Uygulama Zamanı

İÇİNDEKİLER
YÜZDE PROBLEMLERİ
HAREKET PROBLEMLERİ
Yüzde Kavramı: Kesir Yüzde İlişkisi......................................1
Hareket Bağıntısı / Hızda Birimler.......................................62
Yüzde Orantısı ve Yüzde İfadeleri.........................................2
Harekette Hız / Harekette Zaman........................................63
Çokluğun Yüzdeleri...............................................................3
Yüzde Hesaplama / Yüzde Parçaları.....................................4
Yüzde ile Artış - Azalış / Yüzdenin Yüzdeleri.........................5
Harfli Yüzdeler / En Az - En Çok............................................6
Tablo - Grafikte Yüzdeler / Yüzdenin Geometrik Yorumu......7
Uygulama Zamanı– 1....................................................8
Asfalt Yol - Toprak Yol / Gidiş – Dönüş................................64
Hız Değiştirme / Değişkenlerle Hareket..............................65
Ortalama Hız.......................................................................66
Aynı Yerden Aynı Yöne / Aynı Yerden Zıt Yöne...................67
Uygulama Zamanı– 6..................................................68
Tekrar Zamanı – 1............................................................
Birbirine Doğru (Zıt Yönlü) Karşılaşma................................70
ÇÖZÜMLÜ TEST – 1......................................................9
Birbirine Doğru Harekette: Yollar / Hızlar.............................71
ÇÖZÜMLÜ TEST – 2.................................................... 11
Yakalayan (Yetişen) Hareketliler..........................................72
Gidiş - Dönüşte Karşılaşma / Karşılaşma – Yakalama........73
KÂR - ZARAR
Uygulama Zamanı – 7.................................................74
Tiracari Terimler...................................................................15
Tren Geçişi: Direk Geçme / Tünel Geçme...........................76
Kârlı Satış / Zararlı Satış.....................................................16
İki Trenin Geçişi: Karşılıklı / Aynı Yönde..............................77
Kârlı Satışta Maliyet / Zararlı Satışta Maliyet......................17
Kâr Yüzdesi / Zarar Yüzdesi................................................18
Zamda Yüzdeler / İndirimde Yüzdeler.................................19
Vergi Yüzdeleri / Enflasyon Yüzdesi....................................20
Yüzdenin Yüzdesi / Etiket Fiyatına Göre Alım – Satım........21
Uygulama Zamanı – 2.................................................22
Tur Bindirmeler / Nehirde Hareket.......................................78
İki Ucu Yanan İp / Hareketin Grafik Yorumu........................79
Saat Problemleri..................................................................80
Uygulama Zamanı – 8.................................................81
Tekrar Zamanı
Değişkenli Kâr - Zarar / Yüzde ile Karşılaştırma..................24
ÇÖZÜMLÜ TEST – 1....................................................82
Tutturabildiğine Satış / Satılan Miktar..................................25
ÇÖZÜMLÜ TEST – 2....................................................84
Zayi Olan Ürünler / Kuruyan Ürünler...................................26
ÇÖZÜMLÜ TEST – 3....................................................86
Alım - Satım Miktarı / Maliyette Masraf................................27
ÇÖZÜMLÜ TEST – 4....................................................88
Faiz hesaplama...................................................................28
Anapara - Zaman / Faizi ile Birlikte Para.............................29
Banka Banka Paralar / Bileşik Faiz.....................................30
Uygulama Zamanı – 3.................................................31
Tekrar Zamanı
ÇÖZÜMLÜ TEST – 1....................................................33
ÇÖZÜMLÜ TEST – 2....................................................35
İŞÇİ - HAVUZ PROBLEMLERİ
İş Kavramı...........................................................................94
İş Miktarı - Zaman İlişkileri / Kesirli İş Miktarı......................95
Birlikte İş Yapma..................................................................96
ÇÖZÜMLÜ TEST – 3....................................................37
Negatif İş.............................................................................97
ÇÖZÜMLÜ TEST – 4....................................................39
Birlikte Yapılan İşte: Tek Başına İş / Geriye Kalan İş...........98
İşe Katılma / İşten Ayrılma...................................................99
KARIŞIM PROBLEMLERİ
İş Denklemleri....................................................................100
Karışımdaki Oranlar / Karışımdaki Yüzdeler.......................45
Uygulama Zamanı– 9................................................101
Karışımdaki Madde Miktarı - Yüzde İlişkileri........................46
Birlikte İş Bağıntısında:Kesir ifadeleri / Kesir Denklemleri.102
Aynı Cins Yüzdeli Karışımları Karıştırma............................47
Çalışma Hızı / İşçi Kapasitesi............................................103
Uygulama Zamanı– 4..................................................48
Farklı Cins Yüzdeli Karışımlar / Karışık Çerez Oluşturma...49
Saf Madde Ekleme / Buharlaşma........................................50
Karışımın Bir Kısmını Kullanma / Karışımın Grafik Yorumu.51
Uygulama Zamanı– 5..................................................52
Tekrar Zamanı
Usta - Çırak İlişkisi / Özdeş İşçiler.....................................104
Aynı İşi Yapma / Havuzun Arasında Musluk......................105
Değişkenle İş - Havuz / En Az - En Çok............................106
Uygulama Zamanı– 10..............................................107
Tekrar Zamanı
ÇÖZÜMLÜ TEST – 1....................................................53
ÇÖZÜMLÜ TEST – 1..................................................108
ÇÖZÜMLÜ TEST – 2....................................................55
ÇÖZÜMLÜ TEST – 2.................................................. 110
ÇÖZÜMLÜ TEST – 3....................................................57
ÇÖZÜMLÜ TEST – 3.................................................. 112
Yüzde Kavramı: Kesir Yüzde İlişkisi
Konu Özeti (Kesirleri ve Ondalığı Yüzdeye Çevirme)
Paydası 100 olan kesir ile belirtilen oranlara yüzde
(%) denir.
a
= %a
100
Yüzde oran ile miktar hakkında genel bir kanı
oluşturulur.
ÖRNEK
Aşağıdaki kesirleri ve ondalıkları yüzde olarak yazınız.
1
a)
b) 0,25
2
Kesir ve ondalığı ya paydası 100 yapılarak
ÇÖZÜM
ya da 100 ile çarpılarak yüzde değeri bulunur.
1
50
=
= %50
a)
100
2
(50)
Pratik yol:
1
1
·100 = 50 ise = %50
2
2
b) 0, 25 =
25
= %25
100
a
100
Yüzdeler kesir halinde belirtildikten sonra en
sade haline çevrilir.
ÖRNEK
Aşağıdaki yüzde ifadelerini kesirli ve ondalıklı olarak
yazınız.
a) %60
b) %0,5
Yüzde ifade 100 e bölünerek kesir ve onda-
ÇÖZÜM
lık hali kolayca bulunur.
a) %60 =
%60 =
60
10 0
3
=
5
60
10 0
=
3
5
60
= 0, 60 = 0, 6
100
51
0, 5
1
=
=
100 1000 200 200
(10)
11
6)
20
Aşağıdak verilen yüzde ifadeleri kesirli olarak yazınız.
1) %10
6) %50
2) %15
7) %60
3) %20
8) %75
4) %25
9) %80
5) %40
10) %150
7) 0,5
3
3) 4
8) 0,2
2
4) 5
5)
%a =
(Yüzdeyi Kesir ve Ondalığa Çevirme)
0, 5
%0, 5 =
= 0, 005
100
Aşağıdak verilen kesirleri ve ondalık sayıları yüzde olarak yazınız.
1
2) 5
Konu Özeti
b) %0, 5 =
Pratik yol: 0,25·100 = 25 ise 0,25 = % 25
1
1) 4
YÜZDE PROBLEMLERİ
9) 0,35
3
10
10) 1,5
1) %25
6) %55
2) %20
7) %50
3) %75
8) %20
4) %40
9) %35
1)
1
10
2)
3
20
6)
1
2
7)
3
5
5) %30
10) %150
3)
8)
3
4
1
5
4)
9)
4
5
1
4
5)
2
5
10)
3
2
1
Yüzde Orantısı ve Yüzde İfadeleri
YÜZDE PROBLEMLERİ
ÖRNEK
Konu Özeti
(Yüzde İfadeleri)
Aşağıdaki yüzde ifadelerinde istenilenleri bulunuz.
Yüzde orantısı ya da doğru orantı ile yüzde ifadeler
kolayca hesaplanabilir.
vv Orantı ile, Miktarın oranı
İlgili kısım
Tamamı
Yüzde oran
=
vv Doğru orantı ile, Miktar
a
100
Yüzde
Tamamı
% 100
İlgili kısım
%a
D.O.: Tamamı·a = 100·İlgili kısım
Yüzde ifadelerinin problem tipleri ileriki sayfalarda detaylı anlatılacaktır.
Aşağıdaki ifadelerde istenilenleri bununuz.
a) 200 sayısının % 30 u kaçtır?
b) Hangi sayının % 40 ı 60 dır?
c) 40 sayısının yüzde kaçı 10 dur?
ÇÖZÜM Yüzde ifadelerinde yüzde orantısı ya da
doğru orantıdan istediğinizi kullanabilirsiniz.
x
30
a)
=
& x·1 0 0 = 2 0 0 ·30 & x = 60
200 100
200 ün % 30 u 60 dır.
b) M
iktar
x
Oran
% 100
60
% 40
D.O.: x·40 = 60·100 ⇒ x = 150 dir.
% 40 ı 60 eden sayı 150 dir.
10
x
c)
=
& 1 0 ·100 = 4 0 ·x & x = 25
40 100
10 sayısı 40 ın % 25 i dir.
6. Hangi sayının %35 i 63 tür?
1. 20 sayısının %10 u kaçtır?
7. 120 sayısının yüzde kaçı 90 dır?
2. 80 sayısının %30 u kaçtır?
8. 250 sayısının yüzde kaçı 100 dür?
3. 200 sayısının %45 i kaçtır?
9. 16 sayısının yüzde kaçı 0,8 dir?
4. Hangi sayının %20 si 8 dir?
10.0,08 sayısının yüzde kaçı 0,02 dir?
5. Hangi sayının %60 ı 54 tür?
2
1) 2
2) 24
3) 90
4) 40
5) 90
6) 180
7) %75
8) %40
9) %5
10) %25
Çokluğun Yüzdeleri
YÜZDE PROBLEMLERİ
Yüzde problemleri orantı ve doğru orantı ile çözülebileceği gibi yüzde orantıdan elde edilen aşağıdaki
formülle de kolayca çözülür.
x
A nın % x i = A·
100
ÖRNEK
(Çokluğun Yüzdesi)
¨ 2000 maaş alan bir memur, maaşının % 25 ini kiraya
ödüyor. Bu memurun kirasının kaç ¨ olduğunu bulunuz.
ÇÖZÜM
(Yüzdesi Verilen Çokluk)
ÖRNEK
Konu Özeti
% 40 ı dolu bir su deposunda, 8 ton su bulunduğuna
göre deponun tamamının ne kadar su alacağını bulunuz.
I Yol: % 40
25
= 500 dür.
II. Yol: ¨ 2000 nin % 15 i = 20 0 0 ·
10 0
8 ton
% 100
x
D.O.: 40·x = 100·8 ⇒ x = 20 dir.
Kira ¨ x olsun,
x
25
=
& x·1 0 0 = 25·20 0 0 & x = 500 dür.
I. Yol:
2000 100
Deponun tamamı x ton su alsın,
ÇÖZÜM
II. Yol: x·
40
=8&
100
1
x =
8 ·100
40 5
& x = 20 dir.
1. Kerem'in 300 lira parası vardır. Kerem, parasının %25
ini harcıyor. Kerem'in kaç lirası kalmıştır?
4. 180 L su bulunan bir depodaki suyun yüzde kaçı boşaltılırsa depoda 126 L su kalır?
2. 200 lirası olan bir çocuk, parasının önce %25 ini harcıyor. Daha sonra kalan parasının %30 unu harcayınca,
son durumda kaç lirası kalmıştır?
5. %60 ı dolu olan bir su deposunda 48 L su olduğuna
göre deponun tamamı kaç L su alır?
3. Bir çocuk, elindeki misketlerin %40 ını arkadaşına
verince 36 tane misketi kalıyor. Buna göre çocuğun
elinde başlangıçta kaç tane misket vardır?
