Kimyasal Bağlar

Diferansiyel Denklemler
1
Hasan KORKMAZ
Đzmir Fen Lisesi Matematik Öğretmeni
Diferansiyel Denklemler
ĐÇĐNDEKĐLER
KONU
Diferansiyel Denklem, Mertebe ve Derecesi ....................................................................................................
Diferansiyel Denklemlerin Çözümleri ...............................................................................................................
Konu ile ilgili Alıştırmalar ..................................................................................................................................
1. Mertebeden Diferansiyel Denklemler ...........................................................................................................
Değişkenleri Ayrılmış Diferansiyel Denklemler ...............................................................................................
Konu ile ilgili Alıştırmalar ..................................................................................................................................
Homojen Diferansiyel Denklemler ....................................................................................................................
Konu ile ilgili Alıştırmalar ..................................................................................................................................
Lineer Diferansiyel Denklemler ........................................................................................................................
Konu ile ilgili Alıştırmalar ..................................................................................................................................
Bernoulli (Lineer Şekle Đndirgenebilen) Diferansiyel Denklemleri ................................................................
Konu ile ilgili Alıştırmalar ..................................................................................................................................
Ricatti Diferansiyel Denklemi ............................................................................................................................
Konu ile ilgili Alıştırmalar ..................................................................................................................................
Toplam Diferansiyellerin Đntegrasyonu ............................................................................................................
Konu ile ilgili Alıştırmalar ..................................................................................................................................
Yüksek Mertebeden Diferansiyel Denklemler .................................................................................................
n
d y
= f(x) Biçimindeki Diferansiyel Denklemler .............................................................................................
n
dx
Sayfa
No
3
3
3
4
4
4
4
5
5
6
6
6
7
8
8
8
9
9
2
d y
= f(y) Biçimindeki Diferansiyel Denklemler ..............................................................................................
10
Konu ile ilgili Alıştırmalar ..................................................................................................................................
Sabit katsayılı Đkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler ................................................................
Konu ile ilgili Alıştırmalar ..................................................................................................................................
Katsayıları sabit n. Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler .................................................................
Katsayıları sabit n. Mertebeden (ikinci tarafı sıfıra eşit) Lineer Diferansiyel Denklemin Çözümü .............
Katsayıları sabit n. Mertebeden (ikinci tarafı x in bir fonksiyonu olan) Lineer Diferansiyel Denklemin
Çözümü: ..............................................................................................................................................................
Konu ile ilgili Alıştırmalar ..................................................................................................................................
Diferansiyel Denklemlerin Çözümlerinin Bilgisayar Uygulaması ..................................................................
Matlab ile Diferansiyel Denklemlerin Çözümü ................................................................................................
Faydalanılan Kaynaklar .....................................................................................................................................
10
11
13
13
14
2
dx
2
15
16
17
17
18
Hasan KORKMAZ
Đzmir Fen Lisesi Matematik Öğretmeni
Diferansiyel Denklemler
e) y=a sin x bir özel çözüm müdür?
f) y=b cos x bir özel çözüm müdür?
g) y=a sinx + b cos x genel çözüm müdür?
h) x=0 için y=5 ve x=π/3 için y'= 3 değerini alan özel
çözümü bulalım.
Diferansiyel Denklem, Mertebe ve Derecesi:
x değişkeni, y nin bir fonksiyonu, y=f(x) olmak üzere;
(n)
F(x, y, y', y'', ... , y
) = 0 bağıntısına " n. mertebeden
diferansiyel denklem" , denklemde en yüksek
mertebeden tüevin üssüne de "diferansiyel denklemin
derecesi" denir.
x
xy'+y'-e y''=0 ... 2. mertebe ve 1. derecedenden,
Çözüm:
a) y=sin x in özel çözüm olup olmadığını araştıralım.
y=sin x ⇒ y' = cos x ⇒ y''= -sinx
y''+y=sin x+ (-sin x) = 0 olduğundan y=sin x bir özel
çözümdür.
2
3
(y'') = ( 1+y' )
Aynı şekilde b) c) d) e) ve f) şıklarının, diferansiyel
denklemi sağlayan özel çözümler olduğu görülebilir.
Örnekler:
2
x y-y'x=0 ... 1. mertebe ve 1. dereceden,
2. mertebe ve 2. derecedenden,
2
3
y''+x(y' ) =(y''' ) -yy'
g) y=a sin x + b cos x ⇒ y'=a cosx-b sin x
⇒y'' = -a sin x -b cos x
3. mertebe ve 2. derecedenden
diferansiyel denklemlerdir.
y''+y = -a sin x -b cos x + a sin x + b cos x = 0
olup, gerçekten y=a sin x + b cos x fonksiyonu
y''+y=0 diferansiyel denkleminin genel çözümüdür.
Diferansiyel Denklemlerin Çözümleri
h) x=0 için y=a sin 0 +b cos 0 = 5 ⇒ b = 5
Bir diferansiyel denklemde yerine konduğunda, denklemi
sağlayan bağıntılara diferansiyel denklemin bir çözümü
denir.
x=π/3 için y' = a cos π/3 -b sin π/3 =
bulunur.
Bir diferansiyel denklemi sağlayan farklı biçimlerde
bağıntı veya fonksiyonlardan her birine özel çözüm,
özel çözümlerden oluşan en kapsamlı çözüme de genel
çözüm, diferansiyel denklemi etkilemeyen sabit
değerlere de integral sabitleri denir.
3 ⇒ a=7 3
Buna göre istenen özel çözüm;
y = 7 3sin x + 5 cos x bulunur.
Alıştırmalar:
Not1:
Bir diferansiyel denklemin genel çözümünde bulunan
integral sabitlerinin sayısı, denklemin mertebesi
kadardır.
Aşağıdaki çözümlerin ait oldukları diferansiyel
denklemleri sağladıklarını gösteriniz.
Diferansiyel Denklem
Çözümü
1.
Örneğin 1. mertebeden bir denklemde 1 tane integral
sabiti, 2. mertebeden bir denklemde 2 tane integral
sabiti... bulunur.
2.
Not2:
Đntegral sabitleri, a,b,c...gibi harflerle gösterilebileceği
gibi, n. mertebeden bir diferansiyel denklemin genel
2 y'
y'' + x = x
y'''+2y''-y' = 2y
y= C1+2x+ C2 x
x
-x
y= C1e + C2e +
C3e
3.
3
dy
dy
2
( dx ) -4xy dx + 8y = 0
4.
dy
3 3
dx + xy =x y
çözümündeki sabitler C1, C2, ..., Cn biçiminde de
gösterilebilir.
Örnek:
y''+y=0 diferansiyel denklemini alalım.
2
-3x
y = C(x - C)
2
2
2
2
x
(Ce +x +1)y =1
y = C1cos 3x
5.
a) y = sin x bir özel çözüm müdür?
b) y=2009 sin x bir özel çözüm müdür?
c) y=cos x bir özel çözüm müdür?
d) y=1453 cos x bir özel çözüm müdür?
y''+9y = 3cos 3x
+ C2sin 3x
+ 1/2 x sin 3x
3
Hasan KORKMAZ
Đzmir Fen Lisesi Matematik Öğretmeni
Diferansiyel Denklemler
Alıştırmalar:
1. Mertebeden Diferansiyel Denklemler
1. (2+y)dx-(3-x)dy=0
a) Değişkenleri Ayrılmış Diferansiyel Denklemler
C: (2+y)(3-x)=C
y'f(y)=g(x) biçimindeki denklemlerdir. Bu tür denklemleri
dy
dy
çözmek için y'=dx koyarak dx f(y)=g(x) ⇒ dyf(y)=g(x)dx
⇒ ⌠ dyf(y) = ⌠ g(x)dx + C biçiminde bulunur.
