ödeyeceği beklentisi oldukça gerçekçidir. Standart Sapma: s= (1– 14) 2 + (7 – 14) 2 + (8 – 14) 2 + (9 – 14) 2 + (10 – 14) 2 + (13 – 14) 2 + (50 – 14) 2 ≅ 7–1 x – s = 14 – 16 = –2 , 265 ≅ 16 x + s = 14 – 16 = 30 Yeni gelecek bir müşterinin –2 TL ile 30 TL arasında bir hesap ödeyebileceği tahmini bize katkı sağlayan bir ölçü değildir. Ortalamaya göre kıyaslandığında oranı çok yüksek olduğu için standart sapmayı göz önüne alarak yapılan tahmin oldukça riskli olacaktır. Şimdi de 1 TL ve 50 TL lik hesapların genellikle olmadığını düşünerek bu sapan değerleri veri grubundan çıkararak tahminde bulunmaya çalışalım. 7 TL , 8 TL , 9 TL , 10 TL , 13 TL Ortalama: x = 7 + 8 + 9 + 10 + 13 47 = , 9.2 5 5 Sapan değerler veri grubundan atılarak elde edilen bu değer öncekine göre daha gerçekçidir. Ortanca: Ortanca 9 TL olup bu durumda da iyi bir hesap tutarı tahmini yansıtmaktadır. Standart Sapma: s= (7 – 9) 2 + (8 – 9) 2 + (9 – 9) 2 + (10 – 9) 2 + (13 – 9) 2 = 5–1 x – s = 9.2 – 2.3 = 6.9 , 22 = 4 5, 5 ≅ 2,3 x + s = 9.2 + 2.3 = 11.5 Yeni gelecek müşterilerin ortalama 6.9 TL ile 11.5 TL arasında bir hesap ödeyecekleri beklentisi gerçekçidir. Standart sapma değeri öncekine göre daha düşük çıktığı için veriler birbirine daha yakın olup tahminlerde yanılma payı daha azdır. 568 Veri, Sayma ve Olasılık STANDART PUANLAR ÖRNEK 22 z puanı: z-puanı bir verinin ortalamadan kaç standart Öğrenci sapma kadar uzakta olduğunu gösterir. Verilen puan- Puanı ları; ortalaması 0, standart sapması 1 olan puanlara Melis 30 dönüştürür. Zeynep 50 Ham puan – Aritmetik ortalama X–x = Standart sapma s formülü ile hesaplanır. Herhangi bir kişinin almış oldu- Burcu 90 Ezgi 70 ğu puanı z puanına dönüştürerek, verilen bir puanın Efe 40 standart sapmaya göre ortalamanın ne kadar altında Mesut 80 z puanı = veya üstünde kaldığı belirlenebilir. Tabloda 6 öğrencinin kimya dersi I. yazılı sınavından z puanının ( – ) veya sıfır (0 ) çıkması mümkündür. aldığı notlar (standart puanlar) verilmiştir. T puanı: T puanı verilen puanları ortalaması 50, Melis ve Ezgi’nin bu sınav için aldıkları kimya notları- standart sapması 10 olan puanlara dönüştürür. z pu- nın z ve T puanlarını bulalım. anlarından T punlarına geçiş T = 50 + 10.z formülü Çözüm ile elde edilir. 3 kişinin katıldığı bir sınavda puanlar hesaplanırken; I. Her öğrenciye 100 taban puan verilmektedir. II. En yüksek puan alan öğrencinin puanı 500 e çekilerek diğer puanların dağılımı buna göre yapıl- ESEN YAYINLARI ÖRNEK 21 maktadır. III. Test farkı gözetilmeksizin her sorunun puan getirisi eşit kabul edilmektidir. Aşağıdaki tablodaki verileri kullanarak Aybars’ın puanını hesaplayalım. Ö¤renci Matematik Neti Fen Neti Türkçe Neti Sosyal Neti Ecem 28 32 30 24 Aybars 34 36 30 26 Gizem 39 36 35 30 Çözüm 569 ALIŞTIRMALAR - 1. 6. 12, 12, 13, 14, 14, 15 ( saniye ) 10 öğrencinin matematik dersinden aldıkları 6 kişilik bir sporcu grubunun 100 metreyi koşma notlar, süreleri yukarıdaki gibidir. Buna göre, bu spor- 25, 30, 30, 45, 45, 50, 60, 60, 60, 85 cuların 100 metreyi koşma süreleri ortalama kaç şeklindedir. Bu veri grubunun, saniyedir? 2. 1 I. 7, 9, 6, 8, 9, 4, 2 II. 1, 4, 3, 2, 1, 5, 5, 3 a. Ortancasını b. Tepe değerini c. En küçük değerini d. En büyük değerini e. Alt çeyrek değerini f. Üst çeyrek değerini g. Çeyrek açıklığını h. Açıklığını bulunuz. Yukarıda verilen I ve II nolu sayı dizilerinin ortancalarının toplamı kaçtır? 7. 8, 9, 11, 11, 7, 8, 6, 13, 6, 6, 4 Yukarıda verilen sayı dizisinin tepe değeri ile ortancasının toplamı kaçtır? Yukarıda, bir sınıfta bulunan herhangi 6 öğ- ESEN YAYINLARI 3. rencinin geometri sınavından aldıkları puanlar verilmiştir. Bu puanların standart sapmasını bulunuz. 8. 4. puanlarını bulunuz. verilenlerin açıklığı kaçtır? 4, 5, 8, 12, x , x + 1 sayı dizisinin aritmetik ortalaması 9 olduğuna göre, tepe değeri kaçtır? 570 Sınav ortalaması 60, standart sapması 4 olan bir sınavda 40 alan Ali ile 100 alan Barış’ın z 14, 17, 10, 12, 19, 21, 9, 24 5. 50, 54, 58, 60, 66, 72 9. Sınav ortalaması 70, standart sapması 8 olan bir sınavda 60 alan Fatma’nın T standart puanı kaçtır? VERİLERİN GRAFİKLE GÖSTERİLMESİ GRAFİKLER Verilerin veya karşılaştırılması yapılacak değişkenlerin çizgi, tablo, nokta veya şekillerle ifade edilmesine grafik denir. Grafikler verilerin sunumuna görsellik katararak daha kolay yorumlanmasını sağlar. Veri türlerine ve istenen amaca göre çizilebilecek çeşitli grafik türleri vardır. Bunlar; x x x x Çizgi grafiği Serpilme grafiği Sütun grafiği x Daire grafiği Kutu grafiği başlıkları altında ifade edilebilir. ÇİZGİ GRAFİĞİ Verilerin yatay ve dikey eksendeki değerleri işaretlenerek bulunan noktaların çizgilerle birleştirilmesi sonucunda elde edilen grafikler çizgi grafikleridir. Özellikle bir değişkenin zaman içerisindeki değişimini (artma, azalma) incelemek için kullanılan en uygun grafiktir. ÖRNEK 23 Yanda bir hareketlinin belli zaman aralığında aldığı yolu Zaman (dk) Yol (m) 1 100 2 150 3 175 4 175 5 200 gösteren tablo verilmiştir. Bu tablodan yararlanarak hareketlinin aldığı yolu zamana göre ifade eden çizgi grafik aşağıda çizilmiştir. Yol (m) 200 Á Hareketin toplam süresi 5 dakikadır. 175 Á Hareket süresince alınan toplam yol 200 metredir. Á 1. dakikanın sonunda alınan yol 100 metredir. Á 2. ve 3. dakikalar arasında alınan yol 150 125 100 175 – 150 = 25 metredir. 75 Á 50 25 0 3. ve 4. dakikalar arasında yol alınmamıştır. Yani bu zaman diliminde hareketli durmuştur. 1 Á Hız = 2 3 4 5 6 7 Zaman (dk) yol olduğundan, hareketlinin en yüksek hıza sahip olduğu aralık 0-1 dakika aralığıdır. zaman Bu aralıktaki hızı V = 100 – 0 = 100 m/d k dır. 1– 0 Á En çok yol aldığı aralık 0-1 dakikalar arasıdır. Bu aralıkta 100 metre yol almıştır. Á 2. ve 3. dakikalar arasında aldığı yol, 4. ve 5. dakikalar arasında aldığı yola eşittir (25 m). Aynı süre içinde ( 1 dk ) aldığı yollar eşit olduğundan bu aralıklarda hızları da eşittir. 