1) 225
2) 105
3) 60
6. Parasının %30 unu harcayan bir kişi, 400 lira daha
harcarsa parasının %50 sini harcamış olacak. Buna
göre bu kişinin parası kaç liradır?
4) 30
5) 80
6) 2000
3
Yüzde Hesaplama / Yüzde Parçaları
YÜZDE PROBLEMLERİ
Konu Özeti
(Yüzde Hesaplama)
(Yüzde Parçaları)
Konu Özeti
Yüzde hesaplanırken "Neye göre yüzde?" sorusuna verilen cevaba göre yüzde orantısı kurulur ya da
orantıdan elde edilen aşağıdaki formüle başvurulur.
a
a nın b ye göre yüzdesi = ·100
b
Bir yüzdeyi oluşturan parçaların her birinin yüzdeleri
toplamı % 100 eder. Örneğin, % 40 ı dolu olan bir
deponun % 60 ı boştur. (% 40 + % 60 = % 100)
ÖRNEK
ÖRNEK
Elif, girdiği 20 soruluk bir sınavda, 15 soruyu doğru cevaplandırıyor. Doğru cevaplandırılan soruların yüzdesini
bulunuz.
ÇÖZÜM
I. Yol:
Doğru cevaplandırılan soruların yüzdesi,
% x olsun,
15
x
=
& x· 20 = 15· 100 5 & x = 75 tir.
20 100
II. Yol: x =
15
· 100 5 & x = 75 tir.
20 1
ÇÖZÜM
Sınıftaki kız sayısı x olsun,
Sınıfın % 60 ı kız ise % 40 ı erkektir.
% 40
12
% 60
x
D.O.: 1 4 0 ·x = 6 0 · 12 3 & x = 18 bulunur.
Aşağıdaki problemlerde istenilenleri bulunuz.
Aşağıdaki problemlerde istenilenleri bulunuz.
1. Alper, 200 lira parasının 70 lirasını harcıyor. Buna göre
Alper, parasının yüzde kaçını harcamıştır?
1. Bir miktar yumurtanın taşıma sırasında
2. 0,0032 sayısı 0,16 sayısının yüzde kaçıdır?
3. Ahmet parasının önce 5 te 2 sini daha sonra kalanın
yarısını harcıyor. Buna göre Ahmet'in harcadığı toplam
para tüm parasınını yüzde kaçıdır?
4
% 60 ı kız olan bir sınıfta 12 erkek vardır. Buna göre bu
sınıfın erkek yüzdesini ve sınıftaki kız sayısını bulunuz.
1) 35
2) 2
3) 70
3
i kırılmıştır.
5
Buna göre yumurtaların yüzde kaçı sağlam kalmıştır?
2. %30 u dolu olan bir depoya 56 ton su ilave edildiğinde
depo tamamen doluyor. Buna göre depoda başlangıçta kaç ton su vardır?
3. %40 ı kız olan bir sınıftaki erkeklerin %40 ı gözlüklüdür. Buna göre gözlüklü erkek öğrenci sayısı sınıf
mevcudunun yüzde kaçına eşittir?
1) 40
2) 24
3) 24
Yüzde ile Artış - Azalış / Yüzdenin Yüzdeleri
Konu Özeti
(Yüzde ile Artış - Azalış)
a sayısının % x fazlası: a + a·
a sayısının % x eksiği: a - a·
YÜZDE PROBLEMLERİ
Konu Özeti
x
100
(Yüzdenin Yüzdeleri)
Yüzde alınırken yüzdesi alınacak ifade "neye göre
yüzde?" sorusu ile iyi tespit edilmelidir.
x
100
ÖRNEK
Bir mühendisin maaşı ilk altı ay için % 20 arttırılıyor.
İkinci altı ay için maaş %20 daha arttırılırsa maaşın ilk
duruma göre artış yüzdesini bulunuz.
ÖRNEK
50 sayısı,
a) %20 arttırılırsa kaç olur?
ÇÖZÜM
b) %20 azaltılırsa kaç olur?
maaşına 100p diyelim,
ÇÖZÜM
a) Başlangıç: 100p
20
İlk altı ay (% 20 lik) artış: 20p, Maaş: 120p
20
= 24p, Maaş: 144p
İkinci altı ay (% 20 lik) artış: 120p·
100
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
O halde mühendisin maaşı ilk durumdan (100p) son
duruma (144p), 44p artar. Yani yüzde olarak artış % 44 tür.
a) 50 + 5 0 ·
= 50 + 10 = 60
10 0
1 44 2 44 3
artış
20
= 50 - 10 = 40
b) 50 - 5 0 ·
10 0
1 44 2 44 3
Kesirsiz işlem yapabilmek için mühendisin
azalış
Aşağıdaki ifadelerde istenilenleri bulunuz.
Aşağıdaki ifadelerde istenilenleri bulunuz.
1. 60 sayısı %30 arttırılırsa kaç olur?
1. 200 lirası olan bir çocuk, parasının önce %40 ını daha
sonra ise kalan parasının %20 sini harcıyor. Son durumda çocuğun elinde kaç lirası kalmıştır?
2. 150 sayısı %40 arttırılırsa kaç olur?
2. Bir memurun maaşı ilk 6 ayda %30, ikinci 6 ayda %20
arttırılıyor. Buna göre ilk duruma göre memurun maaşı
yüzde kaç artmıştır?
3. 90 sayısı %20 azaltılırsa kaç olur?
3. Su dolu bir havuzun önce %20 si boşaltılıyor. Daha
sonra kalan suyun %40 ı boşaltılırsa son durumda
havuzun yüzde kaçı dolu olur?
4. 60 sayısı %25 azaltılırsa kaç olur?
1) 78
2) 210
3) 72
4) 45
1) 96
2) 56
3) 48
5
Harfli Yüzdeler / En Az - En Çok
YÜZDE PROBLEMLERİ
Konu Özeti
(Harfli Yüzdeler)
Konu Özeti
Yüzde oranları harfli ifadeler üzerine uygulanarak
denklemler, en az - en çok ifadeleri, sıralamalar gibi
işlemler yapılabilir.
ÖRNEK
(Denklem)
Şartlara uygun olarak istenileni en az ya da en çok
yapacak olan değer ifadedeki değişkende yerine yazılır.
ÖRNEK
3a = 5x + 6 denkleminde x sayısı a nın % 20 si olduğuna göre x ve a yı bulunuz.
ÇÖZÜM
x, a nın % 20 si ise; x = a·
20 1
100 5
&x=
x i denklemde yerine yazalım; 3a =
5a
5
% 65 i erkek olan bir sınıfın erkek sayısı en az kaçtır?
ÇÖZÜM
Sınıfın mevcudu x olsun,
65 13
13
dir.
20
a
5
Erkek sayısı = x
+ 6 & a = 3 tür.
Erkek sayısının tam sayı olabilmesi için x in 20 ve 20
nin katları olması gerekir. O halde x in en küçük değeri
20 dir.
a nın değerini denklemde yerine yazalım; 3·3 = 5x + 6
3
⇒ 9 = 5x + 6 ⇒ 9 – 6 = 5x ⇒ 3 = 5x ⇒ x =
dir.
5
Erkek sayısı = x
100 20
= x·
13
13
= 20
= 13 bulunur.
20
20
Aşağıdaki ifadelerde istenilenleri bulunuz.
Aşağıdaki ifadelerde istenilenleri bulunuz.
1. x sayısının %30 u y sayısına eşittir. x + 2y = 320 olduğuna göre x kaçtır?
1. Bir sepet yumurtanın %55 i taşıma sırasında kırılmıştır.
Buna göre kırılan yumurta sayısı en az kaçtır?
2. A sayısının %20 si B sayısının %50 sine eşittir.
2. Ali'nin misketlerinin sayısı Veli'nin misketlerinin sayısının %30 u dur. İkisinin misket sayıları toplamı iki
basamaklı bir sayı ise en çok kaçtır?
A = B + 96 oldğuna göre A kaçtır.
3. B = 3A + 40 eşitliğinde A sayısı B sayısının %20 sine
eşit olduğuna göre A kaçtır?
6
(En Az - En Çok)
1) 200
2) 160
3) 20
3. a nın %20 fazlası b, b nin ise %20 eksiği c olduğuna
göre a, b ve c arasındaki sıralama nedir?
1) 11
2) 91
3) c < a < b
Tablo - Grafikte Yüzdeler / Yüzdenin Geometrik Yorumu
Konu Özeti
(Tablo - Grafikte Yüzdeler)
YÜZDE PROBLEMLERİ
Konu Özeti
Tablo ya da grafiğin hangi ölçeğinin yüzdesi alınacaksa o ölçeğin toplamına %100 denilerek orantı kurulur.
ÖRNEK
Yandaki sütun grafik, bir
Öğrenci sayısı
sınıftaki öğrencilerin
8
matematik sınavından
7
aldıkları notların dağılımını 5
göstermektedir. 3 ve 3 ün
3
2
üzerinde not alanlar
başarılı olduğuna göre bu
1 2 3 4 5
sınıfta başarısız olanların
yüzdesi nedir?
(Yüzdenin Geometrik Yorumu)
Geometrik şeklin ebatlarındaki yüzde değişim tespit
edilerek istenilen değişimin yüzdesi bulunur.
ÖRNEK
Bir dikdörtgenin kısa kenarı % 20 arttırılıp uzun kenarı
% 20 azaltılırsa alandaki değişim yüzde kaç olur?
ÇÖZÜM
Alınan
not
Kısa kenarı 10k, uzun kenarı 10u alalım,
Alan = 10k·10u = 100ku olur.
Kısa kenar % 20 artarsa = 10k + 10k·
20
= 12k
100
Uzun kenar % 20 azalırsa = 10u – 10u·
ÇÖZÜM
Başarısızlar (1 veya 2 alanlar) = 2 + 3 = 5 kişi
Toplam = 2 + 3 + 7 + 8 + 5 = 25 kişi
Başarısızların yüzdesi =
20
= 8u
100
Yeni alan = 12k·8u = 96ku
Alandaki değişim = 100ku – 96ku = 4ku
5
· 100 4 = %20
25 1
O halde alan, % 4 azalmıştır. (100ku da 4ku azalış)
Aşağıdaki sütun grafiği bir okuldaki öğrencilerin sınıflara göre sayılarını göstermektedir.
Öğrenci sayısı
Aşağıdaki ifadelerde istenilenleri bulunuz.
1. Bir karenin kenarları %20 arttırılırsa alanı yüzde kaç
artar?
30
20
18
12
9. Sınıf 10. Sınıf 11. Sınıf 12. Sınıf
Sınıf
Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız?
2. Bir dikdörtgenin kısa kenarı %30 azaltılıp uzun kenarı
%30 arttırılırsa alandaki değişim yüzde kaç olur?
1. 10. sınıftaki öğrenciler okulun yüzde kaçıdır?
2. 11. sınıftaki öğrenciler okulun yüzde kaçıdır?
3. Bir dikdörtgenin uzun kenarı %50 azaltıldığında alanın
değişmemesi için kısa kenarı yüzde kaç arttırılmalıdır?
3. 11. sınıftaki öğrenciler 10. sınıftaki öğrencilerin yüzde
kaçıdır?
1) 25
2) 15
3) 60
1) 44
2) %9 azalır
3) %100
7
Uygulama Zamanı
Uygulama – 1
1. 40 sayısının %25 inin 4 eksiği kaçtır?
9. %40 ı dolu olan bir depoya 36 ton su ilave edildiğinde
deponun tamamı doluyor.
Buna göre başlangıçta depoda kaç ton su vardır?
2. 300 sayısının %40 ının %25 i kaçtır?
10.A sayısı B sayısının %40 ına, C sayısı da A sayısının
%40 ına eşittir.
3. Hangi sayısının %60 ı 90 eder?
Buna göre C sayısı B sayısının yüzde kaçıdır?
4. 80 sayısının yüzde kaçı 12 dir?
11.Bir çocuk, elindeki parasının önce %60 ını daha
sonra kalan parasının %30 unu harcıyor.
5. 0,064 sayısının %25 i kaçtır?
Buna göre ilk duruma göre çocuğun elindeki parasının yüzde kaçı kalmıştır?
6. %7 si ile %9 unun toplamı 32 eden sayı kaçtır?
12.A sayısının %40 ı B sayısına eşittir.
