İÇİNDEKİLER
HARFLİ İFADELER
BASİT EŞİTSİZLİKLER
Harfli İfadeler ve Elemanları .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Eşitsizlik Sembolleri ve İşaretin Eşitsizlik İfadesi . . . . . 53
Benzer Terim .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Eşitsizlik Yönü .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Harfli İfadenin Terimlerini Toplayıp Çıkarma .. . . . . . . . . . . . 3
Aralık Kavramı ve Eşitsizlik Çözümü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Harfli İfadelerin Terimlerini Çarpma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Bilinenler Bir Tarafa, Bilinmeyenler Diğer Tarafa .. . . . . 56
Harfli İfadelerde Parantez Açma .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Kesirli Eşitsizlikler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Benzer Terimle Karşılaşma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
İki Bilinmeyenli Eşitsizlikler .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
İç İçe Parantezler .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Eşitsizliklerde En Büyük ve En Küçük . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Parantezle Parantezin Dağılımı .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Uygulama 10 – 11 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Ortak Çarpan Parantezi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Sayı İfadelerinde Ortak Çarpan Parantezi . . . . . . . . . . . . . 10
Parantezli Ortak Çarpan .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Harfli İfadelerin Kesri ve Bölümü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Tekrar Zamanı
Çözümlü Test 1 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Çözümlü Test 2 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Harfli İfadelerde Basitleşme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Harfli İfadelerde Sadeleşme .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Parantezli Sadeleşmeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
MUTLAK DEĞER
İşaret Değiştiren Parantez .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Mutlak Değer Kavramı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Harfe Değer Verme .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Mutlak Değerin Açılımı – I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Uygulama Zamanı 1 – 2 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Mutlak Değerin Açılımı – II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Mutlak Değer İçi İşlemler .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
DENKLEMLER
Denklem ve Denklem Çözme .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Bilinenler Bir Tarafa, Bilinmeyenler Diğer Tarafa .. . . . . 23
Kesirli Denklemler .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Paydası Bilinmeyenli Denklemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Olacağı Belli Kesirli Denklemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Denklemlerde Basitleşme ve Sadeleşme . . . . . . . . . . . . . . 27
Köke Değer Verme / x2 lerin Basitleşmesi /
Denklem İçinde Ondalıklar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
İki Bilinmeyenli Denklemler ve
Yok Etme Yöntemiyle Denklem Çözme . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Bilinmeyenleri Birbiri Cinsinden Yazma ve
Yerine Koyma Yöntemiyle Denklem Çözme . . . . . . . . . . 30
Kesirli İki Bilinmeyenler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Denklemlerde İstenilene Ulaşma .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Uygulama Zamanı 3 – 9 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Tekrar Zamanı
Çözümlü Test 1 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Çözümlü Test 2 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Mutlak Değer Denklemleri .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Aynı Çatı Altında Mutlak Değer Denklemi .. . . . . . . . . . . . . 75
f (x) < a Eşitsizliği .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
a < f (x) Eşitsizliği .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
a < f (x) < b Eşitsizliği .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
İç İçe Mutlak Değer Denklemi .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
İç İçe Mutlak Değer Açılımı ve Eşitsizliği .. . . . . . . . . . . . . . . 80
Mutlak Değer Toplamlarının Sıfır Olması .. . . . . . . . . . . . . . 81
En Büyük En Küçük Değer .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Uygulama 12 – 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Tekrar Zamanı
Çözümlü Test 1 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Çözümlü Test 2 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Harfli İfadeler ve Elemanları
HARFLİ İFADELER
ÖRNEK
Konu Özeti
Tanım:
Harfler ve sayıların işlemlerinden oluşan matematik
cümlelerine "harfli ifadeler" ya da "cebirsel ifadeler"
denilir. (3x + 2y – 7 gibi)
x ile tanışalım: Harfli ifadelerde genellilikle x, y ve z
harfleri kullanılır.
Harf ile sayı arasındaki belirtilmeyen işlem
çarpmadır. (3x = 3 · x gibi)
Elemanları: Harfli ifadede
Değişken / Bilinmeyen: Kullanılan harflere denilir
Terim: Birbirinden toplama (+) veya çıkarma (–) işlemleriyle ayrılan kısımlara denilir.
Katsayı: Her terimdeki harfli kısmın katını belirten
sayıdır.
vv Katsayı tekrarlı toplamının adetini belirtir.
(3x = x + x + x gibi)
vv Belirtilmeyen katsayı gizli 1 çarpanıdır. (x = 1 · x gibi)
Derece: Her terimdeki harfli kısmın üssünü (kuvvetini) (*) belirten sayıdır.
x2 - 3x +
y
- 5 harfli ifadesinin elemanlarını belirtiniz.
2
ÇÖZÜM
Değişkenleri: x ve y dir.
Terimleri
Katsayısı
Derecesi
x2 = 1 · x2
1
2
–3x = –3 · x1
–3
1
y 1 1
= ·y 2 2
1
2
1
–5
–5
0
vv Derece tekrarlı çarpımın adetini belirtir.
(x2 = x · x gibi)
3x2 – 5xy + y – 5
Yukarıdaki harfli ifadeye göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
Aşağıdaki eşitliklerden doğru olanları "D", yanlış olanları "Y" ile belirtiniz.
6. x = 0 · x (...)
1. Terimleri nedir?
7. x + x = 2x (...)
2. Değişkenleri nedir?
8. x · x · x = 3x (...)
9. x = x1 (...)
3. Katsayıları nedir?
10.a + a + a = a3 (...)
4. Katsayıları toplamı kaçtır?
11.2x = 2 · x0 (...)
12.y · y = y2 (...)
5. Değişkensiz (sabit) terimi kaçtır?
13.x = 1 · x (...)
1) 3x2, –5xy, y, –5
2) x ve y
3) 3, –5, 1, –5
(*) Üst (kuvvet); tekrarlı çarpımın adetini belirtir.
4) –6
5) –5
6) Y
7) D
8) Y
9) D
10) Y
11) Y
12) D
13) D
1
Benzer Terim
HARFLİ İFADELER
Aşağıdaki terim çiftlerinin benzerliklerini belirtiniz.
Harfli ifadedeki her terimi, katsayısını belirtmeden
değişken ve derecesiyle adlandırmaya terimleri adlandırma; aynı şekilde adlandırılan terimlere benzer
terim denilir.
Değişkeni olmayan terime sabit terim denilir.
Benzer terimleri harfli ifadeleri toplayıp çıkarırken kullanacağız.
ÖRNEK
3x2 -
(Adlandırma)
x
- 1 harfli ifadesinin terimlerini adlandırınız.