2
2
C: Cy =1+x
Örnek:
yy'= -x Diferansiyel denklemini çözelim.
dy
3. dx =
Çözüm:
dy
dy
y'=dx koyalım. ydx = -x ⇒ ⌠ ydy = ⌠ -xdx
⌡
⌡
2
2
2
C: (1 + x )(1 + y ) = Cx
⌡
2
2. xydx-(1+x )dy=0
⌡
y
2
x
⇒
2
(1 + x )xy
dy
dy
4. a(x dx + 2y) = xy dx
2
⇒ 2 = - 2 +C
2
1+y
2 2
x +y =2C bulnur.
2
2
Not1: Bu eğriler (2C=R >0) merkezi orijin olan çember
C: x y = C e
y
a
ailesidir.
Not2: 2C yerine C yazabiliriz (yani 2C → C koyabiliriz)
5. x(x+3)dy-y(2x+3)dx=0
C: y=Cx(x+3)
2 2
Böylece çözüm; x +y =C bulunur.
6.
Örnek:
yy'=p (p sabit) Diferansiyel denklemini çözelim.
C: arcsin y = ln C(x +
Çözüm:
y
2
1+x dy -
2
1-y dx=0
2
1+x )
7. dy+ytan x dx = 0
C: y = C cos x
2
dy
ydx =p ⇒ ⌠ ydy = ⌠ pdx ⇒ 2 = px+C
⌡
⌡
2
8. (1-x)dy = y dx
2
y = 2px+2C
C: yln C(1-x) = 1
Çözümde 2C → C koyarak,
b) Homojen Diferansiyel Denklemler
⇒
y
y
y'=g(x ) biçiminde ( yani y' x in bir fonksiyonu) olan
denklemlere denir. Bu tür denklemleri çözmek için
y
x =u ⇒ y=ux ; y'=u+xu' ⇒ u+xu' = g(u) Burada;
du
du
du
dx
u' = dx denip x dx = g(u)-u ⇒ g(u)-u = x
Böylece baştaki denklem değişkenleri ayrılmış bir
denkleme dönüşmüştür.
2
y = 2px+C bulunur.
Örnek:
y'(y+1) = xe
x
Diferansiyel denklemini çözelim.
Çözüm:
x
x
dy(y+1)= xe dx ⇒ ⌠ (y+1)dy = ⌠ xe dx
⌡
⌡
Örnek:
x+y
y'= x-y
2
y
x
x
2
x
⇒ 2 +y=xe - e +C ⇒ y +2y=2e (x-1)+C
4
Diferansiyel denklemini çözelim.
Hasan KORKMAZ
Đzmir Fen Lisesi Matematik Öğretmeni
Diferansiyel Denklemler
Çözüm:
y
1+x
y
x+y
y'= x-y ⇒ y'= y ⇒ y'=g(x ) homojen diferansiyel
1-x
denklem olduğu görülür.
y
du 1+u
du 1+u
x =u ⇒ y=ux koyarak y'=u+x dx = 1-u ⇒ x dx = 1-u - u
2
xdu 1+u
(1-u)du dx
du
udu
dx
⇒ dx = 1-u ⇒
2 = x ⇒
2 2 = x
1+u
1+u
1+u
3 2
2
9. (2x +y )dx+(2xy+3y )dy=0
3
2
3
C: 2x +3xy +3y =C
2
du 1+u
10. dv =
2
1+v
v+c
C: u=1-cv
2
ln(1+u )
⇒ arctan(u) -
2
y
y
⇒ arctan(x )=ln(
2
y-1
12. Herhangi bir noktasındaki eğimi 2
olan ve
x +x
1+ 2 ) + ln(x) +ln(C)
x
2 2
x +y
y
⇒ arctan(x )=ln(x
⇒
11. Herhangi bir noktasındaki eğimi -1 - y/x olan ve
A(2, 1) noktasından geçen eğrinin denklemini bulunuz.
2
C: x +2xy = 8
= ln(x) +C
x
2
y
2 2
x +y =C earctan(x )
A(1, 0) noktasından geçen eğrinin denklemini bulunuz.
C: y(1+x) = 1-x
) +ln(C)
c) Lineer Diferansiyel Denklemler
y' ve y ye göre 1. dereceden diferansiyel denklemlere
denir.
m(x)
l(x)
k(x)y'+l(x)y=m(x) ⇒ y'+ k(x) y= k(x) ⇒ y'+yf(x)=g(x)
biçimine indirgeyebiliriz. Bu tür denklemleri çözümü için
u ve v iki fonksiyon olmak üzere y=uv koyalım.
y=uv ⇒ y'=u'v+uv'
bulunur.
Alıştırmalar:
1. (x+2y)dx+(2x-3y)dy=0
2
2
C: x +4xy-3y =C
u'v+uv'+uvf(x)=g(x) ⇒ u(v'+vf(x))+u'v=g(x)
2. (3x+5y)dx+ (4x+6y)dy=0
2
C: (x+y) (x+2y)=C
v'+vf(x)=0 olacak biçimde v yi bulalım.
3. 2(x+y)dx+ydy=0
2
2
x+y
1
C: 2 ln(2x +2xy+y ) - arctan( x )=C
dv
dv
f(x)dx=φ(x)
dx = - vf(x) ⇒ v = -f(x)dx ⇒ ln(v)=⌠
⌡
y=e
4. (8y+10x)dx+(5y+7x)dy=0
2
3
C: (x+y) (2x+y) =C
6.
C: s
1-4t
1-4t
ds+2
2
+2t
1-s
1-s
2
2
Bu seçime göre diferansiyel denklem;
du φ(x)
g(x)
u'v=g(x) ⇒ dx e
=g(x) ⇒ du=
dx
φ(x)
e
5. (2x+y)dx+(x+3y)dy=0
2
2
C: 2x +2xy+3y =C
2
φ(x)
⇒ u=⌠
g(x)
⌡ eφ(x)
dx+C bulunur.
Buradan da y=e
dt=0
φ(x)
(⌠
g(x)
⌡ eφ(x)
dx+C) olur.
Örnek:
=C
xy' - y=x
7. 2z(3z+1)dw+(1-2w)dz=0
C: (2w-1)(1+3z)=3cz
2
Diferansiyel denklemini çözelim.
Çözüm:
y=uv ⇒ y'=u'v+v'u olsun.
