MATEMAT‹K Mehmet ÖZBEK 13 BÖLÜM 19 ÇÖZÜMLÜ TEST 65 KONU TEST‹ 1510 SORU L A RI ZAFE YAY I N R TEŞEKKÜR Kitaba emeği geçen Mehmet ÖZBEK ve Zafer Dershaneleri Matematik öğretmenlerine ve de dizgisinden baskısına kadar kitaba emek veren herkese burada teşekkürü borç bilirim. Ali DEMİR Zafer Yayınları Kurucusu COPYRIGHT ZAFER E⁄‹T‹M VE Ö⁄RET‹M L‹M‹TED fi‹RKET‹ BU K‹TAP ZAFER DERSHANELER‹ YAYINIDIR. HER HAKKI SAKLIDIR. K‹TAPTAK‹ TESTLER VE SORULAR AYNEN YA DA DE⁄‹fiT‹R‹LEREK YAYIMLANAMAZ. YEN‹ MÜFREDATA TÜMÜYLE UYGUN KASIM 2013 ANKARA Dizgi – Grafik Rukiye ÖZTÜRK – Zehra BÜLBÜL – Muharrem ÇEL‹K – Mevsimben ÖZBEK ISBN 978–605-387-058-6 İSTİKLAL MARŞI Korkma, sönmez bu şafaklarda yüzen al sancak; Sönmeden yurdumun üstünde tüten en son ocak. O benim milletimin yıldızıdır, parlayacak; O benimdir, o benim milletimindir ancak. Çatma, kurban olayım, çehreni ey nazlı hilâl! Kahraman ırkıma bir gül! Ne bu şiddet, bu celâl? Sana olmaz dökülen kanlarımız sonra helâl... Hakkıdır, Hakk'a tapan, milletimin istiklâl! Ben ezelden beridir hür yaşadım, hür yaşarım. Hangi çılgın bana zincir vuracakmış? Şaşarım! Kükremiş sel gibiyim, bendimi çiğner, aşarım. Yırtarım dağları, enginlere sığmam, taşarım. Garbın âfâkını sarmışsa çelik zırhlı duvar, Benim iman dolu göğsüm gibi serhaddim var. Ulusun, korkma! Nasıl böyle bir imanı boğar, "Medeniyet!" dediğin tek dişi kalmış canavar? Arkadaş! Yurduma alçakları uğratma, sakın. Siper et gövdeni, dursun bu hayâsızca akın. Doğacaktır sana va'dettiği günler Hakk'ın... Kim bilir, belki yarın, belki yarından da yakın. Bastığın yerleri "toprak!" diyerek geçme, tanı: Düşün altındaki binlerce kefensiz yatanı. Sen şehit oğlusun, incitme, yazıktır, atanı: Verme, dünyaları alsan da, bu cennet vatanı. Kim bu cennet vatanın uğruna olmaz ki fedâ? Şühedâ fışkıracak toprağı sıksan, şühedâ! Cânı, cânânı, bütün varımı alsın da Hüdâ, Etmesin tek vatanımdan beni dünyada cüdâ. Ruhumun senden, İlâhi, şudur ancak emeli: Değmesin mabedimin göğsüne nâmahrem eli. Bu ezanlar –ki şahadetleri dinin temeli– Ebedî yurdumun üstünde benim inlemeli. O zaman vecd ile bin secde eder –varsa– taşım, Her cerîhamdan, İlâhi, boşanıp kanlı yaşım, Fışkırır ruh–ı mücerred gibi yerden na'şım. O zaman yükselerek arşa değer belki başım. Dalgalan sen de şafaklar gibi ey şanlı hîlâl! Olsun artık dökülen kanlarımın hepsi helâl. Ebediyen sana yok, ırkıma yok izmihlâl: Hakkıdır, hür yaşamış, bayrağımın hürriyet; Hakkıdır, Hakk'a tapan, milletimin istiklâl! Mehmet Âkif Ersoy 10. YIL MARŞI Çıktık açık alınla on yılda her savaştan; On yılda on beş milyon genç yarattık her yaştan; Başta bütün dünyanın saydığı başkumandan, Demir ağlarla ördük anayurdu dört baştan. Türk'üz: Cumhuriyet'in göğsümüz tunç siperi; Türk'e durmak yaraşmaz, Türk önde, Türk ileri! Bir hızda kötülüğü, geriliği boğarız, Karanlığın üstüne güneş gibi doğarız. Türk'üz, bütün başlardan üstün olan başlarız; Tarihten önce vardık, tarihten sonra varız. Türk'üz: Cumhuriyet'in göğsümüz tunç siperi; Türk'e durmak yaraşmaz, Türk önde, Türk ileri! Çizerek kanımızla öz yurdun haritasını, Dindirdik memleketin yıllar süren