5
ÇÖZÜM
3x2, x2 li terim;
(Benzer Terim)
ÖRNEK
Konu Özeti
–
x
, x li terim;
5
–1, sabit terim
Aşağıdaki terimleri adlandırınız.
a) 3x ile –2x
b) x2 ile
3x2
4
c) 3x ile 3y
d) 5x2 ile –2x
e) –3 ile
1
2
f) 2xy ile 2x
ÇÖZÜM
a) 3x (x li)
–2x (x li)
benzer.
b) x2 (x2 li)
3x2 2
(x li)
4
benzer.
c) 3x (x li)
3y (y li)
benzemez.
d) 5x (x li)
–2x (x li)
benzemez.
e) –3 (sabit)
1
(sabit)
2
benzer.
f) 2xy (xy li)
2x (x li)
benzemez.
2
2
Aşağıdaki terim çiftlerinden benzeyenleri "�" ile benzemeyenleri "�" ile belirtiniz.
1. –3x2
8. –3 ile 5 ( )
2. 5xy
3.
9. x2 ile
x
3
4. -
10.–3x ile –3x2 ( )
11
2
- 3x2 + 5xy +
x2
( )
3
y
-4
3
11.5x ile 5y ( )
Yukarıdaki cebirsel ifadeye göre aşağıdaki soruları
cevaplayınız.
12. 5xy ile
5. x2 li terimin katsayısı kaçtır?
6. y li terimin katsayısı ile derecesi toplamı kaçtır?
7. Sabit terim kaçtır?
2
1) x2 li terim 2) xy li terim 3) x li terim 4) sabit terim 5) –3 6)
xy
( )
4
13.3a3 ile 3a2 ( )
14.–2b ile –2 ( )
4
3
7) –4
8) �
9) �
10) �
11) �
12) �
13) �
14) �
Harfli İfadenin Terimlerini Toplayıp Çıkarma
HARFLİ İFADELER
ÖRNEK
Konu Özeti
2
Harfli ifadelerde sadece benzer terimler (aynı şekilde
adlandırılanlar), katsayıları değişecek şekilde toplanıp çıkarılır.
Yukarıdaki durumu "elma ile elma, armut ile
armut" kuralı olarak aklınızda tutunuz.
Harfli ifadede benzer terim yoksa toplayıp çıkarmaya
zorlanmaz olduğu gibi kalır.
Toplanıp çıkarıldığında katsayısı "0" olan terim yok olur.
ÖRNEK
3x + 2x – 5 + x2 – 2x + 1 ifadesinin eşitini bulunuz.
ÇÖZÜM
3x2 + x2 + 2x - 2x - 5 + 1
> >
= 4x2
+
0x - 4
2
= 4x - 4
(Toplanıp Çıkarılamayanlar)
ÖRNEK
Aşağıdaki ifadelerin eşitini bulunuz.
2x + x – 5x harfli ifadesinin eşitini bulunuz.
a) 4 – 2a
ÇÖZÜM
2x + 1· x - 5x = (2 + 1 - 5) x
1 44 2 44 3
–2
= - 2x
4
x li terimlerin katsayıları,
x parantezinde toplanıp
çıkarılır.
Aşağıda verilen harfli ifadelerin eşitini bulunuz.
b) 5x2 + 3x – 3
c) xy + y
ÇÖZÜM Yukarıdaki harfli ifadelerin her birinde benzer terim bulunmadığından oldukları gibi kalırlar.
a) 4 – 2a
b) 5x2 + 3x – 3
c) xy + y
9. 4x + 2 + 3x – 1 = 1. 4x + 3x + 2x = 10.3x2 + 2x – x2 + 3x = 2. 3a – 2a + 5a = 11.x2 + 4x + 3x2 – 2x = 3. y + 5y – 2y + 3y = 12.5x2 – 2x2 + 4x + x2 – 3x2 + 6x = 4. 2x2 + 4x2 + 5x2 = 13.3x + 4 = 5. 3a2 – a2 + 4a2 – 2a2 = 3
3
3
14.2a – 6 = 3
6. 3x + 5x – 2x – 4x = 15.x2 + 4x = 7. 5xy + 7xy – 2xy = 16.ab + 3a + 2b = 8. –3ab + 5ab + 2ab = 9) 7x + 1
1) 9x
2) 6a
3) 7y
4) 11x2
5) 4a2
6) 2x3
7) 10xy
8) 4ab
13) 3x + 4
10) 2x2 + 5x
14) 2a – 6
11) 4x2 + 2x
15) x2 + 4x
12) x2 + 10x
16) ab + 3a + 2b
3
Harfli İfadelerin Terimlerini Çarpma
HARFLİ İFADELER
ÖRNEK
Konu Özeti
(Aynı Harflilerin Çarpımı)
Aşağıdaki ifadelerin eşitini bulunuz.
Tekrarlı çarpımların adeti üs (kuvvet) olarak yazılır.
x · x · x ·...· x = xn
1 44
42443
n tan e
a) x2 · x3 = ?
b) y · y2 = ?
ÇÖZÜM
Aynı harfler çarpılırken, üsler toplamı kadar tekrarlı
çarpım oluşur.
xa · xb = xa + b
a) x2 · x3 = x2 + 3 = x5
5 5
x·x x·x·x
Çarpmanın değişme özelliği ile katsayılar ile katsayılar harfler ile harfler çarpılır.
b) y1 · y2 = y1 + 2 = y3
5
5
y y·y
(2x) · (3x) = (2 · 3) · (x · x) = 6x2 gibi
c) x · x + x + x = x2 + 2x
;
9
2
2x
x
ÖRNEK
(Tekrarlı Toplam, Tekrarlı Çarpım)
ÖRNEK
Aşağıdaki ifadelerin eşitini bulunuz.
a) x + x + x = ?
b) x · x · x = ?
c) x · x · x + x · x = ?
a) x + x + x = 3x (Tekrarlı toplam)
b) x · x · x = x3 (Tekrarlı çarpım)
4 Karıştırmayınız!
Aşağıdaki ifadelerin eşitini bulunuz.
b) 2x · 3y = ?
c) 3a(–2) = ?
ÇÖZÜM
a) 2x · (–5x) = 2 · (–5) · x · x = –10x2
b) 2x · 3y = 2 · 3 · x · y = 6xy
c) x · x · x + x · x = x3 + x2
>
9
3
2
x
(Katsayı ile Katsayı, Harf ile Harf)
a) 2x · (–5x) = ?
ÇÖZÜM
c) x · x + x + x = ?
c) 3a · (–2) = 3 · (–2) · a = –6a
x
Aşağıda verilen harfli ifadelerin eşitini bulunuz.