2
2
x(u'v+v'u) - uv=x ⇒ u(xv' - v)+xvu'=x
8. (x+4y)dx+2xdy=0
3
2
C: x +6x y=C
dv dx
dv
xv' - x=0 ⇒ xdx =v ⇒ v = x ⇒ ln(v)=ln(x) ⇒ v=cx
5
Hasan KORKMAZ
Đzmir Fen Lisesi Matematik Öğretmeni
Diferansiyel Denklemler
2
Denklemin her iki yanını y ile bölelim.
dx
x
2
du 1
x(cx)u'=x ⇒ dx =c ⇒ du= c ⇒ u=c +k
y' 1 2
2
x 2 +y =x ⇒ - z'x+z=x
y
x
2
y=uv=(c +k)(cx)=x +kcx
x
2
z=uv koyalım. z'=u'v+v'u ⇒ - (u'v+v'u) +uv=x
Alıştırmalar:
dv
dv dx
dv
⇒ u(v-v'x)=0 ⇒ v-dx x=0 ⇒ v=dx x ⇒ v = x
1. xy'-2y=2x
2
C: y=Cx -2x
⇒ ln(v)=ln(cx) ⇒ v=cx
u'cxx+x
2. y'-2y+2x = 1
2x
C: y=x+Ce
2
du 2 2
du -x
dx
⇒ dx cx +x =0 ⇒ dx = 2 ⇒ du= c
cx
-x
2
1
z=cx( c +k)= -x +ckx ⇒ y= 2
-x +kx
3. xy'+3x = 2y
C: y = 3x + Cx
2
bulunur.
2
Alıştırmalar:
4. xy'+2nx=3y
C: y = nx + Cx
2
1. y' + 2y/x = 2y
3
2
C: Cx y+2xy = 1
ds
5. dt - s cotan t + (t+2) cotan t = 1
C: s = t + 2 + C sin t
3
2. y' + y/x = y
2 2
2
C: Cx y +2xy = 1
5/2
dy 2y
6. dx - x+1 = ( x + 1 )
2
7/2
2
C: y = 3 ( x + 1 )
+C(x+1)
3.xy' - y = ( x - 1 )e
x
x
C: y = e + Cx
d) Bernoulli (Lineer Şekle Đndirgenebilen)
Diferansiyel Denklemleri
ds s
sin t
4. dt + t = cos t + t
n
y'+yf(x)+y g(x)=0 biçimindeki denklemlere denir.
C
C: s = sin t + t
n
Denklemin her iki yanını y ile bölelim.
ds
5. dt + s = cos t - sin t
-t
C: s = cos t + Ce
y'
1-n
1-n
f(x)+g(x)=0 Burada z=y
dönüşümünü
n +y
y
yapalım.
-n
y'
z'
z'
z'=(1-n)y'y ⇒ n =1-n ⇒ 1-n +zf(x)+g(x)=0
y
ds
t
6. dt - scotan t = e + C sin t
Böylece denklem z ye göre bir lineer homojen denkleme
dönüşür.
Aşağıdaki alıştırmalarda x ve y nin verilen değerleri ile
belirtilen özel çözümlerini bulunuz.
Örnek:
2 2
xy'+y=x y
2 x
7. y' - 2y/x = x e ; x = 1 için y = 0
Diferansiyel denklemini çözelim.
2 x
C: y = x (e - e)
Çözüm:
1
8. y' + 2y/x = 2 ; x = 1 için y = 2
x
y'
1-2 -1 1
z=y
=y = y dönüşüm yapalım. z'= - 2
y
6
Hasan KORKMAZ
Đzmir Fen Lisesi Matematik Öğretmeni
Diferansiyel Denklemler
x+1
C: y =
2
x
3
z'
2 2 1
2 1 2
⇒ (1+x )(-2x - 2 ) -x (-x +z )+(-x +z ) +2x=0
z
dy
9. dx + y tan x = sec x ; x = 0 için y = -1
3
2 2
2 2
⇒ [(1+x )(-2x)-x (-x ) + (-x ) +2x]
C: y= sin x - cos x
3
z'
21
21
1
+ (1+x )(- 2 )-x z -2 x z + 2 = 0
z
z
dy
2y
2
10. dx - x + 1 = ( x + 1 ) ; x = 0 için y = 1
2
4
C: 2y = ( x + 1 ) + ( x + 1 )
Köşeli parantez içi 0 olduğundan;
21
21
1
3
z'
(1+x )(- 2 )-x z -2 x z + 2 = 0
z
z
2
y ln x - y
olan ve
x
P(1, 1) noktasından geçen eğrinin denklemini bulunuz.
C: y(1 + ln x) = 1
elde edilir. Bu eşitliği z
e) Ricatti Diferansiyel Denklemi
z=uv koyalım. z' =uv' + u'v
2
y'+yf(x)+y g(x)+h(x)=0 biçimindeki denklemlere denir.
3
2
⇒ (1+x )( uv' + u'v ) + 3x uv -1 = 0
11. Herhangi bir noktasındaki eğimi
2
ile çarpalım:
3
2
(1+x )z' + 3x z -1 = 0 (lineer denklemi) bulunur.
3
2
3
⇒ u((1+x )v' + 3x v) + (1+x )u'v - 1 = 0
Bu tip denklemler ancak y1 gibi bir özel çözümün
3
2
(1+x )v' + 3x v = 0 olacak biçimde v fonksiyonunu
bilinmesi halinde çözülebilir. Gerçekten bir çözüm y1 ise
1
y=y1 + z koyarak
' z'
' z'
1
1 2
y'=y1 - 2 ⇒ y1 - 2 +(y1 + z )f(x)+(y1 + z )
z
z
bulalım:
2
3
2
3 dv
(1+x )v' + 3x v = 0 ⇒ (1+x ) dx + 3x v = 0
g(x)+h(x)=0
2
3x dx
dv
3
⇒ v =3 ⇒ ln v = ln C-ln (1+x )
1+x
2y1
g(x)
'
2
z' 1
[y1 +y1 f(x)+y1 g(x)+h(x)] - 2 + z f(x)+ z g(x)+ 2 =0
z
z
⇒ v=
'
2
y1 +y1 f(x)+y1 g(x)+h(x)=0 (y1 özel çözüm olduğundan)
3
3
(1+x )u'v - 1 = 0 ⇒ (1+x )u'
2y1
z' 1
g(x)
- 2 + z f(x)+ z g(x)+ 2 =0
z
z
du 1
1
⇒ dx = C ⇒ u = Cx + K
⇒ - z'+z[f(x)+2y1 g(x)+g(x)]=0
⇒ z = uv =
C
1+x
3
1+x
C
1+x
lineer diferansiyel denklemin çözümüdür.
⇒ y = -x
Örnek:
3
2
2
(1+x )y' - x y+y +2x=0 denkleminin bir özel çözümü
y= - x
2
C
2
1
3 ( Cx + K ) değeri,
1
+ z de yerine konursa,
2
1 - KCx
olduğunu gerçekleyip denklemi çözelim.
3 -1=0
y = KC + x
Çözüm:
3
2
2 2
4 4 4
(1+x )(-2x) -x(y )+(-x ) +2x= -2x -2x +x +x +2x=0
KC → C konursa,
Denklem Ricatti denklemidir.
1
y=y1 + z dönüşümünü kullanalım.
z'
2 1
y= -x + z ⇒ y'= -2x - 2
z
1 - Cx
y= C+x
7
2
bulunur.
Hasan KORKMAZ
Đzmir Fen Lisesi Matematik Öğretmeni
Diferansiyel Denklemler
Alıştırmalar:
2 2
Son bulduğumuz toplam diferansiyel; z = x +y -xy
fonksiyonun toplam diferansiyeli olduğu görülebilir.
Aşağıda bir özel çözümü verilen Ricatti diferansiyel
denklemlerinin genel çözümlerini bulunuz.
2 2
O halde denklemin genel çözümü; x +y -xy = C dir.
2
1. xy'+y -1 = 0 ; y = 1 bir özel çözüm.