571 Veri, Sayma ve Olasılık ÖRNEK 24 ÖRNEK 25 Ö¤renci Say›s› Yakıt miktarı (litre) 60 10 8 0 6 Alınan yol (km) Deposu 60 litre yakıt alan bir aracın, şehirler arası yolda bir depo benzinle alabildiği yol 600 km dir. Bu durum yukarıdaki grafikle ifade edilmiştir. Buna göre, 4 2 0 600 1 2 3 4 5 Notlar a. Bu araç 1 L benzinle kaç km yol alabilir? b. Şehir içinde, % 20 daha fazla yakıt tükettiğine Yukarıdaki grafik bir sınıftaki tüm öğrencilerin ma- göre aynı araç bir depo yakıt ile şehir içinde kaç tematik dersinden aldığı notları gösterdiğine göre, km yol alabilir? aşağıdaki bilgilerden hangisi yanlıştır? I. II. c. 3 alan 9 kişi vardır. kaldığında uyarı ışığı yandığına göre, deposun- En düşük geçme notu 2 ise matematik dersinden da kaç litre benzin kaldığında uyarı ışığı yanar? kalan öğrenci yoktur. IV. Sınıf mevcudu 27 kişidir. 1 ve 3 alan öğrenci sayılarının toplamı sınıfın yarısından azdır. VI. Sınıfın Çözüm 572 1 ünün notu 3 tür. 3 Çözüm ESEN YAYINLARI III. 2 alanların sayısı 5 alanların sayısına eşittir. V. Aracın deposunda 50 km lik yola yetecek yakıt Veri, Sayma ve Olasılık SÜTUN GRAFİĞİ Bu grafik türünde toplanan bilgiler sütun şeklindeki grafiklerle gösterilir. Sütun grafiğinde iki eksen vardır. Yatay ve düşey eksende ölçülen değerlerin birbirine göre durumları sütunlarla (çubuklarla) belirtilir. Çiftli sütunlar halinde çizildiğinde farklı iki veri kümesinin karşılaştırılmasını da sağlarlar. İsimsel veriler için zorunlu bir sıralama koşulu yoktur. ÖRNEK 26 ÖRNEK 27 Ülke Ö¤renci sayısı 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Üretim Miktarı ( ton ) İspanya 3.500.000 İtalya 2.700.000 Yunanistan 2.100.000 Türkiye 1.800.000 Tunus 1.000.000 Yukarıdaki tablo ile verilmiş olan verilere ilişkin çubuk grafiğini oluşturunuz. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Çözüm Notlar Yukarıdaki grafik bir sınıftaki öğrencilerin matematik dir. Buna göre, sınıfın yüzde kaçı 9 almıştır? Çözüm ESEN YAYINLARI dersinin 1. yazılısından aldıkları notları göstermekte- ÖRNEK 28 Göl Yüzölçümü (km2 ) Eğirdir 470 İznik 300 Manyas 170 Tuz 1500 Van 3700 Ülkemizdeki tanınmış 5 gölün yüzölçümleri ( yaklaşık) yukarıda tablo halinde verilmiştir. Bu verilere ilişkin çubuk grafiğini çizelim. Çözüm 573 Veri, Sayma ve Olasılık ÖRNEK 29 ÖRNEK 30 Ülke Sınır Uzunluğu (km ) Brezilya 15.000 Rusya Federasyonu 20.000 Çin 22.000 Hindistan 14.000 A.B.D. 12.000 20 kişilik bir sınıftaki öğrencilerin, matematik dersindeki I. yazılı sınav sonuçları; 24, 28, 32, 36, 38, 40, 44, 46, 48, 52, 54, 60, 60, 64, 70, 78, 82, 86, 92, 94 olarak verilmiştir. Bu notları çubuk grafiği ile gösterelim. Dünyada en uzun kara sınırlarına sahip ülkelerle ilgili Çözüm bilgiler yukarıda tablo halinde verilmiştir. Bu verilere ilişkin çubuk grafiği çizelim. ESEN YAYINLARI Çözüm Bazı çubuk grafiklerinin çiziminde aşağıdaki yollar takip edilir. 5 Veriler küçükten büyüğe doğru sıralanır. 5 Grup genişliği (aralık ) bulunur. Bu aralık en büyük veri ile en küçük verinin farkıdır. 5 Verilerin kaç alt grupta toplanacağına karar verilir. Tespit edilen sayı grup genişliğine bölünerek alt grup genişliği bulunur. Bu sayı ondalık bir sayı ise yuvarlanarak tam sayı tespit edilir. Bazen işlemi kolaylaştırmak için alt grup sayısını bulduğumuz sayının yakınındaki başka sayı ile değiştirebiliriz. 574 Veri, Sayma ve Olasılık DAİRE GRAFİĞİ ÖRNEK 32 Eldeki verilerin daire dilimleri biçiminde sunulmasıdır. Değişkenlerin bir bütün içerisindeki oranları, yüzde veya merkez açı ölçüleri gösterilerek hazırlanır. Her bir dilimin içine veya dilimin yakınındaki bir yere, o değişkenin adı ve yüzdelik dilimi yazılır. Eğer merkez açılar kullanılacaksa her bir değişkene düşen merkez açılar ve bunların toplamları 360° olacak şekilde daire dilimlere ayrılır. Bu grafik türüne pasta grafiği de de- Bir önceki örnekteki tabloya karşılık gelen daire grafiğini merkez açılar kullanarak gösteriniz. Çözüm nilmektedir. Kesikli veriler için uygundur. ÖRNEK 31 Üretim Miktarı ( Bin ton ) 870 Çin 650 Kenya 300 Sri Lanka (Seylan ) 280 Endonezya 150 Türkiye 135 Toplam 2385 Dünya çay üretiminde en büyük paya sahip 6 ülke ve üretim miktarları yukarıda tablo şeklinde verilmiştir. Bu tabloya karşılık gelen daire grafiğini oluşturunuz. Çözüm ESEN YAYINLARI Ülke Hindistan 575 Veri, Sayma ve Olasılık SERPİLME GRAFİĞİ ÖRNEK 33 Ezgi, sınıfındaki 20 arkadaşına TRT 1, Kanal D, Show TV, ATV kanallarından hangisini daha çok izlediğini sormuş ve sonuçları aşağıdaki daire grafiğinde göstermiştir. İki değişkenin bir arada incelenmesi için çizilen grafiklerdir. Değişkenlerden birinin değerleri yatay, diğer TRT 1 % 40 Kanal D % 25 Show TV % 20 değişkenin değerleri de düşey eksende gösterilir. ÖRNEK 34 ATV % 15 Aşağıda 5 öğrencinin matematik ve fizik derslerinden aldıkları notlar sırasıyla verilmiştir. Matematik Notu : 30, 40, 50, 65, 75 Fizik Notu : 20, 40, 45, 70, 80 Grafikteki verileri kullanarak aşağıdaki tabloyu doldurunuz. TV kanalı İzleyici sayısı Bu verilere ait grafiği oluşturalım. Daire dilimindeki merkez açının ölçüsü Fizik Notu (Y) 80 TRT 1 60 Kanal D 40 Show TV 20 ATV Toplam 20 360° 0 ESEN YAYINLARI Çözüm 20 40 60 80 100 Matematik Notu (X) Noktaların dağılımına bakarak, matematik notu yüksek olan öğrencilerin fizik notu da yüksektir sonucunu çıkarabiliriz. Başka bir deyişle, notlar arasında doğru orantı vardır diyebiliriz. ÖRNEK 35 Aynı yayın saatinde farklı kanallarda yayınlanan iki TV dizisi için 6 defa izlenme ölçümü yapılmış ve izlenme oranları zamana göre sıralı olarak aşağıdaki serpilme grafiğinde verilmiştir. B dizisinin izlenme oranı 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 12 A dizisinin izlenme oranı Grafikten yararlanarak elde edilen aşağıdaki bilgileri inceleyiniz. 