9. 4a · 3b · 2c = 1. a + a + a + a = 10.a · a3 · a4 = 2. a · a · a · a = 11.3a · 2a · 5a = 3. 3x · 2x = 12.–4 · 3x · 2x = 4. 5x · 3y = 13.–x · 2y · 5z = 5. –4 · 5x = 14.–3y · 2y · 5y = 6. 2y · (–3y) = 15.a · a · a + a · a + a = 7. x2 · x2 = 16.3x · 2x + 4x · (–2) = 8. a4 · a3 = 9) 24abc
4
1) 4a
2) a4
3) 6x2
4) 15xy
5) –20x
6) –6y2
7) x4
8) a7
13) –10xyz
10) a8
14) –30y3
11) 30a3
12) –24x2
15) a3 + a2 + a
16) 6x2 – 8x
Harfli İfadelerde Parantez Açma
HARFLİ İFADELER
ÖRNEK
Konu Özeti
a(2b · 3a) ifadesini eşitini bulunuz.
Sayıyı paranteze dağıtma;
(Dağılamayanlar)
ÇÖZÜM Katsayılar bir arada harfler bir arada çarpılır.
Çarpma çarpmaya dağılmaz.
a · (x + y – z) = a · x + a · y + a · (–z)
–b · (x + y – z) = –b · x – b · y – b · (–z)
İşareti paranteze dağıtma;
Doğru çözüm: a(2b · 3a) = (2 · 3) · (a · a · b) = 6a2b
Hatalı çözüm:
+(x + y – z) = +1 ·(x + y – z) = +1 · x + 1 · y + 1 · (–z) = x + y – z
a (2b · 3a) = a · 2b · a · 3a = 2ab · 3ab · 3a2 = 6a3b
–(x + y – z) = –1 ·(x + y – z) = –1·x –1·y + (–1)·(–z) = –x – y + z
Çarpmanın sadece toplama veya çıkarma üzerine dağılımı vardır. Çarpmanın çarpmaya ya da
bölmeye dağılımını kesinlikle yapmayınız.
Çarpmanın değişme özelliğiyle paranteze
dağıtılacak ifade öne alınabilir.
ÖRNEK
(İşaret Dağıtma)
Aşağıdaki işaret dağılımlarını yapınız
a) +(2x – 3y)
b) –(2x – 3y)
ÇÖZÜM
(Parantez Dağılımı)
Aşağıdaki ifadelerin parantezini açınız.
a) (3x + 5y)2
ÖRNEK
a) +1 (2x – 3y) = +1 · 2x + 1 · (–3y) = 2x – 3y
b) –3x(2x – 1)
Pozitif paranteze dağıtılınca parantez içi aynı kalır.
ÇÖZÜM
b) –1 (2x – 3y) = –1 · 2x – 1 · (–3y) = –2x + 3y = 3y – 2x
a) 2 · (3x + 5y) = 2 · 3x + 2 · 5y = 6x + 10y
b) –3x (2x – 1) = –3x · 2x – 3x · (–1) = –6x2 + 3x
Aşağıda verilen harfli ifadelerde parantezleri açınız.
1. 3(2x + 5y) = Negatif paranteze dağıtılınca parantez içi yer değiştirir.
9. x(3a + b) = 10.–4x(–2y + 3) = 2. –2(3a – 4b) = 11.–5y(–2y + 3) = 3. 5(3x – 4) = 12.4(2x – 5y – 6z) = 4. –(–3x + 7) = 13.–5(a – 2b – 3c) = 5. –4(–2x + 1) = 14.3x(2x2 + x – 1) = 6. –(5x – 2y) = 15.–2y(5y2 – 3y – 2) = 7. 2x(x + 1) = 16.–4a(2x – 3y – 5z) = 8. –3y(4 – 2y) = 1) 6x + 15y
5) 8x – 4
2) –6a + 8b
6) –5x + 2y
3) 15x – 20
2
7) 2x + 2x
4) 3x – 7
9) 3ax + bx 10) 8xy – 12x 11) 10y2 – 15y 12) 8x – 20y – 24z 13) –5a + 10b +15c
2
8) –12 y + 6y
14) 6x3 + 3x2 – 3x
15) –10y3 + 6y2 + 4y
16) –8ax + 12ay + 20az
5
Benzer Terimle Karşılaşma
HARFLİ İFADELER
ÖRNEK
Konu Özeti
� Parantez dağılımından sonra benzer terimler görüldüğü her yerde toplanır – çıkarılır.
Dağılımından sonra xy li ve yx li terimler
görülürse çarpmanın değişme özelliğiyle benzer
hale getirilir. (yx = xy gibi)
x(y + 1) + 2y(x – 1) ifadesinin eşitini bulunuz.
ÇÖZÜM
x (y + 1) + 2y (x – 1) = x · y + x + 2y · x – 2y
= xy + 2xy + x – 2y
= 3xy + x – 2y
ÖRNEK
ÖRNEK
2(3a2 + a – 1) + 3a(a + 1)ifadesinin eşiti nedir?
x(2x + 1) – 2x(x – 1) ifadesinin eşitini bulunuz.
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
2
2
2
2 (3a + a – 1) + 3a(a + 1) = 6a + 2a – 2 + 3a + 3a
= (6a2 + 3a2) + (2a + 3a) – 2
x (2x + 1) – 2x (x – 1) = x · 2x + x – 2x · x – 2x · (–1)
= (2x2 - 2x2) + x + 2x
= 3x
= 9a2 + 5a – 2
Aşağıda verilen harfli ifadelerin eşitini bulunuz.
9. 3(2 a2 + 3a) – 5(a2 – 2a) =
1. 3(2x + 4) + 2(3x + 1) =
10. –(3x2 – 4) – 2(3 – 2x2) =
2. 4(3a – 2) – 3(5a + 1) =
11. 3(a2 + 2a – 3) + 2(a2 + 3a) =
3. –2(1 – 5x) + 3(2 + 3x) =
12. x(y + 2) + 2x (2y – 1) =
4. –3(y – 2) + 4(5 – 2y) =
13. 4x(x + 1) + x(2x + 3) =
5. –6(x – 2) + 3(3x + 1) =
6. –5(3a + 2) – 4(1 + a) =
14. x(3x – 4) + 2x(2x – 5) =
7. 2(a2 + 3) + 3(2a2 + 1) =
15. 3y(x + 2z ) + 5y (x + z) =
8. –(2 a2 – 1) + 5(a2 – 1) =
16. –2a(3b – 2c) + 3a(b + 3c) =
1) 12x + 14
6
5) 3x + 15
2) –3a – 11
6) –19a – 14
3) 19x + 4
7) 8a2 + 9
4) –11y + 26
8) 3a2 – 4
9) a2 + 19a
10) x2 – 2
14) 7x2 – 14 x
11) 5a2 + 12 a – 9
15) 8xy + 11yz
12) 5xy
13) 6x2 + 7x
16) –3ab + 13 ac
İç İçe Parantezler
HARFLİ İFADELER
ÖRNEK
Konu Özeti
En içteki parantezden başlayarak, en dıştaki paranteze doğru açılım yapılır.