yasını; Bütünledik her yönden istiklâl kavgasını... Bütün dünya öğrendi Türklüğü saymasını! Türk'üz: Cumhuriyet'in göğsümüz tunç siperi; Türk'e durmak yaraşmaz, Türk önde, Türk ileri! Örnektir milletlere açtığımız yeni iz; İmtiyazsız, sınıfsız, kaynaşmış bir kitleyiz: Uyduk görüşte bilgiye, gidişte ülküye biz. Tersine dönse dünya yolumuzdan dönmeyiz. Türk'üz: Cumhuriyet'in göğsümüz tunç siperi; Türk'e durmak yaraşmaz, Türk önde, Türk ileri! Söz: Behçet Kemal Çağlar, Faruk Nafiz Çamlıbel Müzik: Cemal Reşit Rey Sevgili Ö¤renciler, Yaflam›n her aflamas›, belli amaçlar› gerçeklefltirmek ad›na birtak›m u¤rafl ve çabalarla geçer. Ülkemizde ortaö¤renim gençli¤inin temel amac› üniversite s›navlar›n› kazanmak, bu yolla iyi bir meslek ve toplumda iyi bir yer edinmektir. Tüm u¤rafl› ve çabalar›n›z›n bunun için oldu¤unu görüyor, biliyoruz. U¤rafl› ve çabalar›n›z›n ifllevli olmas›, istedi¤iniz sonucu sa¤lamas›; düzenli, sürekli ve yo¤un bir çal›flma için iyi haz›rlanm›fl kaynaklar›n önemi ise tart›fl›lmayacak denli aç›kt›r. Son de¤iflikliklere göre (Yüksekö¤retime Geçifl S›nav› – Lisans Yerlefltirme S›nav›) üniversite s›navlar›, daha sürekli, daha düzenli, daha yo¤un çal›flmay› gerektirir oldu. Öyle ki iyiye, en iyiye ulaflmak isteyenler çal›flmalar›nda hiçbir boflluk b›rakmadan çal›flmak zorundalar. Tercihlerinin kapsam›na giren her alan›n bilgisini eksiksiz ö¤renmek, ö¤rendiklerini pekifltirmek bilincine sahip olmal›lar. Bu bilince ulaflan ö¤renciler için iyi haz›rlanm›fl bir kayna¤›n önemi de tart›fl›lmayacak bir gerçektir. Elinizdeki kaynak da bu gerçe¤in ayr›m›nda olan bir kurumca ve o kurumun ö¤retmenlerince haz›rland›. LYS – Matematik Konu Anlat›ml› kitab› yukar›da vurgulanan gerçeklerin, uygulamalardan elde edilen verilerin ›fl›¤›nda haz›rland›. Tam bir ö¤renmenin yüzeysel, kal›plaflm›fl, s›¤ bilgilerle gerçekleflemeyece¤inin ayr›m›nda olundu¤u için; kapsaml›, gerekli bilgi ve aç›klamalar›n yal›n, aç›k, anlafl›l›r bir dille anlat›lmas› temel ilkesinden yola ç›k›ld›. Yaln›zca, bilgi aktarman›n da ifllevsiz oldu¤u bilindi¤inden, bilgi ve aç›klamalar› pekifltirecek araçlara - çözümlü örneklere, konu testlerine gerekti¤i kadar yer verildi. fiimdiye de¤in yay›mlanan kitaplardan nitelikçe çok daha üstün olan bu kitap on üç bölümden oluflmaktad›r. Kitab›m›zda her konu, üniversite s›navlar›nda Matematik dersinin, belirleyici ölçüde önem tafl›d›¤› gerçe¤inden yola ç›k›larak, düflündürerek ö¤retme anlay›fl›yla ele al›nm›flt›r. Her bölüm, alt bafll›klardan sonra çözümlü testlerle pekifltirilmifl ve zenginlefltirilmifltir. Bölüm testlerimiz, ait olduklar› konularla ilgili tüm bilgi alanlar›n›, hiçbir boflluk b›rakmaks›z›n taramaktad›r. Her soru, birikimlerinizi kullanabilme yeterlili¤inizi ölçmek amac›yla düzenlenmifltir. Bu nedenle çözemedi¤iniz her soruya, konunun bir yönüyle ilgili bilgi eksikli¤inizin bulundu¤u anlay›fl›yla bak›n›z. Konunun o yönüyle ilgili kuramsal aç›klamalar›, örnek çözümleri yeniden inceleyiniz. Elinizdeki kitab›n, gerek okuldaki gerek üniversite s›navlar›ndaki baflar›n›z için, benzerlerinden daha kapsaml›, daha özgün; ö¤retici ve yol gösterici bir