576 ¬ A dizisinin izlenme oranı arttıkça B dizisinin izlenme oranı azalmıştır. ¬ İki dizinin izlenme oranları ters orantılıdır. ¬ Dizilerin yayına başladığı ilk zamanlarda B dizisini izleyenlerin oranı daha fazladır. ¬ B dizisinin izlenme oranı sürekli azalmıştır. Veri, Sayma ve Olasılık ETKİNLİK Yıllar Bir araba galerisindeki 4 yıllık otomobil satışları yandaki tablo ile verilmiştir. Araç markaları ve satışları ile ilgili aşağıdaki grafikler oluşturulabilir. ® 2007 2008 2009 2010 A 60 45 55 50 B 40 20 30 40 C 25 20 25 30 Toplam 125 85 110 120 Marka Üç markanın yıllara göre satış adetlerini incelemek için çizgi grafiği ile sütun grafiğinden yararlanabiliriz. Bu grafikler aşağıda çizilmiştir. Satıfllar (Adet) A: B: C: Satıfllar (Adet) 70 70 60 60 50 50 40 40 30 30 20 20 10 B C 10 0 ® A 2007 2008 2009 2010 0 Yıllar Sadece A markasının yıllara göre satış adet- ® 2007 2008 2009 2010 Yıllar B markasının satışlarını, toplam satış adetle- lerini incelemek için çizgi ve sütun grafiğini ri ile kıyaslamak için sütun grafiğinden yarar- bir arada ifade edebiliriz. Bunlar aşağıda çi- lanabiliriz. Bu grafik aşağıda çizilmiştir. zilmiştir. Satıfllar (Adet) Sat›fllar (Adet) 60 40 ® Toplam 100 20 0 B 150 50 2007 2008 2009 2010 Yıllar 0 2007 2008 2009 2010 Y›llar A % 41,7 2010 yılı satış adetlerinin üç marka için hangi oranda olduğunu kolay bir şekilde incelemek için daire grafiğinden yararlanabiliriz. C % 25 B % 33,3 Bu grafik yanda çizilmiştir. 577 Veri, Sayma ve Olasılık KUTU GRAFİĞİ Bir değişkenin sıklık dağılımını göstermek için kullanılan kutu grafikleri, dağılımın şekli, merkezi eğilimi ve değişkenlerin yayılım düzeyini göstermesi açısından kullanışlıdır. Kutu grafiği, veri için çeyreklere dayalı grafiksel gösterimlerdir. Kutu grafiğinin çizimi için; En küçük değer, alt çeyrek ( Q1 ), ortanca, üst çeyrek (Q3 ) ve en büyük değer bulunur. Kutu gösteriminde; Á Kutunun uç noktaları Q1 ve Q3 tedir. Á Kutunun uzunluğu Q3 – Q1 dir. Bu fark, verilerin ortadaki yarısının yayılma ölçüsüdür. Á Ortanca, kutunun içinde çizgi ile işaretlenir. Á Kutu dışındaki iki çizgi, alt uç değer ve üst uç değere kadar uzatılır. Kutu grafiğinde, dağılımın merkezi, verilerin yayılma genişliği ve uç değerleri kolaylıkla görülür. Alt Çeyrek En Küçük De¤er Üst Çeyrek Ortanca ÖRNEK 36 En Büyük De¤er ÖRNEK 37 Bir sınıftaki öğrencilerin bir dakikalık zaman dilimi 1, 2, 5, 10, 5, 6, 7, 12, 6, 4, 7, 9, 1, 8, 3, 3, 4, 7 içerisinde nabızlarını saymaları istenmiştir. Ölçüm veri grubu için en küçük değeri, alt çeyrek, ortanca, sonuçları cinsiyet değişkenine göre aşağıdaki tablo- üst çeyrek ve en büyük değeri bularak kutu grafiği ya aktarılmıştır. ile gösteriniz. Çözüm Erkek 56 60 66 76 96 Kız 60 68 74 80 110 Tabloya karşılık gelen kutu grafiği aşağıdaki gibidir. Cinsiyet Erkek Kız 55 60 65 70 75 65 80 85 90 95 100 105 110 Nabız Sayısı Bu grafik üzerinden kızlarla erkeklerin nabız sayılarını, farklı açılardan (ortanca, en büyük ve en küçük değerler, çeyrekler) karşılaştırabiliriz. 578 ESEN YAYINLARI En Büyük En Küçük Alt Üst Ortanca De¤er De¤er Çeyrek Çeyrek Veri, Sayma ve Olasılık ÖRNEK 38 Bir okulun 11– K ve 11– L şubelerindeki öğrencilerin, fizik dersinde uygulanan aynı sınavın sonucunda aldıkları puanlar yanda verilmiştir. 11 – K 70 40 50 50 80 60 40 90 60 11 – L 80 20 40 30 50 70 40 50 80 Bu notlara ait kutu grafiğini oluşturalım ve sınıfların fizik notlarını yorumlayalım. Çözüm Grafik Türünün Seçimi ve Avantajları Çizgi Bir değişkenin zaman içerisindeki değişimini incelemek için en uygun grafik türüdür. Birden çok sürekli veri grubunun kıyaslanması kolaylıkla görülebilir. Grafiği • Sütun • • • Grafiği Daire Grafiği Kutu Grafiği Serpilme Grafiği Görselliği kuvvetlidir. 2 veya 3 veri grubu kolaylıkla kıyaslanabilir. Her bir kesikli veri ayrı sütunda gösterildiği için incelenmesi kolaydır ve verinin gerçek değeri kolaylıkla görülebilir. Bir değişkenin bir bütün içerisindeki oranını belirlemek için en uygun grafik türüdür. • Göze hoş gelen bir sunumu vardır. • Her bir kategorinin toplam içindeki payı çok rahat anlaşılır. Verilerin genişliğini, yığılımını öğrenmek için en uygun grafik türüdür. • Uç değerleri ve sapan değerleri görmek çok kolaydır. • Veri sayısı çok olduğunda bile kolaylıkla gösterilebilir. • Dağılımın şekli, merkezi eğilim ve yayılım ölçüleri hakkındaki bilgileri çok rahat sunar. İki değişken arasındaki ilişkiyi göstermek için en uygun grafik türüdür. Veriler arasındaki ilişkiyi ( doğru orantılı, ters orantılı, ilişki yok gibi) açıklamak için çok uygundur. Verilerin gerçek değerleri göz önündedir. • • 579 ALIŞTIRMALAR - 1. 4. Ö¤renci sayısı 2 Aşağıdaki grafik bir otobüsteki yolcuların mesleklerine göre dağılımını göstermektedir. 8 7 6 Kifli sayısı 5 4 14 3 13 2 12 1 11 0 4 3 2 1 5 10 Alınan Not 9 8 Yukarıdaki grafik bir sınıftaki öğrencilerin tarih 7 dersinin sınavından aldıkları notları göstermek- 6 5 tedir. 2 ve üzeri not alanlar başarılı olduğuna 4 göre, bu sınıfın yüzde kaçı tarih dersinden 3 başarılıdır? 2 2. ESEN YAYINLARI Benzin (L) 25 20 a. ‹flçi Esnaf Memur 0 Ö¤retmen 1 Meslek Otobüsteki yolcular mesleklerine göre bir daire grafiğiyle gösterildiğinde öğretmenleri gösteren 15 daire diliminin merkez açısının ölçüsü kaç dere- 10 ce olur? 5 0 1 2 3 4 5 6 Zaman (gün) Yukarıdaki grafik, bir aracın benzin tüketimini b. Bu otobüsten x sayıda yolcu inip otobüse x sayıda yolcu binerse otobüste her meslek grubun- göstermektedir. Buna göre, bu aracın hangi dan eşit sayıda yolcu oluyor. Buna göre, x en az günler arasında benzin tüketim hızı en fazladır? kaçtır? c. Otobüsten belirli sayıda işçi inip otobüse işçi olmayan 8 kişi binerse otobüsteki işçilerin sayısı, 3. 3, 4, 4, 6, 6, 7, 9 veri grubuna ait kutu grafiğini çiziniz. 580 tüm yolcuların sayısının % 25’i oluyor. Buna göre, otobüsten inen işçilerin sayısı kaçtır? Veri, Sayma ve Olasılık 5. 8. a, a + 2, a + 6, a + 8, a + 9, a + 10, a + 12 veri grubunun alt çeyreği ile üst çeyreğinin Di¤er % 45 Kira % 30 toplamı 24 olduğuna göre, Yiyecek a. Bu veri grubunun ortancasını bulunuz. b. Bu veri grubunun çeyrekler açıklığını bulunuz. Şekilde verilen grafik birailenin aylık harcamalarını göstermektedir. Bu ailenin aylık kira gideri 450 TL olduğuna göre, aylık yiyecek gideri kaç TL dir? 6. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 9. 10. 