3[x – 2(x – 1) + 4] ifadesinin eşitini bulunuz.
ÇÖZÜM
Benzer terimler oluştuğu anda toplanır çıkarılır.
3 6x - 2 (x - 1) + 4@ = 3 [x - 2x + 2 + 4]
<
>
-x
ÖRNEK
6
x + 1 + 2[3 – (x – 1)] ifadesinin eşitini bulunuz.
ÇÖZÜM
= 3 [–x + 6]
= –3x + 18
x + 1 + 2[3 – 1 (x – 1)] = x + 1 + 2 [3 – x + 1]
= x + 1 + 2 [4 – x] = x + 1 + 8 – 2x = –x + 9
Aşağıda verilen ifadelerin eşitine bulunuz.
9. 3[4x – 2(x + 1) ] =
1. 2[x + 3(x + 2)] = 10.5 – [3a + 2(1 + 3a)] = 2. –4[1 + 2(x + 1)] = 11.a + 2 + [6 – 2 (a + 1)] = 3. 5[3(2x + 1) + 2] = 12.3y – [1 + 3(y + z) – y] = 4. 2a + [5a + 2(a + 3)] = 13.2[x – 2(x – 3) – 2] = 5. 6 · [2 + 3(a – 1)] = 6. [3 + 4(a + 1)] · 3 = 14.–[2(x – 2) + 3(x + 1) + 1] = 7. [2(x + 1) – 3] · 4 = 15.2[3(x + 1) – 2] – 3(x + 1) = 8. [–3(x – 2) – 5] · 2 = 16.4[2 + 4(x – 1 )] + 2(3 – 4x) = 1) 8x + 12
2) –8x – 12
5) 18a – 6
6) 12a + 21
3) 30x + 25
7) 8x – 4
4) 9a + 6
8) –6x + 2
9) 6x – 6
10) –9a + 3
14) –5x
11) –a + 6
12) y – 3z – 1
15) 3x – 1
16) –8x – 2
13) –2x + 8
7
Parantezle Parantezin Dağılımı
HARFLİ İFADELER
ÖRNEK
Konu Özeti
İki parantezli ifade dağıtılırken; ilk parantezdeki her terim,
ikinci parantezdeki terimlerin her biriyle sırasıyla dağıtılır.
Üç parantezli ifadeler dağıtılırken; önce ikisini dağıtıp oluşan parantezle kalan parantezi dağıtırız. (Çok
karşılaşılmaz)
ÖRNEK
(İki Parantezli Dağılım)
(2x – 1) (x – 3) ifadesinin eşitinin bulunuz.
ÇÖZÜM
I. yol
(x + 1) · (x + 2) · (x + 3) ifadesinin eşitini bulunuz.
ÇÖZÜM
(x + 1) [(x + 2) · (x + 3)] = (x + 1) [x2 + 3x + 2x + 6]
= (x + 1) · (x2 + 5x + 6)
= x3 + 5x2 + 6x + x2 + 5x + 6
= x3 + 6x2 + 11x + 6
(2x – 1) (x – 3) = 2x · x + 2x · (–3) – 1 · x – 1 · (–3)
= 2x2 – 6x – x + 3
II. yol
= 2x2 – 7x + 3
(Üç Parantezli Dağılım)
ÖRNEK
(x + y) · (x – y) ifadesinin eşitini bulunuz.
F
(2x + 1) (x - 3) = 2x (x - 3) - 1 (x - 3)
<
= 2x · x + 2x · (–3) – 1 · x – 1 · (–3)
= 2x2 – 6x – x + 3
= 2x2 – 7x + 3
ÇÖZÜM
(x + y) · (x - y) = x2 - xy + yx - y2 = x2 - y2
Aşağıda verilen harfli ifadelerin eşitini bulunuz.
7. (2x – 3) · (3x + 4) = 1. (x + 2) · (x + 1) = 8. (3a – 1) · (a – 2) = 2. (a + 3) · (a + 2) = 9. (2y – 4) · (3y – 1) = 3. (2x + 3) · (3x + 1) =
10.x · (x + 1) · (x + 2) = 4. (5a + 1) · (2a + 3) = 5. (y + 3) · (y – 2) = 12.(a –1) (a + 1) · (a + 2) = 6. (a + 4) · (a – 1) = 13.(3x – 4y ) · (x – 2y) = 1) x2 + 3x + 2
8
11.(2a + b) · (a + 2b) = 2) a2 + 5a + 6
5) y2 + y – 6
3) 6x2 + 11x + 3
6) a2 + 3a – 4
4) 10a2 + 17a + 3
7) 6x2 – x – 12
8) 3a2 – 7a + 2
11) 2a2 + 5 a b + 2b2
9) 6y2 – 14y + 4
12) a3 + 2a2 – a – 2
10) x3 + 3x2 + 2x
13) 3x2 – 10xy + 8y2
Paydası Bilinmeyenli Denklemler
DENKLEMLER
ÖRNEK
Konu Özeti
Paydasında bilinmeyen bulunan kesirli denklemlerde, tespit edilen kök, ifadedeki herhangi bir kesrin
paydasını 0 yapıyorsa kök olarak alınamaz. Çünkü:
Sayı
= Tanımsızdır
0
2
1
=
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
x+1 3
ÇÖZÜM
2
1
=
⇒ x+1=6 ⇒ x=5
x+1 3
x = 5 in paydasını 0 yaptığı kesir yok, köktür. Ç. K. = {5}
ÖRNEK
ÖRNEK
2x - 4
= 3 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
x-2
5-
8
4
= 3+
olduğuna göre x i bulunuz.
x
x
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
2x - 4 3
=
⇒ 2x – 4 = 3x – 6 ⇒ –4 + 6 = 3x – 2x
x-2 1
⇒ x=2
5-
8
4
8 4
12
2 12
= 3+ & 5-3 = + & 2 =
& =
x
x
x x
x
1 x
0
Ancak x = 2 ifadede yerine yazıldığında
şeklinde
0
belirsiz kesir oluşur.
x = 6 nın paydasını sıfır yaptığı kesir yok, köktür.
x = 2 kök olarak alınamaz. Ç. K.= { } (*)
Aşağıda verilen denklemlerin köklerini bulunuz.