kaynak oldu¤unu göreceksiniz. Okuldan üniversiteye uzanan yolda, tüm ö¤rencilere bafl fla ar›lar diliyorum. Ankara, Kas›m 2013 ALİ DEMİR Zafer Yayınları Kurucusu ‹Ç‹NDEK‹LER 1. BÖLÜM POL‹NOMLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9-32 2. BÖLÜM ‹K‹NC‹ DERECEDEN DENKLEMLER–Efi fi‹‹TS‹ZL‹KLER–FONKS‹YONLAR . . . . .33-84 3. BÖLÜM PERMÜTASYON–KOMB‹NASYON–OLASILIK–‹STAT‹ST‹K . . . . . . . . . . . . . .85-137 4. BÖLÜM TR‹GONOMETR‹ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138-206 5. BÖLÜM KARMAfi fiIIK SAYILAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .207-233 6. BÖLÜM LOGAR‹TMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .234-258 7. BÖLÜM TOPLAM VE ÇARPIM SEMBOLÜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .259-279 8. BÖLÜM D‹Z‹LER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .280-298 9. BÖLÜM MATR‹S VE DETERM‹NANT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .299-328 10. BÖLÜM ÖZEL TANIMLI FONKS‹YONLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .329-346 11. BÖLÜM FONKS‹YONLARDA L‹M‹T VE SÜREKL‹L‹K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .347-382 12. BÖLÜM TÜREV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .383-462 13. BÖLÜM ‹NTEGRAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .463-528 Bölüm – 1 / Polinomlar 9 BÖLÜM POLİNOMLAR 1 Tanım a0, a1, a2, ..., an ∈ R ve n ∈ N olmak üzere; P(x) = an.xn + an–1 . xn–1 + ....+ a2 . x2 + a1 . x + a0 biçimindeki ifadelere çok terimli veya Polinom denir. Polinomun katsayıları : a0, a1, a2, ... an Polinomun Terimleri: an. xn, an–1 . xn–1 ..., a2 . x2, a1 . x, a0 Derecesi en büyük olan terimin derecesine polinomun derecesi denir ve der[P(x)] veya d[P(x)] biçiminde gösterilir. Derecesi en büyük olan terimin katsayısına da polinomun baş katsayısı denir. Derecesi sıfır olan terime polinomun sabit terimi denir. ÖRNEK 1. P(x) = 5x4 – 7x3 + 8x+3 ifadesi bir polinomdur. Terimleri: 5x4, –7x3, 0 . x2, 8x, 3 tür. Katsayıları: 5, –7, 0, 8, 3 tür. Baş katsayısı: 5, derecesi 4 ve sabit terimi: 3 tür. 2. P(x) = x4 + 7x3 + 3 x 2 + x–3 ifadesi bir polinom değildir. Çünkü 3 x 2 = x2/3 olup 2 ∉ N dir. 3 ÖRNEK P(x) = xm–7 + x 12 m + x 2 + 6 polinomunun derecesi kaçtır? ÇÖZÜM m – 7 ≥ 0 ⇒ m ≥ 7 ve m ∈ N , 12 ∈ N ve m sayısı 12 yi bölen 7 veya 7’den büyük bir sayı yani m = 12 m olmalıdır. Buna göre, P(x) = x5 + x2 + x + 6 ⇒ d(P(x)) = 5 olur. ÖRNEK P(x, y) = 3x5y8 + 4x3y7 + 5xy2 + 1 ifadesi x ve y’ye göre düzenlenmiş iki değişkenli bir polinomdur. Bu polinomlarda her terimdeki x ve y değişkenlerin üsleri toplamının en büyüğüne polinomun derecesi denir. 3x5y8 teriminde 5 + 8 = 13 olduğundan d[P(x, y)] = 13 dir. SABİT POLİNOM (a ≠ 0) P(x) = a biçimindeki polinomlara sabit polinom denir. Sabit polinomun derecesi 0 dır. (d[P(x)] = 0) P(x) = 5, P(x) = – 3 , P(x) = 2 3 , P(x) = 2 – 2 sabit polinoma birer örnektir. Bölüm – 1 / Polinomlar 10 ÖRNEK P(x) = mx3 – 2x3 + (n+4)x2 + (k–1)x + 8 polinomu sabit polinom olduğuna göre, m+n+k toplamı kaçtır? ÇÖZÜM P (x) = (m - 2) x 2 + (n + 4) x 2 + (k - 1) x + 8 \ \ 0 0 [ 0 _ m - 2 = 0 & m = 2b b n + 4 = 0 & n = - 4` ve