35 80 70 50 60 80 90 100 65 70 Kimya 40 75 70 55 50 90 70 100 60 80 Mat 8. Bir sınıfdaki 10 öğrencinin matematik ve kimya notları yukarıdaki tabloda verilmiştir. Bu verilere 9. uygun serpilme grafiğini çiziniz. Sınıf 7. Ders Kimya ESEN YAYINLARI B A A¤ırlık 60 62 64 66 68 70 72 74 76 Fizik (kg) Bir okulun A ve B sınıflarındaki öğrencilerin ağırlıkları ile ilgili kutu grafiği verilmiştir. Buna 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Puan Şekilde bir sınıftaki kimya ve fizik derslerinin puanlarından oluşan veri grubunun kutu grafikleri verilmiştir. Buna göre, aşağıdaki soruları cevaplandırınız. a. Fizik dersinden elde edilen veri grubunun ortancası kaçtır? göre, a. A sınıfındaki öğrencilerin ağırlıklarının ortancası kaçtır? b. B sınıfındaki öğrencilerin ağırlıklarının ortancası kaçtır? c. A sınıfındaki öğrencilerinin ağırlıklarının çeyrek açıklığı kaçtır? b. Kimya dersinden elde edilen veri grubunun açıklığı kaçtır? c. Fizik dersinden elde edilen veri grubunun d. B sınıfındaki öğrencilerin ağırlıklarının çeyrek açıklığı kaçtır? çeyrekler açıklığı kaçtır? 581 OLASILIK OLASILIK ÖRNEK 40 Olasılık, sonucu kesin olmayan olayları sayılarla ifade Bir madeni paranın arka arkaya 2 kez (veya iki made- eder. Olasılık teorisi günümüzde şans oyunlarının ni paranın birlikte) atılması deneyinde örnek uzayını yanısıra, ekonomi, spor, siyaset, bilimsel tespitler, bulunuz. meteoroloji, sigortacılık, bankacılık ve milli savunma Çözüm gibi pek çok uygulama alanında kullanılmaktadır. Deney ve Çıktı Yeni bilgi kazanmak ve olayların gelişimini incelemek için yapılan deneme ve testlere deney denir. Bir deneyin mümkün olan her türlü sonucuna çıktı adı verilir. Düzgün bir zemine bir madeni paranın atılması bir deneydir. Yazı gelmesi ve tura gelmesi ise bu deneyin çıktılarıdır. Aynı şekilde bir tavla zarının atılması bir deneydir. 1 gelmesi, 2 gelmesi, 3 gelmesi, çıktılarıdır. Örnek ( Örneklem ) Uzayı Bir deneyde elde edilebilecek tüm sonuçların kümesine örnek uzay denir ve E ile gösterilir. Örnek uzayın her bir elemanına ise örnek nokta denir. ESEN YAYINLARI 4 gelmesi, 5 gelmesi ve 6 gelmesi ise bu deneyin ÖRNEK 41 Üç madeni paranın atılması deneyinin örnek uzayını yazınız. Çözüm Olay Örnek uzayın her bir alt kümesine bir olay denir. E örnek uzayına kesin olay, boş kümeye ise olanaksız (imkansız ) olay denir. Bir örnek uzaya ait iki olayın ara kesitleri ( kesişimleri ) boş küme ise bu iki olaya ayrık ( bağımsız ) olaylar denir. ÖRNEK 39 Bir madeni paranın atılması deneyinin; çıktıları: Y ( yazı) ve T (tura) dır. Örnek uzayı: E = { Y, T } dir. Buna göre, bir madeni paranın atılması sonucu, yazı veya tura gelmesi olayına (örnek uzaya) kesin olay denir. Paranın dik gelmesi olayı ise olanaksız olaydır. 582 Art arda yapılan madeni para atma deneyinde, para n kez atıldığında örnek uzayın eleman sayısı s(E ) = 2n olur. Veri, Sayma ve Olasılık ÖRNEK 42 ÖRNEK 44 İçinde 3 kırmızı ve 4 beyaz bilye bulunan torbadan bir çekilişte 2 bilye çekme deneyindeki; Bir tavla zarının atılması deneyindeki örnek uzay E = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } dir. Üste gelen sayının; tek gelmesi olayı, {1, 3, 5 } a. Örnek uzayın eleman sayısı kaçtır? b. Çekilen bilyelerin aynı renkte olması olayının eleman sayısı kaçtır? çift gelmesi olayı { 2, 4, 6 } Çözüm asal sayı gelmesi olayı {2, 3, 5} en az dört gelmesi olayı {4, 5, 6} en çok üç gelmesi olayı {1, 2, 3} dir. ÖRNEK 43 İki tavla zarının birlikte atılması deneyindeki örnek uzayı yazınız. Çözüm ESEN YAYINLARI ÖRNEK 45 3 kız, 4 erkek öğrencinin bir sıraya yan yana oturma deneyindeki; a. Örnek uzayının eleman sayısı kaçtır? b. Kızların bir arada olması olayının eleman sayısı kaçtır? c. Erkeklerin bir arada olması olayının eleman sayısı kaçtır? Çözüm 583 Veri, Sayma ve Olasılık AYRIK – AYRIK OLMAYAN OLAYLAR OLASILIK FONKSİYONU Birlikte ortaya çıkmayan iki olaya ayrık olay denir. E örnek uzuyanın iki alt kümesi A ve B olmak üzere, tüm alt kümelerinin oluşturduğu küme K ise Başka bir deyişle A ve B ayrık olaylar ise P : K → [0, 1] fonksiyonuna olasılık fonksiyonu P(A) A ∩ B = ∅ dir. görüntüsüne de A olayının olasılığı denir. ÖRNEK 46 Bir zarın atılması deneyinde meydana gelebilecek üç olay aşağıda verilmiştir. A = Tek sayı gelmesi = {1, 3, 5} B = Çift sayı gelmesi = {2, 4, 6} x 0 ≤ P(A) ≤ 1 x P(E) = 1 x P(∅) = 0 x P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) x A ∩ B = ∅ ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) dir. x A′ = E – A olmak üzere P(A) + P(A′) = 1 dir. C = Asal sayı gelmesi = {2, 3, 5} A, B ve C olaylarının ayrık olaylar olup olmadığını ÖRNEK 47 tespit ediniz. E örnek uzayında iki olay A ve B olsun. P(A′) = Çözüm P( B) = 1 3 1 ve P(A ∩ B) 1 ise P(A ∪ B) kaçtır? 6 4 ESEN YAYINLARI Çözüm P(A) + P(A′) = 1 ⇒ P(A) + 1 = 1 ⇒ P(A) = 1 – 3 ÖRNEK 48 E örnek uzayında iki olay A ve B olsun. P(A) = 1 3 3 1 ve P(A ∩ B) = olduğuna göre aşağı5 4 daki olasılıkları hesaplayınız. P( B) = a. P(A ∪ B) Çözüm 584 b. P(A′ ∩ B′) Veri, Sayma ve Olasılık Eş Olumlu Örnek Uzay ÖRNEK 52 Örnek uzayı E = {a1, a2, ...., an } olan P olasılık fonk- Bir madeni paranın arka arkaya üç kez atılması sonu- siyonu için, cu en az iki yazı gelmesi olasılığı kaçtır? P(a1 ) = P(a2 ) = .... = P(an ) Çözüm ise E örnek uzayına eş olumlu örnek uzay denir. P (A) = s (A) ‹stenen durumlar›n say›s› dır. = s (B) Tüm durumlar›n say›sı ÖRNEK 49 E = {1, 2, 3, 4, 5 } eş olumlu örnek uzay ise P(2) + P(5) toplamı kaçtır? Çözüm ÖRNEK 53 Bir madeni paranın arka arkaya 5 kez atılması sonu- ÖRNEK 50 Bir madeni paranın düzgün bir zemine atılması deneyinde, yazı ( Y ) ve tura ( T ) olmak üzere, ESEN YAYINLARI cu 2 tura, 3 yazı gelme olasılığı kaçtır? Çözüm E = { Y, T } olup s ( E) = 2 dir. Buna göre, P( Y ) = s (Y) 1 s (T) 1 ve P( T ) = = = olur. s (E) 2 s (E) 2 P( Y ) = P( T ) = 1 olduğundan bu deneydeki örnek 2 uzay, eş olumlu örnek uzaydır. ÖRNEK 54 ÖRNEK 51 Bir tavla zarı bir kez atıldığında üst yüze gelen sayıİki madeni paranın düzgün bir zemine atılması sonu- nın asal sayı olma olasılığı kaçtır? cu ikisinin de tura gelme olasılığı kaçtır? Çözüm Çözüm 585 Veri, Sayma ve Olasılık ÖRNEK 55 ÖRNEK 58 Bir tavla zarı