2
x +C
C: y =
Örnek:
2
y
2y
( x - 1 )y' - 2 = 0 diferansiyel denklemini çözelim.
x
2
x -C
2
2. y'+y+y = 2 ; y = 1 bir özel çözüm.
Çözüm:
Ce
3x
C: y =
Ce
+2
3x
2
2
y
y
2y
2y
( x - 1 )y' - 2 = 0 ⇒ ( x - 1 )dy - 2 dx = 0
x
x
-1
2
2
2
3. 2x y' -2xy+y = x ; y=x bir özel çözüm.
y
Son bulduğumuz toplam diferansiyel; z = x - y
fonksiyonun toplam diferansiyeli olduğu görülebilir.
O halde denklemin genel çözümü;
2
y
2
x - y = C ⇒ y -xy = Cx bulunur.
2
x +C
C: y = x - C
3
2
2
4. (1+x )y'+x y+2xy +1 = 0 ;y = -x bir özel çözüm.
1 - Cx
y= 2
x +C
y
Alıştırmalar:
2
5. y' 1-x
2
x y
3+
2
1-x
3+
2x
1-x
3 = 0 ; y = -x
2
Aşağıdaki toplam diferansiyellerin genel çözümlerini
bulunuz.
bir özel
2
1. (sin y)dx + ( x cos y + 3 y )dy = 0
çözüm.
3
C: xsin y + y = C
2
Cx + 1
C: y = - x + C
2. sinx cosy dx + cosx sinydy = 0
cosx cosy = C
f) Toplam Diferansiyellerin Đntegrasyonu
2 y
3 y
3. (3x e -2x)dx + (x e - sin y)dy = 0
z = f(x,y) biçiminde iki değişkenli bir fonksiyonun toplam
diferansiyeli;
dz =
3 y
2
C: x +e + cos y - x = C
∂f
∂f
dx +
dy dir.
∂x
∂y
3
x
2
4. (3x ln y)dx + y dy = 0
Şayet 1. mertebeden bir diferansiyel denklemi;
∂f
∂f
dx +
dy = 0 biçimine getirilebilirse; bu denklemin
∂x
∂y
genel çözümü; f(x,y) = C dir.
3
C: x ln y = C
3
3
5. (y + x )dx + (x + by )dy = 0 (b sabit)
Örnek:
(2y - x)y' + 2x - y = 0 diferansiyel denklemini çözelim.
4
4
C: 4xy + x + by = C
Çözüm:
2
2
2
6. ( y cos (xy ) + a)dx + (2x cos (xy ) + 3y )ydy = 0
dy
(2y - x)y' + 2x - y = 0 ⇒ (2y - x)dx + 2x - y = 0
⇒ (2y - x)dy + (2x - y)dx = 0
(a sabit)
8
Hasan KORKMAZ
Đzmir Fen Lisesi Matematik Öğretmeni
Diferansiyel Denklemler
2
3
C: sin (xy ) + ax + y = C
Çözüm:
3
d y
2x
1
7. y dy + ( 2ln 5y + x )dx = 0
C: ln x + 2xln 5y = C
2
a)
dx
⌡
1 2x
1 2x 1
2
⇒ y= ⌠( 4 e + C1x+ C2)dx = 8 e + 2C1x + C2x+C3
⌡
n
d y
1 2x 1
2
y = 8 e + 2C1x + C2x+C3 bulunur.
= f(x) Biçimindeki Diferansiyel Denklemler:
1 2.ln6
1 ln 36
b) x=ln 6 için y''= 2 e
+ C1=2 e
+C1=17
n
(n) d y
y = n = f(x)
dx
n-1
d y
(n-1)
⇒y
=
dx
n-1 = ⌠
⌡
2x
1 2x
1 2x
⇒ y'= ⌠( 2 e + C1)dx = 4 e + C1x+ C2
2. Yüksek Mertebeden Diferansiyel Denklemler:
n
⇒ y'''= e
⌡
2
2 2
C: y(sin x - x ) = C - x
dx
2x
2x
1 2x
⇒ y''= ⌠e dx = 2 e + C1
2
8. (2xycos x - 2xy + 1)dx + (sin x - x )dy = 0
a)
3=e
⇒ 18 + C1=17 ⇒ C1=1
1 2x
1
x=0 için; y'= 4 e + C1x+ C2= 4 + 17.0 + C2=2
7
⇒ C2 = 4
n
d y
dx
f(x)dx
n=⌠
⌡
= f1(x) + C1
2
1 2x 1
x= için; y= 8 e + 2C1x + C2x+C3
1
25
y= 8 + 0 + 0 + C3 = 8
n-2
n-1
d y
(n-2) d y
⇒y
=
= ( f1(x) + C1) dx
n-2 = ⌠
⌡ dxn-1 ⌠
⌡
dx
⇒ C3 = 3 bulunur.
= f2(x) + C1x+C2
Buna göre istenen şartlara uyan özel çözüm;
...
Böylece ardışık olarak n defa integral alınarak, n tane
1 2x 1 2 7
y = 8 e + 2x + 4 x + 3 bulunur.
(C1, C2, ..., Cn) serbest sabitli genel çözüm elde edilir.
Đstenirse, n tane özel değer bilgisi verildiğinde,
C1, C2, ..., Cn sabitleri bulunarak, özel çözümler de
2
d y
bulunabilir.
b)
Örnek:
3
d y
dx
3=e
2x
2
dx
= f(y) Biçimindeki Diferansiyel Denklemler:
Bu biçimdeki denklemleri çözmek için aşağıdaki yol
izlenir:
diferansiyel denkleminin;
2
d y
a) Genel çözümünü;
25
b) x=0 için y= 8 , x=0 için y'=2 ve x=ln 6 için y''= 17
şartlarını sağlayan özel çözümü bulalım.
dx
dy'
2 = f(y) ⇒ dx = f(y) ⇒ dy' = f(y)dx
⇒ y' dy' =f(y)y'dx ⇒ y' dy' = f(y) dy
⇒ ⌠ y' dy' = ⌠f(y) dy
⌡
9
⌡
Hasan KORKMAZ
Đzmir Fen Lisesi Matematik Öğretmeni
Diferansiyel Denklemler
1
2
⇒ 2 (y') = F(y)+C1
C1 cos 7C2
⇒y=
Buradan y' çekilir ve bir daha integral alınarak y
fonksiyonuna ulaşılır.
7
C1 sin 7C2
sin 7x +
7
cos 7x
Örnek:
C1 cos 7C2
2
d y
dx
→ C1 ve
7
2 + 49y = 0 diferansiyel denklemini çözelim.
C1 sin 7C2
7
→ C2 koyalım
Buna göre denklemin genel çözümü;
Çözüm:
2
d y
dx
y = C1sin 7x + C2 cos 7x bulunur.
2 + 49y = 0
Not:
2
d y
dy'
dx + 49y = 0 ⇒ dy' = - 49ydx
dx
2
2 + a y = 0 biçimindeki denklemlerin genel çözümü;
⇒ y'dy' = - 49y y'dx
y = C1sin ax + C2 cos ax şeklinde genellenebilir.