toplamları: –1 bulunur. b k - 1= 0 & k = 1 b a SIFIR POLİNOMU P(x) = 0 biçimindeki polinomlara sıfır polinomu denir. Sıfır polinomunun derecesi belirsizdir. P(x) = 0.x13 = 0, P(x) = 0 . x5 = 0, P(x) = 0 . x72 = 0 birer sıfır polinomudur. Dikkat edilirse derecesi belirsizdir. ÖRNEK P(x) = (a–3)x2 + (b+4)x + a + 7 polinomu sabit polinom olduğuna göre, P(7) değeri kaçtır? A) 3 B) 5 C) 7 D) 10 E) 14 ÇÖZÜM P(x) sabit polinom olduğuna göre x değişkenlerinin katsayıları sıfır olmalıdır. O halde a – 3 = 0 ⇒ a = 3 b + 4 = 0 ⇒ b = –4 olmalıdır. P(x) = 0x2 + 0x + 3 + 7 ⇒ P(x) = 10 bulur. P(7) değeri sorulduğundan P(7) = 10 bulunur. YANIT: D POLİNOMLARIN EŞİTLİĞİ Dereceleri eşit olan iki polinomun birbirine eşit olması için; eşit dereceli terimlerin katsayıları birbirine eşit olmalıdır. P(x) ve Q(x) eşit iki polinom ise P(x) = Q(x) şeklinde gösterilir. ÖRNEK P(x) = (a–2)x2 + 5x + b ve Q(x) = 4x2 + (c+1) x + 3 polinomları birbirine eşit olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır? ÇÖZÜM P(x) = Q(x) olması için eşit dereceli terimlerin katsayıları eşit olmalıdır. _ a – 2 = 4 & a = 6b b c + 1 = 5 & c = 4` Buna göre a + b + c = 13 bulunur. b b = 3 olmal›d›r b a Bölüm – 1 / Polinomlar 11 A) TOPLAMA VE ÇIKARMA İki polinom toplanır veya çıkarılırken dereceleri aynı olan terimleri toplanır veya çıkarılır ve aynı derece altında yazılır. UYARI i) ii) d[P(x)] = m, d[Q(x)] = n ise d[P(x) ± Q(x)] = max(m, n) m=n ise başkatsayılar toplamı sıfır olmamalıdır. Eğer sıfır olursa derece m’den daha azdır. ÖRNEK P(x) = 4x3 + 6x2 – 2, Q(x) = 3x4 + x2 – 3x + 5 ise i) P(x) + Q(x) = (4x3 + 6x2–2) + (3x4 + x2 – 3x+5) = 3x4 + 4x3 + (6+1)x2–3x + (5–2) = 3x4 + 4x3 + 7x2 – 3x+3 olur. ii) P(x) – Q(x) = (4x3 + 6x2 – 2) – (3x4 + x2 – 3x + 5) = –3x4 + 4x3 + (6–1)x2 + 3x – 2 – 5 = –3x4 + 4x3 + 5x2 + 3x – 7 olur. ÖRNEK P(x) = 4x5 – 3x3 + 2x + 5 , Q(x) = –4x5 + 2x3 + 6x + 7 ise i) P(x) + Q(x) toplamından elde edilecek polinomu bulunuz. ii) der[P(x) + Q(x)] işlemlerinin sonucu nedir? ÇÖZÜM i) P(x)+Q(x)=(4x5–3x3+2x+5)+(–4x5+2x3+6x+7) =–x3 + 8x + 12 ii) der[P(x) + Q(x)] = 3 B) ÇARPMA İki polinomun çarpımı bulunurken birinci polinomun her terimi, ikinci polinomun her bir terimi ile ayrı ayrı çarpılır. UYARI d[P(x)] = m, d[Q(x)] = n ise d[P(x) . Q(x)] = m + n dir. d[P(x)] . d[Q(x)] = m . n dir. ÖRNEK P(x) = x3 + x2 ve Q(x) = x2 + 3x + 2 ise P(x) . Q(x) = (x3+x2) . (x2+3x+2) = x5 + 3x4 + 2x3 + x4 + 3x3 + 2x2 = x5 + 4x4 + 5x3 + 2x2 olur. ÖRNEK P(x) = 6x5 + x4 + 3x3 – 4x+3 , Q(x) = 2x3 + 3x2 – 2x + 1 ise P(x) . Q(x) çarpımından elde edilecek polinomun x5 li teriminin katsayısı kaçtır? ÇÖZÜM Bu polinomları çarparken x5 li terimi verecek olan terimleri çarparsak daha kolay sonuca ulaşırız. (6x5 + x4 + 3x3 – 4x+3) (2x3 + 3x2 – 2x+1) 6x5 – 2x5 + 9x5 = 13x5 olup katsayı 13 tür. Bölüm – 1 / Polinomlar 12 ÖRNEK P(x) = (ax + b)3 , Q(x) = 4x.(2x2 + 3x + 3 ) + 1 polinomları için P(x) = Q(x) olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? 2 ÇÖZÜM (ax + b)3 = 4x(2x2+3x+ 3 ) + 1 de, x = 1 için (a+b)3 = 4 . 