arka arkaya iki kez atıldığında üst yüze gelen sayıların aynı olma olasılığı kaçtır? Bir torbada 4 kırmızı ve 5 beyaz bilye vardır. Torbadan rastgele 2 bilye çekildiğinde, bilyelerin farklı renkte olma olasılığı kaçtır? Çözüm Çözüm ÖRNEK 59 ÖRNEK 56 Bir torbada 4 kırmızı ve 5 beyaz bilye vardır. Torbadan arka arkaya 2 bilye çekildiğinde, çekilen birinci bilyenin kırmızı, ikinci bilyenin beyaz olma olasılığı kaçtır? Bir tavla zarı arka arkaya iki kez atıldığında üst yüze gelen sayıların toplamının 8 olma olasılığı kaçtır? Çözüm ESEN YAYINLARI Çözüm ÖRNEK 57 Bir torbada 3 sarı, 4 kırmızı ve 5 beyaz bilye vardır. Torbadan bir bilye çekildiğinde, bu bilyenin kırmızı olma olasılığı nedir? Çözüm ÖRNEK 60 Bir torbada 5 siyah ve 3 beyaz bilye vardır. Torbadan rastgele 3 bilye çekildiğinde ikisinin siyah, birinin beyaz olma olasılığı kaçtır? Çözüm 586 Veri, Sayma ve Olasılık ÖRNEK 61 ÖRNEK 62 5 doktor ve 6 hemşire arasından 3 kişilik bir ekip oluşturulacaktır. Bu ekipte en az 2 doktor bulunma olasılığı kaçtır? 7 kız ve 5 erkek öğrencinin bulunduğu bir sınıfta kızların 3 ü, erkeklerin 2 si gözlüklüdür. Sınıftan rastgele seçilen iki öğrencinin, a. İkisinin de kız olma olasılığı, b. İkisinin de gözlüklü olma olasılığı, c. Birisinin kız diğerinin erkek olma olasılığı, d. İkisinin de gözlüklü ve kız olma olasılığı, e. İkisinin de gözlüklü veya ikisinin de kız olma ola- Çözüm sılığını hesaplayınız. ESEN YAYINLARI Çözüm ÖRNEK 63 A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin elemanları kullanılarak yazılabilen 4 basamaklı ve rakamları farklı sayılardan bir tanesi seçiliyor. Seçilen bu sayının 5 ile bölünebilen bir sayı olma olasılığı kaçtır? Çözüm 587 Veri, Sayma ve Olasılık BAĞIMSIZ OLAYLAR ÖRNEK 66 İki olaydan birinin gerçekleşmesi veya gerçekleşme- Bir madeni para ile bir zar birlikte atılıyor. Paranın mesi diğerinin gerçekleşme olasılığını değiştirmiyorsa tura veya zarın asal sayı gelme olasılığı kaçtır? bu iki olaya bağımsız olaylar denir. Çözüm P ( A ∩ B ) = P (A).P (B) Eğer iki olay bağımsız değilse bu olaylara bağımlı olaylar denir. A ve B olaylarının meydana gelme olasılığı P ( A ∩ B ) demektir. A veya B olaylarının meydana gelme olasılığı P ( A ∪ B ) demektir. ÖRNEK 67 Bir topluluktaki 12 bayanın 7 si gözlüklü ve 9 erkeğin 6 sı gözlüklüdür. Bu topluluktan seçilen bir kişinin erkek veya gözlüklü olma olasılığı kaçtır? ÖRNEK 64 A ve B bağımsız olaylardır. P(A) = 2 3 ve P( B) = Çözüm: 1 6 Çözüm ® A ve B bağımsız olaylar olduğundan, ESEN YAYINLARI ise P(A ∩ B) ve P(A ∪ B) kaçtır? ÖRNEK 68 Bir sınava giren Ali’nin sınavı geçme olasılığı 3 ve 5 1 Barış’ın aynı sınavı geçme olasılığı tür. Buna göre, 3 ÖRNEK 65 Bir madeni para ile bir zar birlikte atılıyor. Paranın tura ve zarın asal sayı gelme olasılığı kaçtır? Çözüm 588 a. Her ikisinin de sınavı geçme olasılığı kaçtır? b. Sadece Ali’nin sınavı geçme olasılığı kaçtır? Çözüm ALIŞTIRMALAR - 1. 5. Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş 3 Bir çift zar atıldığında üste gelen sayıların kutulara “D ” yanlış olanlar için “Y ” yazınız. a. Bir para üst üste 4 kez atılırsa örnek Aynı olma olasılığını uzayı 16 elemanlı olur. Bir zar üst üste 3 kez atılırsa örnek uzayı 216 elemanlı olur. 5 para atıldığında örnek uzayı 25 ele- b. Farklı olma olasılığını manlı olur. Bir A olayının olasılığı P(A) ise –1 ≤ P(A) ≤ 1 dir. A kesin olay ise P(A) = 1 dir. İki madeni para atıldığında en çok bir yazı gelmesi olasılığı kaçtır? 3. ESEN YAYINLARI 2. c. Toplamlarının 9 olma olasılığını d. Birinin tek, diğerinin çift sayı olma olasılığını e. Toplamlarının 13 olma olasılığını f. Toplamlarının en az 2 olma olasılığını bulu- Bir madeni para art arda 3 kez atıldığında, 2 kez yazı 1 kez tura gelme olasılığı kaçtır? nuz. 6. 4. 4 kız, 5 erkek arkadaş yanyana fotoğraf çek- Bir madeni para art arda 5 kez atıldığında, 2 kez tireceklerdir. Kızların bir araya gelme olasılığı yazı 3 kez tura gelme olasılığı kaç olur? kaçtır? 589 Veri, Sayma ve Olasılık 7. Aynı büyüklükte 5 kırmızı ve 3 beyaz bilyenin 10. 5 elemanlı bir kümenin alt kümelerinden her- bulunduğu bir torbadan, rastgele 3 bilye çekili- hangi 2 tanesi rastgele alındığında ikisinin de 3 yor. Çekilen bilyelerin, elemanlı olma olasılığı kaç olur? a. Üçünün de beyaz olma olasılığını b. Üçünün de kırmızı olma olasılığını 11. E örneklem uzayına ait iki olay A ve B olmak c. üzere, P (A ) = Üçünün de aynı renk olma olasılığını 7 1 , P ( B′) = 8 4 ve P (A ∩ B ) = 1 ise P(A ∪ B) kaçtır? 16 e. 8. En az birinin kırmızı olma olasılığını bulunuz. 4321132 sayısının rakamları yer değiştirilerek oluşturulan 7 basamaklı sayılardan biri rastgele alındığında bunun 4 ile başlayıp 3 ile biten bir ESEN YAYINLARI d. İkisinin beyaz, birinin kırmızı olma olasılığını 12. 20 kişilik bir sınıfta bulunan öğrencilerin 12 si erkektir. Erkeklerin 4 ü, kızların 3 ü gözlüklü olduğuna göre, sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin erkek veya gözlüklü olma olasılığı kaç olur? sayı olma olasılığı kaçtır? 9. Bir torbada, aynı büyüklükte 4 sarı, 3 lacivert ve 5 beyaz bilye vardır. Torbadan geri atılmamak 13. İki madeni para ve bir zar aynı anda atılıyor. koşuluyla art arda 3 bilye çekildiğinde birincisinin Paraların birinin yazı, diğerinin tura ve zarın çift sarı, ikincisinin lacivert, üçüncüsünün beyaz sayı gelme olasılığı kaç olur? olma olasılığı kaç olur? 590 Yazılıya Hazırlık Soruları 1. 4. İçinde 3 mavi, 4 sarı, 2 beyaz bilye bulunan bir torbadan rastgele seçilen 3 bilyeden sadece Düzgün bir madeni para 6 kez atıldığında en az 4 kez yazı gelme olasılığı kaç olur? ikisinin sarı olma olasılığı kaçtır? 2. 6 noktadan 2 tanesi A ve B dir. Bu noktaların 5. Duru, Ecem ve Gizem’in sınıflarını geçme olası2 1 3 lıkları sırasıyla , tür. Üçünden en az ve 5 2 4 birinin sınıfını geçme olasılığı kaçtır? 6. 5 elemanlı bir kümenin tüm alt kümelerinden herhangi üçü doğrusal değildir. Bu noktalarla oluşturulan tüm üçgenlerden iki tanesi rastgele [ AB ] olma olasılığı kaçtır? 3. 