1.
2.
& 2x = 12
& x=6
5.
x
= - 3
x-4
1
2
= x-1 3
6. 1 -
3
1
= 4- x
4
7. 1 +
1
3
= x+1 2
x+1 1
= x+2 2
x-3
1
3.
= 2x + 1 9
8.
2 - x -5
=
4.
x+1
2
1)
5
2
2) 0
(*) { } ya da ∅ boşküme anlamındadır.
3) 4
4) –3
3
1
+4 =
+ 10 x+2
x+2
5) 3
6) -
4
9
7) 1
8) -
5
3
25
Olacağı Belli Kesirli Denklemler
DENKLEMLER
ÖRNEK
Konu Özeti
Üstü ve altı işlemli kesir ve merdiven kesri denklemlerinde, üst ve alt ayrı ayrı işleme alınarak üstü altına
bölünür ve uygun aşamada çapraz çarpım uygulanır.
Aşağıdaki denklemleri "olacağı belli" yöntemiyle çözünüz.
x
1+
15
2
+ 1 = 4 =3
a)
b) 1 +
x-2
2
Ancak bu tarz sorularda genellikle pay ya da paydaya
"olacağı belli" değerler verilerek, adım adım köke
ulaşılabilir.
ÇÖZÜM
a)
ÖRNEK
(Olacağı Belli)
b)
15
+1 = 4
x-2
1+
1+
x
+1
2
= 1 denklemine göre x kaçtır?
x
1+
3
⇒
⇒
x
+1
1 x
x 1
2
=1 & +
=
+ &
x
1 3
2 1
1+
(2)
(3)
3
&
&
&
2
15
=3
x-2
4
5
ÇÖZÜM
x–2=5
1+
⇒
⇒ 1+
3x + 6 = 2x + 6
3x - 2x = 6 - 6
x=0
Aşağıda verilen denklemlerin bilinmeyenleri bulunuz.
(x = 7 nin ifadede paydasını 0 yaptığı kesir
yok, köktür)
16
1.
= 4
x+2
8
+ 3 = 5
x+2
15
4. 9 = 4
2+x
1) 2
10
2+
x
9
=2
x
=4
2
6
⇒
x
=3
2
⇒x = 6
= 2
x
+1
4
6.
= 1
x
+2
3
18
+ 1 = 7
3.
x-4
26
5.
x
2
3
⇒ x=7
(x = 0 ın paydasını sıfır yaptığı kesir yok, köktür.)
2.
2
7
x+2 x+3
=
2
3
=3
2
3
(Çapraz Çarpım)
x
2
2) 2
3) 7
4) 1
7. 1 +
12
= 4
4
3+
x
8. 3 +
15
= 6
8
1+
x+2
5) 27
6) –12
7) 4
8) 0
Denklemlerde Basitleşme ve Sadeleşme
DENKLEMLER
ÖRNEK
Konu Özeti
(Sadeleşmeler)
Aşağıdaki denklemleri çözünüz.
Basitleşme: Eşitliğin her iki tarafındaki toplam veya
fark halindeki aynı sayı ya da harfli ifade aynı tarafa
geçirildiğinde birbirini sıfırlaştırıp etkisiz hale getireceğinden karşılıklı yok edilebilir.
a) 2(x + 1) = 4(x + 3)
Sadeleşme: Eşitliğin her iki tarafındaki çarpım ya da
bölüm durumundaki sayılar aynı sayılarla bölünüp
sadeleşebiliyorsa karşılıklı sadeleştirilebilir.
a)
Eşitliğin her iki tarafındaki aynı harfli ifadeden
oluşan çarpımlar sadeleştirilmez, kök kaybına
neden olur.
ÖRNEK
a) 2x + y = y + 10
3 x-1
x-1
= 5x x+4
x+4
ÇÖZÜM
a) 2x + y = y + 10 b)
2x = 10
x=5
3 x-1
x-1
= 5x x+4
x+4
3 5
= & 3 = 5x
x 1
3
& =x
5
Aşağıda verilen denklemlerin köklerini bulunuz.
1.
⇒ 1 – 6 = 2x – x
⇒ –5 = x
x-1 x+1
=
b)
& 2x - 2 = x + 1 & 2x - x = 2 + 1
10 2
15
⇒ x=3
(Yanlış Sadeleşme – Kök Kaybı)
x(2x – x) = x · (x + 1) denkleminde yapılabilecek yanlış
sadeleşmeyi belirtiniz.
ÇÖZÜM Eşitliğin her iki tarafında bulunan çarpım durumundaki bilinmeyenleri sadeleştirme, yanlış sadeleşmedir.
_
x (2x - x) = x · (x + 1) b Ancak x = 0 da denklemi
b sağlar yanlış sadeleşme ile
x-2 = x+1
` kök kaybına uğrar x = 0 için
2x - x = 2 + 1
b
b
x=3
0 · (2 · 0 – 2) = 0 · (0 + 1)
a
0 = 0
5.
2x
2
+
+ 3 = x
x+1 x+1
6.
x x+2
x+2
= 2
x+5
4 x+5
7. 3x + 2y + 4 = 2x + 2y – 2
3. 4(x – 3) = 2(x + 6)
8.
1
1
1
+
= x+1 x+1 2
1) 10
2 (x + 1) = 2 4 ( x + 3) & x + 1 = 2x + 6
x-3 x+4
=
8
4
6
4
- 3 = - 1
2.
x
x
4.
1
ÖRNEK
b)
x-1 x+1
=
5
10
ÇÖZÜM
(Basitleşme)
Aşağıdaki denklemleri çözünüz.
b)
2) 1
3) 12
4) 3
x
1
+4 =
+ x
x-1
x-1
5) 5
6) 8
7) –6
8) 5
27
Köke Değer Verme / x2 lerin Basitleşmesi / Denklem İçinde Ondalıklar
DENKLEMLER
ÖRNEK
Konu Özeti
Denklemin kökü denklemi sağlayacağı için kök olarak verilen değer bilinmeyenin yerine yazılabilir.
Kesirli denklemlerde çapraz çarpımdan sonra x2 li
ifadeler eşitliğin her iki tarafında ise basitleştirilebilir.
Denklem içerisindeki ondalıklar ya da devirli ondalıklar kesre çevrilerek kesirli denklem halinde çözülür.
ÖRNEK
x+4 x-2
=
denkleminin kökünü bulunuz.
x
x-4
ÇÖZÜM
x+4 x-2
=
& (x + 4) (x - 4) = x (x - 2)
x
x-4
& x2 - 4x + 4x - 16 = x2 - 2x
& -16 = - 2x & 8 = x
ÖRNEK
(Köke Değer Verme)
x+m x+1
=
+ 5 denkleminin kökü x = 3 ise m yi
x-1
x-2
bulunuz.