13 + 1 = 27 ⇒ a + b = 3 tür. 2 2 C) BÖLME İki polinomdan P(x) in derecesi Q(x) in derecesinden büyük veya eşit ise P(x) in Q(x) e bölme işlemi yapılabilir. P(x): Bölünen P(x) Q(x) Q(x): Bölen . . . B(x) – B(x): Bölüm K(x) K(x): Kalan P (x) = Q (x) .B (x) + K (x) (bölme özdeşliği) Bölüm kuralında: 1) der [P(x)] = der[Q(x)] + der [B(x)] 2) der [P(x)] ≥ der [Q(x)] > der [K(x)] 3) K(x) = 0 ise P(x) polinomu Q(x) polinomuna tam bölünüyor denir. 4) der [K(x)] < der [B(x)] ise Q(x) ile B(x) yer değiştirilebilir. Kalan K(x) değişmez. UYARI der [P(x)] = m ve der [Q(x)] = n ise i) der f P (x) p = m – n Q (x) (m ≥ n) ii) der[P(x)] : der[Q(x)] = m : n dir. ÖRNEK P(x) = x3 + 2x2 – 4x + 1 polinomunun x+2 ile bölümünden bölüm ve kalanı bulunuz. ÇÖZÜM 1) 2) 3) 4) P(x) = x3 + 2x2 – 4x+1 polinomunu Q(x) = x + 2 polinomuna bölmek için aşağıdaki sıra izlenir. P(x) ve Q(x) polinomları x in azalan kuvvetlerine göre sıralanır. P(x) in ilk terimi, Q(x) in ilk terimine bölünür. Bulunan sonuç bölümün ilk terimi olarak yazılır. Bulunan bu ilk terim, Q(x) in tüm terimleriyle çarpılarak aynı terimler alt alta gelecek şekilde P(x)in altına yazılıp çıkarılır. Geri kalanlar farkın yanına yazılır. Bu işlemlere, kalan polinomun derecesi Q(x) in derecesinden küçük oluncaya kadar devam edilir. Buna göre x3 + 2x2 – 4x+1 x+2 = Q(x) 3+–2x2 –x x2–4 = B(x) ± –4x +1 + +4x + 8 9 = K(x) Bölüm – 1 / Polinomlar 13 UYARI der [P(x)] = n ise i) der [P(a.x)] = n ii) der[Pm(x)] = der[P(xm)] = m . n iii) der[P(x+b)] = n dir. ÖRNEK P(x) ve Q(x) polinomları için der[P3(x) . Q(5x2)] = 16 ve der[P2(x) : Q(x+5)] = 6 olduğuna göre, der [Px) + Q(x)] kaçtır? ÇÖZÜM der[P(x)] = n ve der [Q(x)] = m , der[P3(x)] = 3n ve der[Q(5x2)] = 2m dir. der [P3(x) . Q(5x2)] = 3n + 2m = 16 (l) , der [P2(x)] = 2n ve der [Q(x+5)] = m ise der [P2(x) : Q(x+5)] = 2n–m = 6 (ll) , l. ve ll. denklemleri ortak çözersek, n = 4 ve m = 2 çıkar. Buradan d[P(x) + Q(x)] = max (4,2) = 4 bulunur. HORNER METODU İLE BÖLME Bir P(x) polinomunu l. dereceden bir polinoma bölmek için Horner metodu büyük kolaylık sağlar. Örnekle inceleyelim. P(x) = 3x3 – 4x2 + 7 polinomunu x–1 ile bölelim. Önce P(x), x in azalan kuvvetlerine göre düzenlenir. P(x) = 3x3 – 4x2 + 0 . x + 7 x–1=0 3 . . x=1 . 3 –4 0 7 3 –1 –1 –1 –1 6 = kalan İlk katsayı tabloda görüldüğü gibi aşağıya yazılır. x–1 = 0 ve x = 1 den 1 . 3 = 3 ile ikinci katsayı (–4) toplanır ve çizginin altına (–1) olarak yazılır. Yine 1, (–1) çarpımı üçüncü katsayı 0 ile toplanır ve çizginin altına (–1) olarak yazılır. tekrar aynı işlem yapıldığında son katsayı ile toplam: P(x) polinomunun (x–1) ile bölümünden kalandır ve kalan 6 dır. 3, –1, –1 katsayıları ise ikinci dereceden bölümün katsayılarıdır ve bölüm: B(x) = 3x2 – x – 1 dir. BİR POLİNOMUN BİR GERÇEL SAYI DEĞERİ Bir P(x) polinomunun a gerçel sayı için alacağı değer polinomda x = a yazılarak elde edilen P(a) değeridir. ÖRNEK P(x) = 3x4 + 2x2 + x + 5 polinomunda P(–1) ve P( 3 ) değerlerini bulunuz. ÇÖZÜM P(–1) = 3(–1)4 + 2(–1)2 +(–1) + 5= 3 + 2 – 1 + 5 = 9, P( 3 ) = 3( 3 )4 + 2( 3 )2 + ÖRNEK P(x, y) = x2y4 + x4y2 + x2–y2 + 1 ise P( 3 , 2 ) nin sayısal değeri kaçtır? 3 + 5 = 38 + 3 bulunur. Bölüm – 1 / Polinomlar 14 ÇÖZÜM P( 3 , 2 )=( 3 )2.