⇒ y'dy' = - 49y dy
Alıştırmalar:
1
2
49 2
⇒ 2 (y') = C1 - 2 y
1. y'' = x
2
2
⇒ (y' ) = 2 C1- 49y
1 4
C: y = 12 x + C1x + C2
2
2 C1- 49y
⇒ y' =
2. y'' = 4 sin 2x
C: y = -sin 2x + C1x + C2
2 C1 → C1 koyalım.
⇒
dy
2
C1- 49y
1
⇒ 7 arcsin
⇒ arcsin
7y
C1
⇒
7y
C1
1
4. y'' =
(y+1)
C1
7y
2x
1 2x
C: y = 4 e C1x + C2
= dx
7y
C1
⇒
3. y'' = e
2
C1- 49y
dy
⇒ dx =
2
2
= x + C2
C: C1( y + 1 )
= 7x +7C2
2
= ( C1 x + C 2 )
2
+1
a
5. y'' = 2
y
2
2
C: C1y = a + ( C1x + C2 )
= sin( 7x +7C2 )
6. y'' = x + sin x
1 3
C: y = 6 x - sin x + C1x+ C2
=sin 7x.cos 7C2 + cos 7x.sin 7C2
7. y'' = 7 cos 8x
10
Hasan KORKMAZ
Đzmir Fen Lisesi Matematik Öğretmeni
Diferansiyel Denklemler
7
C: y = - 64 cos 8x + C1x+ C2
Gerçekten bu fonksiyonu incelediğimiz diferansiyel
denklemde yerine koyarak denklemi sağladığını
kolaylıkla görebilirz.
8. y'' = 8y
4 3
C: y = 3 x + C1x+ C2
2
ii) r +p r +q = 0 karakteristik denkleminin iki
karmaşık sayı kökünün olması hali:
Bu durumda kökler birbirinin eşleniği olmak zorundadır
c) p ve q katsayıları sabit olan
2
d y
dy
+p
+ qy=0
2
dx
dx
Örneğin, r1=a+bi ve r2 = a-bi olsun.
Bu değerleri genel çözümde yerine koyalım;
(a+bi)x
(a-bi)x
r x
r x
+ C2e
y = C1e 1 + C2e 2 = C1e
Biçimindeki (Đkinci Mertebeden Lineer) Diferansiyel
Denklemler:
Önce, bu denklemi sağlayan y=e
rx
ax -bix
ax bix
y = C1e .e + C2 e .e
biçimindeki
fonksiyonların r sabit değerlerini bulalım.
y=e
2
d y 2 rx
rx
dy
⇒ dx = r e ⇒ 2 = r e
dx
y=e
Bu değerleri denklemde yerine koyalım;
y=e
y=e
rx
ax
ax
ax
-bix
bix
)
( C1e + C2e
( C1(cos bx +isin bx) + C2(cos bx - isin bx))
( (C1+ C2) cos bx +(C1- C2)i.sin bx)
2
d y
dx
dy
2 rx
rx
rx
2 + p dx + qy=0 ⇒ r e +p r e +qe = 0
A = C1+ C2, B = (C1- C2)i alırsak, genel çözüm;
rx 2
rx
⇒ e ( r +p r +q ) = 0, e ≠0 olduğundan
y=e
2
r +p r +q = 0
ax
( A cos bx + B sin bx) olarak bulunur.
bulunur.
Not:
Matematikte çok önemli sayılardan biri olan e sayısı
x
(e=2,7182818284590…) ile ilgili e fonksiyonunun seriye
Bu denkleme ikinci mertebeden lineer diferansiyel
denklemin, karakteristik denklemi denir.
açılımı;
Karakteristik denklemin köklerinin reel sayı veya
karmaşık sayı olup olmamasına göre çözümleri
inceleyelim.
2
3
4
x
x
x
x x
e =1+ +
+
+
+ … dir.
1! 2! 3! 4!
2
i) r +p r +q = 0 karakteristik denkleminin r1 ve r2
Aşağıda sin x ve cos x (x radyan) fonksiyonlarının
açılımları verilmiştir.
gibi iki farklı reel kökünün olması hali:
r x
r x
Bu durumda, y = e 1 ve y = e 2 fonksiyonları
3
5
7
x
x
x x
sin x = +
+-…
1! 3! 5! 7!
diferansiyel denklemin iki özel çözümü olup, denklemin
genel çözümü;
2
x
cos x = 1 -
r x
r x
y = C1e 1 + C2e 2 biçimindedir.
2!
4
x
+
4!
6
x
-
6!
+-…
2
3 4
x x
x
x x
e = 1 + 1! + 2! + 3! + 4! + … serisinde
11
x yerine ix koyalım;
Hasan KORKMAZ
Đzmir Fen Lisesi Matematik Öğretmeni
Diferansiyel Denklemler
2
3
2
d y
4
(ix) (ix)
ix
ix (ix)
e = 1 + 1! + 2! + 3! + 4! + …
dx
dy
2 -2 dx -3y=0 diferansiyel denklemini çözelim.
Çözüm:
2
3 4
ix
ix x ix x
e = 1 + 1! - 2! - 3! + 4! + …
Karakteristik denklemin köklerini bulalım;
2
r -2r-3=0 ⇒ (r-3)(r+1)=0
2
4
6
3
5
x
x
x
x
x x
ix
e = 1- 2! + 4! - 6! + - … +i(1! - 3! + 5! - + …)
r1=3 ve r2= -1
Đki reel kök var olduğundan genel çözüm;
ix
e =cos x + i sin x (Euler Formülü) bulunur.
y = C1e
Buna göre;
bix
-bix
e = cos bx +isin bx ve e
= cos bx +isin bx
dir.
3x
+ C2e
-x
bulunur.
Örnek:
2
iii) r +p r +q = 0 karakteristik denkleminin reel bir
2
d y
kökünün (köklerin çakışık) olması hali:
dx
2
Bu durumda r +p r +q = 0 denkleminin diskriminantı
Çözüm:
dy
2 -6 dx +10y=0 diferansiyel denklemini çözelim.
sıfırdır.
2
p
2
∆ = p -4q = 0 ⇒ q = 4 olur.
Karakteristik denklemin köklerini bulalım;
Buna göre karakteristik denklemden
Kökler eşlenik iki karmaşık sayıdır.
2
2
r -6r+10=0 ⇒ (r-3) +1 = 0 ⇒ r1=3-i ve r2= 3+i
Buna göre denklemin genel çözümü;
2
p
2
2
2
r +p r +q = r +p r + 4 = (r + p/2) = 0
y=e
r1 = r2 = - p/2 elde edilir.
ax
y=e
3x
r x
r x
Bu durumda; y = e 1 ve y=xe 1 özel iki çözüm olup
Örnek:
denklemin genel çözümü;
2
d y
dx
r x
r x
y = C1e 1 + C2xe 1
( A cos bx + B sin bx) formülünden,
( A cos x + B sin x)
bulunur.
dy
2 -10 dx +25y=0 diferansiyel denklemini çözelim.
Çözüm:
Karakteristik denklemin köklerini bulalım;
r x
y= e 1 ( C1 + C2x)
2
2
r -10r+25=0 ⇒ (r-5) = 0 ⇒ r = 5 tek reel kök var.
y=e
-p/2
( C1 + C2x ) olur.
Buna göre denklemin genel çözümü;
Örnek:
y=e
12
5x
( C1 + C2x ) bulunur.