(Denklem İçerisinde Ondalıklar)
0, 5x - 2 = 0, 3 + x denkleminin kökünü bulunuz.
ÇÖZÜM
5
1
=
10 2
3 1
0, 3 = =
9 3
0, 5x - 2 = 0, 3 + x
ÇÖZÜM
0, 5 =
x
2
1
x
=
+
1
1
2
3
(2)
(1)
3+m 3+1
3+m 4
=
+5 &
= +5 & 3+m = 2+5
1
3-2
3-1
2
⇒ m=7–4
⇒ m=4
Aşağıdaki verilen denklemlerin köklerini bulunuz.
1. 0,4x – 2 = 0,2x + 4
2. 1,6x + 2,4 = 0,6x + 5,4
(1)
(3)
x - 4 1 + 3x
& 3x - 12 = 2 + 6x & - 12 - 2 = 6x - 3x
=
2
3
14
& -14 = 3x & =x
3
x+3
x
=
x
x-2
7.
Aşağıdaki soruları cevaplandırınız.
x
x-1
+1 =
denkleminin bir kökü x = 2 olduğum+1
x+2
8.
3. 0, 1x + 0, 4 = 1, 9x + 0, 2 4.
(x2 leri Basitleştirme)
na göre m yi bulunuz.
3
x - 0, 5 = 0, 5x + 0, 3 2
x+1
x+m
+2 =
denkleminin bir kökü x = 3 olduğux-1
x+2
9.
na göre m kaçtır?
5. 0, 2x +
4 2x
=
+ 2
9
3
10.
x+2 x+4
6.
=
x
x-2
1) 30
28
2) 3
1
x-2
+ 2x =
+ 1 denklemimin bir kökü x = 1
m+1
x+1
olduğuna göre m kaçtır?
3)
2
17
4)
4
5
5) -
7
2
6) –1
7) 6
8) -
11
3
9)
13
5
10) -
5
3
DENKLEMLER
İki Bilinmeyenli Denklemler ve Yok Etme Yöntemiyle Denklem Çözme
ÖRNEK
Konu Özeti
Denklem içerisinde iki bilinmeyen varsa, her iki bilinmeyeni de bulabilmek için iki denkleme yani denklem sistemine ihtiyaç vardır.
İki bilinmeyenli denklem sisteminin çözümü sıralı ikililerle(*) önce x sonra y olacak şekilde (x, y), çözüm
kümesi de {(x,y)} olarak belirtilir.
Yok Etme Yöntemi ile denkem sistemi çözülürken;
l. Adım: Her iki denklemde de bilinmeyenler aynı
tarafa alınır.
ll. Adım: Bilinmeyenlerden biri zıt işaretli olacak
şekilde her iki denklemde katsayılar genişletilerek
eşitlenir.
lll. Adım: Denklemler, eşitlikler alt alta gelecek şekilde
taraf tarafa toplanarak zıt işaretli bilinmeyenler yok edilir.
lV. Adım: Oluşan bir bilinmeyenli denklem çözülüp,
bulunan bilinmeyen denklemlerden birinde yerine
yazılırak diğer bilinmeyen bulunur.
Denklem genişletme; denklemin bütün terimlerini, eşitliğini koruyarak aynı sayıyla çarpmadır.
ÇÖZÜM
3(x + y = 3)
2x = 8 ⇒ x = 4
14243
+
x-y = 5
x+y = 3
x + y = 3 denkleminde x
yerine 4 yazılırsa,
4 + y = 3 ⇒ y = –1
2.
- 2x - 3y = - 7
x=2
2+y=3 ⇒ y=1
Denklem sisteminin çözüm kümesi Ç. K. = {(2, 1)}
ÖRNEK
2x = 3y + 3 ve x + y = 4 denklemlerine göre x ve y yi
bulunuz.
ÇÖZÜM
2x = 3y + 3 →
2x - 3y = 3
+
3x + 3y = 12
5x = 15 ⇒ x = 3
x + y = 4 denkleminde x yerine 3 yazılırsa
3+y=4 ⇒ y=1
Ç. K. = {(4, –1)}
Aşağıda verilen denklem sistemlerinin çözüm kümeleri
bulunuz.
1.
+
x + y = 3 denkleminde x yerine 2 yazılırsa
3(x + y = 4) →
ÇÖZÜM
3x + 3y = 9
→
–1(2x + 3y = 7) →
ÖRNEK
x-y = 5
4 denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz.
x+y = 3
denklem sisteminin çözüm kümesini
bulunuz.
x+y = 3
4
2x + 3y = 7
4.
x + 2y = 5
x+y = 4
4
x-y = 4
4
x + y = 12
5.
4x = 3y - 1
4
x + 3y = 11
6.
4x - 3y = 18
4
x + 2y = -1
2x + y = 14
4
x-y = 4
2y = x - 6
4
3.
x + 3y = 26
1) {(8, 4)}
2) {(6, 2)}
(*) Sıralı ikili, belirli bir sırayla belirtilen ikili sayı sistemidir.
3) {(14, 4)}
4) {(3, 1)}
5) {(2, 3)}
6) {(3, –2)}
29
DENKLEMLER
ÖRNEK
Konu Özeti
İki bilinmeyenli denklemlerde, bilinmeyenler birbiri
cinsinden ifade edilirken; istenilen bilinmeyen eşitliğin korunumuyla yalnız bırakılır.
2x + 3y = 6 denklemine göre y nin x cinsinden eşitini
bulunuz.
ÇÖZÜM
Yerine koyma yöntemi ile denklem sistemi çözülürken;
2x + 3y = 6 ⇒ 3y = 6 – 2x
l. Adım: Denklemlerden birinde bilinmeyen yalnız bırakılarak diğeri cinsinden yazılır.
⇒ y=
ll. Adım: Bu bilinmeyen diğer denklemde yerine yazılarak bir bilinmeyenli denklem oluşturulur.
lll. Adım: Oluşturulan bir bilinmeyenli denklem çözülür, bulunan, bilinmeyen denklemlerden birinde yerine yazılarak diğer bilinmeyen bulunur.
ÖRNEK
6 - 2x
3
⇒ y=
6 2x
3
3
⇒ y = 2-
14243
Bilinmeyenleri Birbiri Cinsinden Yazma ve Yerine Koyma Yöntemiyle Denklem Çözme
2x
3
Kutu içindeki
ifadelerde kesirlerde toplama ve
çıkarmanın tersinin uygulandığına
dikkat ediniz
ÖRNEK
2x + y = 15
4 denklem sistemine göre x ve y yi bulunuz.
y = 3x
ÇÖZÜM
Denklemlerden birisi, birbiri cinsinden yazılmış bilinmeyenlerden oluşuyor ise yerine koyma yöntemi kolaylık sağlar.
x + y = 3 denklemine göre x in y cinsinden eşitini
bulunuz.