( 2 )4+( 3 )4 ( 2 )2+( 3 )2–( 2 )2+1= 3 . 4 + 9 . 2 + 3 –2 + 1 = 32 dir. ÖRNEK P(x+3) = (x2+1) Q(x+1) + x + 2 eşitliğinde Q(2) = 1 olduğuna göre, P(4) kaçtır? ÇÖZÜM Bu eşitlikte x = 1 yazılırsa , P(1+3) = (12+1) . Q(1+1) + 1 + 2 , P(4) = 2 . Q(2) + 3 = 2 . 1 + 3 = 5 dir. ÖRNEK P(x) = x3 – 3x2 + 3x–1 olduğuna göre, P(x+1) nin eşiti nedir? ÇÖZÜM P(x) = (x–1)3 ise P(x+1) = (x+1–1)3 = x3 olur. ÖRNEK P(x,y) = x4 – 4x3y + 6x2y2–4xy3+y4 olduğuna göre, P(8,5) değeri kaçtır? ÇÖZÜM P(x,y) = (x–y)4 tür. P(8,5) = (8–5)4 = 34 = 81 bulunur. BİR POLİNOMUN KATSAYILAR TOPLAMINI VE SABİT TERİMİNİ BULMAK Bir P(x) polinomunda katsayılar toplamını bulmak için x=1 yazılır. Bir P(x) polinomunun sabit terimini bulmak için x = 0 yazılır. Buna göre, P(x) polinomunda P(1) = Katsayılar toplamı P(0) = Sabit terim P (1) + P (–1) = Çift dereceli terimlerin katsayıları toplamı 2 P (1) – P (–1) = Tek dereceli terimlerin katsayıları toplamıdır. 2 ÖRNEK P(x) = 2x5 – 3x4 + x3 + x+6 polinomu için A) Katsayılar toplamını B) Çift dereceli terimlerin katsayıları toplamını C) Tek dereceli terimlerin katsayıları toplamını bulunuz. ÇÖZÜM P(x) = 2x5 – 3x4 + x3 + x + 6 polinomunda x=1 yazılırsa A) P(1) = 2(1)5 – 3(1)4 + 13 + 1 + 6 = 7 olur. B) Çift dereceli terimlerin katsayılar toplamı P (1) + P (–1) 7 – 1 = =3 2 2 C) Tek dereceli terimlerin katsayılar toplamı P (1) – P (–1) 7 – (–1) = = 4 bulunur. 2 2 Bölüm – 1 / Polinomlar 15 ÖRNEK P (x + 1) = x 2 + 1 eşitliğinde Q(x) polinomunun sabit terimi 5 olduğuna göre, P(x) polinomunun katsayılar Q (x) toplamını bulunuz. ÇÖZÜM Q(x) polinomunda x = 0 yazılırsa , Q(0) = 5 (sabit terim) ve P(x) polinomunda x =1 yazılırsa P(1) katsayılar toplamı bulunur. Bu eşitlikte x = 0 yazılırsa P (0 + 1) P (1) = 02 + 1 & =1 Q (0) 5 ⇒ P(1) = 5 bulunur. BÖLME YAPMADAN KALAN BULMA l. P(x) polinomunun ax + b ile bölümünden kalanı bulmak P(x) = (ax + b) . B(x) + k eşitliğinde x = – b yazalım. P(a) = k bulunur. Buna göre, P(x) polinomunun ax + b a ile bölümünden kalan, P(x) de x yerine – b yazılarak elde edilen değere eşittir. a ÖRNEK P(x) = x3 – 4x2 – 2x+3 polinomunun x–1 ile bölümünden elde edilen kalanı bulunuz. ÇÖZÜM x = 1 yazılırsa, P(1) = 13 – 4(1)2 – 2(1) + 3 = –2 bulunur. ÖRNEK P(x) = 2x4 – 3x3 + ax–4 polinomu x+1 ile tam bölündüğüne göre, a kaçtır? ÇÖZÜM x + 1 = 0 için x = –1 yazalım. P(–1)=2(–1)4–3(–1)3 +a(–1) –4 =0 olmalıdır. ⇒ 2+3–a–4 = 0 ⇒ a = 1 bulunur. ÖRNEK P(x) = 4x3 + 2x2 + mx – 3 polinomu 2x+1 ile bölümünden kalan 4 olduğuna göre, m kaçtır? ÇÖZÜM 2x + 1 = 0 için x = – 1 dir. Buna göre P f– 1 p = 4 olmalıdır. 2 2 3 2 P f– 1 p = 4 f– 1 p + 2 f– 1 p + m f– 1 p–3 = 4 ve – 1 + 1 – m – 3 = 4 ⇒ m = –14 bulunur. 