Hasan KORKMAZ
Đzmir Fen Lisesi Matematik Öğretmeni
Diferansiyel Denklemler
Alıştırmalar:
15. y'' + 8y' + 25y = 0 ; x = 0 için y = 4 ve y' = -16
-4x
C: y = 4 e
cos 3x
1. y'' - y' -2y = 0
-x
2x
C: y = C1e + C2e
16. y'' - 6y' + 10y = 0 ; x = 0 için y = 1 ve y' = 4
3x
C: y = e ( cos x + sin x )
2. y'' - 4y' + 3y = 0
x
3x
C: y = C1e + C2e
d) Katsayıları sabit n. Mertebeden Lineer
Diferansiyel Denklemler:
3. y'' - 5y' + 4y = 0
x
4x
C: y = C1e + C2e
p1, p2, ..., pn sabit olan;
n
n-1
n-2
d y
d y
d y
dy
n + p1 n-1 + p2 n-2 + ... + pn-1dx + pny = f(x)
dx
dx
dx
4. y'' - 4y' + 4y = 0
2x
2x
C: y = C1e + C2xe
biçimindeki denklemlere Katsayıları sabit n.
Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklem denir.
5. y'' + 5y' = 0
C: y = C1 + C2e
-5x
n
n
d y
Not: Bazı kaynaklarda D =
dx
6. y'' + 36y = 0
n olduğu farzedilerek bu
denklem;
n
n-1
n-2
( D + p1D
+ p2 D
+ ... + pn-1D + pn )y = 0
biçiminde gösterilir.
C: y = C1cos 6x + C2sin 6x
7. y'' + 14y' + 49y = 0
-7x
-7x
+ C2xe
C: y = C1e
f(x) = 0 olması durumu (ikinci tarafı sıfıra eşit
n.mertebeden lineer denklem) ve f(x)≠0 olması durumu
olmak üzere bu denklemi iki halde inceleyeceğiz.
8. y'' + 2y' + 2y = 0
-x
C: y = e (C1 cos x + C2 sin x)
9. y'' + 6y' + 58y = 0
-3x
C: y = e ( C1cos 7x + C2sin 7x)
Aşağıdaki problemlerde verilen şartları sağlayan özel
çözümleri bulunuz.
n
d y
A)
dx
10. y'' + 3y' + 2y = 0 ; x = 0 için y = 0 ve y' = 1
-x -2x
C: y = e -
n
d
+p
1
n-1
y
dx
n-1
d
+ p
n-2
y
2 n-2
dx
+ ... + p
dy
+p y=0
n-1dx
n
Katsayıları sabit n. Mertebeden (ikinci tarafı sıfıra
eşit) Lineer Diferansiyel Denklemin Çözümü:
rx
Bu denklemi sağlayan y=e biçimindeki fonksiyonların r
2
11. y'' + n y = 0 ; x = 0 için y = a ve y' = 0
C: y = a cos nx
sabit değerlerini bulalım.Bunun için denklemde y=e
2
12. y'' - n y = 0 ; x = 0 için y = 2 ve y' = 0
C: y = e
nx
+e
koyalım.
-nx
n
n-1
n-2
rx
( r + p1r
+ p2 r
+ ... + pn-1r + pn ) e = 0
13. y'' + 2y' - 8y = 0 ; x = 0 için y = 0 ve y' = 24
C: y = 4( e
2x
rx
rx
e ≠0 olduğundan;
-4x
-e
)
n
n-1
n-2
r + p1r
+ p2 r
+ ... + pn-1r + pn = 0 denklemi
elde edilir.Buna diferansiyel denklemin karakteristik
denklemi denir.
14. y'' - 8y + 16y = 0 ; x = 0 için y = 0 ve y' = 1
4x
C: y = xe
13
Hasan KORKMAZ
Đzmir Fen Lisesi Matematik Öğretmeni
Diferansiyel Denklemler
n. mertebeden lineer diferansiyel denklemi çözmek
için aşağıdaki yol izlenir;
4
d y
dx
n
n-1
n-2
i) r + p1r
+ p2 r
+ ... + pn-1r + pn = 0
karakteristik denkleminin tüm kökleri bulunur.
3
d y
4-4
dx
2
d y
3 + 10
dx
dy
2 -12 dx + 5y=0
diferansiyel denklemini çözelim.
Çözüm:
ii) Karakteristik denklemin kökleri için aşağıdaki kurallar
uygulanır;
Diferansiyel denklemin karakteristik denklemini yazalım:
4 3
2
r -4r +10r -12r + 5 = 0
r
j
a) Farklı her r reel kökü , e özel çözümününü verir,
j
Karakteristik denklemin kökleri; 1, 1,1±2i dir.
b) Farklı her a ± bi (eşlenik) karmaşık sayı çifti,
ax
ax
e cos bx ve e sin bx özel çözümünü verir,
Diferansiyel denklemin özel çözümleri;
x
x x
x
e , x e , e cos 2x, e sin 2x dir.
c) m defa tekrarlanan çok katlı kök , a) veya b) deki
2
m-1
çözümlerinin 1, x, x , ..., x
ile çarpılmaları ile elde
Buna göre denklemin genel çözümü;
edilen özel çözümlerini verir.
x
x
x
x
y = C1 e + C2 x e + C3 e cos 2x + C4 e sin 2x
iii) Bu şekilde bulunan n tane bağımsız özel çözümün
x
x
y = ( C1 + C2 x ) e + (C3cos 2x + C4sin 2x) e
her birini C , C , ... ,C keyfi sabitlerle çarparak toplarız.
1 2
n
Örnek:
3
d y
dx
3-3
y = ( C1 + C2 x + C3cos 2x + C4sin 2x) e
x
bulunur.
2
d y
dx
2 + 4y=0 diferansiyel denklemini çözelim.
Çözüm:
Diferansiyel denklemin karakteristik denklemini yazalım:
3
2
r - 3r + 4 = 0
Karakteristik denklemin kökleri; -1,2,2 dir.
Diferansiyel denklemin özel çözümleri;
-x 2x
2x
e , e , xe dir.
n
d y
Buna göre denklemin genel çözümü;
B)
dx
-x
2x
2x
-x
2x
y = C1 e + C2e +C3 xe = C1 e + (C2+C3 x)e
n
n-1
d
y
+p
1
dx
n-1
n-2
d
y
+ p
2
dx
n-2
+ ... + p
dy
+ p y = f(x)
n-1dx
n
Katsayıları sabit n. Mertebeden (ikinci tarafı x in bir
fonksiyonu olan) Lineer Diferansiyel Denklemin
Çözümü:
-x
2x
bulunur.
y = = C1 e + (C2+C3 x)e
Sabit katsayılı;
n
n-1
n-2
d y
d y
d y
dy
+ p1
+ p2
+ ... + pn-1 + pny = f(x)
n
n-1
n-2
dx
dx
dx
dx
biçimideki n. mertebeden bir diferansiyel denklemin genel
çözümlerini bulmak için aşağıdaki yol izlenir:
Örnek:
14
Hasan KORKMAZ
Đzmir Fen Lisesi Matematik Öğretmeni
Diferansiyel Denklemler
n
n-1
n-2
d y
d y
d y
dy
i)
+ p1
+ p2
+ ... + pn-1 + pny = 0
n
n-1
n-2
dx
dx
dx
dx
Ohalde denklemin genel çözümü bulduğumuz iki çözüm
toplanarak;
1 2x
y = C1cos 2x + C2 sin 2x + 2 e
olarak bulunur.
diferansiyel denkleminin y=u genel çözümü ( bütünler
çözümü) bulunur.
ii) Denklemin sağ tarfındaki terimlere karşılık gelen bir özel
çözümü bulunur.Bu özel çözüm bulnurken aşağıdaki
maddelere dikkat etmeliyiz.