2x + y = 15 denkleminde y = 3x ise:
ÇÖZÜM
x+y = 3
4
x = 3-y
toplam y eşitliğin karşı tarafına fark y ile
geçirilerek x yalnız bırakılır.
y = 3x denkleminde x = 3 ise:
y=3·3=9
Aşağıda verilen ifadelerde x in y türünden eşitini bulunuz.
Aşağıda verilen ifadelerde b nin a türünden eşitini
bulunuz.
1. x + y = 5
6. 2a + b = 4
2. x – 2y = 4
7. 3b – 3a = 1
3. 3x + 2y = 1
8. 3a + 5b = –4
4. 4x – 3y = –5
9. 2a + 4 = 3b – 12
5. –3x + 2y = 3
10.3a + b – 2 = 3b + a + 6
1) 5 – y
30
2x + 3x = 15 ⇒ 5x = 15 ⇒ x = 3
2) 4 + 2y
3)
1 - 2y
3
4)
3y - 5
4
2y - 3
5)
3
6) 4 – 2a
7)
1 + 3a
3
8)
- 4 - 3a
5
9)
2a + 16
3
10) a – 4
İçiçe Mutlak Değer Açılımı ve Eşitsizliği
MUTLAK DEĞER
(İçiçe Mutlak Açılımı)
ÖRNEK
Konu Özeti
Kriteri verilen içiçe mutlak değerin açılımı yapılırken; “içten dışa” doğru işaret tespiti yapılarak ilerlenir.
İçiçe mutlak değer eşitsizliklerinde; denklemlerde
olduğu gibi “dıştan içe” doğru değer tespiti yapılarak
ilerlenir.
||f(x)| – a| < b ⇒ –b + a < |f(x)| < b + a
(i) –b + a < f(x) < b + a ve (ii) –b + a < –f(x) < b + a
Ç = {(i) ve (ii) nin birleşimidir.}
x < –1 olduğuna göre; ||–x| + x – 2| ifadesinin eşitini
bulunuz.
ÇÖZÜM
x < –1 ise –x > 1 dir.
||–x| + x – 2| = –x + x - 2 = |−2| = 2 bulunur.
+
(İçiçe Mutlak Eşitsizliği)
ÖRNEK
ÖRNEK
||x| –5| < 3 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam sayısı
vardır?
a < b < 0 olduğuna göre;
|2a + |b – a|| ifadesinin eşitini bulunuz.
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
(a < b ⇒ 0 < b – a)
||x| –5| < 3 ⇒ –3 < |x| – 5 < 3 ⇒ 2 < |x| < 8 olduğundan,
|2a + |b – a|| = |2a + (b – a)|
+
⇒ |2a + b – a| = |a + b| = –a – b
−
a<0
f+ b<0p
a+b < 0
a < b < 0 < c < d için aşağıdaki verilen ifadelerin eşitini
bulunuz.
(i) 2 < x < 8
ve
(ii) 2 < –x < 8 ⇒ –8 < x < –2
Ç = {–7,–6,–5,–4,–3,3,4,5,6,7} on tanedir.
Aşağıdaki verilen eşitsizliklerin çözüm aralığını bulunuz.
1. |a + |–b||
6. ||x| – 4| < 3
2. |c + |–d||
7. ||a| + 2| < 10
3. |b – |–a||
8. ||x + 2| + 3| ≤ 9
4. |2c + |c – d||
5. ||a – c| – |a – b||
80
1) b – a
2) c + d
9. ||2x + 4| –2| < 14
3) –a – b
4) c + d
5) c – b
6) c
1<x<7
m
–7 < x < –1
7) –8 < a < 8
8) –8 # x # 4
9) –10 < x < 6
Mutlak Değer Toplamlarının Sıfır Olması
MUTLAK DEĞER
ÖRNEK
Konu Özeti
İki ayrı mutlak değerin toplamı 0 ise her bir mutlak
ayrı ayrı sıfır olmak zorundadır.
|f(x)| + |g(x)| = 0 ise |f(x)| = 0 ve |g(x)| = 0 dır.
Aynı durum mutlak değerlerin farkı için geçerli
değildir.
Aşağıdaki verilen ifadelerde bilinmeyenleri bulunuz.
|a + b – 5| + |a – b – 3| = 0 ifadesine göre a ve b değerlerini bulunuz.
ÇÖZÜM
a + b - 5 + a - b - 3 = 0 ifadesine göre;
1 44 2 44 3 1 44 2 44 3
0
0
a+b=5
3
a–b=3
Elde edilen denklem sistemi çözülürse
a = 4 ve b = 1 bulunur.
6. (x – 2)2 + |y + 6| = 0
1. |x – 2| + |y – 4| = 0
7. (a – 4)2 + (b + 3)4 + |c + 5| = 0
2. |a + 4| + |b – 5| = 0
8. |2x – 8| + |3y – 15| = 0
3. |a – 3| + |b + 1| + |c – 2| = 0
9. |3x + 9| + |2y – 4| + |z – 1| = 0
4. |x + y – 8| + |x – y – 2| = 0
10.|2a + 4| + |3b + 6| + |c + 3| = 0
5. |2a + b – 12| + |a – b – 6| = 0
1) x = 2, y = 4
2) a = –4, b = 5
4) x = 5, y = 3
3) a = 3, b = –1, c = 2
5) a = 6, b = 0
6) x = 2, y = –6
7) a = 4, b = –3, c = –5
9) x = –3, y = 2, z = 1
8) x = 4, y = 5
10) a = –2, b = –2, c = –3
81
En Büyük - En Küçük Değer
MUTLAK DEĞER
ÖRNEK
Konu Özeti
||x| – 4| ifadesini en küçük yapan x değerlerini bulunuz.
Mutlak değerli bir ifadenin alabileceği en küçük değer
0 dır.
ÇÖZÜM
Tek mutlak değerin en küçük değeri sıfırdır.
||x| – 4| = 0 ⇒ |x| – 4 = 0 ⇒ |x| = 4 ⇒ x = 4 ve ya x = –4
|f(x)| in en küçük değeri |f(x)| = 0 dır.
ÖRNEK
|x – a| + |x – b| gibi toplam ifadelerinde; her mutlak
değeri 0 yapan x = a ve x = b değerleri ifadede yerine
yazılarak en küçük değeri bulunur.