7. Murat elindeki parasının %30 unu Ali'ye verince elinde 56 lirası kalıyor.
A ile B arasında A = 2B + 20 bağıntısı varsa B kaçtır?
Buna göre Murat'ın elinde başlangıçta kaç lira vardır?
13.Bir dikdörtgenin kısa kenarı %10 azaltılıp uzun
kenarı %30 arttırılırsa alanı nasıl değişir?
8. %45 i dolu olan bir depoda 36 ton su bulunduğuna göre deponun tamamı kaç ton su alır?
1) 6
8
2) 30
3) 150
4) 15
5) 0,016
6) 200
7) 80
8) 80
9) 24
10) 16
11) 28
12) 40
13) %17 artar
Zayi Olan Ürünler / Kuruyan Ürünler
KÂR - ZARAR
Konu Özeti
(Zayi Olan Ürünler)
Konu Özeti
Satıcı ürünleri aldıktan sonra ürünlerin bir kısmı kırılarak, çürüyerek ya da bozularak zayi olursa toplam
maliyet değişmezken sağlam kalan ürünlerin birim
başına düşen maliyeti artar.
(Kuruyan Ürünler)
Yaş iken alınan ürün kuruyunca ağırlığının bir kısmını kaybedeceğinden toplam maliyet değişmez birim
maliyet artar.
ÖRNEK
ÖRNEK
Tanesi ¨ 5 ye alınan 12 biblonun 2 tanesi kırılıyor.
Buna göre kalan bibloların tanesinin maliyeti kaç ¨ ye
çıkmıştır?
ÇÖZÜM
Toplam maliyet değişmez, birim başına
düşün maliyet artar.
Toplam maliyet = 5·12 = 60 liradır.
12 biblonun 2 si kırılınca kalan 12 – 2 = 10 biblonun
maliyeti de 60 liradır.
60
= 6 liraya maledilmiş
O halde, biblonun tanesi =
10
olur.
Kilogramı ¨ 40 den alınan kayısı kuruyunca ağırlığının
%20 sini kaybediyor. Buna göre kuru kayısının kilogramının kaça malolduğunu bulunuz.
ÇÖZÜM
Yüzdenin kolay hesaplanabilmesi için gram
üzerinden hesaplarımızı yapalım. 1 kg = 1000 gr dır.
Yaş kayısının 1 kg (1000 gr) maliyeti = ¨ 40 dir.
Kuruyunca ağırlığının %20 si kaybolacağından,
20
= 200 gr, Kalan = 1000 – 200 = 800
Kayıp = 1000·
100
gr dır.
Toplam maliyet değişmediği için 800 gr kuru kayısı, ¨ 40
maledilmiş olur. 1000 gr (1 kg) ın fiyatı ¨ x olsun,
800 gr
¨ 40
1000 gr
¨x
D.O.: 800·x = 1000·40 ⇒ x = 50 dir.
26
Aşağıdaki problemlerde istenilenleri bulunuz.
Aşağıdaki problemlerde istenilenleri bulunuz.
1. Tanesi 5 liraya alınan 24 tane yumurtadan 4 tanesi kırılıyor. Buna göre kalan yumurtaların tanesinin maliyeti
kaç lira olmuştur?
1. Yaş sabun kuruyunca ağırlığının %30 unu kaybetmekte ve kuru sabunun kilosu 10 liraya gelmektedir. Buna
göre yaş sabunun kilosu kaç liradır?
2. Bir manavın aldığı ürünlerin üçte biri çürüdüğüne göre
birim başına düşen maliyet yüzde kaç artmıştır?
2. Kilosu 2 liradan alınan yaş üzüm kuruyunca kilosu 5
liraya gelmiştir. Buna göre yaş üzüm kuruyunca yüzde
kaç fire vermiştir?
3. Tanesi 10 liraya alınan 20 tane bardağın 5 tanesi
kırılıyor. Kalan bardaklardan tanesi 20 liradan satılırsa
yüzde kaç kâr edilir?
3. Yaş incir kuruyunca ağırlığının %20 sini kaybediyor.
Bir aktar kilosu ¨ 10 den 50 kilo inciri alıp kurutarak
tamamını ¨ 600 ye satarsa, 1 kilo kuru incirden kaç ¨
kâr eder?
1) 6
2) 50
3) 50
1) 7
2) 60
3) 2,5
Alım - Satım Miktarı / Maliyette Masraf
Konu Özeti
(Alım - Satım Miktarı)
Konu Özeti
Ürünün, alım ve satım miktarları farklı ise her bir ürünün alım ve satım tutarları tespit edilir.
ÖRNEK
(Masraflı Maliyet)
Ürünün, birim miktarının alış fiyatı ve birim miktara
yapılan masraf toplanarak ürünün birim maliyeti bulunur. Kâr maliyet üzerinden tespit edilir.
ÖRNEK
5 kalemi ¨ 40 ye alıp, 3 kalemi ¨ 30 ye satan bir kırtasiye, kaç kalem satarsa ¨ 60 kâr eder?
ÇÖZÜM
KÂR - ZARAR
1 kalemin alım ve satım değerini bulalım,
Alım: 5 kalem ¨ 40 ise 1 kalem =
40
= 8 liradır.
5
Satım: 3 kalem ¨ 30 ise 1 kalem =
30
= 10 liradır.
3
10 L lik zeytin yağını ¨ 40 ye alan bir market, yağın
tamamını yarım L lik şişeler halinde satacaktır. Her şişe
için 50 kr luk şişeleme masrafı olmaktadır. Bu market
10 L lik yağ satışından ¨ 50 kâr etmek isteğine göre, bir
şişe yağı kaç ¨ den satmalıdır?
ÇÖZÜM
1 şişeleme masrafı 50 kr = ¨ 0,5 den toplam
masraf ve maliyeti tespit edelim.
10
= 20 şişeleme yapılır.
10 L yağ ile yarım L lik,
0, 5
Toplam masraf = 20·0,5 = 10 liradır.
Alış Masraf
678 678
Toplam maliyet = 40 + 10 = 50 liradır.
Maliyet Kâr
1 kalemde kâr = 10 – 8 = 2 liradır.
1 kalemde
2 lira kâr
x kalemde
60 lira kâr
678
678
Toplam satış = 50 + 50 = 100 liradır.
100
= 5 liradır.
1 şişenin satışı =
20
D.O.: 2·x = 1·60 ⇒ x = 30 adet kalem
Aşağıdaki problemlerde istenilenleri bulunuz.
Aşağıdaki problemlerde istenilenleri bulunuz.
1. 4 kalemi 9 liraya alıp 5 kalem 11 liraya satan kırtasiyeci 20 kalem sattığında kâr zarar durumu ne olur?
1. ¨ 5000 ye alınan ikinci el bir arabaya alış fiyatının %60 ı
kadar masraf edilerek, %25 kârla kaç ¨ ye satılır?
2. Ömer 5 tanesini 300 liraya aldığı gömleklerin 6 tanesi
350 liraya satarak 200 lira zarar etmiştir. Buna göre
Ömer kaç tane pantolan satmıştır?
2. 30 kg kayısıyı 120 liraya alan bir satıcı, kayısıyı 3 kg
lık paketler halinde satacaktır. Buna göre 30 kg kayısının tamamı paketlenirse 20 lira paketleme masrafı
olacağına göre her bir paketin maliyeti kaç lira olur?
3. 4 tanesi 150 liraya alınan bir malın, 5 tanesi 225 liraya
satılıyor. Buna göre bu maldan elde edilen kâr yüzde
kaçtır?
1) 1 lira zarar
2) 120
3) 20
3. 10 kg lık tereyağını 40 liraya alan bir market yağın
tamamını 1 kg lık paketler halinde satacaktır. Her
paket için 50 kuruşluk paketleme masrafı olmaktadır.
Bu market 10 kg lık yağ satışında 15 lira kâr etmek
istediğine göre bir paket yağı kaç liradan satmalıdır?
1) 10000
2) 14
3) 6
27
Faiz Hesaplama
KÂR - ZARAR
ÖRNEK
Konu Özeti
¨ 600 nin %40 dan,
Basit Faiz: Bankaya yatıran anaparanın değişmediği
faiz türüdür.
a) 2 yıllık
b) 2 aylık
faiz gelirlerini bulunuz.
A = ¨ 600, yıllık faiz yüzdesi n = %40 tır.
ÇÖZÜM
Faiz hesapları yüzde ile yapılabileceği gibi yüzde
orantısından elde edilen aşağıdaki formül de kullanılabilir.
F: Faiz geliri, A: Anapara, n: Faiz Yüzdesi, t: Zaman
Yıllık Faiz: f = A·
n
·t
100
Aylık Faiz: f = A·
n
t
·
100 12
123
n
t
·
100 360
123
Günlük Faiz: f = A·
Zamana göre faiz geliri formüllerini kullanalım.
a) f = 6 00 ·
b) 2 ay =
40
·2 = 480 liradır.
1 00
2
yıldır.
12
Bankacılıkta
1 yıl = 360 gündür.
Faiz formülünde aksi belirtilmediği sürece faiz
yüzdesi yıllıktır. Bu yüzden aylık ve günlük faiz
hesaplanırken zamanın yıl olarak karşılıkları tespit
edilerek kullanılır.
Aşağıdaki problemlerde istenilenleri bulunuz.
f = 6 00 ·
40 2
= 40 liradır.
·
1 00 12
40 66
66
= 44 liradır.
·
yıldır. f = 6 00 ·
360
1 00 360
c) 66 gün =
Bankacılıkta
1 yıl = 12 aydır.
c) 66 günlük
ÖRNEK
¨ 400 nin aylık %20 faiz oranıyla 6 ayda kaç ¨ faiz geliri
getireceğini bulunuz.
ÇÖZÜM
Faiz yüzdesi ve geçen sürenin zaman birimi
aynı iken zamanda düzenleme yapmaya gerek yoktur.
A = ¨ 400, aylık faiz yüzdesi, n = %2, t = 6 ay
2
f = 400·
·6 = 48 liradır.
100
4. 450 lira, aylık %2 faiz oranı ile 10 ayda kaç lira faiz
getirir?
1. 120 lira yıllık %30 dan 3 yıllığına bankaya yatırılırsa
kaç lira faiz getirir?
2. 2400 lira, %20 den 8 aylığına bankaya yatırılırsa kaç
lira faiz getirir?
3. 45000 lira yıllık %8 den 300 günlüğüne bankaya yatırılırsa kaç lira faiz getirir?
28
1) 108
2) 320
3) 3000
5. A lira, %18 faiz oranı ile 240 günde kaç lira faiz getirir?
6. Yıllık %20 ile bankaya yatırılan 360 lira kaç ay sonra
60 lira faiz geliri getirir?
4) 900
5)
3A
25
6) 10
Anapara - Zaman / Faizi ile Birlikte Para
(Anapara (Kapital) - Zaman)
Konu Özeti
Faiz yüzdesi yıllık olduğu sürece aranan süre yıl olarak bulunur.
600 = A·
f = ¨ 600, A = Kapital, n = %30, t = 4 yıl
30
·4 & A =
100
Bankaya yatırılan anapara faizi ile birlikte, f + A olarak
çekilir. Mümkün olduğunca tek değişken ile denklemleri kurulur.
ÖRNEK
(Kapital)
%30 faizle, 4 yılda, ¨ 600 faiz geliri getiren kapitali
(anaparayı) bulunuz.
ÇÖZÜM
(Faizi ile Birlikte Para)
Konu Özeti
Bankaya yatırılan anapara, bazı kaynaklarda kapital
olarak kullanılır.
ÖRNEK
KÂR - ZARAR
20
600 · 100 25
30 · 4
= 500 liradır.
Yıllık %25 faizle bankaya yatırılan para, 24 ay sonra
faiziyle birlikte ¨ 300 olarak çekildiğine göre bankaya
yatırılan parayı bulunuz.
f + A = 300 ⇒ f = 300 – A dır. 24 ay = 2 yıl
ÇÖZÜM
olduğuna göre,
ÖRNEK
(Zaman)
1
300 - A = A·
¨ 300 para, %20 den kaç yıllığına bankaya yatırılırsa
¨ 240 faiz geliri getirir?
ÇÖZÜM
f = A·
n
·t de bilinenleri yerine yazalım.
100
E
A
f
C D 20
240 = 3 00 ·
·t & 240 = 60 t & t = 4 yıl bulunur.