Örnek:
y'' + 4y' + 4y = 6 sin 3x diferansiyel denklemini çözelim.
a) f(x) fonksiyonunda n. dereceden bir polinom varsa
özel çözümde de n. dereceden bir polinom alabiliriz.
Çözüm:
i) Önce, y'' + 4y' +4 = 0 denklemini çözelim.
2
Bu denklemin karakteristik denklemi; r + 4r + 4 = 0 dir.
b) f(x) fonksiyonunda sin px, cos px veya bunların toplam
veya farkı biçiminde terimler için özel çözümde;
a sin px + b cos px biçiminde fonksiyon alabiliriz.
c) f(x) fonksiyonunda e
px
Karakteristik denklemin kökleri -2,-2 olduğundan
-2x
-2x
bütünler çözüm y = C1e
+ C2 xe
-2x
y = ( C1e + C2 x ) e dir.
gibi terimler varsa; özel
çözümde bunlara karşılık a e
px
biçiminde fonksiyonlar
alabiliriz.
ii) Özel çözüm y = a sin 3x + b cos 3x biçiminde
olmalıdır.
iii) Eğer ii) nin a) b) veya c) şıklarındaki terimlerden
herhangi biri bütünler çözümde mevcutsa, bu terimleri hiç
biri bütünler çözümde bulunmayacak şekle getirmek için x
ile veya x in (yeteri kadar) kuvvetleriyle çarparız.
Bunu denklemde yerine koyalım;
y = a sin 3x + b cos 3x ⇒ y' = 3a cos 3x - 3b sin 3x
iv) Özel çözümün varsayılan biçimini yazarak gerekli
işlemler yapılır ve ilgili katsayıları belirleyerek y = v özel
çözümü buluruz.
y'' = -9a sin 3x - 9b cos 3x
(-9a sin 3x - 9b cos 3x ) + 4(3a cos 3x - 3b sin 3x ) +
4(a sin 3x + b cos 3x ) = 6sin 3x
v) y = u + v yi yazarak denklemin genel çözümünü
buluruz.
(-5a -12b)sin 3x + (-5b +12a)cos 3x = 6sin 3x
Örnek:
y'' + 4y = 4 e
2x
-5a -12b = 6 ve -5b +12a = 0 denklemlerinden
diferansiyel denklemini çözelim.
i) Önce, y'' + 4y = 0 denklemini çözelim.
2
Bu denklemin karakteristik denklemi; r +4 = 0 dir.
30
72
a = - 169 ve b = - 169 bulunur.
30
72
Buna göre özel çözüm y = - 169 sin 3x + - 169 cos 3x
dir.
Karakteristik denklemin kökleri 0±2i olduğundan
0
bütünler çözüm y = e (C1cos 2x + C2 sin 2x)
Ohalde denklemin genel çözümü bulduğumuz iki
çözümü toplayarak;
y = C1cos 2x + C2 sin 2x dir.
-2x 30
72
y = ( C1e + C2 x ) e - 169 sin 3x - 169 cos 3x
Çözüm:
ii) Özel çözüm y = a e
2x
biçiminde olmalıdır.
olarak bulunur.
Bunu denklemde yerine koyalım;
y=ae
2x
⇒ y' = 2a e
2x
Örnek:
⇒ y'' = 4a e
x
y'' + 2y'+y = 2 cos 2x +3x+2+3e diferansiyel denklemini
2x
çözelim.
4a e
2x
+ 4(a e
2x
)=4e
2x
⇒ 8a e
2x
=4e
2x
1
⇒a= 2
Çözüm:
bulunur.
i) Önce, y'' + 2y'+y = 0 denklemini çözelim.
2
Bu denklemin karakteristik denklemi; r +2r+1 = 0 dır.
1 2x
Buna göre özel çözüm y = 2 e dir.
Karakteristik denklemin kökleri -1,-1 olduğundan
15
Hasan KORKMAZ
Đzmir Fen Lisesi Matematik Öğretmeni
Diferansiyel Denklemler
-x
-x
bütünler çözüm y = C1e + C2 xe
-x
y= (C1 + C2 x)e
dir.
2t
-2t 1
C: s=C1 e +C1 e - 4 (at+b)
2
d s
t
x
ii) Özel çözüm y = a sin 2x+b cos 2x+cx+d+f e
6.
biçiminde olmalıdır.
2t
-2t 2 t
C: C1 e +C2 e - 3 e
Bunu denklemde yerine koyup gerekli sadeleştirmeler
yapılırsa;
2 - 4s=2e
dt
2
d s
7.
8
6
3
a = 25 , b = - 25 , c = 3 , d = -4 , f = 4 bulunur.
2 - 4s= e
dt
C: s= C1 e
Böylece özel çözüm;
8
6
3 x
y = 25 sin 2x - 25 cos 2x+3x-4+ 4 e olur.
8.
dx
9.
Alıştırmalar:
2
d y
1. 2 +y = at+b
dt
2
d y
10.
dy
2 - 2 dt +x=8
dt
t
t
C: C1 e +C2 te +8
bt
2
d s
11.
bt
ae
C: y= C1 cos t+C2 sin t+ 2
b +1
ds
2t
2 - 4 dt +3s=6e
dt
t
3t
2t
C: s= C1 e +C2 e - 6e
2
d y
2
d s
2 +y=4cos t
dt
12.
ds
2t
2 +2 dt +2s=8e
dt
-t
4 2t
C: s=e ( C1 cos t+C2 sin t)+5 e
C: y= C1 cos t+C2 sin t+2tsin t
2
d y
4.
dy
2 - dt - 2y=4t
dt
-t
2t
C: y= C1 e +C2 e +1 - 2t
C: y=C1 cos t+C2 sin t+at+b
3.
2
2
d y
bulunur.
2 +y = ae
dt
2 +9y=5x
-2t 1 2t
- 4 te
5 2 10
C: C1 cos 3x+C2 sin 3x+ 9 x - 81
6
3 x
-x 8
y= (C1 + C2 x)e + 25 sin 2x - 25 cos 2x+3x-4+ 4 e
2.
+C2 e
2
d y
Buna göre denklemin genel çözümü de;
2
d y
2t
2t
2
d y
2 +y=4sin 2t
dt
13.
4
C: y= C1 cos t+C2 sin t - 3 sin 2t
dy
t
2 - 4 dt +3x=4e
dt
t
3t
t
C: y= C1 e +C2 e - 2te
2
d s
5.
2 - 4s=at+b
dt
16
Hasan KORKMAZ
Đzmir Fen Lisesi Matematik Öğretmeni
Diferansiyel Denklemler
2
d y
dy
14. 2 - 2 dt +5y=3sin 2t
dt
Not: Şayet, değişken olarak x (veya başka bir harf)
kullanmak istersek, bunu, komut içinde virgül ile
ayrılmış iki ' (kesme) arasında belirtmeliyiz.
t
3
3
C: y=e ( C1 cos 2t+C2 sin 2t)+ 5 cos t - 10 sin 2t
ii) y’ türev fonksiyonu için Dy, y’’ 2. mertebeden türev
fonksiyonu için D2y, y’’’ 3. mertebeden türev fonksiyonu
için D3y … yazmalıyız.