24 futbolcu ve 16 basketbolcunun bulunduğu ESEN YAYINLARI seçilirse ikisinin de bir tabanının bir sporcu grubunda futbolcuların 6 sı, bas- rastgele 2 tanesi seçildiğinde birinin 2 eleman- ketbolcuların 4 ü yeşil gözlüdür. Bu gruptan lı diğerinin 3 elemanlı olma olasılığı kaçtır? rastgele alınan birinin futbolcu veya yeşil gözlü olma olasılığı kaçtır? 591 Veri, Sayma ve Olasılık 7. 9. Bir torbada eşit sayıda sarı ve mavi bilyeler Ortalaması 50 ve standart sapması 6 olan bir vardır. Bu torbadan geri konulmamak üzere, art öğrenci notu grubunda, notu 68 olan bir öğrenci- arda çekilen iki bilyenin de mavi olma olasılığı nin standart z notu kaçtır? 8. Matematik Geometri Edebiyat Aritmetik Ort. ( x ) 77 60 80 Mod 75 70 90 Medyan 80 70 70 Standart Sapma ( s ) 2 6 4 Bir sınıfa uygulanan üç dersle ilgili istatistikler ESEN YAYINLARI 5 ise torbada kaç bilye vardır? 22 10. Aşağıdaki grafik, bir şirketin 2008, 2009, 2010 ve 2011 yıllarında giyim ve gıda alanında yaptığı ihracat tutarlarını göstermektedir. Bin TL Giyim Gıda 2009 2010 400 200 150 yukarıdaki tabloda verilmiştir. Bu sınıftaki bir öğrenci matematikten 80, geometriden 72 ve 0 2008 2011 Yıl edebiyattan 84 aldığına göre, bu öğrencinin standart z puanları arasındaki sıralama nedir? Buna göre, bu şirketin yıllara göre toplam ihracatının daire grafiğiyle gösterimini yapınız. 592 TEST 1. 1 Veri – Sayma 5. 2, 2, 3, 4, 5, 12, 1, 3 veri grubunun aritmetik ortalaması kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 Linyit E) 7 Kok Taflkömürü Bir ülkede üretilen kömür miktarlarının cinslerine göre oranları yukarıdaki grafikte verilmiştir. Yalnızca bu grafikten yararlanarak aşağıdaki bilgilerden hangisine kesinlikle ulaşılabilir? 2. A) Üretim miktarı az olduğu için en pahalı kö- 10 sayının aritmetik ortalaması 12 dir. Bu sa- mür koktur. yıların herbirinden 2 çıkarılırsa yeni aritmetik ortalama kaç olur? A) 8 B) 9 B) Linyit üretim miktarı, toplam kömür üretim C) 10 D) 11 miktarının yarısından azdır. E) 12 C) Bu ülkedeki kömür üretiminde taşkömürünün maddi değeri en yüksektir. ESEN YAYINLARI D) Kok ve taşkömürü üretim miktarları toplamı, 3. linyit üretim miktarından azdır. E) Kok kömürünün elde edilmesi daha masraflı bir süreçtir. 4, 3, 3, 2, 5, 6, 6, 5, 8 6. veri grubunun ortancası kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 Ö¤renci say›s› 12 10 8 6 4 2 0 50-55 56-61 62-67 68-73 74-79 80-85 A¤›rl›k (kg) Yukarıdaki grafikte 12 – C sınıfındaki öğrencile4. rin ağırlıkları gösterilmiştir. 68-73 kg aralığında 8, 4, 5, 10, 8, 3, 6 kalan öğrenci sayısı, tüm sınıfın % 10 u olduğu- veri grubunun çeyrekler açıklığı kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 na göre, sınıfın mevcudu kaç kişidir? E) 6 A) 36 B) 38 C) 40 D) 42 E) 44 593 Veri, Sayma ve Olasılık 7. 10. Bir sınıfta bulunan 15 öğrenciye ayakkabı numa- Nüfus (milyon kifli) raları sorulmuş ve aşağıdaki çetele elde edilmiş- 40 tir. 30 Kad›n Erkek 20 38 : 39 : 10 40 : 0 41 : 1995 2000 2005 2010 Y›llar Grafikte bir ülkedeki kadın-erkek nüfusunun 4 Bu veriler için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? nüfus sayımına göre değişimi gösterilmiştir. A ) Tepe değeri 41 dir. I. B ) Ortancası 40 tır. 2000 yılı sayımında erkek nüfusu bir önceki sayıma göre artmamıştır. C ) Aritmetik ortalaması 40 tan küçüktür. II. Toplam nüfustaki artış oranı en yüksek 2000- D) Açıklığı 2 dir. 2005 yılları arasında olmuştur. E ) Alt çeyrek değeri 39 dur. III. Kadın sayısı, erkek sayısını hiç geçmemiştir. IV. 2010 yılındaki kadın / e rkek sayıları oranı 1995 yılındaki orana eşittir. Yukarıdaki ifadelerin Doğru(D ) ve Yanlış (Y) ESEN YAYINLARI olarak sıralaması aşağıdakilerden hangisidir? 8. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 A) D – D – D – Y B) D – Y – D – Y C) D – Y – D – D D) Y – Y – D – Y E) D – D – D – D 9 10 11 12 13 14 Yukarıda kutu grafiği verilen, veri gurubu aşağı- 11. Bir işyerinde çalışan 8 kişi A ve B diye iki gruba ayrılmıştır. Bu kişilerin isimleri ve maaşlarını dakilerden hangisi olabilir? gösteren tablo aşağıda gösterilmiştir. A ) 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 14 B ) 1, 2, 4, 5, 6, 8, 12, 14 C ) 1, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 14 D ) 1, 2, 4, 5, 5, 8, 10, 14 E ) 2, 3, 4, 5, 5, 8, 10, 10 A grubu Maaş ( TL ) B grubu Maaş ( TL ) Hülya 1.800 Derya 1.400 Ümit 1.600 Selma 1.800 İlhami 3.200 Fatma 1.500 Turan 2.600 Soner 2.100 A ve B gruplarındaki hangi iki kişi yer değiştirirse gruplardaki maaşların ortalaması eşit olur? 9. 6, 4, 8 veri grubunun standart sapması kaçtır? A) 1 594 B) v2 C) 2 D) v5 E) 3 A) İlhami ile Soner B) Turan ile Derya C) Hülya ile Derya D) İlhami ile Selma E) Turan ile Selma TEST 1. 3 Veri – Sayma 4. Aşağıdakilerden kaç tanesi merkezi eğilim ölçüsüdür? I. Açıklık II. Aritmetik ortalama 0 III. Ortanca 40 80 120 160 200 240 280 320 IV. Standart sapma Yukarıdaki grafikte bir veri grubuna ait kutu grafi- V. Tepe değeri ği verilmiştir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 yanlıştır? E) 5 A) En küçük değer 40 tır. B) Ortanca 160 tır. C) Açıklığı 280 dir. 2. D) Üst çeyrek değeri 280 dir. 10 kişilik bir öğrenci grubundaki her bir öğrenci- E) Çeyrekler açıklığı 160 tır. nin ağırlığı (kg) 72, 56, 68, 64, 54, 68, 55, 65, 62, 73 olarak belirlenmiştir. bu veri grubuna göre, aşaESEN YAYINLARI ğıdakilerden hangileri doğrudur? I. Alt çeyrek değeri 56 dır. II. Ortanca değeri 64,5 tir. III. Açıklık 19 dur. IV. Tepe değeri 73 tür. A) Yalnız II 5. Para (bin TL) 100 Gelir Gider 80 B) I, II, IV D) II, III, IV C) I, II, III E) I, II 60 40 20 0 3. Hız (m/s) A 14 ları arasındaki gelir-gider durumları gösterilmiştir. Buna göre, bu işletme için aşağıda verilen bilgilerden hangisi yanlıştır? 4 A) 2008 yılında kâr etmemiştir. 10 Zaman (s) B) En yüksek kârı 2010 yılında yapmıştır. Şekilde A ve B araçlarına ait hız-zaman grafiği verilmiştir. Kaçıncı saniyede hızları farkı 10 m/s C) 2006 yılında, 2005 e göre geliri artmamış fakat kârı artmıştır. D) 2008-2009 arasında zarar etmiştir. olur? A ) 40 Y›llar Aşağıdaki grafikte bir işletmenin 2005-2010 yılB 8 0 2005 2006 2007 2008 2009 2010 B ) 35 C ) 30 D ) 25 E) 20 E) Bu yıllar içindeki toplam kârı 140 bin TL dir. 597 Veri, Sayma ve Olasılık 6. A 2r r O 4 E D r 3 ) Şekilde BCD , O merkezli yarım çemberdir. 