1 00
n
1
300 - A =
25
100 4
2A
2
·2 &
&
4
2(300 – A) = A ⇒ 600 – 2A = A ⇒
600 = 3A ⇒ A = 200 liradır.
Aşağıdaki problemlerde istenilenleri bulunuz.
Aşağıdaki problemlerde istenilenleri bulunuz.
1. Hakan parasını yıllık %60 tan 2 yıllığına bankaya
yatırıyor. Hakan 2 yıl sonunda 360 lira faiz geliri elde
ettiğine göre bankaya yatırılan para kaç liradır?
1. Yıllık %10 faizle bankaya yatırılan para 3 yıl sonra
faizi ile birlikte 234 lira olarak çekildiğine göre bankaya
yatırılan para kaç liradır?
2. Kubilay, parasını yıllık %20 den 480 günlüğüne bankaya yatırdığında 4000 lira faiz geliri elde ediliyor. Buna
göre anapara kaç liradır?
2. Yıllık %8 faizle bankaya yatırılan para 9 ay sonra faizi
ile birlikte 2650 lira olarak çekilen para kaç liradır?
3. Yıllık %60 faiz veren bir bankaya yatırılan para kaç ay
1
sonra kendisinin ü kadar faiz getirir?
4
3. Yıllık %5 faizle bankaya yatırılan para 240 gün sonra
faizi ile birlikte 1860 lira olarak çekiliyor. Buna göre
bankaya yatırılan para kaç liradır?
1) 300
2) 15000
3) 5
1) 180
2) 2500
3) 1800
29
Banka Banka Paralar / Bileşik Faiz
KÂR - ZARAR
Konu Özeti
(Banka Banka Paralar)
Konu Özeti
Paranın bir kısmı bir bankada, diğer bir kısmı başka
bir bankada ise her birinin uygulayacağı faiz yüzdeleri ayrı ayrı değerlendirilir.
ÖRNEK
A bankasının ¨ 200 ye %x ten 3 yılda getirdiği basit faiz,
B bankasının ¨ 300 ye %y den 5 yılda getirdiği basit
faize eşit ise x ile y arasındaki ilişkiyi bulunuz.
Her dönem sonunda anaparaya faizi ekleyerek basit
faiz formülüyle ya da aşağıdaki formülle bileşik faiz
hesaplanabilir.
n t
m
f + A = A· c 1 +
100
ÖRNEK
¨ 200 nin, yıllık %30 dan 2 yıllık bileşik faizini bulunuz.
Her yıl sonunda bulduğumuz faizi anapara-
ya ekleyelim.
A bankası
B bankası
48
6 444 7 44
4 8 6 444 7 4 4
y
x
·3 = 3 00 ·
·5 &
2 00 ·
100
100
2
Her dönem sonunda elde edilen faiz anaparaya eklenerek anaparanın sürekli arttığı faiz türüdür.
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
(Bileşik Faiz)
1. yıl: f1 = 200·
30
·1 = 60 liradır.
100
2. yıl: f2 = (200 + 60) ·
30
·1 = 78 liradır.
100
Toplam faiz geliri: 60 + 78 = 138 liradır.
6 x = 5 15 y &
II. yol: Formülle, f + 200 = 200· c 1 +
2x = 5y bulunur.
30 2
m & f = 138
100
Aşağıdaki problemlerde istenilenleri bulunuz.
Aşağıdaki problemlerde istenilenleri bulunuz.
1. A bankasına 150 lira %x ten 4 yılda getirdiği basit faiz,
B bankasının 200 liraya %y de 3 yılda getirdiği basit
faize eşit ise x ile y arasındaki ilişki nedir?
1. 300 liranın yıllık %20 den 2 yıllık bileşik faizi kaç
liradır?
2. 300 liranın bir kısmını %25 faiz oranıyla 6 aylığına A
bankasına, geriye kalan para %40 faiz oranıyla 8 aylığına B bankasına yatırılıyor. Sonuçta her iki bankadan
alınan faizler toplamı 63 lira olduğuna göre A bankasına kaç lira yatırılmıştır?
2. 640 liranın yıllık %25 den 3 yıllık bileşik faizi kaç
liradır?
3. %20 bileşik faizle 2 yıllığına bankaya yatırılan ¨ 500,
2 yıl sonunda kaç ¨ olarak çekilir?
30
1) x = y
2) 120
1) 132
2) 610
3) 720
Uygulama Zamanı
1. Bir malın maliyeti x, satış fiyatı y dir.
x ile y arasında y = 2x – 70 bağıntısı bulunduğuna
göre %30 kârla satılan bu malın maliyeti x kaçtır?
Uygulama – 3
4. Bir tüccar bir malın %40 ını %20 kârla, geriye kalanı
ise %10 zararla satıyor.
Buna göre tüccarın tüm satış sonundaki kâr - zarar
durumu nedir?
1
5. Bir satıcı bir kumaşın
ini %60 kârla, geriye kalanı
5
%20 zararla satıyor.
2. Bir malın maliyeti A, satış fiyatı B dir.
A ile B arasında B = A + 80 bağıntısı bulunduğuna
göre %40 kârla satılan bu malın satış fiyatı B kaç
liradır?
Buna göre satıcının tüm satıştaki kâr - zarar durumu nedir?
6. Bir tüccar bir malın %40 ını %30 kârla satıyor.
Geri kalanı yüzde kaç kâç karla satarsa tüm satıştan %24 kâr eder?
3. A lira maaş alan bir işçinin maaşına patronu tarafından iki farklı teklif sunulmuştur.
7. Bir manav karpuzların tanesini 4 liradan satarsa 40
lira zarar, 6 liradan satarsa 20 lira kâr ediyor.
I. teklif: x lira zam
II. teklif: %25 zam
İşçi II. teklifi kabul ettiğine göre A ile x arasındaki
ilişki nedir?
Buna göre manavın kaç tane karpuzu vardır?
8. Kilosu 12 lira olan yaş incir kuruyunca ağırlığının
%20 sini kaybediyor.
Buna göre kuru incirin kilosu kaç liraya gelmiştir?
1) 100
2) 280
3) A > 4x
4) %2 kâr
5) %4 zarar
6) 20
7) 30
8) 15
31
9. Tanesi 6 liraya alınan 15 tane vazonun taşıma sırasında 5 tanesi kırılıyor.
Buna göre kalan vazoların maliyeti kaç liraya çıkmıştır?
10.Kilosu 6 liraya alınan muzun %40 ı çürüyor.
Geriye kalan muzun kilosu en az kaç liradan satılmalıdır ki zarar edilmesin?
13.40 kg fındığı 180 liraya alan bir satıcı, fındığı 5 kg lık
paketler halinde satacaktır.
Buna göre 40 kg fındığın tamamı için 12 lira paketleme masrafı yapılırsa her bir paket fındığın maliyeti kaç lira olur?
14.48000 lira yıllık %6 dan 5 ay sonra kaç lira faiz
getirilir?
15.Yıllık %15 den bankaya yatırılan 2400 lira kaç gün
sonra 90 lira faiz getirir?
11.3 tane kalemi 4 liraya alıp, 4 tane kalemi 6 liraya
satan bir kırtasiyeci 12 tane kalem satarsa kaç lira
kâr eder?
16.Emine parasının yıllık %20 den 8 aylığına bankaya
yatırıyor.
Emine 8 ayın sonunda 2000 lira faiz geliri elde ettiğine göre bankaya yatırılan para kaç liradır?
12.5 tane kalemi 7 liraya alıp, 7 kalemi 10 liraya satan
bir kırtasiyecinin 5 lira kâr etmesi için kaç kalem
satması gerekir?
32
9) 9
10) 10
11) 2
12) 175
17.A bankasının 240 liraya %x ten 4 ayda getirdiği
faiz, B bankasının 300 liraya %y den 2 ayda getirdiği faizin 2 katı olduğuna göre x ile y arasındaki
ilişki nedir?
13) 6
14) 1200
15) 90
16) 15000
17) 4x = 5y
Tekrar Zamanı
ÇÖZÜMLÜ TEST – 1
1. Maliyeti 240 lira olan bir ürün %15 kârla kaç liraya
satılır?
A) 260
B) 264
C) 272
D) 276
E) 280
5. 1800 lira maaş alan bir memurun maaşına %15 zam
yapılıyor.
Buna göre memurun yeni maaşı kaç liradır?
A) 2040 B) 2070 C) 2100
2. 450 liraya mal edilen bir mal %20 zararla kaç
liraya satılır?
A) 300
B) 320
C) 345
D) 360
E) 400
6. 450 liraya satılan bir takım elbise satışların az olduğu
görülünce satış fiyatı üzerinden %40 indirim yapılarak
satılıyor.
Buna göre takım elbisenin son satış fiyatı kaç liradır?
A) 300
3. %30 kârla satılan bir malın satış fiyatı 312 lira ise
maliyeti kaç liradır?
A) 240
B) 250
C) 260
D) 270
E) 280
D) 2140 E) 2170
B) 270
C) 250
D) 240
E) 210
7. Bir montun maliyeti 400 liradır. Bu mont kış sezonunda %20 kârla satılıyor. Sezon sonu satışlar az olduğu
için etiket fiyatı üzerinden %20 indirim yapılıyor.
Buna göre bu montun son satış fiyatı kaç liradır?
A) 374
4. %25 zararla 153 liraya satılan bir malın maliyeti
kaç liradır?
A) 246
B) 219
C) 215
D) 207
E) 204
B) 384
C) 394
D) 396
E) 400
8. Maliyeti 500 lira olan bir ürün 675 liraya satılırsa
yüzde kaç kâr edilir?
A) 20
B) 25
C) 30
D) 35
E) 40
33
Gidiş - Dönüşte Karşılaşma / Karşılaşma - Yakalama
(Gidiş - Dönüşte Karşılaşma)
Konu Özeti
Konu Özeti
Aynı noktadan harekete başlayan araçlardan, hızlı
olan karşı uca varıp dönerken diğeri ile karşılaştığında yollar oranı tespit edilir. Örnekle açıklayalım,
ÖRNEK
A
→ 3V
→ 5V
ÖRNEK
Hızların oransal olarak verilmesi ile değersel
C
B
Araçlar t saat sonra karşılaşıyorsa,
3V nin hareketi; AC = 3V·t
5V nin hareketi; AC + 2 BC = 5Vt
: =
Aralarında mesafe bulunan araçlar birbirlerine hareket ederse karşılaşırlar, aynı yöne hareket ederse
hızlı olan diğerini yakalar. Bu tarz sorular iki bilinmenli
denklem sistemiyle çözülür.
C
olarak verilmesi hiç farketmez, önemli olan AC ile BC
nin oranını tespit etmektir.
→ 3V
A
→ 5V
(Karşılaşma - Yakalama)
B
A kentinden, saatteki hızları 3V km ve 5V km olan iki
araç aynı anda 400 km uzaklıktaki B kentine doğru
hareket ediyor. Hızlı giden B ye varıp döndüğünde diğer
araçla C kentinde karşılaştığına göre, A ve C kentleri
arası kaç km dir?
ÇÖZÜM
HAREKET PROBLEMLERİ
ÇÖZÜM
100 km
644474448
x
B
D
← V2 →
→ V1
Hızlı olan aracın hızı V1 yavaş olanın hızı V2 olsun,
A
Birbirine doğru; 100 = (V1 + V2)·2 ⇒ V1 + V2 = 50
BC gidilir ve dönülür.
3V·t
A ile B kentleri arası 100 km dir. İki araç A ve B den aynı
anda birbirlerine doğru harekete başlarsa, 2 saat sonra
karşılaşıyorlar. Eğer aynı anda ve aynı yönde hareket
ederlerse hızlı olan araç diğerini 5 saat sonra yakalıyor.
Buna göre bu araçlardan hızlı olanın hızı saatte kaç km
dir?
2 BC = 5Vt - 3Vt & 2 BC = 2Vt & BC = Vt dir.
Aynı yöne doğru; 100 = (V1 – V2)·5 ⇒ V1 – V2 = 20
B @ C
O halde, 3Vt + Vt = 400 & 4Vt = 400 & Vt = 100 dür.
Denklem sistemi ortak çözülürse, V1 = 35 ve V2 = 15 dir.
AC
BC
AB
AC = 3Vt = 3·100 = 300 km dir.
1.
3.
C
A
O halde, hızlı olan aracın saatteki hızı 35 km dir.