2 2 2 2 2 2 2 Bölüm – 1 / Polinomlar 16 ÖRNEK P(2x+1) = x3 + x2 – x + 2 olsun.P(x) polinomunun x–3 ile bölümünden kalanı bulunuz. ÇÖZÜM P(x) in (x–3) ile bölümünden kalan x–3 = 0 , x = 3 ise k=P(3) olur. Buradan 2x + 1 = 3 ⇒ x = 1 değeri verilen eşitlikte yerine yazarsak P(3) = 1 + 1 – 1 + 2 = 3 bulunur. ÖRNEK P(x+1) = x3 + 2x2 – x + 4 olsun. P(x–1) polinomunun x–2 ile bölümünden kalanı bulunuz. ÇÖZÜM P(x–1) polinomunda x–2 = 0 ve x=2 yazılırsa kalan = P(1) bulunur. İlk verilen bağıntıda x = 0 yazılırsa P(0+1) = 03 + 2.02 – 0 + 4 ise P(1) = 4 bulunur. ÖRNEK (x–2) P(x) = x2 – ax + 6 eşitliği veriliyor. Buna göre P(x) polinomunun (x–3) ile bölümünden kalanı bulunuz. ÇÖZÜM (x–2) . P(x) = x2 – ax + 6 eşitliğinde x = 2 yazılırsa 0 = 4 – 2a + 6 ⇒ a = 5 dir. P(x) polinomunun x–3 ile bölümünden kalan P(3) ü bulmalıyız, a = 5, x = 3 yazılırsa (3–2) P(3) = 32 – 5 . (3) + 6 , P(3) = 0 bulunur. ÖRNEK P(x, y) = (x+y–2)4 + 3(x+y–1)3 + (x+y+2)2 polinomunun (x+y–3) ile bölümünden kalanı bulunuz. ÇÖZÜM P(x, y) polinomunda x + y – 3 = 0 ⇒ x + y = 3 yazılırsa kalan bulunur. Kalan = (3–2)4 + 3(3–1)3 + (3+2)2 = 1 + 24 + 25 = 50 bulunur. ÖRNEK P(x) , Q(x) ve R(x) polinomlarının (x+2) ile bölümünden kalanlar sırasıyla 3, –6 ve 4 dür. Buna göre, a . P(x) + Q(x) . R(x) polinomu (x + 2) ile tam bölünüyorsa a kaçtır? Bölüm – 1 / Polinomlar 17 ÇÖZÜM x + 2 = 0 ve x = –2 ifadesi verilen polinomlarda yerine yazılırsa P(–2) = 3, Q(–2) = –6 ve R(–2) = 4 olur. Buradan a . P(x) + Q(x) . R(x) polinomunda x = –2 yazılırsa kalan sıfırdır. a . P(–2) + Q(–2) . R(–2) = 0 3a – 6 . 4 = 0 ⇒ a = 8 bulunur. ÖRNEK P(x+1) polinomunun (x–1)2 ile bölümünden kalan (3x+2) dir. Buna göre, P(x) polinomunun x–2 ile bölümünden kalan kaçtır? ÇÖZÜM P(x + 1) = (x – 1)2 B(x) + 3x + 2 ve P(x) polinomunda x – 2 = 0 ve x = 2 yazılırsa kalan = P(2) bulunacaktır. Buna göre P(x+1) polunomunda x = 1 yazılırsa, P(2) = 0.B(x) + 3.1 + 2 = 5 bulunur. ÖRNEK P(x) polimonunun (x–2) ve (x+2) ile bölümünden kalanlar sırasıyla 8 ve –4 dür. Buna göre, P(x) in x2–4 ile bölümünden kalanı bulunuz. ÇÖZÜM P(x) in (x–2) ile bölümünden kalan: P(2) = 8 , P(x) x2–4 B(x) – mx+n=K(x) (x+2) ile bölmünden kalan: P(–2)=–4 dür. ⇒ P(x+1) = (x2–4) . B(x) + mx+n dir (K(x) en fazla l. derecedendir) Buna göre P(2) = (4–4) . B(2) + 2m+n=8 P(–2) = (4–4) . B(–2) –2m+n=–4 ise m = 3 ve n = 2 olur. K(x) = mx+n = 3x + 2 bulunur. ll. P(x) polinomunun xn–a ile bölümünden kalanı bulmak: P(x) polinomunun xn–a ile bölümünden kalanı bulmak için xn–a=0 eşitliğini sağlayan xn=a değeri polinomda yerine yazılır. Bölüm – 1 / Polinomlar 18 ÖRNEK P(x) = x36 – 3x18 + 5 polinomunun x9 + 2 ile bölümünden kalanı bulunuz. ÇÖZÜM P(x) = (x9)4 –3 (x9)2 + 5 polinomunda, x9 + 2 = 0 ⇒ x9 = – 2 yazlırsa kalan = (– 2 )4 – 3(– 2 )2 + 5 = 4 – 6 + 5 = 3 bulunur. ÖRNEK P(x) = x11 + 3x10 + x7 + x3 + x + 1 polinomunun x5 + 1 ile bölümünden kalanı bulunuz. ÇÖZÜM x5 + 1 = 0 ⇒ x5 = –1 olduğundan, P(x) polinomu x5 e göre düzenlenir. P(x) = (x5)2 . x + 3(x5)2 + x5 . x2 + x3 + x + 1 ifadesinde x5 görülen yere (–1) yazarak kalan bulunur. kalan = K(x)=(–1)2 . x+3(–1)2+(–1)x2 +x3+x + 1 ⇒ K(x) = x3 – x2 + 2x + 4 bulunur. ÖRNEK P(x) = x12 + ax7 + 3x+b polinomunun bir çarpanı x6–1 ise a ve b değerlerini bulunuz. ÇÖZÜM Bir polinomun çarpanı, onu tam böler yani, kalan sıfırdır. x6 – 1 = 0 ve x6 = 1 ise P(x) = (x6)2 + a . x6 . x + 3x+b ifadesinde x6 = 1 yazılırsa, Kalan=(1)2 + a . x + 3x+b=0 olur. (a+3)x + (b+1) = 0 . x + 0 eşitliğinde a + 3 = 0 ⇒ a = –3 ve b + 1 = 0 ⇒ b = –1 olur. BÖLMEDE ÖZEL İŞLEMLER i) Bölen çarpanlara ayrılmıyor ise