2
d y
15.
iii) Matlab denklemleri sembolik olarak
çözümlediğinden, denklemleri ve gerekirse özel
değerleri iki ‘ (kesme) arasına yazmalıyız.Birden fazla
ifade yazacaksak ayraç olarak aralara , (virgül)
koymalıyız.
dy
2 -2 dt +5y=3sin 2t
dt
t
13
3
C: e ( C1 cos 2t+C2 sin 2t)+ 17 cos 2t - 17 sin 2t
16. y''' - 3y'' + 3y' -y = 2 e
x
2 x 1 3 x
C: y = (C1 + C2 x + C3 x ) e + 3 x e
17. y''' + 6y'' +12y'+8y= e
x
dsolve komutu:
t bağımsız değişkenine bağlı y gibi bir fonksiyon ve
türevlerinden oluşan sembolik ifadeye karşılık gelen
diferensiyel denkleminin genel ve istenirse tanımlanmış
ilk değerlere karşılık gelen özel çözümlerini bulmaya
yarar.
1 x
2 -2x
C: y = 27 e + (C1 + C2 x + C3 x )e
4
d y
18.
dx
4 +2
2
d y
dx
2 + y = 3 cos 2x
Kullanımı:
1
C: y = 3 cos 2x + C1 cos x + C2 sin x +
dsolve(‘diferensiyel denklem’) komutuyla yazılan
diferensiyel denklemin genel çözümünü buluruz.
C3x cos x + C4x sin x
dsolve(‘diferensiyel denklem’,’özel değer1’,’özel
değer2’, …) komutuyla yazılan diferensiyel denklemin
özel değer1, özel değer2, … özel değerlerine karşılık
gelen özel çözümünü buluruz.
Diferansiyel Denklemlerin Çözümlerinin Bilgisayar
Uygulaması:
Not 1: Sonuçların daha düzenli görüntsünü almak için,
dsolve komutundan önce pretty komutunu
kullanabilirsiniz.
Bir çok matematik problemini, bilgisayarın desteğini
alarak kolayca çözebiliriz.
Not 2: Daha geniş açıklama için Matlab’ın komut
satırında;
>>help dsolve
yazıp (Enter) tuşuna basınız.
Bunun için matematik desteği veren uygun bir bilgisayar
programı kullanmalıyız.Bu amaca yönelik bir çok
program üretilmiştir.Bunlardan başta gelenlerden birisi
de Matlab programıdır. Matlab'ın kullanımıyla ilgili bilgi
edinmek ve çözümlü örneklerini incelemek için,
Đzmir Fen Lisesi web sayfasının;
http://www.ifl.k12.tr/projedosyalar/dosyalar.htm
bağlantısından matlab.pdf dosyasını indirebilirsiniz.
Örnek 1:
3
xy’-2y=x -2x+8 diferensiyel denkleminin;
Matlab ile Diferansiyel Denklemleri de çözebiliriz.
Matlab’da bir Diferansiyel denklemin genel ve belirli
şartlara uyan özel çözümlerini buldurabiliriz.
a) Genel çözümünü bulduran,
b) x=1 için y= -6 değerini veren özel çözümü bulduran,
c) Sonuçların ekranda düzenli görünmesini sağlayan,
d) Sonucu x değişkenine bağlı olarak görüntüleyen,
e) Sonuc a değişkenine bağlı olarak görüntüleyen
komutları yazalım.
Bunun için aşağıdaki kurallara dikkat etmeliyiz.
Çözüm:
i) Matlab y gibi bir fonksiyonun varsayılan değişkenini x
değil t olarak kabul etmektedir.Yani diferensiyel
denklemimizi yazarken, serbest değişken için t
kulanmalıyız.
a) dsolve(‘t*Dy-2*y=t^3-2*t+8’)
b) dsolve(‘t*Dy-2*y=t^3-2*t+8’,’y(1)=-6’)
17
Hasan KORKMAZ
Đzmir Fen Lisesi Matematik Öğretmeni
Diferansiyel Denklemler
c) pretty(dsolve(‘t*Dy-2*y=t^3-2*t+8’,’y(1)=-6’))
d) pretty(dsolve('x*Dy-2*y=x^3-2*x+8','x'))
e) pretty(dsolve('a*Dy-2*y=a^3-2*a+8','a'))
Ekranda a) nın sonucu; t^3-4+2*t+t^2*C1
b)
b) nin sonucu; t^3-4+2*t-5*t^2
1
2/t - ---2
t
c) nin sonucu;
3
2
t -4+2t-5t
d) nin sonucu;
c)
3
2
x - 4 + 2 x + x C1
e) nin sonucu;
1
- 3/7 1/t + 2/7 ---2
t
3
2
a - 4 + 2 a + a C1
Örnek 3:
biçiminde görülür.
Y’’’+4y’=48sin4x diferensiyel denkleminin;
Örnek 2:
a) Genel çözümünü bulduran,
2
x y’’+4xy’+2y=0 diferensiyel denkleminin;
b) x=0 için y=1, x= 0 için y’= 0 ve x=π/4 için y’’’=-4
değerini veren özel çözümünü bulduran komutları
yazalım.
a) Genel çözümünü bulduran,
b) x=1 için y=1 ve x= -2 için y= -5/4 değerini veren özel
çözümünü bulduran,
c) x=-1 için y’=1 ve x=2 için y’’=0değerini veren özel
çözümünü bulduran komutları yazalım.
Çözüm:
a) pretty(dsolve('D3y+4*Dy=48*sin(4*t)'))
b) pretty(dsolve('D3y+4*Dy=48*sin(4*t)','y(0)=1',
'Dy(0)=1','D3y(pi/4)=-4'))
Çözüm:
a) pretty(dsolve(‘t^2*D2y+4*t*Dy+2*y=0’))
Ekran Görüntüleri:
a)
2
2 cos(2 t) - 1 + C1 + C2 sin(2 t) + C3 cos(2 t)
b) pretty(dsolve(‘t^2*D2y+4*t*Dy+2*y=0’,’y(1)=1’,’y(-2)=-5/4’))
c) pretty(dsolve(‘t^2*D2y+4*t*Dy+2*y=0’,’Dy(-1)=1’,’D2y(2)=0’))
Ekran Görüntüleri:
a)
b)
C1 C2
---- + ---t
2
t
2
2 cos(2 t) - 1/2 + 1/2 sin(2 t) - 1/2 cos(2 t)
Faydalanılan Kaynaklar:
1. Matematik Dersleri, Prof. Dr. Lutfi BĐRAN Đstanbul Ü. Fen Fakültesi - Şirketi Mürettibiye Basımevi - Đstanbul 1970
2. Diferensiyel ve Đntegral Hesap, W.A. GRANVILLE - Şirketi Mürettibiye Basımevi - Đstanbul 1970
3. Diferansiyel Denklemler, Uygulamaları ve Çözüm Tekniği , Prof. Dr. Murrav R. SPIEGEL - Çağlayan Kitabevi -1975
4. http://www.ifl.k12.tr/projedosyalar/dosyalar.htm adresinde tumevarim-diziler dosyası.
5. http://www.ifl.k12.tr/projedosyalar/dosyalar.htm adresinde matlab dosyası.
18
Hasan KORKMAZ
Đzmir Fen Lisesi Matematik Öğretmeni

Download Report