B
Hızları saatte 60 km ve 100 km olan iki araç A kentinden
B kentine doğru aynı anda hareket ediyor. Hızlı olan
araç B ye varıp hiç durmadan dönüyor ve C de diğer
BC
araçla karşılaşıyor. Buna göre
oranı kaçtır?
AC
→
←→
A 144444424444443B
120 km
A ve B den iki araç birbirine doğru aynı anda hareket
ettiklerinde 3 saat sonra karşılaşıyor. Aynı anda aynı
yöne hareket ettiklerinde A daki araç B deki araca 6 saatte yetişiyor. Buna göre A daki aracın hızı saatte kaç
km dir?
4. A
2.
C
B
A
A noktasından aynı anda ve aynı yöne 40 km/sa ve 90
km/sa hızlarla iki araç harekete geçiyor. Hızlı olan araç
C ye varıp hiç durmadan geri dönüyor ve 4 saat sonra
B de diğer araçla karşılaşıyor. Buna göre B ile C arası
kaç km dir?
1)
1
3
2) 100
B
← → V2
→ V1
A ve B den hızları sırasıyla V1 ve V2 olan iki araç birbirine doğru aynı anda hareket ettiğinde 2 saat sonra karşılaşıyorlar. Aynı anda aynı yöne hareket ettikelerinde
A daki araç B deki araca 5 saatte yetişiyor. Buna göre
V1
oranı nedir?
V2
3) 30
4)
7
3
73
Uygulama Zamanı
Uygulama – 7
1. Aralarında 240 km uzaklık bulunan iki araç
30 km/sa ve 50 km/sa hızlarla aynı anda birbirlerine
doğru hareket ediyorlar.
6. 40 km/sa
→
C
A
B
Şekildeki gösterilen hızlarla aynı anda karşılıklı birbirine doğru harekete geçen araçlar C noktasında karşılaştıktan sonra A dan hareket eden araç 9 saat sonra
B ye vardığına göre A ile B arası kaç km dir?
Buna göre kaç saat sonra karşılaşırlar?
2. 45 m/da
→
60 km/sa
←
25 m/da
←
A
B
Şekilde verilen hızlarla aynı anda harekete geçen iki
hareketli 6 dakika sonra karşılaşıyorlar.
Buna göre A ile B arası kaç m dir?
7.
D
↓
60 m/da
→ 40 m/da
C
=
E
=
B
A
Şekildeki hızlarla D noktasından aynı anda harekete
geçen iki araç E noktasında karşılaşıyorlar.
Buna göre
3. Hızları 15 m/da ve 25 m/da olan iki hareketli, çevresi
280 m olan dairesel bir pistte aynı anda aynı noktadan ters yönlere harekete başladıktan kaç dakika
sonra karşılaşırlar?
BC
AB
oranı kaçtır?
8. 90 km/sa
→
60 km/sa
→
A
B
İki otomobil A ve B noktalarından aynı anda ve aynı
yöne doğru harekete başlıyor.
4. 40 m/da
A
20 m/da
Şekildeki gibi A noktasından
aynı anda ve zıt yönde hareket
başlayan iki hareketli 6 dakika
sonra karşılaşıyor.
Buna göre karşılaşmadan kaç dakika sonra hızı
yavaş olan araç A noktasına varır?
A dan hareket eden 5 saat sonra diğerine yetiştiğine göre A ile B aracı kaç km dir?
9. (V + 40) km/sa
→
V km/sa
→
A
B
İki araç şekildeki hızları aynı anda ve aynı yöne doğru
harekete başlayıp 6 saat sonra karşılaşıyorlar.
Buna göre A ile B arası kaç km dir?
5. 5V
→
2V
←
C
A
B
Şekildeki verilen hızlarla aynı anda zıt yönde harekete
başlayan iki araç C noktasında karşılaşıyorlar.
AC
Buna göre
oranı kaçtır?
AB
1) 3
74
2) 420
3) 7
4) 12
5)
5
7
10. 90 km/sa
→
60 km/sa
→
B 1442443 C
200
İki araç şekildeki hızlarla aynı anda ve aynı yöne doğru harekete başlayıp B den 200 km uzaklıktaki C noktasında karşılaşıyorlar.
A
Buna göre A ile B arası kaç km dir?
6) 600
7)
2
3
8) 150
9) 240
10) 100
11. 5V
→
16.
2V
→
A
C
B
Saatteki hızıları sırasıyla 5V ve 2V olan iki hareketli
A ve B noktalarından aynı anda C ye doğru harekete
başlıyor. Arkadaki hareketli diğer hareketliye C de yeAB
tiştiğine göre
oranı kaçtır?
BC
12.Saatteki hızı 60 km olan bir araç A dan hareket ettikten 3 saat sonra A dan aynı yönde saatteki hızı 105
km olan ikinci bir araç harekete başlıyor.
Buna göre ikinci araç hareketinden kaç saat sonra
birinci araca yetişir?
13.
A
10 m/da
14 m/da
İki hareketli aynı anda aynı yöne
doğru şekildeki gibi harekete
başlıyor.
Buna göre 15 dakikada hızlı olan
yavaş olana yetiştiğine göre dairesel pistin çevresi kaç km dir?
14.Çevresi 240 km olan çembersel bir pistte aynı anda
ve zıt yöne 10 m/da ve 14 m/da hızlarla harekete
geçen iki hareketli ilk kez kaç dakikada sonra karşılaşırlar?
15. 50 km/sa
→
30 km/sa
←→
A
C
B
Şekilde verilen hızlarla A ve B noktalarından aynı anda
birbirine doğru hareket eden araçlar 2 saat sonra karşılaşıyorlar. Araçlar aynı anda ve aynı yönde hareket
ettiklerinde C noktasında karşılaşıyorlar.
C
B
A
Hızları saatte 100 km ve 60 km olan iki araç A kentinden C kentine doğru aynı anda hareket ediyorlar. Hızlı
olan araç C ye varıp hiç durmadan dönüyor ve B de
diğer araçla karşılaşıyor.
Buna göre
AB
BC
oranı kaçtır?
17. 5V
→
A
→
V
C
B
Şekilde verilen hızlarla A dan B ye doğru harekete geçen iki araçtan hızlı olan B ye varıp hiç durmadan geri
dönüyor ve C de diğer araçla karşılaşıyor.
Buna göre
BC
AC
oranı kaçtır?
←→
18. →
144444424444443
A
B
120 km
A ve B den iki araç birbirine doğru aynı anda hareket ettiklerinde 2 saat sonra karşılaşıyorlar. Aynı anda
aynı yönde hareket ettiklerinde A daki araç B deki araca 6 saatte yetişiyor.
Buna göre B deki aracın hızı saatte kaç km dir?
19.A 144444424444443 B
→
←
240 km
30 km/sa
50 km/sa
Şekildeki A ve B noktalarından aynı anda zıt yöne sırasıyla 30 km/sa ve 50 km/sa hızlarla hareket eden
iki aracın 5 saat sonra arasındaki mesafe kaç km dir?
Buna göre B ile C arası kaç km dir?
11)
3
2
12) 4
13) 60
14) 10
15) 240
16) 3
17) 2
18) 20
19) 160
75
Tren Geçişi: Direk Geçme / Tünel Geçme
HAREKET PROBLEMLERİ
(Trenin Direği Geçmesi)


x
123
Konu Özeti
Konu Özeti
Trenin direği geçmesi
için alması gereken yol
trenin boyu (x) kadardır.
Bu tarz sorularda genellikle trenin hızı "km/sa"
biriminde, boyu "m" biriminde, geçiş süresi "da"
veya "sn" biriminde verilip gerekirse hareket bağıntısında birim uyumu için birim çevirme yapılır.
Hızı 120 km/sa olan 200 m uzunluğundaki bir tren demir
yolu kenarında duran bir kişiyi kaç sn de geçer?
Trenin kişiyi geçmesi için trenin boyu kadar
yol aması gerekir. Geçişi süresi t saat dersek, hareket
200
bağıntısı için birim çevirisi 200 m =
km dir.
1000
km
1
120 0
km = 120
·t & = 120t &
sa
5
5 10 0 0
t=
1
1
sa & t =
·360 0 sn = 6 sn de geçer.
5·120
5·12 0
1 sa = 3600 sn
 
x
y
Trenin tüneli geçmesi için alması gereken yol trenin
boyu (x) ve tünelin boyu (y) kadardır.
Hareket bağıntısı için birim çevirmeleri yapıp
istenen birimde cevabı veriniz.
Saatteki hızı 90 km olan bir tren 4 km uzunluğundaki
bir tüneli 3 dakikada geçtiğine göre trenin boyu kaç
metredir?
Hız 90 km/sa olduğu için 3 dakikayı saate
3
çevirelim: 3 da =
sa dır. Trenin boyuna x km dersek,
60
alınacak yol 4 + x km dir.
9· 3 1
3
4 + x = 90·
& 4+x =
& 2 (4 + x) = 9 &
60
62
1
8 + 2x = 9 ⇒ 2x = 9 – 8 ⇒ 2x = 1 ⇒ x = = 0, 5 km dir.
2
x = 0,5 km = 500 m bulunur.
ÇÖZÜM
Aşağıdaki problemlerde istenilenleri bulunuz.
Aşağıdaki problemlerde istenilenleri bulunuz.
1. Hızı 80 km/sa olan 200 m uzunluğundaki bir tren
demir yolu kenarındaki duran aydınlatma direğini kaç
saniyede geçer?
1. Hızı saniyede 40 m olan 120 m uzunluğundaki bir tren
240 m uzunluğundaki bir köprüyü kaç saniyede geçer?
2. Hızı 60 km/sa olan bir tren bir elektirik direğini 3 saniyede geçiyor. Buna göre trenin uzunluğu kaç metredir?
2. 150 m uzunluğundaki bir tren 600 m/da hızla 750 m
uzunluğundaki bir tüneli kaç saatte geçer?
3. 500 m uzunluğundaki bir tren bir direği 20 sn de geçtiğine göre bu tren saatte kaç km yol almaktadır?
76

ÖRNEK
ÖRNEK
ÇÖZÜM
(Trenin Tüneli Geçmesi)
1) 9
2) 50
3) 90
3. Saatteki hızı 90 km olan bir tren 2400 m uzunluğundaki bir tüneli 2 dakikada geçtiğine göre trenin boyu kaç
metredir?
1) 9
2)
1
40
3) 600
İki Trenin Geçişi: Karşılıklı / Aynı Yönde
Konu Özeti (İki Trenin Karışılıklı Birbirini Geçmesi)
HAREKET PROBLEMLERİ
Konu Özeti
(İki Trenin Aynı Yönde Birbirini Geçmesi)
y

x
V1
karşılaşan hareketliler
bağıntısı kullanılır.
Aynı yöne giden iki trenden hızlı olan diğerini yakaladıktan sonra geçmesi için boyları toplamı (x + y)
kadar yol alması gerekir.
x + y = (V1 – V2)·t
Birimlere dikkat ediniz.
ÖRNEK
123
123
x + y = (V1 + V2)·t
V1
y
Karşılıklı hareket eden iki trenin birbirini geçmesi için
boyları toplamı (x + y) kadar yol almaları gerekir.
V2
x
V2
yakalayan hareketliler
bağıntısı kullanılır.
ÖRNEK
Hızları 50 km/sa ve 60 km/sa olan iki trenin boyları
230 m ve 320 m dir. Farklı iki hattan birbirine doğru karşılıklı gelen trenler kaç saniye sonra tamamen birbirlerini
geçerler?
550
ÇÖZÜM Yol; 230 m + 320 m = 550 m =
km dir.
1000
Geçiş süresi t saat olsun,
80 km/sa ve 50 km/sa hızlarındaki iki trenin boyu
200 m ve 100 m dir. Farklı hatlardan aynı yöne giden
bu iki trenden hızlı olan diğerini yakaladıktan kaç saniye
sonra geçer?
ÇÖZÜM
Yol; 200 m + 100 m = 300 m =
Geçiş süresi t saat olsun,
300
km dir.
1000
5
550 1
550
= (50 + 60) ·t &
= 110 ·t &
1000
1000
t=
51
1000 200
=
36 0 0
1
1
sa =
·3600 sn =
= 18 sn
200
200
20 0
1 sa = 3600 sn
30 0
10 0 0
1
= (80 - 50) ·t &
100t = 1 &
3 10
= 30 ·t & 10·10t = 1 &
10
1
1
sa =
·3600 sn = 36 sn bulunur.