0 1 2 3 4 5 6 Günler 7 –2 A noktasından harekete başlayarak, A → B → C → D noktalarından E noktasına ge- Ankara’da Mart ayının ilk haftasına ait günlük len hareketlinin, hareketi süresince O noktasına hava sıcaklıkları grafikte gösterilmiştir. Bu haf- uzaklığını gösteren grafik aşağıdakilerden han- taya ait hava sıcaklığı ortalaması 3°C olduğuna gisidir? göre, grafik 7. gün hangi noktadan geçer? A) B) X X 3r 3r 2r 2r r r A) A t C) D) X B) B C) C X 9. 2r 2r altta bulunan silindirinin r r yarıçapı 2r, yüksekliği h t X 3r 2r ESEN YAYINLARI 3r h r tır. Üstteki silindirinin ise yarıçapı r, yüksekliği h tır. h Sabit debili A musluğu açıldıktan sonra tanktaki 2r su seviyesini zamana kar- r şı gösteren grafik aşağıdakilerden hangisidir? t A) 120 öğrencinin katıldığı 1. YGS deneme sınavında öğrencilerin matematik netlerinden oluşan tablo aşağıda verilmiştir. B) Su seviyesi (m) Su seviyesi (m) 2h 2h h h t C) t 2t 3t 4t 5t Zaman (dk) D) Su seviyesi (m) Öğrenci Sayısı 2h 2h 0 – 10 10 h h 11 – 20 20 21 – 30 60 31 – 40 30 t Bu verilerle oluşturulan dairesel grafikte, 31- 40 net yapan öğrenci sayısına karşılık gelen daire t 2t 3t 4t 5t Zaman (dk) E) 2t 3t 4t 5t Zaman (dk) Su seviyesi (m) Matematik Netleri 2t 3t 4t 5t Zaman (dk) Su seviyesi (m) 2h h diliminin merkez açısının ölçüsü kaç derecedir? A ) 30 598 E) E A Yandaki silindirik tankın 3r E) D) D t t 7. A B C D E 6 B 2r Sıcaklık (°C) 8. C B ) 36 C ) 60 D ) 90 E) 108 t 2t 3t 4t 5t Zaman (dk) TEST 1. 4 Olasılık 5. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} zı, birinin tura gelme olasılığı kaçtır? kümesinin elemanlarından biri rastgele seçilirse bunun asal sayı olma olasılığı kaç olur? 5 A) 7 4 B) 7 3 C) 7 2 D) 7 4 madeni para aynı anda atıldığında 3’ünün ya- A) 1 4 1 E) 7 6. B) 1 8 C) 3 8 D) 1 16 E) 3 16 A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin alt kümelerinden biri rastgele seçildi- 2. ğinde bu kümenin elemanları arasında "1" in bu- Bir tavla zarı atıldığında üste gelen sayının 3 ten lunma olasılığı kaç olur? büyük olma olasılığı kaçtır? 5 6 B) 2 3 C) 1 2 D) 1 3 E) A) 1 6 1 32 B) 1 16 C) 1 8 D) 1 4 E) 1 2 ESEN YAYINLARI A) 7. ÖNDER sözcüğündeki harflerin yerleri değiştirilerek oluşturulan 5 harfli sözcüklerden biri rast- 3. gele seçildiğinde bu sözcüğün D harfiyle başla- Bir para iki kez üst üste atıldığında birinin yazı ma olasılığı kaçtır? diğerinin tura gelme olasılığı kaç olur? A) 1 4 B) 1 3 C) 1 2 D) 3 4 E) A) 1 2 4 5 8. 4. İçinde 2 kırmızı 3 beyaz bilye bulunan bir torbadan bir çekilişte 2 bilye çekme deneyinde örnek uzay kaç elemanlıdır? A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 B) 2 5 C) 1 5 D) 1 6 E) 1 8 Bir torbada üzerinde 1 den 10 a kadar numaralar bulunan 10 top vardır. Bu torbadan seçilecek üç topun üzerindeki sayıların toplamının çift olma olasılığı nedir? A) 2 3 B) 1 2 C) 1 3 D) 1 4 E) 599 1 5 Veri, Sayma ve Olasılık 9. 13. Bir torbadaki özdeş bilyelerin 9 tanesi beyaz, E örnek uzayında iki olay A ve B olsun. P(A) = 6 tanesi kırmızı, 7 tanesi mavi, 10 tanesi sarıdır. 1 1 1 , P′(B) = ve P(A ∩ B) = ise 4 3 2 Bu torbadan en az kaç bilye alınmalıdır ki kalan P(A ∪ B) kaçtır? A) 1 3 B) 5 12 bilyelerin renklerine göre çekilme olasılıkları eşit C) 1 2 D) 7 12 E) olsun? 2 3 A) 6 olasılığı kaçtır? kimyadan başarılı ise rastgele seçilen 1 öğren- A) 3 4 cinin matematik veya kimyadan başarılı olması olasılığı kaçtır? B) 2 3 C) 2 5 D) 1 3 15. Bir yarışı A nın kazanma olasılığı B nin kazanmama olasılığı 1 tür. 3 11. Bir sınıfta 5 siyah 4 kırmızı 3 beyaz elbiseli öğrenci vardır. Rastgele seçilen iki öğrencinin ikisi- tır? A) 2 5 B) 1 6 C) 1 7 D) 1 10 E) 1 11 12. Bir çember üzerinde bulunan 5 nokta ile oluşturulmuş, çokgenlerden biri rastgele seçildiğinde bunun üçgen olma olasılığı kaçtır? A) 1 2 600 B) 5 8 C) 3 4 D) 4 5 E) 7 8 2 5 A ve B den sadece birinin kazanma olasılığı kaç- nin de kırmızı elbiseli olma olasılığı nedir? A) 1 5 E) 1 4 E) 2 5 ESEN YAYINLARI D) 3 5 E) 10 gele bir kişi seçildiğinde kız veya gözlüklü olma muştur. 10 öğrenci de hem matematik hem de C) 4 5 D) 9 4 ü erkeklerin 6 sı gözlüklüdür. Bu sınıftan rast- matematikten, 20 tanesi kimyadan başarılı ol- B) 7 10 C) 8 14. 24 kişilik bir sınıfta 10 kız öğrenci vardır. Kızların 10. 40 mevcutlu bir sınıftaki öğrencilerin 14 tanesi A) 3 10 B) 7 B) 7 15 C) 8 15 D) 3 5 E) 2 3 16. Kız ve erkeklerden oluşan 7 kişilik bir grup yanyana bir sıraya oturduğunda kızların bir araya gelme olasılığı 1 ise bu grupta kaç erkek var7 dır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 TEST 1. 6 Olasılık 5. Üç madeni para atıldığında en çok ikisinin yazı gelme olasılığı kaç olur? A) 7 8 B) 1 2 C) 3 8 36 kişilik bir sporcu grubunda 25 kişi futbol veya basketbol oynuyor. 20 kişi futbol, 4 kişi her iki D) 1 4 E) oyunu oynamaktadır. Rastgele seçilen bir spor- 1 8 cunun basketbol oynuyor olması olasılığı kaçtır? A) 1 5 6. 2. B) 1 4 C) 1 3 D) 1 2 E) 2 3 5 kız ve 4 erkek öğrencinin bulunduğu bir grupta Bir çift zar atıldığında üste gelen sayıların topla- 3 ve 4 kişilik iki ayrı grup oluşturulacaktır. Grup- mının 8 olma olasılığı kaçtır? larda kızların ve erkeklerin bir araya gelmeme 5 36 B) 1 6 C) 2 9 D) 1 4 E) 5 18 olasılığı kaçtır? A) 1 42 B) 1 21 C) 17 42 D) 31 42 E) 41 42 ESEN YAYINLARI A) 3. 2 mavi, 3 kırmızı bilyenin bulunduğu bir torbadan 7. samaklı sayılardan bir tanesi rastgele seçilirse iki bilye alındığında ikisininde kırmızı olma olası- bu sayının 1 ile başlayıp 4 ile bitme olasılığı kaç lığı kaçtır? A) 1 5 B) 3 10 C) 2 5 D) 1 2 E) olur? 3 5 A) 2 5 8. 4. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 112334 sayısının rakamları ile oluşturulan 6 ba- B) 3 10 C) 1 5 D) 1 10 E) 1 15 A = {x : 0 < x < 100, x ∈ N} kümesinin elemanları olan sayıların herbirinin rakamları tek tek ke- kümesinin alt kümelerinden biri rastgele alındı- silerek birer karta yazılıyor. Bu kartlardan rast- ğında bunun 3 elemanlı bir küme olma olasılığı gele biri alındığında kartın üstünde yazan sayı- kaç olur? nın 5 olma olasılığı kaçtır? A) 3 16 B) 1 4 C) 5 16 D) 3 8 E) 7 16 A) 14 189 B) 17 189 C) 4 63 D) 7 62 E) 20 189 603 Veri, Sayma ve Olasılık 9. 