bölme özdeşliğinden yararlanılır. ÖRNEK P(x) = x3 + mx + n polinomunun x2 + x + 2 ile bölünebilmesi için m ve n kaç olmalıdır? ÇÖZÜM x3 + mx + n = (x2 + x + 2) . (ax+b) x3 + mx + n = ax3 + (a+b)x2 +(2a+b)x+2b eşitliğinde a = 1 ve a+ b = 0 dan b = –1 bulunur. m = 2a + b = 2 – 1 = 1 ve n = 2b = –2 bulunur. Bölüm – 1 / Polinomlar ii) 19 Bölen birinci dereceden çarpanlara ayrılabiliyorsa polinom her çarpanı ile ayrı ayrı bölünebilir. ÖRNEK P(x) = x3 + ax2 + bx–4 polinomu (x–1) (x–2) ile tam bölündüğüne göre, a ve b yi bulunuz. ÇÖZÜM P(x) polinomu x–1 ve x–2 ile ayrı ayrı bölünebilmelidir. Buna göre, P(1) = 0 ve P(2) = 0 dır. P (1) = a + b – 3 = 0 & a + b = 3 4 & a = –5 ve b = 8 bulunur. P (2) = 4a + 2b + 4 = 0 & 2a + b = –2 iii) Bölen (ax+b)2 biçiminde ise polinom ax+b ile bölünmeli ve elde edilen bölüm yeniden ax+b ile bölünebilmelidir ya da özdeşliklerden yararlanarak polinom eşitliği şeklinde çözülmelidir. ÖRNEK P(x) = 2x3 + ax2 + bx – 3 polinomu (x–1)2 ile bölünebiliyorsa (a, b) kaçtır? ÇÖZÜM I. yol: 2 x=1 2 x=1 2 a b 2 a+2 2 a+4 a+2 a+b+2 –3 a+b+2 a+b–1=0 a+4 2a+b+6=0 2a + b + 6 = 0 –a – b + 1 = 0 a + 7 = 0 ⇒ a = –7 ve b = 8 dir. II. yol: Bu tür bölüm işlemlerinde P(x), (x–a)2 ile bölünebiliyorsa; hem P(x) ve hemde P(x) in birinci türevi x–a ile bölünebilir. P′(x) = 6x2 + 2ax + b → P′(1) = 2a + b + 6 = 0 P(1) = 2 + a + b – 3 = 0 dan aynı şekilde a = –7 ve b = 8 bulunur. III. yol: 2x3 + ax2 + bx – 3 = (x – 1)2 . (2x + c) olmalı 2x3 + ax2 + bx – 3 = 2x3 + cx2 – 4x2 – 2cx + 2x + c eşitliğinde aynı dereceli terimlerin katsayıları birbirlerine eşitlenirse a = –7 ve b = 8 bulunur. Bölüm – 1 / Polinomlar 20 ÇÖZÜMLÜ TEST Aşağıdaki ifadelerden hangisi bir polinom değildir? A) x3 + C) x3 2 x +1 D) E) x4 + B) 1 x2 + 2 x2 – x +1 5 ÇÖZÜM P(x) = x4 + 2x = x4 + ğundan P(x) = x4 + dir. 2x P(x,y) = (3x3y4 + 2xy7 – xy3)2 polinomunun derecesi bulurken 2xy7 polinomunda değişkenlerin üzerleri toplamı 1+7=8 ise 3 x–7 2x 1 2 ÇÖZÜM der[P(x,y)] = 2 . 8 = 16 bulunur. ZAFER YAYINLARI 1. YANIT: D 4. der > A) 2x ifadesi polinom değil- kaçtır? B) 10 C) 6 D) 4 B) 28 C) 24 D) 16 E) 12 der[P(x)] = m ve der[Q(x)] = n ise _ b P (x) b der > – = m n = 4 H b Q (x) ` ⇒ m = 8 ve n = 4 olur. b der : P (x) .Q (x) D = m + n = 12b a der[P(x3) . Q(5x)] = 3.m+n=28 bulunur. 12 12 30 ÇÖZÜM P(x) = 2xa–4 + x a + 4 + 3 polinomunun derecesi A) P (x) H =4 Q (x) Buna göre, der[P(x3) . Q(5x)] kaçtır? ise 1 ∉ N oldu2 YANIT: E 2. der[P(x) . Q(x)] = 12 E) 2 YANIT: B 5. ÇÖZÜM P(x) = (a–2)x4 + (b+1)x3 + cx+d+5 polinomu sıfır polinomu ise Polinomun derecesi doğal sayıdır. b + d ifadesinin sayısal değeri kaçtır? a+c 12 ∈ N olması için a + 4 = 12 olmalıdır ve a+4 a = 8 bulunur. Polinomda bu değeri yerine yazarsak ve P(x) = 2.x4 + x+3 ⇒ der [P(x)] = 4 bulunur. YANIT: D ZAFER YAYINLARI Buna göre a – 4 ≥ 0 ⇒ a ≥ 4 ve a ∈ N dir A) –4 B) –3 C) –2 D) 1 E) 3 ÇÖZÜM P(x) = (a–2)x4 + (b+1)x3 + cx + d + 5 P(x) = 0x4 + 0x3 + 0x + 0 ise a–2=0⇒a=2 3. P(x, y) = (3x3y4 + 2xy7 – xy3)2 polinomunun derecesi kaçtır? A) 6 B) 8 C) 12 D) 16 E) 20 c = 0 ve b + 1 = 0 ⇒ b = –1d+5=0⇒d=–5 dir. b + d = –1 – 5 = –3 bulunur. a+c 2+0 YANIT: B