100
100
Aşağıdaki problemlerde istenilenleri bulunuz.
Aşağıdaki problemlerde istenilenleri bulunuz.
1. Uzunluğu 120 m, hızı saniyede 40 m olan bir tren,
karşıdan gelen başka hattaki, uzunluğu 180 m, hızı saniyede 60 m olan treni kaç saniyede tamamen geçer?
1. Hızı saniyede 70 m, boyu 120 m olan bir tren farklı
hattan aynı yöne giden hızı saniyede 40 m, boyu 90 m
olan diğer treni yakaladıktan kaç saniye sonra geçer?
2. Hızları 40 km/sa ve 60 km/sa olan iki trenin boyları
100 m ve 150 m dir. Farklı iki hattan birbirine doğru
karşılıklı gelen trenler kaç saniye sonra tamamen
birbirlerini geçerler?
2. Hızı 100 km/sa olan 200 m uzunluğundaki bir tren,
aynı yöne giden başka bir hattaki hızı 60 km/sa olan
başka bir treni yakaladıktan 45 sn sonra geçebilmektedir. Buna göre yavaş olan trenin boyu kaç metredir?
1) 3
2)9
1) 7
2) 300
77
Tur Bindirmeler / Nehirde Hareket
HAREKET PROBLEMLERİ
Konu Özeti
(Tur Bindirmeler)
Konu Özeti
Kapalı bir şekildeki döngüsel hareketlerde ilk kez
karşılaşmadan sonraki 2., 3., ... gibi karşılaşmalarda
her tur bindirmede kapalı şeklin çevresinin tur sayısı
kadar katı yol alınır. Örnekle açıklayalım.
V1 → → Vakıntı
← V2
Nehirde hareket sorularında
akıntı hızının hareketlerinin
hızına etkisi gözardı edilmemelidir.
vv Akıntı yönünde yol alanın hızı: "V1 + Vakıntı" dır.
vv Akıntıya karşı yol alanın hızı: "V2 – Vakıntı" dır.
ÖRNEK
Hızları ortalama 400 km/sa ve 300 km/sa olan iki F1
aracı aynı anda yarışa başlıyor. Yarıştıkları pist 20 km
olduğuna göre hızlı olan yavaş olana kaç saat sonra 10
kez tur bindirir?
ÇÖZÜM Hızlı olan 10. kez tur bindirdiğinde yavaş
olandan 10 kez fazladan pistin çevresini dolanmıştır.
Yani t saatte 10·20 = 200 km fazladan yol alınır.
200 km = (400 – 300)·t ⇒ 200 = 100t ⇒ t = 2 saat
bulunur.
ÖRNEK
Bir deniz motoru akıntı yönünde 2 saatte aldığı 40 km
lik yolu, dönüşte 5 saatte alıyor. Buna göre nehirin akıntı
hızı kaç km/sa dir?
ÇÖZÜM
Motorun hızı "Vm", akıntı hızı "Va" olsun,
Akıntı yönünde: 40 20 = (Vm + Va) · 2 1 & Vm + Va = 20... (i)
Akıntıya karşı: 40 8 = (Vm - Va) · 5 1 & Vm - Va = 8... (ii)
(i) ve (ii) ortak çözülürse: Vm = 14 km/sa, Va = 6 km/sa
Aşağıdaki problemlerde istenilenleri bulunuz.
Aşağıdaki problemlerde istenilenleri bulunuz.
1. Hızı ortalama 100 km/sa ve 150 km/sa olan iki motosiklet aynı anda yarışa başlıyor. Yarıştıkları dairesel
pist 30 km olduğuna göre hızlı olan yavaş olana kaç
saat sonra 5 kez tur bindirir?
1. Saatteki hızı 40 km/sa olan bir motor akıntıya karşı
90 km lik bir yolu 3 saatte aldığına göre akıntının hızı
saatte kaç km dir?
2. Çevresi 700 m olan çembersel bir pistte aynı noktadan
zıt yönlere 200 m/da ve 150 m/da hızlarla koşan iki
koşucunun 3. karşılaşmaları 1. karşılaşmalarından kaç
dakika sonra gerçekleşir?
3.
D
G
H
V1
A
C
F
V2
E
noktada olur?
78

(Nehirde Hareket)
1) 3
B
Şekildeki ABCD karesinin
kenarlarının orta noktaları E, F,
G ve H noktalarıdır. A noktasından V1 ve V2 hızlarıyla harekete
başlayan iki hareketli arasında
3V1 = 5V2 eşitliği olduğuna göre
ikinci karşılaşmaları hangi
2) 4
3) D
2. Durgun sudaki hızı 30 km/sa olan bir bot akıntı hızının
12 km/sa olduğu bir nehirde bulunduğu noktadan
126 km uzaklığa gidip hiç durmadan geri dönecektir.
Buna göre yolculuk kaç saat sürer?
3. 90 km lik bir yolu akıntıya karşı 6 saatte gidip, 2 saatte
dönen bir motorun saatteki hızı kaç km dir?
1) 10
2) 10
3) 30
13.İşe gitmek için evden çıkan esnaf olan Mustafa bir
süre yol aldıktan sonra dükkanın anahtarını evde
unuttuğunu farkediyor. Mustafa eve dönüp anahtarları bir süre arayıp bulduktan sonra işe doğru tekrar
yola çıkıyor.
A, B ve C marka üç arazi aracı çeşitli uzunluktaki çim,
kum ve çamur zeminlerden oluşan değişik parkurlarda
yarışacaklardır. Tabloda bu araçların her bir zemindeki
hızları metre/saniye türünden verilmiştir.
Araç
A
B
C
12
10
9
Kum
8
10
9
Çamur
8
6
9
Parkur
Çim
Buna göre Mustafa'nın eve olan uzaklığının zamana göre değişimini gösteren grafik aşağıdakilerden hangisidir?
A) Eve olan
uzaklık
Buna göre 9., 10. ve 11. soruları cevaplayınız?
9. A marka araç üç değişik zeminde yarıştığı parkuru 45
saniyede bitirmiştir.
Zaman
Bu parkurda 120 şer metre çim ve kum zemin olduğuna göre kaç metre çamur zemin vardır?
A) 140
B) 160
C) 180
D) 200
B) Eve olan
uzaklık
D) Eve olan
uzaklık
E) 220
C) Eve olan
uzaklık
Zaman
Zaman
E) Eve olan
uzaklık
Zaman
Zaman
10.Her biri 540 metreden oluşan çim, kum ve çamur zeminden oluşan bir parkurda C aracı yarışı bitirdiğinde
B aracının bitirmesine kaç metre vardır?
A) 108
B) 110
C) 120
D) 132
E) 146
14.Bir traktörün arka tekerleğinin çevresi ön tekerleğinin
çevresinin 4 katıdır. Traktör 200 m yol aldğında ön
tekerlek arka tekerlekten 75 tur fazla dönmektedir.
11.x metre kum, y metre çamur zeminden oluşan bir
parkurda yarışı B aracı A aracından önce bitirmiştir.
Buna göre traktörün arka tekerleğinin çevresi kaç
metredir?
Buna göre x ile y arasındaki ilişki aşağıdakilerden
hangisdir?
A) 2x < 3y
B) 5x > 3y
D) 3x > 5y
E) 3y < 2x
12.
A
16 km
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10
C) 3x < 5y
3
15.Bir yolun
ünü saatte 60 km hızla giden bir araç,
4
yolun kalan kısmını saatte ortalama 30 km hızla
gidiyor.
x km
8 km
C
A) 2
D
B
AC = 16 km, BC = 8 km, BD = x km
Buna göre aracın tüm yol boyunca ortalama hızı
saatte kaç km dir?
Şekilde A ve B noktalarından birbirlerine doğru aynı
anda harekete başlayan iki araç C noktasında karşılaşıyor. Aynı yönde hareket ettiklerinde biri diğerine D
noktasında yetişiyor.
A) 44
B) 48
C) 50
D) 52
E) 52
Buna göre x kaçtır?
A) 4
B) 8
C) 16
D) 20
E) 24
89
1. E
2. C
3. C
4. C
5. D
6. E
7. E
8. C
9. B
10. A
11. D
12. E
13. D
14. D
15. B
Tekrar Zamanı Test – 1 Çözümü
1. Yol = Hız · Zaman
9. → 45 km/sa
Gidiş ve dönüşteki yollar birbirine eşit olduğundan,
A
720
= V & V = 90 km/sa ⇒ 30 km/sa azaltmış
8
Cevap: D
B
Gidiş süresi t ise dönüş süresi (7 – t) dir.
3
45 ·t = 4 60 · (7 - t) & t = 4 bulunur
= 1 44 2 44 3
AB
2. V1 = 125 km/sa
t1 = saat
V2 = 100 km/sa
t2 = ?
125·4 = 100·t2 ⇒ t2 = 5 saat bulunur.
Cevap: A
AK = 6·V
6 saat sonra
AL = 6·30 = 180
A
AB = BC
B
C
AB arasını t saatte giderse BC arası (6 – t) saatte gider.
AB
A
6 saat sonra
V
→
2 V ·t = V · (6 - t) & t = 2 saat bulunur.
; 1 44 2 44 3
V 30
← →
K
2V
10. →
Gidiş dönüşteki yollar eşit olduğundan,
3.
Cevap: E
AB
Cevap: D
BC
L
11. Pistin çevresi = (V1 – V2)·t
6V + 180 = 240 ⇒ 6V = 60 ⇒ V = 10 km/sa bulunur.
Cevap: A
60 km/sa ←
4. → 80 km/sa
144444424444443
A
B
560 km
(12 – 8)·12 = 48 m bulunur.
12.Yol = V·t
V·t = ( V + 10)·t1
V·t
t1 =
V + 10
Yol = (V + 10)·t1
AB = (V1 + V2) ·t ⇒ 560 = (80 + 60)·t ⇒ t = 4 saat bulunur.
t
1
-
(V + 10)
Cevap: D
123
120·6 = 8·V ⇒
60 km/sa ←
Vt + 10 - Vt
10t
Vt
=
=
bulunur.
V + 10
V + 10
V + 10t
Cevap: C
Cevap:B
→ 40 km/sa
14444244443
A
C
180 km
Kara yolu = 90·t
Tren yolu = 60·t
B
123
13.İkisininde A dan B ye varma süreleri t olsun,
5. → 70 km/sa
90·t
60·t
=
3
bulunur.
2
Cevap: D
AB = (V1 - V2) ·t ⇒ 180 = (70 – 40)·t ⇒ t = 6 saat bulunur.
Cevap: C
14.Zıt yönlü harekette AB = (100 + 60) ·4
Aynı yönlü harekette AB = (100 - 60) ·t
6. A dan hareket eden araç 4 saatte 4·55 = 220 km yol alır. B den
160 4 ·4 = 40 1 ·t & t = 16 saat bulunur.
Cevap: D
hareket eden araç 4 saatte 4·80 = 320 km yol alır.
55 km/sa
80 km/sa
220 km
320 km
← 6447448
6447448 →
1444444444442444444444443
B
A
800 km
Aralarındaki uzaklık 800 – (220 + 320) = 260 km bulunur.
15. 40 km/sa
50 km/sa
60 km/sa
→
→
→
1442443 1442443 1442443
A
B
C
D
50 km
60 km
40 km
AB arasındaki süre 40 = 40 ·t1 ⇒ t1 = 1
Cevap: E
→ 80 km/sa
14444244443
A
B
200 km
BC arasındaki süre 50 = 50 ·t2 ⇒ t2 = 1
7. → 100 km/sa
CD arasındaki süre 60 = 60 ·t3 ⇒ t3 = 1
C
AB = (V1 - V2) ·t & 200 = (100 - 80) ·t & t = 10 saat sonra C de
karşılaşırlar. BC = 80·10 = 800 km bulunur.
Cevap: A
8. V1 = 60 km/sa
B
V2 = 50 km/sa
→
Hızı fazla olan t saatte B ye varırsa az olan (t + 2) saatte varır.
90
Toplam yol
Toplam zaman
=
40 + 50 + 60 150
=
= 50 km/sa bulunur.
1+1+1
3
Cevap: C
16.180 m = 0,18 km
120 m = 0,12 km
Trenin tüneli geçme koşununa göre,
→
A
Vort =
60·t = 50· (t + 2) & t = 10 & AB = 60·10 = 600 km bulunur.