A
gibi kesir ifadelerinde payda küçük
x-a + x-b
iken, kesir büyük olur.
|x – 1| + |x – 3| + |x –5| ifadesinin en küçük değerini
bulunuz.
ÇÖZÜM
x – 1 = 0 ⇒ x = 1 iken |1 – 1| + |1 – 3| + |1 – 5| = 6 olur.
x – 3 = 0 ⇒ x = 3 iken |3 – 1| + |3 – 3| + |3 – 5| = 4 olur.
x – 5 = 0 ⇒ x = 5 iken |5 – 1| + |5 – 3| + |5 – 5| = 6 olur.
O halde en küçük değer 4'tür.
Aşağıdaki verilen ifadelerin en küçük değerini bulunuz.
1. |x – 2| + |x – 4| = Aşağıdaki verilen ifadelerin en küçük yapan x değerlerini bulunuz.
6. |x – 4| 7. ||x + 2| – 6| 2. |a + 3| + |a – 1| = Aşağıdaki verilen ifadelerin en büyük değerini bulunuz.
3. |2x + 3| + |x – 1| = 8.
4
x-2 + x-3
9.
15
x+1 + x-4
10.
18
x-3 + x+6
11.
28
x-2 + x+5
4. |x – 1| + |x – 2| + |x – 4| = 5. |a – 3| + |a – 5| + |a – 2| = 1) 2
82
2) 4
3)
5
2
4) 3
5) 3
6) 4
7) –8 ve 4
8) 4
9) 3
10) 2
11) 4
Uygulama Zamanı
Uygulama – 12
1. Aşağıda verilen ifadeleri mutlak değer dışına
çıkarınız.
x < y < z < t için aşağıdaki verilen ifadelerin eşitini
bulunuz.
a) |–4| =
8. |x – z| =
c) –
b) |3| =
5
=
7
9. |t – x| =
d) |100| =
10.|y – x| – |x – z| =
e) |0| =
f) |–0,5| =
11.|x – y| + |y – z| + |t – z| =
g) –0, 3 =
h) |–(–6)| =
12.|t – x| – |y – t| − |x – z| =
13.|x – 2y| + |y – 3t| =
Aşağıda verilen işlemleri sonuçlandırınız.
a < b < 0 < c için aşağıdaki verilen ifadelerin eşitini
bulunuz.
2. |–4| – 3 |–2| =
14.|c – b| =
3. |–2| · |–5| + |3 – 9| =
(16)
15.|a – c| =
4. |3 – 6| + |1 – 3| · |–2| =
(7)
16.|a + b| =
5. |–40| : |–4| – |3| · |–2| =
(4)
17.|a – b| + |c – b| =
6. ||3| – 10| + |–2| =
(9)
18.|a – 2b| + |c – a| – |b – c| =
7. |–2 · 3 – (–6)| – |–5| =
1) a) 4
b) 3
2) –2
(–5)
5
7
d) 100
e) 0
f) 0,5
3) 16
4) 7
5) 4
6) 9
c)
g) 0, 3
7) –5
h) 6
8) z – x
9) t – x
14) c – b
10) y – z
15) c – a
11) t – x
16) −a – b
12) y – z
17) c – a
13) y + 3t – x
18) 3b – 2a
83
19.x < 0 < y için aşağıdaki ifadelerin eşitini bulunuz.
a) |x| =
b) |–x| =
c) |3x|
d) |–2x| =
e) |y| =
21.2 < a < 4 için aşağıda verilen ifadelerin eşitini
bulunuz.
a) |a – 2| =
b) |a – 4| =
c) |5 – a| =
d) |1 – a| =
e) |a – 2| + |a – 4| =
f) |a – 5| – |a + 1| =
g) |2a – 1| + |a – 6| =
h) |a + 4| – |a + 2| =
f) |–y| =
g) |2y| =
h) |–4y| =
k) |y – x| =
m) |x – 2y| =
Aşağıda verilen mutlak değerli ifadelerin eşitini bulunuz.
20.x < y < 0 < z için aşağıdaki ifadelerin eşitini bulunuz.
a) |–x| =
22.
c) |y|
d) |x – y| + |–y| =
e) |x| + |y| + |z| =
f) |y – z| + |–y| =
g) |x + y| =
h) |x – y| – |y – z| + |z – x| =
24.
25.
k) |x – |z|| =
m) |–x| + |3x| – |2x – 2| =
20) a) –x
84
g) –x – y
c) –3x
=
a - b + 2a - 2b
3 a - b - 2a - 2b
x-y +3 y-x
=
2y - 2x - x - y
x
3
·
=
18 4 x
+
=
2x
2x
l) |2 – x| + |1 – y| =
26.
b) –x
7x - 2x
b) |–z| =
23.
19) a) –x
x + 4x + 5 x
d) –2x e) y
–3x + 5 –x
–x + 3x + 2 x
=
n) |x – z| – |–x| – |–z| =
f) y
g) 2y
h) 4y
k) y – x
m) 2y – x
b) z
c) –y
d) –x
e) z – x – y
f) z – 2y
h) 2(y – x)
k) z – x
l) 3 – x –y
m) –2x – 2
n) 0
21) a) a – 2
b) 4 – a
22) 2
c) 5 – a
23)
d) a – 1
3
2
24) 4
e) 2
25) 5
f) 4 – 2a
26) 2
g) a + 5
h) 2
Uygulama Zamanı
Aşağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
Uygulama – 13
10.||2x – 1| – 8| = 4 1. |x – 3| = 4
11.|3 – |x – 1|| = 1
2. |2x – 1| = 13
12.|12 – 4 |x – 3|| = 4
3. |3x – 15| = 0
13.|x| + |3x| – |2x| = 8
4. |–4x + 7| = –14
14.|2x + 1| + 3 |2x + 1| = 12
5.
x+1
= 4
3
15.|x – 3| + |2x – 6| = 15
9 - 3x
6.
= 6
6
16.|x – 2| = |4 – x|
7. ||x| – 4| = 12
17.|2x – 3| = |x + 5|
8. ||x + 1| + 3| = 7
18.
9. |2 |x + 3| – 5| = 13
1) {–1,7}
2) {–6,7}
3) {5}
7) {–16,16}
4) ∅ 5) {–13,11}
8) {–5,3}
9) {–12,6}
6) {–9,15}
2x + 4
x-4
10) ' –
= 2
11 –3 5 13
,
, ,
1
2 2 2 2
11) {–3,–1,3,5}
14) {–2,1} 15) {–2,8}
16) {3}
12) {–1,1,5,7}
17) '
–2
, 81
3
13) {–4,4}
18) {1}
85
© Copyright 2024 Paperzz