13. Bir atıcı hedefe arka arkaya üç atış yapacaktır. Bir torbada 6 kırmızı ve 4 beyaz bilye vardır. Torbadan rastgele seçilen 4 bilyeden en az biri- I. atışında hedefi vurma olasılığı % 25 nin kırmızı olma olasılığı kaçtır? II. atışında hedefi vurma olasılığı % 40 A) 139 210 B) 203 210 C) 103 105 D) 104 105 III. atışında hedefi vurma olasılığı % x E) 209 210 Bu atıcının hedefi üçünde de vurmama olasılığı 9 olduğuna göre x kaçtır? 25 A) 10 B) 18 C) 20 D) 24 E) 30 10. Bir kapıyı açmak için denenen 5 anahtardan yalnız biri bu kapıyı açabilmektedir. Anahtarlar sı- 14. rayla denerek kapı açılmaya çalışılırsa en çok A B C D E F ikinci denemede kapının açılması olasılığı kaçtır? K B) 4 25 C) 3 5 D) 2 5 M E) 1 5 L Şekildeki yarım çemberin çapı [AF] dir. ESEN YAYINLARI A) 9 25 Verilen noktalardan rastgele seçilen üç noktanın bir üçgenin köşeleri olma olasılığı nedir? A) 41 42 11. Ali ve Barış bir madeni para ile oyun oynuyorlar. B) 37 42 C) 11 14 D) 16 21 E) 29 42 Tura atan oyunu kazanacaktır. Parayı ilk kez Ali atacağına göre, oyunu Barış’ın kazanma olasılığı kaçtır? A) 2 3 B) 1 2 C) 1 3 D) 1 4 E) 1 8 15. D C 1 1 1 A 1 12. 1 den 100 e kadar ( 1 ve 100 dahil ) olan sayılar arasından seçilen iki sayıdan birinin diğerinin iki katı olması olasılığı kaçtır? A) 1 9 604 B) 1 99 C) 3 25 1 1 1 1 B Üsteki şekilde alanı 1 br2 olan 15 tane kare vardır. Buna göre, şekilde oluşan dikdörtgenler içinden rastgele birisi boyanırsa, bu boyalı dikdörtgenin kare olma olasılığı kaçtır? D) 4 17 E) 5 8 A) 1 5 B) 2 9 C) 11 45 D) 4 15 E) 13 45 Üniversiteye Giriş Sınav Soruları 1. 1990 – ÖYS A 4. B C D 1998 – ÖYS Bir torbada 2 tane mavi, 5 tane yeşil mendil var- E dır. Bu torbadan, geri atılmamak koşulu ile iki kez birer mendil çekiliyor. Bu iki çekilişin birincisinde mavi, ikincisinde de yeşil mendil çekme olasılığı kaçtır? Şekildeki A, B, C, D, E noktaları bir doğru ve ay- A) 70 12 rıca C, D noktaları bir çember üzerindedir. B) 20 49 C) 10 45 D) 10 21 E) 5 21 Bu noktalardan seçilecek olan herhangi iki noktadan yalnız birinin çembere ait olma olasılığı kaçtır? A) 2 3 B) 2 5 C) 3 5 D) 5 6 E) 7 10 2. 1992 – ÖYS Bir torbada 2 beyaz, 4 siyah ve 6 mavi bilye ESEN YAYINLARI 5. Bir düzgün dörtyüzlünün (bütün yüzleri eşkenar üçgen olan üçgen piramit) iki yüzünde A, iki yüzünde de T harfleri yazılıdır. Bu düzgün dörtyüzlü bir kez atıldığında yan yüzlerinde, sırasına ve vardır. Aynı anda çekilen 2 bilyeden birinin be- yönüne bakılmaksızın A, T, A harflerinin görül- yaz öbürünün siyah olma olasılığı kaçtır? me olasılığı kaçtır? A) 1 6 B) 1 11 C) 2 11 D) 4 33 A) 1 2 E) 5 33 6. 3. 1999 – ÖSS B) 1 3 C) 2 3 D) 1 4 E) 3 4 2007 – ÖSS 1995 – ÖYS A = {–2, –1, 0, 1} Bir torbada 6 beyaz, 4 siyah bilye vardır. B = {–1, 0, 1, 2, 3, 4} kümeleri veriliyor. Bu torbadan rasgele çekilen 3 bilyeden birinin A x B kartezyen çarpımından alınan bir elema- beyaz, diğer ikisinin siyah olma olasılığı kaçtır? nın (a, a) biçiminde olma olasılığı kaçtır? A) 3 10 A) 1 4 B) 3 19 C) 4 15 D) 5 14 E) 5 13 B) 1 6 C) 1 8 D) 1 12 E) 5 24 605 Veri, Sayma ve Olasılık 7. 2008 – ÖSS 9. 2010 – YGS Bir torbada 2 kırmızı, 2 beyaz ve 1 sarı bilye vardır. Torbadan rastgele 4 bilye alındığında torbada kalan bilyenin kırmızı renkte olma olasılığı Yukarıdaki yedi nokta, eş karelerin köşeleri üze- kaçtır? rinde bulunmaktadır. A) Bu yedi noktadan rastgele seçilen üç noktanın 1 2 B) 2 3 C) 3 4 D) 2 5 E) 3 5 bir üçgen oluşturma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir? ( Aynı doğru üzerindeki üç noktanın bir üçgen oluşturmadığı kabul edilecektir.) A) 32 35 B) 27 35 C) 24 35 D) 5 7 E) 3 7 8. 2009 – ÖSS Bir mağazadan belirli miktarın üzerinde alışveriş yapan müşteriler, 4 eş parçaya ayrılmış birinci çarkı iki defa çevirmektedir. Bu iki çevirişte ge- ESEN YAYINLARI 10. 2010 – LYS A = { 1, 2, 3, 4 } ve B = { –2, –1, 0 } olmak üzere A x B kartezyen çarpım kümesinden alınan herhangi bir (a, b) elemanı için a + b toplamının sıfır olma olasılığı kaçtır? A) 1 4 B) 1 5 C) 1 6 D) 1 7 E) 2 7 len iki sayının toplamı 6 ya da 6 dan büyükse 6 eş parçaya ayrılmış ikinci çarkı çevirerek çıkan hediyeyi almaktadır. ütü 1 2 3 4 çamafl›r makinesi kahve makinesi ütü ütü tost makinesi I. çark II. çark 11. 2011 – LYS Buna göre, birinci çarkı çevirmeyi hak eden bir 6 kız ve 7 erkek öğrencinin bulunduğu bir grup- müşterinin çamaşır makinesi kazanma olasılığı tan 2 temsilci seçiliyor. Seçilen bu iki temsilciden kaçtır? birinin kız, diğerinin erkek olma olasılığı kaçtır? A) 606 1 14 B) 1 16 C) 5 24 D) 3 28 E) 5 32 A) 3 4 B) 3 8 C) 2 13 D) 7 13 E) 9 13 Veri, Sayma ve Olasılık 12. 2012 – YGS 15. 2013 – YGS Boyları farklı dört öğrenci bir çizgi boyunca rast- Aşağıdaki grafikte, beş kişinin boyları ile ilgili bazı gele sıraya giriyor. Buna göre, en kısa ve en bilgiler verilmiştir. uzun boylu öğrencilerin uçlarda olma olasılığı Boy (cm) kaçtır? 1 A) 2 174 1 B) 3 1 C) 4 1 D) 6 1 E) 12 Kifli Bu kişilerle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir. • Ayşe ve Kemal aynı boydadır. • Bora, Kemal'den 2 cm kısadır. • Elif, Mehmet'ten 6 cm uzundur. • Mehmet, Ayşe'den 3 cm uzundur. Buna göre, bu kişilerin boy ortalaması kaç cm dir? 13. 2012 – LYS Bu torbadan aynı anda rastgele 3 bilye çekildiğinde her bir renkten en fazla 2 bilye olma olasılığı kaçtır? A) 2 3 B) 3 4 C) 5 6 D) 7 8 E) B) 165 C) 166 D) 167 E) 168 ESEN YAYINLARI A) 164 Bir torbada 5 kırmızı ve 5 beyaz bilye vardır. 8 9 14. 2013 – YGS Bir torbada 1 den 10 a kadar numaralandırılmış 10 top bulunmaktadır. Bu torbadan rastgele çekilen iki topun numaraları toplamının 15 olduğu bilindiğine göre, 7 numaralı topun çekilmiş olma olasılığı kaçtır? A) 2 3 B) 2 5 C) 2 7 D) 1 2 E) 1 3 607 ESEN YAYINLARI Veri, Sayma ve Olasılık 608
© Copyright 2024 Paperzz