9 1 44 2 44 3
AB
AB
Cevap: C
Trenin boyu + Tünelin boyu = V·t
0,18 + 0,12 = 60·t ⇒ t =
1
saat
200
1
1
saat =
·3600 = 18 sn bulunur.
200
200
Cevap: B
Tekrar Zamanı Test – 2 Çözümü
20
80 ·6 = (2V + 20) · 4 & V = 50 km/sa bulunur.
9. 50 km/sa
Cevap: C
2.
A 14444444442444444443
B
C
700 km
Bozuk yolu t sürede giderse iyi yolu (11 – t) sürede gider.
V2 V1
← →
50·t + 75· (11 - t) = 700 & t = 5 saat
9 1 44 2 44 3
A
V1 – V2 = 12 km/sa
AB
2 saat sonra aldıkları yollar ise,
Birincinin aldığı yol = V1· 2 ,
İkincinin aldığı yol = V2 · 2
2V1 + 2V2 = 120 ⇒ V1 + V2 = 60
123
V1 + V2 = 60
V1 – V2 = 12
V2 = 24 bulunur.
3V
→
→
1444424443 1444424443
x km
3x km
x
x
x = 2V·t1 & t1 =
, 3x = 3V·t2 & t2 =
2V
V
3x
x
x
x
t1 + t2 =
+
& t1 + t2 =
=6& =4
2V V
2V
V
3. (V1 + 40)
(2)
480 = (V + 40 – V)·t ⇒ 480 = 40·t ⇒ t = 12 saat bulunur.
Cevap: B
4. V1
V2
←
A
V1
B
→
V2
=
3
& V1 = 3k V2 = 5k olsun.
5
B
V1
3
t
t
V1 · (24 - t) = V2 ·t &
=
& =
&
V2 24 - t 5 24 - t
72 – 3t = 5t ⇒ t = 9 saat bulunur.
5.
110
bulunur.
V1 ·t
V2 ·t
=
V1 = 4V
60 V1
&
=4&
4 olsun, Yani V·t = 15
15 V2
V2 = V
75 = (V1 – V2)·t' ⇒ 75 = 3V·t' ⇒ V·t = 15 ise t' =
CD = V2 ·t' = V
→ 2V
A
Gidiş süresi = t saat , Dönüş süresi = c t 8 0 ·t = 10 0 · c t -
2Vt
Vt
2
B
C
5Vt
Vt
= 150 &
= 150 & Vt = 60
2
2
Vt 60
Cevap: B
BC =
=
= 30 km bulunur.
2
2
AC = 2Vt +
Cevap: D
75 km/sa
←
2V1 ·V2
14.Vort =
B
48
V1 + V2
96 =
2 ·V·84
V + 84
(Harmonik ortalama)
& 4 48 (V + 84) = V·7 84 & V = 112 km/sa bulunur.
Cevap: E
15.(Vm + VA)·6 = 150 ⇒ VA + Vm = 25
(Vm – VA)·10 = 150 ⇒ Vm – VA = 15
B
1
m saat
2
Ortak Çözüm
Yapılırsa
VA = 5 km/sa bulunur.
Cevap: A
52 m/da
16.
5
1
m & 8t = 10·t - 5 & t =
2
2
5
= 200 km bulunur.
2
Cevap: C
AB = 2V·t (2V hızı ile giden) AC + CB = 3Vt (3V hızı ile giden)
100 km/sa
←
→
5t 5·15
=
= 25 km bulunur.
3
3
Her ikisi de t sürede B ye varsın,
AC = 300 = 50·t & t = 6 saat sonra C de karşılaşırlar.
AB = (50 + 75) ·6 = 750 km bulunur.
Cevap: D
8. 80 km/sa
5t
dir. O halde,
3
13. → 3V
A
C
→
1444424443
A
300 km
D
Zıt yönlü hareket edip C de karşılaşırlarsa,
Cevap: E
yol alır.
100 km/sa
75 km/sa
→
→
1444424443
150 km
150 = (100 – 75)·t ⇒ 150 = 25·t ⇒ t = 6 saat bulunur.
Cevap: A
V2 V2
12. V1
B
→
← →
144424443
1442443
C
A
60 km
15 km
Aynı yönde hareket edip B de karşılaşırlarsa,
6. A dan 75 km/sa hızla hareket eden araç 2 saatte 75·2 = 150 km
AB = 80·
Yolun tamamını V hızla allırsa,
4x
4x = V·t' & t' =
= 4·4 = 16 saatte alır.
V
Cevap: E
11. Saat 12 : x olsun
11da - 60 sa
11·x - 60·0
α=
& 44 =
& 88 = 11x & x = 8
2
2
Cevap: A
440 = (V1 + 60) · 4 & V1 = 50 km/sa bulunur.
7. 50 km/sa
Cevap: B
10.2V
Cevap: D
V
→
→
1444424443
480 km
BC
Bozuk yol AB = 50·5 = 250 km bulunur.
ortak çözüm yapılırsa,
V1 = 36,
75 km/sa
→
→
123
1. Yol = Hız·Zaman
A
Cevap: C
500 = (52 – 32)·t
500 m
B
500 m
32 m/da
t = 25 dakika bulunur.
Cevap: A
91
Tekrar Zamanı Test – 3 Çözümü
1. A dan kalkan araç 5 saatte, 5·24 = 120 km yol alır.
8. Varması gereken süre t saat olsun,
3 den kalkan araç 5 saatte 5·30 = 150 km yol alır.
V1
V2
C
B
←
→
14243 144424443 14243
50 km
100 km
20 km
1
8 0 · c t - m = 6 0 · (t + 2) & t = 8
2
1 44 2 44 3 1 44 2 44 3
30 dak. erken
5 saat sonra aralarındaki mesafe 50 + 100 + 20 = 170 km bulunur.
Cevap: C
9. → 120 m/da
2 12 0 ·t
2. I. 4 saatte 80·4 = 320 km
III. 4 saatte 80·4 = 320 km
Cevap: D
3. Her ikisi de t saatte C de karşılaşırlarsa,
BC = 45·t
C
→ 60
→ 45
144424443 14444244443
A
B
15 t
45 t
1444444442444444443
60 t
AB
15·t 1
=
= bulunur.
45·t 3
BC
AB = 4 (80 + 60) = 560 km bulunur.
Cevap: A
470 km
3
270 = (100 + 80)·t ⇒ t = = 1, 5 saat sonra 15:30 da karşılaşırlar.
2
Cevap: C
Cevap: C
A
1
olduğuna göre
4
=
4k V1 2
&
= bulunur.
6k V2 3
13.A → 3V
V
Cevap: C
D
y + 60
↓
x
x
t sürede E de karşılaşırlarsa
V·t = x + y
3V·t = x + y + 120
;
Vt
B
5 + 11 + 17 + 23 + 29 + 35
= 60 km bulunur.
2
Cevap: E
V2 ←
60
E
C
2Vt = 120 ⇒ Vt = 60
Çevre = 2x + 2y + 120 = 240 km bulunur
>
Cevap: E
120
14.A aracı 4 saatte 64 km yol, B aracı 4 saatte 48 km yol almışsa,
VA· 4 = 64 ⇒ VA = 16 km/sa
VB· 4 = 48 ⇒ VB = 12 km/sa
Cevap: A
75 km/sa
→
Pistin çevresi = (16 – 12)·8 = 32 km bulunur.
Cevap: D
15.

200 m = 0,2 km
  
2 km
21 km
1,8 km
0,2 + 2 + 21 + 1,8 = 100·t
Onarım yapılan yolu t saatte alırsa sağlam kısmı
(10 – t) saatte alır. 45·t + 75·(10 – t) = 570 ⇒ t = 6 saat
Onarım yapılan yol = 45·6 = 270 km bulunur.
y
V·t = x + y = 60 ise
300 = VT· 3 ⇒ VT = 100 km/sa hızları toplamı 100 km/sa olmalı
yani 25 km/sa artırmalıdır.
92
=
1444444442444444443 144424443
C
B
4k
k
V1
→
V1 · t
V2 · t
300 = (V1 + V2)·4 ⇒ V1 + V2 = 75 km/sa
→
AC
V2
→
A 144444424444443B
300 km
7. 45 km/sa
BC
12.
1
saat
4
1
1 5
I.
saatte 10· = km yol alır
4
4 2
1
1 11
II.
saatte 22· =
km yol alır
4
4
2
1
1 17
III.
saatte 34· =
km yol alır
4
4
2
1
1 23
IV.
saatte 46· =
km yol alır
4
4
2
35
1
1
V.
saatte 70· =
km yol alır
4
4
2
→ V1
Cevap: E
100 km/sa
80 km/sa
200 km
←
644474448 →
144444424444443
B
A 1444444444442444444444443
270 km
5. 15 dakikada =
6.
Cevap: E
19
saat
4
19
AB = (80 + 120) ·
= 950 km bulunur.
4
km olan araç 100·2 = 200 km yol alır.
CB = 3·80 = 240 km
→ 80
← 60
1444442444443 B
A
C
240 km
BC = 60·t & t = 4 (karşılaşma süresi)
= 5 30 0 · (70 - t) & t = 50 dakika
11. 12:00 dan 14:00 a kadar geçen 2 saatlik sürede hızı saatte 100
4. Karşılaşmadan 3 saat sonra A dan hareket eden B ye varırsa,
Toplam =
300 m/da ←
10.4 saat 45 da =
12 saat yol alıp 1 saat durup 3·320 = 960 km yol alır.
ve
Cevap: A
iki iskele arası = 120·50 = 6000 m = 6 km bulunur.
II. 4 saatte 80·4 = 320 km
AC = 60·t
2 saat geç
Havaalanı yolu = 60·10 = 600 km bulunur.
Cevap: D
25 = 100·t ⇒ t =
1
saat = 15 dakika bulunur.
4
Cevap: B
Tekrar Zamanı Test – 4 Çözümü
1.
30 dakikada =
1
saat,
2
40 dakikada =
10.9
2
saat
3
→
1
2
(V + 15) · = (V - 10) · & V = 85 km/sa
2
3
1
AB = (85 + 15) · = 50 km bulunur.
2
540 = 9·t1
→
10
→
2·V + 3·(V – 10) = 170 ⇒ 5V = 200 ⇒ V = 40 km/sa bulunur
Cevap: C
V1·t = x,
V2·2t = y ⇒ V2·t =
y
2
bulunur.
Buradan (V1 + V2)·t = V1·t + V2·t = x +
4.
2
Cevap: C
t sürede
AC
BC
=
D
2 AC = 90t ⇒ AC = 45t ⇒ BC = 105t dir.
45 t
105 t
=
10
→
540 m
Çim
6
→
540 m
Kum
540 = 10·t1
540 = 10·t2
t1 = 54 sn
t2 = 54 sn
540 m
Çamur
14444244443
72·6 = 432 m çamur zeminde gider
540 – 432 = 108 m kalır.
Cevap: A
11. A :
B:
AB = 150·t
t sürede
t3 = 60 sn
C
→ V2 = 90 km/sa
540 = 9·t3
t2 = 60 sn
t1 + t2 = 108 sn yani 180 – 108 = 72 sn çamur zemin için kalan süre
→ V1 = 150 km/sa
A
5.
y
540 m
Çamur
Toplam, C aracı 180 sn de parkuru tamamlıyor
14444444442444444443
170 km
3.
9
→
540 m
Kum
540 = 9·t2
t1 = 60 sn
Cevap: E
V – 10
→
2. V
9
→
540 m
Çim
3
bulunur.
7
8
→
8
→
xm
Kum
10
→
6
→
x y
+
8 8
y
x
+
B nin bitirme süresi
10 6
A nın bitirme süresi
Cevap: C
İlk 1 saatte = 20 tur
İkinci 1 saatte = 35 tur
ym
Çamur
_
b
b
`
b
b
a
y
x y
x
+ >
+
8 8 10 6
x+y
3x + 5y
>
84
30 15
⇒ 15x + 15y > 12x + 20y ⇒ 3x > 5y bulunur.
Cevap: D
1
Üçüncü
saatte = 15 tur
2
+
–––––––––––––––––––––––
12. V1
→
5
5
saatte 70 tur ⇒
saat = 150 dakika bulunur.
2
2
6.
Cevap: D
V
V
3
3
→ tadilat yapılan yol
→
sağlam yol
A 14444244443 1444442444443 B
2x
3x
V
·t
2x
3
t
2
=
&
= & 3t = 90 - 6t &
45 - 3t 3
V · (15 - t) 3 x
9t = 90 ⇒ t = 10 saat bulunur.
7.
Cevap: E
x saatte çıkıp (t – x) saatte insin,
a·x = b·(t – x) ⇒ ax = bt – bx ⇒
ax + bx = bt ⇒ x(a + b) = bt ⇒ x =
bt
bt
a·b·t
Yol, = a·x = a·
=
a+b
a+b a+b
bulunur.
8.
→ 60 km/sa
60 km/sa ←
Toprak
Asfalt
1444442444443
1444442444443
360 km
360 km
Araçlar 4 saatte, toprak yoldan gelen 4·60 = 240 km,
asfalt yoldan gelen 4·90 = 360 km yol alır. Geriye ikisininde karşılıklı
gideceği 120 km lik toprak yol kalır.
120 = (60 +60)·t ⇒ t = 1 saat ⇒ 4 + 1 = 5 saatte karşılaşırlar.
Cevap: C
9. 12
→
120 m
Çim
120 = 12·t1
t1 = 10 sn
8
→
120 m
Kum
120 = 8·t2
t2 = 15 sn
14444244443 8
→
xm
Çamur
V1 ·t
V2 ·t
x = 160 m çamur zemin.
t1 + t2 + t3 = 45 sn ⇒ 10 + 15 + t3 = 45 sn ⇒ t3 = 20 sn
Cevap: B
V1 · t
16
24 + x
24 + x
&
=2 ⇒
=
&2=
& x = 24 km
x
x
8
V2
V2 · t
Cevap: E
13.Sorudaki açıklamaya en uygun grafik D seçeneğindeki grafiktir.
Cevap: D
14.
4r
r
x tur
(x + 75) tur
Tur sayısı yarıçap ile ters orantılı
olduğundan,
4r → x tur
r → (x + 75) tur
––––––––––––––––
T.O.: 4 r ·x = r · (x + 75) & x = 25
Ön tekerlek 1 turda çevresi kadar yol alır Ç = 2πr,
(x + 25) turda 200π yol alıyorsa,
(x + 25)·2πr = 200π ⇒ 100πr = 200π ⇒ r = 2 m
Arka tekerleğin yarıçapı 4r = 8 bulunur.
Cevap: D
15.Yolun 240 m alalım,
60 km/sa
→
30 km/sa
→
144444424444443 14444244443
60 km
180 km
60·t1 = 180
x = 8·20
=
D
B
V1
bulunur.
x = 8·t3
V2
← →
8 km
C
A
Cevap: E
Soruda dikkat edilmesi gereken araçların hızları her zaman sabit
değil. Yolun durumuna göre hızlarını değiştiriyorlar. O halde,
16 km
Vort =
t1 = 3 saat
Toplam yol
Toplam zaman
=
30·t2 = 60
t2 = 2 saat
240
= 48 km/sa bulunur.
3+2
Cevap: B
93
İş Kavramı
İŞÇİ - HAVUZ PROBLEMLERİ
ÖRNEK
Konu Özeti
İş ve havuz problemlerinde birim zamanda yapılan
iş üzerinden işlemler yapılır.
Havuz problemlerinde musluklar işçi gibi
düşünülür.
Birim zamanda yapılan iş çalışma hızı olarak kabul
edilirse, hız bağıntısı iş problemlerine uygulanabilir.
Örneğin, bir işçi bir işi a günde yaparsa,
1
İşçinin birim zamanda yaptığı iş (hızı)
dır,
a
hız zaman
yol
64748 ? @
1
·t
t sürede yapılan iş =
a
Yapılan işin tamamı aksi belirtilmediği sürece "1"
olarak alınır.
Aşağıdaki problemlerde istenilenleri bulunuz.
Bir musluk bir havuzun tamamını 10 saatte dolduruyorsa,
a) Bu musluğun çalışma hızı nedir?
b) Bu musluk 4 saatte havuzun ne kadarını doldurulur?
İşin yani havuzun tamamını "1" alırsak,
ÇÖZÜM
a) Birim zamanda yapılan iş (çalışma hızı) =
yol
1
dur.
10
hız zaman
A B
42
2
1
· 4 =
b) Yapılan iş =
= dir.
10
10 5 5
64748
Yani 4 saatte havuzun
2
si dolar.
5
5. Bir musluk bir havuzun tamamını 15 saatte dolduruyor.
Buna göre bu musluk 6 saatte işin kaçta kaçını bitirir?
1. Bir musluk bir havuzun tamamına 6 saatte dolduruyor.
Buna göre musluğun birim zamanda (saatte) yaptığı iş
nedir?
1
sini dolduran
20
bir musluk 15 saatte havuzun kaçta kaçını doldurur?
6. Birim zamanda (saatte) boş havuzun
2. Bir işçi bir işi 15 günde tamamlamaktadır. Buna göre
işçinin birim zamanda (günde) yaptığı iş nedir?
1
unu yapan bir işçi
10
işin tamamını kaç günde yapar?
3. Birim zamanda (günde) bir işin
4. Bir işçi bir işin tamamını tek başına 12 günde bitirebilmektedir. Buna göre bu işçi 4 günde işin kaçta kaçını
bitirir?
1)
94
1
6
2)
1
15
3) 10
4)
1
3
7. 5 günde 40 ayakkabı yapan bir ayakkabı ustası 8
günde kaç ayakkabı yapar?
8. Bir musluk 300 litre su alan bir havuzu 6 saatte doldurmaktadır. Havuz boşken açılan musluk 10 saat açık
bırakılırsa havuzdan kaç litre su taşar?
5)
2
5
6)
3
4
7) 64
8) 200
İş Miktarı - Zaman İlişkileri / Kesirli İş Miktarı
(İş Miktarı)
Konu Özeti
İŞÇİ - HAVUZ PROBLEMLERİ
Birim zamanda yapılan iş (çalışma hızı) tespit edilerek iş bağıntısı kullanılır.
İş = Çalışma Hızı · Zaman
Birim zaman için gerekirse birim çevirmeleri
yapılır. 1 gün = 24 saattir.
ÖRNEK
Bir işin kesrinin yapılma süresi verildiğinde iş bağıntısı ile ya da iş bağıntısından elde edilen aşağıdaki
çıkarım ile işin tamamının yapılma süresi kolayca
bulunur.
a
vv Bir işin
si t sürede yapılırsa,
b
b
bu işin tamamı ·t sürede yapılır.
a
ÖRNEK
Bir işçi bir işi 10 günde yapıyorsa,
a) İşin tamamını kaç günde yapar?
b) 60 saate işin ne kadarını yapar?
b) İşin kalanı kaç günde yapar?
ÇÖZÜM
İşin tamamına 1 dersek,
a) Günlük çalışma hızı =
iş
hızı
1
dur,
10
hız zaman
A D @
2
1
O halde,
=
· t & 2·2 = 1·t & t = 4 bulunur.
5 1 10 2
b) 1 gün = 24 saat ⇒ 10 gün = 240 saattir.
Saatlik çalışma hızı =
2
sini 8 günde yaparsa,
3
Bir işçi, bir işin
2
a) İşin
sini kaç günde yapar?
5
ÇÖZÜM
(Kesirli İş Miktarı)
Konu Özeti
1
dır.
240
1
1
160
·60 =
O halde, 60 saatte yapılan iş =
= i
240
4
24
0
4
kadardır.
İşçi, işin tamamını a günde bitirirse, çalışma
1
dır. İş = Çalışma Hızı · Zaman bağıntısından,
a
iş hız zaman
? ? @ 1
2 48
2 1
a) = · 8 &
=
& a = 3·4 & a = 12 bulunur.
a
3 a
3
Pratik yol: İşin
2
si 8 günde yapılırsa, tamamı
3
3
·8 = 12 günde yapılır.
2
2
b) İşin tamamı "1" alınırsa,
ü yapıldıktan sonra işin,
3
1
2 1
1 - = ü kalır. Çalışma hızı
olduğundan,
12
3 3
iş
hız zaman
? A @
t
1
1
1
=
·t &
=
& 1·t = 1·4 ⇒ t = 4 bulunur.
3 12
3 1 12 4
Aşağıdaki problemlerde istenilenleri bulunuz.
Aşağıdaki problemlerde istenilenleri bulunuz.
1. Bir öğrenci bir testi 30 dakikada çözerse bu testin
3
ünü kaç dakikada çözer?
5
1. Bir musluk bir havuzun yarısını 7 saatte doldurursa
tamamını kaç saatte doldudur?
2. Bir çiftçi, bir tarlayı 5 günde çapalamaktadır. Bu çiftçi
20 saatte tarlanın ne kadarını çapalar?
2. Bir boyacı bir evin
3. Günde 8 saat çalışarak 2 günde 45 sandık çakan bir
çırak 32 saatte kaç sandık çakar?
3. Bir inşaat firması elindeki projenin
1) 18
2)
1
6
3) 90
2
sini 10 saatte boyarsa evin tama3
mını kaç saatte boyar?
3
ünü 45 günde
5
bitirdiğine göre işin kalanını kaç günde bitirir?
1) 14
2) 15
3) 30
95
Birlikte İş Yapma
İŞÇİ - HAVUZ PROBLEMLERİ
ÖRNEK
Konu Özeti
(Musluk Problemi)
A
Bir işin tamamını 1. işçi a saatte, 2. işçi b saatte yapı1
1
yorsa işçilerin çalışma hızları sırasıyla
ve
dir. O
a
b
1 1
halde, birlikte çalışma hızı c + m olur ve iş bağıntıa b
sından aşağıdaki durum elde edilir.
64748 H @
1 1
Yapılan iş = c + m · t
a b
yol
hız
zaman
Havuz problemlerinde, havuzu dolduran musluk,
işçi gibi düşünülerek aynı bağıntı kullanılır.
300 L
Şekildeki 300 L lik havuzu A musluğu tek başına 5
saatte, B musluğu tek başına 6 saatte doldurmaktadır.
Havuz boşken iki musluk birden açılıp 2 saat sonra her
ikisi de kapatılırsa havuzun kaç L si boş kalır?
ÖRNEK
ÇÖZÜM
Bir işi Ali 3 günde, Veli 6 günde yapabiliyor. İkisi birlikte
çalışırsa işin tamamını kaç günde bitirirler?
İşin tamamını "1" alalım,
1
1
Ali'nin çalışma hızı =
Veli'nin çalışma hızı =
3
6
ÇÖZÜM
İş birlikte bitirme süresi t gün olsun,
iş
hız
?
zaman
6 44 7 4
48 @
1 1
2 1
O halde, 1 = f + p · t & 1 = c + m ·t &
3 6
6 6
(2)
1 =
31
62
·t & 1 =
t
& t = 1·2 & t = 2 gün bulunur.
2
Ahmet bir işi tek başına 12 günde, Mustafa ise aynı işi
tek başına 36 günde yapabilmektedir. Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
1. İkisi birlikte 3 günde işin kaçta kaçını yaparlar?
2. Ahmet tek başına 4 gün, Mustafa tek başına 6 gün
çalışırsa işin kaçta kaçı biter?
3. İkisi birlikte işi kaç günde bitirirler?
1)
96
1
3
2)
1
2
3) 9
B
İşin tamamı "300 L lik havuz" ise,
A nın akma hızı =
300 L
= 60 L/sa dır.
5 sa
B nin akma hızı =
300 L
= 50 L/sa dır.
6 sa
Birlikte hız zaman
6 44 7 44 8 B
Yapılan iş = (60 + 50) · 2 ⇒
Yapılan iş = 110·2 = 220 L dir.
Boş kalan = 300 L – 220 L = 80 L dir.
Aşağıdaki problemlerde istenilenleri bulunuz.
4. Boş bir havuzu tek başına 9 saatte, 12 saatte ve 18
saatte dolduran üç musluk birlikte açılırsa havuz kaç
saatte dolar?
5. 150 L lik bir havuzu iki musluktan birincisi tek başına
10 saatte, ikincisi tek başına 6 saatte doldurmaktadır.
Havuz boş iken iki musluk birlikte açılıp 3 saat sonra
kapatılırsa havuzun kaç L si boş kalır?
4) 4
5) 30

Download Report